江苏省苏州中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题

2020-2021学年江苏省苏州中学高三（上）调研数学试卷（10月份）试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={x|x2-x-2≤0}.B={x|y= √x} .则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤2}B.{x|0≤x≤2}C.{x|x≥-1}D.{x|x≥0}2.（单选题.5分）已知sin(α−π4)=35. α∈(0，π2) .则cosα=（）A. √210B. 3√210C. √22D. 7√2103.（单选题.5分）若b＜a＜0.则下列不等式：① |a|＞|b|；② a+b＜ab；③ a2b＜2a−b中.正确的不等式的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个4.（单选题.5分）函数f（x）=ax2+bx（a＞0.b＞0）在点（1.f（1））处的切线斜率为2.则8a+bab的最小值是（）A.10B.9C.8D. 3√25.（单选题.5分）Logistic模型是常用数学模型之一.可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）= K1+e−0.23(t−53).其中K为最大确诊病例数．当I（t*）=0.95K时.标志着已初步遏制疫情.则t*约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.696.（单选题.5分）已知函数f(x)={xlnx，x＞0xe x，x≤0则函数y=f（1-x）的图象大致是（）A.B.C.D.7.（单选题.5分）若定义在R上的奇函数f（x）满足对任意的x∈R.都有f（x+2）=-f（x）成立.且f（1）=8.则f（2019）.f（2020）.f（2021）的大小关系是（）A.f（2019）＜f（2020）＜f（2021）B.f（2019）＞f（2020）＞f（2021）C.f（2020）＞f（2019）＞f（2021）D.f（2020）＜f（2021）＜f（2019）8.（单选题.5分）地面上有两座相距120m的塔.在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α.在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α2.且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角.则两塔的高度分别为（）A.50m.100mB.40m.90mC.40m.50mD.30m.40m9.（多选题.5分）等腰直角三角形直角边长为1.现将该三角形绕其某一边旋转一周.则所形成的几何体的表面积可以为（ ） A. √2π B. (1+√2)π C. 2√2π D. (2+√2π)10.（多选题.5分）关于x 的不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0的解集中恰有3个整数.则a 的值可以为（ ） A.2 B.1 C.-1 D. −1211.（多选题.5分）声音是由物体振动产生的声波.其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y=Asinωt .我们听到的声音是由纯音合成的.称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数 f (x )=sinx +12sin2x .则下列结论正确的是（ ） A.2π是f （x ）的一个周期 B.f （x ）在[0.2π]上有3个零点 C.f （x ）的最大值为3√34D.f （x ）在 [0，π2] 上是增函数12.（多选题.5分）对于具有相同定义域D 的函数f （x ）和g （x ）.若存在函数h （x ）=kx+b （k.b 为常数）对任给的正数m.存在相应的x 0∈D 使得当x∈D 且x ＞x 0时.总有 {0＜f (x )−ℎ(x )＜m 0＜ℎ(x )−g (x )＜m.则称直线l ：y=kx+b 为曲线y=f （x ）和y=g （x ）的“分渐近线”．下列定义域均为D={x|x ＞1}的四组函数中.曲线y=f （x ）和y=g （x ）存在“分渐近线”的是（ ） A.f （x ）=x 2.g （x ）= √x B.f （x ）=10-x +2.g （x ）= 2x−3xC.f （x ）=x 2+1x .g （x ）= xlnx+1lnxD.f（x）= 2x2x+1.g（x）=2（x-1-e-x）13.（填空题.5分）若二次函数f（x）=-x2+2ax+4a+1有一个零点小于-1.一个零点大于3.则实数a的取值范围是___ ．14.（填空题.5分）在整数集Z中.被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”.记为[k].即[k]={5n+k|n∈Z}.k=0.1.2.3.4．给出如下四个结论：① 2014∈[4]；② -3∈[3]；③ Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④ 整数a.b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．其中.正确的结论是___ ．15.（填空题.5分）已知sinθ+cosθ= 713.θ∈（0.π）.则tanθ=___ ．16.（填空题.5分）已知A、B、C是平面上任意三点.BC=a.CA=b.AB=c.则y=ca+b +bc的最小值是___ ．17.（问答题.10分）已知集合A={x|y=log2（-4x2+15x-9）.x∈R}.B={x||x-m|≥1.x∈R}．（1）求集合A；（2）若p：x∈A.q：x∈B.且p是q的充分不必要条件.求实数m的取值范围．18.（问答题.12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π2）的部分图象如图所示.其中点P（1.2）为函数图象的一个最高点.Q（4.0）为函数图象与x轴的一个交点.O为坐标原点．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位得到y=g（x）的图象.求函数h（x）=f（x）•g（x）图象的对称中心．19.（问答题.12分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形.点O为AC中点.平面AA1C1C⊥平面ABC．（1）证明：A1O⊥平面ABC；（2）求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值．20.（问答题.12分）已知函数f（x）=x2+（x-1）|x-a|．（1）若a=-1.解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增.求实数a的取值范围；（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立.求a的取值范围．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy中.已知椭圆x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B.焦距为2.直线l与椭圆交于C.D两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时.四边形ACBD的面积为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线AC.BD的斜率分别为k1.k2．① k2=3k1.求证：直线l过定点；② 若直线l过椭圆的右焦点F.试判断k1k2是否为定值.并说明理由．22.（问答题.12分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）.其中a∈R. （Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数.并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0.f（x）≥0成立.求a的取值范围．2020-2021学年江苏省苏州中学高三（上）调研数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={x|x2-x-2≤0}.B={x|y= √x} .则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤2}B.{x|0≤x≤2}C.{x|x≥-1}D.{x|x≥0}【正确答案】：C【解析】：推导出集合A.B.由此能求出A∪B．【解答】：解：∵集合A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}.B={x|y= √x}={x|x≥0}.∴A∪B={x|x≥-1}．故选：C．【点评】：本题考查并集的求法.考查并集定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（单选题.5分）已知sin(α−π4)=35. α∈(0，π2) .则cosα=（）A. √210B. 3√210C. √22D. 7√210【正确答案】：A【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（α- π4）的值.进而根据α=（α- π4）+π4.利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．【解答】：解：因为sin(α−π4)=35. α∈(0，π2) .所以α- π4∈（- π4.- π4）.可得cos（α- π4）= √1−sin2(α−π4) = 45.则cosα=cos[（α- π4）+ π4]=cos（α- π4）cos π4-sin（α- π4）sin π4= 45× √22- 35×√22= √210．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式.两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用.考查了计算能力和转化思想.属于基础题．3.（单选题.5分）若b＜a＜0.则下列不等式：① |a|＞|b|；② a+b＜ab；③ a2b＜2a−b中.正确的不等式的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：C【解析】：利用不等式的性质逐一判断.即可得结论．【解答】：解：若b＜a＜0.则|b|＞|a|.故① 错误；若b＜a＜0.则a+b＜0.ab＞0.∴a+b＜ab.故② 正确；a2 b -（2a-b）= a2−2ab+b2b= (a−b)2b.由（a-b）2＞0.b＜0.∴ (a−b)2b ＜0.即a2b＜2a−b .故③ 正确．故正确的不等式有2个．故选：C．【点评】：本题主要考查不等式的基本性质.及作差法比较大小的应用.属于基础题．4.（单选题.5分）函数f（x）=ax2+bx（a＞0.b＞0）在点（1.f（1））处的切线斜率为2.则8a+bab的最小值是（）A.10B.9C.8D. 3√2【正确答案】：B【解析】：求出原函数的导函数.由f′（1）=2a+b=2.得a+b2=1 .把8a+bab变形为8b+1a后整体乘以1.展开后利用基本不等式求最小值．【解答】：解：由f（x）=ax2+bx.得f′（x）=2ax+b.又f（x）=ax2+bx（a＞0.b＞0）在点（1.f（1））处的切线斜率为2. 所以f′（1）=2a+b=2.即a+b2=1．则8a+bab = 8b+1a=(a+b2)(8b+1a)=8ab+b2a+5≥2√8ab•b2a+5=9．当且仅当{2a+b=28ab=b2a.即{a=13b=43时“=”成立．所以8a+bab的最小值是9．故选：B．【点评】：本题考查了导数的运算.考查了利用基本不等式求最值.考查了学生灵活变换和处理问题的能力.是中档题．5.（单选题.5分）Logistic模型是常用数学模型之一.可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）= K1+e−0.23(t−53).其中K为最大确诊病例数．当I（t*）=0.95K时.标志着已初步遏制疫情.则t*约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69【正确答案】：C【解析】：根据所给材料的公式列出方程K1+e−0.23(t∗−53)=0.95K.解出t即可．【解答】：解：由已知可得K1+e−0.23(t∗−53) =0.95K.解得e-0.23（t*-53）= 119.两边取对数有-0.23（t*-53）=-ln19.解得t*≈66.故选：C．【点评】：本题考查函数模型的实际应用.考查学生计算能力.属于中档题6.（单选题.5分）已知函数f(x)={xlnx，x＞0xe x，x≤0则函数y=f（1-x）的图象大致是（）A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：利用导数分析出f（x）的单调性.进而得到f（x）图象示意图.再根据f（1-x）图象与f（x）图象的关系即可进行判断【解答】：解：当x＞0时.f（x）=xlnx.则令f′（x）=lnx+1=0.解得x= 1e.所以当0＜x＜1e 时.f（x）单调递减.x＞1e时.f（x）单调递增.当x≤0时.f（x）= xe x .则令f′（x）= 1−xe x≥0.所以当x≤0时.f（x）单调递增.作出函数f（x）的图象如图：又因为f（1-x）的图象时将f（x）图象先关于y轴对称.再向右移动一个单位得到的.故根据f（x）图象可值f（1-x）图象为故选：B．【点评】：本题考查函数图象的变换.涉及导数判断函数单调性.数形结合思想.属于中档题．7.（单选题.5分）若定义在R上的奇函数f（x）满足对任意的x∈R.都有f（x+2）=-f（x）成立.且f（1）=8.则f（2019）.f（2020）.f（2021）的大小关系是（）A.f（2019）＜f（2020）＜f（2021）B.f（2019）＞f（2020）＞f（2021）C.f（2020）＞f（2019）＞f（2021）D.f（2020）＜f（2021）＜f（2019）【正确答案】：A【解析】：根据题意.分析可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x）.即函数f（x）是周期为4的周期函数.由此结合函数的奇偶性可得f（2019）、f（2020）和f（2021）的值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.函数f（x）满足对任意的x∈R.都有f（x+2）=-f（x）成立.则有f（x+4）=-f（x+2）=f（x）.即函数f（x）是周期为4的周期函数.f（2020）=f（0+4×505）=f（0）=0.f（2021）=f（1+4×505）=f（1）=8.f（2019）=f（-1+4×505）=f（-1）=-f（1）=-8.故有f（2019）＜f（2020）＜f（2021）.故选：A．【点评】：本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用.注意分析函数的周期.属于基础题． 8.（单选题.5分）地面上有两座相距120m 的塔.在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α.在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为 α2.且在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角.则两塔的高度分别为（ ） A.50m.100m B.40m.90m C.40m.50m D.30m.40m 【正确答案】：B【解析】：由题意如图所示.分别在两个三角形中求出AB.CD 用α的表示的代数式.再由在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角.可得OA⊥OC .可得tan∠AOB•tan∠COD=1.进而可得AB.CD 的关系.求出AB.CD 的值【解答】：解：设AB.CD 分别为两个塔.BD=120m.O 为BD 的中点. 由题意如图所示：可得AB=BD•tan α2 =120•tan α2 . CD=BD•tanα=120•tanα=120 •2tanα21−tan 2α2.因为在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角.可得OA⊥OC . tan∠AOB•tan∠COD=1. 即 AB 12BD•CD 12BD=1.所以 AB•CD12×120×12×120=1.即AB•CD=602. 而AB•CD=120•tan α2 •120 •2tan α21−tan 2α2. 所以1=8tan 2α21−tan 2α2.tan α2 ＞0.解得tan α2 = 13 .所以AB=120×tan α2 =40. CD=120×2tanα21−tan 2α2=90.故选：B ．【点评】：本题考查正切的二倍角公式的应用及互相垂直的直线的应用.属于中档题．9.（多选题.5分）等腰直角三角形直角边长为1.现将该三角形绕其某一边旋转一周.则所形成的几何体的表面积可以为（）A. √2πB. (1+√2)πC. 2√2πD. (2+√2π)【正确答案】：AB【解析】：分两个情况绕的边为直角边和斜边讨论.当绕的边是直角边是.所形成的几何体的表面积为底面面积加侧面面积.当绕斜边时扇形面积既是所形成的几何体的表面积.而扇形面积等于12×c底面周长×l母线长.进而求出所形成的几何体的表面积．【解答】：解：若绕一条直角边旋转一周时.则圆锥的底面半径为1.高为1.所以母线长l= √2 .这时表面积为12•2π•1•l+π•12=（1+ √2）π；若绕斜边一周时旋转体为两个底对底的圆锥组合在一起.且由题意底面半径为√22.一个圆锥的母线长为1.所以表面积S=2 •12 2 π•√22•1= √2π .综上所述该几何体的表面积为√2π .（1+ √2）π.故选：AB．【点评】：考查旋转体的表面积.属于中档题．10.（多选题.5分）关于x的不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0的解集中恰有3个整数.则a的值可以为（）A.2B.1C.-1D. −12【正确答案】：CD【解析】：利用已知条件判断a的符号.求出不等式对应方程的根.然后列出不等式求解即可．【解答】：解：关于x的不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0的解集中恰有3个整数.所以a＜0.因为a≥0时.不等式的解集中的整数有无数多个．不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0.对应的方程为：（ax-1）（x+2a-1）=0.方程的根为：1a和1-2a；由题意知. 1a＜0.则1-2a≤3.解得a≥-1；当a=-1时.不等式的解集是（-1.3）.解集中含有3个整数：0.1.2；满足题意．当a=- 12时.不等式的解集是（-2.2）.解集中含有3个整数：-1.0.1；满足题意．当a∈（-1.- 12）时.不等式的解集是（1a.1-2a）.解集中含有4个整数：-1.0.1.2；不满足题意．当a∈（- 12 .0）时.不等式的解集是（1a.1-2a）.解集中含有整数个数多于4个.不满足题意．综上知.a的值可以是-1和12．故选：CD．【点评】：本题主要考查了一元二次不等式的解法与应用问题.也考查了分类讨论思想.是中档题．11.（多选题.5分）声音是由物体振动产生的声波.其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y=Asinωt.我们听到的声音是由纯音合成的.称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+12sin2x .则下列结论正确的是（）A.2π是f（x）的一个周期B.f（x）在[0.2π]上有3个零点C.f（x）的最大值为3√34D.f（x）在[0，π2]上是增函数【正确答案】：ABC【解析】：求出函数y=sinx与y= 12sin2x的周期.取最小公倍数求原函数的周期判断A；求出函数的零点个数判断B；利用导数求最值判断C；举例说明D错误．【解答】：解：∵y=sinx的周期为2π.y= 12sin2x的周期为π.∴ f(x)=sinx+12sin2x的周期为2π.故A正确；由 f (x )=sinx +12sin2x =0.得sinx+sinxcosx=0.得sinx=0或cosx=-1. ∵x∈[0.2π].∴x=0.x=π.x=2π.则f （x ）在[0.2π]上有3个零点.故B 正确； 函数 f (x )=sinx +12sin2x 的最大值在[0. π2 ]上取得.由f′（x ）=cosx+cos2x=2cos 2x+cosx-1=0.可得cosx= 12.当x∈（0. π3）时.cosx 单调递减.原函数单调递增.当x∈（ π3 . π2 ）时.cosx 单调递减.原函数单调递减.则当x= π3 时.原函数求得最大值为sin π3 +12sin 2π3 = 3√34.故C 正确；∵f （ π4 ）=sin π4 + 12sin π2 = √2+12 ＞1.f （ π2 ）=sin π2+ 12sinπ =1.∴f （x ）在 [0，π2] 上不是增函数.故D 错误． 故选：ABC ．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用.考查三角函数的图象与性质.训练了利用导数求最值.属难题．12.（多选题.5分）对于具有相同定义域D 的函数f （x ）和g （x ）.若存在函数h （x ）=kx+b （k.b 为常数）对任给的正数m.存在相应的x 0∈D 使得当x∈D 且x ＞x 0时.总有 {0＜f (x )−ℎ(x )＜m 0＜ℎ(x )−g (x )＜m.则称直线l ：y=kx+b 为曲线y=f （x ）和y=g （x ）的“分渐近线”．下列定义域均为D={x|x ＞1}的四组函数中.曲线y=f （x ）和y=g （x ）存在“分渐近线”的是（ ） A.f （x ）=x 2.g （x ）= √x B.f （x ）=10-x +2.g （x ）= 2x−3xC.f （x ）=x 2+1x .g （x ）= xlnx+1lnxD.f （x ）= 2x 2x+1.g （x ）=2（x-1-e -x ）【正确答案】：BD【解析】：本题从大学数列极限定义的角度出发.仿造构造了分渐近线函数.目的是考查学生分析问题、解决问题的能力.考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时.f （x ）-g （x ）→0进行作答.是一道好题.思维灵活.要透过现象看本质．【解答】：解：f （x ）和g （x ）存在分渐近线的充要条件是x→∞时.f （x ）-g （x ）→0． f （x ）=x 2.g （x ）= √x .当x ＞1时便不符合.所以A 不存在；对于B.f （x ）=10-x +2.g （x ）= 2x−3x肯定存在分渐近线.因为当时.f （x ）-g （x ）→0； 对于C.f （x ）= x 2+1x .g （x ）= xlnx+1lnx . f (x )−g (x )=1x −1lnx .设λ（x ）=x-lnx. λn (x )=1x 2 ＞0.且lnx ＜x.所以当x→∞时x-lnx 越来愈大.从而f （x ）-g （x ）会越来越小.不会趋近于0. 所以不存在分渐近线； 对于D.f （x ）= 2x 2x+1 .g （x ）=2（x-1-e -x ）.当x→+∞时. f (x )−g (x )=−21+1x+2+2e x →0 .故选：BD ．【点评】：本题较难.涉及到部分大学内容.属于拓展类题目13.（填空题.5分）若二次函数f （x ）=-x 2+2ax+4a+1有一个零点小于-1.一个零点大于3.则实数a 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1] (45，+∞)【解析】：利用二次函数根的分布问题即可求解．【解答】：解：根据二次函数根的分布思想.要满足题意只需： {f (−1)＞0f (3)＞0 .即 {−1−2a +4a +1＞0−9+6a +4a +1＞0 .解得 {a ＞0a ＞45 .即a ＞45 .故答案为：（ 45，+∞ ）．【点评】：本题考查了二次函数根的分布问题.考查了学生对二次函数图象的掌握熟练度.属于基础题．14.（填空题.5分）在整数集Z 中.被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”.记为[k].即[k]={5n+k|n∈Z}.k=0.1.2.3.4．给出如下四个结论：① 2014∈[4]； ② -3∈[3]； ③ Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④ 整数a.b 属于同一“类”的充要条件是“a -b∈[0]”． 其中.正确的结论是___ ． 【正确答案】：[1] ① ③ ④【解析】：根据“类”的定义.逐一进行判断即可；对于 ① .看2014除以5的余数即可；对于 ② .将-3表示成5×（-1）+2即可判断；对于 ③ .被5除所得余数有且只有五类；对于 ④ .根据定义分析即可．【解答】：解： ① ∵2014÷5=402…4.∴2014∈[4].故 ① 正确； ② ∵-3=5×（-1）+2.∴-3∉[3].故 ② 错误；③ 因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类.故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4].故 ③ 正确；④ ∵整数a.b 属于同一“类”.∴整数a.b 被5除的余数相同.从而a-b 被5除的余数为0. 反之也成立.故“整数a.b 属于同一“类”的充要条件是“a -b∈[0]”．故 ④ 正确． 故答案为： ① ③ ④【点评】：本题考查命题的真假性判断.读懂题目中的新定义是关键.属于中档题． 15.（填空题.5分）已知sinθ+cosθ= 713 .θ∈（0.π）.则tanθ=___ ． 【正确答案】：[1]- 125【解析】：利用同角三角函数的基本关系求得2sinθcosθ=- 120169 .可得θ为钝角.tanθ＜0；再根据2sinθcosθ= 2tanθtan 2θ+1 =- 120169 .求得tanθ的值．【解答】：解：∵sinθ+cosθ= 713 .∴1+2sinθcosθ= 49169 .∴2sinθcosθ=- 120169 ＜0. 结合θ∈（0.π）.可得θ为钝角.∴tanθ＜0． 再根据2sinθcosθ= 2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ = 2tanθtan 2θ+1 =- 120169 .∴tanθ=- 125.故答案为：- 125．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用.属于基础题． 16.（填空题.5分）已知A 、B 、C 是平面上任意三点.BC=a.CA=b.AB=c.则 y =ca+b +bc 的最小值是___ ．【正确答案】：[1] √2−12【解析】：先将函数变形.并化简.再利用基本不等式.即可求得结论．【解答】：解：依题意.得b+c≥a .于是 y =ca+b +bc = ca+b +b+c c−1= ca+b +b+c+b+c2c −1≥ ca+b +a+b+c2c−1 = ca+b+a+b2c−12≥ √2−12其中.等号当且仅当b+c=a且ca+b =a+b2c.即a= 1+√22c .b= −1+√22c时成立．所以.所求最小值为√2−12故答案为：√2−12【点评】：本题考查基本不等式的运用.解题的关键是化简函数.并利用基本不等式求最值.属于中档题．17.（问答题.10分）已知集合A={x|y=log2（-4x2+15x-9）.x∈R}.B={x||x-m|≥1.x∈R}．（1）求集合A；（2）若p：x∈A.q：x∈B.且p是q的充分不必要条件.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据条件可知集合A即求y=log2(−4x2+15x−9) .故可表示出A=(34，3) .（2）由题得B=[m+1.+∞）∪（-∞.m-1].根据p是q的充分不必要条件可知A是B的真子集.根据集合包含关系即可求出m取值范围．【解答】：解：（1）集合A即为函数y=log2(−4x2+15x−9)定义域.即需-4x2+15x-9＞0.即（x-3）（4x-3）＜0.解得A=(34，3)；（2）由|x-m|≥1⇔x-m≥1或x-m≤-1.即x≥m+1或x≤m-1.则B=[m+1.+∞）∪（-∞.m-1].因为p是q的充分不必要条件.所以A是B的真子集.则m+1≤34或3≤m−1 .解得m≤−14或m≥4 .所以实数m的取值范围是(−∞，−14]∪[4，+∞)．【点评】：本题考查命题及其关系.涉及函数求定义域.集合的包含关系等知识点.属于中档题．18.（问答题.12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π2）的部分图象如图所示.其中点P（1.2）为函数图象的一个最高点.Q（4.0）为函数图象与x轴的一个交点.O为坐标原点．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位得到y=g（x）的图象.求函数h（x）=f（x）•g（x）图象的对称中心．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意得振幅A.周期T.利用周期公式可求ω.将点P（1.2）代入解析式.结合范围0＜φ＜π2.可求φ.即可得解函数解析式．（Ⅱ）利用三角函数的图象变换可得g（x）=2sin π6x.利用三角函数恒等变换可求h（x）=1+2sin（π3 x- π6）.由π3x−π6=kπ .即可得解对称中心．【解答】：（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由题意得振幅A=2.周期T=4×（4-1）=12.又2πω =12.则ω= π6…（2分）将点P（1.2）代入f（x）=2sin（π6x+φ）.得sin（π6x+φ）=1.∵0＜φ＜π2.∴φ= π3.…（4分）故f（x）=2sin（π6 x+ π3）…（5分）（Ⅱ）由题意可得g（x）=2sin[ π6（x-2）+ π3]=2sin π6x…（7分）∴h（x）=f（x）•g（x）=4sin（π6 x+ π3）•sin π6x=2sin2π6x+2 √3 sin π6x•cos π6x=1-cos π3x+√3 sin π3x=1+2sin（π3 x- π6）…（10分）由π3x−π6=kπ .得：x=3k+12(k∈Z)．∴y=h（x）图象的对称中心为：(3k+1，1)(k∈Z)…（12分）2【点评】：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式.函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换.三角函数恒等变换的应用.正弦函数的图象和性质的应用.考查了转化思想.属于中档题．19.（问答题.12分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形.点O为AC中点.平面AA1C1C⊥平面ABC．（1）证明：A1O⊥平面ABC；（2）求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）证明A1O⊥AC.通过平面AA1C1C⊥平面ABC.推出A1O⊥平面ABC．（2）如图.以O为原点.OB.OC.OA1为x.y.z轴.建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标.求出平面A1BC1的法向量为n⃗=(x，y，z) .设直线AB与平面A1BC1所成角为α.利用空间向量的数量积求解即可．【解答】：（1）证明：∵AA1=A1C.且O为AC的中点.∴A1O⊥AC.又∵平面AA1C1C⊥平面ABC.且交线为AC.又A1O⊂平面AA1C1C.∴A1O⊥平面ABC；（2）解：如图.以O为原点.OB.OC.OA1为x.y.z轴.建立空间直角坐标系．由已知可得O （0.0.0）A （0.-1.0） ，B(√3，0，0) ，A 1(0，0，√3) C 1(0，2，√3) . A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，0，−√3) . AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，1，0) ，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，0) 平面A 1BC 1的法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) . 则有 {2y =0√3x −√3z =0.所以 n ⃗ 的一组解为 n ⃗ =(1，0，1) . 设直线AB 与平面A 1BC 1所成角为α. 则sinα= |cos ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|又∵ cos ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •n⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |= √32√2 = √64 . 所以直线AB 与平面A 1BC 1所成角的正弦值： √64 ．【点评】：本题考查直线与平面所成角的求法.平面与平面垂直的判断定理的应用.考查空间想象能力以及计算能力．20.（问答题.12分）已知函数f （x ）=x 2+（x-1）|x-a|． （1）若a=-1.解方程f （x ）=1；（2）若函数f （x ）在R 上单调递增.求实数a 的取值范围；（3）若a ＜1且不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x∈R 恒成立.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）取a=-1把函数分段.然后分段求解方程f （x ）=1； （2）分x≥a 和x ＜a 对函数分段.然后由f （x ）在R 上单调递增得到不等式组 {a+14≤aa +1＞0.求解不等式组得到实数a 的取值范围；（3）写出分段函数g （x ）.不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x∈R 恒成立.等价于不等式g （x ）≥0对一切实数x∈R 恒成立.然后求出函数在不同区间段内的最小值.求解不等式得答案．【解答】：解：（1）当a=-1时.f （x ）=x 2+（x-1）|x+1|. 故有 f (x )={2x 2−1， x ≥−11， x ＜−1.当x≥-1时.由f （x ）=1.有2x 2-1=1.解得x=1或x=-1． 当x ＜-1时.f （x ）=1恒成立． ∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}； （2） f (x )={2x 2−(a +1)x +a ， x ≥a (a +1)x −a ，x ＜a.若f （x ）在R上单调递增.则有 {a+14≤aa +1＞0.解得 a ≥13 ．∴当 a ≥13时.f （x ）在R 上单调递增； （3）设g （x ）=f （x ）-（2x-3）.则 g (x )={2x 2−(a +3)x +a +3，x ≥a(a −1)x −a +3， x ＜a.不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x∈R 恒成立.等价于不等式g （x ）≥0对一切实数x∈R 恒成立． ∵a ＜1.∴当x∈（-∞.a ）时.g （x ）单调递减.其值域为（a 2-2a+3.+∞）. 由于a 2-2a+3=（a-1）2+2≥2. ∴g （x ）≥0成立．当x∈[a .+∞）时.由a ＜1.知 a ＜a+34.g （x ）在x=a+34处取得最小值. 令 g (a+34)=a +3−(a+3)28≥0 .解得-3≤a≤5.又a ＜1. ∴-3≤a ＜1． 综上.a∈[-3.1）．【点评】：不同考查了函数恒成立问题.考查了二次函数的性质.体现了数学转化思想方法.考查了不等式的解法.是压轴题．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy 中.已知椭圆 x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 、B.焦距为2.直线l 与椭圆交于C.D 两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l 过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时.四边形ACBD 的面积为6． （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线AC.BD 的斜率分别为k 1.k 2． ① k 2=3k 1.求证：直线l 过定点；② 若直线l 过椭圆的右焦点F.试判断 k1k 2是否为定值.并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意焦距为2.设点C （1.y 0）.代入椭圆 x 2a2 + y 2b2 =1（a ＞b ＞0）.解得 y 0=±b 2a .从而四边形ACBD 的面积6=2 S △ABC =2a •b 2a=2b 2.由此能求出椭圆的标准方程． （2） ① 由题意AC ：y=k 1（x+2）.联立直线与椭圆的方程 x 24+y 23=1 .得（3+4k 12）x 2+16k 12-12=0.推导出C （- 8k 12−63+4k 12 . 12k 13+4k 12 ）.D （ 8k 22−63+4k 22 .- 12k 23+4k 22）.由此猜想：直线l 过定点P（1.0）.从而能证明P.C.D 三点共线.直线l 过定点P （1.0）． ② 由题意设C （x 1.y 1）.D （x 2.y 2）.直线l ：x=my+1.代入椭圆标准方程： x 24+y 23=1.得（3m 2+4）y 2+6my-9=0.推导出y 1+y 2=- 6m 3m 2+4 .y 1y 2=- 93m 2+4 .由此推导出 k 1k 2= y 1x 1+2y 2x 2−2= y 1(x 2−2)y 2(x 1+2) = y 1(my 2−1)y 2(my 1+3) = my 1y 2−y 1my 1y 2+3y 2 = 13（定值）．【解答】：解：（1）由题意焦距为2.可设点C （1.y 0）.代入椭圆 x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）.得 1a 2+y 02b 2=1.解得 y 0=±b 2a .∴四边形ACBD 的面积6=2 S △ABC =2a •b 2a=2b 2. ∴b 2=3.a 2=4.∴椭圆的标准方程为 x 24+y 23=1．证明：（2） ① 由题意AC ：y=k 1（x+2）. 联立直线与椭圆的方程 x 24+y 23=1 .得（3+4 k 12 ）x 2+16k 12-12=0.∴-2x 1= 16k 12−123+4k 12 .解得x 1= 6−8k 123+4k 12 .从而y 1=k 1（x 1+1）= 12k13+4k 12 .∴C （- 8k 12−63+4k 12 . 12k 13+4k 12 ）.同理可得D （ 8k 22−63+4k 22 .- 12k23+4k 22 ）.猜想：直线l 过定点P （1.0）.下证之： ∵k 2=3k 1.∴k PC -k PD =12k 13+4k 12−8k 12−63+4k 12−1 -−12k 23+4k 228k 22−63+4k 22−1= 4k11−4k 12+12k 24k22−9= 4k 11−4k 12 + 36k 136k 12−9 = 4k 11−4k 12 - 4k 11−4k 12 =0. ∴P .C.D 三点共线.∴直线l 过定点P （1.0）． 解： ② k1k 2为定值.理由如下：由题意设C （x 1.y 1）.D （x 2.y 2）.直线l ：x=my+1. 代入椭圆标准方程： x 24+y 23=1.得（3m 2+4）y 2+6my-9=0. ∴y 1.2=−6m±√36m 2+36(3m 2+4)2(3m 2+4). ∴y 1+y 2=- 6m3m 2+4 .y 1y 2=- 93m 2+4 .∴ k 1k 2= y 1x 1+2y 2x 2−2 = y 1(x 2−2)y 2(x 1+2) = y 1(my 2−1)y 2(my 1+3) = my 1y 2−y 1my 1y 2+3y 2 = −9m 3m 2+4−(−6m3m 2+4−y 2)−9m3m 2+4+3y 2 =−3m3m 2+4+y 2−9m3m 2+4+3y 2= −3m3m 2+4+y 2−9m3m 2+4+3y 2 = 13 （定值）．【点评】：本题考查椭圆标准方程的求法.考查直线过定点的证明.考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法.考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识.考查运算求解能力.考查化归与转化思想.是中档题．22.（问答题.12分）设函数f （x ）=ln （x+1）+a （x 2-x ）.其中a∈R . （Ⅰ）讨论函数f （x ）极值点的个数.并说明理由； （Ⅱ）若∀x ＞0.f （x ）≥0成立.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）.其中a∈R.x∈（-1.+∞）．f′(x)=1x+1+2ax−a = 2ax2+ax−a+1x+1．令g（x）=2ax2+ax-a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时.此时f′（x）＞0.即可得出函数的单调性与极值的情况．（2）当a＞0时.△=a（9a-8）．① 当0＜a≤89时.△≤0. ② 当a ＞89时.△＞0.即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当a＜0时.△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．（II）由（I）可知：（1）当0≤a ≤89时.可得函数f（x）在（0.+∞）上单调性.即可判断出．（2）当89＜a≤1时.由g（0）≥0.可得x2≤0.函数f（x）在（0.+∞）上单调性.即可判断出．（3）当1＜a时.由g（0）＜0.可得x2＞0.利用x∈（0.x2）时函数f（x）单调性.即可判断出；（4）当a＜0时.设h（x）=x-ln（x+1）.x∈（0.+∞）.研究其单调性.即可判断出【解答】：解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）.其中a∈R.x∈（-1.+∞）．f′(x)=1x+1+2ax−a = 2ax2+ax−a+1x+1．令g（x）=2ax2+ax-a+1．（1）当a=0时.g（x）=1.此时f′（x）＞0.函数f（x）在（-1.+∞）上单调递增.无极值点．（2）当a＞0时.△=a2-8a（1-a）=a（9a-8）．① 当0＜a≤89时.△≤0.g（x）≥0.f′（x）≥0.函数f（x）在（-1.+∞）上单调递增.无极值点．② 当a ＞89时.△＞0.设方程2ax2+ax-a+1=0的两个实数根分别为x1.x2.x1＜x2．∵x1+x2= −12.∴ x1＜−14 . x2＞−14．由g（-1）＞0.可得-1＜x1＜−14．∴当x∈（-1.x1）时.g（x）＞0.f′（x）＞0.函数f（x）单调递增；当x∈（x1.x2）时.g（x）＜0.f′（x）＜0.函数f（x）单调递减；当x∈（x2.+∞）时.g（x）＞0.f′（x）＞0.函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（3）当a＜0时.△＞0．由g（-1）=1＞0.可得x1＜-1＜x2．∴当x∈（-1.x2）时.g（x）＞0.f′（x）＞0.函数f（x）单调递增；当x∈（x2.+∞）时.g（x）＜0.f′（x）＜0.函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时.函数f（x）有一个极值点；时.函数f（x）无极值点；当0≤a ≤89时.函数f（x）有两个极值点．当a ＞89（II）由（I）可知：时.函数f（x）在（0.+∞）上单调递增．（1）当0≤a ≤89∵f（0）=0.∴x∈（0.+∞）时.f（x）＞0.符合题意．＜a≤1时.由g（0）≥0.可得x2≤0.函数f（x）在（0.+∞）上单调递增．（2）当89又f（0）=0.∴x∈（0.+∞）时.f（x）＞0.符合题意．（3）当1＜a时.由g（0）＜0.可得x2＞0.∴x∈（0.x2）时.函数f（x）单调递减．又f（0）=0.∴x∈（0.x2）时.f（x）＜0.不符合题意.舍去；＞0．（4）当a＜0时.设h（x）=x-ln（x+1）.x∈（0.+∞）.h′（x）= xx+1∴h（x）在（0.+∞）上单调递增．因此x∈（0.+∞）时.h（x）＞h（0）=0.即ln（x+1）＜x.可得：f（x）＜x+a（x2-x）=ax2+（1-a）x.时.当x＞1−1aax2+（1-a）x＜0.此时f（x）＜0.不合题意.舍去．综上所述.a的取值范围为[0.1]．【点评】：本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值.考查了分析问题与解决问题的能力.考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力.属于难题．。

2020-2021学年江苏省淮安市某校高三（上）10月第一学期第二次月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={−1,2}，B ={x|ax =1}，若B ⊆A ，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为( ) A.{1,12} B.{−1,12}C.{−1,0,12}D.{0,1,12}2. 函数f (x )=ln x +√x−1的定义域为（ ）A.[1,+∞)B.(0,+∞)C.(−∞,1)D.(1,+∞)3. 若sin (75∘+α)=√23，则cos (30∘−2α)=( )A.−59 B.−49C. 59D.494. 如图，已知点C 为△OAB 边AB 上一点，且AC =2CB ，若存在实数m ，n ，使得OC →=mOA →+nOB →，则m −n 的值为( )A.−13B.0C.13D.235. 《九章算术⋅衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中错误的是( ) A.甲付的税钱最多B.乙、丙两人付的税钱超过甲C.乙应出的税钱约为32D.丙付的税钱最少6. 函数f (x )=(x −1x )cos x 在其定义域上的图像大致是（ ）A.B.C.D.7. 设向量a →=(1, 1)，b →=(−1, 3)，c →=(2, 1)，且(a →−λb →)⊥c →，则λ=( ) A.3 B.2 C.−2 D.−38. 函数f (x )=ln x −2x −1x 的单调减区间为（ ）A.(1,+∞)B.(0,1)C.(−12,1)D.(−∞,−12)和(1,+∞)二、多选题在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2√3，c =3，A +3C =π，则下列结论正确的是( ) A.cos C =√33B.sin B =√23C.a =3D.S △ABC =√2关于函数f(x)=sin 2x −cos 2x ，下列命题中为真命题的是( ) A.函数y =f(x)的周期为πB.直线x =π4是y =f(x)的一条对称轴C.点(π8, 0)是y =f(x)的图象的一个对称中心D.将y =f(x)的图象向左平移π8个单位，可得到y =√2sin 2x 的图象已知向量a →=(2,1)，b →=(1,−1)，c →=(m −2,−n)，其中m ，n 均为正数，且(a →−b →)//c →，下列说法正确的是( )A.a →与b →的夹角为钝角 B.向量a →在b →方向上的投影为√55 C.2m +n =4 D.mn 的最大值为2定义在R 上的奇函数f (x )满足f (1−x )=f (1+x )，则（ ） A.函数f (x )的图象关于原点对称 B.函数f (x )的图象关于直线x =1对称C.函数f (x )是周期函数且对于任意x ∈R ， f (x +2)=f (x )成立D.当x ∈(0,1]时， f (x )=e x −1，则函数f (x )在区间[1+4k,3+4k ](k ∈Z )上单调递减（其中e 为自然对数的底数） 三、填空题在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60∘，a2=bc，则sin B sin C=________.函数f(x)=cos(ωx−π3)(ω>0)的图象关于直线x=π2对称，则ω的最小值为________．已知条件p:|x+1|>2，条件q:|x|>a，且q是p的必要不充分条件，则实数a的范围是________.已知函数f(x)={2x,x≤a，x2,x>a.①若a=1，则不等式f(x)≤2的解集为________；②若存在实数b，使函数g(x)=f(x)−b有两个零点，则a的取值范围是________．四、解答题在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且√3ac =2−cos Asin C.(1)求角A的大小；(2)若cos(B+π6)=14，求cos C的值.已知函数f(x)={−x2+2x，x≥0，ax2+bx，x<0为奇函数．(1)求a−b的值；(2)若函数f(x)在区间[−1, m−2]上单调递增，求实数m的取值范围．函数f(x)=6cos2ωx2+√3sinωx−3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x 0)=8√35，且x 0∈(−103,23)，求f(x 0+1)的值．已知a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，其中a →=(1, 2)． (1)若c →=(−2, k)，且c → // a →，求c →的坐标；(2)若|b →|=√52，且a →+2b →与2a →−b →垂直，求a →与b →的夹角θ．某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器.(1)若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；(2)当容器的高为多少米吋，制造该容器的侧面用料最省？已知函数f(x)=ln x +ax +1，a ∈R ．(1)若函数f(x)在x =1处的切线为y =2x +b ，求a ，b 的值；(2)记g(x)=f(x)+ax ，若函数g(x)在区间(0,12)上有最小值，求实数a 的取值范围；参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省淮安市某校高三（上）10月第一学期第二次月考数学试卷一、选择题 1.【答案】 C【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论，分别求出a 的范围，即可得出结果． 【解答】解：A ={−1,2}，B ={x|ax =1}， B ⊆A ， 若B 为空集，则方程ax =1无解，此时a =0； 若B 不为空集，则a ≠0， 由ax =1解得x =1a ，∴ 1a =−1或2， 解得a =−1或a =12，综上，由实数a 的所有可能的取值组成的集合为{−1,0,12}.故选C . 2.【答案】 D【考点】函数的定义域及其求法 【解析】直接利用对数的真数为正数，根号下为非负数，分母不为零，构造不等式组即可解出. 【解答】解：由题意得：{x >0，x −1>0，解得x >1，所以函数f (x )的定义域为(1,+∞). 故选D . 3.【答案】 A【考点】 诱导公式三角函数的恒等变换及化简求值同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ sin (75∘+α)=√23， ∴ cos [90∘−(75∘+α)]=cos (15∘−α)=√23， ∴ cos (30∘−2α)=cos 2(15∘−α) =2cos 2(15∘−α)−1 =2×(√23)2−1 =−59.故选A . 4.【答案】 A【考点】平面向量的基本定理 【解析】结合已知及向量的线性表示可先利用OA →，OB →表示OC →，结合已知即可求解． 【解答】解：因为AC =2CB ，易得OC →=13OA →+23OB →，所以m −n =−13． 故选A . 5.【答案】 B【考点】 分层抽样方法 【解析】求出抽样比例，再计算乙应交的关税值． 【解答】解：根据分层抽样原理，可知甲付的税钱最多，丙付的税钱最少， 故A,D 正确；乙、丙两人付的税钱占总税钱的53109<12，不超过甲， 故B 错误；乙应付的税钱为100560+350+180×350≈32(钱)， 故C 正确. 故选B .6.【答案】 C【考点】 函数的图象 【解析】首先利用奇偶性排除选项，再利用正负分布排除选项. 【解答】解：因为f(−x)=(−x +1x )cos (−x)=−(x −1x )cos x =−f(x)， 所以函数f (x )为奇函数，故排除AD ；x −1x在(0,1)为负数，在(1,2π)为正数，而cos x 在(π2,3π2)为负数，在(0,π2)∪(3π2,2π)为正数，所以函数f (x )在(0,1)为负数，(1,π2)为正数，(π2,3π2)为负数，(3π2,2π)为正数，故排除B ， 故选C .7.【答案】 A【考点】平面向量的坐标运算数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】利用(a →−λb →)⊥c →，列出含λ的方程即可． 【解答】解：因为a →−λb →=(1+λ, 1−3λ)，(a →−λb →)⊥c →， 所以(1+λ, 1−3λ)⋅(2, 1)=2+2λ+1−3λ=0， 解得λ=3. 故选A . 8. 【答案】 A【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】直接求导，令导数小于零，即可解出单调减区间. 【解答】解：∵ f(x)=ln x −2x −1x (x >0)， ∴ f ′(x )=1x −2+1x 2=−2x 2+x+1x 2=−(2x+1)(x−1)x 2，令f ′(x )<0，解得：x <−12或x >1，又x>0，所以x>1，所以函数f(x)的减区间为(1,+∞).故选A.二、多选题【答案】A,D【考点】余弦定理正弦定理三角函数中的恒等变换应用同角三角函数间的基本关系【解析】直接利用已知条件，利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出结果．【解答】解：由于A+3C=π，则：A+B+C=A+3C，解得：B=2C．由于b=2√3，c=3，利用正弦定理：bsin B =csin C，则：bsin2C =csin C，整理得：2√32sin C cos C =3sin C，解得：cos C=√33，故A正确；故sin C=√63，所以sin B=sin2C=2sin C cos C=2√23，故B错误；由c2=a2+b2−2ab cos C，得a2−4a+3=0，解得：a=1或a=3，若a=c=3，则A=C=π4，可得B=π2，可得b=√a2+c2=√2c=3√2，矛盾，故C错误，则a=1.则S△ABC=12ab sin C=12×1×2√3×√63=√2．故D正确．故选AD.【答案】A,C,D【考点】两角和与差的正弦公式正弦函数的周期性正弦函数的对称性【解析】根据和差角公式化简函数f(x)的解析式，进而根据三角函数的图象和性质，逐一判断四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：∵ f(x)=sin 2x −cos 2x =√2sin (2x −π4)，∴ ω=2，故T =2π2=π，故A 为真命题；当x =π4时，2x −π4=π4终边不在y 轴上，故直线x =π4不是y =f(x)的一条对称轴，故B为假命题；当x =π8时，2x −π4=0，终边落在x 轴上，故点(π8, 0)是y =f(x)的图象的一个对称中心，故C 为真命题；将y =f(x)的图象向左平移π8个单位，可得到y =√2sin [2(x +π8)−π4]=√2sin 2x 的图象，故D 为真命题； 故选ACD . 【答案】 C,D【考点】 向量的投影基本不等式在最值问题中的应用 平面向量数量积的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：A ，a →⋅b →=2×1+1×(−1)=1>0， 故a →，b →的夹角为锐角，A 错误； B ，向量a →在b →方向上的投影为：a →⋅b →|b →|=√12+(−1)2=√22，B 错误； C ，a →−b →=(1,2)，由(a →−b →)//c →，得1×(−n)−2×(m −2)=0， 即2m +n =4，C 正确；D ，由基本不等式得4=2m +n ≥2√2mn ，即mn ≤2， 当且仅当2m =n =2时取等号， 因此mn 的最大值为2，D 正确． 故选CD ． 【答案】 A,B,D 【考点】函数的对称性函数的周期性函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】利用函数的单调性，逐个判断即可.【解答】解：因为函数f (x )在R 为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确；又f(1−x)=f(1+x)，故函数f (x )关于x =1对称，故B 正确；则f (−x )=f (2+x )，f (−x )=−f (x )，所以f (x +2)=−f (x )，故C 错误；所以f (x +2)=−f (x )=f (x −2)，即f (x )=f (x +4)，故函数f (x )是周期为4的函数，设x ∈(1,2]，则2−x ∈(0,1]，所以f (x )=f (2−x )=e 2−x −1，为减函数，此时f (x )min =f (2)=1−1=0，设x ∈(2,3]，则x −2∈(0,1]，所以f (x )=−f (x −2)=−e x−2+1，为减函数，此时f (x )max =0，所以函数f (x )在区间[1,3]为减函数，又周期为4，所以函数f (x )在区间[1+4k,3+4k](k ∈Z )为单调递减，故D 正确.故选ABD .三、填空题【答案】34【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ A =60∘ ，a 2=bc ，∴ 由正弦定理，得sin B sin C =sin 2A =(√32)2=34. 故答案为：34. 【答案】23【考点】余弦函数的对称性【解析】根据函数的对称性建立方程关系，求出ω的表达式，进行求解即可．【解答】解：∵ f(x)=cos (ωx −π3)(ω>0)的图象关于直线x =π2对称，∴ π2ω−π3=kπ+π，即ω=2k +83， ∵ ω>0，∴ 当k =−1时，ω取得最小值为−2+83=23.故答案为：23.【答案】a ≤1【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】利用q 是p 的必要不充分条件求解即可．【解答】解：∵ p:|x +1|>2，∴ x >1 或 x <−3.①当 a ≥0 时，q:|x|>a ⇒x >a 或 x <−a ；②当 a <0 时，q:|x|>a ⇒x ∈R ，∵ q 是 p 的必要不充分条件，∴ p ⫋q ,∴ a <0 或 {a ≥0,a ≤1,−a ≥−3⇒0≤a ≤1，即 a ≤1．故答案为：a ≤1.【答案】(−∞, √2],(−∞, 2)∪(4, +∞)【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】第一空：将a ＝1代入可得f(x)解析式，进而可解得f(x)≤2的解析；第二空：分类讨论a 的情况即可．【解答】解：①当a =1时，f(x)={2x ,x ≤1，x 2,x >1，则令f(x)≤2，即有2x ≤2或x 2≤2，解得x ≤1或1<x ≤√2，故f(x)≤2的解集为(−∞, √2]；②由函数g(x)=f(x)−b 只有一个零点时，2x =x 2时，x =2或x =4，当a =2时，f(x)={2x ,x ≤2，x 2,x >2， 此时g(x)=f(x)−b 只有一个零点；结合图象可得2<a <4时最多有一个零点；当a <2时，g(x)有2个零点；同理当a=4时，f(x)={2x,x≤4，x2,x>4，g(x)=f(x)−b只有一个零点；当a>4时，有2个零点.故可得a的取值范围是(−∞, 2)∪(4, +∞). 故答案为：(−∞, √2]；(−∞, 2)∪(4, +∞).四、解答题【答案】解：(1)由正弦定理asin A =bsin B=csin C，且√3ac =2−cos Asin C，得√3sin Asin C =2−cos Asin C，则有√3sin A=2−cos A，即√3sin A+cos A=2，2sin(A+π6)=2,则sin(A+π6)=1，因为A∈(0,π)，则A+π6∈(π6,7π6),则A+π6=π2，即A=π3.(2)在△ABC中，因为A=π3，则B∈(0,2π3)，B+π6∈(π6,5π6),则sin(B+π6)>0.又因为cos(B+π6)=14，则sin(B+π6)=√1−cos2(B+π6)=√154.又在△ABC中，A+B+C=π，所以cos C=cos(π−A−B)=−cos(A+B)=−cos(B+π3)=−cos[(B+π6)+π6]=−cos(B+π6)cosπ6+sin(B+π6)sinπ6=−√32×14+12×√154=√15−√38.【考点】三角函数的化简求值正弦定理运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由正弦定理a sin A =b sin B =c sin C ， 且√3a c =2−cos A sin C ， 得√3sin Asin C =2−cos A sin C， 则有√3sin A =2−cos A ，即√3sin A +cos A =2，2sin (A +π6)=2,则sin (A +π6)=1， 因为A ∈(0,π)，则A +π6∈(π6,7π6),则A +π6=π2，即A =π3.(2)在△ABC 中，因为A =π3，则B ∈(0,2π3)， B +π6∈(π6,5π6),则sin (B +π6)>0. 又因为cos (B +π6)=14，则sin (B +π6)=√1−cos 2(B +π6)=√154. 又在△ABC 中，A +B +C =π，所以cos C =cos (π−A −B)=−cos (A +B)=−cos (B +π3) =−cos [(B +π6)+π6] =−cos (B +π6)cos π6+sin (B +π6)sin π6=−√32×14+12×√154 =√15−√38. 【答案】解：(1)令x <0，则−x >0，则f(x)=−f(−x)=−[−x 2−2x]=x 2+2x ，∴ a =1，b =2，∴ a −b =−1．(2)f(x)={−x 2+2x ，x ≥0,x 2+2x ，x <0,即有f(x)在[−1, 1]上递增，由于函数f(x)在区间[−1, m −2]上单调递增，∴ [−1, m −2]⊆[−1, 1]，∴ {m −2>−1,m −2≤1解得，1<m ≤3． 【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】（1）令x <0，则−x >0，运用已知解析式，结合奇函数的定义，即可得到a ，b 的值，进而得到a −b ；（2）求出f(x)的单调增区间，由区间的包含关系，得到不等式，解出即可．【解答】解：(1)令x <0，则−x >0，则f(x)=−f(−x)=−[−x 2−2x]=x 2+2x ，∴ a =1，b =2，∴ a −b =−1．(2)f(x)={−x 2+2x ，x ≥0,x 2+2x ，x <0,即有f(x)在[−1, 1]上递增，由于函数f(x)在区间[−1, m −2]上单调递增，∴ [−1, m −2]⊆[−1, 1]，∴ {m −2>−1,m −2≤1解得，1<m ≤3． 【答案】解：(1)由已知可得，f(x)=6cos 2ωx 2+√3sin ωx −3 =3cos ωx +√3sin ωx=2√3sin (ωx +π3)， 由于△ABC 为正三角形，∴ △ABC 的高为2√3，从而BC =4，∴ 函数f(x)的最小正周期T =4×2=8，即2πω=8，ω=π4， ∴ 函数f(x)的值域为[−2√3, 2√3]．(2)∵ f(x 0)=8√35， 由(1)得f(x 0)=2√3sin (π4x 0+π3)=8√35， 即sin (π4x 0+π3)=45，由x 0∈(−103,23)，知π4x 0+π3∈(−π2, π2)， ∴ cos (π4x 0+π3)=√1−(45)2=35．∴ f(x 0+1)=2√3sin (π4x 0+π4+π3)=2√3sin [(π4x 0+π3)+π4] =2√3[sin (π4x 0+π3)cos π4+cos (π4x 0+π3)sin π4] =2√3(45×√22+35×√22) =7√65． 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值正弦函数的定义域和值域【解析】(Ⅰ)将f(x)化简为f(x)＝2√3sin (ωx +π3)，利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f(x)的值域；(Ⅱ)由x 0∈(−103,23)，知π4x 0+π3∈(−π2, π2)，由f(x 0)=8√35，可求得即sin (π4x 0+π3)=45，利用两角和的正弦公式即可求得f(x 0+1)．【解答】解：(1)由已知可得，f(x)=6cos 2ωx 2+√3sin ωx −3 =3cos ωx +√3sin ωx=2√3sin (ωx +π3)，由于△ABC 为正三角形，∴ △ABC 的高为2√3，从而BC =4，∴ 函数f(x)的最小正周期T =4×2=8，即2πω=8，ω=π4，∴ 函数f(x)的值域为[−2√3, 2√3]．(2)∵ f(x 0)=8√35， 由(1)得f(x 0)=2√3sin (π4x 0+π3)=8√35， 即sin (π4x 0+π3)=45，由x 0∈(−103,23)，知π4x 0+π3∈(−π2, π2)， ∴ cos (π4x 0+π3)=√1−(45)2=35．∴ f(x 0+1)=2√3sin (π4x 0+π4+π3)=2√3sin [(π4x 0+π3)+π4] =2√3[sin (π4x 0+π3)cos π4+cos (π4x 0+π3)sin π4]=2√3(45×√22+35×√22) =7√65． 【答案】解：(1)∵ a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，a →=(1, 2)，c →=(−2, k)，且c → // a →，∴ −21=k 2，解得k =−4，∴ c →的坐标为(−2, −4)．(2)∵ |b →|=√52，且a →+2b →与2a →−b →垂直， ∴ (a →+2b →)⋅(2a →−b →)=2a →2+3a →⋅b →−2b →2=0，∵ |a →|=√12+22=√5，∴ 2×5+3a →⋅b →−2×54=0， 整理，得a →⋅b →=−52，∴ cos θ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−1，∵ θ∈[0, π]，∴ θ=π．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】（1）由向量平行的性质，能求出k ．（2）由向量垂直得(a →+2b →)•(2a →−b →)=0，由此能求出a →与b →的夹角θ．【解答】解：(1)∵ a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，a →=(1, 2)，c →=(−2, k)，且c → // a →，∴ −21=k 2，解得k =−4，∴ c →的坐标为(−2, −4)．(2)∵ |b →|=√52，且a →+2b →与2a →−b →垂直， ∴ (a →+2b →)⋅(2a →−b →)=2a →2+3a →⋅b →−2b →2=0，∵ |a →|=√12+22=√5，∴ 2×5+3a →⋅b →−2×54=0， 整理，得a →⋅b →=−52，∴ cos θ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−1，∵ θ∈[0, π]，∴ θ=π．【答案】解：设圆锥形容器的底面半径为r 米，高为ℎ米，母线为l 米，侧面积为S 平方米，容积为V 立方米，则V =36π.(1)由r =6，得V =13πr 2ℎ=36π，得ℎ=3， 所以S =πrl =πr√r 2+ℎ2=6π√62+32=18√5π，又底面积为πr 2=36π（平方米）.故该容器的表面积为(18√5π+36π)=18(2+√5)π平方米.答:该容器的表面积为18(2+√5)π平方米.(2)因为V =13πr 2ℎ=36π，得r 2=3×36ππℎ=108ℎ，其中ℎ>0， 所以S =πrl =πr√r 2+ℎ2=π√r 4+r 2ℎ2=π√1082ℎ2+108ℎℎ2 =π√1082ℎ2+108ℎ =π√108√108ℎ2+ℎ. 记f(ℎ)=108ℎ2+ℎ，令f ′(ℎ)=−216ℎ3+1=ℎ3−216ℎ3=0，得ℎ=6.当ℎ∈(0,6)时，f ′(ℎ)<0，f(ℎ)在(0,6)上单调递减；当ℎ∈(6,+∞)时，f ′(ℎ)>0, f(ℎ)在(6,+∞)上单调递增.所以，当ℎ=6时，f(ℎ)最小，此时S 最小.答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省.【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积利用导数研究函数的最值柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：设圆锥形容器的底面半径为r 米，高为ℎ米，母线为l 米，侧面积为S 平方米，容积为V 立方米，则V =36π.(1)由r =6，得V =13πr 2ℎ=36π，得ℎ=3， 所以S =πrl =πr√r 2+ℎ2=6π√62+32=18√5π， 又底面积为πr 2=36π（平方米）.故该容器的表面积为(18√5π+36π)=18(2+√5)π平方米. 答:该容器的表面积为18(2+√5)π平方米.(2)因为V =13πr 2ℎ=36π，得r 2=3×36ππℎ=108ℎ，其中ℎ>0， 所以S =πrl =πr√r 2+ℎ2=π√r 4+r 2ℎ2=π√1082ℎ2+108ℎℎ2 =π√1082ℎ2+108ℎ =π√108√108ℎ2+ℎ. 记f(ℎ)=108ℎ2+ℎ， 令f ′(ℎ)=−216ℎ3+1=ℎ3−216ℎ3=0，得ℎ=6.当ℎ∈(0,6)时，f ′(ℎ)<0，f(ℎ)在(0,6)上单调递减； 当ℎ∈(6,+∞)时，f ′(ℎ)>0, f(ℎ)在(6,+∞)上单调递增. 所以，当ℎ=6时，f(ℎ)最小，此时S 最小.答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省.【答案】解：(1)f ′(x)=1x −a x 2，则f ′(1)=1−a =2，解得a =−1，则f(x)=ln x −1x +1，此时f(1)=ln 1−1+1=0，则切点坐标为(1,0)，代入切线方程，得b =−2，所以a =−1，b =−2.(2)g(x)=f(x)+ax =ln x +a x +ax +1,g ′(x)=1x −a x 2+a =ax 2+x−a x 2. ①当a =0时，g ′(x)=1x >0，则g(x)在区间(0，12)上为增函数，则g(x)在区间(0，12)上无最小值.②当a ≠0时，方程ax 2+x −a =0的判别式Δ=1+4a 2>0，则方程有两个不相等的实数根，设为x 1,x 2， 由韦达定理得x 1x 2=−1，则两根一正一负，不妨设x 1<0<x 2. 设函数m(x)=ax 2+x −a(x >0).(i)若a >0.若x 2∈(0，12)， 则m(0)=−a <0，m(12)=a 4+12−a >0. 解得0<a <23，此时x ∈(0，x 2)时，m(x)<0，则g(x)递减； x ∈(x 2，12)时，m(x)>0，则g(x)递增. 当x =x 2时，g(x)取极小值，即为最小值. 若x 2≥12，则x ∈(0,12), m(x)<0， 则g(x)在(0，12)单调减，无最小值. (ii)若a <0，x ∈(0,x 2)时，m(x)>0，则g(x)递增； x ∈(x 2，+∞)时，m(x)<0，则g(x)递减. 在区间(0，12)上，g(x)不会有最小值.所以a <0不满足条件.综上，当0<a <23时，g(x)在区间(0，12)上有最小值.【考点】利用导数研究函数的最值根与系数的关系利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f ′(x)=1x −a x 2，则f ′(1)=1−a =2，解得a =−1，则f(x)=ln x −1x +1， 此时f(1)=ln 1−1+1=0，则切点坐标为(1,0)， 代入切线方程，得b =−2，所以a =−1，b =−2.(2)g(x)=f(x)+ax =ln x +a x +ax +1, g ′(x)=1x −a x 2+a =ax 2+x−a x 2.试卷第21页，总21页 ①当a =0时，g ′(x)=1x >0， 则g(x)在区间(0，12)上为增函数，则g(x)在区间(0，12)上无最小值. ②当a ≠0时，方程ax 2+x −a =0的判别式Δ=1+4a 2>0， 则方程有两个不相等的实数根，设为x 1,x 2，由韦达定理得x 1x 2=−1，则两根一正一负，不妨设x 1<0<x 2. 设函数m(x)=ax 2+x −a(x >0).(i)若a >0.若x 2∈(0，12)，则m(0)=−a <0，m(12)=a 4+12−a >0. 解得0<a <23，此时x ∈(0，x 2)时，m(x)<0，则g(x)递减；x ∈(x 2，12)时，m(x)>0，则g(x)递增.当x =x 2时，g(x)取极小值，即为最小值.若x 2≥12，则x ∈(0,12), m(x)<0，则g(x)在(0，12)单调减，无最小值.(ii)若a <0，x ∈(0,x 2)时，m(x)>0，则g(x)递增； x ∈(x 2，+∞)时，m(x)<0，则g(x)递减.在区间(0，12)上，g(x)不会有最小值. 所以a <0不满足条件.综上，当0<a <23时，g(x)在区间(0，12)上有最小值.。

江苏省苏州星海中学2021届高三数学上学期10月月考试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{﹣1，0}，则A B ＝ ． 答案：{﹣1，0，1} 考点：集合间的运算解析：因为集合A ＝{0，1}，B ＝{﹣1，0}，所以A B ＝{﹣1，0，1}．2．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 ． 答案：(﹣1，1)(1，+∞)考点：函数的另一与 解析：由题意，得1010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得x ＞﹣1，且x ≠1，所以原函数的定义域是(﹣1，1)(1，+∞)．3．“a ＞1”是“()cos f x ax x =+在R 上单调递增”的 条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”） 答案：充分不必要条件考点：常用的逻辑用语（充要条件）解析：因为()cos f x ax x =+，所以()sin f x a x '=-．当a ＞1时，()sin f x a x '=-＞0恒成立，所以()f x 在R 上单调递增成立；当()cos f x ax x =+在R 上单调递增，则()sin f x a x '=-≥0恒成立，则a ≥1．故“a ＞1”是“()cos f x ax x =+在R 上单调递增”的充分不必要条件．4．在△ABC 中，若a ＝2，b ＝B ＝3π，则角A 的大小为 ． 答案：6π 考点：正弦定理解析：由正弦定理，得sin A sin Ba b =，即2sin A sin 3=，解得sinA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝6π或56π，当A ＝56π时，A ＋B ＞π，不符题意，所以A ＝6π．5．已知α∈(0，π)，cos α＝45-，则tan()4πα+＝ ． 答案：17考点：同角三角函数关系式，两角和与差的正切公式 解析：由cos α＝45-以及22sin cos 1αα+=，得29sin 25α=，又α∈(0，π)，则sin α＞0，所以sin α＝35，tan 3sin 354cos 45ααα===--，则tan tan 4tan()41tan tan 4παπαπα++=- 3114371()14-+==--⨯．6．设n S 是首项不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列，则21a a ＝ ． 答案：1或3考点：等差数列与等比数列解析：因为n S 是首项不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，所以11S a =，212S a d =+，4146S a d =+，又1S ，2S ，4S 成等比数列，则2214S S S =⋅， 即2111(2)(46)a d a a d +=+，化简得0d =或12d a =，所以2111a da a =+＝1或3． 7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一共7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 ． 答案：3考点：等比数列的前n 项和解析：设第n 层塔的灯数为n a ，n 层塔共有灯数为n S ，可知{}n a 以2为公比的等比数列，则717(21)38121a S -==-，求得1a ＝3． 8．在曲线331y x x =-+的所有切线中，斜率最小的切线的方程为 ． 答案：31y x =-+考点：导数的几何意义解析：因为331y x x =-+，所以233y x '=-，当x ＝0时，斜率有最小值为﹣3，此时切点坐标为(0，1)，故此时切线方程为31y x =-+．9．若函数62()3log 2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩，，(a ＞0且a ≠1)的值域是[4，+∞)，则a 的取值范围是 ．答案：(1，2] 考点：函数的值域解析：当x ≤2时，y ＝﹣x ＋6≥4，要使()f x 的值域是[4，+∞)，则y ＝3log a x +的最小值要大于或等于4，所以13log 24a a >⎧⎨+≥⎩，解得1＜a ≤2．10．如图，平面四边形ABCD 中，若AC ＝5，BD ＝2，则(AB DC)(AC BD)+⋅+＝答案：1考点：平面向量数量积解析：取BD 中点O ，则(AB DC)(AC BD)(OB OA OC OD)(AC BD)+⋅+=-+-⋅+ ＝2222(DB AC)(AC BD)AC BD (5)21++=-=-=．11．设()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()0f x xf x '+>，则不等式(1)f x +>21(1)x x --的解集为 ．答案：[1，2)考点：利用导数研究函数的单调性解析：令()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>，所以()()g x xf x =单调递增 1)f x +>21(1)x x --11)x x ++>221(1)x x --即2(1)(1)g x g x +>-，根据()()g x xf x =单调递增，可得如下不等式组：21010xx⎧+≥⎪-≥⎨>，解得1≤x＜2，故原不等式的解集为[1，2)．12．若正数a，b满足21a b+=，则224a b++的最大值为．答案：1716考点：基本不等式解析：22214(2)4414a b a b ab ab++=+-=-=⋅-211171()14216+≤⨯+=，当且仅当21164a bab+=⎧⎪⎨=⎪⎩时，取“＝”．13．已知函数21()221xe x a xf xx ax x⎧--≥-⎪=⎨-+<-⎪⎩，，(e是自然对数的底数)恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．答案：[32-，）考点：函数与方程解析：当a＝0时，x＜﹣1时，2()20f x x=+>，而()xf x e x=-，最多两个零点，即有()f x不可能有三个零点；当a＞0时，x＜﹣1时，22()2()f x a x a=-+-递减，且()(1)320f x f a>-=+>，而()xf x e x=-，最多两个零点，即有()f x不可能有三个零点；当a＜0时，x＜﹣1时，由于()f x的对称轴为x＝a，可得顶点为(a，2﹣a2)，若2﹣a2＞0，不满足题意；若2﹣a2＜0，3＋2a≥0，110ae---<，解得32a-≤<，满足()f x恰有三个零点；若2﹣a2＝0，3＋2a＞0，110ae---≥，解得a∈∅，不满足题意；综上可得a的范围是[32-，）．14．已知△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满足111cos A cos B cos C1sin A sin B sinC ===，则称△A 1B 1C 1是△ABC的一个“友好”三角形．若等腰△ABC 存在“友好”三角形，则其底角的弧度数为 ． 答案：38π考点：三角函数与解三角形 解析：1cos A 1A sin A =⇒∈(0，2π)，11(A A )(A A )022ππ+---=，存在友好⇔B ＋C ﹣A ＝2π（循环）在锐角△ABC 中， 等腰△ABC 存在友好⇒底＋底﹣顶＝2π⇒底＝38π． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且sin 2C sin Bc b=． （1）求角C 的值； （2）若3sin(B )35π-=，求cosA 的值．16．（本小题满分14分）已知函数()2cos(3sin)222xxxf x ωωω=-(ω＞0)的最小正周期为2π．（1）求函数()f x 的表达式；（2）设θ∈(0，2π)，且6()35f θ=，求cos θ的值．17．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，且1a ，25a +，3a 成等差数列．（1）求1a ，2a 的值； （2）求证：数列{}2nn a +是等比数列，并求数列{}na 的通项公式．18．（本小题满分16分）如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB 的长为4.5 km ，且跑道所在的直线与海岸线l 的夹角为60度（海岸线可以看做是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B 到海岸线的距离BC ＝43km ．D 为海湾一侧海岸线CT 上的一点，设CD ＝x (km )，点D 对跑道AB 的视角为θ．（1）将tan θ表示为x 的函数；（2）求点D 的位置，使θ取得最大值．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，1=1a ，2=a a ，且12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若12k =，且18171S =，求a ； （2）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项m a ，1m a +，2m a +按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若12k =-，求n S （用a ，n 表示）．20．（本小题满分16分）已知函数1()ln f x a x x=+，a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当x ∈[1，2]时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值；（3）试问过点P(0，2)可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．附加题21．A．已知点A在变换T：xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦→xy'⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝2x yy+⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B，若点B坐标为(﹣3，4)，求点A的坐标．B ．求曲线C 1：222121x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩被直线l ：12y x =-所截得的线段长．22．如图，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的萎形，∠ABC ＝45°，OA ⊥平面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．（1）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（2）求平面OAB 与平面OCD 所成二面角的余弦值．23．设数列{}n t 满足101t <<，1sin n n n t t t +=-．（1）求证：101n n t t +<<<；（2）若112t =，求证：2112n n t -≤．。

学习界的007⎨ 专题27 含参不等式的存在性与恒成立问题【高考地位】含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题.方法一判别式法万能模板内容使用场景含参数的二次不等式解题模板第一步首先将所求问题转化为二次不等式；第二步运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；第三步得出结论.例1 设f (x) =x 2 - 2mx + 2 ，当x ∈[-1,+∞) 时，f (x) ≥m 恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】第一步，首先将所求问题转化为二次不等式；第二步，运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；⎧⎪∆≥ 0⎪F (-1) ≥0解得- 3 ≤m ≤-2 .⎪- 2m⎪-⎩ 2≤-1第三步，得出结论.综上可得实数m 的取值范围为[-3,1) .综上可得实数m 的取值范围为[-3,1) .【变式演练1】【2020 届百校联考高考考前冲刺必刷卷】已知集合A ={x x2 + 2ax + 2a ≤ 0}，若A 中只有一个元素，则实数a 的值为（）A．0 B．0 或-2 C．0 或2 D．2【答案】C【分析】根据题意转化为抛物线y =x2 + 2ax + 2a 与x 轴只有一个交点，只需△ = 4a2 - 8a = 0 即可求解.【详解】若A 中只有一个元素，则只有一个实数满足x2 + 2ax + 2a ≤ 0 ，即抛物线y =x2 + 2ax + 2a 与x 轴只有一个交点，∴△ = 4a2 - 8a = 0 ，∴ a = 0 或 2.故选：C【变式演练2【】安徽省皖江名校联盟2021 届高三第二次联考】对∀x ∈R ，不等式(a -1)x2 +(a -1)x -1 < 0恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．(-3,1) B．(-3,1] C．(-4,1) D．[-4,1]【答案】B【分析】学习界的首先根据不等式恒成立，对二次项系数是否为零进行讨论，结合图形的特征，列出式子求得结果.【详解】对∀x ∈ R ，不等式(a -1)x 2+ (a -1) x -1 < 0 恒成立， 当 a = 1 时，则有-1 < 0 恒成立；当a -1 ≠ 0 ， a -1 < 0 且∆ = (a -1)2 + 4(a -1) < 0 ，解得-3 < a < 1.实数 a 的取值范围是(-3,1]. 故选：B.方法二 分离参数法例 2 已知函数 f ( x ) = kx 2- ln x ，若 f ( x ) > 0 在函数定义域内恒成立，则 k 的取值范围是（）A ． ⎛ 1 , e ⎫B ． ⎛1 , 1 ⎫C ． ⎛-∞,1 ⎫D ． ⎛1 , +∞ ⎫e ⎪ 2e e⎪ 2e ⎪ 2e ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎝⎭⎝ ⎭【答案】D【解析】第一步，首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；第二步，先求出含变量一边的式子的最值；第三步，由此推出参数的取值范围即可得出结论.考点：函数的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键．含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1 ） f (x) <g(a) 恒成立⇔f (x)max <g(a) ；（2 ）f (x) ≤g(a) 恒成立⇔ f (x)max≤g(a) ；（3 ）f (x) >g(a) 恒成立⇔f (x)min >g(a) .（4）f (x) ≥g(a) 恒成立⇔f (x)min≥g(a) .学&科网【变式演练3】【江苏省苏州市新草桥中学2020-2021 学年高三上学期10 月月考】正数a ，b满足9a +b =ab ，若不等式a +b ≥-x2 + 2x +18 -m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．[3, +∞)B．(-∞, 3) C．(-∞, 6)D．[6, +∞)【答案】A【分析】先利用基本不等式求得a +b 的最小值，再把问题转化为 m ≥ f (x ) 恒成立的类型，最后求解 f (x ) 的最大值即可. 【详解】因为9a + b = ab ，所以 1 + 9= 1，且 a ， b 为正数，a b所以 a + b = (a + b )( 1 + 9) = 10 + b +9a a bab10 +16 ，当且仅当 b = 9a，即 a = 4 ， b = 12 时，取等号，所以(a + b ) a bmin= 16 ，若不等式 a + b ≥ -x 2 + 2x +18 - m 对任意实数 x 恒成立， 则16 ≥ -x 2 + 2x +18 - m 对任意实数 x 恒成立， 即m ≥ -x 2 + 2x + 2 对任意实数 x 恒成立，因为-x 2+ 2x + 2 = -(x -1)2+ 3 3 ， 所以 m ≥ 3 ， 故选：A.【变式演练 4】【北京市人大附中 2021 届高三年级 10 月数学月考】已知方程 x 2 + ax -1 = 0 在区间[0,1]上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ． [0, +∞)B ． (-∞, 0)C ． (-∞, 2]D ． [-2, 0]【答案】A【分析】化简方程，分离参数，利用数形结合即可求解【详解】方程x2 +ax -1 = 0 在区间[0,1]上有解，当x = 0 时，方程无解；当0 <x ≤ 1时，则有a =1-x2=1-，令g(x) =1-x ，x xxx1 -(1+x2 )g(x)g '(x) =--1 =< 0 ，即在0 <x ≤1时为减函数，x2 x2由于g(1) = 0 ，所以，当0 <x ≤1时，g (x) ≥ 0 ，所以，只要a ≥ 0 ，方程x2 +ax -1 = 0 在区间[0,1]上有解故选：A方法三函数性质法例3 设函数f (x) =e x -1-x -ax2 ，若x ≥ 0 时，f (x) ≥ 0 ，求a 的取值范围.【答案】a ≤1 2【解析】第一步，首先可以把含参不等式整理成适当形式如f (x, a) ≥ 0 、f (x, a) < 0 等；1-x第二步，从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值；第三步，得出结论.【点评】函数、不等式、导数既是研究的对象，又是解决问题的工具.本题抓住 f (0) = 0 这一重要的解题信息，将问题转化为 f (x ) ≥ f (0) 在 x ≥ 0 时恒成立，通过研究函数 f (x ) 在[0, +∞) 上是不减函数应满足的条件，进而求出 a 的范围.隐含条件 f (0) = 0 对解题思路的获得，起到了十分重要的导向作用.【变式演练 5】【云南省昆明市第一中学 2021 届高中新课标高三第二次双基检测】记函数f ( x ) = ln ( x +1) + 的定义域为 A ，函数g (x ) = e x - e - x + sin x +1，若不等式 g (2x + a ) + g (x 2 -1) > 2 对 x ∈ A 恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ． [2, +∞)B ． (2, +∞)C ． (-2, +∞)D ． [-2, +∞)【答案】A⎨【分析】根据函数解析式，先求出 A = (-1,1] ；令 m ( x ) = e x- e- x+ sin x ，根据函数奇偶性的定义，判定 m (x ) 是奇函数；根据导数的方法判定 m (x ) 是增函数；化所求不等式为 a > - x 2 - 2 x + 1 ，进而可求出结果. 【详解】由⎧x +1 > 0 解得-1 < x ≤ 1 ，即 A = (-1,1] ， ⎩1- x ≥ 0令m (x ) = e x- e - x+ sin x ，则m (-x ) = e- x- e x - sin x = -m (x ) ，则 m (x ) 是 R 上的奇函数； 又m '(x ) = e x+ e - x+ cos x ≥ 2 + cos x > 0 显然恒成立，所以 m ( x ) 是增函数；由 g (2x + a ) + g (x 2-1) > 2 得 m (2x + a ) + m ( x 2-1)+ 2 > 2 ，即m (2x + a ) + m (x 2-1) > 0 ，即 m (2x + a ) > -m (x 2-1)，由 m (x ) 是 R 上的奇函数且为增的函数， 所以 m (2x + a ) > m (1- x2) 得： 2 x + a > 1 - x 2.所以 a > -x 2 - 2x +1 = -( x +1)2+ 2 ，当 x ∈(-1,1]时， -( x +1)2+ 2 < 2 .所以 a ≥ 2 .故选：A.【高考再现】1.【2020 年高考浙江卷9】已知a , b ∈R 且ab ≠ 0 ，若(x-a)(x-b)(x- 2a -b)≥ 0 在x ≥ 0 上恒成立，则（）A. a < 0B. a > 0C. b < 0D. b > 0【答案】C【思路导引】对a 分a > 0 与 a < 0 两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案．【解析】当a < 0 时，在x ≥ 0 上，x -a ≥ 0 恒成立，∴只需满足(x-b)(x- 2a -b)≥ 0 恒成立，此时2a +b <b ，由二次函数的图象可知，只有b < 0 时，满足(x-b)(x- 2a -b)≥ 0 ，b > 0 不满条件；当b < 0 时，在[0, +∞)上，x -b ≥ 0 恒成立，∴只需满足(x-a)(x- 2a -b)≥ 0 恒成立，此时当两根分别为x =a 和x = 2a +b ，（1）当a +b > 0 时，此时0 <a < 2a +b ，当x ≥ 0 时，(x -a)(x- 2a -b)≥ 0 不恒成立，（2）当a +b < 0 时，此时2a +b <a ，若满足(x -a)(x- 2a -b)≥ 0 恒成立，只需满足a < 0当a +b = 0 时，此时2a +b =a > 0 ，满足(x -a)(x- 2a -b)≥ 0 恒成立，综上可知满足(x-a)(x-b)(x- 2a -b)≥ 0 在x ≥ 0 恒成立时，只有b < 0 ，故选C ．2.【2020 年高考上海卷11】已知a ∈R ，若存在定义域为R 的函数f (x) 同时满足下列两个条件，①对任意x ∈R ，f (x ) 的值为x 或x2 ；②关于x 的方程f (x) =a 无实数解；则a 的取值范围为．0 0 0 0【答案】(-∞, 0) (0,1) (1, +∞)【解析】由y =x2 和y =x 的图象和函数的定义可知，若满足 f (x)的值为x 或f (x)=x 2 ，只有0 0 0 0f (0)= 0 = 02 ，f (1)=1 =12 ，结合②可知若方程f (x)=a 无实数解，则a ∈(-∞, 0) (0,1) (1, +∞)，故答案为：(-∞, 0) (0,1) (1, +∞)．【专家解读】本题的特点是函数图象及其性质的应用，本题考查了函数与方程，二次函数图象及其应用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查数学运算、数学直观、数学建模等学科素养．解题关键是正确a cc · 4a作出函数图象，应用函数图象及其性质解决问题．3. 【2018 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】在O ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,h,c ，²ABC ܥ 1ൌ0°，²ABC 的平分线交 AC 于点 D ，且 BD ܥ 1，则 4a h c 的最小值为 ．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，SOABC ܥ SOABD h SOBCD ,由角平分线性质和三角形面积公式得1acsin 1ൌ0° ܥ 1 a × 1 ×ൌൌsin60° h 1 c × 1 × sin60°，化简得 ac ܥ a h c, 1 h 1 ܥ 1，因此 4a h c ܥ (4a h c)( 1 h 1 ) ܥ h h c h 4a ≤ h hൌacacacൌ ܥ 9,当且仅当 c ܥ ൌa ܥ 3 时取等号，则 4a h c 的最小值为 9.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.4. 【2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学】已知函数f ( x ) = {2 - x , ( x - 2)2, x ≤ 2,函数x > 2,g (x ) = b - f (2 - x ) ，其中b ∈ R ，若函数 y = f (x )- g (x ) 恰有 4 个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．⎛ 7 , +∞ ⎫B ． ⎛-∞,7 ⎫C ． ⎛ 0,7 ⎫D ．⎛ 7 , 2 ⎫4 ⎪ 4 ⎪ 4 ⎪ 4 ⎪ ⎝ ⎭⎝⎭⎝ ⎭⎝ ⎭【答案】D【解析】试题分析：函数恰有 4 个零点，即方程 ，即有 4 个不同的实数根， 即直线与函数的图像有四个不同的交点． 又⎨2做出该函数的图像如图所示，由图得，当时，直线与函数 的图像有 4 个不同的交点，故函数 恰有 4 个零点时，b的取值范围是故选 D ．考点：1、分段函数；2、函数的零点．【方法点晴】本题主要考查的是分段函数和函数的零点，属于难题．已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数的图像的交点个数问题，作图时一定要保证图形准确， 否则很容易出现错误．⎧x 2 - x + 3, x ≤ 1,5. 【2017 天津理，8】已知函数 f (x ) = ⎪ x + , x > 1.设 a ∈ R ，若关于 x 的不等式 f (x ) ≥| x+ a | 在 R 上恒2 ⎩⎪ x 成立，则 a 的取值范围是（A ）[-47, 2] 16 （B ）[- 47 , 39]16 16（C ）[-2 3, 2]（D ）[-2 3, 39]16【答案】 A2 3 3 47 x x2 x 23 2 x 2当 x > 1 时，(*)式为-x - ≤ + a ≤ x + ， - x - ≤ a ≤ + ，x 2 x 2 x 2 x3 2 3 2又 - x - = -( x + 2 x 2 ) ≤ -2 x （当 x = 时取等号），3 x + 2≥ 2 = 2 （当 x = 2 时取等号）， 2 x 所以-2 ≤ a ≤ 2 ， 综上-≤ a ≤ 2 ．故选A ．16【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足 f (x ) ≥x+ a 转化为- f (x ) - ≤ a ≤ f (x ) - 去解决，由于涉及分段函数问题要 2 2 2遵循分段处理原则，分别对 x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据 x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的范围.6. 【2016 高考新课标 1 卷】已知函数 f( x ) = ( x - 2)e x + a (x -1)2有两个零点.(I)求 a 的取值范围；(II)设 x 1,x 2 是 f ( x ) 的两个零点,证明： x 1 + x 2 < 2 .【答案】(0, +∞)3 2 xx ⨯ 2试题解析;（Ⅰ）f '(x) = (x -1)e x + 2a(x -1) = (x -1)(e x + 2a) ．（i）设a = 0 ,则f (x) = (x - 2)e x , f (x) 只有一个零点．（ii）设a > 0 ,则当x ∈(-∞,1) 时, f '(x) < 0 ；当x ∈ (1, +∞) 时, f '(x) > 0 ．所以f (x) 在(-∞,1) 上单调递减,在(1, +∞) 上单调递增．又f (1) =-e , f (2) =a ,取b 满足b < 0 且b < ln a ,则2f (b) >a(b - 2) +a(b -1) 2 =a(b 2 -3b) > 0 ,2 2故f (x) 存在两个零点．学&科网（iii）设a < 0 ,由f '(x) = 0 得x =1 或x = ln(-2a)．若a ≥-e, 则ln(-2a) ≤1 , 故当x ∈ (1, +∞) 时, 2时, f (x) < 0 ,所以f (x) 不存在两个零点．f '(x) > 0 , 因此f (x) 在(1, +∞) 上单调递增．又当x ≤ 1若a <-e,则ln(-2a) > 1 ,故当x ∈ (1, ln(-2a)) 时, f '(x) < 0 ；当x ∈(ln(-2a), +∞) 时, f '(x) > 0 ．因此2f (x) 在(1, ln(-2a)) 单调递减,在(ln(-2a), +∞) 单调递增．又当x ≤ 1时, f (x) < 0 ,所以f (x) 不存在两个零点．综上, a 的取值范围为(0, +∞)．考点：导数及其应用7.【2016 高考江苏卷】已知函数f (x) =a x +b x (a > 0, b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1) .设a = 2,b =1 .2（1）求方程f (x) = 2 的根;（2）若对任意x ∈R ,不等式f (2x) ≥m f(x) - 6 恒成立，求实数m 的最大值；（3）若0 <a <1,b＞1，函数g (x)=f (x)- 2 有且只有 1 个零点，求ab 的值. 【答案】（1）①0 ②4（2）1【解析】试题解析：（1）因为a=2,b=1，所以f(x)=2x+2-x. 2①方程f (x) = 2 ，即2x + 2-x = 2 ，亦即(2x )2 - 2 ⨯ 2x +1 = 0 ，所以(2x -1)2 = 0 ，于是2x = 1 ，解得x = 0 .②由条件知f (2x) = 22 x + 2-2 x = (2x + 2-x )2 - 2 = ( f (x))2 - 2 .（2）因为函数g(x) =f (x) - 2 只有1 个零点，而g(0) =f (0) - 2 =a 0 +b 0 - 2 = 0 ，所以0 是函数g(x) 的唯一零点.因为g ' (x) =a x ln a +b x ln b ，又由0 <a < 1, b > 1 知ln a < 0, ln b > 0 ，ln a a所以 g '(x ) = 0 有唯一解 x = log (-ln a) . 0b ln b令h (x ) = g '(x ) ，则 h '(x ) = (a xln a + b x ln b )' = a x (ln a )2 + b x (ln b )2，从而对任意 x ∈ R ， h '(x ) > 0 ，所以 g '(x ) = h (x ) 是(-∞, +∞) 上的单调增函数，于是当 x ∈(-∞, x ) ， g ' (x ) < g ' (x ) = 0 ；当 x ∈(x , +∞) 时， g ' (x ) > g '(x ) = 0 . 因而函数 g (x ) 在(-∞, x 0 ) 上是单调减函数，在(x 0 , +∞) 上是单调增函数.下证 x 0 = 0 .若 x < 0 ，则 x < x 0 < 0 ，于是 g ( x0 ) < g (0) = 0 ，2 2又 g (log 2) = alog a 2+ b log a 2 - 2 > a log a 2 - 2 = 0 ，且函数 g (x ) 在以 x0 和log 2 为端点的闭区间上的图象不a 2a间断，所以在 x 0 和log 2 之间存在 g (x ) 的零点，记为 x . 因为0 < a < 1，所以log 2 < 0 ，又 x0 < 0 ，2 a 1 a2所以 x 1 < 0 与“0 是函数 g (x ) 的唯一零点”矛盾.若 x > 0 ，同理可得，在 x0 和log 2 之间存在 g (x ) 的非 0 的零点，矛盾.2a因此， x 0 = 0 .于是-= 1，故ln a + ln b = 0 ，所以ab = 1 .ln b考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数 范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象 的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利 用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.8.【2016 年高考四川理数】设函数 f (x )=ax 2-a -ln x ，其中 a ∈R.学习界的007（Ⅰ）讨论 f (x )的单调性；（Ⅱ）确定 a 的所有可能取值，使得 f (x ) > 1- e1- x在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底x数).【答案】（Ⅰ）当 x ∈（0, 1) 时， f '(x ) <0， f (x ) 单调递减；当 x ∈（ 2a 1，+∞) 时， f '(x ) >0， f (x ) 单 2a调递增；（Ⅱ） a Î [ 1,+ ¥ ) . 2【解析】1 2ax2 -1试题解析：（I ） f '(x ) = 2ax - = x x(x > 0).当a ≤ 0时 f '(x ) <0， f (x ) 在（0，+∞）内单调递减.当a > 0时 由 f '(x ) =0，有 x =1 .2a此时，当 x ∈（0,1) 时， f '(x ) <0， f (x ) 单调递减；2a学习界的007当 x ∈（1，+∞) 时， f '(x ) >0， f (x ) 单调递增.2a（II ）令 g (x ) = 1- x 1 ex -1， s (x ) = e x -1 - x .则 s '(x ) = ex -1-1 .而当 x > 1时， s '(x ) >0，所以 s (x ) 在区间（1，+∞) 内单调递增.又由 s (1) =0，有 s (x ) >0， 从而当 x > 1 时， f (x ) >0.考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题.【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求f '(x) ，解方程f '(x) = 0 ，再通过f '(x) 的正负确定f (x) 的单调性；要证明函数不等式f (x) >g(x) ，一般证明f (x) -g(x) 的最小值大于0，为此要研究函数h(x) =f (x) -g(x) 的单调性．本题中注意由于函数h(x) 有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．【反馈练习】1.【2020 届陕西省西安市西北工业大学附中高三第三次高考适应性考试】不等式x2 - 2x + 5 >a2 对x ∈ (1, +∞) 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．[-2, 2]B．(-2, 2)C．(-∞, -2) (2, +∞) D．(-∞, -2] [2, +∞)【答案】A【分析】求得x > 1 时x2 - 2x + 5 的取值范围，由此求得a2 的取值范围，进而求得a 的取值范围.【详解】由于x = 1 是y =x2 - 2x + 5 的对称轴，所以当x > 1 时，x2 - 2 x + 5 > 12 - 2 + 5 = 4 .所以a2 ≤ 4 ，解得-2 ≤a ≤ 2 .故选：A2.【吉林省通榆县第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考】若命题“∃x∈R，使x2+(a-1)x+1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A．(-1, 3)B．[-1,3]C．(-∞, -1) (3, +∞)D．(-∞, -1]⋃[3, +∞)⎩【答案】B【分析】先求出命题的否定，利用其为真命题及二次函数的性质，列不等式求解.【详解】解：命题“∃x ∈R ，使 x 2+ (a -1)x +1 < 0 ”是假命题，则命题“ ∀ x ∈R ，使 x 2+ (a -1)x +1 ≥ 0 ”是真命题，∴∆= (a -1)2- 4 ≤ 0 ，解得-1 ≤ a ≤ 3 .故选：B3.【河北省邯郸市 2021 届高三上学期摸底】若命题 p : “ ∀x ∈ R ， 2ax 2 - ax -1 ≤ 0 ”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ． (-∞,8]B ．[-8, 0] C ． (-∞, -8) D ．(-8, 0)【答案】B【分析】对二次项系数进行讨论，分为 a = 0 和a ≠ 0 两种情形，结合判别式可得结果.【详解】由题意，当 a = 0 时，命题成立；⎧a < 0当a ≠ 0 时， ⎨∆ = a 2+ 8a ≤ 0 ，解得-8 ≤ a < 0 ，综上可得，实数a 的取值范围是[-8, 0] .故选：B.4. 【江西省上高二中 2021 届高三上学期第一次月考】已知函数 f (x ) = x 2 + ln(| x | +1) ，若对于 x ∈[-1, 2] ，f (x 2 + 2ax - 2a 2 ) < 9 + ln 4 恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A ． -1 < a < 2 - 62B ． -1 < a < 1C. a >2 + 6 或 a <2 - 6D.2 - 6 < a < 2 + 62 22 2【答案】A【分析】根据 f ( x ) 的解析式可得该函数是偶函数且在(0, +∞) 是增函数，据此求解不等式；将问题转化为一元二次不等式在区间上恒成立的问题，从而处理.【详解】由题意，函数 f (x ) = x 2 + ln(| x | +1) 的定义域为 R ，且 f (-x ) = (-x )2+ ln(| -x | +1) = x 2+ ln(| x | +1) = f (x )所以函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数，且在[0, +∞) 上单调递增，又由9 + ln 4 = 32+ ln(| x | +1) =f (3) ，所以不等式 f (x 2 + 2ax - 2a2) < 9 + ln 4 对于 x ∈[-1, 2] 恒成立，等价于 x 2 + 2ax - 2a 2< 3 对于 x ∈[-1, 2]恒成立，即 x 2 + 2ax - 2a 2 < 3 ① x 2 + 2ax - 2a 2 > -3 ②对于x ∈[-1, 2]恒成立．⎧g(-1) =-2a 2 - 2a - 2 < 0 令g(x) =x2 + 2ax - 2a2 -3 ，则⎨，⎩g(2) =-2a 2 + 4a +1 < 0解得a >2 +26或a <2 -26时①式恒成立；令h(x) =x2 + 2ax - 2a 2 + 3 ，令x2 + 2ax - 2a2 + 3 = 0 ，则当∆= 4a2 + 8a2 -12 < 0 时，即-1 <a < 1时②式恒成立；当∆= 4a2 + 8a2 -12 = 0 ，即a =±1时，不满足②式；当∆= 4a2 + 8a2 -12 > 0 ，即a <-1 或a > 1时，由h(-1) =1- 2a - 2a 2 + 3 > 0 ，h(2) = 4 + 4a - 2a 2 + 3 > 0 ，且-a <-1或-a > 2 ，知不存在a 使②式成立．综上所述，实数a 的取值范围是-1 <a <2 - 6．2故选：A.5.【天津市第七中学2020-2021 学年高三上学期第一次月考】若不等式ax2+2ax﹣1＜0 对于一切实数x 都恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．(-1,0] D．[0, +∞)【答案】C【分析】⎧a < 0讨论二次项系数a = 0 或a ≠ 0 ，当a ≠ 0 时，只需满足⎨∆< 0 ，解不等式即可.⎩⎩ ⎩【详解】当 a = 0 时，不等式-1 < 0 对于一切实数 x 恒成立，满足题意；⎧a < 0 当a ≠ 0 时，则⎨∆ < 0 ⎧a < 0，即⎨4a 2+ 4a < 0，解得-1 < a < 0 ，综上所述，实数 a 的取值范围是(-1, 0] . 故选：C6.【海南省临高中学 2021 届高三上学期第一次月考】若不等式 x 2 + ax - 2 > 0 在区间[1, 5] 上有解，则a 的取值范围是（）A ． ⎛ -23 , +∞⎫B ． ⎡-23 ,1⎤C ．(1, +∞) D ． ⎛-∞, -23 ⎫5 ⎪ ⎢ 5 ⎥ 5 ⎪ ⎝ ⎭⎣ ⎦⎝ ⎭【答案】A【分析】由题意可得a >⎛ 2 - x ⎫ ，求得函数 y = 2- x 在区间[1, 5] 上的最小值，由此可求得实数 a 的取值范围. x ⎪x ⎝ ⎭min【详解】当 x ∈[1, 5] 时，由 x 2 + ax - 2 > 0 可得a > 2- x ，由题意可得 a > ⎛ 2 - x ⎫. xx ⎪ ⎝ ⎭min函数 y =2 - x 在区间[1, 5] 上单调递减，则 y= 2 - 5 = - 23 ，∴a > - 23. x因此，实数a 的取值范围是⎛ -23 , +∞⎫.min5 5 55 ⎪ ⎝ ⎭故选：A.7．（多选题）【江苏省南京市玄武高级中学 2020-2021 学年高三上学期学情检测】已知 m ∈ N * ，若对任意的2 m x ∈[1, 2] ， x +m ≤ 4 恒成立，则实数m 的值可以为（ ）xA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】ABC【分析】将不等式转化为m ≤ 4x - x 2 在 x ∈[1, 2] 恒成立，求出 y = 4x - x 2 在区间[1, 2] 的最小值即可求解.【详解】若对任意的 x ∈[1, 2] ， x +m≤ 4 恒成立，x即m ≤ 4x - x 2 在 x ∈[1, 2] 恒成立， 令 y = 4x - x 2 ， x ∈[1, 2]，y = 4x - x 2 = - (x - 2 )2+ 4 ∈ [3, 4 ]，所以 m ≤ 3 ，又m ∈ N * ，所以 m = 1, 2, 3 .故选：ABC8. 【天津市南开中学 2020-2021 学年高三上学期统练】设函数 f (x ) = x 2 -1，对任意x ∈ 3⎛ x ⎫2[ , +∞), f ⎪ - 4m f (x ) ≤ f (x - 1) + 4 f (m ) 恒成立，则实数 m 的取值范围是 . ⎝ ⎭【答案】(-∞, -3] ⋃[ 3, +∞) 2 2【分析】根据 f (x ) 的解析式及题干条件，整理可得 1m2- 4m 2≤ - 3x2- 2 + 1在 x ∈[ 3, x2+∞) 上恒成立，利用二次函3 数的性质可求得-3t 2 - 2t + 1 的最小值为- 5 ，则只需求 13m 2- 4m 2≤ - 5即可，化简整理，即可得答案.3【详解】x 22222x ∈ 3由题意得 m 2 -1- 4m (x -1) ≤ (x -1) -1+ 4(m -1) 在 [ , +∞) 上恒成立，21整理得 m 2- 4m 2 ≤ - 3 x 2- 2 + 1在 x ∈[ 3 , x 2+∞) 上恒成立， 令 1 = t ，则t ∈(0, 2] ，x 3则- - 2 +1 = -3t 2- 2t +1，x 2x因为t ∈(0, 2] ，则-3t 2 - 2t + 1 的最小值为- 5，3 3所以 1- 4m 2≤ - 5 ，整理可得(3m 2 +1)(4m 2 - 3) ≥ 0 ，m 23所以 m 2≥ 3，即 m ≥43 或m ≤ -3 ，22故答案为： (-∞, -3] ⋃[ 3, +∞) . 2 29. 【2020 年浙江省新高考考前原创冲刺卷】已知不等式cos 2 x - a sin x + a 2 1-sin x 对任意的实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围为 .【答案】(-∞, -2] [1, +∞) 【分析】即sin 2x + (a -1) sin x - a20 恒成立，设t = sin x ，则t ∈[-1,1] ，令 f (t ) = t 2 + (a -1)t - a 2 ，即 f (t ) ≤ 0在t ∈[-1,1] 时恒成立，即 f (t )max ≤ 0 ，根据二次函数在闭区间上的最值的特点可得， f (t ) 的最大值一定( ) ( )⎩⎧ f (-1) = 1- (a -1) - a 2 ≤ 0 为 f 1 或 f -1 ，所以只需⎨ ⎩ f (1) = 1+ (a -1) - a 2≤ 0，从而得出答案.【详解】由cos 2 x - a sin x + a 2 1-sin x 可得sin 2 x + (a -1) sin x - a 2 0 .令t = sin x ，则t ∈[-1,1] ，令 f (t ) = t 2 + (a -1)t - a 2 ， t ∈[-1,1] ，即 f (t ) ≤ 0 在t ∈[-1,1] 时恒成立，即 f (t )max ≤ 0 .由开口向上的二次函数的图象和性质知，当t ∈[-1,1] 时， f (t ) 的最大值一定为 f (1) 或 f (-1).⎧ f (-1) = 1- (a -1) - a 2 ≤ 0 所以⎨ f (1) = 1+ (a -1) - a 2≤ 0故答案为： (-∞, -2] [1, +∞)，解得 a ≤ -2 或 a ≥ 1 .10. 【2020 届浙江省金华十校高三下学期 4 月模拟考试】设 a ，b ∈R ，若函数 f (x ) = 2 ax 3+ 1bx 2+ (1- a ) x 3 2在区间[﹣1，1]上单调递增，则 a +b 的最大值为 ．【答案】2【分析】求导得 f '(x ) = 2ax 2 + bx +1 - a ，依题意2ax 2 + bx +1- a ≥ 0 在 x ∈[-1,1]上恒成立，先根据系数比例，令2x 2 - 1 = x ，可得 a + b ≤ 2 ，即 a +b 的最大值为 2，再证明充分性，即当 a + b = 2 时，2ax 2 + bx +1- a ≥ 0 在 x ∈[-1,1]上恒成立，综合即可得出结论．【详解】求导得 f '(x ) = 2ax 2+ bx +1 - a ，( ) -2x , x ≤ 0 ∵函数 f (x ) 在区间[-1,1] 上单调递增，∴ 2ax 2 + bx +1- a ≥ 0 在 x ∈[-1,1]上恒成立， 令2x 2 - 1 = x 解得 x = 1 或 x = - 1，2将 x = - 1代入可得- 1 a - 1 b +1 ≥ 0 ，即 a + b ≤ 2 ，则a +b 的最大值为 2，2 2 2下面证明 a + b = 2 可以取到，令 g ( x ) = f '(x ) = 2ax 2+ bx +1- a ，则 g '( x ) = 4ax + b ，且 g ( x ) ≥ 0 ， g ⎛ - 1 ⎫= 0 ，2 ⎪ ⎝ ⎭则 g '⎛ - 1 ⎫= -2a + b = 0 ，解得 a = 2， b = 4， 2 ⎪ 3 3⎝⎭当a = 2 ， b = 4时，3 3g ( x ) = f '( x ) = 4 x 2 + 4 x + 1 = 1(2x +1)2 ≥ 0 在 x ∈[-1,1]上恒成立，3 3 3 3故a + b = 2 可以取到，综上， a +b 的最大值为 2． 故答案为：2．⎧ax 2 + x , x > 0 1. 【广西防城港市防城中学 2021 届高三 10 月月考】已知 f x = ⎨ ⎩，若不等式f ( x - 2) ≥ f (x ) 对一切 x ∈ R 恒成立，则a 的最大值为 .【答案】 - 12【分析】⎝ ⎪根据分段函数的表达式，分别讨论x 的取值范围，利用参数分离法求出a 的范围即可得到结论.【详解】∵不等式f (x - 2)≥f (x )对一切x ∈R 恒成立，∴若x ≤ 0 ，则x - 2 ≤-2 .则不等f (x- 2)≥f (x )等价为，-2 (x- 2)≥-2x ，即4 ≥ 0 ，此时不等式恒成立，若0 <x ≤ 2 ，则x - 2≤0 ，则不等式f (x- 2)≥f (x )等价为，-2 (x - 2)≥ax 2 +x ，即ax2 ≤ 4 - 3x ，则a ≤4 - 3x=x24-3，x2 x4 3 ⎛1 3 ⎫2 9设h (x)=x2 -x= 4x- -，⎭16∵0 <x ≤ 2 ，∴1≥1，x 2则h (x)≥-1，∴此时a ≤-1，2 2若x > 2 ，则x - 2 > 0 ，则f(x-2)≥f(x)等价为，a(x-2)2+(x-2)≥ax2+x，即4a (1 -x )≥ 2 ，∵x > 2 ，∴-x <-2 ，1-x <-1 ，8⎨则不等式等价， 4a ≤ 2 = - 2即2a ≤ -1 x -11- x x -1则 g (x ) = - 1 x -1在 x > 2 时，为增函数，∴g ( x ) > g (2) = -1 ，即2a ≤ -1，则 a ≤ - 1，2故 a 的最大值为- 1，2故答案为： - 1.212.【上海市行知中学 2021 届高三上学期 10 月月考】若对任意实数 x ∈[-1,1]，不等式 m 2-1 > x (m +1) 恒成立，则实数m 的取值范围是．【答案】(-∞, -1)(2, +∞)【分析】根据题意将问题转化为(m +1) x - (m 2-1)< 0 对任意实数x ∈[-1,1]恒成立，进而得 ⎧⎪(m +1)⨯1-(m 2 -1) < 0 ⎪⎩(m +1)⨯(-1) -(m 2-1) < 0，解不等式即可得答案.【详解】解：因为对任意实数 x ∈[-1,1]，不等式 m 2-1 > x (m +1) 恒成立，故(m +1) x - (m 2-1)< 0 对任意实数x ∈[-1,1]恒成立，故只需满足⎨ ⎩⎧⎪(m +1)⨯1-(m 2 -1) < 0 ⎪⎩(m +1)⨯(-1) -(m 2 -1) < 0，解得： m < -1或 m > 2 所以实数 m 的取值范围是(-∞, -1) (2, +∞) .故答案为： (-∞, -1) (2, +∞)13. 【天津市和平区 2020-2021 学年高三上学期期中】∀x ∈ R ，ax 2 + ax - 2 < 0 都成立.则 a 的取值范围是．【答案】(-8, 0]【分析】分类讨论， a = 0 ， a ≠ 0 时结合二次函数性质得解．【详解】a = 0 时，不等式为-2 < 0 ，恒成立，⎧a < 0a ≠ 0 时，则⎨∆ = a 2 + 8a < 0 ，解得-8 < a < 0 ，综上有-8 < a ≤ 0 ． 故答案为： (-8,0]．14.【湖北省鄂西北五校（宜城一中、枣阳一中、襄州一中、曾都一中、南漳一中）2020-2021 学年高三上学期期中】已知函数 f (x ) = x 2 + ax - 2(a ∈ R ) ，若∃x ∈(1, 4) ，使得 f (x ) ≤ 0 ，则a 的取值范围是 .【答案】 a < 1【分析】转化为a ≤ 2 - x 在 x ∈(1, 4) 时能成立，利用 y = 2 - x 在(1, 4) 上为递减函数，求出 2 - x ∈ (- 7 ,1) 后可得x x x 2解.【详解】∃x ∈(1, 4) ，使得f (x) ≤ 0 ，等价于x2 +ax - 2 ≤ 0 ，即a ≤2-x 在x ∈(1, 4) 时能成立，x因为y =2-x 在(1, 4) 上为递减函数，所以2-x ∈ (-7,1) ，x x 2所以a < 1 .故答案为：a < 1 .15.【辽宁省营口第五中学2020-2021 学年高三上学期第二次月考】已知函数f (x) =| 3x -1| + | 3x +a | ，g(x) =x ⋅f (x) ，h(x) =x 2 - 5x - 3 ．（1）若f (x)≥ 3 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a （其中a >-1 ），使得∀x∈⎡-a,1⎤，都有不等式g(x) ≥h(x) 恒成立？若存⎣⎢33⎥⎦在，求出实数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(-∞, -4] [2, +∞) ；（2）存在，⎛-1,-9+321⎤． 4 ⎥ ⎝⎦【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得f (x )的最小值，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a 的含绝对值的不等式，求解即得；（2）根据a 和x 的范围化简得到含有参数a 的关于x 的一元二次不等式，利用二次函数的图象和性质，并根据不等式恒成立的意义得到关于实数a 的有关不等式（组），求解即得.【详解】解：（1）∵f(x)=|3x-1|+|3x+a|，∴f ( x) ≥| (3x -1) - (3x +a) |=| a +1 |，3 当且仅当(3x -1)(3x + a ) ≤ 0 时，取等号．∴原不等式等价于 a +1 ≥ 3 ，解得 a ≥ 2 或 a ≤ -4 ．故a 的取值范围是(-∞, -4] [2, +∞) ．（2）∵ a > -1 ，∴ - a < 1， 3 3∵ x ∈ ⎡- a , 1 ⎤ ，∴ f ( x ) =| 3x -1 | + | 3x + a |= a + 1，g (x ) = (a +1) x ， ⎣⎢ 3 3⎥⎦∴原不等式恒成立⇔ (a +1)x ≥ x 2 - 5x - 3 ⇔ x 2 - (a + 6)x - 3 ≤ 0在 x ∈ ⎡- a ,1 ⎤ 上恒成立，⎣⎢ 3 3⎥⎦令u (x ) = x 2 - (a + 6)x - 3 ， u ⎛ - a ⎫ = 4 a 2 + 2a - 3 ≤ 03 ⎪ 9 ⎝ ⎭得-9 + 3 21 ≤ a ≤ -9 + 3 21 ， 4 4且u ⎛ 1 ⎫ = - 44 - 1 a ≤ 0 ，得 a ≥ - 44 ，⎪ ⎝ ⎭ 又 a > -1 ，得-1 < a ≤ -9 + 3 21 ．4故实数a 的取值范围是⎛ -1, -9 + 3 21 ⎤ ． 4 ⎥ ⎝⎦ 16. 【江苏省苏州市相城区 2020-2021 学年高三上学期阶段性诊断】已知二次函数 f (x ) = ax 2+ bx ，满足f (-2) = 0 且方程 f ( x ) = x 有两个相等实根.9 3 32t 2t 2t （1） 求函数 f ( x ) 的解析式；（2） 解不等式 f ( x ) <3 2（3） 当且仅当 x ∈[4,m ]时，不等式 f ( x - t ) ≤ x 恒成立，试求 t ，m 的值.【答案】（1） f (x ) = 1x 2 + x ；（2）{x | -3 < x < 1} ；（3）t = 8, m = 12 . 2【分析】（1）由 f (-2) = 0 可得b = 2a ，再由方程 f (x ) = x 有两个相等实根，可得∆ = (2a - 1)2 - 4 ⨯ a ⨯ 0 = 0 ， 从而可求出a , b 的值，进而可求出 f (x ) 的解析式； （2） 直接解一元二次不等式可得结果；（3） 不等式(x - t )2 ≤ 2t 的解集为{x | t - ≤ x ≤ t + 2t } ，由于当且仅当 x ∈[4, m ] 时， f (x - t ) ≤ x 恒成立，即不等式 f (x - t ) ≤ x 的解集为{x | 4 ≤ x ≤ m } ，从而得t - = 4 且t + = m ，进而可求得结果【详解】解：（1）由于函数 f (x ) = ax 2 + bx 是二次函数，所以 a ≠ 0 ，又 f (-2) = a ⨯(-2)2 + b ⨯(-2) = 0 ，所以b = 2a ，所以 f ( x ) = ax 2 + 2ax ，又 f (x ) = x 有两个相等实根，即ax 2 + (2a - 1)x = 0(a ≠ 0) 有两个相等实根，所以∆ = (2a - 1)2 - 4 ⨯ a ⨯ 0 = 0 ，所以 a = 1 2从而 f (x ) = 1x 2 + x . 2（2）由（1）知， f (x ) = 1 x 2 + x ，所以不等式 f ( x ) < 3 即为 1 x 2 + x < 3，解得-3 < x < 1. 2 2 2 22t 2t 2t 所以不等式的解集为{x | -3 < x < 1}（3）由（1）知， f (x ) = 1 x 2 + x ，所以不等式 f (x - t ) ≤ x 即为 1 ( x - t )2 + ( x - t ) ≤ x ， 22化简得( x - t )2 ≤ 2t ，又由于( x - t )2 ≥ 0 ，所以2t ≥ 0 ，从而不等式( x - t )2 ≤ 2t 的解集为{x | t - ≤ x ≤ t + 2t }又由于当且仅当x ∈[4, m ] 时， f (x - t ) ≤ x 恒成立，即不等式 f (x - t ) ≤ x 的解集为{x | 4 ≤ x ≤ m }， 所以t - = 4 且t + = m ，从而解得t = 8, m = 12 .17. 【西藏山南市第二高级中学 2021 届高三上学期第一次月考】已知二次函数 f (x ) 的最小值为 1，且 f (0) = f (2) = 3 .（1） 求 f ( x ) 的解析式，并写出单调区间；（2） 当 x ∈[-1 ，1] 时， f (x ) > 2x + 2m +1恒成立，试确定实数m 的取值范围.【答案】（1） f ( x ) = 2x 2- 4x + 3，增区间为(1, +∞) ，减区间为(-∞ ，1] ；（2） (-∞, -1].【分析】（1） 根据二次函数顶点式求得 f ( x ) ，进而求得 f ( x ) 的单调区间.（2） 利用分离常数法，结合二次函数的性质求得 m 的取值范围.【详解】（1）.∵ f (x ) 是二次函数，且 f (0) = f (2) = 3 ，∴其图像对称轴为直线 x = 1 . 又最小值为1，∴可设 f ( x ) = a ( x -1)2 +1， 又 f (0) = 3， ∴a = 2 .a + ≥∴ f (x ) = 2(x -1)2 +1 = 2x 2- 4x + 3 .∴ f (x ) 的单调递增区间为(1, +∞) ，单调递减区间为(-∞ ，1] .（2）由已知得 2x 2 - 4x + 3 > 2x + 2m +1在[-1,1] 上恒成立，化简得 m < x 2 - 3x +1.设 g (x ) = x 2- 3x +1 ，则 g ( x ) 在区间[-1,1] 上单调递减.∴在区间[-1,1] 上的最小值为 g (1) = -1，∴ m < -1.∴满足条件的实数 m 的取值范围为(-∞, -1) .18. 【重庆市西南大学附属中学 2021 届高三上学期第一次月考】已知命题 p : 存在实数 x ∈[1, 2] ， x 2 - 4ax + 1 ≤ 0 成立（1） 若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；（2） 命题q : 函数 f ( x ) = log (ax 2 - x ) 在区间 x ∈(2, 4) 内单调递增，如果 p ∧ q 是假命题，求实数 a 的取值范围.【答案】（1） a ≥ 1；（2） 0 < a < 1. 2【分析】（1） 由题得1 1 a [ 4 (x x)]min ，利用基本不等式求函数的最小值即得解； （2） 先求出命题q 为真时， a > 1，再根据 p ∧ q 是假命题求实数 a 的取值范围.【详解】（1）由题得存在实数 x ∈[1, 2]， a ≥ 1 (x + 1 ) 成立，所以 a ≥ [ 1 (x + 1)] ， 4 x 4 x mina因为 1 (x + 1 ) ≥ 1 ⋅ 1，（当且仅当 x = 1 时取等）， 4 x4 2所以 a ≥ 1 . 2（2）函数 f ( x ) = log (ax 2 - x )在区间 x ∈(2, 4) 内单调递增，当 a > 1时，二次函数 y = ax 2 - x 的对称轴为 x = 1 2a< 2 ，所以二次函数 y = ax 2- x 在区间 x ∈(2, 4) 内单调递增， 因为 ax 2 - x > 0 在区间 x ∈(2, 4) 内恒成立，所以 4a - 2 ≥ 0,∴ a ≥ 1.所以 a > 1. 2当0 < a < 1时，二次函数 y = ax 2 - x 在区间 x ∈(2, 4) 内单调递减，所以 x = 1 2a≥ 4，∴ a ≤ 1 . 8因为 ax 2 - x > 0 在区间 x ∈(2, 4) 内恒成立，所以16a - 4 ≥ 0,∴ a ≥ 1 .所以 a ∈∅ . 4综上所述， a > 1.如果 p ∧ q 是真命题，则 a ≥ 1 且 a > 1，即 a > 1. 2如果 p ∧ q 是假命题，所以0 < a < 1.。

2 2 4 5 2 江苏省苏州中学 2020-2021 学年第一学期调研考试 高三数学一、 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分．1．已知集合 A = {x | x 2- x - 2 ≤ 0}， B = {x | y = x }，则 A B = （）A. {x | -1 ≤ x ≤ 2}B. {x | 0 ≤ x ≤ 2}C. {x | x ≥ -1}D. {x | x ≥ 0}⎛ π ⎫ 3 ⎛ π ⎫2．已知sin α - ⎪ = ,α ∈ 0, ⎪， 则 cos α = ( )⎝ ⎭ ⎝ ⎭A.B.1010C.D.2103 若 b < a < 0 ，则下列不等式：① a > b ；② a + b < ab ；③ ab正确的不等式的有( ) < 2a - b 中，A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个4 若函数 f (x ) = ax 2 + bx (a > 0,b > 0) 的图象在点(1,f (1)) 处的切线斜率为 2 ， 8a + b 则的最小值是( )abA ．10B ． 9C ．8D ． 35 Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I (t ) （t 的单位：天）的 Logistic 模型： I (t )= K1 + e -0.23(t -53) ，其中 K 为最大确诊病例数．当 I (t * ) = 0.95K 时，标志着已初步 遏制疫情，则 t * 约为( ) (ln19 ≈ 3) A ． 60B ． 63C ． 66D ． 693 2 7 2 22⎨ ,⎧x l n x , 6 已知函数 f (x ) = ⎪x ⎪⎩ e xx > 0 x ≤ 0 则函数 y = f (1- x ) 的图象大致是( )A.B.C.D.7 若定义在 R 上的奇函数 f (x )满足对任意的 x ∈R ，都有 f (x ＋2)＝－f (x )成立， 且 f (1)＝8，则 f (2 019)，f (2 020)，f (2 021)的大小关系是( ) A ．f (2 019)<f (2 020)<f (2 021) B ．f (2 019)>f (2 020)>f (2 021) C ．f (2 020)>f (2 019)>f (2 021)D ．f (2 020)<f (2 021)<f (2 019)8 地面上有两座相距 120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为 α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α 2，且在两塔底连线的中点 O 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( )A. 50 m ，100 mB. 40 m ，90 mC. 40 m ，50 mD. 30 m ，40 m二、 多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．9 等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( ) B. (1 + 2)πC. 2 2πD. (2 +2π)A.2π－ 210 关于 x 的不等式(ax -1)(x + 2a -1) > 0 的解集中恰有 3 个整数，则 a 的值可以为 ( ) A ．2B ．1C ．－1D ． 111 声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y = A sin ωt ,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学 模型是函数 f (x ) = sin x + 1sin 2x ,则下列结论正确的是（ ）2A. 2π 是 f ( x ) 的一个周期B. f ( x ) 在 0, 2π 上有3 个零点C. f ( x )最大值为3 3 D. f (x ) 在⎡0, π ⎤上是增函数4⎢⎣ 2 ⎥⎦12 对于具有相同定义域 D 的函数 f (x ) 和 g (x ) ，若存在函数 h (x ) = kx + b （ k ，b为常数），对任给的正数 m ，存在相应的 x 0 ∈ D ，使得当 x ∈ D 且 x > x 0 时，总有⎧0 < f (x ) - h (x ) < m⎨0 < h (x ) - g (x ) < m 则称直线l : y = kx + b 为曲线 y = f (x ) 与 y = g (x ) 的“分⎩， 渐近线”. 给出定义域均为 D= {x x > 1} 的四组函数, 其中曲线 y = f (x ) 与y = g (x ) 存在“分渐近线”的是( )A. f (x ) = x 2 ， g (x ) =B. f (x ) = 10- x+ 2 ， g (x ) =2x - 3xC. f (x ) = x 2 +1x， g (x ) =x ln x +1 ln xD. f (x ) = 2x 2x +1， g (x ) = 2(x -1- e - x )二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13 若二次函数 f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1 有一个零点小于－1，一个零点大于 3， 则实数 a 的取值范围是_ ．x14 在整数集Z 中，被5 除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k 丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2020∈[0]；②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]④“整数a,b 属于同一“类”的充要条件是“a -b ∈[0]”.其中正确结论有（填写正确结论标号）．15 已知sin θ＋cos θ＝7，θ∈(0，π)，则tan θ＝.1316 A、B、C 是平面上任意不同三点，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则y＝c＋b a +b c的最小值是．四、解答题：本题共6 小题，第17 题为10 分，第18-22 题每题12 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合A＝{x|y＝log2(－4x2＋15x－9)，x∈R}，B＝{x||x－m|≥1，x∈R}．(1)求集合A；(2)若p：x∈A，q：x∈B，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18.已知函数f (x)＝A sin(ωx＋φ)⎛A>0，ω>0，0<φ<π⎫的部分图象如图所示，其中点⎝2⎭P(1,2)为函数f(x)图象的一个最高点，Q(4,0)为函数f(x)的图象与x轴的一个交点，O 为坐标原点．(1)求函数f (x)的解析式；(2)将函数y＝f (x)的图象向右平移2 个单位长度得到y＝g(x)的图象，求函数h(x)＝f (x)·g(x)的图象的对称中心．19.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC 和△AA1C 均是边长为2 的等边三角形，点O 为AC 中点，平面AA1C1C⊥平面ABC.(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求直线AB 与平面A1BC1所成角的正弦值．20.已知函数f (x)＝x2＋(x－1)|x-a|．(1)若a＝－1，解方程f (x)＝1；(2)若函数f (x)在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a<1，且不等式f (x)≥2x－3 对一切实数x∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．21 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别为 A、B，焦距为 2，直线 l 与椭圆交于 C，D 两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l 过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为6．(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线AC, BD 的斜率分别为k1 , k2 ．①若k2 = 3k1，求证：直线l 过定点；②若直线l 过椭圆的右焦点F，试判断k1是否为定值，并说明理由．k222 设函数f (x)= ln (x + 1)+a (x2-x )，其中a ∈R ．(1)讨论函数f (x)极值点的个数，并说明理由；(2)若∀x > 0, f (x)≥ 0 成立，求a 的取值范围．。

2020-2021学年江苏省苏州中学高一（上）月考数学试卷（1）试题数：17.满分：01.（填空题.5分）如果全集U={1.2.3.4.5.6.7.8}.A={2.5.8}.B={1.3.5.7}.那么（∁U A ）∩B 等于___ ．2.（填空题.5分）设集合A={x|1＜x ＜2}.B={x|x ＜a}满足A ⫋B.则实数a 的取值范围是___ ．3.（填空题.5分）函数f （x ）= √x +1 + 13−x 的定义域为___ ．4.（填空题.5分）满足条件{1.2.3}⫋M ⫋{1.2.3.4.5.6}的集合M 的个数为___ ．5.（填空题.5分）函数 f (x )={x +1， x ＞0π， x =00， x ＜0.则f （f （-1））=___ ． 6.（填空题.5分）已知集合A={m+2.2m 2+m}.若3∈A .则m 的值为___ ．7.（填空题.5分）已知A={x|a-4＜x ＜a+4}.B={x|x ＜-1或x ＞5}.且A∪B=R .则实数a 的取值范围为 ___ （用区间表示）．8.（填空题.5分）如图所示的对应中.能构成A 到B 的映射的序号是___ .9.（填空题.5分）已知集合 P ={x|y =0√x+1} .集合Q={y|y=-x 2+4}.则P∩Q=___ ． 10.（填空题.5分）下列函数中.表示同一函数的是___ ．（1）f （x ）=|x|.g （x ）= √x 2 ；（2）f （x ）= √x 2 .g （x ）= (√x)2 ；（3）f （x ）= x 2−1x−1 .g （x ）=x+1；（4）f （x ）= √x +1•√x −1 .g （x ）= √x 2−1 ．11.（填空题.5分）已知 f (2x −1)=2x+√2x−1 .则f （x ）=___ ．12.（填空题.5分）若实数x.y 满足x 2+4y 2=4x.则S=x 2+y 2的取值范围是___ ．13.（问答题.8分）已知A={x|3x 2-mx+2m ＜0}．（1）若3∈A .求m 的取值范围；（2）若0∈A 且1∈A .求m 的取值范围．14.（问答题.8分）求下列函数的值域：（1）y=x2+2x-3.x∈[-2.2]；.x∈[-1.0）∪（0.2）．（2）y=−2x的图象.并直接作答下列问题：15.（问答题.8分）作出函数f(x)=2x+1x−1① f（x）的图象与x轴的交点坐标为___ .与y轴的交点坐标为___ ；② 不等式f（x）＜3的解集为___ ．16.（问答题.8分）（1）已知二次函数f（x）.且满足f（0）=1.f（x+1）-f（x）=2x.求f（x）的表达式；（2）已知f（x）是一次函数.且f（f（x））=4x-1.求f（x）的表达式．17.（问答题.8分）（1）求函数y=x−1+√3−x的值域；(x−m)2+1在[1.2]上的最大值g（m）．（2）求函数f(x)=−122020-2021学年江苏省苏州中学高一（上）月考数学试卷（1）参考答案与试题解析试题数：17.满分：01.（填空题.5分）如果全集U={1.2.3.4.5.6.7.8}.A={2.5.8}.B={1.3.5.7}.那么（∁U A ）∩B 等于___ ．【正确答案】：[1]{1.3.7}【解析】：由全集U 和补集的定义求出C U A.再由交集的运算求出（C U A ）∩B ．【解答】：解：∵全集U={1.2.3.4.5.6.7.8}.A={2.5.8}.∴C U A={1.3.4.6.7}.由B={1.3.5.7}得.（C U A ）∩B={1.3.7}.故答案为：{1.3.7}．【点评】：本题的考点是集合的混合运算.直接利用运算的定义求出.由于是用列举法表示的集合故难度不大．2.（填空题.5分）设集合A={x|1＜x ＜2}.B={x|x ＜a}满足A ⫋B.则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]a≥2【解析】：根据真子集的定义、以及A 、B 两个集合的范围.求出实数a 的取值范围．【解答】：解：由于 集合A={x|1＜x ＜2}.B={x|x ＜a}.且满足A ⫋B.∴a≥2.故答案为：a≥2．【点评】：本题主要考查集合间的关系.真子集的定义.属于基础题．3.（填空题.5分）函数f （x ）= √x +1 +13−x的定义域为___ ． 【正确答案】：[1]{x|x≥-1且x≠3}【解析】：根据二次根式的性质以及分母不为0求出函数的定义域即可．【解答】：解：由题意得： {x +1≥03−x ≠0.解得：x≥-1且x≠3. 故函数的定义域是：{x|x≥-1且x≠3}.故答案为：{x|x≥-1且x≠3}．【点评】：本题考查了求函数的定义域问题.考查二次根式的性质.是一道基础题．4.（填空题.5分）满足条件{1.2.3}⫋M ⫋{1.2.3.4.5.6}的集合M 的个数为___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：根据题意M 中必须有1.2.3这三个元素.因此M 的个数应为集合{4.5.6}的非空真子集的个数．【解答】：解：根据题意：M 中必须有1.2.3这三个元素.则M 的个数应为集合{4.5.6}的非空真子集的个数.所以是6个故答案为：6【点评】：本题主要考查子集、真子集的概念及运算．5.（填空题.5分）函数 f (x )={x +1， x ＞0π， x =00， x ＜0.则f （f （-1））=___ ． 【正确答案】：[1]π【解析】：求出f （-1）=0.从而f （f （-1））=f （0）.由此能求出结果．【解答】：解：∵函数 f (x )={x +1， x ＞0π， x =00， x ＜0.∴f （-1）=0.f （f （-1））=f （0）=π．故选：π．【点评】：本题考查函数值的求法.考查函数性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．6.（填空题.5分）已知集合A={m+2.2m 2+m}.若3∈A .则m 的值为___ ．【正确答案】：[1]- 32【解析】：根据集合元素的特征.即可求出．【解答】：解：∵集合A={m+2.2m 2+m}.若3∈A .∴m+2=3.且2m 2+m≠3.或m+2≠3.且2m 2+m=3.解得m=1.或m=- 32.当m=1时.∴m+2=3.2m2+m=3.故1舍去.故答案为：- 32【点评】：本题考查了元素与集合的关系.属于基础题．7.（填空题.5分）已知A={x|a-4＜x＜a+4}.B={x|x＜-1或x＞5}.且A∪B=R.则实数a的取值范围为 ___ （用区间表示）．【正确答案】：[1]（1.3）【解析】：由已知结合两集合端点值间的关系列不等式组求得答案．【解答】：解：∵A={x|a-4＜x＜a+4}.B={x|x＜-1或x＞5}.若A∪B=R.则{a−4＜−1a+4＞5.即1＜a＜3．∴实数a的取值范围为（1.3）．故答案为：（1.3）．【点评】：本题考查并集及其运算.关键是对两集合端点值关系的处理.是基础题．8.（填空题.5分）如图所示的对应中.能构成A到B的映射的序号是___ .【正确答案】：[1]（2）（3）【解析】：由题意利用映射的定义.判断各个选项是否符合条件.从而得出结论．【解答】：解：按照映射的定义.集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一确定的象. 而对于选项（1）.集合A中的元素b在集合B中没有象.故排除选项（1）；显然.（2）（3）满足条件；选对于项（4）.集合A中的元素2在B中有2个元素b、c和它对应.故排除选项（4）. 故选：（2）（3）．【点评】：本题主要考查映射的定义.属于基础题．9.（填空题.5分）已知集合P={x|y=0√x+1} .集合Q={y|y=-x2+4}.则P∩Q=___ ．【正确答案】：[1]（-1.2）∪（2.4]【解析】：可以求出集合P.Q.然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵P={x|-1＜x＜2或x＞2}.Q={y|y≤4}.∴P∩Q=（-1.2）∪（2.4]．故答案为：（-1.2）∪（2.4]．【点评】：本题考查了描述法的定义.交集的定义及运算.考查了计算能力.属于基础题．10.（填空题.5分）下列函数中.表示同一函数的是___ ．（1）f（x）=|x|.g（x）= √x2；（2）f（x）= √x2 .g（x）= (√x)2；（3）f（x）= x 2−1x−1.g（x）=x+1；（4）f（x）= √x+1•√x−1 .g（x）= √x2−1．【正确答案】：[1]（1）【解析】：判断函数的定义域与对应法则是否相同.即可判断两个函数是否相同．【解答】：解：（1）f（x）=|x|.g（x）= √x2 =|x|.利用函数的定义域相同.对应法则相同.所以是相同的函数．（2）f（x）= √x2的定义域是R.g（x）= (√x)2的定义域是x≥0；两个函数的定义域不相同.所以不是相同的函数．（3）f（x）= x 2−1x−1的定义域是x≠1.g（x）=x+1的定义域是R.两个函数的定义域不相同.所以不是相同的函数；（4）f（x）= √x+1•√x−1的定义域是x≥1.g（x）= √x2−1的定义域是x≥1或x≤-1.两个函数的定义域不相同.不是相同的函数．故答案为：（1）．【点评】：本题考查函数的基本知识的应用.判断两个函数是否相同.关键是定义域与对应法则相同．11.（填空题.5分）已知f(2x−1)=2x+√2x−1.则f（x）=___ ．【正确答案】：[1]x+√x+1x≥0）【解析】：先求出函数f（2x-1）定义域为{x|x≥ 12}.令t=2x-1（t≥0）.代入f(2x−1)=2x+√2x−1.即可得出答案．【解答】：解：函数f（2x-1）定义域为{x|x≥ 12}.令t=2x-1（t≥0）.代入f(2x−1)=2x+√2x−1中.得f（t）=t+1+√t（t≥0）.所以f（x）=x+1+√xx≥0）．故答案为：f（x）=x+1+√x（x≥0）．【点评】：本题考查换元法求函数解析式.属于基础题．12.（填空题.5分）若实数x.y满足x2+4y2=4x.则S=x2+y2的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][0.16]【解析】：把S表示为关于变量x的二次函数.由y2≥0可求得x的范围.在x的取值范围内利用二次函数的性质即可求得其最值.从而得其范围．【解答】：解：由x2+4y2=4x.得y2= 14(4x−x2) .由y2= 14(4x−x2)≥0.解得0≤x≤4.代入S=x2+y2得.S=x2+ 14(4x−x2) = 34x2 +x= 34(x+23)2- 13.x∈[0.4].S在[0.4]上单调递增.当x=0时S取得最小值为0；当x=4时S取得最大值为16.故S的取值范围为[0.16]．故答案为：[0.16]．【点评】：本题考查二次函数在闭区间上的最值问题.考查学生运用知识分析解决问题的能力.属中档题．13.（问答题.8分）已知A={x|3x2-mx+2m＜0}．（1）若3∈A.求m的取值范围；（2）若0∈A且1∈A.求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据3∈A .可得出27-3m+2m ＜0.解出m 的范围即可；（2）根据0∈A 且1∈A .可得出 {2m ＜03−m +2m ＜0.解出m 的范围即可．【解答】：解：（1）∵3∈A .∴27-3m+2m ＜0.解得m ＞27.∴m 的取值范围为（27.+∞）；（2）∵0∈A .且1∈A .∴ {2m ＜03−m +2m ＜0.解得m ＜-3. ∴m 的取值范围为（-∞.-3）．【点评】：本题考查了元素与集合的关系.考查了计算能力.属于基础题．14.（问答题.8分）求下列函数的值域：（1）y=x 2+2x-3.x∈[-2.2]；（2） y =−2x .x∈[-1.0）∪（0.2）．【正确答案】：【解析】：（1）y=x 2+2x-3=（x+1）2-4.结合定义域.求出y 的最大值和最小值即可；（2）分x∈[-1.0）和x∈（0.2）两段.根据反比例函数 y =−2x 的单调性.求出y 的最大值或最小值即可．【解答】：解：（1）y=x 2+2x-3=（x+1）2-4.∵x∈[-2.2].∴当x=-1时.y 取得最小值-4；当x=2时.y 取得最大值5.∴函数的值域为[-4.5]．（2）当x∈[-1.0）时. y =−2x 单调递增.y∈[2.+∞）；当x∈（0.2）时. y =−2x 单调递增.y∈（-∞.-1）.∴函数的值域为（-∞.-1）∪[2.+∞）．【点评】：本题考查函数值域的求法.考查学生的逻辑推理能力和运算能力.属于基础题．15.（问答题.8分）作出函数 f (x )=2x+1x−1 的图象.并直接作答下列问题： ① f （x ）的图象与x 轴的交点坐标为___ .与y 轴的交点坐标为___ ；② 不等式f （x ）＜3的解集为___ ．【正确答案】：（- 12 .0）; （0.-1）; （-∞.1）∪（4.+∞）【解析】：先画出函数的图象.根据图象.即可求出相对应的答案．【解答】：解：图象如图所示：① 令f （x ）=0.即 2x+1x−1 =0.解得x=- 12 .令x=0.则f （0）=-1.故f （x ）的图象与x 轴的交点坐标为（- 12 .0）.与y 轴的交点坐标为（0.-1）； ② 不等式f （x ）＜3.即 2x+1x−1 ＜3.结合图象可得解集为（-∞.1）∪（4.+∞）.故答案为：① （- 12.0）.（0.-1）；② （-∞.1）∪（4.+∞）．【点评】：本题考查了函数图象的画法和应用.属于基础题．16.（问答题.8分）（1）已知二次函数f（x）.且满足f（0）=1.f（x+1）-f（x）=2x.求f（x）的表达式；（2）已知f（x）是一次函数.且f（f（x））=4x-1.求f（x）的表达式．【正确答案】：【解析】：（1）设f（x）的表达式为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）.由f（0）=1.可得c=1.由f （x+1）-f（x）=2x.可列出关于a和b的方程组.解之即可；（2）设f（x）的表达式为f（x）=kx+m（k≠0）.由f（f（x））=4x-1.可列出关于k和m的方程组.解之即可．【解答】：解：（1）设f（x）的表达式为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）.∵f（0）=1.f（x+1）-f（x）=2x.∴c=1.[a（x+1）2+b（x+1）+c]-（ax2+bx+c）=2x.化简得.2ax+a-b=2x.∴ {2a=2a+b=0 .解得{a=1b=−1.∴f（x）=x2-x+1．（2）设f（x）的表达式为f（x）=kx+m（k≠0）. ∵f（f（x））=4x-1.∴k（kx+m）+m=4x-1.即k2x+m（k+1）=4x-1.∴ {k 2=4m (k +1)=−1 .解得 {k =2m =−13或 {k =−2m =1 . ∴f （x ）=2x- 13 或f （x ）=-2x+1．【点评】：本题考查利用待定系数法求函数的解析式.考查学生的逻辑推理能力和运算能力.属于基础题．17.（问答题.8分）（1）求函数 y =x −1+√3−x 的值域；（2）求函数 f (x )=−12(x −m )2+1 在[1.2]上的最大值g （m ）．【正确答案】：【解析】：（1）利用换元法.令t= √3−x ≥0.则x=3-t 2.故y=-t 2+t+2.再结合配方法即可得解；（2）分m ＜1.1≤m≤2和m ＞2三类.讨论f （x ）在[1.2]上的单调性.从而得解．【解答】：解：（1）令t= √3−x ≥0.则x=3-t 2.∴y=3-t 2-1+t=-t 2+t+2=- (t−12)2 + 94 . ∵t≥0.∴当t= 12 时.y 取得最大值 94 .∴函数的值域为（-∞. 94 ]．（2） f (x )=−12(x −m )2+1 的开口方向向下.对称轴为x=m.当m ＜1时.f （x ）在[1.2]上单调递减.g （m ）=f （1）= −12 （m-1）2+1；当1≤m≤2时.f （x ）在[1.m ）上单调递增.在（m.2]上单调递减.g （m ）=f （m ）=1； 当m ＞2时.f （x ）在[1.2]上单调递增.g （m ）=f （2）= −12 （m-2）2+1．综上.g （m ）= { −12(m −1)2+1，m ＜11，1≤m ≤2−12(m −2)2+1，m ＞2 ．【点评】：本题考查利用换元法求函数值域和二次函数的动轴定区间问题.考查分类讨论思想、逻辑推理能力和运算能力.属于中档题．。

2019-2020学年江苏省苏州中学园区校高三（上）10月月考数学试卷一、填空题1. 已知A={−1, 0, 1, 6}，B={x|x≤0}，则A∩B=________.【答案】{−1, 0}【考点】交集及其运算【解析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵A={−1, 0, 1, 6}，B={x|x≤0}，∴A∩B={−1, 0}.故答案为：{−1,0}.2. 若复数z满足i⋅z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的虚部为________．【答案】−1【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i⋅z=1+2i，得z=1+2ii =(1+2i)(−i)−i2=2−i，∴z的虚部为−1．故答案为：−1.3. 命题“∀x>1，x2≥3”的否定是________．【答案】∃x>1，x2<3【考点】命题的否定【解析】全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x>1，x2≥3”的否定是：∃x>1，x2<3.故答案为：∃x>1，x2<3.4. “x>1”是“x2≥x”的________条件．（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）【答案】【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】先解不等式“x2≥x”可得：x<0或x>1，再判断“x>1”与“x2≥x”的充要性即可．【解答】解：不等式“x2≥x”可得：x≤0或x≥1，又因为”x>1”能推出“x≤0或x≥1”，“x≤0或x≥1”不能推出”x>1”，即“x>1”是“x2≥x”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 若f(2x)=3x2+1，则函数f(x)的解析式是________．【答案】f(x)=34x2+1【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】直接利用配凑法求解函数的解析式即可．【解答】解：f(2x)=3x2+1=34(2x)2+1，可得f(x)=34x2+1．故答案为：f(x)=34x2+1．6. 函数y=√7−6x−x2的定义域是________.【答案】[−7, 1]【考点】函数的定义域及其求法【解析】由函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：由函数y=√7−6x−x2，令7−6x−x2≥0，即x2+6x−7≤0，解得−7≤x≤1，所以函数y=√7−6x−x2的定义域是[−7, 1]．故答案为：[−7, 1].7. 函数f(x)=ln xx的单调递增区间是________．【答案】(0, e)利用导数研究函数的单调性【解析】求出函数f(x)=ln xx的导数为y′的解析式，令y′>0求得x的范围，即可得到函数f(x)=ln xx的单调递增区间．【解答】解：由于函数f(x)=ln xx 的导数为y′=1−ln xx2，令y′>0可得ln x<1，解得0<x<e，故函数f(x)=ln xx的单调递增区间是(0, e).故答案为：(0, e).8. 函数y=3x3−9x+5在[−2, 2]的最大值与最小值之差为________.【答案】12【考点】利用导数研究函数的最值【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值和最小值，求和即可．【解答】解：∵y=3x3−9x+5，∴y′=9x2−9=0，解得：x1=1，x2=−1，令y′>0，解得：x>1或x<−1，令y′(x)<0，解得：−1<x<1，∴函数在[−2, −1)递增，在(−1, 1)递减，在(1, 2]递增，∴x=−1时，y取极大值，极大值是11，x=1时，y取极小值，极小值是−1，而x=−2时，y=−1，x=2时，y=11，函数的最大值为：11，最小值为：−1，故函数的最大值与最小值之差是12.故答案为：12.9. 水波的半径以0.5m/s的速度向外扩张，当半径为2.5m时，圆面积的膨胀率是________m2/s.【答案】2.5π【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据水波的速度，写出水波对于时间的函数表示式，求出导函数，计算水波半径是2.5时的时间，求出对应的导数即可．【解答】解：水波的半径以v=0.5m/s的速度向外扩张，则水波的面积为s =πr 2=π(vt)2=0.25πt 2，又水波面积的膨胀率为s ′=0.5πt ，所以当半径为2.5m 时，t =2.50.5=5(s)，此时s ′=0.5π×5=2.5π，即半径为2.5m 时，水波面积的膨胀率是2.5πm 2/s ．故答案为：2.5π.10. 设函数y =f(x)为R 上的偶函数，且对任意的x 1，x 2∈(−∞, 0]均有[f(x 1)−f(x 2)]⋅(x 1−x 2)≤0，则满足f(x +1)<f(2x −1)的实数x 的范围是________.【答案】(−∞, 0)∪(2, +∞)【考点】一元二次不等式的解法函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】根据条件判断函数的单调性，结合函数单调性和奇偶性的关系进行转化求解即可．【解答】解：对任意的x 1，x 2∈(−∞, 0]均有[f(x 1)−f(x 2)]⋅(x 1−x 2)≤0，则当x ≤0时，函数f(x)为减函数，∵ f(x)是偶函数，∴ f(x)在[0, +∞)上是增函数，则f(x +1)<f(2x −1)等价为f(|x +1|)<f(|2x −1|)，即|x +1|<|2x −1|，平方得x 2+2x +1<4x 2−4x +1，即3x 2−6x >0，得x(x −2)>0，∴ x >2或x <0，即x 的取值范围是(−∞, 0)∪(2, +∞).故答案为：(−∞, 0)∪(2, +∞).11. 已知f(x)={2019x 2,x ≥0，ax 2,x <0是奇函数且f(3t −a)+4f(8−2t)≤0，则t 的取值范围是________.【答案】[2035, +∞)【考点】分段函数的应用【解析】解：因为当x ≥0时，f(x)＝2019x 2单调递增；且知f(x)={2019x 2,x ≥0ax 2,x <0 是奇函数且在x ＝0处连续；所以整个函数都是增函数；根据f(−x)＝−f(x)求解a 的值，由题意不难发现4f(x)＝f(2x)，那么4f(2t −8)＝f(4t −16)，利用单调性即可求解．【解答】解：因为当x ≥0时，f(x)=2019x 2单调递增，且知f(x)={2019x 2,x ≥0，ax 2,x <0是奇函数且在x =0处连续， 所以整个函数都是增函数.令x <0，−x >0，f(−x)=2019(−x)2=2019x 2，∵ f(x)是奇函数，∴ f(−x)=−f(x)，∴ f(x)=−2019x 2，∴ a =−2019，∴ f(3t −a)+4f(8−2t)≤0⇒f(3t −a)≤−4f(8−2t)=4f(2t −8)=f(4t −16)，∴ 3t +2019≤4t −16，解得：t ≥2035．故答案为：[2035,+∞).12. 若f(x)=|x −2018|+2020|x −a|的最小值为1，则a =________.【答案】2017或2019【考点】函数的最值及其几何意义【解析】由绝对值的几何意义|x −a|表示数轴上x 到a 的距离．【解答】解：由f(x)的几何意义为：在数轴上有三点，A 点坐标为−a ，B 点坐标为2018，X 点坐标为x ，f(x)表示X 到B 的距离加上2020倍X 到A 距离，即：f(x)=BX +2020AX ，当X 点与A 点重合时，取得最小值，此时f(x)min =|a −2018|=1，∴ a =2017或2019，即x =2017或2019时，两个距离之和最小为1.故答案为：2017或2019.13. 若方程3−b 2−2b cos x −2sin 2x =0(x ∈[−π2,π2])有两个不同的实数解，则b 的取值范围是________.【答案】45<b ≤2 【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】将化为2cos 2x −2b cos x +1−b 2=0，设cos x ＝t ∈[0, 1]，进一步将方程化为方程转化为 t 2−2bt +1−b 2=0 t ∈[0, 1]的根的问题；当x ∈[−π2,π2]，则 t ∈[0, 1]；而t ∈(0, 1)时，一个t 对应两个x ，转化为 t 2−2bt +1−b 2=0 t ∈(0, 1)只有一个实根，端点再单独讨论．【解答】解：方程3−b 2−2b cos x −2sin 2x =0在x ∈[−π2,π2]上有两个不同的实根可转化为： 方程2cos 2x −2b cos x +1−b 2=0有两个不同的实根.设t =cos x ，(x ∈[−π2,π2])，则 t ∈[0, 1]，方程转化为 t 2−2bt +1−b 2=0，t ∈[0, 1]的根的问题，若t =0，则b =2，此时方程的另一个根为t =2>1，b =2满足条件，若t =1显然不满足条件，若t ∈(0, 1)，则方程 t 2−2bt +1−b 2=0 在t ∈(0, 1)只有一个实数根， 所以 (1−b 2)(2−5b 2)<0，即 45<b <2. 故答案为:45<b <2.14. 在直角三角形ABC 中，∠A =π2,AB =6,AC =8，过三角形ABC 内切圆圆心O 的直线l 与圆相交于E ，F 两点，则AE →⋅BF →的取值范围是________．【答案】[−20, 4]【考点】点的极坐标不唯一平面向量数量积的性质及其运算律余弦函数的定义域和值域【解析】如图所示建立直角坐标系，A(0, 0)，B(6, 0)，C(0, 8)，通过面积求出r ＝2，圆心坐标(2, 2)，由圆的参数方程设E ，F 坐标，进而分析取值范围．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，A(0, 0)，B(6, 0)，C(0, 8)， 在Rt △ABC 中，BC =√AC 2+AB 2=√62+82=10，设内切圆的半径为r ，则S △ABC =12×AC ×AB =12(AC +AB +BC)×r ，所以12×6×8=12×(6+8+10)×r ，所以r =2，圆心坐标(2, 2)，圆的参数方程为{x =2+2cos θ,y =2+2sin θ,设E(2+2cos θ, 2+2sin θ)，F(2−2cos θ, 2−2sin θ)，(0≤θ<2π)，AE →⋅BF →=(2+2cos θ, 2+2sin θ)⋅(−4−2cos θ, 2−2sin θ)=−8−12cos θ (0≤θ<2π)，∴ AE →⋅BF →∈[−20, 4].故答案为：[−20,4].二、解答题已知函数f(x)=x 2+1，g(x)=4x +1的定义域都是集合A ，函数f(x)和g(x)的值域分别为S 和T .(1)若A =[1, 2]，求S ∩T ；(2)若A =[0, m]且S =T ，求实数m 的值；(3)若对于集合A 的任意一个数x 的值都有f(x)=g(x)，求集合A ．【答案】解：(1)若A =[1, 2]，则函数f(x)=x 2+1的值域是S =[2, 5]，g(x)=4x +1的值域T =[5, 9]，∴ S ∩T ={5}；(2)若A =[0, m]，则S =[1, m 2+1]，T =[1, 4m +1]，由S =T 得m 2+1=4m +1，解得m =4或m =0（舍去）；(3)若对于A 中的每一个x 值，都有f(x)=g(x)，即x 2+1=4x +1，∴ x 2=4x ，解得x =4或x =0，∴ 满足题意的集合是{0}，或{4}或{0, 4}．【考点】函数的单调性及单调区间函数的值域及其求法交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】①根据函数的定义域分别求出两个奇函数的值域，根据集合的基本运算求S ∩T ． ②根据条件A ＝[0, m]且S ＝T ，建立条件关系即可求实数m 的值．③根据条件f(x)＝g(x)建立条件关系即可求集合A ．【解答】解：(1)若A =[1, 2]，则函数f(x)=x 2+1的值域是S =[2, 5]，g(x)=4x +1的值域T =[5, 9]，∴ S ∩T ={5}；(2)若A =[0, m]，则S =[1, m 2+1]，T =[1, 4m +1]，由S =T 得m 2+1=4m +1，解得m =4或m =0（舍去）；(3)若对于A 中的每一个x 值，都有f(x)=g(x)，即x 2+1=4x +1，∴ x 2=4x ，解得x =4或x =0，∴ 满足题意的集合是{0}，或{4}或{0, 4}．已知α，β∈(0, π)，且tan α=2，cos β=−7√210． (1)求cos 2α的值；(2)求2α−β的值．【答案】解：(1)cos 2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α，因为tan α=2，所以1−tan 2α1+tan 2α=1−41+4=−35，所以cos 2α=−35．(2)因为α∈(0, π)，且tan α=2，所以α∈(0,π2)，又cos 2α=−35，所以2α∈(π2,π)，sin 2α=45. 因为β∈(0, π)，cos β=−7√210． 所以sin β=√210，β∈(π2,π)，所以sin (2α−β)=sin 2αcos β−cos 2αsin β=45×(−7√210)−(−35)×√210=−√22， 又2α−β∈(−π2,π2)，所以2α−β=−π4． 【考点】二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】（1）利用二倍角的余弦函数，通过分母“1＝sin 2α+cos 2α”的代换，然后化简分式2tan α的形式，代入数值全家健康．（2）通过α，β的范围求出sin 2α，sin β，通过二倍角的正弦函数，求出sin (2α−β)的值，结合角的范围求出角的大小即可．【解答】解：(1)cos 2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α，因为tan α=2，所以1−tan 2α1+tan 2α=1−41+4=−35，所以cos 2α=−35．(2)因为α∈(0, π)，且tan α=2，所以α∈(0,π2)， 又cos 2α=−35，所以2α∈(π2,π)，sin 2α=45.因为β∈(0, π)，cos β=−7√210． 所以sin β=√210，β∈(π2,π)，所以sin (2α−β)=sin 2αcos β−cos 2αsin β=45×(−7√210)−(−35)×√210=−√22， 又2α−β∈(−π2,π2)，所以2α−β=−π4．经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量（单位：百件）和价格（单位：元）均为时间t （单位：天）的函数，且销售量近似地满足f(t)={60+t,1≤t ≤60,150−12t,61≤t ≤100(t ∈N )，价格为g(t)=200−t(1≤t ≤100, t ∈N )． (1)求该种商品的日销售额ℎ(t)与时间t 的函数关系；(2)求t 为何值时，日销售额最大．【答案】解：(1)由题意知，当1≤t ≤60，t ∈N 时，ℎ(t)=f(t)⋅g(t)=(60+t)⋅(200−t)=−t 2+140t +12000，当61≤t ≤100，t ∈N 时，ℎ(t)=f(t)⋅g(t)=(150−12t)⋅(200−t)=12t 2−250t +30000，所以所求函数关系为ℎ(t)={−t 2+140t +12000,(1≤t ≤60,t ∈N )，12t 2−250t +30000,(61≤t ≤100,t ∈N ). (2)当1≤t ≤60，t ∈N 时，ℎ(t)=−t 2+140t +12000=−(t −70)2+16900，所以，函数ℎ(t)在[1, 60]上单调递增，故ℎ(t)max=ℎ(60)=16800（百元），当61≤t≤100，t∈N时，ℎ(t)=12t2−250t+30000=12(t−250)2−1250，所以函数ℎ(t)在[61, 100]上单调递减，故ℎ(t)max=ℎ(61)=16610.5（百元），因为16610.5<16800，所以当t为60时，日销售额最大．【考点】二次函数在闭区间上的最值根据实际问题选择函数类型分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】（1）利用ℎ(t)＝f(t)⋅g(t)，通过t的范围求出函数的解析式．（2）利用分段函数结合二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：(1)由题意知，当1≤t≤60，t∈N时，ℎ(t)=f(t)⋅g(t)=(60+t)⋅(200−t)=−t2+140t+12000，当61≤t≤100，t∈N时，ℎ(t)=f(t)⋅g(t)=(150−12t)⋅(200−t)=12t2−250t+30000，所以所求函数关系为ℎ(t)={−t2+140t+12000,(1≤t≤60,t∈N)，12t2−250t+30000,(61≤t≤100,t∈N).(2)当1≤t≤60，t∈N时，ℎ(t)=−t2+140t+12000=−(t−70)2+16900，所以，函数ℎ(t)在[1, 60]上单调递增，故ℎ(t)max=ℎ(60)=16800（百元），当61≤t≤100，t∈N时，ℎ(t)=12t2−250t+30000=12(t−250)2−1250，所以函数ℎ(t)在[61, 100]上单调递减，故ℎ(t)max=ℎ(61)=16610.5（百元），因为16610.5<16800，所以当t为60时，日销售额最大．已知函数f(x)=|1−1x|，(x>0)．(1)当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求证：ab>1；(2)是否存在实数a，b(a<b)，使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a, b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．(3)若存在实数a，b(a<b)，使得函数y=f(x)的定义域为[a, b]时，值域为[ma, mb](m ≠0)，求m 的取值范围． 【答案】(1)证明：∵ x >0， ∴ f(x)={1−1x,x ≥1，1x−1,0<x <1.∴ f(x)在(0, 1)上为减函数，在(1, +∞)上是增函数． 由0<a <b ，且f(a)=f(b)，可得 0<a <1<b 和1a −1=1−1b ，即1a +1b =2． ∴ 2ab =a +b >2√ab ． 故√ab >1，即ab >1．(2)解：不存在满足条件的实数a ，b ．若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y =f(x)=|1−1x |的定义域、值域都是[a, b]， 则a >0，f(x)={1−1x ,x ≥1，1x−1,0<x <1.①当a ，b ∈(0, 1)时，f(x)=1x−1在(0, 1)上为减函数， 故{f(a)=b ，f(b)=a ， 即{1a−1=b ，1b −1=a ，解得a =b ． 故此时不存在适合条件的实数a ，b ．②当a ，b ∈[1, +∞)时，f(x)=1−1x 在(1, +∞)上是增函数．故{f(a)=a ，f(b)=b ， 即{1−1a =a ，1−1b=b ，此时a ，b 是方程x 2−x +1=0的根，此方程无实根， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ．③当a ∈(0, 1)，b ∈[1, +∞)时，由于1∈[a, b]，而f(1)=0∉[a, b]， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ． 综上可知，不存在适合条件的实数a ，b ．(3)解：若存在实数a ，b(a <b)，使得函数y =f(x)的定义域为[a, b]时， 值域为[ma, mb]，则a >0，m >0．①当a ，b ∈(0, 1)时，由于f(x)在(0, 1)上是减函数，故{1a −1=mb ，1b−1=ma ，此时刻得a ，b 异号，不符合题意，∴ a ，b 不存在． ②当a ∈(0, 1)或b ∈[1, +∞)时，由(2)知0在值域内， 值域不可能是[ma, mb]，∴ a ，b 不存在， 故只有a ，b ∈[1, +∞)．∵ f(x)=|1−1x |在[1, +∞)上是增函数， ∴ {f(a)=ma ，f(b)=mb ， 即{1−1a =ma ，1−1b =mb ，∴ a ，b 是方程mx 2−x +1=0的两个根，即关于x 的方程mx 2−x +1=0有两个大于1的实根．设这两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2=1m ，x 1⋅x 2=1m ． ∴ {Δ>0，(x 1−1)+(x 2−1)>0，(x 1−1)(x 2−1)>0， 即{1−4m >0，1m−2>0，解得0<m <14．故m 的取值范围是0<m <14． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 函数单调性的判断与证明 函数的值域及其求法 函数的定义域及其求法 【解析】（I ）确定函数解析式，利用函数的单调性，可得1a+1b =2，利用基本不等式，即可得出结论；(II)分类讨论，若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y =f(x)=|1−1x |的定义域、值域都是[a, b]，从而可得结论；(III)分类讨论，若存在实数a ，b(a <b)，使得函数y ＝f(x)的定义域为[a, b]时，值域为[ma, mb]，即可得出结论． 【解答】(1)证明：∵ x >0， ∴ f(x)={1−1x ,x ≥1，1x−1,0<x <1.∴ f(x)在(0, 1)上为减函数，在(1, +∞)上是增函数． 由0<a <b ，且f(a)=f(b)，可得0<a <1<b 和1a −1=1−1b ，即1a +1b =2． ∴ 2ab =a +b >2√ab ． 故√ab >1，即ab >1．(2)解：不存在满足条件的实数a ，b ．若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y =f(x)=|1−1x |的定义域、值域都是[a, b]， 则a >0，f(x)={1−1x ,x ≥1，1x−1,0<x <1.①当a ，b ∈(0, 1)时，f(x)=1x −1在(0, 1)上为减函数， 故{f(a)=b ，f(b)=a ， 即{1a−1=b ，1b −1=a ，解得a =b ．故此时不存在适合条件的实数a ，b ．②当a ，b ∈[1, +∞)时，f(x)=1−1x 在(1, +∞)上是增函数．故{f(a)=a ，f(b)=b ， 即{1−1a=a ，1−1b=b ，此时a ，b 是方程x 2−x +1=0的根，此方程无实根， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ．③当a ∈(0, 1)，b ∈[1, +∞)时，由于1∈[a, b]，而f(1)=0∉[a, b]， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ． 综上可知，不存在适合条件的实数a ，b ．(3)解：若存在实数a ，b(a <b)，使得函数y =f(x)的定义域为[a, b]时， 值域为[ma, mb]，则a >0，m >0．①当a ，b ∈(0, 1)时，由于f(x)在(0, 1)上是减函数，故{1a −1=mb ，1b−1=ma ，此时刻得a ，b 异号，不符合题意，∴ a ，b 不存在．②当a ∈(0, 1)或b ∈[1, +∞)时，由(2)知0在值域内， 值域不可能是[ma, mb]，∴ a ，b 不存在， 故只有a ，b ∈[1, +∞)．∵ f(x)=|1−1x |在[1, +∞)上是增函数， ∴ {f(a)=ma ，f(b)=mb ， 即{1−1a=ma ，1−1b =mb ，∴ a ，b 是方程mx 2−x +1=0的两个根，即关于x 的方程mx 2−x +1=0有两个大于1的实根．设这两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2=1m ，x 1⋅x 2=1m ． ∴ {Δ>0，(x 1−1)+(x 2−1)>0，(x 1−1)(x 2−1)>0， 即{1−4m >0，1m−2>0，解得0<m <14．故m 的取值范围是0<m <14．已知函数f(x)=a3x 3−12(a +1)x 2+x −13．(1)若函数f(x)的图象在点(2, f(2))处的切线方程为9x −y +b =0，求实数a ，b 的值；(2)若a ≤0，求f(x)的单调减区间；(3)对一切实数a ∈(0, 1)，求f(x)的极小值的最大值． 【答案】解：(1)f ′(x)=ax 2−(a +1)x +1(a ∈R )，由f′(2)=9，得a=5，∴f(x)=53x3−3x2+x−13，∴f(2)=3，∴(2, 3)在直线9x−y+b=0上，∴b=−15．(2)①若a=0，f(x)=−12x2+x−13=−12(x−1)2+16，∴f(x)的单调减区间为(1, +∞)．②若a<0，则f′(x)=ax2−(a+1)x+1=a(x−1a)(x−1),x∈R，令f′(x)<0，得(x−1a)(x−1)>0，∴x<1a或x>1，∴f(x)的单调减区间为(−∞,1a)，(1, +∞)．(3)f′(x)=a(x−1)(x−1a)，0<a<1，列表：f(1a)=a3⋅1a3−12(a+1)1a2+1a−13=−16⋅1a2+12⋅1a−13=−16(1a−32)2+124．当a=23时，函数f(x)的极小值f(1a)取得最大值为124．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求导函数，利用函数f(x)的图象在点（2, f(2)）处的切线方程为9x−y+b＝0，即可求实数a，b的值；（2）分类讨论，利用导数小于0，可得f(x)的单调减区间；（3）求导数，确定f(x)的极小值，对一切实数a∈(0, 1)，利用配方法，即可求f(x)的极小值的最大值．【解答】解：(1)f′(x)=ax2−(a+1)x+1(a∈R)，由f′(2)=9，得a=5，∴f(x)=53x3−3x2+x−13，∴f(2)=3，∴(2, 3)在直线9x−y+b=0上，∴b=−15．(2)①若a=0，f(x)=−12x2+x−13=−12(x−1)2+16，∴f(x)的单调减区间为(1, +∞)．②若a<0，则f′(x)=ax2−(a+1)x+1=a(x−1a)(x−1),x∈R，令f′(x)<0，得(x−1a)(x−1)>0，∴x<1a或x>1，∴f(x)的单调减区间为(−∞,1a)，(1, +∞)．(3)f′(x)=a(x−1)(x−1a)，0<a<1，列表：f(1a)=a3⋅1a3−12(a+1)1a2+1a−13=−16⋅1a2+12⋅1a−13=−16(1a−32)2+124．当a=23时，函数f(x)的极小值f(1a)取得最大值为124．数列{a n}的前n项和为S n，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称数列{a n}为S数列．(1)S数列的任意一项是否可以写成其某两项的差？请说明理由．(2)①是否存在等差数列为S数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．②是否存在正项递增等比数列为S数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵数列{a n}是S数列，∴对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，∴n≥2时，S n−1=a p(p∈N∗)，∴S n−S n−1=a m−a p，即a n=a m−a p，而n=1时，S2=a q，则a1=a q−a2，故S数列的任意一项都可以写成其某两项的差；(2)①假设存在等差数列为S数列，设其首项为a1，公差为d，(i)当d=0时，若a1≠0，则对任意的正整数n，不可能存在正整数m，使得S n=a m，即na1=a1；(ii)当d=0且a1=0时，显然满足题意；(iii)当d≠0时，由S n=a m得，na1+n(n−1)2d=a1+(m−1)d，故m−1=(n−1)a1+n(n−1)2dd=(n−1)a1d+n(n−1)2∈Z，∵n(n−1)2∈Z，n=1时显然存在m=1满足上式，当n=2时，a1d+1≥0，∴a1d ≥−1,a1d∈Z，此时(n−1)a1d +n(n−1)2≥−n+1+n(n−1)2=(n−1)(n−2)2≥0符合题意，综上，存在a1=kd，k∈Z，k≥−1满足题意；②假设存在正项递增等比数列为S数列，则a1>0，q>0，∴对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，∵S n+1S n =a1(1−q n+1)1−qa1(1−q n)1−q=q n+1−1 q n−1=q(q n−1)+q−1q n−1=q+q−1 q n−1<q+q−1 q+1q−1=q+q(q−1)=q2，∴q<S n+1S n<q2，即a m q<S n+1<a m q2，即a m+1<S n+1<a m+2，∵S n+1∈{a n}且{a n}单调递增，显然当n>logq(q+1)−1时，不存在t∈N∗，使得S n+1=a t，这与S数列的定义矛盾．故不存在正项递增等比数列为S数列．【考点】数列与函数最值问题数列的应用数列递推式【解析】（1）由数列前n项和与通项的关系，结合定义即可得出结论；（2）假设存在，分d＝0且a1≠0，d＝0且a1＝0及d≠0讨论得出结论；（3）运用反证法即可得出结论．【解答】解：(1)∵数列{a n}是S数列，∴对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，∴n≥2时，S n−1=a p(p∈N∗)，∴S n−S n−1=a m−a p，即a n=a m−a p，而n=1时，S2=a q，则a1=a q−a2，故S数列的任意一项都可以写成其某两项的差；(2)①假设存在等差数列为S数列，设其首项为a1，公差为d，(i)当d=0时，若a1≠0，则对任意的正整数n，不可能存在正整数m，使得S n=a m，即na1=a1；(ii)当d=0且a1=0时，显然满足题意；(iii)当d≠0时，由S n=a m得，na1+n(n−1)2d=a1+(m−1)d，故m−1=(n−1)a1+n(n−1)2dd=(n−1)a1d+n(n−1)2∈Z，∵n(n−1)2∈Z，n=1时显然存在m=1满足上式，当n=2时，a1d+1≥0，∴a1d ≥−1,a1d∈Z，此时(n−1)a1d +n(n−1)2≥−n+1+n(n−1)2=(n−1)(n−2)2≥0符合题意，综上，存在a1=kd，k∈Z，k≥−1满足题意；②假设存在正项递增等比数列为S数列，则a1>0，q>0，∴对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，∵S n+1S n =a1(1−q n+1)1−qa1(1−q n)1−q=q n+1−1 q n−1=q(q n−1)+q−1q n−1=q+q−1 q n−1<q+q−1 q+1q−1=q+q(q−1)=q2，∴q<S n+1S n<q2，即a m q<S n+1<a m q2，即a m+1<S n+1<a m+2，∵S n+1∈{a n}且{a n}单调递增，显然当n>logq(q+1)−1时，不存在t∈N∗，使得S n+1=a t，这与S数列的定义矛盾．故不存在正项递增等比数列为S数列．。

江苏省苏州中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知命题{}2|:32,360p x x x x x ∀∈-<<-<，则p ⌝是（ ）A ．{}232,3|60x x x x x ∀∈-<<-≥B ．{}232,3|60x x x x x ∃∈-<<-≥C ．{}232,3|60x x x x x ∀∉-<<-<D ．{}232,3|60x x x x x ∃∈-<<-<2．已知0m n <<，则下列不等式成立的是（ ）A ．n m m n >B ．2mn n <C ．11n m <D ．2m n > 3．已知,a b 为实数，则“1a b >>”是“()()110a b -->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和()b a b <，其全程的平均时速为v ，则（ ）A ．a v <<B 2a b v +<C ．2a b v +<<D v b < 5．已知命题{}|:12p x x x ∀∈≤≤，都有20x a -≥，命题:q 存在2000,220x x ax a ∈++-=R ，若p 与q 不全为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}|2a a ≤-B ．{}|1a a ≤C ．{}2|1a a a ≤-=或D ．{}1|21a a a -<<>或6．已知集合{}()(){}221,2,|20A B x x ax x x b ==+++=，且()R A B ⋂=∅ð，则集合B 的子集个数为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．327．若{},,M x x b a b ==∈∈Z Z ∣，则下列结论中正确结论的个数为（ ）M ； ②M ⊆Z ；③若12,x x M ∈，则12x x M +∈；④若12,x x M ∈且20x ≠，则12x M x ∈； ⑤存在x M ∈且x ∉Z ，满足2022x M -∈.A ．2B ．3C ．4D ．5 8．关于x 的不等式()221ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．33,11,22⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．3443,,2332⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．33,11,22⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．3443,,2332⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多选题9．设{}2540A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B A =U ，则实数a 的值可以是（ ） A ．0 B ．14 C ．4 D ．110．若关于x 的不等式()2020ax bx c a ≤++≤>的解集为{}|13x x -≤≤，则32a b c ++的值可以是（ ）A ．12B ．32C ．2D ．411．对任意,A B ⊆R ，记{},A B xx A Bx A B ⊕=∈⋃∉⋂，并称A B ⊕为集合,A B 的对称差．例如：若{}{}1,2,3,2,3,4A B ==，则{}1,4A B ⊕=．下列命题中，为真命题的是（ ）A ．若,AB ⊆R 且A B B ⊕=，则A =∅B ．若,A B ⊆R 且A B ⊕=∅，则A B =C ．若,A B ⊆R 且A B A ⊕⊆，则A B ⊆D ．存在,A B ⊆R ，使得A B A B ⊕≠⊕R R 痧三、填空题12．已知集合{},A m m =，若2A ∈，则m =．13．已知12,34a b a b ≤-≤≤+≤则93a b +的取值范围为．14．定义集合{|}P x a x b =≤≤的“长度”是b a -，其中a ，b ∈R ．已如集合1{|}2M x m x m =≤≤+，3{|}5N x n x n =-≤≤，且M ，N 都是集合{|12}x x ≤≤的子集，则集合M N ⋂的“长度”的最小值是；若65m =，集合M N ⋃的“长度”大于35，则n 的取值范围是.四、解答题15．求下列不等式的解集： (1)503x x ->+ (2)2223712x x x x +-≥-- (3)212x x -->．16．已知集合{}28150A x x x =++≤，{}3222B x m x m =-<<+. (1)若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围；(2)若将题干中的集合B 改为{}2132B x m x m =+≤≤-，是否有可能使命题p ：“x A ∀∈，都有x B ∈”为真命题，请说明理由.17．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占总面积为S 平方米．（Ⅰ）试用x 表示S ．（Ⅱ）当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．18．已知函数()()2111y m x m x m =+--+-的图象为C ．(1)若图象C 恒在直线1y =下方（不包括直线1y =），求m 的取值范围；(2)求图象C 在直线()1y m x =+上以及直线上方的点的横坐标x 的取值范围（用m 表示）；(3)当自变量x 满足1122x -≤≤时，函数值0y ≥恒成立，求m 的取值范围． 19．已知集合{}12,,,n A x x x =L ，*N n ∈，3n ≥，若x A ∈，y A Î，x y A +∈或x y A -∈，则称集合A 具有“包容”性．(1)判断集合{}1,1,2,3-和集合{}1,0,1,2-是否具有“包容”性；(2)若集合{}1,,B a b =具有“包容”性，求22a b +的值；(3)若集合C 具有“包容”性，且集合C 的子集有64个，1C ∈，试确定集合C ．。

江苏省苏苑高级中学2020至2021学年高一10月月考数 学 试 卷一．单选题.（本题共有8个小题，每小题只有一个选项．．．．．．符合题意，85=40⨯分.） 1.若集合P 不是集合Q 的子集，则下列结论正确的是 （ ）A.Q P ⊆B.P Q =∅C.P Q ⋂≠∅D.P Q P ≠2. 下面命题正确的是 （ ）A ．“”是“”的充分必要条件B ．命题“∀，都有”的否定是“1x ∃≥，使得21x ≥”C ．设，则“”是“”的必要不充分条件D ．设，则“且”是“”的必要不充分条件3.下列命题中，正确的是 （ ） A.4x x +的最小值是4的最小值是2 C.14(0,1),1x x x ∈+-的最小值是5 D. 14(0,1),1x x x∈+-的最小值是9 4.若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则,a b 的值为 （ ）A ．8,10a b =-=-B ．4,9a b =-=-C ．1,9a b =-=D ．1,2a b =-=5. 下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是 （ ） A.21()1,()1x f x x g x x -=-=+ B.()21,,()21,f x x x Z g x x x Z =-∈=+∈ C.1,1()|1|,()1,1x x f x x g x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩D. 2()()f x g x == 11a<1x <21x <,a b ∈R 0a ≠0ab ≠,x y ∈R 2x ≥2y ≥224x y +≥6. 已知,,a b c ∈R ，则下列四个命题正确的个数是 （ ） ①若22ac bc >，则a b >；②若22a b ->-，则()()2222a b ->-；③若0a b c >>>，则a a c b b c+>+； ④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，则2a >， 2b >.A.1B.2C.3D.47. 若实数a 、b 满足0a ≥，0b ≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(),a b a b ϕ=-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的 条件．（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要8. 集合P 具有性质“若x P ∈，则1P x∈”，就称集合P 是伙伴关系的集合，集合111,0,,,1,2,3,432A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为 （ ） A.3 B.7 C.15 D.31二．不定项选择题.（本题共有4个小题，每题至少有一个选．．．．．．项．符合题意，每小题5分，不选、多选得0分，漏选得3分，共20分.）9.{|()(3)0},{|(4)(1)0},M x x a x N x x x =--==--= 下列说法正确的是（ ）A. 若M N ⋃有4个元素，则=M N ⋂∅B. 若=M N ⋂∅，则M N ⋃有4个元素C. 若={1,3,4}M N ⋃，则=M N ⋂∅D. 若M N ⋂≠∅，则={1,3,4}M N ⋃10.下列命题的否定．．中，是全称量词命题且为真命题的有 （ ） A.21,04x R x x ∃∈-+≤ B.[1,2],a ∃∈-210x ax -+<有解C.2,220x R x x ∀∈++≥ D.x R ∃∈,2-340x x +< 11.不等式20ax bx c ++>的解集是{|12}x x -<<,则能使不等式2(1)(1)2a x b x c ax ++-+<成立的x 的集合为 （ ）A. {|03}x x <<B. {|0}x x <C. {|3}x x >D. {|21}x x -<<12.设正数,m n 满足2,m n += 则下列说法正确的是 （ ） A.12m n +的最小值是32+B.212的最小值为2 D. 22m n +的最小值为2三.填空题.（本大题共4个小题，每题5分，共20分.）13.设A ={x |x 2−8x +15=0}，={|10}B x ax -=，若B ⊆A ，则实数a 组成的集 合C = .14.若集合{}21,M y y x x R ==-∈，{N x y ==，则M N = .15.设正实数满足324a ab b ++=，那么ab 的最大值为 .16.若函数()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 .四.解答题.（本大题共6个小题，17题10分，其余各题均为12分，共70分，请写出．．．必．要的文字说明．．．．．．.） 17.已知：{}2|2350A x x x =--≤，{}|2513B x x =-≤，{}|121C x m x m =+<<-，全集U =R .（1）求A B ，()U C A B ⋂；（2）若A C A ⋃=，求m 的取值范围.18. 记不等式321x x +≤+的解集为A ，关于x 的不等式()()()1201x a a x a ---≥<的解集为B ,U=R .（1）求U C A ；（2）若A B B ⋂=，求实数a 的取值范围.,a b19.已知函数2()f x ax bx c =++的两个零点分别为-1,3，且(0)3f =.（1）求()f x 的解析式;（2）设0()g x =求函数()g x 的定义域.20. 已知0,0.x y >>（1）比较22y x x y +与11x y+的大小； （2）当1x y +=时，证明：224y x x y +≥，并指出取等号的条件; （3）判断114x y x y +++=是11()()4x y x y++=的什么条件？并说明理由. 21.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每1厘米厚的隔热层建造成本为6万元。