湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析概率与统计

2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结2024高考数学压轴题——概率与统计的挑战与应对随着高考的临近，数学科目的复习也进入了关键阶段。

2024年的高考数学压轴题将会涉及到概率与统计的内容，这不仅考察学生的基本数学知识，更侧重于考察学生的逻辑思维能力、实际应用能力和问题解决能力。

本文将针对这一部分的常见题型、解题思路和知识点进行总结，希望能为广大考生提供一些帮助和指导。

一、常见题型的解题思路1、概率计算：在解决概率计算问题时，学生需要明确事件的独立性、互斥性和概率公式的应用。

尤其是古典概率和条件概率的计算，需要学生熟练掌握。

对于涉及多个事件的概率计算，学生需要理清事件的关联关系，采用加法、乘法或全概率公式进行计算。

2、随机变量及其分布：这部分要求学生掌握离散型和连续型随机变量的分布律及分布函数，理解并掌握几种常见的分布，如二项分布、泊松分布和正态分布等。

对于随机变量的数字特征，如期望、方差和协方差等，学生需要理解其含义并掌握计算方法。

3、统计推断：在统计推断问题中，学生需要掌握参数估计和假设检验的基本方法。

对于点估计，学生需要理解矩估计法和最大似然估计法的原理，并能够进行计算。

对于假设检验，学生需要理解显著性检验的原理，掌握单侧和双侧检验的方法。

4、相关与回归分析：相关与回归分析要求学生能够读懂散点图，理解线性相关性和线性回归的概念，掌握回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。

二、概率与统计的相关知识点总结1、概率的基本概念：事件、样本空间、事件的概率、互斥事件、独立事件等。

2、随机变量及其分布：离散型随机变量和连续型随机变量，二项分布、泊松分布和正态分布等。

3、统计推断：参数估计、假设检验、点估计、置信区间、单侧和双侧检验等。

4、相关与回归分析：线性相关性和线性回归的概念，回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。

三、示例分析下面我们通过一个具体的示例来演示如何分析和解决一道概率与统计的压轴题。

核心考点2 相互独立事件的概率、正态分布核心知识· 精归纳1.概率的几个性质(1)如果A ⊆B ，则P (A )≤P (B )；(2)设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )． 2.正态分布①P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈_0.682_7__； ②P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈_0.954_5__； ③P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈_0.997_3__.多维题组· 明技法角度1：相互独立事件的概率1. (2023·西安二模)已知从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，现从两袋中各摸出一个球，下列结论错误的是( C )A ．两个球都是红球的概率为16B ．两个球中恰有1个红球的概率为12C ．两个球不都是红球的概率为13D ．至少有1个红球的概率为23【解析】 两个球都是红球的概率为13×12＝16，故A 正确；两个球中恰有1个红球的概率为13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12＝12，故B 正确；两个球不都是红球的对立事件为两个球都是红球，所以概率为1－16＝56，故C 错误；至少有1个红球包含两个球都是红球、两个球中恰有1个红球，所以概率为16＋12＝23，故D 正确．故选C.2. (2023·咸阳模拟)某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为34，乙队和丙队答对该题的概率都是23.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题．则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为( C )A.12B ．13C ．736D ．16【解析】 记“甲队答对该题”为事件A ，“乙队答对该题”为事件B ，“丙队答对该题”为事件C ，则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率P ＝P (A B －C －＋A－B C －＋A －B －C )＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736.故选C.角度2：正态分布3. (2023·雁塔区校级三模)我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗—拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量Y ～B (n ，p )，当n 充分大时，二项随机变量Y 可以由正态随机变量X 来近似，且正态随机变量X 的期望和方差与二项随机变量Y 的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了p ＝12的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p 进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为( B )(附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.997 3)A ．0.158 7B ．0.022 8C ．0.002 7D ．0.001 4【解析】 抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫100，12，故E (X )＝np ＝100×12＝50，D (X )＝np (1－p )＝100×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝25，由题意可得，X ～N (μ，σ2)，且μ＝E (X )＝50，σ2＝D (X )＝25，∵P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5，∴用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为P (X ＞60)＝P (X ＞50＋2×5)＝1－0.954 52≈0.022 8.故选B. 4. (2023·宁波二模)设随机变量ξ服从正态分布，ξ的分布密度曲线如图所示，若P (ξ＜0)＝p ，则P (0＜ξ＜1)与D (ξ)分别为( C )A.12－p ，12 B ．p ，12C.12－p ，14D ．p ，14【解析】 根据题意，且P (ξ＜0)＝p ，则P (0＜ξ＜1)＝1－2p 2＝12－p ，由正态曲线得ξ～N ⎝⎛⎭⎪⎫1，⎝ ⎛⎭⎪⎫122，所以D (ξ)＝14.故选C.方法技巧· 精提炼1.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．2.利用正态密度曲线的对称性研究概率问题正态密度曲线关于x ＝μ对称，正态密度曲线与x 轴之间的面积为1，注意下面两个结论的活用：(1)P (X <a )＝1－P (X ≥a )；(2)P (X ≤μ－σ)＝P (X ≥μ＋σ)．加固训练· 促提高1. (2023·茂名模拟)甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲、乙两人平局的概率为0.2.若甲、乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为( C )A ．0.36B ．0.49C ．0.51D ．0.75【解析】 甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲、乙两人平局的概率为0.2.甲、乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，由乙至少赢甲一局是指两局比赛中乙两局全胜或第一局乙胜第二局乙不胜，或第一局乙不胜第二局中乙胜，乙至少赢甲一局的概率为：P ＝0.3×0.3＋0.3×0.7＋0.7×0.3＝0.51.故选C.2. (2023·江西模拟)某地市在2023年全市一模测试中，全市高三学生数学成绩X 服从正态分布N (90，σ2)，已知P (88<X <92)＝0.32，P (X <85)＝m ，则下列结论正确的是( A )A ．0<m <0.34B ．m ＝0.34C ．0.34<m <0.68D ．m ＝0.68【解析】 因为X 服从正态分布N (90，σ2)，所以μ＝90，已知P (88<X <92)＝0.32，且x ＝88与x ＝92关于x ＝90对称，P (X <85)＝m <P (X <88)＝12[1－P (88<X <92)]＝0.34，所以0<m <0.34.故选A.。

高考攻略 黄冈第二轮复习新思维 数学专题十 概 率与统计一、选择题1．某学生通过计算初级水平测试的概率为21，他连续测试两次，则恰有1次获得通过的概率为 43.41.21.31.D C B A 2．下面事件①若a 、b ∈R ，则a ·b=b·a ；②某人买彩票中奖；③6+3>10；④抛一枚硬币出现正面向上，其中必然事件有A ．①B ．②C ．③④D ．①②3．在4次独立重复实验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率的范围是A ．[O ．4，1]B ．(O ，0．4]C ．(O ，0．6]D ．[0．6，1)4．设袋中有8个球，其中3个白球，3个红球，2个黑球，除了颜色不同外，其余均相同．若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得一个黑球既不得分，也不扣分，则任摸3个球后的所得总分为正分的概率为 5623.289.74.5619.D C B A 5．从1、2、3、4、5中随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，则和等于9的概率为12513.12416.12518.12519.D C B A 6．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率一分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它恰是甲射中的概率为A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.757. 教某气象站天气预报的准确率为80％．则5次预报中至少有4次准确的概率为A ，0.2B ．0.41C ．0.74D ．0.678．停车场有12辆车停放在一排，当有8辆车已停放后，则所剩4个空位恰好连在一起的概率为 8128128128128.10.9.7.C D C C C B C A 9．有一道试题，A 解决的概率为21，B 解决的概率为31,C 解决的概率为41，则A 、B 、C 三人独立解答此题，只有1人鳃出的概率为 31.2417.2411.241.D C B A lO ．一个口袋中有12个红球，x 个自球，每次任取一球 (不放回)，若第10次取到红球的概率为1912，则x 等于A ．8B ．7C ．6D ．5二、填空题11．某种植物种子发芽的概率为0.7，则4颗种子中恰好有3颗发芽的概率为 (精确到0.01)．12．在5名学生(3男2女)中安排两名学生值日，其中至少有1名女生的概率是．13．有10件产品分三个等次，其中一等品4件，二等品3件，三等品3件，从10件产品中任取2件，则取出的2件产品同等次的概率为．14．甲、乙两名围棋选手在一次比赛中对局，分析甲胜的概率比乙胜的概率高5％，和棋的概率为59％，则乙胜的概率为．三、解答题15．已知8支球队中有3支弱队，以抽签的方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，求：(1)A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；(2)A组中至少有两支弱队的概率．16．甲、乙两人各进行一次射击，若两人击中目标的概率均为0.6．求：(1)两人均击中目标的概率；(2)至少有1人击中目标的概翠．17．从52张(没有大小王)扑克牌中随机抽取5张，试求下列事件的概率：(1)5张牌同一花色；(2)恰有两张点数相同而另三张点数不同；(3)恰好有两个两张点数相同而另一张是另外的点数；(4)恰好有四张点数相同．专题十 概率与统计一、1.B 2.A 3.A 4.A 5.A 6.D 7.C 8.B 9.B 10.B 二、18.0.14154.137.0.12412.0.11 三、00025.0)()4(;0475.0)(,)3(;4226.0)(,43444)2(;0020.04)(4)1(.1784.0)(11,16.0)()()()2(36.0)()()(1}1{}1{)1(.1621)2(7671171)1(.1555214112113441411211344141112132424313113243131132455251351348153348252348154815=⋅⋅⋅=∴⋅⋅⋅===⋅⋅⋅⋅===∴⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅====∴==⋅-==⋅=⋅=⋅=⋅∴⋅===⋅+⋅=-=+C C C C C D P C C C C m nm C P C C C C C m nm B P C C C C C C m C C n m A P C m B A P P B P A P B A P B P A P B A P B A B A C C C C C C A C C C C ，个数五张牌同一花色的事件解：人击中目标的概率为至少有率为两人均未击中目标的概同时发生，即次，均击中目标，，两人各射击次，击中目标乙射中，次，击中目标甲射击设解：概率为组中至少有两支弱队的的芥概率为，故一组恰有两支弱队率为三支弱队在同一组的概解：。

专题10概率与统计的综合运用【命题规律】概率统计在高考中扮演着很重要的角色，概率统计解答题是新高考卷及多数省市高考数学必考内容，考查热点为古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等．回顾近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题．【核心考点目录】核心考点一：求概率及随机变量的分布列与期望核心考点二：超几何分布与二项分布核心考点三：概率与其它知识的交汇问题核心考点四：期望与方差的实际应用核心考点五：正态分布核心考点六：统计图表核心考点七：回归分析核心考点八：独立性检验核心考点九：与体育比赛规则有关的概率问题核心考点十：决策型问题核心考点十一：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．A B C，所以甲学校获得冠军的概率为【解析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为,,()()()()=+++P P ABC P ABC P ABC P ABC=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.50.40.80.50.40.80.50.60.80.50.40.20.160.160.240.040.6=+++=．（2）依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以，()00.50.40.80.16P X==⨯⨯=,()100.50.40.80.50.60.80.50.40.20.44P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()200.50.60.80.50.40.20.50.60.20.34P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()300.50.60.20.06P X==⨯⨯=.即X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.期望()00.16100.44200.34300.06132．（2022·全国·统考高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯【解析】（1）平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（岁）．550.020650.017750.006850.002)1047.9（2）设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以()1(1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=．（3）设B =“任选一人年龄位于区间[40,50)”，C =“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得：()()16%0.16,0.1%0.001,(|)0.023100.23P B P C P B C =====⨯=,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，此人患这种疾病的概率为()(|)()()0.0010.23(|)0.00143750.0014()0.16P BC P C P B C C B P B B P P ⨯====≈．3．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A 24020B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k …0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【解析】（1）根据表中数据，A 共有班次260次，准点班次有240次，设A 家公司长途客车准点事件为M ，则24012()26013==P M ；B 共有班次240次，准点班次有210次，设B 家公司长途客车准点事件为N ，则210()27840==P N .A 家公司长途客车准点的概率为1213；B 家公司长途客车准点的概率为78.（2）列联表准点班次数未准点班次数合计A 24020260B 21030240合计4505050022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2500(2403021020) 3.205 2.70626024045050⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.4．（2022·全国·统考高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积i x 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10101022iii i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474x y x y ===∑∑∑．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数 1.377r =≈．【解析】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x ==样本中10棵这种树木的材积量的平均值 3.90.3910y ==据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m ，平均一棵的材积量为30.39m（2）r==0.01340.970.01377==≈≈则0.97r≈（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为3mY，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.06186=0.39Y，解之得3=1209mY．则该林区这种树木的总材积量估计为31209m5．（2022·北京·统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m．以上（含950m．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【解析】（1）由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A31233(0)()0.60.50.520P X P A A A===⨯⨯=，123123123(1)((()P X P A A A P A A A P A A A==++80.40.50.50.60.50.50.60.50.520=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，123123123(2)()()()P X P A A A P A A A P A A A==++70.40.50.50.40.50.50.60.50.520=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，1232(3)()0.40.50.520P X P A A A===⨯⨯=.∴X 的分布列为X 0123P320820720220∴38727()0123202020205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（3）丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为14，甲获得9.80的概率为110，乙获得9.78的概率为16.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.6．（2022·全国·统考高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】（1）由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯，又2( 6.635)=0.01P K ≥，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅，(ii)由已知40(|)100P A B =，10(|)100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|)100P A B =，所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅【方法技巧与总结】（一）涉及的概率知识层面主要考查随机变量的概率分布与数学期望，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件还是独立重复试验，以便选择正确的计算方法，进行概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，也要掌握几种常见常考的概率分布模型：离散型有二项分布、超几何分布，连续型有正态分布．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，1、离散型随机变量的期望与方差一般地，若离散型随机变量X 的分布列为称1122()n n E X x p x p x p =+++ 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．称()21()()ni i i D X x E X p ==-∑为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值()E X 的偏离程度，其X 的标准差．（1）离散型随机变量的分布列的性质①0(1,2,,)i p i n = …；②121n p p p +++= ．（2）均值与方差的性质若Y aX b =+，其中,a b 为常数，则Y 也是随机变量，且2E aX b aE X b D aX b a D X+=++=()();()()（3）分布列的求法①与排列、组合有关分布列的求法．由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列．②与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．③与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．④与独立事件（或独立重复试验）有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．（4）常见的离散型随机变量的概率分布模型①二项分布；②超儿何分布．2、常见的连续型概率分布模型正态分布．（二）概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力1、与数列结合的实际问题2、与函数导数结合的实际问题3、与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题4、与统计结合的实际问题5、与其他背景结合的实际问题【核心考点】核心考点一：求概率及随机变量的分布列与期望【规律方法】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）【典型例题】例1．（2022·陕西宝鸡·统考一模）甲､乙两个代表队各有3名选手参加对抗赛．比赛规定：甲队的1，2，3号选手与乙队的1，2，3号选手按编号顺序各比赛一场，某队连赢3场，则获胜，否则由甲队的1号对乙队的2号，甲队的2号对乙队的1号加赛两场，胜场多者最后获胜（每场比赛只有胜或负两种结果）．已知甲队的1号对乙队的1，2号选手的胜率分别是0．5，0．6，甲队的2号对乙队的1，2号选手的胜率都是0．5，甲队的3号对乙队的3号选手的胜率也是0．5，假设每场比赛结果相互独立．（1）求甲队仅比赛3场获胜的概率；（2）已知每场比赛胜者可获得200个积分，求甲队队员获得的积分数之和X的分布列及期望．【解析】（1）甲队1，2，3号选手与乙队1，2，3号选手比赛获胜的概率分别为0.5,0.5,0.5，，甲队比赛3场获胜的概率为P =0.50.50.50.125⨯⨯=；（2）X 所以可能取得值为0,200,400,600,800；()3500.50.12P X ===，()31213200C 0.50.500..540.5600.07.5P X ==⨯=⨯⨯=⨯，()()11233332400C 0.50.60.50.40.55C 0.50.40.5 2.1050.50.262.P X ==⨯+⨯⨯⨯=⨯+⨯=⨯⨯，()()313233336000.5C 0.50.60.5C 0.50.60.50.40.5 3.40.50.425P X ==+⨯⨯+⨯⨯+⨯=⨯=，()2333800C 0.50.605.50.900.112.5P X ===⨯⨯=⨯．即X 0200400600800P0．1250．0750．26250．4250．1125所以()00.1252000.0754000.26256000.4258000.1125465E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．例2．（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）我校举办“学党史”知识测试活动，每位教师3次测试机会，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加．甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为18的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过12，且他直到第二次测试才合格的概率为932，乙教师3次测试每次测试合格的概率均为23，每位教师参加的每次测试是否合格相互独立．（1）求甲教师第一次参加测试就合格的概率P ；（2）设甲教师参加测试的次数为m ，乙教师参加测试的次数为n ，求m n ξ=+的分布列．【解析】（1）由甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为18的等差数列，又甲教师第一次参加测试就合格的概率为P ，故而甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是18P +、14P +，由题意知，19(1)832P P ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得14P =或58P =（舍），所以甲教师第一次参加测试就合格的概率为14．（2）由（1）知甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是38、12，由题意知，ξ的可能取值为2，3，4，5，6，由题意可知121(2)(1,1)436P P m n ξ=====⨯=，11233235(3)(1,2)(2,1)433483144P P m n P m n ξ⎛⎫⎛⎫====+===⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(4)(1,3)(2,2)(3,1)P P m n P m n P m n ξ====+==+==1113312352584334833483144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(5)(2,3)(3,2)P P m n P m n ξ====+==33113512134833483396⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，35115(6)(3,3)483396P P m n ξ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ξ的分布列为：ξ23456P1635144581441396596例3．（2022春·云南曲靖·高三校联考阶段练习）受新冠肺炎疫情的影响，某商场的销售额受到了不同程度的冲击，为刺激消费，该商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满300元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖的规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中：红色小球1个，白色小球3个，黄色小球6个，顾客从箱子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖．将顾客摸出的3个球的颜色分成以下四种情况：A ：1个红球2个白球；B ：3个白球；C ：恰有1个黄球；D ：至少两个黄球，若四种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖．（1）写出顾客分别获一､二､三等奖时所对应的概率；（2）已知顾客摸出的第一个球是白球，求该顾客获得二等奖的概率；（3）若五名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立．记中奖的人数为X ，求X 的分布列和期望．【解析】（1）由题意可得：()()23331010C 3111,C 12040C 120P A P B =====，()1264310C C 363=C 12010P C ==，2()1()()()3P D P A P B P C =---=所以中一等奖的概率为1120，二等奖的概率为140，三等奖的概率为310（2）记事件E 为顾客摸出的第一个球是白球，事件F 为顾客获得二等奖，则()111229C C 1C 18P FE ==∣．（3）由（1）知一名顾客中奖的概率为113112040103P =++=．由题意可得，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，所以()()5512C 1,2,3,4,533i ii P X i i -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则分布列为X012345P32243802438024340243102431243()15533E X =⨯=核心考点二：超几何分布与二项分布【规律方法】超几何分布与二项分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．一般地，在含有M 件产品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为()P X k ==1(0,1,2,,)k n M N MnNC C k m C --= ，其中min{,}m M n =，且*,,,,n N M N n M N N ∈……，称为超几何分布列．一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为P ，则(P X =)(1),0,1,2,,k kn k nk C p p k n -=-= ．此时称随机变量X 服从二项分布，记作~(,)X B n p ，并称p 为成功概率．此时有,)EX np DX np p ==-．【典型例题】例4．（2022春·北京·高三北京铁路二中校考阶段练习）2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动，某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：竞赛得分[]50,60(]60,70(]70,80(]80,90(]90,100频率0．10．10．30．30．2（1）如果规定竞赛得分在(]80,90为“良好”，竞赛得分在(]90,100为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取10个学生，问各抽取多少人？（2）在（1）条件下，再从这10学生中抽取6人进行座谈，求至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率；（3）以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率．现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．【解析】（1）因为成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计0.5，共50人，抽样比为101505=，所以成绩为“良好”的抽取11000.365⨯⨯=人，成绩为“优秀”的抽取11000.245⨯⨯=人．（2）抽取的6人中至少有3人竞赛得分都是“优秀”可以分成两类：3个优3个良和4个优2个良，故至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率33424646610C C +C C 19C 42P ==．（3）由题意知，X 的可能取值0，1，2，3．由题可知，任意1名学生竞赛得分“优秀”的概率为12011005P ==，竞赛得分不是“优秀”的概率为21141155P P =-=-=．若以频率估计概率，则X 服从二项分布13,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()030314640C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()121314481C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()212314122C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3331413C 55125P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故X 的分布列为X123P6412548125121251125数学期望()13355E X =⨯=．例5．（2022·浙江·模拟预测）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内．（1）如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率；（2）某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满800元就能得到一次抽奖机会，如消费400元没有抽奖机会，消费900元有一次抽奖机会，消费1700元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入m 号球槽得到的奖金为X （元），其中16040X m =-．（ⅰ）求一次抽奖的奖金X （元）的分布列及数学期望()E X ；（ⅱ）已知某顾客在商场消费2000元，设他所得的奖金为Y （元），求()E Y ．【解析】（1）记事件A ：小球落入6号球槽，需要在6次碰撞中有1次向左，5次向右．所以()1516113C 2232P A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）（i ）记随机变量M ：小球掉入m 号球槽，则M 的可能取值为：1，2，3，4，5，6，7．由题意可得()()661117C 264P M P M ⎛⎫===== ⎪⎝⎭；()()6161626C 264P M P M ⎛⎫===== ⎪⎝⎭；()()62611535C 264P M P M ⎛⎫===== ⎪⎝⎭；()6361204C 264P M ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；所以M 的分布列为：M 1234567P164664156420641564664164因为16040404X m m =-=-，所以X 的可能取值为：0，40，80，120．其中()()200464P X P M ====，()()()30403564P X P M P M ===+==，()()()12802664P X P M P M ===+==，()()()21201764P X P M P M ===+==．所以一次抽奖的奖金X （元）的分布列为：X4080120P206430641264264所以数学期望为()20301227504080120646464642E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（ii ）某顾客在商场消费2000元，可以抽奖2次，所以他所得的奖金为2Y X =．因为()752E X =，所以()()7522752E Y E X ==⨯=．例6．（2022春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应．为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图．（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户．若抽取的5户中购买量在[3,6]（单位：kg ）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在[3,6]（单位：kg ）的户数为ξ，求ξ的分布列和期望；（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg 时，则该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k 户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k 的值．【解析】（1）随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2．则()3335C 10C 10P ξ===，()213235C C 31C 5P ξ===，()123235C C 32C 10P ξ===，ξ012()P ξ11035310所以()336125105E ξ=⨯+⨯=．（2）根据频率分布直方图可知，每天对甲类生活物资的需求平均值为1.50.102.50.303.50.254.50.205.50.15 3.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（kg ）则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为[]4,6，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为0.200.150.35p =+=．若从小区随机抽取10户，且抽到X 户为“迫切需求户”，则()~10,0.35X B ，若k 户的可能性最大，则()()1010C 1kkk p P X k p -=-=，0,1,,10k =⋅⋅⋅()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=-⎪⎨=≥=+⎪⎩，得()()()()()()()()1011111010101911010C 0.350.65C 0.350.65C 0.350.65C 0.350.65k k k k k k k k k k k k -----+-+⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，即()()()71113131710k kk k ⎧-≥⎪⎨+≥-⎪⎩，解得2.85 3.85k ≤≤，由于k *∈N ，故3k =．核心考点三：概率与其它知识的交汇问题【规律方法】在知识交汇处设计试题是高考命题的指导思想之一，概率作为高中数学具有实际应用背景的主要内容，除与实际应用问题相交汇，还常与排列组合、函数、数列等知识交汇．求解此类问题要充分理解题意．根据题中已知条件，联系所学知识对已知条件进行转化．这类题型具体来说有两大类：1、所给问题是以集合、函数、立体几何、数列、向量等知识为载体的概率问题．求解时需要利用相关知识把所给问题转化为概率模型，然后利用概率知识求解．2、所给问题是概率问题，求解时有时需要把所求概率转化为关于某一变量的函数，然后利用函数、导数知识进行求解；或者把问题转化为与概率变量有关的数列递推关系式，再通过构造特殊数列求通项或求和．【典型例题】例7．（2022春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或6时得2分，掷得的点数为2，3，4，5时得1分；独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分；（1）设投掷2次骰子，最终得分为X ，求随机变量X 的分布与期望；（2）设最终得分为n 的概率为n P ，证明：{}1n n P P --为等比数列，并求数列{}n P 的通项公式；【解析】（1）X 的可能取值为2，3，4，()2242339P x ==⨯=，()12432339P x ==⨯⨯=，()1114339P x ==⨯=，∴ X 的分布列为X234P494919数学期望()44182349993E X =⨯+⨯+⨯=．（2）由题意知()1221333n n n P P P n --=+≥，()11213n n n n P P P P ---∴-=--，212273339P =+⨯=，123P =，2119P P ∴-=，{}1n n P P -∴-是以19为首项，13-为公比的等比数列，()2111293n n n P P n --⎛⎫∴-=⨯-≥ ⎪⎝⎭，∴ 当2n ≥时，()()()121321n n n P P P P P P P P -=+-+-++- 2221111139333n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11121313913n -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+⨯+121113123n -⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦13114123n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当1n =时，上式也成立，综上：13114123n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．例8．（2022春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）如图，一只蚂蚁从单位正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过n 步回到点A 的概率n p ．（I ）分别写出12,p p 的值；（II ）设顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，求3n n p q +的值；（III ）求n p ．【解析】（1）121110,3333p p ==⨯⨯=．（2）由于顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，则由A 出发经过n 步到达点11,B D 的概率也是n q ，并且由A 出发经过n 步不可能到11,,,A B D C 这四个点，所以当n 为奇数时0n n p q ==，所以30n n p q +=；当n 为偶数时，31n n p q +=．（3）同理，由11,,C B D 分别经2步到点A 的概率都是1122339⨯⨯=，由A 出发经过n 再回到A的路径分为以下四类：①由A 经历2n -步到A ，再经2步回到A ，概率为213n p -；②由A 经历2n -步到C ，再经2步回到A ，概率为229n q -；③由A 经历2n -步到1B ，再经2步回到A ，概率为229n q -；④由A 经历2n -步到1D ，再经2步回到A ，概率为229n q -；所以221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=，所以2221121233399n n n n p p p p ----=+⋅=+，即2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以11221111144943nn n p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故111143n np -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．综上所述，1111,=2430,21n n n k p n k -⎧⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥ ⎪=⎝⎭⎨⎢⎥⎣⎦⎪=-⎩．例9．（2022春·山东·高三校联考阶段练习）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品α分为两类不同剂型1α和2α．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂1α和2α合格的概率分别为34和35，第二次检测时两类试剂1α和2α合格的概率分别为45和23．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品α才算合格．（1）设经过两次检测后两类试剂1α和2α合格的种类数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品α进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)p p <<且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为()f p ，若当0p p =时，()f p 最大，求0p 的值．【解析】（1）剂型1α合格的概率为：343455⨯=；剂型2α合格的概率为：322535⨯=由题意知X 的所有可能取值为0，1，2．则()3260115525P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()323213111555525P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525P X ==⨯=，则X 的分布列为X 012P6251325625数学期望()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=．（2）检测3人确定“感染高危户”的概率为()21p p -，检测4人确定“感染高危户”的概率为()31p p -，则()()()()()2321112f p p p p p p p p =-+-=--．令1x p =-，因为01p <<，所以01x <<，原函数可化为()()()22101g x x x x =-<<．因为()()2222211144x x x x ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦-≤=，当且仅当221x x =-，即x =此时1p =，所以01p =核心考点四：期望与方差的实际应用【规律方法】数学期望反映的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反映随机变量取值在其平均值附近的离散程度．现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差来对事件发生大小的可能性和稳定性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案．（1）若我们希望实际的平均水平较理想，则先求随机变量12,ξξ的期望，当12E E ξξ=时，不应认为它们一定一样好，还需要用12,D D ξξ来比较这两个随机变量的方差，确定它们的偏离程度．（2）若我们希望比较稳定性，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近．（3）方差不是越小就越好，而是要根据实际问题的需要来判断．【典型例题】例10．（2022春·河南·高三期末）根据疫情防控的需要，某地设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检测和预防性消毒工作，为了进一步确定某批进口冷链食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其进行化验，若结果为阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒．对于()N n n *∈份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n 次；二是混合检验，将k 份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份全为阴性，检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份究竟哪些为阳性，需要对它们再次取样逐份检验，则k 份检验的次数共为1k +1)p <<，而且样本之间是否有该病毒是相互独立的．（1）若取得8份样本，采用逐个检测，发现恰有2个样本检测结果为阳性的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）若对取得的8份样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组4份样本采用混合检验，若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．若“方案二”比“方案一”更“优”，求p。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年湖北省黄冈市高中数学人教B 版 必修二统计与概率专项提升(9)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）6233282530071. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45A. B. C. D. 23562. 随机抽取骑行共享单车的市民进行问卷调查，得到样本的频率分布直方图如图所示．再从这些市民中用分层抽样的方法抽取一个样本进行调查，若第二次抽取的样本中 年龄段的人数为14，则第二次抽取的样本中 年龄段的人数为（ ）A. B. C.D. 3. 从1，2，3，4，5，6这六个数中，不放回地任意取两个数，每次取一个数，则所取的两个数都是偶数的概率为（ ）A.B.C.D.71525354. 宏伟公司有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该公司职工的健康状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的中年职工为5人，则样本容量为（ ）A. B. C. D.0.180.0180.360.0095.某班50名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示.其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100).则图中x 的值为（）A. B. C. D. 16. 某国际科研合作项目由两个美国人、一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，现选出的两人中有中国人的概率为（ ）A.B.C.D. 7. 一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它正整数整除的数叫做素数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机地取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ）A.B.C.D.至多有1次中靶2次都中靶2次都不中靶只有1次中靶8. 有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）A. B. C. D. 0.350.650.10.69. 从装有红球、黑球和白球的口袋中摸出一个球，若摸出的球是红球的概率是0.4，摸出的球是黑球的概率是0.25，那么摸出的球是白球或黑球的概率是（ ）A. B. C. D. 310. 已知2x 1+1，2x 2+1，2x 3+1，…，2x n +1的方差是3，则x 1 ， x 2 ， x 3 ， …，x n 的标准差为（ ）A.B.C. D.A 与B 互斥A 与B 相互独立11. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事作A 为“第一次出现1点”，B 为“第二次出现6点”，则有（ ）A. B.C. D.12. 某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（ ）月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数月跑步平均里程逐月增加月跑步平均里程高峰期大致在8、9月1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳A. B. C. D. 13. 甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为 ．14. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图，如图，估计这次测试中数学成绩的平均分约为 、众数约为 、中位数约为 ．（结果不能整除的精确到0.1）15. 已知随机变量 服从正态分布 ，则 .16. 若样本数据x 1 ， x 2 ， …,x 10的标准差为8，则数据2x 1-1，2x 2-1，…，2x 10-1的标准差为 ．17. 为全面学习社会主义核心价值观，近日，某高校积极组织一批学生党员开展学习、践行社会主义核心价值观知识竞赛活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了50名学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图所示），且成绩在90分以上（含90分）的学生有2人．(1) 从成绩在内的学生中任选2人进行强化补习，求这2人中至少有1人的成绩在内的概率；(2) 在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名参加决赛，所抽取的3名学生中成绩在内的人数记为， 求的分布列和数学期望．18. 对某品牌机电产品进行质量调查，共有“擦伤、凹痕、外观”三类质量投诉问题．其中保质期内的投诉数据如下：擦伤凹痕外观合计保质期内1保质期后的投诉数据如下：擦伤凹痕外观合计保质期内1，．(1) 若100项投诉中，保质期内60项，保质期后40项．依据小概率值的独立性检验，能否认为凹痕质量投诉与保质期有关联？(2) 若投诉中，保质期内占64%，保质期后占36%．设事件A：投诉原因是产品外观，事件B：投诉发生在保质期内．（ⅰ）计算，并判断事件A，B是独立事件吗？（ⅱ）“若该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内的概率大”，这种说法是否成立？并给出理由．0.10.050.010.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.82819. 某市为了解社区新冠疫菌接种的开展情况，拟采用分层抽样的方法从三个行政区抽出6个社区进行调查．已知三个行政区中分别有个社区．(1) 求从三个行政区中分别抽取的社区个数；(2) 若从抽得的6个社区中随机抽取2个进行调查．①试列出所有可能的抽取结果；②设事件M为“抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区”，求事件M发生的概率．20. 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，写出所有可能的结果，并求重量在和中各有1个的概率.21. 某校2011年到2019年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数（每位学生只能参加“北约”“华约”中的一种考试）可以通过以下表格反映出来．（为了方便计算，将2011年编号为1，2012年编号为2，依此类推）年份x123456789人数y23545781010参考数据：回归直线的方程是，其中，．，．(1) 求这九年来，该校参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数的平均数和方差；(2) 根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出y与x的线性回归方程，并依此预测该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数．（最终结果精确至个位）答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)(3)21.(1)(2)。

第1讲 概率高频考点高考预测随机事件、古典概型 概率模型多考查独立事件、条件概率、n 重伯努利试验、互斥事件和对立事件、而全概率公式、二项分布与正态分布则是新高考的热点，多以选择填空的形式出现.条件概率与全概率n 重伯努利试验与二项分布正态分布1. (2023·全国甲卷文科)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( D )A.16 B ．13 C ．12D ．23【解析】 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n ＝C 24＝6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m ＝C 12C 12＝4，则这2名学生来自不同年级的概率为P ＝m n ＝46＝23.故选D.2. (2023·全国乙卷文科)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( A )A.56 B ．23 C ．12D ．13【解析】 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数n ＝6×6＝36，其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数m ＝A 26＝30，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为P ＝m n ＝3036＝56.故选A. 3. (2023·全国甲卷理科)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为( A )A ．0.8B ．0.4C ．0.2D ．0.1【解析】 根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件A ，报乒乓球俱乐部为事件B ，则P (A )＝5070＝57，由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的有50＋60－70＝40人，则P (AB )＝4070＝47，则P (B |A )＝P ABP A ＝4757＝0.8.故选A. 4. (2022·全国新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( D )A.16 B ．13 C ．12D ．23【解析】 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C 27＝21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,6)，(4,6)，(4,8)，(6,8)，共7种，故所求概率P ＝21－721＝23.故选D.5. (2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( C )A.15 B ．13 C ．25D ．23【解析】 从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，15种情况，其中数字之积为4的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，6种情况，故概率为615＝25.故选C.6. (多选)(2023·全国新高考Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0＜α＜1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0＜β＜1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为1)( ABD )A ．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2B ．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2C ．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D ．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【解析】 采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为：(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，故A 正确；采用三次传输方案，若发送1，依次收到1,0,1的概率为：(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B 正确；采用三次传输方案，若发送1，则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，故所求概率为：C 23β(1－β)2＋(1－β)3，故C 错误；三次传输方案发送0，译码为0的概率P 1＝C 23α(1－α)2＋(1－α)3，单次传输发送0译码为0的概率P 2＝1－α，P 2－P 1＝(1－α)－C 23α(1－α)2－(1－α)3＝(1－α)[1－C 23α(1－α)－(1－α)2]＝(1－α)(2α2－α)＝(1－α)·α(2α－1)，当0＜α＜0.5时，P 2－P 1＜0，故P 2＜P 1，故D 正确．故选ABD.7. (2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 635.【解析】 从正方体的8个顶点中任取4个，有n ＝C 48＝70个结果，这4个点在同一个平面的有m ＝6＋6＝12个，故所求概率P ＝m n ＝1270＝635. 8. (2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 310.【解析】 从5名同学中随机选3名的方法数为C 35＝10，甲、乙都入选的方法数为C 13＝3，所以甲、乙都入选的概率P ＝310.9. (2022·全国新高考Ⅱ卷)已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (2<X ≤2.5)＝0.36，则P (X >2.5)＝ 0.14⎝ ⎛⎭⎪⎫或750 .【解析】 因为X ～N (2，σ2)，所以P (X <2)＝P (X >2)＝0.5，因此P (X >2.5)＝P (X >2)－P (2<X ≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.核心考点1 随机事件的关系、古典概型核心知识· 精归纳1.概率的性质性质1：对任意的事件A ，都有P (A )≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P (Ω)＝1，P (∅)＝0； 性质3：如果事件A 与事件B 互斥，那么P (A ∪B )＝_P (A )＋P (B )__；性质4：如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么P (B )＝1－P (A )，P (A )＝_1－P (B )__； 性质5：如果A ⊆B ，那么P (A )≤P (B )，由该性质可得，对于任意事件A ，因为∅⊆A ⊆Ω，所以0≤P (A )≤1；性质6：设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，有P (A ∪B )＝_P (A )＋P (B )－P (A ∩B )__. 2.古典概型一般地，设试验E 是古典概型，样本空间Ω包含n 个样本点，事件A 包含其中的k 个样本点，则定义事件A 的概率P (A )＝k n ＝n An Ω.其中，n (A )和n (Ω)分别表示事件A 和样本空间Ω包含的样本点个数．多维题组· 明技法角度1：随机事件的关系1. (2023·柳州模拟)从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是( D )A ．至少有一本政治与都是数学B ．至少有一本政治与都是政治C ．至少有一本政治与至少有一本数学D ．恰有1本政治与恰有2本政治【解析】 从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，至少有一本政治和都是数学是对立事件，故A 错误；至少有一本是政治与都是政治，能同时发生，不是互斥事件，故B 错误；至少有一本政治与至少有一本数学，能同时发生，不是互斥事件，故C 错误；恰有1本政治与恰有2本政治，不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故D 正确．故选D.2. (2023·徐汇区校级三模)某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”( D )A ．是对立事件B ．都是不可能事件C ．是互斥事件但不是对立事件D ．不是互斥事件【解析】 事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件．故选D.角度2：古典概型的计算3. (2023·青岛模拟)将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，则2个黄球不相邻的概率为( C )A.45B ．25C ．23D ．13【解析】 将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，共有C 46C 22＝15种，其中2个黄球不相邻的有C 25＝10种，所以所求事件的概率为1015＝23.故选C.4. (2023·射洪市校级模拟)形如413或314的数称为“波浪数”，即十位数字比两边的数字都小．已知由1,2,3,4构成的无重复数字的三位数共24个，则从中任取一数恰为“波浪数”的概率为( B )A.16 B ．13 C ．512D ．58【解析】 若三位数中间的数字为1，则有A 23＝6个，若三位数中间的数字为2，则有A 22＝2个，即“波浪数”共有6＋2＝8个；所以从中任取一数恰为“波浪数”的概率P ＝824＝13.故选B. 方法技巧· 精提炼古典概型中样本点个数的探求方法1．列举法：适合的样本点个数较少且易一一列举的问题；2．树状图法：适用于较为复杂的问题中样本点个数的探究，尤其是有序问题； 3．排列、组合法：在求解一些较为复杂的问题时，可利用排列、组合知识求出样本点个数．加固训练· 促提高1. (2023·宜宾模拟)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则( B )A ．事件1与事件3互斥B ．事件1与事件2互为对立事件C ．事件2与事件3互斥D ．事件3与事件4互为对立事件【解析】 由题意可得事件1表示{1,3,5}，事件2表示{2,4,6}，事件3表示{4,5,6}，事件4表示{1,2}，所以事件1与事件2为对立事件，事件1与事件3不互斥，事件2与事件3不互斥，事件3与事件4互斥不对立，故选项A ，C ，D 错误，选项B 正确．故选B.2. (2023·东营模拟)五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徴、羽．如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为( B )A.12 B ．710 C ．920D ．1120【解析】 设从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，这个音序中宫和羽至少有一个为事件A ，则A 表示这个音序中不含宫和羽这两个音阶，∴P (A )＝1－P (A )＝1－A 23A 25＝1－3×25×4＝710.。

统计与统计案例1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等; 有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题, 都属于屮低档题.1.随机抽样(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少.(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多.(3)分层抽样特点是将总体分成儿层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的儿部分组成.2.常用的统计图表(1)频率分布直方图、频率①小长方形的面积=组距X 忒=频率；②各小长方形的面积之和等于1;—频率1③小长方形的高=猛，所有小长方形的高的和为丽.(2)茎叶图在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好.3.用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数、中位数、平均数一一一(2)方差：『=_[(/]—X )2+(A2—x )2------ (乙一x}2}.n标准崔X\— X 2+ X2— X 2 F X n — X 2]. 4. 变量的相关性与最小二乘法（1） 相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数.（2） 最小二乘法：对于给定的一组样本数据（xi, yi ）,（丸，乃），…，（尢，％）,通过求0=工（yi —a —bx ）'最小时，得到线性回归方程尸=加+日的方法叫做最小二乘法. /=15. 独立性检验对于取值分别是3,屈和5, y 』的分类变量尤和『，其样本频数列联表是:71Y2 总计ab a+b X2C d c+d 总计a+cb+dn则心宀 U+c W （•其中心++十为样本容量）•考点一抽样方法.例1. （2012・山东）采用系统抽样方法从960人屮抽取32人做问卷调查，为此将他们随机 编号为1,2,…，960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到 的32人中，编号落入区间［1,450］的人做问卷编号落入区间［451, 750］的人做问卷B, 英余的人做问卷C 则抽到的人中，做问卷〃的人数为（）9,39,69, 939.落入区间［451,750］的有459,489,729,这些数构成首项为459,公差为30的等差数列，设有刀项，显然有729 = 459+（/7—1）X30,解得刀=10.所以做 问卷〃的有10人.I 冋=f ■在系统抽样的过程屮,要注意分段间隔，需要抽取儿个个体，样本就需要分 成儿个组，则分段间隔即点N 为样本容量），首先确定在第一组中抽取的个体的号码 n数，再从后面的每组屮按规则抽取每个个体.解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样 方法的特点和适用范围.但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的, 都等于样本容量和总体容量的比值.A. 7B. 9 答案CC. 10D. 15解析由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为96032= 30,抽取的号码依次为因(1) (2013 •江西)总体由编号为01,02, 19,20的20个个体组成，利用下而的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()A. 08(2)某单位200名职工的年龄分布悄况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本.用系统抽样法，将全体职工随机按1〜200编号，并按编号顺序平均分为40组仃〜5号，6〜10号，196〜200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是.若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽収人.答案(1)D (2)37 20解析(1)从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为：08, 02, 14,07,01,所以第5个个体编号为01.(2)由分组可「知，抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22,即第〃组抽取的号码为5/7—3,所以第8组抽出的号码为37；40岁以下年龄段的职工数为200X0. 5 = 100,40则应抽取的人数为丽X 100 = 20人.考点二用样本估计总体.例2. (1) (2013・四川)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为「5将数据分组成[0, 5), [5, 10)，…，[30, 35), [35, 40] 时，所作的频率分布直方图是()(2) (2013 •江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：坏)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_________ .答案(1)A (2)2解析(1)由于频率分布直方图的组距为5,去掉C、D,又[0, 5), [5,10)两组各一人,去掉B,应选A.— 1(2) 一卩==(87 + 91+90 + 89+93)=90,□—— 1x乙==(89 + 90 + 91+88 + 92) =90,b品=占［(87 — 90)?+(91-90)1 2+ (90-90)2+ (89-90)2+ (93-.90)2］ =4,5s2=g［(89 —90尸+ (90-90)2+ (91-90)2+ (88-90)2+ (92-90)2］ =2.5(1)反映样本数据分布的主要方式有：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图.关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小, 高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、众数和中位数、方差等.(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小.在“2012魅力新安江”青少年才艺表演评比活动中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图，据此回答以下问题：(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3,5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6),共15 个，其中至少有一个在1 求参赛总人数和频率分布直方图中［80, 90)之间的矩形的高，并完成直方图；2 若要从分数在［80,100］之间任取两份进行分析，在抽取的结果中，求至少有一份分数在［90, 100］之间的概率.解(1)由茎叶图知，分数在［50, 60)之间的频数为2.由频率分布直方图知，分数在［50, 60)之间的频率为0. 008X10 = 0.0&2所以参赛总人数为両=25 (人).分数在［80, 90)之间的人数为25 — 2 — 7—10 — 2=4(人)，4分数在［80,90)Z间的频率为亦=0・16，得频率分布直方图中［80, 90)间矩形的高为晋=0. 016.完成直方图，如图.(2)将［80, 90)之间的4个分数编号为1, 2, 3,4；［90, 100］之间的2个分数编号为5和6.则在［80,100］之间任取两份的基本事件为(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2, 3),［90,100］之间的基本事件为(1,5), (1,6), (2,5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6),共9 个.9 3故至少有一份分数在［90, 100］ Z间的概率考点三统计案例.例3. (2013 •重庆)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第，个家庭的月收入农(单位：千10 10 10 10元)与月储蓄匕(单位：千元)的数据资料，算得为上=80,为y,=20,为乂匕=1.84,为¥ /=1 /=12=1 2=1 7=720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入/的线性回归方程y=bx+a,(2)判断变量龙与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.n _ _^XiYi—n x yi= I _ _____ _______ ___ 附：线性回归方程y= bx+ a中，b= ----------------- , a= y ~b x ,其中x , y为n __匸2 22^x~n x7=1样本平均值，线性回归方程也可写为y=bx+a.__ | n80解⑴由题意知〃=io, / =-yx=—=8, 刀「10又人=工£一〃^ 2=720-10X82 = 80,2 = 1厶》・=1＞必一刀x y =184-10X8X2 = 24, /=i由此得力3,a=~-b T=2-0. 3X8=-0. 4,故所求线性回归方程为y=0. 3^-0. 4.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(方=0. 3>0),故/与F 之间是正相关.（3）将x=l 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0. 3X7-0. 4 = 1. 7（千元）. （1）对具有线性相关关系的两个变量.可以用最小二乘法求线性回归方程，求方是关键,X XL X //— y ^Xiy —n x y■ /=1 J=1 其中b= ----------------------- = ---------------n __ n _ V 1 2 P 2 2 , Xi — x 2^Xi —n x /= i /= i⑵在利用统计•变量航进行独立性检验时，应该注意数值的准确代入和正确汁算, 最后把计算的结杲与有关临界值相比较.（1）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表:附表:参照附表，得到的正确结论是（）A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性別有关”D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”⑵已知x 、y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y=0. 95^+a,则日等于（）A. 1.30B. 1.45C. 1.65 0. 1.80EX60X50X60X50〜7.&答案（1）C （2）B解析（1）根据独立性检验的定义，由斤（塔）~7.8>6.635可知我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.—1(2)依题意得，x =^*X (0+1+4 + 5 + 6+8) =4,6—— 1y =-(1. 3 + 1. 8+5. 6 + 6. 1+7. 4 + 9. 3) =5. 25；又直线y=0.95/+自必过样本点中心(匸，~),即点(4, 5. 25),于是有5. 25 = 0. 95X4+日，由此解得曰=1.45.1.用样本估计总体（1）在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.（2）众数、屮位数及平均数的异同众数、屮位数及平均数都是描述一组数据集屮趋势的量，平均数是最重要的量.（3）当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布.—1 “①总体期望的估计，计算样本平均值X②总体方差（标准差）的估计：方差=2若］（尢一% ）2,标准差=7方差,方差（标准差）较小者较稳定.2.线性回归方程y =b x+a过样本点中心（匚，丁），这为求线性回归方程带来很多方便.3.独立性检验⑴作出2X2列联表.（2）计算随机变量#（疋）的值.（3）查临界值，检验作答.1.经问卷调查，某班学生对摄影分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的学生比持“不喜欢”的学生多12人，按分层抽样的方法（抽样过程中不需要剔除个体）从全班选出部分学生进行关于摄影的座谈.若抽样得出的9位同学屮有5位持“喜欢”态度的同学，1位持“不喜欢”态度的同学和3位持“一般”态度的同学，则全班持“喜欢”态度的同学人数为 ()A. 6B. 18C. 30D. 54答案C解析 由题意设全班学生为/人，持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”态度的学生分别 占全班人数的害、*、所以%(|-|)=12,解得%=54,所以全班持“喜欢”态度的人 数为54X ：=30.故选C.2. 某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数) 分成六段［40,50), ［50,60),…，［90,100］后得到如图的频率分布直方图，请你根据频 率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均分为 _______________ .答案71解析 由频率分布直方图得每一组的频率依次为0. 1, 0. 15, 0. 15, 0. 3, 0. 25, 0. 05,又由 频率分布直方图，得每一组数据的中点值依次为45, 55, 65, 75, 85, 95.所以本次考试数学成绩的平均分为匚=45X0. 1 +55X0. 15 + 65X0. 15 + 75X0.3 +85X0. 25+95X0. 05 = 71.故填71.随机抽取某川学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm),获得身高数据的茎叶图如图.(1) 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2) 计算甲班的样本方差；(3) 现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm 的同学被抽屮的概率.解(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160 cm 〜179 cm 之间，而乙班身高集中于170cm 〜180 cm 之间，因此乙班平均身高高于甲班，其中 — 158+162 + 163+168+168+170+171 + 179+179+182 x 甲== 170, —159+162 + 165+168 + 170+173 + 176+178+179+18110= 171. 1.(2)甲班的样本方差为±[(158 — 170)2+(]62_i70)2+ (163- 170)2+ (168~170)2 + (168-170)2+ (170-170)2+(171-170)2+ (179-170)2+ (179-170)2+ (182-170)2]甲班2 18 9 9 10 17 8 83 216 815 3. 10 乙班10 3 6 8 9 2 5 8 9= 57. 2.(3)设身高为176 cm 的同学被抽中的事件为/L从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：(181,173)、(181,176)、(181,178)、(181,179)、(179,173)、(179,176)、(179,178)、(178, 173)、(178,176)、 (176,173),共10个基本事件，而事件含有4个基本事件，(推荐时间：60分钟)一、选择题1. 要完成下列两项调查：①从某肉联厂的火腿肠生产线上抽取L 000根火腿肠进行“瘦 肉精”检测；②从某屮学的15名艺术特长生屮选出3人调查学习负担情况.适合采用 的抽样方法依次为()A. ①用分层抽样，②用简单随机抽样B. ①用系统抽样，②用简单随机抽样C. ①②都用系统抽样D. ①②都用简单随机抽样答案B解析 ①屮总体容量较大，且火腿肠Z 间没有明显差异，故适合采用系统抽样；②屮总 体容量偏小，故适合采用简单随机抽样.2. (2012・四川)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况, 对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为M 其屮 甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12, 21,25, 43,则这四个社区驾驶员的总人数艸为()A. 101B. 808C. 1 212D. 2 012答案B12解析由题意知抽样比为花，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12 + 21+25+43 = 101,故有||=¥，解得/V=808.3. (2013 •福建)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生.，将他们的模块测试成绩分成6 组：[40,50), [50, 60), [60,70), [70, 80), [80, 90), [90,100]加以统计，得到如图 所示的频率分布直・・・P(A)=£2方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A. 588B. 480C. 450D. 120答案B解析少于60分的学生人数600X (0. 05 + 0. 15) = 120(人),・・・不少于60分的学生人数为480人.4.甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为匚甲,匚乙，则下列判断正确的是()A.匚甲＞7乙；甲比乙成绩稳定甲〉匚乙；乙比甲成绩稳定C. "7甲＜7乙；甲比乙成绩稳定乙比甲成绩稳定答案D解析由茎叶图可知—17+16 + 28 + 30 + 34*，1，= 5 斗5,—15 + 28+26 + 28 + 33x乙= z =26,oX甲〈X乙.又昴=g[「(17—25尸+ (16-25)2+ (28-25)2+ (30-25)2+ (34-25)2] =52,s：=£[(15-26)2+ (28-26)2+ (26~26)2+ (28-26)2+ (33-26)2] =35. 6,・・・乙比甲成绩稳定.5.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{/},若心=8,且越，彷成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A. 13, 12B. 13, 13C. 12, 13D. 13, 14答案B解析设等差数列｛/｝的公差为〃（件0）, $3=8,血戲=£=64, （8 — 2小（8+4小=64, （4 — / （2 +小=& 2〃一扌=0 ,又,故d = 2 ,故样本数据为+ 12 + 14 4,6, & 10, 12, 14, 16, 18,20,22,样本的平均数为------- ----- =13,中位数为一= 13,故选B.6.2011年6月，台湾爆出了食品添加有毒塑化剂的案件，令世人震惊.我国某研究所为此开发了一种用来检测塑化剂的新试剂，把500组添加了该试剂的食品与另外500组未添加该试剂的食品作比较，提出假设弘：“这种试剂不能起到检测出塑化剂的作用”，并计算出635）=0. 01.对此，四名同学做出了以下的判断：P：有99%的把握认为“这种试剂能起到检测出塑化的作用”；q：随意抽出一组食品，它有99%的可能性添加了塑化剂；z、：这种试剂能检测出塑化剂的有效率为99%；s：这种试剂能检测出塑化剂的有效率为1%.则下列命题中为真命题的是（）A. p/\qB.絲pf\qC.（綁门/\繍g）/\ （八/s）D・（pV 1^） A （^J s）答案D解析提出假设拄“这种试剂不能起到检测出塑化剂的作用”，并计算出戶（於26. 635）=0.01,因此，在一定程度上说明假设不合理，我们就有99%的把握拒绝假设.由题设可知命题刀，厂为真命题，q, s为假命题，依据复合命题的真值表可知D 为真命题.二、填空题7.（2013 •湖北）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.（1） ________________________ 直方图屮x的值为;（2） ___________________________________________________ 在这些用户中，用电量落在区间［100, 250）内的户数为__________________________________ .答案（1）0.004 4 （2） 70解析（1）（0.002 4+0. 003 6 + 0. 006 0+x+0. 002 4 + 0. 001 2） X50 = l,・・」= 0.004 4.（2）（0. 003 6 + 0. 004 4+0. 006 0）X50X100=70.8.下表提供了某厂节能减排技术改造后在生产/产品过程屮记录的,产量*吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出F 关于x 的线性回归方程为y=0.7%+0.35,那么表中广的 值为 . 答案3解析二•样本点屮心为(4.5,耳勺， ・・・斗二=0. 7X4. 5+0. 35,解得 t='3.9. 某校高三考生参加某高校自主招生面试时，五位评委给分如下：9. 0 9. 18.9 9.2 8.8则五位评委给分的方差为 ________ . 答案0.02解析评委给分的平均数为|x (9. 0 + 9. 1 + & 9 + 9. 2 + & 8) =9. 0, □方差为[(9. 0-9. 0)2+ (9. 1 -9. 0)2+ (8. 9-9. 0)2+(9. 2-9. 0)2+ (8. 8-9. 0)2]=50. 1匕~=0. 02. 510. 某校开展“爱我海西、爱我家乡•”摄影比赛，9位评委为参赛作品 A给出的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分 后，算得平均分为91,复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中 的x)无法看清，若 记分员计算无误，则数字x 应该是 __________ . 答案1"4, •严+ 刖 + 92 + 9吁92 + 9++90 = 9], •I /=1・三、解答题11. (2013 •陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从〃组中抽取了 6人.请将其余各组抽取的人数填入下表.解析 当心时，叭叭吗畀92 + 91 + 9、字切,(2)在(1)中，若力，〃两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委屮分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.解(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%,所以各组抽取的人数如下表：b\,厶｝屮各抽取1人的所有结果为:由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的冇Si b\,日厶，,观厶4 9共4种，故所求概率7°=—=^.12.(2012 •辽宁)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时I'可的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷” 有10名女性.(1)根据己知条件完成下面的2X2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.0. 050.01 k3. 8416. 635解 ⑴由频率分布直方图可知，在抽収的100人中「体育迷”有25人，从而完成2X2 列联表如下:非体育迷体育迷 合计男 30 15 45 女 45 10 55 合计7525100将2X2列联表中的数据代入公式计算，得100=33 心3. 030.因为3. 030<3. 841,所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本 事件空间为 Q={@1,戲)，仙，3：i) ,(0,辺3),(0,方J , (21, &) , (^2, bl),(臼2, &),(日3, b\),(臼3,Z>2), (bi, &)},其中么表不男性,7 = 1, 2, 3,伤表不女性，j — 1, 2. Q 由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的.用ZI 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A= {(<<?], Z?l) , (&, bz),(日2, 5),(日2,血)，@3, bl) , (t?3, bz) , (Z?l, bl)},事件/7rti 7个基本事件组成，因而P (A )=—附:75X25X45X55。

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析概率与统计It was last revised on January 2, 2021湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析17：概率与统计【考点聚焦】考点1：概率的基本概念，古典概率，几何概率；考点2：用列举法计算事件的个数；考点3：三种抽样、统计图表、样本的数据特征分析。

【考点小测】1．(重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔,〕的学生人数是(A)20 (B)30 (C)40 （D）502．(重庆卷)某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家。

为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。

若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（A）2 （B）3 （C）5 （D）133．某次考试，班长算出了全班40人数学成绩的平均分M，如果把M当成一个同学的成绩与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M：N为：（）A．40：41 B．41：40 C．2 D．14. 某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下:行业名称计算机机械营销建筑化工应聘人数215830 200250 154676 74570 65280行业名称计算机机械营销建筑化工招聘人数124620 102935 89115 76516 70436据,就业形式一定是0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距A.计算机行业好于化工行业B.建筑行业好于营销行业C.机械行业最紧张D.营销行业比化工紧张5. 某公司在甲、乙片区分别有若干个销售点。

公司为了调查产品销售情况，用按5%比例分层抽样的方法抽取了甲片区15个销售点，乙片区45个销售点进行调查，则该公司在甲、乙片区的销售点数分别为A ．75，225B ．150，450C ．300，900D ．600，6006．如果数据x 1、x 2、…、x n 的平均值为x ，方差为S 2 ，则3x 1+5、3x 2+5、…、3x n +5 的平均值和方差分别为（ ）(A)x 和S 2 (B) 3x +5和9S 2(C) 3x +5和S 2 (D)3x +5和9S 2+30S+257、如图，一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落 在阴影区域的概率为(A)91 (B) 61 (C) 32 (D) 318．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先 将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右 盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A ．大于10gB ．小于10gC ．大于等于10gD ．小于等于10g9．两位同学去某大学参加自主招生考试，根据右图学校负责人与他们两人的对话，可推断出参加考试的人数为 ( ) A. 19 B. 20 C. 2110．（全国II ）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．11.（山东卷）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所 有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150， 那么该学校的教师人数是 .12．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球至少有一个红球的概率是____________。

高考数学二轮复习考点解析四：概率与统计某某市同泽高级中学 谷凤军2008年4月7日一、方法概述1、概率与统计已成为高考的一个重点考查内容，其基本考点有随机事件的概率，抽样方法，总体分布的估计；理科则还有离散型随机变量的分布列，数学期望与方差，正态分布等。

试题以实际问题为背景，贴近生活，难度适中。

2、 解决概率问题，一定要根据有关概念，判断是否是等可能事件，或互斥事件，或相互独立事件，或是独立重复试验，以便选择正确的计算方法。

解题过程中，要明确条件中“至少有1个发生”、“至多有1个发生”、“恰有1个发生”、“都发生”、“都不发生”和“不都发生”等词语的意义，以及它们概率之间的关系和计算公式。

3、总体、样本及样本频率是统计中最基本的概念，通过样本可对总体进行估计。

4、在求某些较复杂的概率时，通常有两种办法：一是将所求事物的概率化成一些彼此互斥的事件的概率之和；二是先求此事件的对立事件的概率。

5、 要注重概率、统计知识与其它知识的互相渗透，是近几年来高考的命题方向，通常与函数、数列、不等式、方程等知识相结合，同时它的应用性极强，需要学会建立准确的数学模型。

6、 对于随机变量，则必须弄清楚它是服从哪一类型分布，能够写出分布列，求出数学期望和方差，它们是随机变量最常用也是最重要的数学特征，它们分别刻划了随机变量的平均值水平和取值分布离散的程度。

二、各地模拟题汇编1、（08年东北育才三模）现有五道数学试题，记为A 、B 、C 、D 、E 和它们对应的答案为e d c b a 、、、、,把A 、B 、C 、D 、E 和e d c b a 、、、、分别写成左右两列，现有一答题者，随机用5条线段把左、右全部连接起来，构成一个“一一对应”已知连对一个得1分，连错一个得0分。

（1）求答题者得分的分布列； (文科)求恰连对一个的概率。

（2）求所得分数的期望。

（文科）求五个都练错的概率。

设答对数为η，则η=0，1，2，3，5（1）记得分为ξ，则ξ=0，1，2，3，5 1分∴12011)5()5(55=====A p p ηξ121)3()3(5535=====A C p p ηξ612)2()2(5525=====A C p p ηξ839)1()1(5515=====A C p p ηξ3011836112112011)0()0(=----====ηξp p 8分 ∴所求得分数ξ的分布列为9∴（2）112015121361283130110=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 12分 2、（本小题满分13分）一个口袋里面装有２个白球４个黑球，这些球除颜色差别外没有其它的区别. 现在从袋中随机取出一个来记好颜色，然后放回并搅匀，之后再随机取球记色，再放回搅匀，…. 记数列1n :n n na a 第次取得白球-1第次取得黑球，数列n a 的前n 项和记为nS ①.求事件“4S ＝２”的概率； ②求4S 取值的分布列和数学期望4ES . 解：（１）事件42S =只能是“四次取球中出现三次白球一次黑球”，每次取得白球的概率为2163=；取得黑球的概率是4263=…………..2’ 于是3344128(2).3381p S C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………..2’ （２）4S 可能的取值有4,2,0,2,4--40441216(4)(3381p S p C ⎛⎫⎛⎫=-==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四次全黑）； 441232(2)(3381p S p C ⎛⎫⎛⎫=-==⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭１3１三黑一白）； 4412248(0)(338127p S p C ⎛⎫⎛⎫===⋅⋅==⎪⎪⎝⎭⎝⎭222二黑二白）； 44128(2)(3381p S p C ⎛⎫⎛⎫===⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭313一黑三白）； 44121(2)(3381p S p C ⎛⎫⎛⎫===⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭404四次皆白），…………………5’于是4S 取值的分布列为………………………………………….2’4163224814(4)(2)02481818181813ES =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=-…………2’ 3、（本小题满分12分）有10X 形状、大小相同的卡片，其中2X 上写着数字0，另外5X 上写着数字1，余下3X 上写着数字2。