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随机信号分析（第3版）课后习题解答《随机信号分析》课程（32学时）—— 2007年教学内容建议1 概率论基础 1.12 随机信号2.1 两条样本函数为：0)(0=t X 、wt t X cos 21)(1=；1)0,(=x f X 、2)4,(=w x f X π；）（0-)2,(x wx f X δπ= 2.2 3103532)2,(=++=X E 、）（）（）（5-313-312-31)2,(x x x x F X εεε++= 2.3 ）（）（1-2121)21,(x x x F X εε+=、）（）（2-21121)1,(x x x F X εε++=；）（）（）（）（2-,1411,1412-,411,41)1,21,,(21x x x x x x x x x x F X -++-+++=εεεε2.4 略2.5 ）（）（1-1.09.0)5,(x x x F X εε+=；）（）（y x y x y x F ,11.0,9.0)0025.0,0,,(-+=εε；0因为其概率为0.9；1的概率为1（样本函数），它是可预测的，就是样本函数。
2.6 略 2.7 略 2.8 ）（）（121121),(-++=x x n x f X δδ、0121)1(21)(=?+-?=n X E 、{})()]()([)]()()][()([),(2121221121n n n X n X E n m n X n m n X En n Cov X X -==--=δ；不可预测2.9 （2.19）10103523)()(),(2111=?==t t t t Cov σσρ、所以（X,Y ）满足10103;5,2;2,2的高斯分布。
其概率密度函数为：-+--?--?-=-+--?----=5)2(5)2)(2(32)2(5exp215)2(10)2)(2(1010322)2()10/91(21exp 21),(2222y y x x y y x x y x f XY ππ；特征函数为：++-+=)6)(5)(2(21)22(exp ),(21222121v v v v v v j y x XY φ3 平稳性与功率谱密度3.1 kk k u t t u u f-=)4exp(2*21),,;,,(211π ；因为k 阶概率密度函数与绝对时间无关，所以为严格平稳过程。
第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题解答1、 设∑=-=Nk k k kn U n X 1)cos(2ασ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。
解：计算均值函数和相关函数如下0)}{cos(2)cos(2}{)(11=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==∑∑==Nk k k k N k k k k n X U n E U n E X E n ασασμ∑∑∑∑∑∑======-=--=--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Ni i i N i i i i i i Ni Nj j j i i j i N j j j j N i i i i X m n U m U n E U m U n E U m U n E m n R 12121111)](cos[)}cos(){cos(2)}cos(){cos(2)cos(2)cos(2),(ασαασαασσασασ因此可知，},1,0,{ ±=n X n 是平稳随机过程。
2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程，A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。
（1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 解：（1）样本函数不连续。
（2）令：012≥>t t ，下面求相关函数：)(221)(212210)(1212211212121211212212122112221122121121212cos cos )]}(cos[)]({cos[21!)]([)]}(cos[)]({cos[)1(21))]}()(()(cos[))]()(()(2)({cos[21))]}()(()(cos[))]()(()({cos[21))}(cos())({cos(}{))}(cos())(cos({)}()({),(t t t t k t t k kX e t t e t t t t e k t t t t t t t t t t t t t t t E t t t t t t t t E t t t t E A E t t t t A E t X t X E t t R ----∞=--⋅=⋅-++=⋅-⋅-++-=-+-+-+++=-+-++++=++⋅=++==∑λλλωωωωλωωηηπωηηππηωηηπωηηπωπηωπηωπηωπηω因为：t t t R ωξ2cos ),(=因此该过程是均方连续的随机过程。
C = *第0章1/1;1/ 2;1/ 3;1/4;1/ 5;1/ 6;2 /1;2 / 2;2 / 3;2 /4;2 / 5;2/6;3/l;3/2;3/3;3/4;3/5;3/6;4/l;4/2;4/3;4/4;4/5;4/6;5/l;5/2;5/3;5/4;5/5;5/6;6/l;6/2;6/3;6/4;6/5;6/64 = {l/l;2/2;3/3;4/4;5/5;6/6}1/5;!/ 6;2 /4;2 / 5;2 / 6;3 / 3;3 / 4;3 / 5;3 / 6;4 / 2;4 / 3;4 / 4;4 / 5;'4/6;5/l;5/2;5/3;5/4;5/5;5/6;6/l;6/2;6/3;6/4;6/5;6/6 /1 /1;1 / 2;1 / 3;1 / 4;1 / 5;1 / 6;2 /1;2 / 2;2 / 3;2 / 4;2 / 5;2 / 6;3 /1;3 / 2;'3/3;3/4;3/5;3/6;4/l;4/2;4/3;5/l;5/2;5/3;6/l;6/2;6/3B =0.2（2）'0用）=x < 00<x<30x 2/12 2x -3-x 2/4,3<x <41 x>4P （l<x<7/2）=f^v +⑴⑶0.3E （X ）= L 2<T ：t/r = £ ~^y %dy =E （X2）=「Ji 奇dx = 了241a\^e~y 晶尸dy = 2a 2r （2）= 2a 2o(x)=£(/)-(研x))2=2尸_m S=04292S 0.4⑴£(Jf)=(-1)x03+0x0.44-1x03=0£(K)=1x0.4+2x0.2+3x0.4=2(2)由于存在X=0的情况，所以研Z)不存在(3)E(Z)=(-1-1)2x0.2+(-1-2)2xO.l+(O-l)2xO.l+(0-3)2x0.3+(l-l)2xO.1+0-2)2x0.1+(1-3)2x0.1=5 0.5X=ln*,当\dy\=^M=^e(Iny-mf2/”00.6t2+勺血s=£0<x<l,0<.y<2f32\X x~.—+—s as=(363-)7X*i X丁-312=诉号＞=2尸号间=fp+导=土名/(x)0.7££be~^x+y^dxdy=[/>(1-e~'\~y dy=/>(1-e-,)= 1,/>=(!—e~x尸/(x)=he~x Ve-y dy=—^e~x fi<x<\f(y)=be~y^e~x dx—e~y,y>00.8(1)x,v不独立⑵F(z)=££~'|(X+yY{x+y}dxdy=£|/『(xe~x +ye~x}ixdy =g按(1一(1+Z一*片5+*(]_e-(z-y)肱,=]_]+z+/2\2f(z)=F'(z)=\+z+—e~:-(1+z)e~z=—e-2,z>0、2)20.9。
4-1习 题4.1 随机信号()1Y t 与()2Y t 的实测样本函数如下题图4.1(a)与(b)所示，试说明它们是否均值各态历经。
（a ） （b ）题图4.1解：由均值各态历经信号的物理意义：只要观测的时间足够长，每个样本函数都将经历信号的各个状态，结合题图可见：（a ）不可能是均值各态历经信号；（b ）很可能是均值各态历经信号4.2 随机二元传输信号如例3.16所述，试分析它的均值各态历经性。
解：由例3.16，随机二元传输信号的协方差函数为， 41(),0Y pq T C T Tττττ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭>⎪⎩又根据充分条件为：()lim 0C ττ→∞=，且 ()04C pq =<∞，因此，它是均值各态历经信号。
4.34.4 随机信号()X t 与()Y t 是联合广义各态历经的，试分析信号()()()Z t aX t bY t =+的各态历经性，其中a 与b 是常数。
解：由题意，均方意义下有，[()][()][()]()()()A Z t aA X t bA Y t aEX t bEY t EZ t =+=+=2222[()()][()()][()()][()()][()()][()()][()()][()()][()()]()Z A Z t Z t a A X t X t b A Y t Y t abA X t Y t abA Y t X t a E X t X t b E Y t Y t abE X t Y t abE Y t X t R ττττττττττ+=+++++++=+++++++=因此，()Z t 是均值各态历经信号4.54.6 随机过程()sin cos X t A t B t =+，式中，A 和B 为零均值随机变量。
求证()X t 是均值各态历经的，而均方值无各态历经性。
4-2 解：由题意，首先，()sin cos 0[()][sin ][cos ]0EX t EA t EB t A X t A A t B A t =+==⨯+⨯= 而222222222()sin cos 2sin cos sin cos sin 2X t A t B t AB t t A t B t AB t =++=++ 222222222[()]sin cos sin 2sin cos E X t EA t EB t EA EB t EA t EB t =++⨯⨯=+2222222[()][sin ][cos ][sin 2]2A B A X t A A t B A t AB A t +=⨯+⨯+⨯= 显然，()[()]EX t A X t =，但22()[()]EX t A X t ≠。
湖南大学本科课程《随机过程》第4章习题及参考答案主讲教师：何松华 教授30．设X(n)为均值为0、方差为σ2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证：2[()()](0)E X n Y n h σ=，2220()Y n h n σσ∞==∑证：根据离散白噪声性质，220()[()()]()0X m R m E X n m X n m m σσδ⎧==+==⎨≠⎩()()()()()m Y n X n h n X n m h m ∞==⊗=-∑220[()()]{()()()][()()]()()()()()(0)m m X m m E X n Y n E X n X n m h m E X n X n m h m R m h m m h m h σδσ∞∞==∞∞===-=-===∑∑∑∑12121222112202121221210000[()]{()()()()][()()]()()[()()]()Y m m m m m m E Y n E X n m h m X n m h m E X n m X n m h m h m m m h m h m σσδ∞∞==∞∞∞∞======--=--=-∑∑∑∑∑∑(对于求和区间内的每个m 1,在m 2的区间内存在唯一的m 2=m 1,使得21()0m m δ-≠)1222110()()()m n h m h m h n σσ∞∞====∑∑(求和变量置换) 31．均值为0、方差为σ2的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h 1(n)=a n u(n)以及h 2(n)=b n u(n)的级联系统(|a|<1,|b|<1)，输出为W(n)，求σW 2。
解：该级联系统的单位脉冲响应为121211100()()()()()()()1(/)()1/n m m m m mn n n nnn m m n nm m h n h n h n h n m h m a u n m b u m b b a aba b a a u n a b a a b∞∞-=-∞=-∞+++-===⊗=-=---⎛⎫====⎪--⎝⎭∑∑∑∑参照题30的结果可以得到21122222211212000222222222()[()2()()]()2(1)[]()111(1)(1)(1)n n n n n W n n n a b h n a ab b a b a b a ab b ab a b a ab b a b ab σσσσσσ++∞∞∞+++===⎡⎤-===-+⎢⎥--⎣⎦+=-+=-------∑∑∑32．设离散系统的单位脉冲响应为()() (1)n h n na u n a -=>，输入为自相关函数为2()()X X R m m σδ=的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度。
4-4设有限时间积分器的单位冲激响应h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数()()()()()22221:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωωπτττ∞-∞⎡⎤==⎣⎦⎡⎤=-==⎣⎦=*⎰思路()()()10()()10()10[()(0.5)]()()10[()(0.5)]XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数()Y R τ00020.025()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)()10()()()10()()10101100.55[()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλλλλλμ∞∞∞∞==⇔====**-=*-=+=+=-=-=⋅=⨯==⎰⎰⎰⎰⎰时域法平均功是白噪声，，，率面积法：225[()][()]5Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率()()()2141224222Y2(P1313711()2415()()()102424115112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτττωωωωωωωωωωωππωωπ---∞∞∞-∞∞--∞⎛⎫--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭-⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫===⎛⎫= ⎪ ⎭⎪⎭⎝⎝⎰⎰⎰P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法）频()()2220000[()][()][()]5Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =⋅=⋅⇒=-===P 交直流分量为平均功率：流4-5 已知系统的单位冲激响应()(1)[()(1)]h t t U t U t =---，其输入平稳信号的自相关函数为()2()9X R τδτ=+，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？分析：直流功率＝直流分量的平方解: 输入平稳输出的直流分量 输出的直流功率()2300X X m R σ==±==()()()10332Y X m m h t h t ττ=*=*=⎰=31-d ()()()()()()()()()()()()()()()2'''222'[()(1()(1)(1)F )]12122222j j j j Y h t t t d F j d d F j jd H A A U t U t A Sa ej A Sa e Sa e Sa eG U t U t t j ωωωωωωωωωωωωωωωωωω----⋅↔⇒⋅↔-⇒=-⎛⎫--⇒=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒==+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝=-=-⎭⎣-=-⎦变换 频域的微分特性 -jt f t t f t =A t A t 矩形脉冲A 谱t 的频()()()()()()()()()()()2''21920222410001lim 022239024X X Y Y X G H G H H Sa Sa R j H A A j Sa m m H j ωωωωωωωωπδτω*→=⋅⋅⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⇒ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=⇒＝＝直流功率294Y m =()Y X m m h t =*4-7 已知如图4.21 所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为0N 的白噪声，求：①系统的传递函数()H ω？②输出()Z t 的均方值？其中2222[sin()][()]2ax dx a ax dx axSa π∞∞==⎰⎰()()()()()()()112122121212()()()()()()()()()()()F ()(1)()()11()()()()()()()(()j T Y t X t X t T h t t t T t h t d U t Y X H Y H X H H H H H H e H j H h H t h t H ωωωωωωωωωωωωωωωπδωωωωδδωλδλω-∞-∆∆=--=--⇒=⋅==⇒⇒=-=+=⋅=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦⎰Z Z 可以分别求冲激响应，输入为冲激函数：输入为冲激函数、，冲激响应＝1(1)()1)[()](1)()j Tj T j T e e e j j ωωωπδωπδωωω----=-+=-＋()2222222220022022102(2)(1)(1)2()(1cos )2sin sin 2sin ((0)()()()21sin 21sin (0)2)()()()[()]j T j T Z X j Z Z Z Z Z Z e e H T j j T TN T G G H H N T N e d T R G R R F G R N ωωωτωωωωωωωωωωωωωωωωωπωωπωωττω+∞-∞----=⋅=-⋅=⇒⋅=⋅⋅=⋅-⋅⇒⋅==⋅⎰＝＝＝求输出Z t 的均方值即，所以有2200000sin 2222j e d N TN N T d T τωωπωπωπ∞-∞∞=⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰4-11 已知系统的输入为单位谱密度的白噪声，输出的功率谱密度为2424()109Y G ωωωω+=++求此稳定系统的单位冲激响应()h t ？解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()242223211242()41092243311()()12231311112()0231921Y t Y X X t G s s s s s s G H G H s H s H s s j H s H s s j j h t F H F e e U t j j s s j s H G s ωωωωωωωωωωωωωωωωω----⋅==⇒=-=++=⇒=++++⎛⎫ ⎪+=++-+-+====+ ⎪++ ⎪⎝⎭-+-+-+==系统稳定，则零头、极点都＋在左半平面带入4-12 已知系统输入信号的功率谱密度为223()8X G ωωω+=+ 设计一稳定的线性系统()H ω，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声？解：()()()()()221()11()Y X X G G H s s H s G s H s H ωωωω=⇒⋅=⇒==⇒==即4-14 功率谱密度为02N 的白噪声作用于(0)2H =的低通网络上，等效噪声带宽为XH MHz 。
若在1Ω电阻上的输出平均功率为0.1W 。
求0N 的值？ 书P162Z H 2ee f ωπ∆=单位为，622XH 10e e f ωππ∆⋅⋅故本题＝＝或者调用公式 62Y 00m 70axXH 1210X 410241()2H 0.1e N H N N ωωπππ-⨯⋅⇒==∆⋅⋅=⨯⋅⇒P 222maxm 0ax()(()2)Y e N H d H H πωωωωω∞∆==⋅⎰P图4.24 习题4-184-18 如图4.24所示的线性系统，系统输入()W t 是零均值，物理谱密度为1的白噪声，且()()th t e U t -=。
①判断()X t 和()Y t 分别服从什么分布？给出理由。
②证明()Y t 是严平稳过程。
③求()W t 和()X t 的互相关函数，()Y t 的功率谱密度？ ④写出()Y t 的一维概率密度表达式？⑤判断同一时刻，()X t 和()Y t 是否独立？给出理由。
解：①()W t 是白噪声 （白噪声带宽无限，由定义）， 线性系统()()t h t e U t -=，系统传递函数1()1H j ωω=+，是个低通线性系统（带宽有限）由4.5节结论2若系统输入信号的等效噪声带宽远大于系统的带宽，则输出接近于高斯分布可知，()X t 为高斯过程。
由4.5节结论1可知，()Y t 为高斯过程。
⇒()X t 和()Y t 服从高斯分布②证明()Y t 是严平稳过程证：()W t 是白噪声（宽平稳过程），通过线性系统的输出()Y t 也是宽平稳过程（4.2.2结论1）。
对于高斯过程，宽平稳和严平稳等价。
③求()W t 和()X t 的互相关函数，()Y t 的功率谱密度11()()()(()())22W t X W e R R t U h U e ττττδττ--=*=*=()()1()1t H h t e U j t ωω-⇔+==221()()()2(1)X W G H G ωωωω=⋅=+ 1()exp()4X R ττ⇒=-傅立叶反变换 [][][]{}()()()()()()()2()()()12exp()exp()exp()4Y X X X R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R T R T T T ττττττττττ=+=--+-+-=---+=⎡------+⎤⎣⎦()()2222221422()411114211cos 4111j T j T Y j T j T G e e e e T ωωωωωωωωωωωω--⎡⎤=--⎢⎥+++⎣⎦⎡⎤=-+=-⎢⎥+++⎣⎦可得习题3-7 的结论()()2()1cos Y X G G T ωωω=-④求()Y t 一维概率密度表达式()[]21(0)1exp()2Y Y t R T σ⎧⎪⎪⎨⎪⎪==--⎩是高斯过程输入零均值，输出零均值，则易得 ()222;y Y f y t σ-=思考1：上述随机过程的一维概率密度表达式中没有时间参量t ，根据()Y t 严平稳过程的特性也可以推到。
思考2：试着写出这个过程一维、二维的概率密度和特征函数形式。
⑤判断同一时刻，()X t 和()Y t 是否独立？给出理由()X t 和()Y t 独立（高斯过程）等价 互不相关（零均值） 等价 正交()X t 和()Y t 联合平稳，再由两者的相互关系可得[][]()()()()()()1(0)()1exp()4()()()(0)0XY X X X XY X E X t Y t E X t X t X t X t T R R T R R T T R R ττττττ=+=+-+-=⇒=--=⎡---⎤⎣⎦-≠即不正交()X t ⇒和()Y t 在同一时刻不独立。
