2020届内蒙古年上学期通辽实验中学高二数学理第一次月考试题答案

智才艺州攀枝花市创界学校第二二零二零—二零二壹高二数学上学期第一次月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共13小题，每一小题4分，一共52分.题1—10为单项选择题，题11-13为多项选择题，多项选择题错选得0分，漏选得2分.〕 1.椭圆229225x ky +=的一个焦点是()4,0，那么k =〔〕A.5B.25C.-5D.-25【答案】B 【解析】 【分析】将椭圆方程化为HY 方程，根据焦点坐标求得c ，由此列方程求得k 的值.【详解】椭圆的HY方程为22122525x y k+=，由于椭圆焦点为()4,0，故焦点在x 轴上，且4c =.所以2225254k=+，解得25k =. 应选：B【点睛】本小题主要考察根据椭圆的焦点坐标求参数的值，属于根底题. 2.双曲线22412mx y -=的一条渐近线的方程为20y -=，那么m =〔〕A.3C.4D.16【答案】A 【解析】 【分析】写出双曲线的HY 方程，根据渐近线方程即可得解. 【详解】双曲线22412mx y -=20y -=，即双曲线221213m x y -=的一条渐近线的方程为y x =， 所以124,3m m==. 应选：A【点睛】此题考察根据双曲线的渐近线方程求双曲线HY 方程，关键在于准确掌握双曲线的概念，找准其中的a ，b .3.“x R ∃∈，2440x x -+≤〞的否认是〔〕A.x R ∀∈，2440x x -+>B.x R ∀∈，2440x x -+≥C.x R ∃∈，2440x x -+>D.x R ∃∈，2440x x -+≥【答案】A 【解析】 【分析】 .【详解】A 选项正确. 应选：A 【点睛】. 4.〕 A.2230x x -->，B.π不是无限不循环小数C.直线与平面相交D.在线段AB 上任取一点【答案】B 【解析】【分析】 ACDB.【详解】ACD 均不能判断真假，B. 应选：B 【点睛】.5.平面内，一个动点P ，两个定点1F ，2F ，假设12PF PF -为大于零的常数，那么动点P 的轨迹为〔〕A.双曲线B.射线C.线段D.双曲线的一支或者射线 【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的定义，对动点P 的轨迹进展判断，由此确定正确选项. 【详解】两个定点的间隔为12F F ,当1212PF PF F F -<时，P 点的轨迹为双曲线的一支； 当1212PF PF F F -=时，P 点的轨迹为射线；不存在1212PF PF F F ->的情况.综上所述，P 的轨迹为双曲线的一支或者射线. 应选：D【点睛】本小题主要考察双曲线定义的辨析，属于根底题. 6.〕A.x R ∀∈，2210x x -+>B.0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x <C.a ∀∈R ，in s (s in )a a π-=D.x R ∀∈，12x x+≥ 【答案】C 【解析】 【分析】 .【详解】A.x R ∀∈，2210x x -+>，当21,210x x x =-+=B.0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x <，当,tan 14x x π== C.a ∀∈R ，in s (s in )a a π-=，满足题意； D.x R ∀∈，12x x +≥，当10,2x x x<+≤-. 应选：C 【点睛】.7.假设方程22216x y a a +=-表示双曲线，那么实数a 的取值范围是〔〕A.6a <B.6a <且0a≠ C.2a > D.2a >或者3a <-【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程形式得2060a a ⎧≠⎨-<⎩，即可得解.【详解】方程22216x y a a +=-表示双曲线，那么2060a a ⎧≠⎨-<⎩，解得：6a <且0a ≠.应选：B【点睛】此题考察双曲线概念辨析，根据方程表示双曲线求解参数的取值范围，关键在于纯熟掌握双曲线方程的形式.8.1F ，2F 是椭圆(222:13x y C a a+=>的两个焦点，P 是C 上一点.假设1260F PF ∠=︒，那么12F PF △的面积为〔〕B. D.与a 有关【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质结合余弦定理求得124F P PF ⋅=，利用三角形面积公式即可得解.【详解】根据椭圆几何性质可得：122F P PF a +=，12F PF △中，由余弦定理：222121212F F F P PF F P PF =+-⋅，即()221212123F F F P PF F P PF =+-⋅()22124343a a F P PF -=-⋅，解得：124F P PF ⋅=12F PF △的面积为121sin 602F P PF ⋅⋅︒=. 应选：A【点睛】此题考察椭圆的几何性质的应用，结合余弦定理和面积公式求三角形面积，关键在于纯熟掌握椭圆根本性质和三角形相关定理公式.9.1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点，直线23b y =与该椭圆交于B ，C ，假设2BF C △是直角三角形，那么该椭圆的离心率为〔〕B.【答案】D 【解析】 【分析】联立直线和椭圆求出交点坐标22,,,3333b b B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别讨论直角情况即可得解.【详解】联立直线和椭圆方程：2222123x y a b b y ⎧=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩ 所以直线23b y =与椭圆()222210x y a b a b+=>>的交点坐标22,33b b B C ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为椭圆焦点在x 轴，所以角B 不可能为直角，当角Cc =，即e =；当角2F 为直角时，220F B F C ⋅=，即22,,03333b b c c ⎛⎫⎛⎫--⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22254099a b c -+=，2222544099a a c c --+=225c a =，5e =.应选：D【点睛】此题考察根据直线与椭圆位置关系，结合三角形形状求解离心率，关键在于准确求出直线与椭圆的交点坐标，根据垂直关系建立等量关系求椭圆离心率.10.双曲线221916x y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，且1245cos F PF ∠=，那么12F PF △内切圆的面积为〔〕A.211πB.83π C.649π D.176121π【答案】C 【解析】 【分析】 根据1245cos F PF ∠=求出三角形的边长和面积，利用等面积法求出内切圆的半径，即可得到面积. 【详解】由题：1245cos F PF ∠=，那么123sin 5F PF ∠=，P 为右支上一点， 12F PF △中由余弦定理：()()22212111146265F F F P F P F P F P =++-⋅+⨯解得110F P =，12F PF △的面积121310164825F PF S =⨯⨯⨯=△，设其内切圆半径为r ，()101016482r ++=，解得：83r = 那么12F PF △内切圆的面积为286439ππ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭【点睛】此题考察根据双曲线的几何性质求解焦点三角形的面积和内切圆的半径，根据等面积法求解半径得到圆的面积. 11.〕A.假设a ba c ⋅=⋅，那么bc =B.正数,a b ，假设2a b+≠a bC.0x N +∃∈，使200x x ≤D.正数,x y ，那么1xy =是lg lg 0x y +=的充要条件【答案】BCD 【解析】 【分析】 考虑0a=可断定A.【详解】A 选项：假设0a =，任意向量,b c ，0a b a c ⋅=⋅=，不能推出b c =B ,a b ，假设ab =，那么2a b+= C 选项：当01x =D 选项：正数,x y ，lg lg 0x y +=等价于lg 0xy =，等价于1xy =，那么1xy =是lg lg 0x y +=的充要条件应选：BCD 【点睛】.12.〔多项选择题〕双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第三象限三等分，那么双曲线1C 的离心率可能为〔〕C.2D.3【答案】CD 【解析】 【分析】根据渐近线的平分关系求出斜率，根据斜率为b a =b a =.【详解】双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第三象限三等分，根据双曲线对称性可得：双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第一象限三等分，所以第一象限的两条渐近线的倾斜角为30°和60°，其斜率为b a =b a =，所以其离心率为2或者3. 应选：CD【点睛】此题考察根据双曲线的渐近线关系求离心率，关键在于对题目所给条件进展等价转化，利用双曲线根本量之间的关系求解.13.〔多项选择题〕以下说法正确的选项是〔〕 A.方程2xxy x +=表示两条直线B.椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，那么4m =C.曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称D.双曲线2222x y a b λ-=的渐近线方程为b y x a=±【答案】ACD 【解析】 【分析】B 选项漏掉考虑焦点在y 轴的情况，ACD 说法正确. 【详解】方程2xxy x +=即()10x x y +-=，表示0x =，10x y +-=两条直线，所以A 正确；椭圆221102x ym m+=--的焦距为4，那么()1024m m---=或者()2104m m---=，解得4m=或者8m=，所以B选项错误；曲线22259x yxy+=上任意点(),P x y，满足22259x yxy+=，(),P x y关于坐标原点对称点(),P x y'--也满足()()()()22259x yx y--+=--，即(),P x y'--在22259x yxy+=上，所以曲线22259x yxy+=关于坐标原点对称，所以C选项正确；双曲线2222x ya bλ-=即0λ≠，其渐近线方程为by xa=±正确，所以D选项正确.应选：ACD【点睛】此题考察曲线方程及简单性质辨析，涉及认识曲线方程，研究对称性，根据椭圆性质求参数的取值，求双曲线的渐近线.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分.〕14.方程22157x ya a+=--表示椭圆，那么实数a的取值范围是_______.【答案】()()5,66,7【解析】【分析】根据方程表示椭圆，列不等式组可得507057aaa a->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即可求解.【详解】由题方程22157x ya a+=--表示椭圆，那么507057aaa a->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得()()5,66,7a ∈故答案为：()()5,66,7【点睛】此题考察根据曲线方程表示椭圆求参数的取值范围，关键在于纯熟掌握椭圆的HY方程特征，此题容易漏掉考虑a =6的情况不合题意.15.假设“0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <〞m 的取值范围是________. 【答案】0m >【解析】【分析】 根据0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <，实数m 的取值范围，即()min tan x m <. 【详解】0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <，即()min tan x m <， tan y x =在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，()min tan 0x = 即0m >.故答案为：0m >【点睛】.16.2F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，P 是椭圆上的动点，(A 为定点，那么1PA PF +的最小值为_______.【答案】6【解析】【分析】 将问题进展转化12288PA PF PA PF PA PF +=+-=+-，根据动点到两个定点间隔之差的最值求解. 【详解】()22,0F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，()12,0F -是椭圆2211612x y +=的左焦点，128PF PF +=(A 在椭圆内部，1222888826PA PF PA PF PA PF AF +=+-=+-≥-=-=，当P 为2F A 的延长线与椭圆交点时获得最小值.故答案为：6【点睛】此题考察椭圆上的点到椭圆内一点和焦点的间隔之和最值问题，关键在于利用椭圆的几何性质进展等价转化，结合平面几何知识求解.17.点A ，B 分别是射线()1:0l y x x =≥，2(:0)l y x x =-≤上的动点，O 为坐标原点，且AOB 的面积为定值4.那么线段AB 中点M 的轨迹方程为_________. 【答案】22144-=y x ，0y > 【解析】【分析】设出中点坐标，根据面积关系建立等量关系化简即可得到轨迹方程.【详解】由题：()1:0l y x x =≥，2(:0)l y x x =-≤互相垂直，()()112212,,,,0,0A x x B x x x x -><，设线段AB 中点(),M x y ， AOB 的面积为定值4，即)12142x -=，即124x x =- 121222x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，两式平方得：222121222212122424x x x x x x x x x y ⎧++=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， 两式相减得：22124x y x x -==- 即22144-=y x ，0y >故答案为：22144-=y x ，0y > 【点睛】此题考察求轨迹方程，关键在于根据给定的条件建立等量关系，此类题目容易漏掉考虑取值范围的限制.三、解答题〔本大题一一共6小题，总分值是82分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕18.集合{}2(3)0A x x a x a =+-+=，{}0B x x =>.假设A B =∅.务实数a 的取值范围.【答案】(](),19,a ∈-∞+∞【解析】【分析】 将问题转化考虑A B =∅a 的取值范围，即可得到假设A B =∅a 的取值范围. 【详解】考虑A B =∅2(3)0x a x a +-+=没有正根， ①()2340a a ∆=--<得()1,9a ∈； ②()2340a a ∆=--=得1a =，或者9a =， 当9a =时{}{}26903A x x x =++==-符合题意，当1a =时{}{}22101A x x x =-+==，不合题意，所以9a =； ③()23403020a a a a ⎧∆=-->⎪-⎪<⎨⎪>⎪⎩无解； 综受骗A B =∅(]1,9a ∈，所以假设A B =∅(](),19,a ∈-∞+∞【点睛】.19.对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，该椭圆过1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，且长轴长与短轴长之比为4:3.求该椭圆的HY 方程. 【答案】221169x y +=或者221169y x += 【解析】【分析】根据椭圆的长轴短轴长度之比设椭圆的HY 方程，根据椭圆经过的点求解参数即可得解.【详解】由题：对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，长轴长与短轴长之比为4:3，当焦点在x 轴上，设椭圆的HY 方程为221169x y m m+=，m >0，椭圆过1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 14414412516259m m+=⨯⨯，解得：m =1， 所以椭圆的HY 方程为221169x y += 同理可得当焦点在y 轴上，椭圆的HY 方程为221169y x +=， 所以椭圆的HY 方程为221169x y +=或者221169y x += 【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程，关键在于根据长轴短轴长度关系设方程，根据椭圆上的点的坐标求解，易错点在于漏掉考虑焦点所在位置.20.“[]0,2x ∃∈，使方程251020x x m -+-=有解〞.〔1〕务实数m 的取值集合A ；〔2〕设不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，假设x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕{}32A m m =-≤≤；〔2〕()(),23,a ∈-∞-+∞【解析】【分析】〔1〕将问题转化为()225102513m x x x =-+=--在[]0,2x ∈有解，即可求解；〔2〕分类讨论求解A B ⊆即可得到参数的取值范围.【详解】〔1“[]0,2x ∃∈，使方程251020x x m -+-=有解〞是.即()225102513m x x x =-+=--在[]0,2x ∈有解，所以[]3,2m ∈- 即{}32A m m =-≤≤；〔2〕不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，假设x B ∈是x A ∈的必要不充分条件， 当23a =不合题意； 当23<a 时，112a a -<-，()1,12B a a =--，13122a a -<-⎧⎨->⎩，得2a <-； 当23a >时，112a a ->-，()12,1B a a =--，12123a a ->⎧⎨-<-⎩，得3a >； 所以()(),23,a ∈-∞-+∞【点睛】此题考察根据方程有解求参数的取值范围，根据充分条件和必要条件关系求解参数的取值范围，关键在于弄清充分条件和必要条件关系，利用分类讨论求解.21.设1F ，2F 分别是椭圆222:14x y E b+=的左，右焦点，假设P 是该椭圆上的一个动点，12PF PF ⋅的最大值为1.求椭圆E 的方程. 【答案】2214x y += 【解析】【分析】设出焦点坐标，表示出12PF PF ⋅利用函数关系求出最大值，即可得到21b =.【详解】由题：()1F ，)2F 分别是椭圆222:14x y E b +=的左，右焦点，设(),P x y 施椭圆上的动点，即[]222221,0,4,44x y x b b+=∈<， ()22222221124444x b x b x b b ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，当2x =4时，获得最大值， 即21b =， 所以椭圆的方程为2214x y +=. 【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程，关键在于根据椭圆上的点的坐HY 确计算，结合取值范围求解最值.22.平面直角坐标系中两个不同的定点()1,0F a -，()2,0,0F a a >，过点1F 的直线1l 与过点2F 的直线2l 相交于点P ，假设直线1l 与直线2l 的斜率之积为(0)m m ≠，求动点P 的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线.【答案】见解析.【解析】【分析】 根据斜率关系化简得22221x y a ma-=，分类讨论得解． 【详解】设(),P x y ，过点1F 的直线1l 与过点2F 的直线2l 相交于点P ，假设直线1l 与直线2l 的斜率之积为(0)m m ≠， 即y y m x a x a ，222y mx ma =-，22221x y a ma-=， 当1m =-轨迹是圆，不含点()1,0F a -，()2,0,0F a a >；当0m >，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为顶点的双曲线，不含顶点()1,0F a -，()2,0F a ； 当10m -<<，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为长轴顶点的椭圆，不含()1,0F a -，()2,0F a ； 当1m <-，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为短轴顶点的椭圆，不含()1,0F a -，()2,0F a ．【点睛】此题考察曲线轨迹的辨析，关键在于根据题意建立等量关系，根据曲线轨迹方程分类讨论得解.23.椭圆221:1169x y C +=和双曲线222:1169x y C -=，点A ，B 为椭圆的左，右顶点，点P 在双曲线2C 上，直线OP 与椭圆1C 交于点Q 〔不与点A ，B 重合〕，设直线AP ，BP ，AQ ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k .〔1〕求证：12916k k ⋅=； 〔2〕求证：1234k k k k +++的值是定值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析.【解析】【分析】〔1〕设(),P x y ，表示出斜率即可求得斜率之积；〔2〕设直线:OP y kx =，0k≠，依次求解P ，Q 坐标，表示出斜率之和化简即可得解. 【详解】〔1〕由题：()()()4,0,4,0,,A B P x y -满足221169x y -=，229116x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 21229441616y y y k k x x x ⋅=⋅==+--； 〔2〕根据曲线的对称性不妨设直线:OP y kx =，0k ≠， 联立221169y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2221169x k x +=，22144916x k =+，不妨取Q ⎛⎫，同理可得：P ⎛⎫ 所以1234k k k k +++的值是定值.【点睛】此题考察椭圆与双曲线对称性辨析，求解直线与曲线交点坐标，根据坐标表示斜率求解斜率之积和斜率之和证明结论.。

内蒙古高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.从12个同类产品（其中有10个正品，2个次品）中，任意抽取3个的必然事件是（）A．3个都是正品B．至少有1个次品C．3个都是次品D．至少有1个正品2.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率为（）A．B．C．D．3.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）A．种B．种C．种D．种4.5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（）A．35B．43C．34D．535.从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛，则所选人中至少有名女生的概率（）A．B．C．D．6.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为（）A．B．C．D．7.在二项式的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（ ).A．－56B．－35C．35D．568.有个球，其中个一样的黑球，红、白、蓝球各个，现从中取出个球排成一列，则所有不同的排法种数是（）A．B．C．D．9.抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说试验成功，则在30次独立重复试验中成功的次数X的数学期望是( )A．B．C．10D．2010.甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．11.某公司招聘来名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（ ） A ．种 B ．种 C ．种 D ．种12.某电影院第一排共有9个座位，现有3名观众前来就座，若他们每两人都不能相邻，且要求每人左右至多两个空位，则不同的坐法共有（ ） A ．36种 B ．42种 C ．48种 D ．96种二、填空题1.（2x）6展开式中常数项为 （用数字作答）．2.有一道数学难题，在半小时内甲能解决的概率是，乙能解决的概率为，两人试图独立地在半小时解决，则难题半小时内被解决的概率为________．3.随机变量X 的概率分布规律为P(X ＝n)＝(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P(<X<)的值为 （用数字作答）4.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.三、解答题1.已知，且（1－2x ）n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋ .... ＋a n x n ．（1）求n 的值；（2）求a 1＋a 2＋a 3＋...＋a n 的值．2.用，，，，这五个数字组成无重复数字的自然数． （1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的五位数中，求至少有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数． 3.某中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求（1）他们中成功咨询的人数为X 的分布列及期望； （2）至少一人拨通电话的概率.4.一个袋中装有8个大小质地相同的球，其中4个红球、4个白球，现从中任意取出四个球，设X 为取得红球的个数．（1）求X 的分布列；（2）若摸出4个都是红球记5分，摸出3个红球记4分，否则记2分．求得分的期望．5.安排5个大学生到三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的． （1）求5个大学生中恰有2个人去校支教的概率；（2）设有大学生去支教的学校的个数为，求的分布列．6.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列和数学期望E （X ）． （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？内蒙古高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.从12个同类产品（其中有10个正品，2个次品）中，任意抽取3个的必然事件是（）A．3个都是正品B．至少有1个次品C．3个都是次品D．至少有1个正品【答案】D【解析】因为只有2个次品，所以任意抽取3个的事件包括：“三个正品”，“两个正品一个次品”，“一个正品两个次品”，所以必然事件是至少有1个正品，故选D.【考点】必然事件2.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，以等腰直角三角形的直角顶点为圆心，1半径做圆，阴影中的点到此三角形的直角顶点的距离不大于1，所以概率就是阴影的面积与三角形的面积比值，,故选B.【考点】几何概型3.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）A．种B．种C．种D．种【答案】C【解析】将甲和乙捆绑，看成一个元素，丙和丁不能排在一起，所以采用插空法，种方法，故选C.【考点】排列4.5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（）A．35B．43C．34D．53【答案】D【解析】对于每项冠军，都有5种选择，所以获得冠军的可能种数是，故选D.【考点】乘法计数原理5.从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛，则所选人中至少有名女生的概率（）A．B．C．D．【答案】C【解析】采用间接法，至少一名女生的对立事件是没有女生，所以,故选C.【考点】组合6.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】表示拿来的3个球包括1个新的，2个旧的，所以,故选C.【考点】古典概型的概率计算7.在二项式的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（ ).A．－56B．－35C．35D．56【答案】A【解析】第5项的二项式系数是，因为是只有，所以，那么含项的系数是，故选A.【考点】二项式定理8.有个球，其中个一样的黑球，红、白、蓝球各个，现从中取出个球排成一列，则所有不同的排法种数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分为两种情况，（1）当4个球颜色都不同时，排列种数是,（2）当4个球包含2个黑球时，那么需在红，白，蓝球中选2个，排法种是,,故选B.【考点】排列组合9.抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说试验成功，则在30次独立重复试验中成功的次数X的数学期望是( )A．B．C．10D．20【答案】B【解析】当没出现5点或6点时，表示失败，失败的概率就是,所以成功的概率就是，,,故选B.【考点】二项分布10.甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】前3局有2局甲获胜，最后一局甲胜，故3:1获胜的概率是,故选A.【考点】独立事件同时发生的概率【思路点睛】本题主要考察了独立是时间同时发生的概率，属于基础题型，对于比赛的问题，若是5局3胜制，那分3:0,3:1,3:2获胜，若是3:0获胜，说明3场都胜了，若是3:1，那第4场胜，前3场有2场胜，1场输，若是3:2获胜，第5局胜，前4场有2场胜，2场输，分清获胜情况再按独立事件求概率.11.某公司招聘来名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）A．种B．种C．种D．种【答案】B【解析】甲和乙两个部门各要一名翻译，甲1名电脑工作人员时，有种方法，当甲由2名电脑工作人员时，有种方法，18+18=36种方法，故选B.【考点】组合【思路点睛】本题主要考察了分类计数原理，属于基础题型，根据所给的条件，2名英语翻译均分给甲，乙两个部门，有2种方法，可对3名电脑编程人员有2人在甲部门，或是有1人在乙部门分类计数，最后加在一起.12.某电影院第一排共有9个座位，现有3名观众前来就座，若他们每两人都不能相邻，且要求每人左右至多两个空位，则不同的坐法共有（）A．36种B．42种C．48种D．96种【答案】C【解析】共有6个空位，如果3人旁边有三个位置时空位，那就是222的空位组合，共有种情况，当3人旁边有4个位置有空位，那空位组合就是1122的组合，采用插空法，共有种情况，所以不同的做法就是12+36=48种情况，故选C.【考点】1.排列；2.组合.【思路点睛】本题主要考察的排列的方法，属于基础题型，对于不相邻问题，一般采用插空法，例，有个不同元素，其中个不同元素不相邻，那么排列方法种数就是，但本题还有其他的条件，每人左右至多2个空位，所以对可先对空位进行分类，空位看成相同元素，只有个数的区分，所以可以均分为3组空位，或4组空位，任何再在空位之间排列3人，最后相加即得结果.二、填空题1.（2x）6展开式中常数项为（用数字作答）．【答案】【解析】，当时，，此时常数项为,故填：60.【考点】二项式定理2.有一道数学难题，在半小时内甲能解决的概率是，乙能解决的概率为，两人试图独立地在半小时解决，则难题半小时内被解决的概率为________．【答案】【解析】甲和乙都没有解决的概率是，那么难题在半小时内被解决的概率就是,故填：.【考点】独立事件同时发生的概率3.随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(<X<)的值为（用数字作答）【答案】【解析】，所以，解得，,故填：.【考点】离散型随机变量分布列的性质【方法点睛】本题主要考察了离散型随机变量分布列的性质，属于基础题型，（1）；（2）根据题中所给的条件，，代入后可得值，或是可以根据形式，采用裂项相消法求和，这样计算就比较简单.4.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）. 【答案】【解析】当一，二，三等奖被三个不同的人获得，共有种不同的方法，当一，二，三等奖被两个不同的人获得，即有一个人获得其中的两个奖，共有,所以获奖的不同情况有种方法,故填：60.【考点】排列组合【方法点睛】本题主要考察了排列组合和分类计数原理，属于基础题型，重点是分析不同的获奖情况包含哪些情况，其中一，二，三等奖看成三个不同的元素，剩下的5张无奖奖券看成相同元素，那8张奖券平均分给4人，每人2张，就可分为三张奖券被3人获得，或是被2人获得的两种情况，如果是被3人获得，那这4组奖券就可看成4个不同的元素的全排列，如何2人获得，3张奖券分为2组，从4人挑2人排列，最后方法相加.三、解答题1.已知，且（1－2x ）n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋ .... ＋a n x n ．（1）求n 的值；（2）求a 1＋a 2＋a 3＋...＋a n 的值． 【答案】（1）；（2）-2.【解析】（1）解组合数与排列数方程时，当下标是字母，上标是数字时，多采用阶乘公式，，，这样转化为的二次方程，求解;（2）采用赋值法，令求出所有项系数的和，再令，求，最终求得所求系数的和.试题解析：由已知得：，由于,n=15; （2）当x=1时，+当x=0时， .... + 【考点】1.排列数，组合数；2.二项式定理.2.用，，，，这五个数字组成无重复数字的自然数． （1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的五位数中，求至少有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数． 【答案】（1）30；（2）60.【解析】（1）先分类，将所有的三位偶数分为个位是0，和个位是2或4的两种情况，当个位是0时，那首位就不是受限位置了，直接种方法，当个位是2或4时，那首位还是受限位置，先填首位，首位不能是0，有3种方法，十位有3种方法，所有有种方法，最后加在一起；（2）采用间接法，没有偶数夹在两个奇数之间，那就指1和3相邻，采用捆绑法，看成一个复合元素，有种方法，这样首位不能是0，所有首位有3种方法，其他位置就没有受限了，所以是种方法，最后用总的5位数的排法去减就得到结果.试题解析：（1）将所有的三位偶数分为两类：（i ）若个位数为，则共有（个）；（ii ）若个位数为或，则共有（个），所以，共有个符合题意的三位偶数． （2）种方法【考点】1.排列；2.分类和分步计数原理.【易错点睛】本题考察了两个计数原理，排列数的问题，属于基础题型，0是偶数，对于首位又是受限元素，所以可以分末位是0或末位不是0两种情况，对于第二问，本题一共有两个奇数，如果采用直接法，那就要分多种情况，所以宜采用间接法，求其对立事件，没有偶数夹在两个奇数之间，那就指1和3相邻，采用捆绑法，这样问题就变得简单了，所以对于至多和至少的问题，经常利用其对立事件求概率.3.某中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求（1）他们中成功咨询的人数为X的分布列及期望；（2）至少一人拨通电话的概率.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）对每名同学来说接通电话的概率都是；所有成功咨询的人数服从二项分布，,列分布列，；（2）对于至少有一人问题，可以先求对立事件的概率，对立事件是三人都没有拨通电话，即,两个事件是对立事件，那么它们和的概率为1，这样就用1减求本题的概率.试题解析：由题意知，用X表示成功咨询的人数，则X服从的二项分布，于是有，所以X的分布列为（2）P=1-=【考点】1.二项分布；2.对立事件的概率.4.一个袋中装有8个大小质地相同的球，其中4个红球、4个白球，现从中任意取出四个球，设X为取得红球的个数．（1）求X的分布列；（2）若摸出4个都是红球记5分，摸出3个红球记4分，否则记2分．求得分的期望．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）本题属于超几何概率的分布，,;（2）得分包含三种情况，其所对应的概率就是当得分为5时的概率是,当得分为4时的概率是,得分为2时的概率就是,根据分布列得到得分的期望.试题解析：（1）X，1,2,3,4其概率分布分别为：，，，，．其分布列为（2）【考点】1.超几何分布；2.离散型随机变量的分布列和期望.5.安排5个大学生到三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的．（1）求5个大学生中恰有2个人去校支教的概率；（2）设有大学生去支教的学校的个数为，求的分布列．【答案】（1）;（2）详见解析.【解析】（1）5个大学生去三所学校支教，共有种方法，若恰有2人去A校支教，那就从5人中先选2人，去A大学，然后剩下的3人去B和C大学支教，有种方法，最后根据古典概型求概率；（2）根据题意，，表示5人都去了同一所大学支教，表示5人去了其中2所大学支教，那可以将5人分组，分为4和1，或是3和2，然后再分配到2所大学，计算概率，表示5人去了3所大学支教，那分组为113，或是122型，再将三组分配到三所大学，计算概率，最后列分布列. 试题解析：（1）5个大学生到三所学校支教的所有可能为种， 设“恰有2个人去校支教”为事件，则有种，∴．答：5个大学生中恰有2个人去校支教的概率．（2）由题得：，人去同一所学校，有种，∴，人去两所学校，即分为4,1或3,2有种，∴，人去三所学校，即分为3,1,1或2，2,1有种，∴．∴ 的分布列为【考点】1.排列组合；2.离散型随机变量的分布列.6.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列和数学期望E （X ）． （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）得分和击鼓出现音乐有关，当三次都没有出现音乐就是-200，有一次就是10，二次就是20，三次都出现音乐就是100，三次每次是否出现音乐都是独立的，并且出现音乐的概率都是，按独立重复事件求概率，根据分布列写期望；（2）对每盘来说，没出现音乐的概率是，所以出现音乐的概率就是，那么球三盘中至少有一盘出现音乐的对立事件是三盘游戏都没出现音乐，而都没出现音乐的概率是，那么至少有一盘出现音乐的概率就是.试题解析：（1）X 可能的取值为10，20，100，－200． 根据题意，有P （X ＝10）＝，P （X ＝20）＝， P （X ＝100）＝，．所以X 的分布列为：X 的数学期望为EX ＝10×＋20×＋100×－200×＝－（2）设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i （i ＝1，2，3），则 P （A 1A 2A 3）=P （A 1）P （A 2）P （A 3）＝P （X ＝－200）＝．所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1－P （A 1A 2A 3）＝．因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是．【考点】1.独立重复事件的概率；2.对立事件.【方法点睛】对于概率应用题，重点是读懂游戏规则，比如此题，每盘游戏是击鼓3次，每次出现音乐或没有出现音乐的概率都是，这样我们就可以将出现音乐的事件看成独立重复事件，但不属于二项分布，本题问的是得分的概率分布，所以随机变量是得分的情况，而所对应的概率就是其出现音乐此时的概率；对于本题第二问，求三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率可以采用对立事件的概率求法，先求三盘游戏都没有出现音乐的概率，就比较好计算了.。

通辽市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________的倾斜角是( )2．已知点A.3．若直线与互相垂直,则a 的值为( )A.-3B.1C.0或4．正方体中,E 为中点,则直线,所成角的余弦值为( )5．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为( )A. B.C.或 D.或6．平行六面体中,,7．已知点,,直线l 过点,且A ,B 两点在直线l 的同侧,则直线l 斜率的取值范围是( )A. B.20240y +-=(1,1,A -()1:13l ax a y +-=()()2:1233l a x a y -++=1111ABCD A B C D -AB 1A E 1C D ()1,4A 30x y -+=50x y +-=40x y -=50x y +-=40x y -=30x y -+=1111ABCD A B C D -1AB AD ==12AA =BAD ∠=11BAA DAA ∠=∠=1(1,1)A -(3,1)B (1,3)C (1,1)-()(),11,-∞-+∞C. D.8．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为( )A.D.二、多项选择题9．已知向量,,则下列结论中正确的是( )A.若,则,则C.不存在实数,使得 D.若,则10．以下四个命题叙述正确的是( )A.直线在x 轴上的截距是1B.直线和的交点为P ,且P 在直线上,则k 的值是C.设点是直线D.直线,若,则或211．如图，在棱长为2的正方体中，E 为的中点，若一点P 在底面内（包括边界）移动，且满足，则( )A.与平面B.点到C.线段的长度的最大值为(,1)(0,1)-∞- ()()1,01,-+∞ ABC △()0,0A ()5,0B ()2,4C 12y x =-12y x =210y x =-+210y x =-(1,1,)a m =- (2,1,2)b m =--||2a =m =b ⊥1m =-λa bλ=1a b ⋅=-(1,2,2)a b +=-- 210x y -+=0x ky +=2380x y ++=10x y --=12-(,)M x y 2x y +-=1:310L ax y ++=()2:2110L x a y +++=12//L L 3a =-1111ABCD A B C D -BC ABCD 11B P D E ⊥1D E 11CC D 1A 1D E 1B PD.与的数量积的范围是三、填空题12．两平行直线与之间的距离为______________.13．已知空间向量,,向量在向量上的投影向量的坐标为__________.14．在等腰直角三角形ABC 中,,点P 是边AB 上异于A ,B 的一点,光线从点P 出发经BC ,CA 反射后又回到点P ,若光线QR 经过的重心,则的周长是______________.四、解答题15．已知的三个顶点分别为,,,BC 中点为D 点,求：(1)边所在直线的方程(2)边上中线AD 所在直线的方程(3)边的垂直平分线的方程.16．棱长为2的正方体中,E ,F 分别是,的中点,G 在棱CD 上,且,H 是的中点.(1)证明：;(2)求.17．设直线l 的方程为.(1)求证：不论a 为何值,直线l 必过一定点P ;(2)若直线l 分别与x 轴正半轴,y 轴正半轴交于点,,当面积最小时,求此时的直线方程;(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为正整数且a 也为正整数时,求直线l 的方程.PA PE 4,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦210x y --=4230x y -+=()2,2,1a =- ()3,0,4b = a b4AB AC ==ABC △PQR △ABC △()30A -,()2,1B ()2,3C -BC ;BC ;BC 1DD DB 13CG CD =1C G1EF B C ⊥1,cos EF C G 〈〉()()1520a x y a a ++--=∈R (),0A A x ()0,B B y AOB △18．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD ，，，，M 为棱PC 的中点.（1）证明：平面PAD ；（2）若，（i ）求二面角的余弦值；Q 的值；若不存在，说明理由.19．有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中,已知,,点是三角形内一点,现在由于三角板中阴影部分受到损坏,为把损坏部分锯掉,可用经过点的一条直线,将三角板铝成,问：应该如何锯法,即直线斜率为多少时,可使三角板的面积最大？P ABCD -PDC ⊥AD DC ⊥//AB DC 112AB CD AD ===//BM PC =1PD =P DM B --1AB OB ==AB OB ⊥11,24P ⎛⎫⎪⎝⎭P MN AMN △MN AMN △参考答案1．答案：A解析：由题意可知直线故选：A.2．答案：A解析：点关于z 轴的对称点为B ，故选：A.3．答案：D解析：因为,则,即,解得或.故选：D.4．答案：B解析：如图,以D 为坐标原点,,,分别为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则,,,,可得,,则所以直线,故选：B.AB =(1,1,2)A -()1,1,2-=12l l ⊥()()()11230a a a a -+-+=()()130a a -+=1a =3a =-DA DC 1DD ()12,0,2A ()2,1,0E ()0,0,0D ()10,2,2C ()10,1,2A E =- ()10,2,2DC =111111cos ,A E DC A E DC A E DC ⋅===⋅1A E 1C D5．答案：D解析：当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为0,满足题意,又因为直线过点,所以直线方程为,即,,因为点在直线上,,解得,所以直线方程为,故所求直线方程为或.故D 项正确.故选:D 6．答案：A解析：由题意得,故7．答案：A解析：由题意,点,,,根据斜率公式,可得,,如图所示,要使得直线l 过点,且A ,B 两点在直线l 的同侧,则直线l 斜率的取值范围是.故选：A.8．答案：A()1,4A 4=4y x =40x y -=1ya +=-()1,4A 41a =-3a =-30x y -+=40x y -=30x y -+=111BD BA BC BB AB AD AA =++=-++()2222211111222BD AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =-++=++-⋅-⋅+⋅ ππ1140212cos 212cos 33=++--⨯⨯+⨯⨯=1BD = (1,1)A -(3,1)B (1,3)C 1AC k =1EC k =-(1,3)C (1,1)-解析：由重心坐标公式可得：重心，即.由，，可知外心M 在的垂直平分线上，所以设外心解得，则，故欧拉线方程为：，即：故选：A.9．答案：ACD解析：对于A 项,由,解得,故A 项正确;对于B 项,由可得,解得,故B 项错误;对于C 项,假设存在实数,使得,则,所以不存在实数,使得,故C 项正确;对于D 项,由可得,解得,所以,故D 项正确.故选：ACD.10．答案：BC解析：对于A,直线在轴上的截距是052004,33G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭74,33G ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,0A ()5,0B AB 5,2M a ⎛ ⎝=a =55,24M ⎛⎫⎪⎝⎭4513475232GMk -==--417323y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭12y x =-+||2a =2=m =a b ⊥ 2120a b m m ⋅=-+-+=1m =λa b λ= 121(1)2m m λλλλ=-⎧⎪-=-⇒∈∅⎨⎪=⎩λa b λ=1a b ⋅=-2121m m -+-+=-0m =(1,2,2)a b +=-- 210x y -+=x由解得,即,则,解得对于D,当时,直线重合,D 错误.故选：BC.11．答案：ABD解析：如图，以D 为坐标原点，，，分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设，，可得，，若，则，可得，则，解得，即，.对于选项A ：可知平面的法向量，则所以与平面，故A 正确；对于选项B ：因为，238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩12x y =-⎧⎨=-⎩(1,2)P --120k --=k =minOM==2a =12:2310,:2310L x y L x y ++=++=DA DB 1DD ()2,0,0A ()1,2,0E ()12,0,2A ()12,2,2B ()10,0,2D (),,0P x y [],0,2x y ∈()12,2,2B P x y =--- ()11,2,2D E =-11B P D E ⊥()1122240B P D E x y ⋅=-+-+=22x y =-022202y y ≤-≤⎧⎨≤≤⎩01y ≤≤()22,,0P y y -[]0,1y ∈11CC D D ()1,0,0n =1111cos ,13n D E n D E n D E ⋅===⨯⋅1D E 11CC D D ()112,0,0D A =所以点到，故B正确；对于选项C ：因为，且，可得当且仅当，所以线段的长度的最大值为3，故C 错误；对于选项D ：因为，，则且，可知当取到最小值当时，取到最大值1；所以与的数量积的范围是，故D 正确；故选：ABD.解析：由,可得,所以与13．答案：.解析：以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,AC 所在直线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,1A 1D E ==()()12,2,22,2,2B P x y y y =---=---=[]0,1y ∈y =1B P ()2,,0PA y y =- ()21,2,0PE y y =--()()22221255PA PE y y y y y ⎛⎫⋅=---=-- ⎪⎝⎭ []0,1y ∈y =PE ⋅ 1y =PA PE ⋅PA PE 4,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦210x y --=4220x y --=210x y --=423x y -+==68,0,55⎛⎫⎪⎝⎭()()()2222683,01030,43,0,4,40,555⋅+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭+()4,0B ()0,4C ()0,0A所以直线BC 的方程为.设,点P 关于直线BC 的对称点为,点P 关于y 轴的对称点为,易得,,易知直线就是所在的直线.所以直线的方程为.设的重心为G ,则,,即,所以（舍去）或所以,.所以15．答案：(1)(2)(3)解析：(1)故边所在直线的方程为：,化简得到.40x y +-=(),0(04)P t t <<1P 2P ()14,4P t -()2,0P t -12PP RQ RQ ()44ty x t t-=⨯++ABC △44,33G ⎛⎫⎪⎝⎭4443t t t -⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭2340t t -=0t =t =184,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭24,03P ⎛⎫-⎪⎝⎭△=240x y +-=2360x y -+=220x y -+=3122BC k -==--BC ()1122y x -=--240x y +-=(2)中点D 为,即,故故AD 所在直线的方程为,即.(3)故垂直平分线的斜率为,中点为,故垂直平分线的方程为,即.16．答案：(1)见解析解析：(1)如图,以D 为原点,DA ,DC ,分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,因为,,所以,所以,即.(2)因为BC 2213,22-+⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,2()2003AD k -==--223y x =+2360x y -+=BC k =2k =()0,222y x =+220x y -+=1DD D xyz -()0,0,0D ()0,0,1E ()1,1,0F ()0,2,0C ()10,2,2C ()12,2,2B 40,,03G ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1,1EF =- ()12,0,2B C =-- ()()()()()11,1,12,0,21210120EF B C ⋅=-⋅--=⨯-+⨯+-⨯-= 1EF B C ⊥ 1EF B C ⊥120,,23C G ⎛=-- ⎝又且所以17．答案：(1)(2)(3)解析：(1)由得,则,解得,不论a 为何值,直线l 必过一定点;(2)由,当时,,当时,又由,得,,当且仅当,,直线方程为.(3)直线l 在两坐标轴上的截距均为正整数,即,直线l 的方程为.||EF = ()1221,1,10,,2233EF C G ⎛⎫⋅=-⋅--=-= ⎪⎝⎭111cos ,EF C G EF C G EF C G ⋅=== ()2,3P 32120x y +-=390x y +-=()1520a x y a ++--=()250a x x y -++-=2050x x y -=⎧⎨+-=⎩23x y =⎧⎨=⎩∴()2,3P ()1520a x y a ++--=0x =52B y a =+0y =A x =5205201B A y a a x a =+>⎧⎪⎨+=>⎪+⎩1a >-()()152191524112121221212AOB a S a a a a ⎡⎤+⎡⎤∴=⋅+⋅=+++≥=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦△()41a +==()4,0A ∴()0,6B ∴32120x y +-=52+5221a a +=++ 2a =∴390x y +-=18．答案：（1）证明见解析（2）（i ）解析：（1）取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，如图所示：为棱PC 的中点，，，，，，，四边形ABMN 是平行四边形，，又平面PAD，平面PAD ，平面PAD .（2），，，，平面平面ABCD ，平面平面，平面PDC ，平面ABCD ，又AD ，平面ABCD ，，而，，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图：则，，，，M 为棱PC 的中点，，，（i ），，设平面BDM 的一个法向量为，则，令，则，，PQ =M ∴//MN CD 12MN CD = //AB CD 12AB CD =∴//AB MN AB MN =∴∴//BM AN BM ⊄MN ⊂∴//BM PC =1PD =2CD =∴222PC PD CD =+∴PD DC ⊥ PDC ⊥PDC ABCD DC =PD ⊂∴PD ⊥CD ⊂∴PD AD ⊥PD CD ⊥AD DC ⊥∴(0,0,1)P (0,0,0)D (1,0,0)A (0,2,0)C ∴10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1,0B 10,1,2DM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()1,1,0DB = (),,n x y z = 1020n DM y z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩2z =1,1y x =-=∴()1,1,2n =-平面PDM 的一个法向量为，根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为设，，则，，由（2）知平面BDM 的一个法向量为，，.解析：依题意,直线MN 过点且斜率存在,设直线MN 的方程为,,直线OA 的方程为,直线AB 的方程为,由知：,,可得或,由知：,()1,0,0DA = ∴cos ,n DA n DA n DA⋅=== P DM B --P DM B --PQ PA λ=01λ<<(),0,1Q λλ-()1,1,1BQ λλ=--- ()1,1,2n =- ()11212BQ n λλλ⋅=-++-=- =∴λ=PQ =11,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭1142y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭AB ⊥1∴y x =1x =1142y k x y x ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩()()2121,4141k k M k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭0≥1k >12k ≤11421y k x x ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩211,4k N +⎛⎫ ⎪⎝⎭,可得,,且设,,,,则,即,在是增函数,当0≥k ≥12k ∴-≤≤∴()()112121111141422441321AMN k k S AN h k k k ⎡⎤+-⎛⎫⎤⎡==--=-++⎢⎥ ⎪⎥⎢--⎝⎭⎦⎣⎣⎦△()11[414]321AMN S k k ∴=-++-△12k -≤≤131[,]22t k =-∈()4f t t =+12t t ≤<≤()()1212121144f t f t t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1212t t ≤<≤120t t >120t t -<1240t t >()()120f t f t -<()()12f t f t <()f t ∴13[,]22∴t =()f t ==max 1204323⎛⎫=+= ⎪⎝⎭。

内蒙古 2020 版高二上学期数学第一次月考试卷 A 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高二上·菏泽期中) 己知数列 A.4满足，则（）B. C. D. 2. （2 分） (2019 高一下·哈尔滨期中) 在等差数列 中，若 A. B. C. D.，则（）3. （2 分） 公比为 4 的等比数列 中,若 是数列 的前 项积,则有也成等比数列，且公比为 ；类比上述结论，相应的在公差为 3 的等差数列 中，若 是 的前 项和，则有一相应的等差数列，该等差数列的公差为（ ）A . 100B . 200C . 300D . 4004. （2 分） (2016 高一下·齐河期中) 已知等比数列{an}满足：a2=2，a5= ，则公比 q 为（ ）第1页共9页A.﹣B. C . ﹣2 D.25. （2 分） (2019 高二上·江阴期中)与的等比中项是（ ）A.B.C.D.6. （2 分） (2018 高三上·镇海期中) 记 为等差数列 的前 项和，若，，则 等于（ ）A.B.C.D. 7. （2 分） 在等差数列 中,已知 A . 58 B . 88 C . 143,则该数列前 11 项和 （ ）第2页共9页D . 1768. （2 分） 设等差数列 的前 n 项和为 且满足则中最大的项为（ ）A.B.C.D.9. （2 分） (2017 高二上·定州期末) 在等比数列 an 中 a7•a11=6，a4+a14=5，则等于（ ）A.B.C. 或D.或10. （2 分） (2018 高二上·湖南月考) 已知数列 ，若,A . 2019 B . 2018 C . 2017 D . 2016，则=（ ）11. （2 分） 数列的一个通项公式是（ ）A.B.第3页共9页C.D. 12. （2 分） 等差数列 中，已知前 15 项的和， 则 等于（ ）A. B.6C. D . 12二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2016 高一下·高淳期末) 等比数列{an}的公比为 q（q≠0），其前项和为 Sn ， 若 S3 ， S9 ， S6 成等差数列，则 q3=________．14. （1 分） (2013·江苏理) 在正项等比数列{an}中， 的最大正整数 n 的值为________．，a6+a7=3，则满足 a1+a2+…+an＞a1a2…an15. （1 分） 在等比数列{an}中，a3a7=8，则 a5=________．16. （1 分） (2019 高一下·佛山月考) 设数列 的前 项和为 ，且满足，则________．三、 解答题 (共 6 题；共 32 分)17. （5 分） (2018 高一下·瓦房店期末) 已知数列 为等差数列，其前 项和为 ， 若，.（1） 求数列 的通项公式；（2） 求数列 前 项和 .第4页共9页18. （5 分） (2019 高三上·新余月考) 已知在递增的等差数列 (I)求数列 的通项公式；的等比中项(II)若， 为数列 的前 n 项和，求 ．19. （2 分） (2016 高一下·攀枝花期中) 已知正项数列{an}，{bn}满足 a1=3，a2=6，{bn}是等差数列，且对任意正整数 n，都有成等比数列．（1） 求数列{bn}的通项公式；（2） 设，试比较 2Sn 与的大小．20. （5 分） (2018 高二上·南宁月考) 已知等差数列 的前 n 项和 ，且.（1） 求数列 的通项公式 ；（2） 令，求数列 的前 n 项和 ．21. （5 分） (2020 高二下·盐城期末) ①；②；③（ 为常数）这 个条件中选择 个条件，补全下列试题后完成解答，设等差数列正整数，且满足公差，____________.的前 项和为 ，若数列的各项均为（1） 求数列 的通项公式；（2） 令，求数列 的前 项的和.22. （10 分） (2019 高二上·湖北期中) 已知数列中，，，其前 项和 满足.（1） 求证：数列 为等差数列，并求 的通项公式；（2） 设，求数列 的前 项和 .第5页共9页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第6页共9页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 32 分)17-1、 17-2、18-1、19-1、19-2、 20-1、第7页共9页20-2、21-1、21-2、 22-1、第8页共9页22-2、第9页共9页。