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对偶单纯形法的原理和应用一、原理介绍对偶单纯形法是线性规划的一种求解方法，通过对原问题的对偶问题进行迭代求解，来达到求解原问题的目的。
下面详细介绍对偶单纯形法的原理。
1. 线性规划问题的对偶性在线性规划问题中，我们常常需要求解最小化或最大化线性目标函数的问题，同时满足一系列线性约束条件。
对于这样的问题，可以通过定义对偶问题来求解。
2. 对偶问题的定义对于原问题的最小化形式，可以定义对偶问题的最大化形式。
对于原问题的最大化形式，可以定义对偶问题的最小化形式。
对偶问题和原问题之间具有很强的对称性。
3. 对偶单纯形法的基本思想对偶单纯形法的基本思想是通过迭代求解对偶问题来达到求解原问题的目的。
在每一次迭代中，首先确定最优解是否已经找到，如果找到最优解，则结束算法；否则，确定要改进的变量，通过计算改变最变量之前对应的对偶变量的值，然后再进行下一次迭代。
二、应用场景对偶单纯形法在实际应用中有着广泛的应用场景。
下面列举几个典型的应用场景。
1. 生产计划问题在生产计划问题中，常常需要确定各个生产线的产量，以最小化总成本或最大化总利润。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定生产线的产量。
2. 项目调度问题在项目调度问题中，需要确定各个项目的开始时间和结束时间，以最小化总工期或最大化资源利用率。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定项目的调度方案。
3. 运输问题在运输问题中，需要确定各个供应商到各个销售点的运输量，以最小化总运输成本。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定每个供应商和销售点的运输量。
4. 资源分配问题在资源分配问题中，需要确定各个资源的分配比例，以最大化总效益或最小化总成本。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定资源的分配比例。
用对偶单纯形法求解线性规划问题对偶单纯形法是一种常用于求解线性规划问题的方法。
它通过对原始线性规划问题进行对偶化，将原问题转化为对偶问题，并通过迭代的方式逐步优化，最终得到最优解。
本文将详细介绍对偶单纯形法的基本原理和步骤，并通过一个实例来演示其具体应用。
对偶单纯形法的基本原理是基于线性规划的对偶性理论。
根据对偶性理论，对于原始线性规划问题的最优解，一定存在一个对偶问题，其最优解与原问题的最优解相等。
因此，我们可以通过求解对偶问题来得到原问题的最优解。
对偶问题的形式如下：最大化 W = b'y约束条件为：A'y ≤ c其中，A是原始线性规划问题的约束矩阵，b是原始问题的目标函数系数矩阵，c是原始问题的约束条件矩阵，y是对偶问题的变量向量。
对偶单纯形法的步骤如下：步骤1: 初始化将原始线性规划问题转化为标准型，并初始化基变量和非基变量的初始解。
步骤2: 计算对偶变量值根据对偶问题的约束条件，计算对偶变量的初始值。
步骤3: 计算对偶目标函数值根据对偶问题的目标函数，计算初始的对偶目标函数值。
步骤4: 检验最优性判断当前解是否为最优解。
如果是，则终止算法；否则，进入下一步。
步骤5: 选择入基变量和出基变量根据当前解，选择一个入基变量和一个出基变量。
步骤6: 更新解通过列生成法或其他方法，更新当前解。
步骤7: 更新对偶变量和对偶目标函数值根据更新后的解，更新对偶变量和对偶目标函数值。
步骤8: 转至Step 4重复步骤4至步骤7，直到找到最优解。
下面以一个具体的线性规划问题为例来演示对偶单纯形法的应用。
假设有以下线性规划问题：最大化 Z = 3x1 + 5x2约束条件为：2x1 + x2 ≤ 10x1 + 3x2 ≤ 15x1, x2 ≥ 0首先，将原始问题转化为标准型：最大化 Z = 3x1 + 5x2约束条件为：2x1 + x2 + s1 = 10x1 + 3x2 + s2 = 15x1, x2, s1, s2 ≥ 0初始化基变量和非基变量的初始解为：x1 = 0, x2 = 0, s1 = 10, s2 = 15根据对偶问题的约束条件，计算对偶变量的初始值：y1 = 0, y2 = 0根据对偶问题的目标函数，计算初始的对偶目标函数值：W = 0检验最优性，发现当前解不是最优解，需要进入下一步。
应⽤运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法这⼀节课讲解了线性规划的对偶问题及其性质。
引⼊对偶问题考虑⼀个线性规划问题：$$\begin{matrix}\max\limits_x & 4x_1 + 3x_2 \\ \text{s.t.} & 2x_1 + 3x_2 \le 24 \\ & 5x_1 + 2x_2 \le 26 \\ & x \ge0\end{matrix}$$ 我们可以把这个问题看作⼀个⽣产模型：⼀份产品 A 可以获利 4 单位价格，⽣产⼀份需要 2 单位原料 C 和 5 单位原料 D；⼀份产品 B 可以获利 3 单位价格，⽣产⼀份需要 3 单位原料 C 和 2 单位原料 D。
现有 24 单位原料 C，26 单位原料 D，问如何分配⽣产⽅式才能让获利最⼤。
但假如现在我们不⽣产产品，⽽是要把原料都卖掉。
设 1 单位原料 C 的价格为 $y_1$，1 单位原料 D 的价格为 $y_2$，每种原料制定怎样的价格才合理呢？⾸先，原料的价格应该不低于产出的产品价格（不然还不如⾃⼰⽣产...），所以我们有如下限制：$$2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ 3y_1 + 2y_2 \ge3$$ 当然也不能漫天要价（也要保护消费者利益嘛- -），所以我们制定如下⽬标函数：$$\min_y \quad 24y_1 + 26y_2$$ 合起来就是下⾯这个线性规划问题：$$\begin{matrix} \min\limits_y & 24y_1 + 26y_2 \\ \text{s.t.} & 2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ & 3y_1 + 2y_2 \ge 3 \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这个问题就是原问题的对偶问题。
对偶问题对于⼀个线性规划问题（称为原问题，primal，记为 P） $$\begin{matrix} \max\limits_x & c^Tx \\ \text{s.t.} & Ax \le b \\ & x \ge 0\end{matrix}$$ 我们定义它的对偶问题（dual，记为 D）为 $$\begin{matrix} \min\limits_x & b^Ty \\ \text{s.t.} & A^Ty \ge c \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这⾥的对偶变量 $y$，可以看作是对原问题的每个限制，都⽤⼀个变量来表⽰。
使用单纯形法解线性规划问题要求：目标函数为：123min 3z x x x =--约束条件为：1231231312321142321,,0x x x x x x x x x x x -+≤⎧⎪-++≥⎪⎨-+=⎪⎪≥⎩ 用单纯形法列表求解，写出计算过程。
解：1） 将线性规划问题标准化如下：目标函数为：123max max()3f z x x x =-=-++s.t.： 123412356137123456721142321,,,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩2） 找出初始基变量，为x 4、x 6、x 7，做出单纯形表如下：表一：最初的单纯形表3） 换入变量有两种取法，第一种取为x 2，相应的换出变量为x 6，进行第一次迭代。
迭代后新的单纯形表为：表二：第一种换入换出变量取法迭代后的单纯形表由于x1和x5对应的系数不是0就是负数，所以此时用单纯形法得不到最优解。
表一中也可以把换入变量取为x3，相应的换出变量为x7，进行一次迭代后的单纯形表为：表三：第二种换入换出变量取法迭代后的单纯形表4）表三中，取换入变量为x2，换出变量为x6，进行第二次迭代。
之后的单纯形表为：表四：第二次迭代后的单纯形表5）表四中，取换入变量为x7，换出变量为x3，进行第三次迭代。
之后的单纯形表为：表五：第三次迭代后的单纯形表可以看出，此时x1，x5对应的系数全部非零即负，故迭代结束，没有最优解。
结论：综上所述，本线性规划问题，使用单纯形法得不到最优解。
护理应急预案及程序一、重大意外伤害事故护理急救工作规定………………二、常见急性化学中毒的抢救预案及程序……………..三、急性食物中毒病人的抢救应急预案及程序四、传染病救治应急预案及流程五、突然发生猝死应急预案及程序六、药物引起过敏性休克的应急预案及程序七、患者外出或外出不归时的应急预案及程序八、停电和突然停电的应急预案及程序九、使用呼吸机过程中突遇断电的应急预案及程序十、失窃的应急预案及程序十一、消防紧急疏散患者应急预案及程序十二、住院患者出现输液、输血反应的应急预案及程序十三、患者住院期间出现摔伤的应急预案及程序十四、住院患者发生坠床的应急预案及程序十五、医护人员发生针刺伤时的应急预案及程序十六、紧急封存患者病历及反应标本的应急预案及程序十七、处理医疗投诉及纠纷的应急预案及程序十八、复合伤患者的应急预案及程序十九、住院患者发生过敏性休克时的应急预案及程序二十、急诊患者突发呼吸心跳骤停的应急预案及程序二十一、吸氧过程中中心吸氧装置出现故障的应急预案及程序二十二、吸痰过程中中心吸引装置出现故障的应急预案及程序。
例4-7 用对偶单纯形法求解线性规划问题Min z =5x 1+3x 2X 1 - 6 x 2 A 4在表4-17中,b=-16<0,而yA 0,故该问题无可行解. 注意：对偶单纯形法仍是求解原问题 ，它是适用于当原问题无可行基 ，且所有检验数均为负的情况.若原问题既无可行基，而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解.在计算机求解时，只有人工变量法，没有对偶单纯形法.3.对偶问题的最优解由对偶理论可知，在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系 从求解原问题的最优单纯形表中，得到对偶问题的最优解.(1)设原问题(P)为Min z= exs.t.-2 X i + 3x 2 A 6A 0 (j=1,2 )解：将问题转化为 XjMax z = -5X 1 -3 x 2 s.t. 2x i - 3xX 3 = -6-3 x i + 6 X2+ x 4A -4Xj其中，X 3 , X 4 ,3,4 )A 0 (j=1,2 为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17.,可以根据这些关系，Xj > 0 (j=1,2 , 3,4 )则标准型 (LP) 为AX b s.t.X0Max z=CXAX b s.t.X0其对偶线性规划(D )为Max z=b T Y AX b s.t.X0用对偶单纯形法求解 时，有 Pj=-e i ， c j =0 (LP ),得最优基B 和最优单纯形表 T ( B )。
对于(LP )来说，当j=n+iT (B )中，对于检验数，有(b n+1,b n+2・・・b n+m) = (C n+i , c n+2…，c n+m ) -C B B -1(Pn +1,Pn+2 …,Pn+m ) =- C B B -1(-I)于是，Y*= (b n+1,b n+2…b n+m T 。
可见，在(LP )的最优单纯形表中，剩余变 量对应的检验数就是对偶问题的最优解。
同时，在最优单纯形表 T ( B )中，由于剩余变量对应的系数 所以从而，在最优单纯形表b n +2 …bB 1 = ( -y n+1 , -y n+2 …-y n+m )例 4-8 求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。
对偶单纯形法引言对偶单纯形法是线性规划问题求解的一种方法。
它是在单纯形法的基础之上发展起来的，主要用于解决规模较大的线性规划问题。
本文将详细介绍对偶单纯形法的基本思想、步骤以及应用示例。
对偶单纯形法的基本思想对偶单纯形法的基本思想是通过改变原始问题的基本可行解，使得每一次迭代都能改进目标函数的值，并最终找到最优解。
其核心思想是利用对偶问题的信息来指导原始问题的求解。
对于线性规划问题的标准形式： \[ \begin{align} \text{minimize} \quad &c^{T}x \\ \text{subject to} \quad & Ax = b \\ & x \geq 0 \end{align} \] 其中，A是$m\\times n$的系数矩阵，b是$m \\times 1$的常数向量，c是$n \\times 1$的系数向量。
对应的对偶问题为： \[ \begin{align} \text{maximize} \quad & b^{T}y \\\text{subject to} \quad & A^{T}y \leq c \\ & y \text{ 无限制} \end{align} \] 对偶单纯形法的步骤对偶单纯形法的步骤如下：1.将原始问题转化为标准形式，并求得初始基本可行解；2.检验当前基本可行解是否为最优解；若是，则停止迭代，得到最优解；3.如果当前基本可行解不是最优解，则计算出对偶问题的可行解；4.检验对偶问题的可行解是否为最优解；若是，则停止迭代，得到原始问题的最优解；5.如果对偶问题的可行解不是最优解，则通过改变原始问题的基本可行解，继续迭代。
对偶单纯形法的应用示例考虑以下线性规划问题： \[ \begin{align} \text{minimize} \quad & 2x_{1} -3x_{2} \\ \text{subject to} \quad & 3x_{1} + 5x_{2} \leq 8 \\ & 2x_{1} + 4x_{2} \leq 7 \\ & x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0 \end{align} \]首先将原始问题转化为标准形式： \[ \begin{align} \text{minimize} \quad &2x_{1} - 3x_{2} \\ \text{subject to} \quad & 3x_{1} + 5x_{2} + x_{3} = 8 \\ & 2x_{1} +4x_{2} + x_{4} = 7 \\ & x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0, x_{3} \geq 0, x_{4} \geq 0 \end{align} \]得到初始的基本可行解为： \[ \begin{align} x_{1} = x_{2} = 0, \\ x_{3} = 8, \\ x_{4} = 7 \end{align} \]根据对偶问题的定义，可得对偶问题为： \[ \begin{align} \text{maximize}\quad & 8y_{1} + 7y_{2} \\ \text{subject to} \quad & 3y_{1} + 2y_{2} \leq 2 \\ & 5y_{1} + 4y_{2} \leq -3 \\ & y_{1} \text{ 无限制} \\ & y_{2} \text{ 无限制} \end{align} \]计算对偶问题的初始可行解为： \[ \begin{align} y_{1} = y_{2} = 0 \end{align} \]检验当前基本可行解是否为最优解，发现不满足最优性条件，因此进行下一步迭代。
用对偶单纯形法求解线性规划问题
例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题.
Min z =5x1+3x
2
s.t.-2 x1 + 3x
2
≥6
3 x1 - 6 x
2
≥4
Xj≥0（j=1,2）
解：将问题转化为
Max z = -5 x1 - 3 x
2
s.t. 2 x1 - 3x
2+ x
3
= -6
-3 x1 + 6 x
2+ x
4
≥-4
Xj≥0（j=1,2，3,4）
其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17.
表4-17 例4-7单纯形表
在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解.
注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.
若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法.
3.对偶问题的最优解
由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解.
(1)设原问题(p)为
Min z=CX
s.t. ⎩⎨⎧≥=0X b
AX
则标准型(LP)为 Max z=CX
s.t. ⎩⎨⎧≥=0X b
AX
其对偶线性规划（D ）为 Max z=b T Y
s.t. ⎩⎨⎧≥=0X b
AX
用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。
对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0
从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有
（σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I)
于是，Y*=（σn+1，σn+2…σn+m）T 。
可见，在（LP）的最优单纯形表中，剩余变量对应的检验数就是对偶问题的最优解。
同时，在最优单纯形表T（B）中，由于剩余变量对应的系数
所以
B-1 =（-y n+1，-y n+2…-y n+m）
例4-8求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。
Min z =6x1+8x
2
s.t. x1 + 2x
2
≥20
3 x1 + 2x
2
≥50
Xj≥0（j=1,2）
解：将问题转化为
Max z =-6x1-8x
2
s.t. -x1
— 2x2 + x3=20
-3 x1 - 2x
2+ x
4
=50
Xj≥0（j=1,2，3,4）用对偶单纯形法求解如表
表4-18 例4-8单纯形表
在引入松弛变量化为标准型之后，约束等式两侧同乘-1，能够立即得到检验数全部非正的原规划基本解，可以直接建立初始对偶单纯形表进行求解，非常方便。
对于有些线性规划模型，如果在开始求解时不能很快使所有检验数非正，最好还是采用单纯形法求解。
因为，这样可以免去为使检验数全部非正而作的许多工作。
从这个意义上看，可以说，对偶单纯形法是单纯形法的一个补充。
除此之外，在对线性规划进行灵敏度分析中有时也要用到对偶单纯形方法，可以简化计算。
例4-9：求解线性规划问题：
Min f = 2x1 + 3x2 + 4x3
S.t. x1 + 2x2 + x3 ≥ 3
2x1 - x2 + x3 ≥ 4
x1 , x2 , x3 ≥ 0
标准化：Max z = - 2x1 - 3x2 - 4x3
s.t. -x1-2x2-x3+x4= -3
-2x1+x2-3x3+x5= -4
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
表格对偶单纯形法。
