下载文档原格式
2015届本科毕业论文（设计）题目：实函数积分与复函数积分之间的关系研究学院：数学科学学院专业班级：数学11-1班学生姓名：托合提阿吉·马木提指导老师：塔实甫拉提答辩日期：2015年5月7日新疆师范大学教务处目录引言 (5)1 预备知识 (5)2 实积分与复积分的定义、性质、定理 (6)2.1 实积分的定义、性质、定理 (6)2.2复积分的定义、性质、定理 (7)3 实积分的计算方法 (8)3.1直接积分法 (8)3.2第一类还原积分法 (9)3.3第二类还原积分法 (9)3.4分部积分法 (10)4 复积分的计算方法 (10)4.1利用柯西积分公式求积分 (11)4.2利用高阶导数公式求积分 (12)4.3利用留数定理求复积分 (13)5 结论：实积分与复积分的联系与区别 (14)5.1实积分定义与复积分定义的比较 (14)5.2 实函数积分和复函数积分的关系 (15)5.3 复函数积分与实函数积分的计算比较 (16)参考文献: (18)致谢 (19)实函数积分与复函数积分之间的关系摘要：积分学是函数论中及其重要的内容，我们知道加法有逆运算减法，同样乘法有逆运算除法，微分法也有它的逆运算，这种逆运算称为积分法。
不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题，求不定积分是求导数的逆运算，而定积分则是某种特殊和式的极限。
它们之间即有区别又有联系，而复变函数的积分是实变函数积分的推广，所以它保留着实函数积分所具有的一些性质，同时它也产生了一些新的性质。
复变函数的积分是研究解析函数的一个不可或缺的工具，不管是实积分还是复积分,它们是研究函数的工具，除此之外在几何学、物理和工程技术上都有着广泛的应用。
本文从积分的定义出发 , 对实函数积分与复变函数积分的定义、基本性质及相关定理等内容进行了归纳总结，讨论了实函数积分与复函数积分之间的关系，还提供了复积分与实积分的几种算法，从而进行了实积分与复积分之间的对比。
复变函数论数学
复变函数论是数学的一个分支，研究复变函数的性质和变换。
复变函数是指定义在复平面上的函数，取值为复数。
它比实变函数更加复杂，有许多独特的性质和应用。
复变函数论主要包括以下内容：
1. 复数及其性质：复数是由实部和虚部组成的数，与实数的性质有所不同，例如有无穷多个复数的平方是-1。
复数还有其他重要性质，如乘法和除法的公式等。
2. 复变函数的导数和积分：与实变函数一样，复变函数也有导数和积分的概念。
但是，与实变函数不同的是，导数和积分具有更多的性质和奇异性。
3. 复变函数的级数表示：复变函数可以用级数表示，这种表示方法称为洛朗级数。
洛朗级数是一种特殊的幂级数，包含着函数的所有信息。
4. 解析函数和亚纯函数：解析函数是指在某个开区域内有导数的复变函数。
它具有许多重要的性质，如极值定理和最大-最小原理等。
亚纯函数是指在一定范围内可导，但是可能在某些点上存在奇异性的函数。
5. 积分定理和残量定理：积分定理和残量定理是复变函数论中最重要的定理之一。
它们可以通过对复变函数积分来计算它的值。
积分定理与Cauchy积分定理和Cauchy-Goursat定理等有关。
残量定理是通过计算奇点处的残量来求解积分。
复变函数论在物理学、工程学等领域有广泛的应用，例如电动力学、热力学和信号处理等。
期中考试复变函数的微积分理论与实变函数微积分理论的比较与应用学院：数学与计量经济学院班级：10级数学与应用数学01班姓名：***学号：***********一·复变函数微积分理论1复变函数微分 (3)2复变函数积分 (4)二·复变函数微积分与实变函数微积分的比较······永远的对手或者同伴？1复变函数微积分与实变函数微积分的联系 (5)2复变函数微积分与实变函数微积分的区别 (6)三·复变函数微积分理论在实际中的应用1复变解析函数的应用：平面向量场 (7)2应用复变积分求积分的几个例子 (8)四.附注之写在论文后头的话 (8)1·复变函数微分仿照实变函数的定义，我们对复变函数的导数给出定义，我们说的是，在某点在Z 0的某领域有定义，且Δz 以任意方式趋于0的时候，如果比值Δf/Δz 的极限z f ∆-∆+→∆)(z f lim Z Z 000z ）（存在，就说此极限为函数f （z ）在Z 0处的导数。
同样，仿照实变函数，复变函数出现了微分，就在我们以为复变函数会依照实变函数的老路子一直走下去的时候，解析函数的概念横空出世，一个函数在某点解析比起它在这点可微要严格多了，因为解析就是配合区域出现的，好的，如果你在某点可导，没有其他选择，必须有这样一个区域包含该点，然后你在这个区域类可导。
如果函数在某点z （0）处不解析，但是在它的任意一个邻域内都有f （z ）的解析点，则z （0）为函数f （z ）的奇点，对这一点来说，它应该感到很无奈，明明可以构建一个解析点的点列以它为极限，但它就是就是不解析，这也就是说解析点不能“求极限”。
这个点又是骄傲的，沿环绕它的周线积分，积分值不再是0，比如i 2a -z dz cπ=⎰，其中C 为绕点a 的周线，此时尽管周线线上每点都是解析的，但函数沿周线积分不等于01，即奇点所在区域积分与路径有关。
复变函数与实变函数微积分理论的比较与应用众所周知复变函数论是数学中一个基本的分支学科，它的研究对象是复变数的函数，本学期我们数学专业的学生开始学习这门课程。
复变函数论历史悠久，内容丰富，理论十分完美。
它在数学许多分支、力学以及工程技术科学中有着广泛的应用。
这里先略微简述一下复变函数的历史。
复数起源于求代数方程的根。
复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。
当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。
后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。
二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。
下面我将对已学的复变函数微积分的相关知识做以总结和归纳。
⒈复变函数的微积分理论㈠复变函数的微分性质我们知道函数的导数是由极限来定义的，所以我先把复变函数的极限理论做以梳理。
①复变函数极限的概念：函数ω=f(z)定义在z0的去心邻域0＜│z-z0│＜ρ内，如果有一确定的数A存在，对于任给的ε＞0，相应的必有一个正数δ(ε)使得当0＜│z-z0│＜δ（0＜δ≤ρ)时，有│f(z) -A│＜ε。
即称z→z0是的极限，记为另外复变函数的连续性叙述与实变函数中的叙述是相似的，此处不细表在实变函数时另有说明。
②复变函数导数的概念：设函数ω= f(z)在包含z0的邻域D内有定义，如果极限存在，那么f(z)在z0处可导（或可微）。
该极限成为f(z)在z0的导数，记做f’(z0)=│z=z。
复变函数和实变函数的比较数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，复变函数着重讨论解析函数，而解析函数的实部和虚部是相互联系的，这与实变函数有根本的区别。
从某种意义上来说，实函数可以看作复函数的特例。
有关实函数的一些概念，很多都可以推广到复函数上来。
例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展开式、基本初等函数等。
但是，由于复数域的特殊性，又给这些概念赋予了新的特性。
下面我将选取几个方面粗略地比较实变函数和复变函数的异同。
一、复变函数和实变函数的定义复变函数的定义从文字叙述上看与实变函数的定义几乎是一样的。
复变函数的定义为：设A 是一个复数集,如果对A 中的任一复数z ，通过一个确定的规则f 有唯一的或若干个复数w 与之对应，就说在复数集A 上定义了一个复变函数，记为w =f(z)。
而实变函数的定义为：设A 是一个实数集,如果对A 中的任一实数x ，通过一个确定的规则f 有唯一的实数y 与之对应，就说在实数集A 上定义了一个实变函数，记为y =f(x)。
二者定义虽然从文字上看类似，但是具体的对应形式发生了根本变化，简单来说就是，实变函数可以看成是把一维实数区间映射成一维实数区间的函数，而复变函数则是把二维平面区域映射成二维平面区域的函数，如下图所示。
二、复变函数和实变函数极限过程对比复变函数在某一点的极限定义为：设函数w =f(z)在点z 0的某一去心邻域U(z 0)内有定义，A 为一复常数，若任给ε>0，总存在δ>0，使得当0<|z −z 0|<δ （即z ∈U(z 0)）时，都有|f (z )−A |<ε（即f (z )∈U(A,ε)）成立，则称A 为函数f (z )当z →z 0时的极限，记作lim z→z 0f (z )=A ，或f (z )→A （z →z 0）。
而实变函数在某一点的极限定义为：w1w2z2z1设函数y =f(x)在点x 0的某一去心邻域U(x 0)内有定义，A 为一实常数，若任给ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x −x 0|<δ （即x ∈U(x 0)）时，都有|f (x )−A |<ε（即f (x )∈U(A,ε)）成立，则称A 为函数f (x )当x →x 时的极限，记作lim x→x 0f (x )=A ，或f (x )→A （x →x 0）。
1.复变函数与实变函数定义的区别与联系有哪些？复变函数的定义从文字叙述上看与实变函数的定义几乎是一样的。
设A 是一个复数集,如果对A 中的任一复数z ，通过一个确定的规则f 有唯一的或若干个复数w 与之对应，就说在复数集A 上定义了一个复变函数，记为)(z f w =。
而实变函数的定义为：设A 是一个实数集,如果对A 中的任一实数x ，通过一个确定的规则f 有唯一的实数y 与之对应，就说在实数集A 上定义了一个实变函数，记为)(x f y =。
从定义上看，除了几个字母表示不一样外（对数学来说，采用什么记号表示不是本质区别），还有就是复变函数对对应法则的要求相对宽松，产生了多值函数，但在实际处理问题中，往往都是把多值函数处理成单值函数来看（因此这也可以看成不是本质的区别）。
如果只是把复变函数的定义用文字叙述的方法讲解，初学者往往会产生思维定势，把数学分析或高等数学中学习的实变函数的概念照搬过来理解，这就产生了错误，没有把握住二者的本质区别。
但是如果从几何上利用对比教学法对这两个概念进行比较，就会生动形象，使差异性做到了可视化，两个概念的区别被直观放大，这对学生会产生视觉震撼，印象深刻。
具体演示如下：w1w2z2z1学生通过图形演示对二者的区别会有充分把握：二者定义虽然从文字上看类似，但是具体的对应形式发生了根本变化，简单来说就是，实变函数可以看成是把一维实数区间映射成一维实数区间的函数，而复变函数则是把二维平面区域映射成二维平面区域的函数。
而至于复变函数的定义域和值域分别画在两个不同的复平面上则纯粹是为了方便和避免混淆。
这就把握住了二者的本质区别，同时也加强了学生对复数的理解。
2.复变函数里的极限定理和数学分析中极限定义的区别与联系有哪些？正确理解了复变函数的定义后，接着复变函数的极限又是一个对初学者容易产生错误理解的重要概念。
同样，复变函数的极限定义从文字叙述或符号表示上看也与实变函数的极限定义几乎是一模一样的。
复变函数的性质与分类复变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在复数域上的函数。
与实变函数不同，复变函数具有许多独特的性质和分类方法。
本文将介绍复变函数的性质与分类，并探讨其在数学和物理等领域中的应用。
一、复变函数的性质1. 解析性：复变函数在其定义域内解析，即在该区域内可导无穷次。
这是复变函数与实变函数最大的区别之一。
解析性使得复变函数具有许多重要的性质和应用，如洛朗级数展开和复数积分等。
2. 全纯性：全纯函数是指在其定义域内处处可导的复变函数。
全纯函数是解析函数的一种特殊情况，它在复平面上具有许多重要的性质，如柯西-黎曼方程和柯西积分定理等。
3. 奇点：奇点是指复变函数在某些点上不解析的情况。
奇点分为可去奇点、极点和本性奇点三种类型。
可去奇点是指在该点附近可以通过去除奇点的方式使函数变得解析；极点是指在该点附近函数趋于无穷大；本性奇点是指在该点附近函数既不趋于有限值也不趋于无穷大。
4. 解析延拓：解析延拓是指通过解析性质将函数从定义域延拓到更大的区域。
解析延拓可以使函数在更广泛的区域内具有解析性，从而得到更多的性质和应用。
二、复变函数的分类1. 代数函数：代数函数是指由有限次代数运算和有限次复合运算得到的函数。
代数函数包括多项式函数、有理函数和代数函数的根等。
代数函数在复平面上具有有限个奇点，其性质和行为相对简单。
2. 三角函数：三角函数是指由正弦函数和余弦函数构成的函数。
三角函数在复平面上具有周期性和解析性，其性质和行为与实数域上的三角函数类似。
3. 指数函数和对数函数：指数函数和对数函数是复变函数中的重要类别。
指数函数具有解析性和周期性，对数函数具有多值性和解析性。
指数函数和对数函数在数学和物理等领域中有广泛的应用。
4. 特殊函数：特殊函数是指由特殊函数方程定义的函数，如贝塞尔函数、超几何函数和椭圆函数等。
特殊函数在数学和物理等领域中具有重要的应用，如波动方程、量子力学和电磁场等。
三、复变函数的应用1. 数学分析：复变函数在数学分析中具有广泛的应用，如复数积分、洛朗级数展开和柯西积分定理等。
复变函数积分与实函数积分的区别与联系作者：潘安香来源：《科学导报·学术》2019年第16期摘要：本文从复变函数的定义出发，讨论了复变函数积分与实函数积分的联系与区别，讨论了彼此的性质以及复变函数解决实函数不能解决的问题，从而进一步弄清他们的区别。
关键词：复变函数;实函数;积分;2.实函数定积分的定义与复变函数定积分的定义的区别与联系我们知道无论是在实函数积分中还是在复变函数积分中，定积分都具有十分重要的意义。
定积分的思想广泛应用于各个领域，我们要深刻理解了定积分的思想，掌握定积分的定义将是非常关键的过程。
下面将会对定积分的定义进行研究。
4.总结数域从实数域拓展到了复数域，实数学分析积分中存在着许多性质。
由于复变函数的积分與实二元线性积分非常类似，因此，实数学分析中的积分的许多性质都可以不加推广的直接运用到复变函数的积分中来，但并不是实数学分析中的积分的性质都可以不加改变的运用到复变函数的积分中来。
复变函数的积分不仅可以解决复变函数中的计算问题，同时也能够解决实函数积分能解决或不能解决的许多问题。
本文通过比较复变函数的积分与是函数积分的区别与联系，一方面让我们进一步明白复变函数与实函数类似的地方。
另一方面又能让我们进一步掌握他们的不同之处，这样我们能够更清楚的弄清复变函数的积分理论，对今后的学习或是生产生活都有很大的帮助。
积分学广泛的应用于其他学科中，只有掌握好了积分学理论才能够很好的把积分学应用于其它学科。
研究复变函数积分与实函数积分的区别与联系，有助于我们更进一步的掌握复变函数和实函数的积分理论。
因此研究复变函数积分与实函数积分的区别与联系具有十分重要的意义。
参考文献：[1] 欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社.1962.[2] 刘玉琏，傅沛仁，刘宁.数学分析讲义（第四版）[M].北京：高等教育出版社.2003.[3] 孙清华，孙昊.复变函数[M].武汉：华中科技大学出版社.2003.（作者单位：叙州区凤仪乡初级中学校）。
