集合概念、子集、交集、并集、补集

集合的三种基本运算集合的三种运算分别是有交集、并集、补集。

集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。

集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。

现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。

集合的基本运算：交集、并集、相对补集、绝对补集、子集。

（1）交集：集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集（intersection），记作A∩B。

（2）并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。

（3）相对补集：若A和B是集合，则A在B中的相对补集是这样一个集合：其元素属于B但不属于A，B - A= { x| x∈B且x∉A}。

（4）绝对补集：若给定全集U，有A⊆U，则A在U中的相对补集称为A的绝对补集（或简称补集），写作∁UA。

（5）子集：子集是一个数学概念：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。

符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B。

基数：集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。

当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。

一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。

假设有实数x < y：①[x，y] ：方括号表示包括边界，即表示x到y之间的数以及x和y；②(x，y)：小括号是不包括边界，即表示大于x、小于y的数。

集合的概念、子集、交集、并集、补集课 题集合的概念、子集、交集、并集、补集教学目标1、了解集合的概念2、理解子集、补集以及全集的概念3、结合图形使学生理解交集并集的概念性质重点、难点重点：集合、子集、补集和全集的概念 难点：交集并集的概念，符号之间的区别与联系考点及考试要求理解集合及其表示；掌握子集、交集、并集、补集的概念。

教学内容一、知识回顾1、集合的概念。

2、集合的分类。

3、集合的性质。

4、常用的数集。

5、集合的表示。

6、元素与元素和集合与元素的关系以及集合与集合之间的关系。

二、全集与补集1 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A的补集（或余集），记作A C S ，即C S A=},|{A x S x x ∉∈且2、性质：C S （C S A ）=A ，C S S=φ，C S φ=S3、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示S A三、典例分析例1、（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求C S A（2）若A={0}，求证：C N A=N*A例2、已知全集U＝R，集合A＝｛x｜1≤2x＋1＜9｝，求CUB的关系例3、已知S＝｛x｜－1≤x＋2＜8｝，A＝｛x｜－2＜1－x≤1｝，B＝｛x｜5＜2x－1＜11｝，讨论A与CS四、课堂练习1、已知全集U＝｛x｜－1＜x＜9｝，A＝｛x｜1＜x＜a｝，若A≠φ，则a的取值范围是（）（A）a＜9（B）a≤9（C）a≥9（D）1＜a≤92、已知全集U＝｛2，4，1－a｝，A＝｛2，a2－a＋2｝如果C U A＝｛－1｝，那么a的值是？3、已知全集U，A是U的子集，φ是空集，B＝C U A，求C U B，C Uφ，C U U4、设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,求C U A.5、已知U=R ，A=｛x |x 2+3x+2<0｝, 求C U A .6、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ ,Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求C U A .7、设全集U （U ≠Φ），已知集合M ，N ，P ，且M=C U N ，N=C U P ，则M 与P 的关系是（ ）（A ）M=C U P ； （B ）M=P ； （C ）M ⊇P ； （D ）M ⊆P .五、交集和并集1．交集的定义一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A B （读作‘A 交B ’）， 即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e ｝,B={c,d,e,f}.则A B={c,d,e}．2．并集的定义一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A B （读作‘A 并B ’）， 即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝．（1）交集与并集的定义仅一字之差，但结果却完全不同，交集中的且有时可以省略，而并集中的或不能省略，补集是相对于全集而言的，全集不同，响应的补集也不同；（2）交集的性质：A B B A =，A A A = ，∅=∅ A ，A B A ⊆ ，B B A ⊆ ；（3）并集的性质：A B B A =，A A A = ，A A =∅ ，B A A ⊆，B A B ⊆；（4）B A A B A ⊆⇔= ，A B A B A ⊆⇔= ；（5）集合的运算满足分配律：)()()(C A B A C B A =，)()()(C A B A C B A =；（6）补集的性质：∅=A C A u ，U A C A u = ，A A C C u u =)(；（7）摩根定律：B C A C B A C u u u =)(，B C A C B A C u u u =)(；六、典例分析例1 、设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A B.例2 、设A=｛x|x 是等腰三角形｝，B=｛x|x 是直角三角形｝，求A B.例3 、A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A B.例5、设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A ∪B.说明：求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个集合的交集，有助于解题例6（课本第12页）已知集合A=｛(x,y)|y=x+3｝,｛(x,y)|y=3x-1｝,求A B.注：本题中，(x,y)可以看作是直线上的的坐标，也可以看作二元一次方程的一个解．高考真题选录：一、选择题1.设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 2.已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U 等于（ ）A ．{}|24x x -<≤B ．{}|34x x x 或≤≥C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤3.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则=)(B A C U ( ) （Ａ）{}2,3 （Ｂ）{}1,4,5 （Ｃ）{}4,5 （Ｄ）{}1,54.设集合|0{8}x x N U =∈<≤，{1,2,4,5}S =，{3,5,7}T =，则=)(T C S U ( )（A ）{1,2,4} （B ）{1,2,3,4,5,7} （C ）{1,2} （D ）{1,2,4,5,6,8}5.集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ）A ．}{2,1AB =-- B ． ()(,0)RC A B =-∞C ．(0,)A B =+∞D ． }{()2,1R C A B =--6.满足M ⊆｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M ∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1·a 2}的集合M 的个数是( )（A ）1 (B)2 (C)3 (D)47.定义集合运算:{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．68.已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合)(B A C U 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二.填空题：1.若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B = ，则实数a = ．2.已知集合M={}R y x x y x ∈=+-,,01 ,N={}R y x y x y ∈=+,,122 则M ⋂N=______3.已知集合P={}{}R x x y y Q R x x y y ∈+-==∈+-=,2,,22,那么P ⋂Q=____________。

会合的观点、子集、交集、并集、补集课题会合的观点、子集、交集、并集、补集1、认识会合的观点教课目的2、理解子集、补集以及全集的观点3、联合图形使学生理解交集并集的观点性质要点：会合、子集、补集和全集的观点要点、难点难点：交集并集的观点，符号之间的差别与联系考点及考试要求理解会合及其表示；掌握子集、交集、并集、补集的观点。

教课内容一、知识回首1、会合的观点。

2、会合的分类。

3、会合的性质。

4、常用的数集。

5、会合的表示。

6、元素与元素和会合与元素的关系以及会合与会合之间的关系。

二、全集与补集1 补集：一般地，设 S 是一个会合， A 是 S 的一个子集（即A S ），由 S 中所有不属于 A 的元素构成的会合，叫做S中子集 A的补集（或余集），记作C S A ，即C A=S { x | x S,且 x A}SA2、性质：C S（ C S A）=A，C S S= ，C S =S3、全集：假如会合 S 含有我们所要研究的各个会合的所有元素，这个会合就能够看作一个全集，全集往常用 U表示三、典例剖析例 1、（1）若 S={1，2，3，4，5，6} ，A={1，3，5} ，求 C S A*（2）若 A={0} ，求证： C N A=N例 2、已知全集 U＝R，会合 A＝｛ x｜1≤2x＋1＜9｝，求 C U A例 3、已知 S＝｛x｜－ 1≤x＋2＜8｝，A＝｛x｜－ 2＜1－x≤1｝，B＝｛ x｜5＜2x－1＜11｝，议论 A 与 C S B 的关系四、讲堂练习1、已知全集 U＝｛x｜－ 1＜x＜9｝，A＝｛x｜1＜x＜a｝，若 A≠，则a的取值范围是（）（A）a＜9 （B）a≤9 （C）a≥9 （D）1＜a≤92、已知全集 U＝｛ 2，4，1－a｝，A＝｛ 2，a2－a＋2｝假如C U A＝｛－ 1｝，那么 a 的值是？3、已知全集 U，A 是 U的子集，是空集，B＝C U A，求C U B，C U，C U U4、设 U=｛梯形｝ ,A=｛等腰梯形｝ , 求 C U A.5、已知 U=R， A=｛x|x 2+3x+2<0｝, 求 C U A.6、会合Ｕ =｛（x，y）|x ∈｛1,2 ｝,y ∈｛1,2 ｝｝, Ａ=｛（x，y）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3 ｝，求 C U A.7、设全集 U（ U Φ），已知会合M，N，P，且 M=C U N，N=C U P，则 M与 P 的关系是（）（A）M=C U P；（ B）M=P；（ C）M P；（ D）M P.五、交集和并集1．交集的定义一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所构成的会合 , 叫做 A,B 的交集．记作 A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x A，且x B｝．如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2 ｝．又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e｝,B={c,d,e,f}.则A B={c,d,e}．2．并集的定义一般地，由所有属于会合 A 或属于会合 B 的元素所构成的会合，叫做 A,B 的并集．记作： A B（读作‘ A 并 B’），即 A B={x|x A，或 x B}) ．如：｛ 1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝．（1）交集与并集的定义仅一字之差，但结果却完整不一样，交集中的且有时能够省略，而并集中的或不可以省略，补集是相关于全集而言的，全集不一样，响应的补集也不一样；（2）交集的性质： A B B A ， A A A ，A， A B A ， A B B ；（3）并集的性质： A B B A ， A A A ， A A ， A A B ， B A B ；（4）ABA AB，AB ABA；（5）会合的运算知足分派律：A(B C)(A B)( A C)，A(B C)( A B) (A C)；（6）补集的性质： A C u A，A C u A U ， C u (C u A) A ；（7）摩根定律：C u( A B) C u A C u B ， C u ( A B)C u A C u B ；六、典例剖析例 1、设 A=｛x|x>-2 ｝,B= ｛x|x<3 ｝，求 A B.例 2、设 A=｛x|x 是等腰三角形｝， B=｛x|x 是直角三角形｝，求 A B.例 3、A=｛4,5,6,8 ｝,B=｛3,5,7,8 ｝，求 A B.例 5、设 A=｛x|-1<x<2 ｝,B=｛x|1<x<3 ｝，求 A∪B.说明：求两个会合的交集、并集时，常常先将会合化简，两个数集的交集、并集，可经过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个会合的交集，有助于解题例 6（课本第 12 页）已知会合 A=｛(x,y)|y=x+3｝,｛(x,y)|y=3x-1｝,求A B.注：此题中， (x,y)能够看作是直线上的的坐标，也能够看作二元一次方程的一个解．高考真题选录：一、选择题1.设会合 M{ m Z | 3 m2}，N{ n Z |1≤ n ≤ 3}，则 M I N （）A． 0，1B．101，，C． 01，，2D． 1，0，1，22.已知全集 U R ，会合A x | 2≤x≤3，或，那么会合 A (C U B)等于（）B x | x 1 x 4A．x | 2 ≤ x 4B．x | x≤或3 x ≥ 4C．x | 2≤x1D．x | 1≤x≤33.设会合 U1,2,3,4,5, A1,2,3, B2,3,4 ，则C U( A B)()（Ａ） 2,3（Ｂ） 1,4,5（Ｃ） 4,5（Ｄ） 1,5 4.设会合 U{ x N | 0x8}，S{1,2, 4,5} ， T {3,5,7} ，则 S (C U T ) ()（ A）{1,2, 4}（B）{1,2,3, 4,5,7}（ C）{1,2}（D）{1,2, 4,5,6,8}5.会合 A y R | y lg x, x 1 ， B2,1,1,2 则以下结论正确的选项是（）A．A I B2,1．RA)U B( ,0) B(CC．AUB(0,)D． (C R A)I B2, 16.知足 M｛a1,a2,a3,a4｝ ,且 M∩｛a1,a 2a3｝={a1a2} 的会合 M的个数是 (),·（A）1(B)2(C)3(D)47.定义会合运算 : A B z z xy, x A, y B .设A1,2,B0,2 , 则会合 A B 的所有元素之和为()A．0B． 2C．3D． 68.已知全集U {1，2，3，4，5}，会合2，A{ x | x 3x20} ， B { x | x 2a a A} ，则会合 C U ( A B) 中元素的个数为（）A．1B．2C． 3D． 4二. 填空题：1.若会合 A x | x ≤2 ， B x | x≥ a 知足A I B{2} ，则实数a=．2.已知会合 M=x y x 1 0,x, y R ,N= y x2y 21, x, y R 则M N=______3.已知会合 P= y y x22, x R ,Q y y x 2, x R ,那么P Q=____________。

集合的所有概念
集合是现代数学的一个重要概念，它是指由一些确定的元素所组成的整体。

以下是集合的一些基本概念：
1. 元素：组成集合的个体。

2. 子集：如果集合A 中的所有元素都属于集合B，则称集合A 是集合B 的子集。

3. 真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但A 不等于B，则称集合A 是集合B 的真子集。

4. 并集：由属于集合A 或属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集。

5. 交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集。

6. 补集：在一个给定的集合中，除了该集合中的元素之外的所有元素组成的集合，称为该集合的补集。

7. 空集：不包含任何元素的集合。

8. 列举法：将集合中的元素一一列举出来表示集合的方法。

9. 描述法：用集合所满足的条件来表示集合的方法。

10. 文氏图：用平面上的矩形框来表示集合及集合之间的关系的图形。

集合的概念、子集、交集、并集、补集课 题 集合的概念、子集、交集、并集、补集教学目标1、了解集合的概念2、理解子集、补集以及全集的概念3、结合图形使学生理解交集并集的概念性质重点、难点重点：集合、子集、补集和全集的概念难点：交集并集的概念，符号之间的区别与联系考点及考试要求理解集合及其表示；掌握子集、交集、并集、补集的概念。

教学内容一、知识回顾1、集合的概念。

2、集合的分类。

3、集合的性质。

4、常用的数集。

5、集合的表示。

6、元素与元素和集合与元素的关系以及集合与集合之间的关系。

二、全集与补集1 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集），记作A C S ，即 C S A=},|{A x S x x ∉∈且2、性质：C S （C S A ）=A ，C S S=φ，C S φ=S3、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示三、典例分析SA例1、（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求C S A（2）若A={0}，求证：C N A=N*A例2、已知全集U＝R，集合A＝｛x｜1≤2x＋1＜9｝，求CUB的关系例3、已知S＝｛x｜－1≤x＋2＜8｝，A＝｛x｜－2＜1－x≤1｝，B＝｛x｜5＜2x－1＜11｝，讨论A与CS四、课堂练习1、已知全集U＝｛x｜－1＜x＜9｝，A＝｛x｜1＜x＜a｝，若A≠φ，则a的取值范围是（）（A）a＜9 （B）a≤9 （C）a≥9 （D）1＜a≤92、已知全集U＝｛2，4，1－a｝，A＝｛2，a2－a＋2｝如果C U A＝｛－1｝，那么a的值是？3、已知全集U，A是U的子集，φ是空集，B＝C U A，求C U B，C Uφ，C U U4、设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,求C U A.5、已知U=R，A=｛x|x2+3x+2<0｝, 求C U A.6、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ ,Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求C U A.7、设全集U （U ≠Φ），已知集合M ，N ，P ，且M=C U N ，N=C U P ，则M 与P 的关系是（ ）（A ）M=C U P ； （B ）M=P ； （C ）M ⊇P ； （D ）M ⊆P.五、交集和并集1．交集的定义一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A B （读作‘A 交B ’）， 即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2｝． 又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e ｝,B={c,d,e,f}.则A B={c,d,e}．2．并集的定义一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A B （读作‘A 并B ’）， 即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝．（1）交集与并集的定义仅一字之差，但结果却完全不同，交集中的且有时可以省略，而并集中的或不能省略，补集是相对于全集而言的，全集不同，响应的补集也不同；（2）交集的性质：A B B A =，A A A = ，∅=∅ A ，A B A ⊆ ，B B A ⊆ ； （3）并集的性质：A B B A =，A A A = ，A A =∅ ，B A A ⊆，B A B ⊆； （4）B A A B A ⊆⇔= ，A B A B A ⊆⇔= ；（5）集合的运算满足分配律：)()()(C A B A C B A =，)()()(C A B A C B A =； （6）补集的性质：∅=A C A u ，U A C A u = ，A A C C u u =)(； （7）摩根定律：B C A C B A C u u u =)(，B C A C B A C u u u =)(；六、典例分析例1 、设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A B.例2 、设A=｛x|x 是等腰三角形｝，B=｛x|x 是直角三角形｝，求A B.例3 、A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A B.例5、设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A ∪B.说明：求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个集合的交集，有助于解题例6（课本第12页）已知集合A=｛(x,y)|y=x+3｝,｛(x,y)|y=3x-1｝,求A B.注：本题中，(x,y)可以看作是直线上的的坐标，也可以看作二元一次方程的一个解．高考真题选录： 一、选择题1.设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2.已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U 等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤3.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则=)(B A C U ( )（Ａ）{}2,3 （Ｂ）{}1,4,5 （Ｃ）{}4,5 （Ｄ）{}1,54.设集合|0{8}x x N U =∈<≤，{1,2,4,5}S =，{3,5,7}T =，则=)(T C S U ( ) （A ）{1,2,4} （B ）{1,2,3,4,5,7} （C ）{1,2} （D ）{1,2,4,5,6,8}5.集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ）A ．}{2,1AB =-- B ． ()(,0)RC A B =-∞C ．(0,)A B =+∞D ． }{()2,1R C A B =--6.满足M ⊆｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M ∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1·a 2}的集合M 的个数是( )（A ）1 (B)2 (C)3 (D)47.定义集合运算:{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．68.已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合)(B A C U 中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4二.填空题：1.若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B =，则实数a = ．2.已知集合M={}R y x x y x ∈=+-,,01 ,N={}R y x y x y ∈=+,,122 则M ⋂N=______3.已知集合P={}{}R x x y y Q R x x y y ∈+-==∈+-=,2,,22,那么P ⋂Q=____________Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。

数学子集和真子集符号在数学中，我们使用符号来表示不同的集合概念。

以下是关于子集、真子集、空集、包含、不包含、交集、并集和补集的相关符号。

1. 子集子集是一个集合，它包含在另一个集合中。

我们用符号“⊆”来表示子集。

例如，集合A是集合B的子集，我们可以表示为A ⊆ B。

2. 真子集真子集是包含在另一个集合中，并且不等于该集合的集合。

我们用符号“strictly ⊆”或“<:”来表示真子集。

例如，集合A是集合B的真子集，我们可以表示为A <: B。

3. 空集空集是不包含任何元素的集合。

我们用符号“∅”来表示空集。

例如，我们可以用∅来表示一个空的集合。

4. 包含包含是指一个集合完全包含在另一个集合中。

我们用符号“⊆”来表示包含。

例如，集合A包含在集合B中，我们可以表示为A ⊆ B。

5. 不包含不包含是指一个集合不包含在另一个集合中。

我们用符号“⊄”来表示不包含。

例如，集合A不包含在集合B中，我们可以表示为A ⊄ B。

6. 交集交集是指两个或多个集合的公共元素组成的集合。

我们用符号“∩”来表示交集。

例如，集合A和集合B的交集，我们可以表示为A ∩ B。

7. 并集并集是指两个或多个集合的所有元素组成的集合。

我们用符号“∪”来表示并集。

例如，集合A和集合B的并集，我们可以表示为A ∪ B。

8. 补集补集是指在一个集合中，去掉另一个集合中的所有元素后剩下的元素组成的集合。

我们用符号“\”来表示补集。

例如，集合A去掉集合B中的所有元素后剩下的元素组成的集合，我们可以表示为A \ B。

好的，以下是对数学子集和真子集符号的续写：9. 幂集幂集是指给定一个集合，其所有子集组成的集合。

我们用符号“P(S)”或“2^S”来表示幂集。

例如，给定集合S = {1, 2, 3}，则其幂集P(S) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}, {3}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}。

10. 笛卡尔积笛卡尔积是指两个或多个集合中，每个集合中的元素与另一个集合中的元素进行配对组成的集合。

集合的概念、子集、交集、并集、补集三、典例分析例1、(1 )若S={1 , 2, 3, 4, 5, 6}, A={1 , 3, 5}，求C s A(2)若A={0},求证：C N A=N例2、已知全集U = R，集合A ={ x | K 2x + 1v 9},求C U A.例3、已知S={ x |- 1< x + 2v 8}, A ={ x |- 2 v 1 —x < 1}, B ={ x | 5 v 2x — 1 v 11},讨论 A 与C S B 的关系一四、课堂练习1、已知全集U = { x | —1 v x v 9 } , A = { x | 1 v x v a },若A丰 ,贝U a的取值范围是()(A) a v 9 (B) a w 9 (C) a> 9 ( D) 1v a< 92、已知全集U ={ 2, 4 , 1 —a} , A ={ 2 , a2—a+ 2}如果C U A = {—1},那么 a 的值是？3、已知全集U, A是U的子集，是空集，B = C U A ,求C U B , C U , C U U4、设U= {梯形} ,A= {等腰梯形},求C u A.5、已矢卩U=R , A= {x| X2+3X+2<0 },求C U A6、集合 U = {(x , y ) |X €{ 1,2} ,y €{ 1,2}},A = {(x , y ) |x € N*,y € N*,x+y=3 },求 C u A.7、设全集U {U ①)，已知集合M N, P,且M=C u N , N=C u P ，贝VM 与P 的关系是() (A M=C u P ;(B) M=P ; (C )M P ;(D) M P.五、交集和并集 1 .交集的定义 一般地，由所有属于 A 且属于B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的交集.记作A B (读作‘ A 交B ', 即 A B= {x|x A ，且 x B }.如：{1,2,3,6} {1,2,5,10}= {1,2}.又如:A={ a,b,c,d,e } ,B={c,d,e,f}.则 A B={c,d,e}. 2.并集的定义 一般地，由所有属于集合 A 或属于集合B 的元素所组成的集合, 叫做A,B 的并集.记作：A B (读作‘A 并B ',即 A B ={x|x A ，或 x B}).如：{1,2,3,6} { 1,2,5,10}= {1,2,3,5,6,10}. (2)交集的性质： A B B A , A A A , A , ABA , A B B ; (3)并集的性质： A B B A , A A A , A A , A A B , B A B ; (4) A B AA B , ABA B A ; (5)集合的运算满足分配律： A (B C) (A B) (A C) ,A (B C) (A B) (6)补集的性质： A C u A ,A C u A U , C u (C u A) A ;(7)摩根定律： C u (A B) C u A C u B C u (A B) C u AC u B ;(1)交集与并集的定义仅一字之差，但结果却完全不同，交集中的且有时可以省略，而并集中的或不能省略，补集 是相对于全集而言的，全集不同，响应的补集也不同; (A C)； 六、典例分析 例 1、设 A= {x|x>-2 } ,B= {x|x<3}，求 A B.例2、设A= {x|x是等腰三角形} , B= {x|x是直角三角形}，求A B.例3、A= {4,5,6,8} ,B= {3,5,7,8},求 A B.例5、设A= { x|-1<x<2 } ,B= {x|1<x<3 },求 A U B.说明：求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个集合的交集，有助于解题一例6 （课本第12页）已知集合A= {(x,y)|y=x+3 } , {(x,y)|y=3x-1 },求A B.注：本题中，（x,y）可以看作是直线上的的坐标, 也可以看作二元一次方程的一个解.高考真题选录：一、选择题1.设集合M {m Z | 3 m 2}，N{n Z| 1 W n W 3},则MI N()A. 0,1B. 1,01 C .0,2D.1,0,1, 22.已知全集U R，集合A x| 2 < x < 3 , B x|x 1或x4 , 那么集合A （C U B）等于（)A. x| 2 < x 4B.x | x W 3或x》4C. x| 2< x 1D.x| 1 W x W 33.设集合U 1,2,3,4,5 ,A1,2,3 ,B2,3,4，则C U (A B)()(A) 2,3(B) 1,4,5(C) 4,5(D) 1,54.设集合U {x N|0 x 8} , S {124,5} , T {3,5,7},贝U S (C d T)()(A) {1,2,4} (B) {1,2,3,4,5,7} (C) {1,2} (D) {1,2,4,5,6,8}5.集合A y R|y lgx,x 1 , B2,1,1,2则下列结论正确的是（）A.AI B2, 1B.(C R A) U B (,0)C.AU B(0,)D.(C R A)I B2, 16.满足M{a1, a 2,a3, a 4卜，且MG{a1 ,a2, a 3} ={ a 1 •a2｝的集合M的个数是（）(A) 1(B)2(C)3(D)47.定义集合运算：A B z z xy,x A,y B .设A 1,2,B 0,2 ,则集合A B的所有元素之和为()A. 0 B . 2 C . 3 D . 68.已知全集U {1,2,3,4,5}，集合A {x|x2 3x 2 0} , B {x|x 2a, a A}，则集合C U(A B)中元素的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二.填空题：1. 若集合A x|x< 2 , B x|x> a 满足AI B {2}，则实数a= .2. 已知集合M=xy Jx 1 0,x, y R ,N= y x2 y21, x, y R 则M N= ________3. 已知集合P= y y x2 2,x R,Q y|y x 2,x R ,那么P Q= _________________。

离散数学必备知识点总结汇总
1.集合论：集合的概念、元素、子集、交集、并集、差集、补集、空集、集合的运算、集合的等价关系、集合的序关系等。

2.命题逻辑：命题的概念、命题的联接词（与、或、非）、命题的否
定形式、命题的蕴涵、等价命题、命题的充分条件和必要条件、命题的合
取范式和析取范式、蕴涵式、逻辑等价式、命题的否定形式的推理。

3.谓词逻辑：谓词的概念、谓词的量化、全称量化和存在量化、谓词
逻辑的等价式和推理规则、归纳定理和应用。

4.关系：关系的概念、关系的性质、关系的运算、关系的性质和关系
的代数结构。

5.图论：图的概念、图的表示、连通图、树、度数和定理、欧拉图、
哈密顿图、图的平面性质等。

6.混合图：有向图、无向图、有向图和无向图的表示、混合图的回路、可达矩阵、连通度、强连通图等。

7.布尔代数：布尔运算、布尔函数、布尔代数的运算规则、完备性和
最小化。

8.代数结构：半群、群、环、域的定义和性质、同态和同构。

9.组合数学：排列组合、二项式系数、排列、组合、分配原理、鸽巢
原理、生成函数、容斥原理等。

10.图的着色：图的着色问题、邻接矩阵、边界点、图的着色问题的
算法、四色定理等。

11.概率论：基本概念、概率的性质、条件概率、独立事件、贝叶斯定理、随机变量、概率分布函数、期望、方差、协方差、相关系数、大数定理和中心极限定理等。

12.递归：递归关系、递归函数、递归算法、递归树、递归求解等。

集合论基础概念：交集、并集、补集、全集
一、集合（Set）
集合是包含一组具象或抽象对象的整体，其中的对象称为元素（Element）。

集合可以是有限的，也可以是无限的。

二、元素（Element）
元素是集合中的个体项目，可以是任何东西，例如数字、字母、图形，甚至是其他集合。

一个元素只能属于一个集合。

三、空集（Empty Set）
空集是不包含任何元素的集合。

用数学符号表示为∅。

四、子集（Subset）
如果一个集合的每一个元素都是另一个集合的元素，那么称这个集合为另一个集合的子集。

用符号表示为A⊆BA \subseteq BA⊆B。

五、交集（Intersection）
交集是两个或多个集合中共有的元素组成的集合。

用符号表示为A ∩ BA \cap BA∩B。

例如，如果A和B是两个集合，那么A和B的交集就是所有既属于A也属于B的元素的集合。

六、并集（Union）
并集是两个或多个集合中所有元素的集合。

用符号表示为 A ∪BA \cup BA∪B。

例如，如果A和B是两个集合，那么A和B的并集就是所有属于A或属于B的元素的集合。

七、补集（Complement）
补集是在全集中去掉一个集合后剩下的元素的集合。

用符号表示为
A′A^{\prime}A′。

例如，如果A是一个集合，全集是所有可能的元素（不考虑重复），那么A的补集就是全集中不属于A的元素的集合。

八、全集（Universal Set）
全集是包含所有可能元素的集合。

在特定情况下，有时会使用符号U 来表示全集。