三年级下册讲义 第十四讲 盈亏问题(2) (含答案、奥数板块)--北师大版

1. 熟练掌握盈亏问题的本质.2. 运用盈亏问题的解题方法解决一些生活实际问题．盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．可以得出盈亏问题的基本关系式：(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数(亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种 情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.注意：1.条件转换； 2.关系互换.利用条件关系转换解盈亏问题——转化分配单位数（接受分配的人数）【例 1】 小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本。

如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本。

问：零售价每本多少元?【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛，第9题【解析】 见下图，以横线表示本数，纵线表示单价，因为黄色部分面积与绿色部分面积相等，所以黄色的宽是绿色高的2倍，设批发价为x 元（图中绿色长方形的高），则有：x ×（2x ＋4）＝48，即x ×（x ＋2）＝24＝4×6＝4×（4＋2），所以，x ＝4（元），零售价为x ＋2＝6（元）【答案】6元【例 2】 春节前夕，一富翁想丐帮帮众施舍一笔钱财，一开始他准备给每人100元，结果剩下350元，他决定每人多给20元。

这时从其它地方又闻讯赶来了5个乞丐，如果他们每个人拿到的钱和其它乞丐一样多，富翁还需要再增加550元。

原有（ ）知识精讲教学目标6-1-7.盈亏问题（二）名乞丐。

【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】 如果不来这五个乞丐，富翁能剩下120555050⨯-=元。

三年级数学思维训练十四讲（附讲解）第一讲 差倍问题（一）专题简析：前面我们已经初步掌握了“和倍问题”的特征和解题方法。

如果知道了两个数的差与两个数间的倍数关系，要求两个数各是多少，这一类题，我们则把它称为“差倍问题”。

小朋友，你们有没有想到用解答和倍问题的类似方法解答差倍问题呢？解答差倍问题与解答和倍问题相类似，要先找出差所对应的倍数，先求1倍数，再求出几倍数。

此外，还要充分利用线段图帮助分析数量关系。

用关系式可以这样表示：两数差÷（倍数－1）＝较小的数（1倍数）较小的数×倍数＝较大的数（几倍数）例1.小明到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨多18个。

小明买苹果和梨各多少个？思路导航：将梨的个数看作1倍数，则苹果的个数是这样的3倍。

苹果梨个多18个个1倍如图：从线段图上可以看出，苹果的个数比梨多了3－1＝2倍，梨的2倍是18个，所以梨有1818÷÷2＝9个，苹果有：9×3＝27个。

练习一1.先锋小学学生数是胜利小学的3倍，已知先锋小学比胜利小学多700人，两所学校各有学生多少人？2.育英小学参观少年科技展览。

第一天参观的人数比第二天多220人，已知第一天参观的人数是第二天的3倍，两天各是多少人？3.饲养场饲养的白兔比黑兔多249只，白兔是黑兔的4倍。

问：饲养场养了黑兔、白兔各是多少只？4.红旗农场收割玉米，第一天比第二天少收割540公亩，第二天收割的公亩数是第一天的3倍，两天各收割多少公亩？5.朝阳农场收割小麦，第一天比第二天少收割129公亩，第二天收割的公亩数比第一天多3倍，两天各收割多少公亩？第二讲差倍问题（二）有些差倍问题比较复杂，不能直接利用公式进行解答，这时需要我们小朋友仔细审题，尤其注意一些隐含条件，同时借助线段图帮助理解题意，从而找到解题方法。

较复杂的差倍应用题，数量关系比较隐蔽。

先依题意画出线段图，数量关系就会比较清晰地展现出来，然后借助线段图找出两个数的差以及所对应的倍数，再利用公式进行解答。

三下5——6基础知识填空1、有99块巧克力，最少拿出（ ）块后可以平均分给7个小朋友，每人分（ ）块。

2、70平方分米 =（ ）平方厘米 5000平方厘米 =（ ）平方米3. 哪些是“平移”现象，哪些是“旋转”现象：（１）在算盘上拨珠的运动是（ ）现象；（２）开门时门的运动是（ ）现象；（３）电梯里的上下运动是（ ）现象；（４）时钟的时针、分针、秒针的运动是（ ）现象。

4. 9分米= 米 3角= 元 5、把一张长方形的纸对折再对折，每一份是这张长方形纸的( ),读作( ) 判断1.正方形是特殊的长方形。

（ ）2.体育场的占地面积是2000平方分米。

（ ）3.长度单位比面积单位小。

（ ）4.周长相等的长方形，它们的面积也一定相等。

（ ）选择1．把4个完全相等的小正方形拼成一个大正方形，这个大正方形周长是一个小正方形周长的（ ）．A ．8倍B ．4倍C ．3倍D ．2倍2．周长相等的正方形和长方形，二者的面积相比（ ）．A ．正方形大B ．长方形大C ．一样大D ．不能判断3、哪个算式的得数最接近2000？（ ）A 、550×5B 、4×349C 、505×4D 、745×24、张老师带28名同学去游览世界公园，每张门票60元，应付（ ）元。

A 、1680B 、1740C 、17005、学校举办科技夏令营，男生有13人参加，女生有11人参加，宾馆只剩下3人间和4人间，应租3人间（ ）个，4人间（ ）个。

A 、7B 、6C 、5D 、4E 、3F 、26、两位数乘两位数，积是（ ）。

A 、三位数B 、四位数C 、三位数或四位数7. 在右图中，对于A 和B 正确的是（ ）。

①它们的周长和面积都相等。

②它们的周长和面积都不相等。

A③它们周长相等但面积不相等。

④它们面积相等但周长不相等。

B能力提高()()()()1、将一堆棋子，排成一个最大的正方形，则多出14粒棋子；如果把这个正方形扩大，纵横每排各增加一粒棋子，则少15粒棋子。

小学三年级奥数精品讲义目录第一讲加减法的巧算（一）第二讲加减法的巧算（二）第三讲乘法的巧算第四讲配对求和第五讲找简单的数列规律第六讲图形的排列规律第七讲数图形第八讲分类枚举第九讲填符号组算式第十讲填数游戏第十一讲算式谜（一）第十二讲算式谜（二）第十三讲火柴棒游戏（一）第十四讲火柴棒游戏（二）第十五讲从数量的变化中找规律第十六讲数阵中的规律第十七讲时间与日期第十八讲推理第十九讲循环第二十讲最大和最小第二十一讲最短路线第二十二讲图形的分与合第二十三讲格点与面积第二十四讲一笔画第二十五讲移多补少与求平均数第二十六讲上楼梯与植树第二十七讲简单的倍数问题第二十八讲年龄问题第二十九讲鸡兔同笼问题第三十讲盈亏问题第三十一讲还原问题第三十二讲周长的计算第三十三讲等量代换第三十四讲一题多解第三十五讲总复习第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。

选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。

台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。

由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。

观众的情绪也影响着两位分数统计者。

只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。

等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。

小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。

于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。

你可以试一试。

”小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。

奥数盈亏问题把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。

如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。

凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。

一般解法：（盈数+亏数）除以两次分配只能够每份的差=所分对象数，物品数可由其中一种分法的份数和盈亏数求出。

已知两个分配方案，一次分配有余，一次分配不足，求参加分配的人数及被分配的总量。

这样的问题通常叫做盈亏问题。

例1 一些小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。

问：有多少个小朋友？分多少粒糖？分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。

比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。

相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5－4＝1（粒）。

每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为15÷1＝15（人），糖果的粒数为4×15＋9＝69（粒）。

解：（9＋6）÷（5－4）＝15（人），4×15＋9＝69（粒）。

答：有15个小朋友，分69粒糖。

例2 一些小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒。

问：有多少个小朋友？多少粒糖果？分析：本题与例1基本相同，例1中两次分配数之差是5－4=1（粒），本题中两次分配数之差是5－3＝2（粒）。

例1中，两种分配方案的盈数与亏数之和为9＋6＝15（粒），本题中，两种分配方案的盈数与亏数之和为2＋6=8（粒）。

仿照例1的解法即可。

解：（6＋2）÷（4－2）＝4（人），3×4＋2＝14（粒）。

答：有4个小朋友，14粒糖果。

由例1、例2看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。

盈亏问题（二）【名师解析】盈亏问题的数量关系式：（1）（盈＋亏）÷两次分配差=份数（大盈－小盈）÷两次分配差=份数（大亏－小亏）÷两次分配差=份数（2）每次分得的数量×份数＋盈=总数量每次分得的数量×份数－亏=总数量【例题精讲】例1：学校给一批新入学的学生分配宿舍。

如果每个房间住12人，则34人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4个房间。

求学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？练习：导游给某旅行团成员分配宿舍，如果每个房间住4人，则24人没有位置；如果每个房间住6人，则空出8个房间，问宿舍多少间？成员多少人？例2：学雷锋小组为学校搬砖，如果每人搬18块，还剩2块，如果每人搬20块，就有一位同学没砖可搬，则共有多少块砖？共有多少人？练习：同学们去划船，如果每船坐4人，则少3只船；如果每船坐6人，还有2人留在岸边；有多少同学去划船？共有多少船？例3：大猴子采到一堆桃子，平均分给小猴吃，每只小猴分10个桃子，有两只小猴没有分到。

第二次重分，每只小猴分8个桃子，刚巧分完。

这堆桃子有多少个？小猴子有多少只？练习：老师给学生发本子，如果每人发8本，则有3个学生没发到；如果每人发6本，正好发完，问有多少个学生？有多少本本子？例4：同学们分组去种树，如果增加一小组，正好每小组5人；如果减少一小组，正好每组7人，问多少个同学？练习：有一个班的同学去划船。

他们算了一下，如果增加1条船，正好每条船坐6人；如果减少1条船，正好每条船坐9个人。

问：这个班共有多少名同学？例5：少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个坑没人挖；如果其中2人各挖4个，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完所有树坑。

少先队员一共挖多少树坑？练习：老师给幼儿园的小朋友分苹果。

如果每个小朋友分2个，还多30个；如果其中的12 个小朋友每人分3个，剩下的每人分4个，则正好分完。

一共有多少个苹果？选讲：苹果是梨的2倍，现在把苹果和梨分给小朋友，每人分5个梨，最后还剩15个；每人分14个苹果，还少30个苹果，问苹果和梨各有多少个？【综合精练】1.某校安排宿舍，如果每间6人，则16人没有床位；如果每间8人，则多出10个床位。

（尖子生培优）盈亏问题三年级数学思维拓展培优讲义（通用版）1、人们在分配东西时，如果每份分的数量少一些，会出现“物品有多余”的情况，这种情况称之为“盈”；反之，如果每份分的数量多一些，以至出现“物品不足”的情况，那就称为“亏”，根据“一盈”、“一亏”的变化规律，我们可以求出物品的总数或物品所分的份数，这类数学问题一般称它为“盈亏问题”。

2、解“盈亏问题”的基本思想是“比较的思想”。

3、“盈亏问题”的基本公式是：（1）对象数＝（盈＋亏）÷两次分配差（2）总数＝每份个数×对象数＋盈数或总数＝每份个数×对象数－亏数解题的时候，要特别注意分析题意，弄清哪部分是“盈”，哪部分是“亏”，弄清数量对应变化关系，再列式计算。

此外，还要养成检验的习惯，保证解题正确。

1．学校安排寝室，如果每间13人就正好住满，如果每间10人，还缺三间寝室，学校有几间寝室？2．新兴机械厂原计划30天生产一批机器，实际每天比原计划多生产80台，结果提前10天完成了任务．这批机器有多少台？3．一盒巧克力，分给15个小朋友，如果每人1颗，还少2颗，那么这盒巧克力共有几颗？4．幼儿园分糖果，如果每人分4颗，则多出10颗，如果每人分6颗，则缺8颗。

幼儿园有小朋友多少人？糖果共有多少颗？5．从家到学校，王老师如果每分行100米，就比规定时间迟到5分钟；如果每分行150米，就比规定时间提前5分钟到达．如果王老师要按时到达学校，那么他每分钟应行多少米？6．小胖步行回家，若按常速行走，平均每分钟走50米，由于今天家中有急事，他加快了速度，平均每分钟走60米，结果提前5分钟到家，今天小胖回家走了多少分钟？7．希望小学全体师生乘车去旅游，若每辆车坐36人，则有8人不能上车；若每辆车多坐4人，则恰好多出1辆车，一共有多少辆车？师生一共有多少人？8．一位农夫家里养了白猫、黑猫若干只，如果卖出2只黑猫，白猫和黑猫只数相等；如果卖出1只白猫，黑猫将比白猫多3只．问白猫、黑猫各多少只？9．参加美术活动小组的同学，分配若干支彩色笔，如果每人分4支，那么多12支：如果每人分8支．那么能力巩固提升恰有1人没分到笔，问：有多少同学？多少支彩色笔？10．幼儿园王老师买了一些苹果分给小朋友，若每人分2个，则多20个；若每人分3个，正好分完：若每人分4个，则少20个．聪明的同学们，你知道幼儿园有多少个小朋友吗？你知道王老师买了多少个苹果吗？11．一小和二小有同样多的同学参加某项比赛．学校用汽车把学生运往赛场．一小用的汽车每车坐15人，二小用的汽车每车坐13人，结果是二小比一小多派1辆车．后来每校各增加一人参加比赛，这样两校需要的汽车就一样多了．最后学校又决定每校增加一人参加比赛，二小又比一小多派1辆车．问两校共有多少人参加比赛？12．在一次古诗词竞赛中一共有5道题，答对一题得5分，不答或答错一题扣1分。

第十四讲盈亏问题盈亏问题是一类生活中很常见的问题．按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的含义．解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括：(盈＋亏)÷两次分得之差＝人数或单位数；(盈－盈)÷两次分得之差＝人数或单位数；(亏－亏)÷两次分得之差＝人数或单位数．上面的公式不能盲目套用，在真正掌握其内涵以后再运用公式解题将会使你面临盈亏问题时而游刃有余，不可盲目套用公式．〖经典例题〗例1、妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少8个苹果.那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？分析：由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，苹果从多出48个到少8个，也就是所需的苹果总数要相差48＋8＝56(个).计划吃的天数：56÷2=28(天)，共有苹果：6×28-8=160(个)。

〖方法总结〗例1是盈亏问题的基本题目，属于“直接计算型”。

对于这类题目要多理解每一个算式的含义，不要死记公式。

象例1这类题目的条件被称作“标准条件”。

对“标准条件”要多加熟悉，对以后的学习会有很大帮助。

〖巩固练习〗练习1：阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分3块，则多出16块饼干；如果每人分5块，那么就缺4块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？练习2：秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔收获的萝卜有多少个？计划吃多少天？练习3：中关村一小合唱队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出9人，若每条长椅上坐4人则多出3人.问：合唱队有多少人？练习4：有一批香蕉要分给动物园的小猩猩，如果每只猩猩发10个，还差9个，每只猩猩发9个，还差2个，请问有多少小猩猩？多少个香蕉？练习5:老师拿来一批树苗，分给一些同学去栽，每人每次分给一棵，一轮一轮往下分，当分剩下12棵时不够每人分一棵了，如果再拿来8棵，那么每个同学正好栽10棵．问：参加栽树的有多少名同学?原有树苗多少棵?〖经典例题〗例2、学校为新生分配宿舍.每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间.问宿舍有多少间？新生有多少人？分析：每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房间，这3个房间如果住满人应该是5×3＝15(人).由此可见，每一个房间增加5-3=2(人).两次安排人数总共相差23+15＝38(人)，因此，房间总数是：38÷2=19(间)，学生总数是：3×19+23＝80(人)。