第5讲 盈亏问题

第五讲盈亏问题知识要点：在日常生活中常有这样的问题，一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够，每人少一些，物品就有余，盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数和参与分配的人数。

解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。

盈亏问题的关系式：（盈＋亏）÷两次分配的差＝份数（大盈－小盈）÷两次分配的差＝份数（大亏－小亏）÷两次分配的差＝份数例题讲解：例1、幼儿园买来一些玩具，如果每班分8个玩具，则多出2个玩具，如果每班分10个玩具，则少12个玩具，幼儿园有几个班？这批玩具有多少个？例2、老师买来一些练习本分给优秀少先队员，如果每人分5本，则多了14本；如果每人分7本，则多了2本；优秀少先队员有几人？买来多少本练习本？例3、学校派一些学生搬树苗，如果每人搬6棵，则差4棵，如果每人搬8棵，则差18棵，学校派了多少名学生？这批树苗有多少棵？例4、三年级学生练习册，如果每人发5册还剩下32册，如果其中10个学生每人发4册，其余每人发8册，就恰好发完。

那么三年级学生有多少人？练习册有多少本？例5、三（1）班学生去公园划船，如果每条船坐4人，则少了1条船；如果每条船坐6人，则多出了4条船；公园里有多少条船？三（1）班有多少名学生？举一反三：1、小明带了一些钱去买苹果，如果买3千克，则多出2元，如果买6千克，则少了4元，问苹果每千克多少元？小明带了多少钱？2、把一袋糖分给小朋友们，如果每人分4粒，则多出12粒，如果每人分6粒，则多出2粒，问有几个小朋友？有多少粒糖？3、自然课上，老师给学生发树叶，如果每人分5片树叶，则差3片树叶，如果每人分7片树叶，则差25片树叶，这节课有多少学生？老师一共带了多少树叶？4、小明买了一本《趣味数学》，他计划：如果每天做3题，则剩下16题，如果每天做5题，则最后一天只要做1题。

那么这本书共有几道题？小明计划做几天？5、学校给新生分配宿舍，如果每间住8人，则少了2间房，如果每间住10人，则多出了2间房，一共有几间房分给新生？新生有多少人住宿？能力检测：1、一个小组去山坡植树，如果每人栽4棵，还剩12棵，如果每人栽8棵，则还缺4棵，这个小组有多少人？一共有多少棵树？2、妈妈买来一些苹果分给全家人，如果每人分6个，则多出了12个，如果每人分7个，则多出了6个，全家有几人？妈妈买回多少个苹果？3、数学兴趣小组同学做数学题，如果每人做6道题，则少4道，如果每人做8道题，则少16道，问有几个同学？一共有多少道数学题？4、一组学生去搬书，如果每人搬2本，还剩12本，如果每人搬4本，还缺6本，这组学生有几人？这批书有多少本？5、某学校有一些学生住校，每间宿舍住8人，空出床位2张，如果每间宿舍住10人，则空出床位24，学校共有几间宿舍？住宿学生有几人？6、学校排练节目，如果每行排8人，则有一行少2人，如果每行排9人，则有一行少7人，一共排了多少行？一共有多少人？。

类型五盈亏问题【知识讲解】一、盈亏问题：把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。

如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。

凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。

二、盈亏问题类型：（一）盈盈或亏亏（1）两次都有余（盈），可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数例如：士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多280发。

问：有士兵多少人？有子弹多少发？士兵：（680-280）÷（50-45）=80（人）子弹：50×80+280=4280（发）答：有士兵80人，有子弹4280发。

（2）两次都不够（亏），可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数例如：将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。

有多少学生和多少本本子？学生：（90-8）÷（10-8）=41（人）本：10×41-90=320（本）答：有41学生和320本本子。

（二）盈+亏（3）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数例如：小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。

问：有多少个小朋友和多少个桃子？小朋友：（7+9）÷（10-8）=8（人）桃子：10×8-9=71（个）答：有8个小朋友和71个桃子。

（三）一次盈或亏（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：亏÷（两次每人分配数的差）=人数例如：老师将一些练习本发给班上的学生。

如果每人发10本，则有两个学生没分到；如果每人发8本，则正好发完。

有多少个学生？多少本练习本？学生：10×2÷（10-8）=10（个）练习本：8×10=80（本）（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：盈÷（两次每人分配数的差）=人数例如：某校在植树活动中，把一批树苗分给各班，如果每班分18棵，就会有余下24棵；如果每班分20棵，正好分完。

盈亏问题解答公式：两次分配的结果差÷两次分配数差＝人数或，由于参加分配的总人数不变，参加分配的物品总数不变，因此，可根据第一种分法的人数＝第二种分法的人数第一种分法物品总数＝第二种分法物品总数，列出方程来解。

1、一批树苗，如果每人种树苗8棵，则缺少3棵；如果每人种7棵，则有4棵没人种。

求参加种树的人数是多少？这批树苗共有多少棵？分析：每人种8棵，则缺少3棵，也就是少3棵。

每人种7棵，则有4棵没人种，也就是多4棵。

那么两次分配的结果差是3＋4＝7，两次分配的数差是8－7＝1种树人数是：7÷1＝7（人）树苗总数是：8×7－3＝53（人）解法一：（3＋4）÷（8－7）＝7÷1＝7（人）8×7－3＝53（棵）答：参加种树的人数是7人，这批树苗共有53棵。

解法二：这道题种树人数不变，树苗总棵数不变，若设种树人数为X人，根据第一种分法的树苗总棵数＝第二种分法的树苗总棵数，列方程解。

解：设种树人数为X人，列方程得8X－3＝7X＋48X－7X＝4＋3X＝78×7－3＝53（棵）答：（略）2、幼儿园老师把一堆苹果分给小朋友，如果每人分6个，则少10个，每人分4个，还少2个。

有多少小朋友？有多少个苹果？分析：两次分配都不足，则两次不足数量差就是两次分配的结果差，结果差÷分配差＝人数解：（10－2）÷（6－4）＝8÷2＝4（人）6×4－10＝14（个）答：有4个小朋友，有14个苹果。

3、学校安排新生住宿，若每间宿舍住6人，则多出34人；若每间宿舍住7人，则多出4间宿舍，求住宿的学生和宿舍各有多少？分析：每间住6人，多出34人，就是不足34张床位；每间住7人，多出4间宿舍，就是多出7×4＝28张床位。

两次分配的结果差就是（34＋28），结果差÷分配差＝宿舍解：（34＋28）÷（7－6）＝62÷1＝62（间）6×62＋34＝406（人）答：住宿的学生共406人，宿舍有62间。

第五讲 基本盈亏问题1.1.老师拿来10个苹果，平均分给5个同学，每个人分几个呢？如果再来两个同学，还是每人分那么多，还差几个苹果呢？2. 2. 羊村村长给小羊们发青草丸子，每只羊分到的一样多，还剩下20个青草丸子。

后来又来了一只小羊，分给它同样多的丸子后，只剩下10个青草丸子了，请问每只小羊分到几个青草丸子？3．老师拿来一些苹果，分给5个同学，每个人分到的一样多，还剩下1个，如果又来1个同学，分给他同样多的苹果后，还差1个，那么每个同学分几个苹果呢？老师原来有几个苹果？ 4．老师拿来一些苹果，分给3个同学，每个人一样多，还剩下10个，又来了两个同学，分给他们同样多的苹果后，还剩下2个，每个同学分几个苹果呢？老师原来有几个苹果？例1老师拿来很多剪纸，分给5个同学，每人分到的一样多，还剩下22张，又来了两个同学，分给他们一样多的剪纸后，就只剩下6张了。

请问每个同学分几张剪纸？老师一共拿来了多少张剪纸？【练习】1.羊村村长给小羊们发青草丸子，每只羊分到的一样多，还剩下20个青草丸子。

后来又来了两只小羊，分给它同样多的丸子后，只剩下10个青草丸子了，请问每只小羊分到几个青草丸子？2.乐乐准备了一些棒棒糖发给班里的同学，开始发给7个同学，还剩下14根。

后来又来了3名同学，发给他们同样多的棒棒糖后，就只剩下5根了。

请问每个同学发几根棒棒糖？乐乐开始一共准备了多少根棒棒糖？3.老师给同学们发作业本，每个人发同样多的作业本后，还剩下20本。

后来给新来的2个同学也发了同样多的作业本，就只剩下12本，请问每个同学发几本？剩下的作业本还能发给几个同学？例2裁缝要往一些西服上缝扣子，如果每件西服缝3个扣子的，还会剩下26个扣子；如果每件缝5个，就只剩下4个扣子了。

请问：裁缝一共有多少个扣子？几件西服？【练习】1.把一些桃子分给猴子们，如果每只猴子分5个，那么还剩下12个桃子；如果每只猴子分8个，就只剩下3个桃子了，问有多少只猴子？有多少个桃子？2.某车队买回来一些新轮胎，要是把每辆车的2个前胎全部换掉，还能剩下20个轮胎；要是把每辆车的4个轮胎全部换掉，就只剩下6个轮胎了。

类型五盈亏问题【知识讲解】一、盈亏问题：把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。

如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。

凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。

二、盈亏问题类型：（一）盈盈或亏亏（1）两次都有余（盈），可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数例如：士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多280发。

问：有士兵多少人？有子弹多少发？士兵：（680-280）÷（50-45）=80（人）子弹：50×80+280=4280（发）答：有士兵80人，有子弹4280发。

（2）两次都不够（亏），可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数例如：将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。

有多少学生和多少本本子？学生：（90-8）÷（10-8）=41（人）本：10×41-90=320（本）答：有41学生和320本本子。

（二）盈+亏（3）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数例如：小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。

问：有多少个小朋友和多少个桃子？小朋友：（7+9）÷（10-8）=8（人）桃子：10×8-9=71（个）答：有8个小朋友和71个桃子。

（三）一次盈或亏（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：亏÷（两次每人分配数的差）=人数例如：老师将一些练习本发给班上的学生。

如果每人发10本，则有两个学生没分到；如果每人发8本，则正好发完。

有多少个学生？多少本练习本？学生：10×2÷（10-8）=10（个）练习本：8×10=80（本）（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：盈÷（两次每人分配数的差）=人数例如：某校在植树活动中，把一批树苗分给各班，如果每班分18棵，就会有余下24棵；如果每班分20棵，正好分完。

第5讲盈亏问题（二）上一讲，我们讲了盈亏问题的一般情形，也就是在量词分配中恰好洋盈（多余），一次亏（不足）。

事实上，在许多问题里，也会出现两次都是盈（多余），或者两次都是亏（不足）的情况。

例 1、学校将一批铅笔奖给三好学生，每人9支缺15支；每人7支就缺7支。

问：三好学生有多少人，铅笔有多少支？例2、某小学的部分同学外出参观，如果每辆车坐55人就会余下30个座位；如果每辆车坐50人，就还可以坐10人。

有多少辆车？去参观的学生多少人？例3、学校规定上午8时到校。

王强上学去，如果每分钟走60米，可以提早10分钟到校；如果每分钟作呕50米可以提早8分钟到校。

问：王强什么时候离开家？他家离学校多远？练习与思考（第1～4题13分，其余每题12分，共100分。

）1.同学们打羽毛球，每两人一组。

每组分6个羽毛球，少10个球；每组分4个羽毛球，少2个球。

问：共、有多少个同学打球？有多少个羽毛球？2.学校将一批钢笔奖给三好学生，每人8支缺11支；每人7支缺7支。

问：三好学生有多少人？钢笔有多少支？3.某小学的部分学生去春游，如果每辆车坐50人，就会余下30个座位；如果每辆车坐40个人，还可以坐10人。

问有多少辆车？去春游的学生多少人？4.一筐苹果分给一个小组，每人5个剩16个；每人7个缺12个。

这个小组有多少人？共有多少苹果？5.一些学生分练习本。

其中两人每人分6本，其余每人分4本，就会多4本；如果有一人分10本，其余每人分6本，就会少18本。

学生有多少人？练习本多少本？6.一个学生从家到学校，先用每分50米的速度走了2分，如果这样走下去，他会迟到8分；后来他改用每分60米的速度前进，结果早到学校5分。

这个学生家到学校的路程是多少米？7.筑路对计划每天筑路720米，实际每天比原计划多筑802米，这样，在规定完成任务时间的前3天，就只剩下1160米未筑。

这条路多长？8.老师给幼儿园小朋友分苹果。

每2人3个苹果，多2个苹果，每3人5个苹果，少4个苹果。

小学三年级下册逻辑思维第五讲盈亏问题【一】小英有一本数学练习题，若每天做8题，做了7天后还有32题。

则这本书有多少题？一共需要做多少天？练习1、9个小朋友分一些糖果，若每人分4颗，则多了2颗。

共有多少颗糖？2、妈妈带了一些钱去逛超市，若要买3条10元钱一条的毛巾，则还剩5元钱。

妈妈带了多少钱？【二】幼儿园有一些玩具，如果平均分给8个班，每班分6个，则会多2个。

若每班分7个呢？练习1、有一些玻璃球，若平均分成3堆，则每堆有7个还多4个。

若平均分成5堆，则每堆会有多少个？2、三（1）班全体同学分成5组去春游，若每组7人，则还少1人。

若每组6人呢？【三】幼儿园买来一些玩具，如果每班分8个玩具，则多出2个玩具；如果每班分10个玩具，则少12个玩具，幼儿园有几个班？这批玩具有多少个？练习1、老猴子给小猴子们分梨。

每只小猴子分6个梨，就多出12个梨。

每只小猴子分7个梨，就少11个梨。

有几只小猴子和多少个梨？2、老师把一些饼干分给小朋友。

如果每人分12块，还剩3块，如果每人分13块，就缺4块。

问一共有多少个小朋友？有多少块饼干？【四】博思买来一些练习本分给优秀学生，如果每人分3本，则多了18本；如果每人分5本，则多了2本。

优秀学生有几人？买来了多少本练习本？练习1、把一袋糖分给小朋友们，如果每人分2颗，则多了12颗，如果每人分4颗，则多了2颗。

有小朋友几人？有多少颗糖？2、妈妈买来一些苹果分给全家人，如果每人分7个，则多10个；如果每人分8个，则多2个。

问：全家有几人？妈妈共买了多少个苹果？【五】学校组织一些学生去植树，如果每人植5棵，则差2棵；如果每人植7棵，则差18棵。

学生有几人？这批树苗有多少棵？练习1、某班春游活动，每人收32元，则少200元；每人收34元，则少100元。

这个班有学生多少人？2、几个好朋友分一些玻璃球。

若每人分11个，差8个；若每人分16个，差48个。

求有几个人？一共有多少个玻璃球？【六】学校分配宿舍，每个房间住3人则多出20人，每个房间住5人，则刚好安排完。

小学四年级奥数讲解：盈亏问题小学四年级奥数讲解：盈亏问题在日常生活中常有这样的问题：一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。

盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数和参加分配的人数。

解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。

盈亏问题的数量关系是：（1）（盈＋亏）÷两次分配差=份数（大盈－小盈）÷两次分配差=份数（大亏－小亏）÷两次分配差=份数（2）每次分得的数量×份数＋盈=总数量每次分得的数量×份数－亏=总数量例1：一个植树小组植树。

如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。

这个植树小组有多少人？一共有多少棵树？由题意可知，植树的人数和树的棵数是不变的。

比较两种分配方案，结果相差14＋4=18棵，即第一种方案的结果比第二种多18棵。

这是因为两种分配方案每人植树的棵数相差7－5=2棵。

所以植树小组有18÷2=9人，一共有5×9＋14=59棵树。

练习一1，幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人分2个，则剩下20个；如果每人分3个，则差40个。

幼儿园有多少个小朋友？一共有多少个积木？2，某校安排宿舍，如果每间6人，则16人没有床位；如果每间8人，则多出10个床位。

问宿舍多少间？学生多少人？3，有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。

问：这个班共有多少学生？例2：学校将一批铅笔奖给三好学生。

如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7支。

三好学生有多少人？铅笔有多少支？分析与解答：这是两亏的问题。

由题意可知：三好学生人数和铅笔支数是不变的。

比较两种分配方案，结果相差45－7=38支。

这是因为两种分配方案每人得到的铅笔相差9－7=2支。

所以，三好学生有38÷2=19人，铅笔有9×19－45=126支。

第五讲盈亏问题本讲主要学习三种类型的盈亏问题：1、理解掌握并运用直接计算型盈亏问题；2、理解掌握条件转换型盈亏问题；3、理解掌握关系互换型盈亏问题．本节课要求老师首先让学生理解盈亏问题基本公式的含义，再通过例题让学生掌握解答盈亏问题的基本技巧，培养学生的思维分析能力．分析：这种情况需要转换条件，总蟠桃数如果每个猴子分2个，那么就多了14＋25＝39个，每个猴子分5个，恰好分完，这样猴子数是：39÷（5－2）＝13只，所以总共的蟠桃数是：13×5＝65个．盈亏问题是一类生活中很常见的问题．按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的含义．解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括：(盈＋亏)÷两次分得之差＝人数或单位数；(盈－盈)÷两次分得之差＝人数或单位数；(亏－亏)÷两次分得之差＝人数或单位数．上面的公式不能盲目套用，在真正掌握其内涵以后再运用公式解题将会使你面临盈亏问题时而游刃有余，不可盲目套用公式．（一）直接计算型【例1】（★★奥数网题库）秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔收获的萝卜有多少个？计划吃多少天？分析：题中告诉我们每天吃4个，多出48个萝卜；每天吃6个，少8个萝卜．观察每天吃的个数与萝卜剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，萝卜从多出48个到少8个，也就是所需的萝卜总数要相差48＋8＝56（个）．从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个萝卜了．吃的天数：（48＋8）÷（6－4）＝56÷2＝28（天），萝卜数：6×28－8＝160（个）或 4×28＋48＝160（个）．[巩固]学而思学校三年级基础班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？分析：由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种每人分4粒就多9粒，第二种每人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原因在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为：5-4=1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以参与分糖果的同学的人数是15÷1=15（位），糖果的粒数为：4×15+9=69（粒）.【例2】（★★奥数网题库）中关村一小合唱队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出9人，若每条长椅上坐4人则多出3人.问：合唱队有多少人？分析：“多9人”与“多3人”两者相差9－3＝6（人），每条长椅要多座 4－3＝1（人），因此就知道，共有6÷1＝6（条）长椅，人数是6×3+9＝27（人）．[前铺]老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出8个桃，每只小猴分11个桃则正好分完，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？分析：老猴子的第一种方案盈8个桃子，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8个，两次分配之差是11-10=1（个），由盈亏问题公式得，有小猴子：8÷1=8（只），老猴子有8×10+8=88（个）桃子.【例3】（★★奥数网题库）有一批香蕉要分给动物园的小猩猩，如果每只猩猩发10个，还差9个，每只猩猩发9个，还差2个，请问有多少小猩猩？多少个香蕉？分析：“差9个”和“差2个”两者相差9－2＝7（个），每个只猩猩要多发10－9＝1（个），因此就知道，共有小猩猩7÷1＝7（只）猩猩，香蕉有7×10－9＝61（个）．[巩固]王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差30元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？分析：本题购物的两个方案，每一个方案都出现钱不足的情况，买7把差110元，买5把还差30元，从买7把变成买5把，少买了7-5=2（把），而钱的差额减少了110-30=80（元），即80元可以买2把小提琴，可见小提琴的单价是每把40元，王老师一共带了：7×40-110=170（元）.[总结] 以上是三道最基本的盈亏问题题目，要求老师在教学过程中引导学生理解掌握其解法并能让学生熟练运用公式，这对解答后面其他类型的盈亏问题的有帮助．（二）条件转化型【例4】（★★★奥数网题库）学而思学校给参加秋游的同学租了几辆大轿车，若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，若每辆车乘32人则还有3个空座.问：有多少名同学？多少辆车？分析：这种类型的题目不能直接计算，要将其中的一个条件转化，使之转化为基本的盈亏问题．已知若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，可转化为：每辆车乘28人多出13名同学；若每辆车乘32人则还有3个空座，可转化为：每辆车乘32人少3人，问有多少名学生多少辆车？所以，车数：（13+3）÷（32-28）=4（辆），学生有：28×4+13=125（人）.[巩固]猪妈妈带着孩子去野餐，如果每张餐布周围坐4只小猪就有6只小猪没地方坐，如果每张餐布周围多坐一只小猪就会余出4个空位子，问：一共有多少只小猪，猪妈妈一共带了多少张餐布？分析：每张餐布周围多坐一只小猪就是坐5只小猪，余出4个空位子就是少4只小猪，所以原问题可以转化为：如果每张餐布周围坐4只小猪，则多出6只没处坐；如果每张餐布周围坐5只，还少4只，求有多少只小猪多少张餐布？所以餐布数是：（6+4）÷1=10（张），有小猪：10×4+6=46（只）.[拓展]舞蹈队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则有9人没座，若每条长椅上坐4人则多3个座位.问：舞蹈队有多少人？分析：每条长椅上坐3人则有9人没座说明多9人，每条长椅上坐4人则多3个座位说明少3人，多座一人后相差9+3=12人，所以有长椅12÷1＝12（条），舞蹈队有12×3+9=45（人）.【例5】（★★★★奥数网题库）实验小学少先队员去植树．如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完．问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？分析：这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，就恰好种完，这组条件中包含着两种种树的情况——2人各种4棵，其余的人各种6棵．如果我们把它统一成一种情况，让每人都种6棵，那么，就可以多种树（6－4）×2＝4（棵）．因此，原问题就转化为：如果每人各种5棵树苗，还有3棵没人种；如果每人种6棵树苗，还缺4棵．问有多少少先队员，一共种多少树苗？人数： [3＋（6－4）×2]÷（6－5）＝7（人），棵数：5×7＋3＝38（棵）或6×7－4＝38（棵）．[巩固]兔子妈妈分白菜：如果其中2只小兔子每只分4棵，其余每只分2棵，则多4棵白菜；如果其中一只小兔子分6棵，其余每只分4棵，则差12棵白菜，问：一共有多少只小兔子？一共有多少棵白菜？分析：由已知条件，第一种分配：其中2只每只分4棵，其余每只分2棵，则多4棵白菜，我们假设，如果所有的小兔子每只都分2棵，就会多出2×2=4（棵），这样将条件转化为：每只分2棵，则多出4+2×2=8（棵）；第一种分配，如果假设每只小兔子分4棵，就会多出6-4=2（棵），这样将条件转化为：每只分4棵，则差12-2=10（棵），第一次与第二次分配相差8+10=18（棵），两次分配每只小兔子相差4-2=2（只），所以小兔子的总数为：18÷2=9（只），一共有白菜：2×9+8=26（棵）.【例6】（★★★★奥数网题库）用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳对折后垂到井水面，绳子超过井台9米；把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米.求绳长和井深.分析：把绳对折后垂到井水面，绳子超过井台9米，说明绳子余9×2=18（米），把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米，说明绳子余2×3=6（米），所以，井深：（18-6）÷（3-2）=12（米），绳子长：12×2+9×2=42（米）.[巩固] 在桥上用绳子测桥离水面的高度.若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米.问：桥有多高？绳子有多长？分析：因为把绳子对折余8米，所以是余了8×2=16（米）；同样，把绳子三折余2米，就是余了3×2＝6（米）.两种方案都是“盈”，故盈亏总额为16-6=10（米），两次分配数之差为3-2＝1（折）.所以，桥高（8×2-2×3）÷（3-2）＝10（米），绳子的长度为2×10＋8×2＝36（米）.[总结] 这部分的题目不能直接运用公式计算，首先需要将一定的条件转化，使之成为跟第一部分相类似的题型，在运用公式计算．（三）关系互换型【例7】（★★★★奥数网题库）钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角.问小明带了多少钱？分析：此题的关键在于条件的转换，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔.（方法一）都转换成钢笔；买5支钢笔差15角，买8支钢笔差（12×8－6）90角，这是双亏：分差是8-5=3支，总差是90-15=75角，就是说多买3支，就多差75角；这样就可求出1支钢笔多少钱；继而求出小明带了多少钱.钢笔的价钱：［（12×8－6）－15］÷（8－5）＝75÷3＝25（角）小明带的钱数：25×5－15＝125－15＝110（角）＝11（元）（方法二）都转换成圆珠笔；买5支圆珠笔多12×5－15=45角，买8支圆珠笔多6角.圆珠笔的价钱［（12×5－15）－6］÷（8－5）＝39÷3＝13（角）小明带的钱数13×8＋6＝104＋6＝＝110（角）＝11（元）.[巩固]食堂管理员带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元．已知每千克牛肉比猪肉贵3元，问：食堂管理员带了多少钱？分析：因为“每千克牛肉比猪肉贵3元”，所以同样买10千克猪肉的话，就剩了3×10－6＝24元，这样化成普通的盈亏问题，猪肉的价钱是：（24－4）÷（12－10）＝10，所以食堂管理员带的钱数是：12×10＋4＝124元．【例8】（★★★★奥数网题库）有48个香蕉分给两个笼子的小猩猩，已知第二个笼子比第一个笼子多5只猩猩．如果把香蕉全部分给第一个笼子的猩猩，那么每只猩猩4个，有剩余；每只猩猩5个，香蕉不够．如果把香蕉全分给第二个笼子，那么每只猩猩3个，有剩余；每只猩猩4个，香蕉不够．问第二个笼子有多少只猩猩？分析：如果把香蕉全部分给第一个笼子，那么每只猩猩4个，有剩余；每只猩猩5个，香蕉不够．说明第一个笼子猩猩数少于48÷4＝12只猩猩，多于48÷5＝9……3，即多于9只猩猩；如果把香蕉全分给第二组，那么每只猩猩3本，有剩余；每只猩猩4本，香蕉不够．说明第二组只猩猩数少于48÷3＝16只猩猩，多于48÷4＝12只猩猩；因为已知第二组比第一组多5只猩猩，所以，第一组只能是10只猩猩，第二组15只猩猩．[前铺]幼儿园将一筐苹果分给小朋友．如果分给大班的小朋友每人5个则余10个；如果分给小班的小朋友每人8个则缺2个．已知大班比小班多3个小朋友，问这筐苹果共有多少个？分析：这样的题型需要将对象统一，分给大班的小朋友每人5个则余10个，大班比小班多3个小朋友，相当于分给小班的小朋友每人5个则余10＋3×5＝25（个），盈亏总数＝25＋2＝27（个），小班人数＝27÷（8－5）＝9（人），苹果有9×5＋25＝70（个）．【例9】（★★★★奥数网题库）李涵的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8元和10元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋，并且没有剩余的钱．问：李妈妈带了多少钱？分析：（法1）“李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋”，这三袋洗衣粉多花8×3＝24（元），又因为花的钱总数一样多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱补上，而碧浪比雕牌每袋贵2元，所以要买碧浪洗衣粉袋数24÷2＝12（件）．这样李妈妈带的钱数是10×12＝120（元）．（法2）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕牌洗衣粉以后还剩3×8＝24（元），根据普通的盈亏问题解法，买碧浪洗衣粉的数量是：24÷（10－8）＝24÷2＝12（件），所以李妈妈带的钱数是：12×10＝120（元）．[拓展]"六一"儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等．花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？分析：花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．即花球原价10元钱20个，白球原价10元钱30个．那么，同样买花球和白球各30个，花球要比白球多花10÷2＝5（元），共需要30÷2＋30÷3＝25（元）．现在两种球的售价都是2元钱5个，花球和白球各买30个需要（30÷5）×2×2＝24（元），说明花球和白球各买30个能省下25－24＝1（元）．现在共省了4元，说明花球和白球各有30×4＝120（个），共买了120×2＝240（个）．[评注] 老师在最后计算出买乙种商品数量的时候要重点解释为什么不是甲种商品的数量，这也是此类盈亏问题的难点．【例10】（★★★★奥数网题库）卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5个还多余10棵竹子，如果大熊猫数增加到3倍还少5个大熊猫，那么每只大熊猫分2棵竹子还缺少8棵竹子，问有大熊猫多少只，竹子多少棵？分析：使大熊猫感到困难的是条件“3倍还少5只大熊猫”．先要转化这一条件，假设还有 10个棵竹子，10＝2×5，就可以多有 5个大熊猫，把“少5大熊猫”这一条件暂时搁置一边，只考虑3倍大熊猫数，也相当于按原大熊猫数每只大熊猫给2×3＝6（棵）竹子，每只大熊猫给5棵与给6棵，总数相差10＋10＋8＝28 (棵），所以原有大熊猫数 28÷（6－5)＝28（只），竹子总数是 5×28＋10＝150（棵）．[前铺]体育中心将一些乒乓球分给若干个人，每人5个还多余10个乒乓球，如果人数增加到3倍，那么每人分2个乒乓球还缺少8个，问有乒乓球多少个？分析：考虑人数增加3倍后，相当于按原人数每人给2×3＝6（个），每人给5个与给6个，总数相差10＋8＝18 (个），所以原有人数 18÷（6－5)＝18（人），乒乓球总数是 5×18＋10＝100（个）．[总结]这种题型中会出现两种物品，一般两者之间还存在数量关系，如和差关系、倍数关系等，我们应该先利用数量关系将已知条件转化为一种物品的盈亏关系，再根据基本盈亏问题的解法计算．（四）其他类型【例11】（★★★★奥数网题库）有若干盒卡片，每盒中卡片数一样多．把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人均至少可得7张，但若都分8张则还缺少5张．现在把所有卡片都分完，每人都分到60张，而且还多出4张．问共有小朋友多少人？分析：60÷7＝8……4，60÷8＝7……4，说明卡片的盒数是8盒，“若都分8张则还缺少5张”，即如果我们在每盒中加5张（8盒共加40张），每人就可以得到8×8＝64（张），现在实际每人得到60张，即每人需要退出4张，其中要有4张是每人60张后多下来的，还有40张是我们一开始借来的要还出去，即要退出44张，44÷4＝11（人），说明有11人．[巩固]幼儿园老师给小朋友分糖果．若每人分8块，还剩10块；若每人分9块，最后一人分不到9块，但至少可分到一块．那么糖果最多有多少块？分析：最后一人分不到9块，那么最多可以分到8块，即若每人分9块，还差1块．根据盈亏计算公式，人数有（1＋10）÷（9－8）＝11（人），糖果最多有9×11－1＝98（块）；最后一人分不到9块，但至少可分到一块，即最少是最后一人差8块，根据盈亏计算公式，人数有（8＋10）÷（9－8）＝18（人），糖果最多有9×18－8＝154（块），所以，这批糖果最多有154块．【例12】（★★★★奥数网题库）小同有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分币却比2分币多4角；另外，还有36个1分币．小同共存了多少钱?分析：假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比一个2分币多3分，所以5分币有： 84÷(5－2)＝28(个)2分币有： 28＋22＝50(个)5×28＋2×50＋1×36＝140＋100＋36＝276(分).[前铺]妈妈给了红红一些钱去买贺年卡，有甲、乙、丙三种贺年卡，甲种卡每张1元，丙种卡每张2元．用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张．妈妈给了红红多少钱？乙种卡每张多少钱？分析：“用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张”所以盈亏总额是：1×8＋2×6＝20（元），单价相差2－1＝1（元），所以共可以买乙种卡20÷1＝20（张），妈妈给红红的钱数是：（20＋8）×1＝28（元），乙种卡每张：28÷20=1元4角．本将内容主要就学习前面几种盈利亏问题的解法，我们在四年级寒假班以及四升五年级的暑假班将继续学习盈亏问题以及盈亏问题与其他问题的综合．内容将会更加精彩，希望同学们再接再厉！1．（例1）全班同学站队排成若干行，若每行14人则多5人，若每行17人则少4人.问：排成了多少行？有多少同学？分析:每行相差17－14＝3（人）．那么第二种与第一种总共相差人数：5＋4＝9（块），所以行数为：9÷3＝3（人）．共有同学：3×14＋5＝47（人）．2．（例2）爷爷80大寿，几个孙子凑钱给爷爷买礼物，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么爷爷一共有几个孙子？这份礼物的价钱是多少呢？分析：“多8元”与“多4元”两者相差8－4＝4（元），每个人要多出 8－7＝1（元），因此就知道，共有4÷1＝4（人），礼物价钱是8×4－8＝24（元）．3．（例4）红山小学学生乘汽车到香山春游．如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？分析：每车多坐5人，实际是每车可坐5＋65＝70（人），恰好多余了一辆车，也就是还差一辆汽车的人，即70人．因而原问题转化为：如果每车坐65人，则多出5人无车乘坐；如果每车坐70人，还少70人，求有多少人和多少辆车？车数：（5＋5＋65）÷5＝15（辆），人数：65×15＋5＝980（人）或（5＋65）×（15－1）＝980（人）．4．（例7）有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩2个梨；如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有多少个？分析：1个苹果配3个梨，多2个梨；半个苹果配2个梨，即1个苹果配4个梨，剩半个苹果，即少2个梨.苹果有（2+2）÷（4-3）=4（个），梨有 3×4+2=14（个）.5．（例10）学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？分析：因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最后应余下15×2=30（副），因为14-5×2=4（副），分到最后还差30副，所以比每次分10副总共差30+30=60（副），所以有小组：60÷4=15（组），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍90×2=180（副）.胸有成竹北宋画家文同，字与可.他画的竹子远近闻名，每天总有不少人登门求画.文同画竹的妙诀在哪里呢？原来，文同在自己家的房前屋后种上各种样的竹子，无论春夏秋冬，阴睛风雨，他经常去竹林观察竹子的生长变化情况，琢磨竹枝的长短粗细，叶子的形态、颜色，每当有新的感受就回到书房，铺纸研墨，把心中的印象画在纸上.目积月累，竹子在不同季节、不同天气、不同时辰的形象都深深地印在他的心中，只要凝神提笔，在画纸前一站，平日观察到的各种形态的竹子立刻浮现在眼前.所以每次画竹，他都显得非常从容自信，画出的竹子，无不逼真传神.当人们夸奖他的画时，他总是谦虚地说：“我只是把心中琢磨成熟的竹子画下来罢了.”有位青年想学画竹，得知诗人晁补之对文同的画很有研究，前往求教.晃补之写了一首诗送给他，其中有两句：“与可画竹，胸中有成竹.”故事出自北宋苏轼《文与可谷偃竹记》.“胸有成竹”，比喻做事之前已作好充分准备，对事情的成功已有了十分的把握；又比喻遇事不慌，十分沉着.。

温馨提示：图片放大更清晰幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖．她发给每个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖．发完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的3倍．那么共有_____________个小朋友．小升初数学 通用版《盈亏问题》精准讲练答案：10画线段图分析，由题意知：从奶糖的7份中取2份，那么剩下的5份就和上面的2小段相等．如图：那么2小段和5份都看成10份量，那么总量就相当于19份量，水果糖中原有的8份就是现在的16份，则剩下的15块水果糖就占有3份，则1份就是5块，给小朋友们分出去的水果糖数量是：16580÷=（人）．⨯=（块），小朋友的人数是：80810方法二：由上图知，设发完后奶糖剩下1份，则巧克力剩下3份，而巧克力与奶糖每人分得相差5块，对应剩下的糖相差2份，水果糖与奶糖每人分得相差1块，则对应剩下的糖应相差÷=份，所以水果糖最后应剩下10.40.6250.4-=份，恰是15块，所以1份对应的是150.625÷=，-÷-=（人）．所以应用盈亏问题共有(2515)(87)10幼儿园老师给小班的小朋友分糖果，如果每人分7颗，则还差6颗；如果每人分6颗，则又多出7颗，那么共有糖果（）颗．A．85 B．84 C．83 D．82 E．81答案：A试题分析：第一次每人分7颗，第二次每人分6颗，第二次比第一次每人多（7﹣6）=1颗，因此每人多1颗，两次的分配差额是（6+7）=13颗，可以用“总差额÷每人两次差额=人数”求出总人数，列式为：（6+7）÷（7﹣6）=13人，则糖果数为：7×13﹣6=85颗，据此解答．解答：解：（6+7）÷（7﹣6），=13÷1，=13（人）；13×7﹣6=85（颗）；答：这些糖果共有85颗．故选A妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果其中一人分6个，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个?全家共有多少人?答案：由“其中两人分4个，其余每人分2个，则多出4个”转化为全家每人都分2个，这分4个的两人每人都拿出2个，共拿出4个，结果就多了448+=个；由“一人分6个，其余每人分4个，则缺少12个”转化为全家每人都分4个，分6个的人拿出2个，结果就少了12210-=个，转变成了盈亏问题的一般类型，则：全家的人数：()()42212242⎡⎤+⨯+-÷-⎣⎦ 182=÷ 9=(人)橘子的个数：29826⨯+=(个)一、填空题1．老师给学生发邮票，如果每人发240角邮票则缺1800角邮票，如果每人发200角邮票则余2200角，那么平均每人能发邮票( )角。