桂电《随机信号分析基础》 总复习提纲_18214

简答题1．简述两个随机变量X 和Y 之间分别满足独立、不相关、正交关系的条件，以及这三种关系之间的联系。

答：独立：)()(),(y F x F y x F Y X XY ⋅=，或)()(),(y f x f y x f Y X XY ⋅=； 不相关：0=XY r 或0),cov(=Y X ； 正交：0][=XY E .若X 和Y 独立则一定不相关，若X 和Y 不相关则不一定独立； 若X 或Y 的数学期望为0，则不相关与正交等价。

2. 写出函数),(t e X 在①e 确定t 为变量、②t 确定e 为变量、③e 和t 都确定、④e 和t 都是变量四种情况下所代表的意义。

其中S e ∈，S 为样本空间，t 为时间参数。

答：①样本函数；②随机变量；③常数；④随机过程。

3．简述宽平稳随机过程与遍历性过程的关系。

答：平稳过程同时满足以下条件才为遍历性过程 ①均值具有遍历性②相关函数具有遍历性。

所以遍历过程一定是平稳过程，平稳过程不一定是遍历过程。

4.白噪声的功率谱密度和自相关函数各有何特点？一般白噪声在任意两个不同时刻有何种关系？正态白噪声在任意两个不同时刻有何种关系？答：白噪声的功率谱密度是常数，自相关函数是一个在0处的冲激函数。

一般白噪声在任意两个不同时刻不相关，正态白噪声在任意两个不同时刻独立。

5.若随机过程)(t X 是平稳过程，则其功率谱密度)(ωX G 与自相关函数)(τX R 有何关系？请写出关系式。

答：)(ωX G 是)(τX R 的傅立叶变换，ττωωτd e R G j X X -∞∞-⎰=)()(，或ωωπτωτd e G R j X X ⎰∞∞-=)(21)(.6.设线性系统的冲激响应为h(t)，输入随机过程为X(t)，系统输出为Y(t)，各自的自相关函数分别为RX(t1,t2)和RY(t1,t2)。

说明二者之间的关系。

答：)()(),(),(212121t h t h t t R t t R X Y **=.7.写出希尔伯特变换的时域形式)(t h 和频域形式)(ωH 。

第 一 章1.1不考 条件部分不考△雅柯比变换 （随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立 正交与不相关、独立没有明显关系 结合高斯情况）△随机变量的特征函数及基本性质 （一维的 P53 n 维的 P58）△ 多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61()()()()()()()221()211222211,,exp 22exp ,,exp 22T Tx m X XXX X n n XT T jU X X X X X n X M X M f x f x x U U u Q u j m Q u u E ejM U σπσμ---⎡⎤--⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦C C C u u r u u ru u r u u r u u r u u r L u r u ru u r u r L另外一些性质： []()20XY XY X YX C R m m D X E X m ⎡⎤=-=-≥⎣⎦第二章 随机过程的时域分析1、随机过程的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ∆→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机过程的概率密度P74、特征函数P81。

（连续、离散）一维概率密度、一维特征函数 二元函数4、随机过程的期望、方差、自相关函数。

（连续、离散）5、严平稳、宽平稳的定义 P836、平稳随机过程自相关函数的性质：0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88222()()()()()(0)()X X XX X X X X XXC R m R R R R τττρτσσ--∞==-∞=非周期相关时间用此定义（00()d τρττ∞=⎰）8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。

概率论基础1.概率空间、概率（条件概率、全概率公式、贝叶斯公式）2．随机变量的定义（一维、二维实随机变量）3.随机变量的描述：⑴统计特性一维、二维概率密度函数、一维二维概率分布函数、边缘分布概率分布函数、概率密度函数的关系⑵数字特征一维数字特征：期望、方差、均方值（定义、物理含义、期望和方差的性质、三者之间的关系）二维数字特征：相关值、协方差、相关系数（定义、相互关系）⑶互不相关、统计独立、正交的定义及其相互关系△雅柯比变换（随机变量函数的变换一维随机变量函数的单值和双值变换、二维随机变量函数的单值变换）5、高斯随机变量一维和二维概率密度函数表达式高斯随机变量的性质△随机变量的特征函数及基本性质、随机信号的时域分析1、随机信号的定义从三个方面来理解①随机过程X(t,ζ)是t,ζ两个变量的函数②X(t,ζ)是随时间t变化的随机变量③X(t,ζ)可看成无穷多维随机矢量在∆t→0,n→∞的推广2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机信号的统计特性分析：概率密度函数和概率分布函数（一维、二维要求掌握）4、随机信号的数字特征分析（定义、物理含义、相互关系）一维：期望函数、方差函数、均方值函数。

（相互关系）二维：自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数（相互关系）5、严平稳、宽平稳定义、二者关系、判断宽平稳的条件、平稳的意义、联合平稳定义及判定6、平稳随机信号自相关函数的性质：0点值，偶函数，均值，相关值，方差7、两个随机信号之间的“正交”、“不相关”、“独立”。

（定义、相互关系）8、高斯随机信号定义（掌握一维和二维）、高斯随机信号的性质9、各态历经性定义、意义、判定条件（时间平均算子、统计平均算子）、平稳性与各态历经性的关系直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率随机信号的频域分析1、随机信号是功率信号，不存在傅里叶变换，在频域只研究其功率谱。

《随机信号基础》知识点1、确定函数、随机变量、随机过程三者之间的关系例题：理解最简单随机过程()()Θ+⋅=t a t X ωcos ，其中ω,a 是常数，t 表示时间，Θ表示随机相位。

（1）当t ，Θ均为变量时，()t X 是一族时间t 的函数，即为随机过程； （2）当Θ给定，t 为变量时，()t X 是一个确定的时间t 的函数，即样本函数； （3）当t 给定，Θ为变量时，()t X 表示一个随机变量，即t 时刻的状态； （4）当Θ，t 均给定时，()t X 是一个常量。

总结：随机过程=时间+随机变量，注意扩展，简述题考查多。

2、随机变量的分布函数与概率密度函数 分布函数：()()x X P x F ≤= 概率密度函数：()()dxx dF x f =例题：设某信号源，每T 秒产生一个幅度为A 的方波脉冲，其脉冲宽度X 为均匀分布于[]T ,0中的随机变量。

这样构成一个随机过程()∞<≤t t Y 0,。

设不同间隔中的脉冲是统计独立的，求()t Y 的概率密度()y f Y 。

解：某个时刻()t Y 可以看做随机变量，取范围()nT t T n <≤-1；()t Y 取值只有两种：(){}()[]{}()T Tn t T n t X P t Y P 110--=--≤== (){}()[]{}TtnT T n t X P A t Y P -=-->==1()()()()A y T tnT y T T n t y f Y --+--=δδ1注意：对于离散随机变量的分布函数可表示为：()()∑-=ii i x x U p x F ；概率密度函数可表示为：()()∑-=ii i x x p x f δ。

例题：利用重复掷硬币的试验定义一个随机过程：()⎩⎨⎧=出现反面出现正面,2,cos tt t X π 设“出现正面”和“出现反面”的概率各为0.5；（1）求X(t)的一维分布函数()1,,21,x F x F X X ⎪⎭⎫⎝⎛（2）求X(t)的二维分布函数⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21;,21x x F X解：令随机变量Y 表示试验结果，Y=1表示正面，Y=0表示反面。