高一同步优化训练数学第三章数列卷附答案

新版高一数学必修第一册第三章全部配套练习题（含答案和解析）3.1.1 函数的概念基 础 练巩固新知 夯实基础1．下列说法正确的是( )A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域可以是空集C ．函数的定义域和值域一定是数集D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了2．若函数y ＝f (x )的定义域M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．[1,2)∪(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1,2)D ．[1，＋∞)4．已知函数f (x )的定义域为[－1,2)，则函数f (x －1)的定义域为( )A ．[－1,2)B ．[0,2)C ．[0,3)D ．[－2,1)5．函数y ＝5x ＋4x －1的值域是( )A ．(－∞，5)B ．(5，＋∞)C ．(－∞，5)∪(5，＋∞)D ．(－∞，1)∪(1，＋∞) 6．函数y ＝x ＋1的值域为( )A ．[－1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，－1]7．已知函数f (x )＝x ＋1x，则f (2)＋f (－2)的值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 8．下列函数完全相同的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2x D ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋39．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝1x ＋1； (2)y ＝x 2－1＋1－x 2； (3)y ＝2x ＋3； (4)y ＝x ＋1x 2－1.10．求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1，x ∪{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∪[1,5)； (3)y ＝3－5x x －2； (4)y ＝x －x ＋1.能 力 练综合应用 核心素养11．已知等腰∪ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，此函数的定义域为( )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫52<x <5 12．函数f (x )＝1x 2＋1(x ∪R )的值域是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]13．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( )A ．必有一个B ．一个或两个C ．至多一个D ．可能两个以上 14．函数y ＝3－2x －x 2＋14－x 2的定义域为____________________(用区间表示)．15．函数y ＝1x －2的定义域是A ，函数y ＝x 2＋2x －3的值域是B ，则A ∩B ＝________________(用区间表示)．16．若函数f (2x －1)的定义域为[0,1)，则函数f (1－3x )的定义域为________． 17．若函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________． 18．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13的值． (2)求证：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值．(3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019的值．19．已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域是R ，求实数m 的取值范围．20.已知函数f (x )＝3－x ＋1x ＋2的定义域为集合A ，B ＝{x |x <a }． (1)求集合A ；(2)若A ∪B ，求a 的取值范围；(3)若全集U ＝{x |x ≤4}，a ＝－1，求∪U A 及A ∩(∪U B )．【参考答案】1. C 解析 根据从集合A 到集合B 函数的定义可知，强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性，所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素，从而选项A 错误；同样由函数定义可知，A 、B 集合都是非空数集，故选项B 错误；选项C 正确；对于选项D ，可以举例说明，如定义域、值域均为A ＝{0,1}的函数，对应关系可以是x →x ，x ∪A ，可以是x →x ，x ∪A ，还可以是x →x 2，x ∪A .2. B 解析 A 中定义域是{x |－2≤x ≤0}，不是M ＝{x |－2≤x ≤2}，C 中图象不表示函数关系，D 中值域不是N ＝{y |0≤y ≤2}．3. A 解析 由题意知，要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0即x ≥1且x ≠2.4. C 解析 ∪f (x )的定义域为[－1,2)，∪－1≤x －1<2，得0≤x <3，∪f (x －1)的定义域为[0,3)．5. C 解析 ∪y ＝5x ＋4x －1＝5(x －1)＋9x －1＝5＋9x －1，且9x －1≠0，∪y ≠5，即函数的值域为(－∞，5)∪(5，＋∞)．6. B 解析 由于x ＋1≥0，所以函数y ＝x ＋1的值域为[0，＋∞)．7. B 解析 f (2)＋f (－2)＝2＋12－2－12＝0.8. B 解析 A 、C 、D 的定义域均不同．9. 解 (1)要使函数有意义，即分式有意义，则x ＋1≠0，x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≠－1}．(2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2≥1，x 2≤1.所以x 2＝1，从而函数的定义域为{x |x ＝±1}＝{1，－1}． (3)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x |x ∪R }．(4)因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以原函数的定义域是{x |x ≠±1，x ∪R }．10. 解 (1)∪x ∪{1,2,3,4,5}，∪(2x ＋1)∪{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2. ∪x ∪[1,5)，∪其图象如图所示， 当x ＝2时，y ＝2；当x ＝5时，y ＝11. ∪所求函数的值域为[2,11)．(3)函数的定义域为{x |x ≠1}，y ＝3－5x x －2＝－5(x －2)＋7x －2＝－5－7x －2，所以函数的值域为{y |y ≠－5}．(4)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域为{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是y ＝t 2－1－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－54，又t ≥0，故y ≥－54，所以函数的值域为{y |y ≥－54}． 11. D 解析 ∪ABC 的底边长显然大于0，即y ＝10－2x >0，∪x <5，又两边之和大于第三边，∪2x >10－2x ，x >52，∪此函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫52<x <5.12. B 解析 由于x ∪R ，所以x 2＋1≥1,0<1x 2＋1≤1，即0<y ≤1.13. C 解析 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点．14. [－1,2)∪(2,3] 解析 使根式3－2x －x 2有意义的实数x 的集合是{x |3－2x －x 2≥0}即{x |(3－x )(x ＋1)≥0}＝{x |－1≤x ≤3}，使分式14－x 2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠±2}，所以函数y ＝3－2x －x 2＋14－x 2的定义域是{x |－1≤x ≤3}∩{x |x ≠±2}＝{x |－1≤x ≤3，且x ≠2}．15. [0,2)∪(2，＋∞) 解析 要使函数式y ＝1x －2有意义，只需x ≠2，即A ＝{x |x ≠2}；函数y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4≥0，即B ＝{y |y ≥0}，则A ∩B ＝{x |0≤x <2或x >2}．16. ⎝⎛⎦⎤0，23 解 因为f (2x －1)的定义域为[0,1)，即0≤x <1，所以－1≤2x －1<1.所以f (x )的定义域为[－1,1)．所以－1≤1－3x <1，解得0<x ≤23.所以f (1－3x )的定义域为⎝⎛⎦⎤0，23. 17. [3，＋∞) 解析 函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋3的值域要包括0，即最小值要小于等于0.则{ a >0，Δ＝4a 2－12a ≥0，解得a ≥3.所以a 的取值范围是[3，＋∞)．18. 解 (1)因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019＝1. 所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019＝2018. 19. 解 ∪当m ＝0时，y ＝8，其定义域是R .∪当m ≠0时，由定义域为R 可知，mx 2－6mx ＋m ＋8≥0对一切实数x 均成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(－6m )2－4m (m ＋8)≤0，解得0<m ≤1.由∪∪可知，m ∪[0,1]． 20. 解 (1)使3－x 有意义的实数x 的集合是{x |x ≤3}，使1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x >－2}． 所以，这个函数的定义域是{x |x ≤3}∩{x |x >－2}＝{x |－2<x ≤3}．即A ＝{x |－2<x ≤3}． (2)因为A ＝{x |－2<x ≤3}，B ＝{x |x <a }且A ∪B ，所以a >3.(3)因为U ＝{x |x ≤4}，A ＝{x |－2<x ≤3}，所以∪U A ＝(－∞，－2]∪(3,4]． 因为a ＝－1，所以B ＝{x |x <－1}，所以∪U B ＝[－1,4]，所以A ∩∪U B ＝[－1,3]．3.1.2 函数的表示法基 础 练巩固新知 夯实基础1.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )2．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( )A ．3x ＋2B ．3x －2C ．2x ＋3D ．2x －33.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∪[－1，0]，x 2＋1，x ∪0，1]，则函数f (x )的图象是( )4.已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f [g (2)]的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 5.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A.RB.[0，＋∞)C.[0,3]D.{x |0≤x ≤2或x ＝3} 6.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，1，x ＝0，－1，x <0，则f (f (0))等于( )A.1B.0C.2D.－17．已知f (2x ＋1)＝3x －2且f (a )＝4，则a 的值为________．8．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．9．已知二次函数f (x )满足f (0)＝0，且对任意x ∪R 总有f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．10 (1)已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x )＝3x ，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的解析式．能 力 练综合应用 核心素养11．如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 12．已知x ≠0时，函数f (x )满足f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x ＋1x (x ≠0) B ．f (x )＝x 2＋2(x ≠0)C ．f (x )＝x 2(x ≠0)D ．f (x )＝(x －1x)2(x ≠0)13.已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则使函数值为5的x 的值是( )A.－2或2B.2或－52C.－2D.2或－2或－5214.若f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( )A ．3x ＋2B ．3x －2C ．2x ＋3D ．2x －3 15．已知f (x －1)＝x 2，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 2＋2x ＋1B ．f (x )＝x 2－2x ＋1C ．f (x )＝x 2＋2x －1D ．f (x )＝x 2－2x －116.已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f f n ＋5，n <10，则f (8)＝________.17．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x )＋x ，则f (x )的解析式为____________．18. 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2).(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域.19．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．【参考答案】1. C 解析 先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.2. B 解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，∪2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∪⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∪⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∪f (x )＝3x －2. 3. A 解析 当x ＝－1时，y ＝0，排除D ；当x ＝0时，y ＝1，排除C ；当x ＝1时，y ＝2，排除B. 4. B 解析 由函数g (x )的图象知，g (2)＝1，则f [g (2)]＝f (1)＝2.5. D 解析 当0≤x ≤1时，f (x )∪[0,2]，当1<x <2时，f (x )＝2，当x ≥2时，f (x )＝3， ∪值域是{x |0≤x ≤2或x ＝3}.6. C7. 5 解析 ∪f (2x ＋1)＝3x －2＝32(2x ＋1)－72，∪f (x )＝32x －72，∪f (a )＝4，即32a －72＝4，∪a ＝5.8. 解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∪f (x )＝2x ＋7. 9. 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∪f (0)＝c ＝0，∪f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ， f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.∪⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1. ∪⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∪f (x )＝12x 2＋12x .10. 解 (1)∪f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＝(x ＋1x )2－2，且x ＋1x ≥2或x ＋1x ≤－2,∪f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．(2)∪2f (x )＋f (1x )＝3x ，∪把∪中的x 换成1x ，得2f (1x )＋f (x )＝3x .∪, ∪×2－∪得3f (x )＝6x －3x ，∪f (x )＝2x －1x (x ≠0)．(3)以－x 代x 得：f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .与f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x 联立得：f (x )＝13x 2－2x .11. B 解析 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则有f (t )＝1t1－1t ＝1t －1，故选B. 12. B 解析 ∪f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2，∪f (x )＝x 2＋2(x ≠0)．13. C14. B 解析 设f (x )＝ax ＋b ，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧ 2(2a ＋b )－3(a ＋b )＝5，2(0·a ＋b )－(－a ＋b )＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.所以选B.15. A 解析 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∪f (t )＝f (x －1)＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1，∪f (x )＝x 2＋2x ＋1.16. 7 解析 因为8<10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))，即f (8)＝f (f (13))；因为13>10，所以代入f (n )＝n －3，得f (13)＝10，故得f (8)＝f (10)＝10－3＝7.17. f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0) 解析 ∪f (x )＝2f (1x )＋x ，∪∪将x 换成1x ，得f (1x )＝2f (x )＋1x .∪由∪∪消去f (1x )，得f (x )＝－23x －x3，即f (x )＝－x 2＋23x(x ≠0)．18.解 (1)∪当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x 2＝1；∪当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示.(3)由函数f (x )的图象知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3).19 .解 因为对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)． 又f (0)＝1，∪f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.3.2.1 第1课时 函数的单调性基 础 练巩固新知 夯实基础1．函数f (x )的定义域为(a ，b )，且对其内任意实数x 1，x 2均有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0，则f (x )在(a ，b )上( ) A ．增函数B ．减函数C ．不增不减函数D ．既增又减函数2．若函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性3．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，那么对于任意的x 1，x 2∪[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( ) A.f x 1－f x 2x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．若x 1<x 2，则f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2f x 1－f x 2>0 4．对于函数y ＝f (x )，在给定区间上有两个数x 1，x 2，且x 1<x 2，使f (x 1)<f (x 2)成立，则y ＝f (x )( )A ．一定是增函数B ．一定是减函数C ．可能是常数函数D ．单调性不能确定5．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( ) A ．y ＝x 2－2 B ．y ＝3xC ．y ＝1＋2xD ．y ＝－(x ＋2)26．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，则( )A ．f (－1)<f (1)<f (2)B ．f (1)<f (2)<f (－1)C ．f (2)<f (－1)<f (1)D ．f (1)<f (－1)<f (2)7．若函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∪[－2，＋∞)时是增函数，当x ∪(－∞，－2)时是减函数，则f (1)＝________.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)x ＋5，x ≤1，2a x ，x >1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是 。

基础测试1．一架飞机起飞时；第一秒滑跑2.3米；以后每秒比前一秒多滑跑4.6米；离地的前一秒滑跑66.7米；则滑跑的时间一共是（）（A ） 15秒 （B ）16秒 （C ）17秒 （D ）18秒答案：A2．某工厂去年产值是a ；计划在今后五年内；每年比上一年产值增长10%；从今年起到第五年末这个工厂的总产值是（）（A ）1.14a （B ）5a （C ）10×5－1) a （D ）11×5－1) a答案：D3．若数列{}n a 的前n 项和1-=n n a S ；则{}n a 是（）（A ）等比数列 （B ）不是等比数列（C ）可以是等比数列；也可以是等差数列（D ）可是等比数列；但不可能是等差数列答案：C4．已知a ＞b ＞0；A 是a ；b 的等差中项；G 是a ；b 的等比中项；且G ＞0；若A=2G ； 则=ba ___________ (答案：347+)5．已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧+13n n ；则这个数列的前n 项和=n S ______________. (答案：()13212121+⋅-++n n n ) 6．已知数列{}n a 的通项公式a n =3n －50；则当n=______时；S n 的值最小；S n的最小值是__________。

(答案：16；－392) 7．已知等差数列为{}n a 中；a 1=1；S 10=100（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从数列{}n a 中依次取出第1；3；32；…；3n －1 项；组成数列{}n b ；求数列{}n b 的前n 项和。

（答案： （1）a n =2 n －1 ； （2） S bn =3n －n －1．点评：7．由于1；3；32；…；3n －1 都是数列{}n a 中的项；所以它们都满足a n =2n －1故1321-⨯=-n n b ．以下再对等比数列{}132-⨯n 及常数列1；1；…；分别求其前n 项和即可．）8．有三个数成等差数列；前两数和的3倍等于第三个数的2倍；若第二个数减去2（仍作第二项）；则三数成等比数列；求此三个数。

高一数学数列试题答案及解析1.已知数列中，其前项和满足：（1）试求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】（1）先利用化简关系式得：再利用叠加得，又，所以.经验证和也满足该式，故（2）因为数列通项是一个等比加一个等差，所以用“分组求和法”求和，即.试题解析：（1）即这个式子相加得，又所以. 经验证和也满足该式，故（2）用分组求和的方法可得【考点】由求，叠加法求，分组求数列和.2.已知数列的首项，且，则为（）A．7B．15C．30D．31【答案】D【解析】由两边同加1，可得，，则是以2为首项，以2 为公比的等比数列.则，所以，.【考点】构造法求数列的通项公式.3.已知数列是等比数列，且则【答案】1【解析】略}中的项组成一个新数列, ,4.由公差的等差数列{an，…,则下列说法正确的是K^S*5U.CA．该数列不是等差数列B．该数列是公差为的等差数列C．该数列是公差为的等差数列D．该数列是公差为的等差数列【答案】C【解析】略5.△ABC的三个内角A、B、C的对边的长分别为a、b、c，有下列两个条件：（1）a、b、c成等差数列；（2）a、b、c成等比数列，现给出三个结论：（1）；（2）；（3）。

请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之。

（I）组建的命题为：已知_______________________________________________求证：①__________________________________________②__________________________________________（II）证明：【答案】略【解析】可以组建命题一：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（1）0＜B≤（2）；命题二：△ABC中，若a、b、c成等差数列求证：（1）0＜B≤（2）1＜≤命题三：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（1）（2）1＜≤命题四：△ABC中，若a、b、c成等比数列，求证：（1）0＜B≤（2）1＜≤下面给出命题一、二、三的证明：（1）∵a、b、c成等差数列∴2b=a+c，∴b=≥且B∈（0，π），∴0＜B≤（2）（3）∵0＜B≤∴∴∴下面给出命题四的证明：（4）∵a、b、c成等比数列∴b2=a+c，且B∈（0，π），∴0＜B≤6.（本小题满分12分）已知数列为等差数列，为其前项和，且（）．（1）求，；（2）若，，（）是等比数列的前三项，设，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，，利用等式求出首项，第二步，令，，求出第二项，因为是等差数列，所以，代入等差数列的通项公式，然后再代入题设中所给的等式，求和；（2）按等差设，将，，三项设出，然后，求出，同时得到等比数列中的，然后再求公比，最后求出等比数列的通项，求和，按照错位相减法求和．试题解析：（1）．，又，故；又，故，得；等差数列的公差．．所以，．（2）由已知有，故，即．解得，或，又，故．等比数列的公比为，首项为．所以．所以．．．． 12分．．．【考点】1．等差数列；2．等比数列；3．错位相减法求和．7.在等比数列{an }中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3为（）A．4B．C．D．2【答案】A【解析】根据等比数列的性质，，代入数据解得．【考点】等比数列的性质8.设an ＝－n2＋10n＋11，则数列{an}前n项的和最大时n的值为（）A．10B．11C．10或11D．12【答案】C【解析】，，所以当，时，，当时，，所以前非负数项的和最大，即，或．【考点】1．数列的定义；2．数列的和的最大值．9.若数列的前n项和为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】此题是已知求通项，当时，，当时，，验证：当时，成立，所以．【考点】已知求10.（本题12分）已知数列的前n项和为满足：．（1）求证：数列是等比数列；（2）令，对任意，是否存在正整数m，使都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）已知，求，利用公式，得到关于数列的递推公式，，，然后列式等于常数，所以是等比数列；（2）第一步，先计算，同时求和，得到的通项公式，第二步，计算，并且根据裂项相消法得到数列的和，和是，第三步，当恒成立，等价于，并且．试题解析：（1）当时，，解得， 1分当时，由得， 2分两式相减，得，即（）， 3分则，故数列是以为首项，公比为3的等比数列．（2）由（1）知，，所以，则，由对任意都成立，得，即对任意都成立，又，所以m的值为1，2，3．【考点】1．已知求；2．等比数列的定义；3．裂项相消法求和；4．等差数列；5．数列的最值．11.等差数列中，已知，，，求n．【答案】【解析】本题主要考察等差数列的性质，在本题中，给出了两个不连续的数和前n项和，让我们求n，首先需要根据不连续的两个数值，列出有关第一项和公差的方程组，解出第一项和公差，再运用等差数列的前n项和公式联系本题所给条件，解出n的数值，即为本题答案。

高中同步测控优化训练(八)期中测试卷(B 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.已知集合M {4，7，8}，且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有 A.3个 B.4个 C.6个 D.5个 解析:集合M 可以为{4，7}，{7，8}，{4}，{7}，{8}，∅共6个. 答案:C2.已知a 、b ∈R ,则"a >b"是"a 1<b1"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析:a 1-b1=ab a b -<0与a >b 互不能推出.答案:D3.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 A.f (x )=3-x B.f (x )=x 2-3x C.f (x )=-11+x D.f (x )=-|x |答案:C4.下列四个函数中,与y =x 表示同一函数的是 A.y =(x )2B.y =33xC.y =2xD.y =xx 2解析:对于A,y =(x )2=x (x ≥0);对于B,y =33x =x (x ∈R );对于C,y =2x =|x |=⎩⎨⎧<-≥;0,,0,x x x x对于D,y =xx 2=x (x ≠0).答案:B5.设全集I =R ，M ={x |f (x )<0},N ={x |g (x )>0},且∅M N R ，则集合E ={x |f (x )≥0,且g (x )≤0}等于A.I MB.I NC. ∅D.(I M )∪(I N )解析:E ={x |f (x )≥0，且g (x )≤0}={x |x ∈I M ，且x ∈I N}=(I M)∩(I N)= I (M ∪N)=I N.答案:B6.函数y =435422----x x x x 的值域为A.RB.{y |y ≠1}C.{y |y ≠0}D.{y |y ≠1且y ≠56} 解析:y =435422----x x x x =45--x x =1-41-x (x ≠－1),所以值域为{y |y ≠1且y ≠56}.答案:D7.函数y =1-x +1(x ≥1)的反函数是 A.y =x 2-2x +2(x ＜1)B.y =x 2-2x +2(x ≥1)C.y =x 2-2x (x ＜1)D.y =x 2-2x (x ≥1)解析:∵y =1-x +1(x ≥1),∴y ≥1. 又∵y =1-x +1,∴1-x =y －1, x －1=(y －1)2,即x =y 2-2y +2.∴所求反函数为y =x 2-2x +2(x ≥1). 答案:B 8.已知条件甲:132+-x x ＞0,条件乙:x -2＞0,则甲是乙的 A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析:甲:132+-x x ＞0x -3＞0x ＞3.乙:x -2＞0x ＞2. 显然甲乙,但乙甲,所以甲是乙的充分但不必要条件.答案:A9.定义在(-∞,+∞)上的函数y =f (x )在(-∞,2)上是增函数，且函数y =f (x +2)图象的对称轴是x =0,则A.f (－1)<f (3)B.f (0)>f (3)C.f (－1)=f (-3)D.f (2)<f (3) 解析:∵y =f (x +2)关于x =0对称，∴y =f (x )关于x =2对称. ∴f (3)=f (1).又y =f (x )在(－∞,2)上是增函数，∴f (－1)<f (1)=f (3). 答案:A10.定义在R 上的函数f (x )=－x －x 3,设x 1+x 2≤0,给出下列不等式，其中正确不等式的序号是①f (x 1)f (－x 1)≤0 ②f (x 2)f (－x 2)>0 ③f (x 1)+f (x 2)≤f (－x 1)+f (－x 2) ④f (x 1)+f (x 2)≥ f (－x 1)+f (－x 2)A.①③B.①④C.②③D.②④解析:f (x )f (－x )=(－x －x 3)(x +x 3)=－(x +x 3)2≤0,所以①正确，②不正确.易知f (x )是R 上的减函数，由x 1+x 2≤0,知x 1≤－x 2,x 2≤－x 1,∴f (x 1)≥f (－x 2),f (x 2)≥f (－x 1).∴f (x 1)+f (x 2)≥f (－x 1)+f (－x 2),故④正确. 答案:B第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.满足⎪⎩⎪⎨⎧>--<--0523,015222x x x x 的整数x 的值是_______.解析:由⎪⎩⎪⎨⎧>--<--0523,015222x x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧-<><<-.135,53x x x 或 ∴－3<x <－1或35<x <5. 又∵x ∈Z ,∴x =－2,2,3,4. 答案:－2,2,3,412.函数y =⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<+≤+1)( 5-1),(030),(32x x x x x x 的最大值是_______. 解析:当x ≤0时，y max =3;当0<x ≤1时，y max =4;当x >1时，－x +5<4无最大值.故y 的最大值为4.答案:413.若函数f (x )的图象关于原点对称，且f (x )在(0,+∞)上是增函数，f (－3)=0,则不等式xf (x )<0的解集为_______.-3 3O xy解析:由xf (x )<0得⎩⎨⎧<>0)(,0x f x 或⎩⎨⎧><.0)(,0x f x 由上图进而得0<x <3或－3<x <0.答案:(－3,0)∪(0,3)14.设函数f (x )的反函数为h (x ),函数g(x )的反函数为h (x +1),已知f (2)=5,f (5)=－2,f (－2)=8,那么g (2)、g (5)、g (8)、g (－2)中，一定能求出具体数值的是_______.解析:由h (x )=f －1(x ),h (x +1)=g －1(x ), ∴g －1(x )=f －1(x +1)=y , 即x =g (y ),x +1=f (y ). ∴g (x )=f (x )－1.∴g (2)=f (2)－1=4,g (5)=－3,g (－2)=7. 答案:g (2),g (5),g (－2)三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分10分)作出下列函数的图象，并根据图象指出函数的值域.(1)y =2211xx x --;(2)y =|x |－|x －1|. 解:(1)y = ⎩⎨⎧><<<1).-1(-1),(-1 x x x x x 或图象如下图.根据图象可知函数的值域为{y ∈R |y ≠1且y ≠－1}.x1(2)y = ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤-1).( 11),(01-20),( 1x x x x图象如下图.16.(本小题满分10分)设P :函数y =,Q ：曲线y =x 2－2ax +4a +5与x 轴没有交点.如果P 与Q 有且只有一个正确，求解:由P 知，a =0或⎪⎩⎪⎨⎧≤<,11,0aa 解得a ≤0.由Q 知Δ=(－2a )2－4(4a +5)<0,解得－1<a <5.若P 正确，Q 不正确，则有⎩⎨⎧≥-≤≤.51,0a a a 或∴a ≤－1.若P 不正确，Q 正确，则有⎩⎨⎧<<->.51,0a a ∴0<a <5.综上可知,a 的取值范围为a ≤－1或0<a <5.17.(本小题满分12分)已知函数y =2425x -(x ∈［0,25］), (1)求它的反函数f －1(x );(2)判断y =f －1(x )在其定义域上的单调性并证明.解:(1)由y =2425x -得x =±2252y -.∵x ∈［0,25］, ∴x =2252y -.∴f －1(x )=2252x -,x ∈［0,5］.(2)y =f －1(x )在其定义域［0，5］上是减函数. 证明:设0≤x 1<x 2≤5.则f －1(x 1)－f －1(x 2)=21(2125x -－2225x -)=222112122525(2))((x x x x x x -+-+-.又∵0≤x 1<x 2≤5,∴x 2－x 1>0,x 1+x 2>0,2(2125x -+2225x -)>0.∴f －1(x 1)>f －1(x 2).∴y =f －1(x )在其定义域上是减函数.18.(本小题满分10分)已知函数f (x )对任意x 、y ∈R ,都有f (x )+f (y )=f (x +y ),且当x >0时，都有f (x )<0.(1)求f (0);(2)证明f (x )是R 上的减函数.(1)解:令x =y =0,则有f (0)+f (0)=f (0),∴f (0)=0.(2)证明:设x 1<x 2,则x 2－x 1>0,f (x 2)=f ［x 1+(x 2－x 1)］=f (x 1)+f (x 2－x 1). ∵x 2－x 1>0, ∴f (x 2－x 1)<0.∴f (x 2)=f (x 1)+f (x 2－x 1)<f (x 1).∴f (x )是R 上的减函数. 19.(本小题满分12分)某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?解:根据上表,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x 元后,日均销售利润为y 元,而在此情况下的日均销售量为480－40(x －1)=520－40x .由于x ＞0,且520－40x ＞0,即0＜x ＜13, 于是可得y =(520－40x )x －200=－40x 2+520x －200,0＜x ＜13. 易知,当x =－)40(2520-⨯=6.5时,y 有最大值.所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润.。

第三章 数列(一)●知识网络●范题精讲一、等差数列的概念、通项公式【例1】 等差数列{a n }的前n 项和记为S n ．.已知a 10=30,a 20=50. (1)求通项a n ;(2)若S n =242,求n .分析：在等差数列中，有a 1、a n 、n 、d 、S n 五个基本量，若已知其中的任何三个，总可以求出另外两个的值.解：(1)由a n =a 1+(n －1)d ,a 10=30,a 20=50,得方程组⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a解得a 1=12,d =2.所以a n =2n +10. (2)由S n =na 1+2)1(-n n d ,S n =242,得方程12n +2)1(-n n ×2=242. 解得n =11或n =－22(舍去).评注：本题是一个最基础的数列题，内容上只涉及等差数列的通项和前n 项和.它主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及构造方程的数学方法，考查运算能力.知识点较为单一，但高考中仍不乏这类考查目的明确、适应所有考生的中低档题.二、等差数列性质的应用【例2】 已知等差数列{a n }为等差数列，p ≠q ,a p =q ,a q =p ,求a p+q .分析：可先转化为a 1和d 去探索，也可利用等差数列性质求解，还可利用一次函数图象来解.解法一：⎪⎩⎪⎨⎧=-+==-+=.)1(,)1(11p d q a a q d p a a q p相减得(p －q )d =q －p ,∵p ≠q ,∴d =－1.代入①,得a 1=p +q －1.故a p +q =a 1+(p +q －1)d =0.解法二：a p =a q +(p －q )d ,∴q =p +(p －q )d ,以下同解法一. 解法三：不妨设p <q ,由于a n 为关于n 的一次函数图象上均匀排列的一群孤立点.故(p ,a p )、(q ,a q )、(p +q ,a p +q )三点在同一直线上，如图.①②)由△ABE ∽△BCF 得(设a p +q =m ).)(qq p mp p q p q -+-=-- ∴1=pmp -.设m =0,得a p +q =0. 三、等差数列前n 项和公式的应用【例3】 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12＞0,S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围; (2)指出S 1,S 2,…,S 12．中哪一个值最大，并说明理由. (1)解：依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+=021*******111212113112d a S d a S⎩⎨⎧<+>+.06,011211d a d a 由a 3=12,得a 1=12－2d .又⎩⎨⎧<+>+030724d d －724＜d ＜－3. (2)解法一：由d ＜0,可知a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13.因此，若在1≤n ≤12中，存在自然数n ，使得a n ＞0,a n +1＜0,则S n 就是S 1,S 2,…,S 12中的最大值.由于S 12．=6(a 6+a 7)＞0,S 13=13a 7＜0,即a 6+a 7＞0,a 7＜0,由此得a 6＞－a 7＞0. 故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大.解法二：S n =na 1+2)1(-n n d =n (12－2d )+21n (n －1)d =2d n 2－(25d－12)n=2d ［n －21(5－d 24)］2－2d ［21(5－d 24)］2.∵d ＜0,∴［n －21(5－d24)］2最小时，S n 最大.当－724＜d ＜－3时，6＜21(5－d24)＜6.5. ∴n =6时，［n －21(5－d24)］2最小.∴S 6最大.解法三：由d ＜0,可知a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13.因此，若在1≤n ≤12中，存在自然数n ，使得a n ＞0,a n +1＜0,则S n 就是S 1,S 2,…,S 12中的最大值.由已知⎩⎨⎧<>001312S S ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⨯+>⨯+021*******11121211d a d a ⎪⎩⎪⎨⎧<+>->+0602511d a d d a ⎩⎨⎧<>.0,076a a 故在S 1,S 2,…,S 12中S 6的值最大.评注：第(2)题用了三种方法来解，解法一与解法三类似，只是确定a 6＞0,a 7＜0的方法不同，解法一技巧性强,解法二是把问题转化成了有限制条件的一元二次函数最值问题.四、数列的应用【例4】 某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年产量的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年增长率的一半，设此鱼塘里原来的鱼储存量为a .(1)写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年、第四年的产量，并写出第n 年与第(n －1)年(n ∈N 且n ≥2)的产量之间的关系式(不要求证明).(2)由于环境污染及池塘老化等因素，致使每年将损失年产量的10%，这样以后每年的产量是否始终逐年提高?若是，请予以证明；若不是，请说明从第几年起产量将不如上一年.(lg2=0.3010,lg3=0.4771)解：(1)不妨设改进技术后第n 年的产量为a n ，则a 1=a (1+200%)=3a ,a 2=a 1(1+21×200%)=6a , a 3=a 2(1+221×200%)=9a ,a 4=a 3(1+321×200%)=445a .依此，得a n =a n －1(1+121-n ×200%)=a n －1［1+(21)n －2］(n ∈N *,n ≥2).(2)设遭损失后第n 年的产量为b n ,则 b 1=a 1(1－10%),b 2=b 1(1+21×200%)(1－10%),…, b n =b n －1［1+(21)n －2］(1－10%). 令b n ＜b n －1,则0.9［1+(21)n －2］＜12n －2＞9,∴n －2＞2lg 9lg ,即n ＞5.17.由n ∈N *知n ≥6.故从第6年起，产量将不如上一年.评注：这是一道数列型应用题，审题时应抓住从第二年开始，"以后每年的增长率是前一年增长率的一半"这个关键，把它抽象为数列的通项，容易求出递推关系式a n =a n －1［1+ (21)n －2］(n ∈N *且n ≥2),即建成了递推模型.第(2)问归结为一个指数不等式问题，利用取对数法很容易求得这个数学问题的解.●试题详解高中同步测控优化训练(十一) 第三章 数列(一)(A 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.在100至500之间的正整数能被11整除的个数为 A.34 B.35 C.36 D.37解析：观察出100至500之间能被11整除的数为110，121，132，…，它们构成一个等差数列，公差为11，a n =110+(n －1)·11=11n +99,由a n ≤500,解得n ≤36.4,n ∈N *,∴n ≤36.答案：C2.在数列{a n }中，a 1=1,a n +1=a n 2－1(n ≥1),则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5等于 A.－1 B.1 C.0 D.2 解析：由已知：a n+1=a n 2－1=(a n +1)(a n －1), ∴a 2=0,a 3=－1,a 4=0,a 5=－1. 答案：A3.若数列{a n }的前n 项和S n =n 2－2n +3，则此数列的前3项依次为 A.－1,1,3 B.2,1,3 C.6,1,3 D.2,3,6 解析：当n =1时，a 1=S 1=12－2×1+3=2; 当n =2时，由S 2=a 1+a 2=22－2×2+3,得a 2=1; 当n =3时，由S 3=a 1+a 2+a 3=32－2×3+3,得a 3=3. 答案：B4.设函数f (x )满足f (n +1)=2)(2nn f +(n ∈N *)且f (1)=2,则f (20)为 A.95B.97C.105D.192解析：f (n +1)－f (n )=2n⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⨯=-⨯=-⨯=-.1921)19()20(,221)2()3(,121)1()2(f f f f f f 各式相加得f (20)－f (1)=21(1+2+…+19) f (20)=95+f (1)=97.5.已知等差数列｛a n ｝中公差d ≠0.若n ≥2,n ∈N *,则 A.a 1a n +1＜a 2a n B.a 1+a n +1＞a 2+a n C.a 1+a n +1＜a 2+a nD.a 1a n +1＞a 2a n 解析：a 1a n +1－a 2a n =a 1(a 1+nd )－(a 1+d )［a 1+(n －1)d ］=－(n －1)d 2＜0,∴a 1a n +1＜a 2a n . 答案：A6.等差数列｛a n ｝中，a 4+a 7+a 10=57,a 4+a 5+…+a 14=275,a k =61,则k 等于 A.18 B.19 C.20 D.21解析：∵3a 7=a 4+a 7+a 10=57,∴a 7=19.由a 4+a 5+…+a 14=275,可得a 9=25.∴公差d =3. ∵a k =a 9+(k －9)·d ,∴61=25+(k －9)×3,解得k=21.答案：D7.已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12,a 4+a 6=－4,则S 20为 A.180 B.－180 C.90 D.－90解析：由等差数列性质，a 4+a 6=a 3+a 7=－4与a 3·a 7=－12联立，即a 3、a 7是方程x 2+4x －12=0的两根.又公差d >0,∴a 7>a 3a 7=2,a 3=－6,从而得a 1=－10,d =2,S 20=180.答案：A8.设S n 是等差数列前n 项的和，若9535=a a ,则59S S等于 A.1 B.－1 C.2D.21解法一：∵,9535=a a ,∴d a d a 2411++=95. ∴195592459105369111159=⨯=++⨯=++=d a d a d a d a S S . 解法二：∵9535=a a , ∴.1955922595922)(9355191519159=⨯=⨯=++⨯=+=a a a a a a a a S S 答案：A9.已知｛a n ｝是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数λ的取值范围是A.(－27,+∞) B.(0,+∞)C.(－2,+∞)D.(－3,+∞)解析：由｛a n ｝为递增数列得a n +1－a n =2n +1+λ＞0恒成立,即λ＞－2n －1在n ≥1时恒成立，只需λ＞(－2n －1)max =－3,故选D.10.在等差数列{a n }中，若S 9=18,S n =240,a n －4=30,则n 的值为 A.14 B.15 C.16 D.17 解析：S 9=2)(991a a +=18a 1+a 9=42(a 1+4d )=4.∴a 1+4d =2.又a n =a n －4+4d ,∴S n =2)(1n a a n +=16n =240. ∴n =15. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.设数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =2)13(1-n a (n ∈N *),且a 4=54,则a 1的值是________.解析：∵a 4=S 4－S 3,∴2)13(2)13(3141---a a =54.∴a 1=2. 答案：212.若数列｛a n ｝的前n 项和S n =lg ［101(1+n )］,则a 10+a 11+a 12+…+a 99=_________. 解析：a 10+a 11+…+a 99=S 99－S 9=lg(101·100)－lg(101·10)=1－0=1.答案：113.在－9和3之间插入n 个数，使这n +2个数组成和为－21的等差数列，则n =_______. 解析：－21=2)39)(2(+-+n ,∴n =5.答案：514.等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=－24,a 18+a 19+a 20=78,则此数列前20项的和等于________. 解析：由a 1+a 2+a 3=－24,可得3a 2=－24;由a 18+a 19+a 20=78,可得3a 19=78,即a 2=－8,a 19=26. ∴S 20=2)(20201a a +=10(a 2+a 19)=10(－8+26)=180.答案：180三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分8分)已知数列｛a n ｝满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式.(1)a 1=0,a n +1=a n +(2n －1);(2)a 1=1,a n +1=22+n na a .解：(1)∵a 1=0,a n +1=a n +(2n －1),∴a 2=a 1+(2×1－1)=0+1=1,a 3=a 2+(2×2－1)=4,a 4=a 3+(2×3－1)=9,a 5=a 4+(2×4－1)=16. ∴它的前5项依次是0，1，4，9，16.又可写成(1－1)2,(2－1)2,(3－1)2,(4－1)2,(5－1)2. 故该数列的一个通项公式是a n =(n －1)2. (2)∵a 1=1,a n +1=nna a +22,∴a 2=2122,322222311=+==+a a a a a ,a 4=.3122,522244533=+==+a a a a a∴它的前5项依次是1,31,52,21,32. 又可写成.152,142,132,122,112+++++ 故它的一个通项公式为a n =12+n .16.(本小题满分10分)已知等差数列｛a n ｝中，a 1+a 4+a 7=15,a 2a 4a 6=45,求其通项a n . 解：∵a 1+a 7=2a 4,且a 1+a 4+a 7=15,∴a 4=5. 又∵a 2a 4a 6=45,∴a 2a 6=9.设其公差为d ,又a 4=5,∴a 2=a 4－2d ,a 6=a 4+2d .代入a 2a 6=9可得 (5－2d )(5+2d )=925－4d 2=9d =±2.当d =2时，a n =a 4+(n －4)d =5+(n －4)×2=2n －3(n ∈N *);当d =－2时，a n =a 4+(n －4)d =5+(n －4)×(－2)=13－2n (n ∈N *). 17.(本小题满分12分)数列的通项公式为a n =n 2－5n +4，问: (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值. 解：(1)由a n 为负数，得n 2－5n +4<0,解得1<n <4.∵n ∈N *,故n =2或3，即数列有2项为负数，分别是第2项和第3项. (2)∵a n =n 2－5n +4=(n －25)2－49, ∴对称轴为n =25=2.5. 又∵n ∈N *,故当n =2或n =3时，a n 有最小值，最小值为22－5×2+4=－2.18.(本小题满分12分)有30根水泥电线杆，要运往1000米远的地方开始安装，在1000米处放一根，以后每隔50米放一根，一直向前放.一辆汽车一次最多运三根，如果用一辆车完成这项任务，从开始运第一车算起，运完货后回到起点，这辆汽车的行程是多少千米？解：设在运完第3(n －1)至3n (其中1≤n ≤10且n ∈N *)根且返回起点时，这辆汽车的行程为a n 米，则根据题意得a 1=(1000+50+50)×2=2×1100,a 2=(1100+50+50+50)×2=2(1100+150),a 3=(1100+150+50+50+50)×2=2(1100+300),….∴{a n }是以2×1100为首项，150为公差的等差数列.从而行程为s 10=(1100×10+21×10×9×150)×2=35500.答：这辆汽车的行程是35500千米.19.(本小题满分12分)设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .(1)若首项a 1=23,公差d =1,求满足S k 2=(S k )2的正整数k ; (2)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对一切正整数k 都有S k 2=(S k )2成立.解：(1)当a 1=23,d =1时， S n =na 1+.212)1(232)1(2n n n n n d n n +=-+=- 由S k 2=(S k )2,得21k 4+k 2=(21k 2+k )2,即k 3(41k －1)=0.又∵k ≠0,∴k =4.(2)设等差数列{a n }的公差为d ,则在S k 2=(S k )2中，分别取k =1,2,得⎪⎩⎪⎨⎧==,)(,)(224211S S S S 即⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=.)2122(2344,211211d a d a a a由①得a 1=0或a 1=1.当a 1=0时，代入②得d =0或d =6.若a 1=0,d =0,则a n =0,S n =0,从而S k 2=(S k )2成立；若a 1=0,d =6,则a n =6(n －1),S n =3n 2－3n .此时S k 2=3k 4－3k 2,(Sk )2=(3k 2－3k )2,显然S k 2≠(S k )2. 当a 1=1时，代入②式得d =0或d =2.若a 1=1,d =0时，a n =1,S n =n ,从而S k 2=(S k )2成立；若a 1=1,d =2时，a n =2n －1,S n =1+3+…+(2n －1)=n 2,从而S k 2=(S k )2成立. 综上，共有3个满足条件的无穷等差数列，它们是a n =0,a n =1,a n =2n －1.①②。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．据调查，某地铁的自行车处在某星期日的库存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车数x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( ) A ．y ＝0.1x ＋800(0≤x ≤4 000) B ．y ＝0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000) C ．y ＝－0.1x ＋800(0≤x ≤4 000) D ．y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)解析：根据题意总收入分为两部分：普通车存车费为0.2x 元，变速车费用 (4 000－x )×0.3元．∴y ＝0.2x ＋1 200－0.3x ＝－0.1x ＋1 200，故选D. 答案：D2．某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (副)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( ) A ．200副 B ．400副 C ．600副D ．800副解析：由5x ＋4 000≤10x ，解得x ≥800，即日产手套至少800副时才不亏本． 答案：D3.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( ) A ．310元 B ．300元 C ．290元D ．280元解析：设函数模型为y ＝kx ＋b ，将(1,800)，(2,1300)代入得⎩⎨⎧k ＋b ＝8002k ＋b ＝1 300∴⎩⎨⎧k ＝500b ＝300∴y ＝500x ＋300 令x ＝0时y ＝300，故选B. 答案：B4．用长度为24 m 的材料围成一个矩形家禽养殖场，中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，隔墙长度应为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：设隔墙长度为x m ，则矩形的一边长为x m ，另一边长为24－4x2m ，∴S ＝x ·24－4x2＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18(0<x <6) ∴当x ＝3时，S 取最大值．故选A. 答案：A5．如图表示人的体重与年龄的关系，则( )A ．体重随年龄的增长而增加B ．25岁之后体重不变C ．体重增加最快的是15岁至25岁D ．体重增加最快的是15岁之前解析：∵函数不是增函数，∴A 错；[25,50]上为增函数，故B 错；[0,15]上线段增长比[15,25]上线段增长快． 答案：D6．某家庭某年一月份、二月份和三月份的煤气用量和支付费用如表所示：月份 用气量 煤气费 一月 4 m 3 4元 二月 25 m 3 14元 三月35 m 319元该市煤气收费标准是：若该月用气量不超过A m 3，那么只付基本费3元和每户每月的定额保险费C 元；若用气量超过A m 3，那么超出部分付超额费，每立方米为B 元．又知保险费C 元不超过5元，根据上述条件及数据求出A 的值为________，B 的值为________．解析：一月：4＝3＋C ，∴C ＝1元，由此可判断二月、三月用气量超过A m 3. 二月：14＝(25－A )B ＋C+3 三月：19＝(35－A )B ＋C+3 解得A ＝5， B ＝12. 答案：5 127．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元． 解析：L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000 ＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500 当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元． 答案：2 5008．某汽车油箱中存油22 kg ，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩余量y (kg)与流出时间x (分钟)之间的函数关系式为________． 解析：流速为22200＝11100，x 分钟可流11100x . 答案：y ＝22－11100x9．某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：前8年在正常情况下，该产品产量将平稳增长．已知2010年为第一年，前4年年产量f (x )(万件)如表所示：(1)画出2010～2013(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求之；(3)2016年(即x ＝7)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2016年的年产量应为多少？解析：(1)如图所示(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f (x )＝ax ＋b ，由已知得⎩⎨⎧a ＋b ＝43a ＋b ＝7，解得a ＝1.5，b ＝2.5， ∴f (x )＝1.5x ＋2.5.检验：f (2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08<0.1. f (4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函数模型f (x )＝1.5x ＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2016年的年产量为f (7)＝1.5×7＋2.5＝13(万件)，又年产量要减少30%，即为13×70%＝9.1(万件)，即2016年的年产量应为9.1万件．10．某DVD 光盘销售部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，每张DVD 光盘的进价是6元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单 价(元) 78910111213日均销 售量(张)480440400360320280240(1)(元)的函数关系式，并写出其定义域；(2)问这个销售部销售的DVD 光盘销售单价定为多少时才能使日均销售利润最大？最大销售利润是多少？解析：(1)根据图表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40张， ∴P (x )＝480－40(x －7)＝－40x ＋760， 由x >0且－40x ＋760>0，得0<x <19， ∴P (x )关于x 的函数关系式为 P (x )＝－40x ＋760(0<x <19)． (2)设日均销售利润为y 元，于是可得 y ＝(－40x ＋760)(x －6)－300 ＝－40x 2＋1 000x －4 860 ＝－40(x －252)2＋1 390，当x ＝12.5时，y 有最大值，最大值为1 390元．故只需将销售单价定为12.5元，就可使日均销售利润最大，最大为1 390元．[B 组 能力提升]1．甲、乙两个工厂2014年1月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加且每月增加的产值相等，乙厂的产值逐月增加且每月增长的百分率相同，已知2014年12月份两厂的产值相等，则2014年7月份产值高的工厂是( ) A ．甲厂 B ．乙厂 C ．产值一样D ．无法确定解析：可考虑指数函数模型与一次函数模型的图象比较．由题可知甲厂产值是一次函数模型增长，而乙厂产值是指数函数模型增长，可将它们的大致图形画出．故7月份时甲厂产值高． 答案：A2.如图所示，开始时桶1中有a 升水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y 1＝a ·e －nt ，那么桶2中的水就有y 2＝a －a e －nt .假设经过5分钟桶1和桶2的水相等，则再过多少分钟桶1中的水只有a8( ) A ．7分钟 B ．8分钟 C ．9分钟 D ．10分钟解析：由题意：a e－5n＝a －a e－5n，e －n＝(12)15，再经过t 分钟，桶1中的水只有a 8，得a e －n (t ＋5)＝a8，解得t ＋55＝3，即t ＝10，故选D. 答案：D3.如图所示，表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系．有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h ，晚到1 h ； ②骑自行车者做变速运动，骑摩托车者做匀速运动； ③骑摩托车者在出发1.5 h 后追上骑自行车者． 其中正确信息的序号是________．解析：观察图象，先看时间易知①正确．骑摩托车者行驶的路程和时间的函数图象是直线，所以为匀速运动；而骑自行车行驶的路程与时间的函数图象为折线，所以是变速运动，因此②正确，图象交点的横坐标为4.5，故③正确． 答案：①②③4．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：①如不超过200元，则不予优惠；②如超过200元但不超过500元的按标价给予9折优惠；③如超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分，给予8折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．解析：由题意可知，设消费金额为x 元，应付款为y 元，则y ＝⎩⎨⎧x ，0＜x ≤200，0.9x ，200＜x ≤500，0.8(x －500)＋0.9×500，x ＞500，由①168＜200所以第一次购物的消费金额为168元． ②200＜423≤500第二次购物的消费金额为4230.9＝470(元)． 所以x ＝168＋470＝638＞500，y ＝0.8×(638－500)＋0.9×500＝560.4(元)． 答案：560.45．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 解析：(1)由表中数据知，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系不可能是常数函数，从而用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t 中的任意一个描述时都应有a ≠0，此时上述三个函数均为单调函数，这与表格中所提供的数据不符合，所以选取二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述，把表格中的三组数据分别代入Q ＝at 2＋bt ＋c ，得⎩⎨⎧150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.所以描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系为函数Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)当t ＝－－322×1200＝150(天)时，西红柿种植成本最低为Q ＝1200×1502－32×150＋4252＝100(元/102kg)．6．有时可用函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15ln aa －x ，x ≤6，x －4.4x －4，x >6描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N ＋)，f (x )表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1)求证：当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]，当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，试确定相应的学科．解析：(1)当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝0.4(x－3)(x－4)，而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)>0，故函数f(x＋1)－f(x)单调递减．故当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降的．(2)由题意，可知0.1＋15lnaa－6＝0.85，整理得aa－6＝e0.05，解得a＝e0.05e0.05－1·6＝20.50×6＝123∈(121,127]．由此可知，该学科为乙学科．。

高一数列试题及答案一、选择题1. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1+a_3=10，a_2+a_4=12，则a_5的值为（）。

A. 14B. 16C. 18D. 20答案：A解析：设等差数列的公差为d，则a_3=a_1+2d，a_4=a_2+2d。

根据题意，有a_1+a_1+2d=10，a_2+a_2+2d=12。

解得a_1=4，d=2。

因此，a_5=a_1+4d=4+4×2=14。

2. 已知数列{a_n}是等比数列，且a_1a_3=8，a_2=4，则a_4的值为（）。

A. 16B. 32C. 64D. 128答案：C解析：设等比数列的公比为q，则a_3=a_1q^2，a_2=a_1q。

根据题意，有a_1a_1q^2=8，a_1q=4。

解得a_1=2，q=2。

因此，a_4=a_1q^3=2×2^3=16。

3. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，求a_5的值为（）。

A. 21B. 33C. 65D. 129答案：C解析：根据递推关系，可得a_2=2a_1+1=3，a_3=2a_2+1=7，a_4=2a_3+1=15，a_5=2a_4+1=31。

因此，a_5=65。

二、填空题4. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=3，公差d=2，则a_10的值为______。

答案：23解析：根据等差数列的通项公式，a_n=a_1+(n-1)d，代入n=10，得a_10=3+(10-1)×2=23。

5. 已知数列{a_n}是等比数列，且a_1=2，公比q=3，则a_5的值为______。

答案：486解析：根据等比数列的通项公式，a_n=a_1q^(n-1)，代入n=5，得a_5=2×3^(5-1)=486。

三、解答题6. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=3a_n+2，求a_5的值。

答案：121解析：根据递推关系，可得a_2=3a_1+2=5，a_3=3a_2+2=17，a_4=3a_3+2=53，a_5=3a_4+2=161。

章末检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝3x－5的零点所在区间为()A．(－1,0)B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)解析：依次将区间端点代入函数，可知f(1)<0，f(2)>0，根据函数零点存在性定理可知该函数的零点所在区间为(1,2)．答案：C2．某大型水库的蓄水量每年比上一年平均增长10.4%，那么经过x年可增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为()解析：设水库的原有蓄水量为1，由题意，f(x)＝(1＋10.4%)x；即f(x)＝1.104x，故选D.答案：D3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x －3－2－10123 4y 6m －4－6－6－4n 6不求a、b() A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)解析：由表中数据可知，二次函数f(x)的图象关于直线x＝12对称．∴一根在(－∞，12)内，另一根在(12，＋∞)内．而f(－3)·f(－1)＝6×(－4)<0，f(2)·f(4)＝－4×6<0.∴两根所在区间为(－3，－1)和(2,4)．4．函数f (x )＝3ax －2a ＋1在[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥15 B ．a ≤－1 C ．－1≤a ≤15D ．a ≥15或a ≤－1解析：特殊值验证法：取a ＝1，－1两个值验证，可得D. 答案：D5．如果已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关解析：设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出它们的图象如图所示．由图可知：有两个交点． 答案：A6．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的45，那么经过3年，这种物质的剩留物质约是原来的( ) A.64125 B.1625 C.256625D.16125解析：由(45)3＝64125. 答案：A7．已知函数f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个不同的交点，则函数f (x －1)的所有零点之和为( ) A ．0 B ．8 C ．4D 无法确定 解析：函数f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，所以四个零点之和为0，而f (x －1)是f (x )图象向右平移了一个单位，所以零点之和为4.8．某企业2014年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2014年度产值的月平均增长率为()A.PP－1B.11P－1C.11P D.P－111解析：设1月份产值为a，增长率为x，则aP＝a(1＋x)11，∴x＝11P－1，故选B.答案：B9．已知在x克a%的盐水中，加入y克b%(a≠b)的盐水，浓度变为c%，将y表示成x的函数关系式为()A．y＝c－ac－bx B．y＝c－ab－cxC．y＝c－bc－ax D．y＝b－cc－ax解析：根据配制前后溶液不变，则有a%x＋b%y＝c%(x＋y)，∴ax＋by＝cx＋cy，故y＝c－a b－cx.答案：B10．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421 875，0.6253＝0.244 14)()A．0.25 B．0.375C．0.635 D．0.825解析：令f(x)＝2x3＋3x－3，f(0)<0，f(1)>0，f(0.5)<0，f(0.75)>0，f(0.625)<0，∴方程2x3＋3x－3＝0的根在区间(0.625,0.75)内，∵0.75－0.625＝0.125<0.25，∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值均可作为方程的近似根．故选C.答案：C11．某地区植被破坏、土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则下列函数中与沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为相似的是()A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x解析：将(1,0.2)，(2,0.4)，(3,0.76)与x＝1,2,3时，选项A、B、C、D中得到的y值做比较，y＝2x10的y值比较接近．答案：C12．若方程x lg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k＝() A．－2 B．1C．－2或1 D．0解析：由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x＋2)＝1x.在同一直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝1x的图象，如图所示．由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k＝－2或1.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．若函数f(x)＝a x－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：设函数y＝a x(a>0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝a x－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝a x(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a有两个交点．由图象可知当0<a<1时两函数只有一个交点．不符合；当a>1时，因为函数y＝a x(a>1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a所过的点(0，a)一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是{a|a>1}．答案：(1，＋∞)14．若函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，…，x 2 009，则x 1＋x 2＋…＋x 2 009＝________.解析：定义在R 上的奇函数f (x )必有f (0)＝0，则x 1，x 2…x 2 009中必有一个是零，其余的2 008个零点分别在x 轴上，关于坐标原点两两对称． 答案：015．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a 与其前三个月的市场收购价格有关，且使a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格，则7月份该产品的市场收购价格应为________.月份 1 2 3 4 5 6 价格(元/担)687867717270解析：a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，则7月份的收购价格为函数y ＝(a －71)2＋(a －72)2＋(a －70)2取得最小值时的a ，则a ＝71＋72＋703＝71.从而7月份的收购价格为71元/担． 答案：71元/担16. 对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ，a ≤b b 2－ab ，a >b ，设f (x )＝(2x －1)*(x－1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根，则m 的取值范围是________．解析：由定义运算“*”可知f (x )＝⎩⎨⎧(2x －1)2－(2x －1)(x －1)，2x －1≤x －1(x －1)2－(2x －1)(x －1)，2x －1>x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧2(x －14)2－18，x ≤0－(x －12)2＋14，x >0，画出该函数图象可知，当直线y ＝m 在x 轴之上与直线y ＝14之间时，方程f (x )＝m 恰有三个互不相等的实数根， 所以0<m <14. 答案：0<m <14三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分为12分)若函数f (x )＝mx 2－x －2只有一个零点，试求m 的取值范围．解析：①当m ＝0，则f (x )＝－x －2，f (x )仅有一个零点－2.②当m ≠0，则f (x )＝mx 2－x －2是二次函数，若是只有一个零点，即方程mx 2－x －2＝0仅有一个实数根，故Δ＝1＋8m ＝0 解得m ＝－18.综上，当m ＝0或m ＝－18时函数只有一个零点．18．(本小题满分为12分)试找出一个长度为1的区间，在这个区间上函数y ＝x －13x ＋2至少有一个零点． 解析：函数f (x )＝x －13x ＋2的定义域为(－∞，－23)∪(－23，＋∞)．取区间[12，32]，∵f (12)＝12－132＋2＝－17<0，f (32)＝32－192＋2＝113>0，∴在区间[12，32]内函数f (x )至少有一个零点．∴[12，32]就是符合条件的一个区间．19．(本小题满分为12分)渔场中鱼群的最大养殖量为m (m >0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x 小于m ，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出该函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值．解析：(1)根据题意知空闲率是m －x m ，故y 关于x 的函数关系式是y ＝kx ·m －xm ，0<x <m .(2)∵y ＝kx ·m －x m ＝－k m x 2＋kx ＝－k m (x －m 2)2＋mk4， ∴当x ＝m 2时，y max ＝mk4.20．(本小题满分为12分)为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为y cm ，椅子的高度为x cm ，则y 应是x 的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：(1)请你确定y 与(2)现有一把高42.0 cm 的椅子和一张高78.2 cm 的课桌，它们是否配套？为什么？解析：(1)依题意，由于课桌高度y 是椅子高度x 的一次函数，故可设y ＝ax ＋b ，将给出的符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式，得⎩⎨⎧ 40a ＋b ＝75，37a ＋b ＝70.2，解得⎩⎨⎧a ＝1.6，b ＝11.所以y 与x 的函数关系式是y ＝1.6x ＋11. (2)将x ＝42代入(1)中的函数解析式得y ＝1.6×42＋11＝78.2，因此给出的这套课桌椅是配套的．21．(本小题满分为13分)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．解析：(1)若函数f (x )在(－1,3)上有一个零点，则只需有f (－1)·f (3)＜0， 即(1－3a ＋2＋a －1)(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)＜0， ∴a ＜－15或a ＞1.(2)若f (－1)＝0，则a ＝1， 此时f (x )＝x 2＋x ，令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得 x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1. (3)若f (3)＝0，则a ＝－15， 此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0， 解得x ＝－25或x ＝3，方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15. 综上所述，a 的取值范围为(－∞，－15)∪(1，＋∞)．22．(本小题满分为 13分)某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进价的价格出售，销售有淡季与旺季之分．通过市场调查发现：①销售量r (x )与衬衣标价(x 元/件)在销售旺季近似符合函数关系：r (x )＝kx ＋b 1，在销售淡季近似符合函数关系：r (x )＝kx ＋b 2，其中k <0，b 1，b 2>0，且k ，b 1，b 2为常数；②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大利润；③若称①中r(x)＝0的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季“临界价格”的1.5倍．请根据上述信息，完成下列问题：(1)填出表格中空格的内容.解析：(1)如下表：在销售旺季，当x＝100k－b12k＝50－b12k时，利润y取得最大值；在销售淡季，当x＝100k－b22k＝50－b22k时，利润y取得最大值．下面分销售旺季和销售淡季进行讨论：由②知，在销售旺季，商场以140元/件价格出售时，能获得最大利润．因此在销售旺季，当标价x＝50－b12k＝140时，利润y取得最大值．此时b1＝－180k，销售量为r(x)＝kx－180k.由kx－180k＝0知，在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件．∵销售旺季的“临界价格”是销售淡季“临界价格”的1.5倍，∴销售淡季的“临界价格”为120元/件，∴120k＋b2＝0，∴在销售淡季，当标价x＝50－b22k＝110元/件时，利润y取得最大值．故在销售淡季，商场要获得最大利润，应将衬衣的标价定为110元/件合适．。

n高一 级 数 学 数 列 练 习 题一、选择题：1、等差数列{a n }中, a 1 = 3, a 5 = 7, 则数列{a n }第9 项等于（ C ）A 、9B 、10C 、11D 、122、等比数列{a n }中, a 2 = 9, a 5 = 243, 则{a n }的第 4 项为（ A ）A 、81B 、243C 、27D 、1923、已知一等差数列的前三项依次为 x ,2x + 2,4x + 3 ，那么 22 是此数列的第（ D ）项A 、 2B 、 4C 、6D 、8 4、已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则 a 12 的值是( A )A 、15B 、30C 、31D 、645、设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 S 3 = 9 ， S 6 = 36 ，则 a 7 + a 8 + a 9 = （ B ）A 、63B 、45C 、36D 、276、已知 m 和 2n 的等差中项是 4,2m 和 n 的等差中项是 5，则 m 和 n 的等差中项是( B )A 、2B 、3C 、6D 、97、在等差数列{a n } 中，若 a 4 + a 6 + a 8 + a 10 + a 12 = 120 ，则 2a 10 - a 12 的值为（ C ）A 、20B 、22C 、24D 、288、已知等差数列{a n }满足 a 5 + a 6 =28，则其前 10 项之和为 （ A）A 、140B 、280C 、168D 、569、等差数列{a n }共有 2n+1 项，其中奇数项之和为 4，偶数项之和为 3，则 n 的值是( A )A 、3B 、5C 、7D 、92a 1＋a 210、在数列{a n}中，对任意 n ∈N *，都有 an ＋1－2a n ＝0(a n ≠0)，则 3＋ 4等于( D )1 A 、1B 、21 C 、31 D 、42a a11、在各项均为正数的等比数列{a n }中，若 a 5a 6＝9，则 log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10 等于( B )A 、12B 、10C 、8D 、2＋log 3512、设数列{ a n }的通项公式是 a n = n 2 + 100，则{ a n }中最大项是（ B ）A. a 9二、填空题：B. a 10C. a 9 和 a 10D. a 8 和 a 913、数列{ a n }是等差数列， a 4 = 7 ，则 s 7 =4914、已知数列{ a n }的前 n 项和 S n = -n 2 +10n ，则其通项 a n = -2n +11；当 n = 5时 S n 最大,且最大值为2532 2n 1 n 2 a n115、已知数列{a n }满足 a 1＝1，a n ＋1＝ ，则 a 5＝1＋a n16、已知数列{a }满足 a = 2a+ 3 且 a = 1，则数列{a }的通项公式为a = 2n +1 - 3nnn -11nn三、解答题：17、设{a n }为等差数列， {b n }为等比数列， a 1 = b 1 = 1, a 2 + a 4 = b 3 , b 2 b 4 = a 3 , 分别求出{a n }及{b n }的前 10 项 的和 S 10 及T 10 .解：设等差数列{a n }的公差为 d , 等比数列{b n }的公比为 q .a 2 = 1 + d , a 4 = 1 + 3d ,b 3 = q 2 , ∴ q 2 = 2 + 4d①又 b 2 = q , b 4 = q 3 , a 3 = 1 + 2d , a 3 = b 2 , ∴ q 4 = 1 + 2d ②则由①，②得 2q 4 = q 2 -将 q 2 = 1代入①，得 d = - 3, ∴ S= - 55当 q =2 82时， T =31(2 + 1082 ) ，210 32 当 q = -2 时， T = 31 (2 - 2 ) 210 32 18、等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前 n 项和为 S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且 b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求 a n 与 b n ；1 1 1 3(2) 证 明 ： ＋ ＋…＋ < .S 1 S 2S n 4 解 (1)设{a n }的公差为 d ，{b n }的公比为 q ，则 d >0，q ≠0，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有 Error!解得Error!或Error!(舍去)． 故 a n ＝2n ＋1，b n ＝8n －1.3＋2n ＋1(2)证明：由(1)知 S n ＝ 2×n ＝n (n ＋2)，1 1 1 1 1 ＝ ＝ ( － )， S n n ?n ＋2? 2 n n ＋2 1 1 1 1 1 1 1 ∴ 1＋ 2＋…＋ n ＝ ＋ ＋ ＋…＋ S S S 1 × 3 2 × 4 3 × 5 1 1 1 1 1 1 1 1 n ?n ＋2? ＝ (1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － )2 3 2 4 3 5 1 1 1 1n n ＋2 ＝ (1＋ － ＋ － ＋)3 2n ＋3 ＝ －4 2?n ＋1??n ＋2?2n ＋3 ∵ >0 2?n ＋1??n ＋2?1 1 1 3 ∴ 1＋ 2＋…＋ n < . S S S 419、已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足 a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *. (1)求 a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前 n 项和 T n .解 (1)由 S n ＝2n 2＋n ，得当 n ＝1 时，a 1＝S 1＝3； 当 n ≥2 时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1.∴a n ＝4n －1(n ∈N *)． 由 a n ＝4log 2b n ＋3＝4n －1，得 b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知 a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *， ∴T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)×2n －1， 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)×2n －1＋(4n －1)×2n .∴2T n －T n ＝(4n －1)×2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1]＝(4n －5)2n ＋5. 故 T n ＝(4n －5)2n ＋5.20、已知数列{a n }满足 a 1＝1，a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N *，n ≥2)．a n(1) 求证：数列{2n }是等差数列；(2) 若数列{a n }的前 n 项和为 S n ，求 S n .a n a n －1 1 解 (1)∵a n －2a n －1－2n －1＝0，∴ －＝ ， 2n 2n －1 2a n 1 1∴{2n }是以 为首项， 为公差的等差数列． 2 2 a n 1 1 (2)由(1)，得 ＝ ＋(n －1)× ，2n 2 2 ∴a n ＝n ·2n －1，∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 则 2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－②，得1·?1－2n ? －S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝ －n ·2n ＝2n －1－n ·2n ，1－2 ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.21、设数列{a n }的前项 n 和为 S n ，若对于任意的正整数 n 都有 S n = 2a n - 3n .（1） 设b n = a n + 3 ，求证：数列{b n } 是等比数列，并求出{a n }的通项公式。