第九章动力学微分方程(陆)

利用微分方程解决动力学问题微分方程是描述自然界中各种变化过程的重要工具，它在各个学科领域中都有广泛的应用。

动力学问题是其中之一，它研究物体在外力作用下的运动规律。

利用微分方程来解决动力学问题，可以有效地描述物体的运动特性，为工程设计和科学研究提供了有力支持。

本文将以解决动力学问题为主题，讨论利用微分方程来描述和求解物体的运动规律。

一、动力学问题的基本概念在解决动力学问题之前，我们首先要了解一些基本概念。

动力学研究的对象是物体在力的作用下的运动规律。

力可以分为两种类型：作用力和约束力。

作用力是直接作用于物体的力，如重力、电磁力等；约束力则是限制物体运动的力，如支持力、摩擦力等。

二、运动的描述为了描述物体的运动，我们需要引入一些基本概念。

位移是描述物体位置改变的概念，通常用矢量来表示。

速度则是位移随时间的变化率，是标量还是矢量取决于物体所处的运动状态。

加速度是速度随时间的变化率，也是标量还是矢量取决于物体所处的运动状态。

三、运动的微分方程表示动力学问题可以用微分方程来表示。

例如，当物体受到外力作用时，根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比。

即可以得到微分方程：\[m\frac{{d^2x(t)}}{{dt^2}} = F(t)\]其中，m为物体的质量，x(t)为物体的位移函数，F(t)为作用力函数。

四、常见动力学问题的解决方法解决动力学问题的一般方法是求解微分方程。

对于简单的情况，可以直接求解微分方程，得到位移函数或速度函数。

例如，当作用力F(t)是一个常量时，上述微分方程可以直接求解，得到物体的运动方程。

然而，在实际问题中，往往会遇到更加复杂的情况。

这时，我们可以利用数值方法来求解微分方程。

常用的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。

这些方法通过迭代计算近似解，可以得到物体的运动规律。

五、实例分析为了更好地理解利用微分方程解决动力学问题的方法，我们以一个简单的实例来说明。

假设有一质点在水平面上运动，受到弹簧的拉力作用。

动力学方程的解法动力学方程是描述物体或系统运动中的力学规律的方程。

解决动力学方程是研究物体运动行为的重要方法之一。

本文将介绍两种常见的解动力学方程的方法：分离变量法和拉普拉斯变换法。

分离变量法是一种基本的解微分方程的方法。

对于形如dy/dx =f(x)g(y)的一阶常微分方程，可以采用分离变量法求解。

假设f(x)和g(y)在给定区间内连续，并且g(y)不恒为0，则可以将dy/g(y) = f(x)dx两侧同时积分，得到∫dy/g(y) = ∫f(x)dx。

通过对方程两侧的积分，我们可以将原方程分离成两个独立的变量，并将其求解得到解析解。

举例来说，考虑一个简单的动力学方程：m*d²x/dt² = f(x)。

其中，m 是物体的质量，x是物体的位置，f(x)是描述作用在物体上的力的函数。

将动力学方程改写为d²x/dt² = (1/m)f(x)，我们可以使用分离变量法解决此方程。

假设物体从t=0时刻开始，在初始时刻t=0，物体的位置为x0，速度为v0。

我们可以将方程分离为d²x/f(x) = (1/m)dt，并对两侧进行积分，得到∫d²x/f(x) = (1/m)∫dt。

然后，我们可以通过对方程两侧的积分求解x(t)。

拉普拉斯变换法是另一种常用的解微分方程的方法。

对于线性时不变系统，可以使用拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程，并通过求解代数方程得到解析解。

假设我们需要求解一个形如d²x/dt² +a*dx/dt + b*x = F(t)的二阶常系数线性微分方程，其中a和b是常数，F(t)是描述作用在物体上的外力函数。

应用拉普拉斯变换，我们可以将方程转化为(s²X(s) - s*x(0) - v(0)) + a(sX(s) - x(0)) + bX(s) = F(s)。

通过代数方法，我们可以求解得到X(s)，然后再应用拉普拉斯反变换，将X(s)转化为x(t)，得到方程的解析解。

药代动力学12 第九章药代动力学与药效学动力学结合模型第九章药代动力学与药效动力学结合模型第一节概述药代动力学(Pharmacokinetics, PK)和药效动力学(Pharmacodynamics,PD) 是按时间同步进行着的两个密切相关的动力学过程,前者着重阐明机体对药物的作用,即药物在体内的吸收、分布、代谢和排泄及其经时过程;后者描述药物对机体的作用,即效应随着时间和浓度而变化的动力学过程,后者更具有临床实际意义。

传统的药效动力学主要在离体的水平进行,此时药物的浓度和效应呈现出一一对应的关系,根据药物的量效关系可以求得其相应的药效动力学参数,如亲和力和内在活性等。

但药物的作用在体内受到诸多因素的影响,因而其在体内的动力学过程较为复杂。

以往对于药动学和药效学的研究是分别进行的,但实际上药动学和药效学是两个密切相关的动力学过程,两者之间存在着必然的内在联系。

早期的临床药动学研究通过对治疗药物的血药浓度的监测(TherapeuticDrug Monitoring, TDM)来监测药物效应变化情况,其理论基础是药物的浓度和效应呈现出一一对应的关系,这一关系是建立在体外研究的基础之上的,这里所说的浓度实际上是作用部位的浓度,但在临床研究中我们不可能直接测得作用部位的药物浓度,因而常常用血药浓度来代替作用部位的浓度。

随着药代动力学和药效动力学研究的不断深入人们逐渐发现药物在体内的效应动力学过程极为复杂,其血药浓度和效应之间并非简单的一一对应关系,出现了许多按传统理论无法解释的现象,如效应的峰值明显滞后于血药浓度峰值,药物效应的持续时间明显长于其在血浆中的滞留时间,有时血药浓度和效应的曲线并非像在体外药效动力学研究中观察到的 S形曲线,而是呈现出一个逆时针滞后环。

进一步研究发现血药浓度的变化并不一定平行于作用部位药物浓度的变化,因而出现了上述的一些现象,所以在体内不能用血药浓度简单地代替作用部位的浓度来反映药物效应的变化情况。

网上作业系统1、告知作业网站的网址：222.18.54.19\homework。

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20121121例7-11 导槽滑块机构。

已知：曲柄OA = r ，匀角速度ω转动，连杆AB 的中点C 处连接一滑块C 可沿导槽O 1D 滑动，AB =l ，图示瞬时O 、A 、O 1三点在同一水平线上, OA ⊥AB , ∠AO 1C =θ=300。

求：该瞬时O 1D 的角速度角加速度。

【解】OA , O 1D 均作定轴转动, AB 作平面运动。

（1）研究AB : , 图示位置, 作瞬时平动, 所以ωωr v v r v A c B ===;ωr v A =（2）用合成运动方法，求O 1D 杆上与滑块C接触的点的速度。

动点: AB 杆上C (或滑块C ),动系: O 1D 杆, 静系: 机架绝对运动：曲线运动，方向↓相对运动：直线运动，，方向// O 1D牵连运动：定轴转动，，方向⊥O 1Dωr v v c a ==?=r v ?=e v根据，作速度平行四边形r e a v v v +=ωωθr r v v C e 2330cos cos ==⋅=∴ ωθωωωl r l r C O v C O v e D O D O e 23sin /2231111===∴⋅= 又这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题。

注意事项1、一定要多做题2、讲课顺序基本按照课本顺序；3、做作业时把作业写在纸上，交作业纸，不要交作业本。

不一定要把题全抄写，写清题意即可；但解题过程应尽量详细，养成一个良好习惯；不允许抄袭作业。

做作业时注意应该：单独取出研究对象，所取物体应标注名称、符号，每个力应有标号；画受力图；4、交作业时间为每周周一，要求每人都做作业，但不一定每次都要求全部交，按照要求交。

练习9.11.指出下列微分方程的阶数：解：(1)一阶 (2)一阶 (3)一阶 (4)二阶2.验证下列各函数是否为所给微分方程的解，并指出哪些是特解哪些是通解。

（21,,C C C 为任意常数）解：(1)通解 (2)特解 (3) 不是解 (4)不是解3.写出以下列函数为通解的微分方程，其中21,,C C C 为任意常数 解：(1)直接求式子求导,可得0)(22=+'−y y yx x(2)直接求式子求导,可得02=−'+''y y y练习9.21.求下列各微分方程的通解或在给定初值条件下的特解：(1)解：xdx ydy sin =两边同时积分-cosx 1cos lny e c y c x =⇒+−=（2）解：22ln 2x e c y c x y xdx ydy⋅=⇒+=⇒=积分（3）解法一：cy x c y x cxy y x xy d dy dx =+−=+−⇒=+−⇒=+−)1)(1()1)(1(0)(或解法二：cy x cc d d x y x dxy dy =+−⇒=⇒+=⇒−=−=+=−=+)1)(1(1ln ln 1,111ξηξηξξηηξη令（4） 解：0011tan cos 0,4)0(22=⇒=+=⇒+=⇒===c c c e x dt e xdx t x t令π故t t e x e x arctan ,tan ==（5）解：dy e e dx e e x y y x )1()1(++−ce e ce e e dy dx e dy e dx e x y y x x y y x y x =+−⇒=+−⇒=+++−⇒++)1)(1(0)(（6）解：1232323230)1()1(c y y x x dy y y dx x x =−−+⇒=+−+c y y x x =−−+⇒23233232e y e xx 2O学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MO O C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M OOC令)1ln(21)1ln(211)1(,1e c c e y x +−=⇒++=⇒==由 故)1ln(21)1ln(22e e y x +−++=（8）解：c x y x dx y dy =+⇒=++arctan ln 012令4401)1(,1ππ=⇒=+⇒==c c y x 由故4arctan ln π=+x y2．求下列各微分方程的通解或特解：（1）解：u dxdux dx dy x y u x y x y dx dy +=⇒=−=令112ln )2ln(211c x u u u u u dx du x +=−⇒−=+⇒c y xy x c u u =−⇒⋅=−⇒22222（2）解：令xyu =)ln(0)ln(0)ln(ln ln =+=+⇒=+⇒+=⇒=⇒+=+=−−−−xyxy u u u u ecx ecx e cx c x e x dx edu u e u dx du x dx dy 故原方程的通解为：（3）解：令012=+−−+⇒=u u u dxdux x y u 122ln )1ln(1c x u u xdxu du+=++⇒=+⇒22221cx y x y cx u u =++⇒=++⇒（4）解：令c x u u dx du x x y u +=⇒=⇒=ln 2tan ln sin 01ln 1ln 2,1=⇒+=⇒==c c u x π令x x y x u arctan 2arctan 2=⇒=⇒（5）解：令 u dydu y dy dx y x u +⋅==则 化简得 uu dy du y u u u dy du y 25123122−=⋅⇒−=+⋅ c y u dy udu +=−−⇒=⇒ln 51ln 122 O 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MO O C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M OOC令00)0(,1)0(0====c u y x 得则 故151)51(32552=−⇒=−y x y yu （6）解： xyu xy x y dx dy =+−=令,11则11112+−−=⇒+−=+u u dx du x u u dx du x u 令 c x u u x dx u du u +=−+−⇒=++−⇒ln arctan 1ln 21)1()1(22令0,0)1(,0)1(,1====c u y x 得则故 0arctan 2)ln(ln 2arctan 2ln ln arctan 1ln 21222222=++⇒−=++⇒=−+−xyy x x x yxy x x u u 3．求下列微分方程的通解：(1)解：令y x z −= zz z z dx dy dx dz 22211+=++=−= ()()()c x y x n y cx z n z dx z zdz+=+−−−+=+−⇒=+⇒12112 故原方程的通解为： )(1y x ce y x +−=+− （2）解：373737++−−−=y x y x dx dy 0407337≠=−−=∆⎩⎨⎧=+=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=++−=−−ηξy x y x y x y x 1010********0故令 得ξξξξηξηξξηξηd du u u d du u d d u =−−=+⇒+−−==277377337令 cy x y x cc u u c u u u cuu u =−+−−⇒=−+⇒=−+⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−⇒+=−+−−−⇒5225727527322)1()1()()()1()1(11)1(ln 11ln 1431ln 21ηξξηξξξ （3）解：0111=−−=∆−−−=y x dyO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOO C中国大学M OOC令 1221211−−=−−−+=+=z z z z dx dz yx z cy x y x c x z z dx dz z z =−++++=−+⇒=−−2ln 32 2ln 32212即 （4）解：051=∆++−++−=y x y x dx dy令 54511+−=+++−=−=z z z dx dz xy z c x y x y c x z z dx dz z =−+−⇒+−=+⇒−=+52)(4524)5(22（5）解：分离变量得01122=++−yydyx xdx 两边积分得1221ln 211ln 21C y x =++−−得通解为C xy =−+2211 （6）解：变形得 0223=+x y dydxy 分离变量得并积分得21yCx = 变易常数C ，即令21)(y y C x =，代入原方程有y y C 1)(='， 积分得C y y C +=ln )( 得通解为)(ln 12C y yx +=4．求下列各微分方程的通解或在给定初值条件下的特解：（1）解：()()cdx e x e c dx e x e y x x x dx+⋅=+⋅⎰=⎰⎰−−222244分部积分()[]x x x e c x c x e e 2221212−−⋅+−=+−=（2）解：利用函数变量法：令 x e x Q x p −==)(1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰−c dx e x Q e y dx x p dx x p )()()( []()c x e c dx e e e x x x x +=+⋅=−−−⎰ （3）解：cos sin cos c dx e e e y xdx x xdx⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=−−⎰O学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC（4）解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰−⎰=⎰−−−c dx e x x e y dx x xdx x x 12212221cos []1sin 1cos 11222−+−=+−=⎰x xx c c xdx x（5）解：01212=+−+yy dy dx 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅−⎰=⎰⎰−+−−−c y dy e e c y dy e ex y y y y dy yy21)ln 21(2121)1( y yye cy y c e e y 122112+−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−⋅=（6）解：c t x t dt x dx ++=+⇒+=+)2ln()13ln(31213 令0)0(,0==x t ，得2ln −=c故()()2211331+=+t x （7）解：[]x c e c dx e x c dx e x e e y xx x dx x x dx +=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=⎰⎰−1 令1)2(,2==y x ，即22221e c ce −=⇒+= 故xe e y x 22−+=（8）解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−−−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−−⎰=⎰⎰−−−−c dx x x x x x x x c dx e x x x e y x x dxx x dx 11)12(11)12()1()1( [][]c x x x x c dx x x x +−−=+−−=⎰21)12(1 令4)2(,2==y x ，即0)24(24=⇒+−=c c故2x y =5．求下列方程的通解：（1）解：23x y yx dydx+= 令1−=x z ，则dydx x dy dz 21−= O学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC 中国大学MO OC中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOOC331y yz y ydy dz −−=−−= 22222232322222)2()2( y y y y y ydyydy ce y c y e ec dy e y ec dy e y e z −−−−−+−−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=⎰⎰即：1)2(222=+−−y cex y（2）解： 令3−=y z ，则24333x z xdy dx y dx dz −=−=− []c x x c dx x x c dx e x e z dx x dx x +−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−⎰=⎰⎰−ln 3 3333333 即：1)ln 3(33=−x c y x（3）解：xy x dy dx 2−= 令2x z =，则dydx x dy dz 2=y z y x dydz42422−=−= 故[][]yce c y e e c dy ye e x c dy e y e z y y y y y dy dy21)21(4 422222222++=++=+−=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−⎰=−−−⎰⎰（4）解： 令x z 1=，则y yz dydxx dy dz −−=−=312 311)(23232323332222−=⇒+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−⎰=−−−−⎰⎰y y y y ydy ydy cexc e c dy e y e c dy e y e z（5）解： 令xyu =，则u u u u x tan +=+' cx x y cx u cx u dx xudu u dx xdu arcsin sin ln ln sin ln 1cot tan =⇒=⇒+=⇒=⇒=⇒（6）解：其对应的齐次方程分离变量得xdx y dy −= O 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC 中国大学MO OC中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOOC中国大学M OOC积分得c x y ln ln ln +−=将c 常数变易为)(x c ，代入得xx c 1)(='，积分得c x x c +=ln )( 于是原方程的通解为)(ln 1c x xy +=6．不作要求。

数学中的微分方程与动力学研究一、引言微分方程与动力学是数学中非常重要的领域。

它们在物理学、工程学、生物学和经济学等多个领域都得到了广泛的应用。

本文将重点介绍微分方程和动力学的基本概念和应用。

二、微分方程微分方程是以未知函数及其导数之间的关系式为主要内容的方程。

微分方程主要分为常微分方程和偏微分方程两大类。

1. 常微分方程常微分方程是仅涉及一个独立变数的微分方程。

它可以表示为：$$ \frac{dy}{dx}=f(x,y) $$其中$y=y(x)$是未知函数，$f(x,y)$是已知函数。

常微分方程是微积分的基础，也是数学分析的核心内容。

它们在物理、化学和生物学等领域有广泛的应用。

2. 偏微分方程偏微分方程是涉及多个独立变数的微分方程。

例如，波动方程和热传导方程是偏微分方程的典型代表。

它们描述的是空间和时间各变量之间的关系。

偏微分方程在工程学和物理学中有着重要的应用。

三、动力学动力学是描述物体运动和力学规律的学科，它主要分为牛顿力学、量子力学和相对论三大类。

1. 牛顿力学牛顿力学是经典力学的基础。

它描述的是经典物体在空间和时间中的运动。

牛顿三大定律和万有引力定律被广泛应用于天文学、机械学和流体力学等领域。

2. 量子力学量子力学是描述微观粒子和它们之间相互作用的物理学。

它是一种基本理论，涵盖了电子、原子核和光子等微观粒子的行为。

在材料科学、纳米科技和半导体器件中，量子力学也有着重要的应用。

3. 相对论相对论是描述物体运动的纪律。

它描述的是运动物体与坐在相对静止的观察者之间的关系，它包含了爱因斯坦提出的相对论的两个部分：狭义相对论和广义相对论。

相对论在宇宙学、引力波和宏观物理学等领域有着广泛的应用。

四、微分方程与动力学研究微分方程与动力学研究建立了数学、物理和工程学之间的联系。

它们的重要性在于将实际问题抽象为一个微分方程，用数学方法进行求解。

下面我们将介绍微分方程与动力学在不同领域中的应用。

1. 物理学中的应用微分方程与动力学在物理学中应用广泛。