一平行线等分线段定理

篇一：1平行线等分线段定理平行线等分线段定理【知识点精析】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

理解这个定理要注意的是：（1）必须有一组平行线存在，平行线至少有三条；（2）在某一条直线上截得的线段相等。

满足上述两个条件，才能保证这组平行线在其他直线上截得的线段相等．2．平行线等分线段定理的几个基本图形平行线等分线段定理的几个基本图形如图所示，若已知l1∥l2∥l3，ab = bc，根据定理可直接得到a1b1 = b1c1．即被平行线组所截的两条直线的相对位置，不影响定理的结论．3．定理的两个推论推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行直线必平分第三边．4．应用平行线等分线段定理，可以等分任意一条线段．【例题】1．如图，直线l1∥l2∥l3，ab = bc．求证：a1b1 = b1c1． a1 l1 b1 l2l32．已知：线段ab．求作：线段ab的五等分点．ab3．如图，直角梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥bc，m是cd的中点．求证：ma = mb．4．如图，在△abc中，ad是bc边上的中线，m是ad的中点，bm的延长线交ac于n．求证：an =1cn． 2思考题：如图，梯形abcd中，ad∥bc，dc⊥bc，∠b = 60°，ab = bc，e为ab的中点．求证：△ecd为等边三角形．【练习与作业】一、填空题1．△abc中，∠c =90°，d为ab的中点，de⊥bc交bc于e，则ceeb．2．已知三条直线ab∥cd∥ef，它们之间的距离分别是2cm，作一直线mn分别与三条平行线交于30°角，且与ab、cd、ef分别交于m、n、p，则mn = cm，np = cm．3．如图，f是ab的中点，fg∥bc，eg∥cd，则ag = ae =4．如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，a1b1 = b1c1 = c1d1 = d1e1，则a2b2 = = = ，a2c2 = = ．5．直角梯形abcd中，ad ∥bc，∠a = 90°，ef是ab的垂直平分线交ab于e，cd于f，则df = ．6．如图，已知ab∥cd∥ef，af、be交于o，若ao = od = df，be = 10cm，则bo = ．7．如图，已知ad∥ef∥bc，e是ab中点，则dg = h是f是中点．8．如图，已知ce是△abc的中线，cd =若cd = 5cm，则af= cm．9．如图，在ad两旁作ab∥cd，a1、a2为ab的两个三等分点，c1、c2为cd的两个三等分点，连a1c、a2c1、bc2，则把ad分成四条线段的长度（填相等或不相等）．第3题第4题第6题第7题第8题第9题1ad，ef∥bd，eg∥ac，若ef = 10cm，则bg = cm，2二、选择题10．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是（）c d a b 11．右图，ab∥cd∥ef，且ao = od = df，oe = 6，则be =（）a．9 b．10c．11 d．1212．ad是△abc的高，dc =bc于f，则fc =（）a．1bd，m，n在ab上，且am = mn = nb，me⊥bc于e，nf⊥32bd 3 c． 2bc 3 b．3bc 4 d．3bd 41ac． 3三、解答题 13．△abc中，ab = ac，ad⊥bc，p是ad中点，延长bp交ac于点n．求证：an =14．如图，m、n分别是yabcd中ab、cd的中点．求证：be = ef = fd．15．如图△abc中，ch是∠acb的平分线，ad⊥ch于d，de∥bc交ab于e．求证：ae = eb．16．如图，等腰直角△abc，∠acb = 90°，ce = cd，ef⊥bd交ab于f，cg⊥bd交ab于g．求证：ag = gf．17．如图，△abc中，ad、bf为中线，ad、bf交于g，ce∥fb交ad延长线于e．求证：ag = 2de．18．如图，abcd为梯形，ab∥dc，adbe是平行四边形，ab交ec于f．求证：ef = fc．19．已知△abc中，ad⊥bc于d，e为ab中点，ef⊥bc于f，且dc = a，bd = 8a．求fc 的长．篇二：《平行线等分线段定理》教学设计《平行线等分线段定理》教学设计执教李裕达【教学内容】人教版初中《几何》第二册4.9平行线等分线段定理（课本p176 ~ p178）【教学目标】1．识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形；2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算； 3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。

教学建议1.平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等.注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组;它是由三条或三条以上的平行线组成.定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等;可以等分线段.2.平行线等分线段定理的推论推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

记忆方法：中点+平行得中点.推论的用途：(1)平分已知线段;(2)证明线段的倍分.重难点分析本节的重点是平行线等分线段定理.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中平行线分线段成比例定理的基础.本节的难点也是平行线等分线段定理.由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加上平行线等分线段定理的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意.教法建议平行线等分线段定理的引入生活中有许多平行线等分线段定理的例子，并不陌生，平行线等分线段定理的引入可从下面几个角度考虑：①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等;②可用问题式引入，开始时设计一系列与平行线等分线段定理概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出平行线等分线段定理和推论.教学设计示例一、教学目标1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力.3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力.4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美二、教法设计学生观察发现、讨论研究，教师引导分析三、重点、难点1.教学重点：平行线等分线段定理2.教学难点：平行线等分线段定理四、课时安排l课时五、教具学具计算机、投影仪、胶片、常用画图工具六、师生互动活动设计教师复习引入，学生画图探索;师生共同归纳结论;教师示范作图，学生板演练习七、教学步骤【复习提问】1.什么叫平行线?平行线有什么性质.2.什么叫平行四边形?平行四边形有什么性质?【引入新课】由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系?(横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的)，然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系?(相等，为什么?)这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等?(引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.注意：定理中的一组平行线指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确.下面我们以三条平行线为例来证明这个定理(由学生口述已知，求证).已知：如图，直线， .求证： .分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形(也可应用平行线间的平行线段相等得 )，通过全等三角形性质，即可得到要证的结论.(引导学生找出另一种证法)分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得 .证明：过点作分别交、于点、，得和，如图.∵，又∵，，为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图(用计算机动态演示).引导学生观察下图，在梯形中，，，则可得到，由此得出推论 1.推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.再引导学生观察下图，在中，，，则可得到，由此得出推论2.推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好.接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段.例已知：如图，线段 .求作：线段的五等分点.作法：①作射线 .②在射线上以任意长顺次截取 .③连结 .④过点 . 、、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、 .、、、就是所求的五等分点.(说明略，由学生口述即可)【总结、扩展】小结：(l)平行线等分线段定理及推论.(2)定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明.(3)定理中的平行线组，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组.(4)应用定理任意等分一条线段.八、布置作业教材P188中A组2、9九、板书设计。

主讲：黄冈中学教师王坤同步教学一、一周知识概述1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等．推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.2、一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c=0（a≠0）ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．二、重点知识归纳讲解1、平行线等分线段定理及其推论的应用例1、已知：如图所示，已知平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，AA1⊥l，BB1⊥l，CC1⊥l，DD1⊥l，OO1⊥l，证明：A1B1=C1D1.解析：运用平行线等分线段定理关键是找出一组平行线和这一组平行线截得的相等的线段．在本题中，BO=DO，对应的一组平行线是BB1，OO1和DD1，故B1O1=D1O1，同理，A1O1=C1O1，故B1A1=D1C1.证明：∵ BB1⊥l，OO1⊥l，DD1⊥l∴ BB1∥OO1∥DD1．又∵平行四边形ABCD，∴ BO=DO．∴ B1O1=D1O1．同理 A1O1=C1O1，∴ A1B1=C1D1．例2、如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，M是CD的中点.求证：MA=MB.解析：在遇到梯形或三角形一边的中点时，一般过中点作底或另一边的平行线，以便应用平行线等分线段定理的推论．当然，还可采用倍长的方法，构造全等三角形.证明一：过点M作MN∥BC，交AB于N．∵ AD∥BC，∴ AD∥MN∥BC．∵ MD=CM，∴ AN=BN．又∵∠ABC=90°∴∠MNB=90°，∴ AM=BM．证明二：延长AM交BC的延长线于E．∵ AD∥BC，∴∠DAM=∠E．又∵∠DMA=∠CME，DM=CM，∴△ADM≌△ECM．∴ AM=EM．∵∠ABE=90°，∴ BM=AM=EM．2、一元二次方程的基本概念例3、下列方程：2x2-=0，x2=0，(x-1)(x-2)=3，x+2x2+1=0，(x-1)(2x+2)=2x2，ax2+x-3=0中，一元二次方程有（）A．6个B．5个C．4个D．3个解析：要判断一个方程是否是一元二次方程，主要是看这个方程是否只含一个未知数，未知数的最高次数是否为2．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．答案：C三、难点知识剖析平行线等分线段的几种变形：∵ l1∥l2∥l3，AB=BC，∴DE=EF.∵ l1∥l2∥l3，AB=BC，∴AE=ED.∵ l1∥l2∥l3，AE=DE，∴FB=BC.∵ l1∥l2∥l3，AB=BD，∴ EB=BC.。

《平行线等分线段定理》教案2【教学内容】人教版初中《几何》第二册§4.9平行线等分线段定理（课本P176 ~ P178）【教学目标】1．识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形；2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算；3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。

【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用【教学难点】平行线等分线段定理的证明【教学方法】引导·探究·发现法【教具准备】三角板、矩形纸片、印有等距离平行线的作业纸、电脑、实物投影仪、自制课件等【教学设计】1．复习提问（1）你能用尺规作图将一条线段2等分吗？4等分呢？你还会将一条线段几等分？（2）你能用尺规作图将一条线段3等分吗？能否将一条线段任意等分呢？师：为了回答第2个问题，让我们先来做一个实验。

2．操作实验请同学们用老师发下的、印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做以下实验：（1）画一条与这组平行线垂直的直线l1，则直线l1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？（2）任意画一条与这组平行线相交的直线l2，量一量直线l2被这组平行线截得的线段是否相等。

3．引导猜想引导：在上面的问题中，已知条件是什么？得到的结论是什么？你能用文字语言表述吗？猜想：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。

4．验证猜想教师用《几何画板》验证同学们刚才做实验得出的结论（猜想）。

1．归纳：如果以3条平行线为例证明上面的猜想，你能根据图1写出“已知”和“求证”吗？已知：直线a // b // c ，AB = BC （如图1） 求证：A'B' = B'C'。

2．探究：（1）不添加辅助线能直接证明吗？ （2）四边形ACC'A' 是什么四边形？ （3）在梯形中常作什么样的辅助线？ 3．证明：根据学生提供的证明方法，完成证明。