(补习)高一(数学必修1)同步练习与综合训练题组含答案(全册)

高一数学必修一综合测试题(含答案)一、选择题（每题5分，共50分）1、已知集合M={0,1,2},N={xx=2a,a∈M}，则集合MN=A、{ }B、{0,1}C、{1,2}D、{0,2}答案：B解析：将M中的元素代入N中得到：N={2,4,8}，与M 的交集为{0,1}，故MN={0,1}。

2、若f(lgx)=x，则f(3)=（）A、lg3B、3C、10D、310答案：C解析：将x=3代入f(lgx)=x中得到f(lg3)=3，又因为lg3=0.477，所以f(0.477)=3，即f(3)=10^0.477=3.03.3、函数f(x)=x−1x−2的定义域为（）A、[1，2)∪(2，+∞）B、(1，+∞）C、[1，2)D、[1，+∞)答案：A解析：由于分母不能为0，所以x-2≠0，即x≠2.又因为对于x<1，分母小于分子，所以x-1<0，即x<1.所以定义域为[1,2)∪(2,+∞)。

4、设a=log13,b=23，则（）.A、a<b<cB、c<b<aC、c<a<bD、b<a<c答案：A解析：a=log13=log33-log32=1/2-log32，b=23=8，c=2^3=8，所以a<b=c。

5、若102x=25，则10−x等于（）A、−15B、51C、150D、0.2答案：B解析：由102x=25可得x=log10(25)/log10(102)=1.3979，所以10^-x=1/10^1.3979=0.1995≈0.2.6、要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为A.t≤−1B.t<−1C.t≤−3D.t≥−3答案：B解析：当x=0时，y=1+t，要使图像不经过第二象限，则1+t>0，即t>-1.又因为g(x)的斜率为正数，所以对于任意的x，g(x)的值都大于1+t，所以t< -1.7、函数y=2x,x≥1x,x<1的图像为（）答案：见下图。

（本文档资料包括高一必修一数学各章节的课后同步练习与答案解析）第一章1．1 1.1.1集合的含义与表示课后练习[A组课后达标]1．已知集合M＝{3，m＋1}，且4∈M，则实数m等于()A．4B．3C．2 D．12．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形3．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．25．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合中，最多含有的元素个数为()A．2个B．3个C．4个D．5个6．设a，b∈R，集合{0，ba，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________。

7．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________。

8．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P ＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为________。

9．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A。

10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值。

[B组课后提升]1．有以下说法：①0与{0}是同一个集合；②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4＜x＜5}是有限集。

其中正确说法是()A．①④B．②C．②③D．以上说法都不对2．已知集合P＝{x|x＝a|a|＋|b|b，a，b为非零常数}，则下列不正确的是()A．－1∈P B．－2∈P C．0∈P D．2∈P3．已知集合M＝{a|a∈N，且65－a∈N}，则M＝________。

第一章集合1集合的含义与表示第1课时集合的含义课时过关·能力提升1给出下列说法:①地球周围的行星能构成一个集合;②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合;③集合A为{1,2,3},集合B为{1,3,2},是不同的集合.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:①是错误的,因为“周围”是个模糊的概念,不满足集合元素的确定性.②是正确的,虽然满足条件的数有无数多个,但任给一个元素都能判断出其是否属于这个集合.③是错误的,因为集合中的元素是无序的.答案:B2已知集合M中的元素满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是()A.-1∉MB.-11∈MC.3k2-1∈MD.-34∉M解析:A错,当k=0时,-1∈M;B错,若3k-1=-11,则k=-∉Z;C正确,因为3k2-1=3k-1,解得k=0或k=1,满足条件;D错,当k=-10时,-34∈M.故选C.答案:C3集合A的元素y满足y=x2+1,集合B的元素(x,y)满足y=x2+1(A,B中x∈R,y∈R).下列选项中元素与集合的关系都正确的是()A.2∈A,且2∈BB.(1,2)∈A,且(1,2)∈BC.2∈A,且(3,10)∈BD.(3,10)∈A,且2∈B答案:C4已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若a∈A,则实数a的值是()A.-3B.0或1C.1D.-1解析:由于a∈A,则a=a-3或a=2a-1.若a=a-3,则有-3=0,不成立;若a=2a-1,则a=1,此时集合A 中的两个元素是-2,1,符合题意.答案:C5已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,则x满足的条件是()A.x≠0B.x≠-1C.x≠0且x≠-1D.x≠0且x≠1解析:由-解得x≠0且x≠-1.故选C.-答案:C6集合A中有3个元素1,2,3,集合B中有2个元素4,5,设集合M中的元素x满足x=a+b,a ∈A,b∈B,则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6解析:因为集合A为1,2,3,集合B为4,5,集合M中的元素满足x=a+b,a∈A,b∈B,所以a+b的值可能为1+4=5,1+5=6,2+4=6,2+5=7,3+4=7,3+5=8,所以集合M中的元素有5,6,7,8,共4个,故选B.答案:B7若已知-5是x2-ax-5=0的根,集合M中的元素为方程x2-4x-a=0的根,则集合M中所有元素之和为.解析:把-5代入方程x2-ax-5=0,得a=-4,将a=-4代入方程x2-4x-a=0得x2-4x+4=0,故集合M中的元素即为2.因此所有元素之和为2.答案:28设a,b为非零实数,则x=的所有值组成的集合中的元素为.解析:当a<0,b<0时,ab>0,则x=-1-1+1=-1;当a<0,b>0时,ab<0,则x=-1+1-1=-1;当a>0,b>0时,ab>0,则x=1+1+1=3;当a>0,b<0时,ab<0,则x=1-1-1=-1.故x=-1或x=3.所以由x的所有值构成的集合中的元素为-1,3.答案:-1,39已知集合A的元素满足条件x=m+n,n,m∈Z.,x2=-,判断x1,x2与集合A之间的关系;(1)设x1=-(2)任取x3,x4∈A,判断x3+x4与集合A之间的关系.=-,∴x1∉A,解(1)∵x1=-∵x2=-=-1+2,∴x2∈A.(2)x3,x4∈A,设x3=m1+n1,x4=m2+n2(m1,n1,m2,n2∈Z).则x3+x4=m1+n1+m2+n2=(m1+m2)+(n1+n2),∵m1,n1,m2,n2∈Z,∴m1+m2,n1+n2∈Z,∴x3+x4∈A.10设集合A的元素为2,3,a2+2a-3,集合B的元素为|a+3|,2.已知5∈A,且5∉B,求a的值.解∵5∈A,∴a2+2a-3=5,解得a=2或a=-4.又5∉B,∴|a+3|≠5,解得a≠2,且a≠-8.∴a=-4.★11已知方程ax2-3x-4=0的解组成的集合为A.(1)若A中有两个元素,求实数a的取值范围.(2)若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.解(1)因为A中有两个元素,所以方程ax2-3x-4=0有两个不等的实数根,所以即a>-且a≠0.所以实数a的取值范围为a>-,且a≠0.(2)当a=0时,由-3x-4=0得x=-;当a≠0时,若关于x的方程ax2-3x-4=0有两个相等的实数根,则Δ=9+16a=0,即a=-;若关于x的方程无实数根,则Δ=9+16a<0,即a<-,故所求的a的取值范围是a≤-或a=0.∈A.★12已知集合A的元素全为实数,且满足当a∈A时,-(1)若2∈A,则A中一定还有哪些元素?(2)0是不是集合A中的元素?请你设计一个实数a∈A,再求出A中的所有元素.(3)根据(1)(2),你能得出什么结论?,计算可得,解(1)当2∈A时,依次代入-=-3∈A,-=-∈A,--∈A,=2∈A,……-结果循环出现,故A中一定还有-3,-.(2)0不是集合A中的元素.若0∈A,则-=1∈A,而此时-没有意义,与条件-∈A矛盾,故0不是集合A中的元素.若a=3,则集合A的元素为3,-2,-.(3)根据(1)(2)可得出如下结论:A中不含0,1,-1;若a∈A,则其负倒数也属于A.第2课时集合的表示课时过关·能力提升1集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是()A.{x|x是不大于9的非负奇数}B.{x|x≤9,x∈N}C.{x|1≤x≤9,x∈Z}D.{x|0≤x≤9,x∈N}解析:B,D只说明集合中的元素是小于等于9的自然数;C只说明集合中的元素是小于等于9的正整数,B,C,D都没指明是奇数,所以只有A正确,故选A.答案:A2已知集合M={x∈N+|-≤x≤},则下列说法中正确的是()A.M是空集B.∈MC.该集合是有限集D.1∉M解析:由已知得M={1},因此M是有限集.答案:C3下列集合中,含义不同于另外三个集合的是()A.{x|x=1}B.{x|x2=1}C.{1}D.{y|(y-1)2=0}答案:B4由方程组--的解组成的集合是()A.(1,1)B.{1}C.{(1,1)}D.{1,1}解析:由--解得方程组的解组成的集合是{(1,1)},故选C.答案:C★5若P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},R={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P,b∈Q,则有()A.a+b∈PB.a+b∈QC.a+b∈RD.a+b不属于P,Q,R中的任何一个解析:由题意知,P为偶数集,Q为奇数集,R是除以4余1的数构成的集合,是奇数的一部分,而a+b是奇数与偶数之和,仍为奇数,故选B.答案:B6下列集合中不是空集的是()A.{x|x<0且x>1}B.{x∈N|x2-2=0}C.{x∈R|x2-x+1=0}D.{(x,y)|x2+y2=0}解析:A选项中集合是空集;B选项中,由x2-2=0得x=± ∉N,所以是空集;C选项中判别式Δ=1-4=-3<0,方程无解,所以是空集;只有D选项不是空集,是集合{(0,0)},故选D.答案:D7下列命题中正确的是(只填序号).①0∈{⌀};②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3},也可表示为{3,2,1};③方程(x-1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{x|2<x<5}可以用列举法表示.解析:①中的{⌀}中的元素为⌀,所以0∉{⌀},故①不正确;由元素的无序性可知②正确;③中的集合不满足互异性,故③不正确;④中的集合不能用列举法表示,故④不正确.答案:②8给出下列说法:①在直角坐标平面内,第一、三象限的点的集合为{(x,y)|xy>0};②方程-+|y+2|=0的解集为{-2,2};③集合{(x,y)|y=1-x}与{x|y=1-x}是同一集合.其中正确序号是.解析:在直角坐标平面内,第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的,且集合中的代表元素为点(x,y),故①正确;方程-+|y+2|=0等价于-即-解为有序实数对(2,-2),即解集为{(2,-2)}或-,故②不正确;集合{(x,y)|y=1-x}的代表元素是(x,y),集合{x|y=1-x}的代表元素是x,一个是实数对,一个是实数,故这两个集合不相同.③不正确,综上所述,只有①正确.答案:①9已知集合A={x|-3<x<3,x∈Z},B={(x,y)|y=x2+1,x∈A},则集合B用列举法表示是.解析:易求集合A={-2,-1,0,1,2},则集合B={(-2,5),(-1,2),(0,1),(1,2),(2,5)}.答案:{(-2,5),(-1,2),(0,1),(1,2),(2,5)}10用列举法表示下列集合:(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=x的所有实数解组成的集合;(3)直线y=2x+1与y轴的交点组成的集合.分析::题目中要求用列举法表示集合,需先辨析集合中元素的特征及满足的性质,再一一列举出满足条件的元素.解(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.(2)方程x2=x的实数解是x=0或x=1,所以方程的实数解组成的集合为{0,1}.(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故直线y=2x+1与y轴的交点组成的集合是{(0,1)}.11若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为“可倒数集”.(1)判断集合A={-1,1,2}是否为可倒数集.(2)试写出一个含3个元素的可倒数集.解(1)由于2的倒数为不在集合A中,故集合A不是可倒数集.(2)若a∈A,则必有∈A,现已知集合A中含有3个元素,故必有一个元素有a=,即a=±1,故可以取集合A=或-或等.★12对于a,b∈N+,现规定:a*b=与的奇偶性相同与的奇偶性不同集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N+}.(1)用列举法表示a,b奇偶性不同时的集合M;(2)当a与b的奇偶性相同时,集合M中共有多少个元素?解(1)当a,b的奇偶性不同时,a*b=a×b=36,则满足条件的(a,b)有(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1),故集合M可表示为M={(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1)}.(2)当a与b的奇偶性相同时,a*b=a+b=36,由于两奇数之和为偶数,两偶数之和仍为偶数,故36=1+35=2+34=3+33=…=17+19=18+18=19+17=…=35+1,所以当a,b的奇偶性相同时,这样的元素共有35个.2集合的基本关系课时过关·能力提升1已知集合A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则()A.A⫋BB.B⫋AC.A=BD.B⊈A解析:由A={x|-1<x<2},而B={x|-1<x<1},作数轴如图,故B⫋A.答案:B2已知集合A={1,2},B={1,2,3,4,5},且A⫋M⊆B.则符合条件的集合M的个数为()A.6B.7C.8D.不确定解析:∵A⫋M,∴M中一定含有A的全部元素1,2,且至少含有一个不属于A的元素.又M⊆B,∴M中除有1,2外,还有3,4,5中的1个,2个或3个,故M的个数即为{3,4,5}的非空子集,有7个.答案:B3集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}的关系用Venn图可表示为()解析:∵M={-1,0,1},N={0,-1},∴N⫋M,故选B.答案:B4若集合A={1,3,x},B={x2,1},且B⊆A,则满足条件的实数x的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:由B⊆A,知x2=3或x2=x,解得x=±或x=0或x=1.当x=1时集合A,B都不满足元素的互异性,故x=1舍去.答案:C5已知集合A={1,2,3,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,xy∈A},则集合B的所有真子集的个数为()A.512B.256C.255D.254答案:C★6设集合M=∈,N=+∈,则()A.M=NB.M⫋NC.M⫌ND.M⊈N解析:∵集合M中,x=(k∈Z),集合N中,x=(k∈Z),∴M中的x表示的奇数倍,N中的x表示的整数倍.∴M⫋N.答案:B7已知集合A=--,B={(x,y)|y=3x+b},若A⊆B,则实数b=.解析:由已知A={(0,2)},因为A⊆B,所以2=3×0+b,解得b=2.答案:28设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},则M与P的关系为.答案:M=P9已知A={x|x2-4=0},B={x|ax-6=0},且B是A的子集.(1)求a的取值集合M;(2)写出集合M的所有非空真子集.解(1)由已知得A={2,-2},∵B⊆A,∴B=⌀或{2}或{-2}.①当B=⌀时,方程ax-6=0无解,得a=0;②当B={2}时,方程ax-6=0的解为x=2,得2a-6=0,所以a=3;③当B={-2}时,方程ax-6=0的解为x=-2,得-2a-6=0,所以a=-3.∴a的取值集合M={0,3,-3}.(2)M={0,3,-3}的非空真子集为{0},{3},{-3},{0,3},{0,-3},{3,-3}.10已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},非空集合C是这样一个集合:其各元素都加2后,就变为A的一个子集;其各元素都减2后,则变为B的一个子集,求集合C.解逆向操作,A中元素减2得0,2,4,6,7,则C中元素必在其中;B中元素加2得3,4,5,7,10,则C中元素必在其中,所以C中元素只能是4或7.所以C={4}或{7}或{4,7}.★11已知集合A={x|0<x-a≤5},B=-.(1)若A⊆B,求实数a的取值范围.(2)若B⊆A,求实数a的取值范围.(3)集合A与B能否相等?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.解A={x|a<x≤a+5},B=-.(1)若A⊆B,则-解得∴0≤a≤1,即所求a的取值范围是0≤a≤1.(2)若B⊆A,则-≥6,或-即a≤-12或∴a≤-12.即所求a的取值范围是a≤-12.(3)若A=B,即{x|a<x≤a+5}=-,∴-即不可能同时成立.∴A≠B.§3集合的基本运算3.1交集与并集课时过关·能力提升1已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中的元素个数为()A.5B.4C.3D.2答案:D2若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为()A.1B.-1C.1或-1D.1或-1或0解析:∵A∪B=A,∴B⊆A.当B=⌀时,m=0;当B={-1}时,m=-1;当B={1}时,m=1.故选D.答案:D3已知集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k∈N+}的关系的Venn图如图,则阴影部分所示的集合的元素共有()A.3个B.2个C.1个D.无穷多个解析:M={x|-1≤x≤3},阴影部分所示的集合为M∩N={1,3}.故阴影部分所示的集合中共有2个元素.答案:B4已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为()A.4B.3C.2D.1解析:联立两集合中的函数关系式由x+y=1得x=1-y,代入x2+y2=1得y2-y=0即y(y-1)=0,解得y=0或y=1,把y=0代入x2+y2=1解得x=1,把y=1代入x2+y2=1解得x=0,所以方程组的解为或有两组解,则A∩B的元素个数为2.故选C.答案:C5已知集合A={1,2,3},B∩A={3},B∪A={1,2,3,4,5},则集合B的子集的个数为()A.6B.7C.8D.9答案:C6设集合A={(x,y)|y=x2-1},B={(x,y)|y=3x-3},则A∩B=.解析:A∩B=--=或={(1,0),(2,3)}.答案:{(1,0),(2,3)}7已知集合A={x|x≤-2,或x>5},B={x|1<x≤m},若A∩B={x|5<x≤7},则m=.解析:将集合A和集合A∩B用数轴表示出来,如图,要使A∩B={x|5<x≤7},则B={x|1<x≤m}={x|1<x≤7}.∴m=7.答案:78某班共有30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.解析:设两者都喜欢的有x人,则只喜欢篮球的有(15-x)人,只喜欢乒乓球的有(10-x)人.故(15-x)+(10-x)+x+8=30,解得x=3,所以15-x=12,即所求人数为12.答案:129已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求满足下列条件的a的值.(1)9∈A∩B;(2){9}=A∩B.解(1)∵9∈A∩B,且9∈B,∴9∈A,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.检验,知a=5或a=-3.(2)∵{9}=A∩B,∴9∈A∩B,∴由(1)知,a=5或a=-3.检验,知a=-3.10已知集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∪B=A,试求实数m的取值范围.分析::由A∪B=A,得B⊆A,则有B=⌀,或B≠⌀,因此对集合B分类讨论.解∵A∪B=A,∴B⊆A.又A={x|-2≤x≤5}≠⌀,∴B=⌀或B≠⌀.当B=⌀时,有m+1>2m-1,∴m<2.当B≠⌀时,如图,由数轴可得解得2≤m≤3.综上可得,实数m的取值范围是{m|m≤3}.★11为完成一项实地测量任务,夏令营的同学们成立了一支测绘队,需要24人参加测量,20人参加计算,16人参加绘图.测绘队的成员中有许多同学是多面手:其中在参加两项工作的人中,有8人既参加了测量又参加了计算,有6人既参加了测量又参加了绘图,有4人既参加了计算又参加了绘图;另有一些人三项工作都参加了.请问这个测绘队至少有多少人?解由题意可得,测量目前有8+6=14人参加,一共需要24人,所以还差10人;计算目前有8+4=12人参加,一共需要20人,所以还差8人;绘图目前有6+4=10人参加,一共需要16人,所以还差6人,若三项都参加的有x(x≤6)人,则只参加测量的有(10-x)人,只参加计算的有(8-x)人,只参加绘图的有(6-x)人,所以总人数就是x+8+6+4+(10-x)+(8-x)+(6-x)=42-2x≥30,当且仅当x=6时等号成立.由以上分析:可知,三项都参加的有6人时,测绘队总人数最少,且最少为30人.答:这个测绘队至少有30人.★12已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,求实数a,m.分析:根据并集、交集的性质转化为B⊆A,C⊆A,而A={1,2},从而转化为B,C中的方程的根的问题,注意运用分类讨论的思想方法.解由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,故A={1,2},因为A∪B=A,所以B⊆A,故B有四种情况:⌀,{1},{2},{1,2}.因为x2-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)],所以必有1∈B,因此a-1=1或a-1=2,解得a=2或a=3.又因为A∩C=C,所以C⊆A,故C有四种情况:⌀,{1},{2},{1,2}.①若C=⌀,则关于x的方程x2-mx+2=0没有实数根,由Δ=m2-8<0,得-2<m<2;②若C={1},则关于x的方程x2-mx+2=0有两个相等的实数根为1,所以很显然不成立;③若C={2},同②,也不成立;④若C={1,2},则解得m=3.综上所述,a=2或a=3;m=3或-2<m<2.3.2全集与补集课时过关·能力提升1已知集合A,B,C为非空集合,M=A∩C,N=B∩C,P=M∪N,则一定有()A.C∩P=CB.C∩P=PC.C∩P=C∪PD.C∩P=⌀答案:B2已知集合U={x|x是小于6的正整数},A={1,2},B∩(∁U A)={4},则∁U(A∪B)=() A.{3,5} B.{3,4}C.{2,3}D.{2,4}解析:U={1,2,3,4,5},∵B∩(∁U A)={4},∴4∈B.∴∁U(A∪B)={3,5}.答案:A3已知全集为U,集合M,N满足M∪N=U,则下列关系中一定正确的是()A.N⊆∁U MB.M∩N=⌀C.∁U M⊆ND.(∁U M)∪(∁U N)=U解析:借助Venn图易知选C.答案:C4已知全集U={1,2,3,4,5},若A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A}.则集合∁U(A∪B)中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:∵A={1,2},B={2,4},∴A∪B={1,2,4}.∴∁U(A∪B)={3,5},共有2个元素.答案:B★5设全集U=R,集合A={x|x≤1,或x≥3},集合B={x|k<x<k+1,k∈R},且B∩(∁U A)≠⌀,则k 的取值范围是()A.k<0或k>2B.2<k<3C.0<k<3D.-1<k<2解析:由题意知,∁U A={x|1<x<3},且k<k+1,故B≠⌀.又B∩(∁U A)≠⌀,结合图形,故k需满足解得0<k<3.答案:C6已知全集U=R,集合A={x|x≥0},B={y|y>1},则∁U A与∁U B的关系是.解析:由全集、补集的概念,得∁U A={x|x<0},∁U B={y|y≤1},显然∁U A⫋∁U B.答案:∁U A⫋∁U B7设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集U=R,且(∁U A)∩B=⌀,则实数m的取值范围为.解析:∵A={x|x≥-m},∴∁U A={x|x<-m},∵B={x|-2<x<4},(∁U A)∩B=⌀,∴-m≤-2,即m≥2,∴m的取值范围是{m|m≥2}.答案:{m|m≥2}8已知U为实数集,集合M={x|0<x<2},N={x|y=-},则M∩(∁U N)=.解析:N={x|x-1≥0}={x|x≥1},∁U N={x|x<1},则M∩(∁U N)={x|0<x<1}.答案:{x|0<x<1}9已知集合A={x|4≤x<6},B={x|3<x<15},求:(1)A∪B;(2)(∁R A)∩B.解(1)A∪B={x|4≤x<6}∪{x|3<x<15}={x|3<x<15}.(2)∵∁R A={x|x<4,或x≥6},∴(∁R A)∩B={x|3<x<4,或6≤x<15}.10已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足(∁R A)∩B={2},A∩(∁R B)={4},求实数a,b的值.解由条件(∁R A)∩B={2}和A∩(∁R B)={4},知2∈B,但2∉A;4∈A,但4∉B.-将x=2和x=4分别代入B,A两集合中的方程得即-解得a=,b=-即为所求.★11已知A={x|x2-2x-8=0},B={x|x2+ax+a2-12=0,a∈R}.若B∪A≠A,求实数a的取值范围.分析:本题主要考查补集思想的应用,解题的关键是从求解问题的反面考虑,采用“正难则反”的解题策略.解设B∪A=A,则B⊆A,又因为A={x|x2-2x-8=0}={-2,4},所以集合B有以下三种情况:①当B=⌀时,Δ=a2-4(a2-12)<0,即a2>16,所以a<-4或a>4;②当B是单元素集时,Δ=a2-4(a2-12)=0,所以a=-4或a=4.若a=-4,则B={2}⊈A;若a=4,则B={-2}⊆A;③当B={-2,4}时,-2,4是关于x的方程x2+ax+a2-12=0的两个根,所以----所以a=-2.综上可得,B∪A=A时,a的取值范围为a<-4或a=-2或a≥4.所以B∪A≠A的实数a的取值范围为-4≤a<4,且a≠-2.第一章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设集合S={x|x≥2},T={x|x≤5},则S∩T=()A.(-∞,5]B.[2,+∞)C.(2,5)D.[2,5]答案:D2已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=()A.⌀B.{2}C.{0}D.{-2}解析:易得B={-1,2},则A∩B={2},故选B.答案:B3设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则∁U A=()A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.⌀解析:由题意得∁U A={3,4,5},故选B.答案:B4已知集合M={1,2,3},N={2,3,4},则()A.M⊆NB.N⊆MC.M∩N={2,3}D.M∪N={1,4}解析:由集合的交集、并集及子集的概念,可知M∩N={2,3}.答案:C5设全集U=R,集合A=-,B={x|x2-x-6=0},则阴影部分所表示的集合是()A.{3}B.{-2}C.{3,-2}D.{⌀}解析:由Venn图可知阴影部分对应的集合为B∩(∁U A),∵集合A=-={3},B={x|x2-x-6=0}={-2,3},∴B∩(∁U A)={-2},故选B.答案:B6设集合A={a,b},集合B={a+1,5},若A∩B={2},则A∪B等于()A.{1,2}B.{1,5}C.{2,5}D.{1,2,5}解析:由题意A∩B={2},可得a=1,b=2,则集合A={1,2},集合B={2,5}.A∪B={1,2}∪{2,5}={1,2,5},故选D.答案:D7已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},则能使A⊇B成立的实数a的取值范围是()A.{a|3<a≤4}B.{a|3≤a≤4}C.{a|3<a<4}D.⌀解析:∵A⊇B,∴a-1≤3,且a+2≥5.∴3≤a≤4.故选B.答案:B8已知集合A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},(∁U B)∩A={9},则A=() A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9}解析:因为A∩B={3},所以3∈A,又因为∁U B∩A={9},所以9∈A,所以选D.除此之外,本题也可以用Venn图的方法帮助理解,Venn图如图.答案:D9已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}解析:∵A∪B={x|x≤0,或x≥1},∴∁U(A∪B)={x|0<x<1}.故选D.答案:D10经统计知,某小区有小汽车的家庭有35家,有电动自行车的家庭有65家,既有小汽车又有电动自行车的家庭有20家,则小汽车和电动自行车至少有一种的家庭数为() A.60 B.80 C.100 D.120解析:∵某小区有小汽车的家庭有35家,有电动自行车的家庭有65家,既有小汽车又有电动自行车的家庭有20家,∴画出Venn图,结合图形知,小汽车和电动自行车至少有一种的家庭数为15+20+45=80,故选B.答案:B11若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为()A.1B.-1C.1或-1D.1或-1或0解析:当m=0时,B=⌀,满足A∪B=A,即m=0;当m≠0时,B=,由A∪B=A,得=1或-1,即m=1或-1.故m=1或-1或0.答案:D12设I={1,2,3,4},A与B是I的子集,若A∩B={1,3},则称(A,B)为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”的个数是(规定(A,B)与(B,A)是两个不同的“理想配集”)()A.4B.8C.9D.16解析:对子集A分类讨论:当A是两元素集{1,3}时,B可以为{1,2,3,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3},共4种结果;当A是三元素集{1,2,3}时,B可以取{1,3,4},{1,3},共2种结果;当A是三元素集{1,3,4}时,B可以为{1,2,3},{1,3},共2种结果;当A是四元素集{1,2,3,4}时,此时B取{1,3},有1种结果.综上所述,共有4+2+2+1=9种结果,故选C.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案:填在题中的横线上)13若2∉{x|x-a<0},则实数a的取值集合是.解析:由题意知,{x|x-a<0}={x|x<a},∵2∉{x|x-a<0},∴a≤2,∴实数a的取值集合是{a|a≤2}.答案:{a|a≤2}14已知集合M={2},N={x|2x-a=0},且M∩N=N,则实数a=.解析:N=,∵M∩N=N,∴N⊆M.∴∈{2},即=2.∴a=4.答案:415已知集合A={x,y},B={2,2y},若A=B,则x+y=.解析:当x=2,y=2y时,x=2,y=0,则x+y=2;当x=2y,y=2时,x=4,y=2,则x+y=6.答案:2或616已知集合A={x|x≤-2,或x>1},B={x|2a-3<x<a+1},若A∪B=R,则a的取值范围是.解析:∵集合A={x|x≤-2,或x>1},B={x|2a-3<x<a+1},且A∪B=R,--∴解得0<a≤,∴a的范围是0<a≤.答案:0<a≤三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)设A={x∈Z|-6≤x≤6},B={1,2,3},C={3,4,5,6}.求(1)A∪(B∩C);(2)A∩[∁A(B∪C)].解(1)由题意知,A={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}.∵B∩C={3},∴A∪(B∩C)={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}.(2)∵B∪C={1,2,3,4,5,6},∴∁A(B∪C)={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0},∴A∩[∁A(B∪C)]={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0}.18(12分)已知集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.(1)求A∩B;(2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值范围.解(1)由题意知B={x|x≥2},∴A∩B={x|2≤x<3}.(2)由题意知C=-,∵B∪C=C,∴B⊆C.∴-<2,∴a>-4.19(12分)设全集U=R,A={x∈R|a≤x≤2},B={x∈R|2x+1≤x+3,且3x≥2}.(1)若B⊆A,求实数a的取值范围;(2)若a=1,求A∪B,(∁U A)∩B.解(1)B=且,又B⊆A,∴a≤.(2)若a=1,则A={x|1≤x≤2},此时A∪B={x|1≤x≤2}∪=.由∁U A={x|x<1,或x>2},得(∁U A)∩B={x|x<1,或x>2}∩.20(12分)已知全集U=R,集合A={x|2x+a>0},B={x|x<-1,或x>3}.(1)当a=2时,求集合A∩B,A∪B;(2)若A∩(∁U B)=⌀,求实数a的取值范围.解由2x+a>0得x>-,即A=-.(1)当a=2时,A={x|x>-1}.∴A∩B={x|x>3}.A∪B={x|x≠-1}.(2)∵B={x|x<-1,或x>3},∴∁U B={x|-1≤x≤3}.又A∩(∁U B)=⌀,∴-≥3,解得a≤-6.∴实数a的取值范围是(-∞,-6].21(12分)已知集合A={x|2m+1≤x≤3m-5},B={x|x<-1,或x>16}.(1)若A∩B=⌀,求实数m的取值范围;(2)若A⊆(A∩B),求实数m的取值范围.解(1)∵A={x|2m+1≤x≤3m-5},B={x|x<-1,或x>16},若A∩B=⌀, 则当A=⌀时,符合题意,此时2m+1>3m-5,所以m<6.当A≠⌀时,---所以6≤m≤7.综上所述,m≤7.(2)∵A={x|2m+1≤x≤3m-5},B={x|x<-1,或x>16},且A⊆(A∩B), ∴A为空集或A为B的非空子集.则2m+1>3m-5或---或-解得m<6或m>.22(12分)设数集M=,N=-,且M,N都是集合U={x|0≤x≤1}的子集,定义“b-a”为集合{x|a≤x≤b}的“长度”,求集合M∩N的长度的最小值.解在数轴上表示出集合M与N,可知当m=0且n=1,或n-=0且m+=1时,M∩N的“长度”最小.当m=0且n=1时,M∩N=,“长度”为;当m=且n=时,M∩N=,“长度”为.综上,M∩N的“长度”的最小值为.第二章函数§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识2.1函数概念课时过关·能力提升1已知函数f(x)=的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=()-A.{x|x≥-2}B.{x|x<2}C.{x|-2<x<2}D.{x|-2≤x<2}答案:D2函数f(x)=(x∈R)的值域是()A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]解析:由x2+1≥1,得0<≤1,故函数f(x)的值域为(0,1].答案:B3已知函数y=f(x)的定义域为(-1,3),则在同一坐标系中,函数f(x)的图像与直线x=2的交点有()A.0个B.1个C.2个D.0个或多个解析:函数y=f(x)的定义域为(-1,3),则在同一坐标系中,函数f(x)的图像与直线x=2的交点个数有1个,故选B.答案:B4已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则此函数的定义域为()A.RB.{x|x>0}C.{x|0<x<5}D.解析:∵等腰三角形的周长为10,∴-<x<5.-答案:D5已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表,则方程g(f(x))=x的解集为()x 1 2 3A.{1}B.{2}C.{3}D.⌀解析:当x=1时,g(f(1))=g(2)=2,不符合题意;当x=2时,g(f(2))=g(3)=1,不符合题意;当x=3时,g(f(3))=g(1)=3,符合题意.故选C.答案:C★6若函数f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1的定义域和值域都为R,则a的值是()A.a=-1或a=3B.a=-1C.a=3D.a不存在解析:因为函数f(x)的定义域和值域都为R,所以函数f(x)为一次函数,即---解得a=-1.故选B.答案:B7函数y=的定义域是.解析:要使该函数有意义,则x+2≥0,故x≥-2.答案:{x|x≥-2}8已知集合M={x|y=x2+1},集合N={y|y=x2+1},则M∩N=.解析:∵M=R,N={y|y≥1},∴M∩N={y|y≥1}.答案:{y|y≥1}9函数f(x)=(--2)0+-的定义域是.答案:{x|x>1,且x≠5}10已知函数f(x)=.(1)求f(2);(2)求函数f(x)的值域.解(1)f(2)=.(2)f(x)=-=1-,又≠0,∴1-≠1,∴f(x)≠1,故函数f(x)的值域是(-∞,1)∪(1,+∞).11若f{f[f(x)]}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.解设f(x)=ax+b(a≠0),则f[f(x)]=a2x+ab+b,f{f[f(x)]}=a(a2x+ab+b)+b=a3x+a2b+ab+b,所以解得则f(x)=3x+2.★12已知函数f(x)=.(1)求f(2)与f,f(3)与f.(2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f的关系吗?并证明你的发现.(3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 016)+f+f+…+f.解(1)∵f(x)=,∴f(2)=,f,f(3)=,f.(2)由(1)中的结果发现f(x)+f=1.证明如下:f(x)+f==1.(3)f(1)=.由(2)知f(2)+f=1,f(3)+f=1,…f(2 016)+f=1,∴原式=…=2 015+.个2.2函数的表示法第1课时函数的三种表示方法课时过关·能力提升1已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:则f(g(1))=()A.2B.1C.3D.不确定解析:由已知得g(1)=3,所以f(g(1))=f(3)=1.答案:B2去年国庆长假期间,某日8时至16时累计参观故宫人数的折线图如图所示,那么在8时~9时,9时~10时,…,15时~16时的八个时段中,入宫人数最多的时段是()A.8时~9时B.11时~12时C.13时~14时D.15时~16时解析:结合函数图像可知,在8时~9时,9时~10时,…,15时~16时的八个时段中,图像变化最快的,增加得最快的是11时~12时之间,故选B.答案:B,则当x≠0,且x≠1时,f(x)=()3若f-A. B.-C.D.-1-答案:B4下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是()A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x解析:因为f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x),所以A满足要求;因为f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x),所以B满足要求;因为f(2x)=2x+1≠2(x+1)=2f(x),所以C不满足要求;因为f(2x)=-2x=2f(x),所以D满足要求.故选C.答案:C5若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数y=f(2x-1)的定义域是()A.[0,1]B.[0,2]C.D.[-1,3]解析:因为函数y=f(x)的定义域是[0,2],即0≤x≤2,所以0≤2x-1≤2,解得≤x≤.因此y=f(2x-1)的定义域是.答案:C6已知函数g(x)=1-2x,f[g(x)]=-(x≠0),则f(0)等于()A.-3B.-C.D.3解析:令g(x)=1-2x=0,则x=,则f(0)=-=3.故选D.答案:D7函数f(n)对任意实数n满足条件f(n+3)=,若f(1)=6,则f(7)的值为.解析:由f(n+3)=得,f(7)==f(1)=6.答案:6★8若2f(x)+f=2x+(x≠0),则f(2)=.答案:9如图,函数f(x)的图像是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),那么f的值等于.解析:由函数f(x)的图像,知f(1)=2,f(3)=1,则f=f(1)=2.答案:210求下列函数的解析式:(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);(2)已知f(1-x)=-,求f(x).解(1)∵f(x+1)=x2-3x+2=(x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6,∴f(x)=x2-5x+6.(2)令1-x=t,则x=1-t.又1-x2≥0,∴-1≤x≤1,∴0≤1-x≤2,即0≤t≤2.∴f(t)=---(0≤t≤2).∴f(x)=-(0≤x≤2).★11已知函数f(x)=(a,b为常数,且a≠0),满足f(2)=1,且f(x)=x有唯一解,(1)求函数y=f(x)的解析式.(2)求f(f(-3))的值.解(1)∵f(2)=1,∴=1,即2a+b=2.①又f(x)=x有唯一解,即=x有唯一解,∴ax2+(b-1)x=0有两个相等的实数根,∴Δ=(b-1)2=0,∴b=1,代入①得a=,∴f(x)=.=6,(2)由(1)知f(-3)=--故f(f(-3))=f(6)=.★12已知f(x)对任意的实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0)与f(1)的值;(2)求证:f=-f(x);(3)若f(2)=p,f(3)=q(p,q均为常数),求f(36).(1)解令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0;令a=1,b=0,得f(0)=f(1)+f(0),解得f(1)=0.(2)证明令a=,b=x,得f(1)=f+f(x)=0,即f=-f(x).(3)解令a=b=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2p,令a=b=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2q.令a=4,b=9,得f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q.第2课时分段函数课时过关·能力提升1已知f(x)=则f(f(f(-3)))=()A.0B.πC.π+1D.2π解析:因为-3<0,所以f(-3)=0,所以f(f(-3))=f(0)=π,又π>0,所以f(f(f(-3)))=f(π)=π+1.答案:C2函数f(x)=x+的图像是()解析:f(x)=-故选C.答案:C3某城市出租车起步价为10元,最长可租乘3 km(含3 km),以后每1 km为1.6元(不足1 km,按1 km计费),若出租车行驶在不需等待的公路上,则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为()解析:由题意,当0<x≤3时,y=10;当3<x≤4时,y=11.6;当4<x≤5时,y=13.2;……当n-1<x≤n时,y=10+(n-3)×1.6,故选C.答案:C4已知f(x)=则f+f-等于() A.-2 B.4 C.2 D.-4答案:B5已知f(x)=g(x)=3-2x,则f(g(2))=() A.-3 B.-2 C.3 D.-1解析:因为g(x)=3-2x,所以g(2)=3-2×2=-1<0,所以f(g(2))=f(-1)=-1+4=3.答案:C6拟定从甲地到乙地通话m min的话费y(元)满足y=其中[m]是不超过m的最大整数,如[3.74]=3,从甲地到乙地通话5.2 min的话费是()A.3.71元B.4.24元C.4.77元D.7.95元解析:f(5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+2)=4.77.答案:C7若函数f(x)=则f(-3)=.解析:f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=f(1+2)=f(3)=2×3=6.答案:6若f(1-a)=f(1+a),则a的值为.8已知实数a≠0,函数f(x)=--答案:---9已知函数f(x)=(1)求f-,f,f的值;(2)作出函数f(x)的简图;(3)求函数f(x)的值域.分析:给出的函数是分段函数,应注意在不同的自变量取值范围内函数有不同的解析式.(1)根据自变量的值所在的区间,选用相应的关系式求函数值.(2)函数f(x)在不同区间上的关系式都是常见的基本初等函数,因而可利用常见函数的图像完成作图.(3)函数的值域是各段函数值的集合的并集.解函数的定义域为[-1,0)∪[0,1)∪[1,2]=[-1,2].(1)∵-1≤x<0时,f(x)=-x,∴f-=--.∵0≤x<1时,f(x)=x2,∴f.∵1≤x≤2时,f(x)=x,∴f.(2)在同一平面直角坐标系中分段画出函数f(x)的图像,如图.(3)由(2)中函数f(x)的图像可知,函数的值域为[0,2].★10某市范围内住宅电话通话费为前3 min 0.20元,以后每分0.10元(不足3 min按3 min计,以后不足1 min按1 min 计).(1)在直角坐标系内,画出一次通话在6 min内(包括6 min)的通话费y(元)关于通话时间t(min)的函数图像;(2)如果一次通话t min(t>0),写出通话费y(元)关于通话时间t(min)的函数关系式(可用[t]表示不小于t的最小整数).解(1)如图:(2)由(1)知,话费与时间t的关系是分段函数,当0<t≤3时,话费为0.2元;当t>3时,话费应为[0.2+([t]-3)×0.1]元,所以y=-★11已知函数的图像由两条射线及开口向下的抛物线的一部分(包括端点)组成,如图,试求函数的解析式.解设左射线所在直线的解析式为y=kx+b,因为点(1,1),(0,2)在直线上,故由得-所以左射线的解析式为y=-x+2(x<1).同理可得右射线的解析式为y=x-2(x>3).再设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+2,因为点(1,1)在此抛物线上,所以a+2=1,a=-1,所以中间抛物线的解析式为y=-(x-2)2+2=-x2+4x-2,1≤x≤3.综上所述,所求函数的解析式为y=----2.3映射课时过关·能力提升1映射f:A→B,在f作用下A中元素(x,y)与B中元素(x-1,3-y)对应,则与B中元素(0,1)对应的A中元素是()A.(-1,2)B.(0,3)C.(1,2)D.(-1,3)2下列从集合A到集合B的对应中为映射的是()A.A=B=N+,对应关系f:x→y=|x-3|B.A=R,B={0,1},对应关系f:x→y=C.A={x|x>0},B={y|y∈R},对应关系f:x→y=±D.A=Z,B=Q,对应关系f:x→y=答案:B3集合A={a,b},B={-1,0,1},从A到B的映射f:A→B满足f(a)+f(b)=0,那么这样的映射f:A→B的个数为()A.2B.3C.5D.8解析:存在的映射有-1+1=0,1+(-1)=0,0+0=0共3个.答案:B4已知A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b是从A到B的映射,若3和7的原像分别是5和9,则6在f下的像是()A.3B.4C.5D.6解析:因为3和7的原像分别是5和9,所以解得-即f:x→y=x-2,所以当x=6时,y=6-2=4,故选B.答案:B5已知映射f:A→B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像,且对任意的a∈A,在B中和它对应的元素是|a|,则集合B中的元素的个数是() A.4 B.5 C.6 D.7解析:对应关系是f:a→|a|,因此3和-3对应的像是3;-2和2对应的像是2;1和-1对应的像是1;4对应的像是4,所以B={1,2,3,4}.6若A到B的映射f:x→3x-1,B到C的映射g:y→,则A到C的映射h:x→.解析:由题意,得y=3x-1,.--故h:x→.-答案:-7设集合A和B都是自然数集,映射f:A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n+n,则在映射f下,A中的元素对应B中的元素3.解析:对应关系为f:n→2n+n,根据2n+n=3,可得n=1.答案:18设a,b为实数,集合M=,N={a,0},f:x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b的值为.解析:∵f:x→x,∴M=N,∴=0,a=1,b=0.故a+b=1.答案:19设f,g都是由A到A的映射(其中A={1,2,3}),其对应关系如下表:设a=g(f(3)),b=g(g(2)),c=f(g(f(1))).试判断a,b,c的大小关系.解∵a=g(f(3))=g(1)=2,b=g(g(2))=g(1)=2,c=f(g(f(1)))=f(g(2))=f(1)=2,∴a=b=c.10设f:A→B是A到B的一个映射,其中A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,y)→(x-y,x+y).(1)求A中元素(-1,2)的像;(2)求B中元素(-1,2)的原像.解(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素为(-1-2,-1+2),即A中元素(-1,2)的像为(-3,1).(2)设A中元素(x,y)与B中元素(-1,2)对应,则由--解得所以B中元素(-1,2)的原像为.11已知从集合A到集合B={0,1,2,3}的映射f:x→-,试问集合A中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A.解∵f:x→-是从集合A到集合B的映射,∴A中每一个元素在集合B中都有像.令-=0,则该方程无解,故0没有原像.分别令-=1,2,3可得x=±2,±,±.故集合A中的元素最多为6个,即A=---.★12设映射f:A→B,其中A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,y)→(3x-2y+1,4x+3y-1).(1)求A中元素(3,4)的像.(2)求B中元素(5,10)的原像.(3)A中是否存在这样的元素(a,b)使它的像仍是它本身?若有,求出这个元素;反之,说明理由.解(1)因为所以--所以集合A中元素(3,4)的像是(2,23).(2)因为--所以所以集合B中元素(5,10)的原像是(2,1).(3)因为--即--解得所以存在元素使它的像仍是它本身.§3函数的单调性第1课时函数单调性的定义与判断课时过关·能力提升1设函数f(x)在区间(a,b),(c,d)上是增加的,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.不能确定答案:D2若y=f(x)是R上的增函数,且f(2m)<f(9-m),则实数m的取值范围是()A.(3,+∞)B.(-∞,3)C.(-∞,0)D.(-3,3)。

高中数学必修一同步练习1.1.1 集合的含义与表示课后作业· 练习案【基础过关】1．若集合中只含一个元素1，则下列格式正确的是A.1=B.0C.1D.12．集合的另一种表示形式是A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5} 3．下列说法正确的有①集合，用列举法表示为{1,0,l}；②实数集可以表示为或;③方程组的解集为.A.3个B.2个C.1个D.0个4．直角坐标系中，坐标轴上点的集合可表示为A.B.C.D.5．若集合含有两个元素1，2，集合含有两个元素1，，且，相等，则____. 6．已知集合，，且，则为 . 7．设方程的根组成的集合为，若只含有一个元素，求的值. 8．用适当的方法表示下列集合：(1)所有被3整除的整数；(2)满足方程的所有x的值构成的集合B.【能力提升】集合，，，设，则与集合有什么关系？详细答案【基础过关】1．D【解析】元素与集合之间只存在“∈”与“∉”的关系，故1∈A正确.2．B【解析】由x－2＜3得x＜5，又，所以x＝1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1，2，3，4}.3．D【解析】对于①，由于x∈N，而－1∉N，故①错误；对于②，由于“{ }”本身就具有“全部”、“所有”的意思，而且实数集不能表示为{R}，故②错误；对于③，方程组的解集是点集而非数集，故③错误.4．C【解析】坐标轴上的点分为x轴、y轴上的点，在x轴上的点纵坐标为0，在y轴上的点横坐标为0.5．【解析】由于P，Q相等，故，从而.6．(2，5)【解析】∵a∈A且a∈B，∴a是方程组的解，解方程组，得∴a为(2，5).7．A中只含有一个元素，即方程(a∈R)有且只有一个实根或两个相等的实根.(1)当a＝0时，方程的根为；(2)当a≠0时，有△＝4－4a＝0，即a＝1，此时方程的根为.∴a的值为0或1.【备注】误区警示：初学者易自然认为(a∈R)是一元二次方程，而漏掉对a 的讨论，导致漏解.举一反三：若把“若A只含有一个元素”改为“若A含有两个元素”，则结论又如何？由题意知，a≠0，且△＝4－4a＞0，解得a＜1.所以a＜1且a≠0.8．(1){x|x＝3n，n∈Z}；(2)B＝{x｜x＝|x|，x∈R}.【能力提升】∵a∈P，b∈M，c＝a＋b，设，，，，∴，又∴c∈M.1.1.2集合间的基本关系班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．设，，若，则的取值范围是A. B. C. D.2．设集合，，则A.M =NB.M⊆NC.M ND.N3．已知集合，，若，求实数的值.4．满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合的个数是A.8B.7C.6D.55．设集合和，那么与的关系为 .6．含有三个实数的集合,既可表示成,又可表示成，则.7．设集合，，求A∩B.8．已知M={x | x2-2x-3=0},N={x | x2+ax+1=0,a∈R},且N M,求a的取值范围.【能力提升】已知，，是否存在实数，使得对于任意实数，都有?若存在,求出对应的的值；若不存在，说明理由.答案【基础过关】1．D【解析】∵，∴a≥22．D【解析】本题考查集合间的基本关系.,；而；即N.选D.3．由A＝B，可得，解得x＝1.4．C【解析】本题考查子集.由题意得M={1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,6},{1,2,3,6,5}共6个.选C. 5．M＝P【解析】∵xy＞0，∴x，y同号，又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.6．-1【解析】本题考查相等集合.由题意得,所以,即；此时，所以，，且，解得.所以.7．，解得；所以.【解析】本题考查集合的基本运算.8．解：M={x | x 2-2x -3=0}={3,-1};∵N M,当N=∅时，N M 成立,N={x | x 2+ax+1=0},∴a 2-4＜0, ∴-2＜a ＜2;当N≠∅时，∵N M, ∴3∈N 或 -1∈N;当3∈N 时，32-3a+1=0即a= -310,N={3,31},不满足N M;当-1∈N 时，(-1)2-a+1=0即a=2,N={-1},满足N M;∴a 的取值范围是-2<a ≤2.【解析】本题考查集合间的基本关系. 【能力提升】不存在.要使对任意的实数b 都有，则1，2是A 中的元素，又∵A ＝{a －4，a ＋4}，∴或这两个方程组均无解，故这样的实数a 不存在.1.1.3 集合的基本运算班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后作业【基础过关】1．若，，，，则满足上述条件的集合的个数为A.5B.6C.7D.82．已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5}, B={1,3,6},那么集合{2,7,8}是A.A∪BB.A∩BC.(∁U A)∩(∁U B)D.(∁U A)∪(∁U B)3．若集合P={x∈N|-1<x<3},Q={x|x=2a,a∈P},则P∩Q=A.⌀B.{x|-2<x<6}C.{x|-1<x<3}D.{0,2}4．设全集U=R,集合M={x|x>1或x<-1},N={x|0<x<2},则N∩(∁U M)=A.{x|-2≤x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|x<1}5．某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.6．集合A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=2},则A∩B= .7．设集合A={x|0<x-m<3},B={x|x≤0,或x≥3},分别求满足下列条件的实数m.(1)A∩B=⌀;(2)A∪B=B.8．已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若A∩C≠⌀,求a的取值范围.【能力提升】已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-x+2m=0}.(1)若A∪B=A,求a的值;(2)若A∩C=C,求m的取值范围.详细答案【基础过关】1．D2．C【解析】借助Venn图易得{2,7,8}=∁U(A∪B),即为(∁U A)∩(∁U B).3．D【解析】由已知得P={0,1,2},Q={0,2,4},所以P∩Q={0,2}.4．B【解析】∁U M={x|-1≤x≤1},结合数轴可得N∩(∁U M)={x|0<x≤1}.5．12【解析】设两项运动都喜爱的人数为x,依据题意画出Venn图,得到方程15-x+x+10-x+8=30,解得x=3,∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12.6．{(1,-1)}【解析】A∩B={(x,y)|}={(1,-1)}.7．因为A={x|0<x-m<3},所以A={x|m<x<m+3}.(1)当A∩B=⌀时,需,故m=0.即满足A∩B=⌀时,m的值为0.(2)当A∪B=B时,A⊆B,需m≥3,或m+3≤0,得m≥3,或m≤-3.即满足A∪B=B时,m的取值范围为{m|m≥3,或m≤-3}.8．(1)因为A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},所以A∪B={x|2≤x<10}.因为A={x|2≤x<7},所以∁R A={x|x<2,或x≥7},则(∁R A)∩B={x|7≤x<10}.(2)因为A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠⌀,所以a>2.【能力提升】A={1,2}.(1)因为A∪B=A,所以B⊆A,故集合B中至多有两个元素1,2.而方程x2-ax+a-1=0的两根分别为1,a-1,注意到集合中元素的互异性,有①当a-1=2,即a=3时,B={1,2},满足题意;②当a-1=1,即a=2时,B={1},满足题意.综上可知,a=2或a=3.(2)因为A∩C=C,所以C⊆A.①当C=⌀时,方程x2-x+2m=0无实数解,因此其根的判别式Δ=1-8m<0,即m>.②当C={1}(或C={2})时,方程x2-x+2m=0有两个相同的实数解x=1(或x=2),因此其根的判别式Δ=1-8m=0,解得m=,代入方程x2-x+2m=0,解得x=,显然m=不符合要求.③当C={1,2}时,方程x2-x+2m=0有两个不相等的实数解x1=1,x2=2,因此x1+x2=1+2≠1,x1x2=2=2m,显然不符合要求.综上,m>.1.2.1 函数的概念班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．下列函数中,值域为(0,+∞)的是( )A.y=B.y=C.y=D.y=x2+12．下列式子中不能表示函数的是A. B. C. D.3．函数y=+的定义域是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.{-1,1}4．若满足，且，，则等于A. B. C. D.5．若为一确定区间，则的取值范围是 .6．函数的图象是曲线，其中点，，的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则的值等于 .7．求下列函数的定义域.(1)；(2).8．已知.(1)求，的值；(2)求的值. 【能力提升】已知函数f(x)对任意实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0),f(1)的值;(2)若f(2)=p,f(3)=q(p,q为常数),求f(36)的值.答案【基础过关】1．B【解析】y=的值域为[0,+∞),y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=x2+1的值域为[1,+∞).故选B.2．A【解析】一个x对应的y值不唯一.3．D【解析】要使函数式有意义,需满足,解得x=±1,故选D.4．B【解析】f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3f(2)＋2f(3)＝3p＋2q.5．【解析】由题意3a－1＞a，则.【备注】误区警示：本题易忽略区间概念而得出，则的错误.6．2【解析】由图可知f(3)＝1，∴f[f(3)]＝f(1)＝2.【备注】误区警示：本题在求解过程中会因不理解f[f(3)]的含义而出错.7．(1)由已知得∴函数的定义域为.(2)由已知得：∵|x＋2|－1≠0，∴|x＋2|≠1，得x≠－3，x≠－1.∴函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，－1)∪(―1，＋∞).8．(1)，.(2)∵，∴＝＝1＋1＋1＋＋1(共2012个1相加)＝2012.【能力提升】(1)令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0;令a=1,b=0,得f(0)=f(1)+f(0),解得f(1)=0.(2)方法一令a=b=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2p,令a=b=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2q,令a=4,b=9,得f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q.方法二因为36=22×32,所以f(36)=f(22×32)=f(22)+f(32)=f(2×2)+f(3×3)=f(2)+f(2)+f(3)+f(3)=2f(2)+2f(3)=2p+2q .【解析】题设只有一个函数方程,因此考虑特殊值0,1,通过解方程获解.1.2.2函数的表示法班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．已知是反比例函数，当时，，则的函数关系式为A. B. C. D.2．已知函数若,则的取值范围是A. B.C. D.3．已知函数f(x)=,则函数f(x)的图象是( )A. B. C. D.4．已知则A.2B.-2C.D.5．已知函数，且，则 .6．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f[f(5)]= .7．已知，为常数，且，，，方程有两个相等的实数根.求函数的解析式.8．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，试求函数的解析式.【能力提升】下图是一个电子元件在处理数据时的流程图:(1)试确定y与x的函数关系式;(2)求f(-3), f(1)的值;(3)若f(x)=16,求x的值.答案【基础过关】1．C【解析】根据题意可设(k≠0)，∵当x＝2时，y＝1，∴，∴k＝2.2．D【解析】若x∈[－1，1]，则有f(x)＝2∉[-1，1]，∴f(2)＝2；若x∉[－1，1]，则f(x)＝x∉[－1，1]，∴f[f(x)]＝x，此时若f[f(x)]＝2，则有x＝2.【备注】误区警示：本题易将x∉[－1，1]的情况漏掉而错选B.3．A【解析】当x=-1时,y=0,即图象过点(-1,0),D错;当x=0时,y=1,即图象过点(0,1),C错;当x=1时,y=2,即图象过点(1,2),B错.故选A.4．C【解析】∵，∴.【备注】无5．【解析】，∴，∴，解得.6．-【解析】由已知条件f(x+2)=可得f(x+4)==f(x),所以f(5)=f(1)=-5,所以f[f(5)]=f(-5)=f(-1)===-.7．∵，且方程f(x)＝x有两个相等的实数根，∴，∴b＝1，又∵f(2)＝0，∴4a＋2＝0，∴，∴.8．OB所在的直线方程为.当t∈(0，1]时，由x＝t，求得，所以；当t∈(1，2]时，；当t∈(2，＋∞)时，，所以【能力提升】(1)由题意知y=.(2)f(-3)=(-3)2+2=11, f(1)=(1+2)2=9.(3)若x≥1,则(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去);若x<1,则x2+2=16,解得x=(舍去)或x=-.综上可得,x=2或x=-.1.3.1单调性与最大（小）值班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在区间上A.必是增函数B.必是减函数C.先增后减D.无法确定单调性2．下列函数在(0，1)上是增函数的是A. B. C. D.3．函数,在上是A.减函数B.增函数C.先减后增D.无单调性4．下面说法错误的是A.函数的单调区间一定是函数的定义域B.函数的多个单调增区间的并集不一定是其单调增区间C.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象5．已知函数在区间上为减函数,则的取值范围是_____________.6．设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是.7．.已知函数,若.(l)求的值.(2)利用单调性定义证明函数在区间的单调性.8．首届世界低碳经济大会在南昌召开，大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【能力提升】函数f(x)的图象如图所示.(1)说出f(x)的单调区间,以及在每一个单调区间上它是增函数还是减函数;(2)依据图象说明函数的最值情况.答案【基础过关】1．D【解析】因为(a，b)，(c，d)不是两个连续的区间，所以无法确定其单调性.2．B【解析】选项A中y＝1－2x为减函数，C中y＝5为常数函数，D中的定义域为[1，＋∞).3．B【解析】解答本题可先画出函数图象，由图象分析.函数f(x)的图象如图所示，由图结合单调性的定义可知，此函数在R上是增函数.4．A【解析】单调区间是定义域的子集，不一定是定义域，当多个单调区间并起来时，由单调性定义知，不再是单调区间.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，是函数奇偶性判定的要求.奇函数的图象关于原点对称，反之，关于原点对称的图象一定是奇函数的图象.5．(－∞,1]6．(-2,0)∪(2,5]【解析】由图可知在区间(2,5]上f(x)<0,因为奇函数的图象关于原点对称,所以在(-2,0)上也有f(x)<0.7．(1)由2f(2)＝f(3)＋5,得,解得a＝2.(2)由(1)知.任取x1,x2∈(1,＋∞)且x1＜x2,,因为1＜x1＜x2,所以x1－1＞0,x2－1＞0,x2－x1＞0.所以f(x1)－f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2).所以f(x)在(1,＋∞)上是减函数.8．(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为令，可以证明t(x)在(0，400)为减函数，在[400，＋∞)上是增函数，故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.(2)设该单位每月获利为S，则.因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损.【能力提升】(1)由题图可知:函数f(x)的单调增区间为[0,];单调减区间为(-∞,0)和(,+∞).(2)观察图象可知,函数没有最大值和最小值.1.3.2奇偶性班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．设在[-2，-1]上为减函数，最小值为3，且为偶函数，则在[1，2]上A.为减函数，最大值为3B.为减函数，最小值为-3C.为增函数，最大值为-3D.为增函数，最小值为32．已知函数是偶函数，其图象与轴有四个交点，则方程的所有实根之和是A.4B.2C.1D.03．函数是奇函数，图象上有一点为，则图象必过点A. B.C. D.4．设，其中为常数，若，则的值为A.-7B.7C.17D.-175．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，.6．若函数为区间[-1，1]上的奇函数，则；.7．作出函数的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间.8．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，该函数的值域为，求函数的解析式.【能力提升】已知函数f(x)=-x2+x,是否存在实数m,n(m<n),使得当x∈[m,n]时,函数的值域恰为[2m,2n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.答案【基础过关】1．D2．D3．C【解析】奇函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，故有f(－a)＝－f(a).因为函数f(x)是奇函数，故点(a，f(a))关于原点的对称点(－a，－f(a))也在y＝f(x)上，故选C.4．D【解析】∵，∴27a＋3b＝－12，∴f(3)＝27a＋3b－5＝－17.5．－x2－|x|＋16．0 07．当x－2≥0，即x≥2时，；当x－2＜0，即x＜2时，＝.所以这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(如图)，其中，[2，＋∞)是函数的单调增区间；是函数的单调减区间.8．由f(x)为偶函数可知f(x)＝f(－x)，即，可得恒成立，所以a＝c＝0，故.当b＝0时，由题意知不合题意；当b＞0，x∈[1，2]时f(x)单调递增，又f(x)值域为[－2，1]，所以当b＜0时，同理可得所以或.【能力提升】假设存在实数m,n,使得当x∈[m,n]时,y∈[2m,2n],则在[m,n]上函数的最大值为2n.而f(x)=-x2+x=-(x-1)2+在x∈R上的最大值为,∴2n≤,∴n≤.而f(x)在(-∞,1)上是增函数,∴f(x)在[m,n]上是增函数,∴,即.结合m<n≤,解得m=-2,n=0.∴存在实数m=-2,n=0,使得当x∈[-2,0]时,f(x)的值域为[-4,0].2.1.1指数与指数幂的运算班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．化简的结果为A. B. C.- D.2．计算的结果是A. B. C. D.3．设，则有A. B.C. D.4．下列说法中正确的个数是( )(1)49的四次方根为7; (2)=a(a≥0);(3)()5=a5; (4)=(-3.A.1B.2C.3D.45．若10m=2,10n=4,则= . 6．已知x=(2 01-2 01),n∈N*,则(x+)n的值为. 7．化简下列各式:(1)(·)÷;(2)()·(-3)÷().8．求下列各式的值:(1)2; (2)(; (3)+(-π0.【能力提升】已知+=3,求下列各式的值:(1)x+x-1;(2).答案【基础过关】1．A【解析】要使式子有意义，需，故x＜0，所以原式.2．A【解析】本题考查指数运算.注意先算中括号内的部分。

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高中数学必修一综合测试一、选择题1．函数y ＝xln （1－x ）的定义域为（ ) A ．（0,1) B ．［0，1） C ．(0,1］ D ．[0,1］2．已知U ＝｛y|y ＝log 2x ，x>1｝，P ＝错误!，则∁U P ＝（ ) A 。

错误! B.错误! C ．(0，＋∞） D ．(－∞，0)∪错误!3．设a 〉1，函数f （x)＝log a x 在区间[a,2a ］上的最大值与最小值之差为12，则a＝（ ）A.错误! B ．2 C ．2 错误! D ．44．设f(x)＝g(x ）＋5，g(x)为奇函数，且f （－7）＝－17，则f(7)的值等于( ) A ．17 B ．22 C ．27 D ．125．已知函数f （x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点是（ ）A ．－1和－2B ．1和2 C.错误!和错误! D ．－错误!和－错误! 6．下列函数中，既是偶函数又是幂函数的是（ )A ．f(x)＝xB ．f(x ）＝x 2C ．f(x)＝x －3D ．f （x)＝x －1 7．方程2x ＝2－x 的根所在区间是（ ）.A ．(－1，0)B ．(2,3）C ．（1，2）D ．（0,1) 8．若log2 a ＜0，b⎪⎭⎫⎝⎛21＞1,则( ).A ．a ＞1,b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1,b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜09．下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0，函数f （x)满足f （x ＋y)＝f （x)f （y)”的是（ )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．一次函数10．函数y ＝x 416－的值域是（ ）.A ．[0，＋∞）B ．［0，4］C ．[0，4)D ．(0，4）二、填空题(每小题5分,共20分) 11．计算:错误!÷10012-＝__________。

第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1 指数函数3.1.2 指数函数A级基础巩固1．下列一定是指数函数的是()A．形如y＝a x的函数B．y＝x a(a>0，a≠1)C．y＝(|a|＋2)－x D．y＝(a－2)a x答案：C2．下列判断正确的是()A．2.52.5＞2.53B．0.82＜0.83C．π2＜π2D．0.90.3＞0.90.5解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，所以0.90.3＞0.90.5.答案：D3．函数y＝2x＋1的图象是()解析：当x＝0时，y＝2，且函数单调递增，故选A.答案：A4．函数f(x)的图象向右平移一个单位长度所得图象与y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x －1D ．e －x ＋1解析：和y ＝e x 关于y 轴对称的是y ＝e －x ，将其向左移一个单位即y ＝e －x －1.答案：C5．(2019·江西卷)已知函数f (x )＝5x，g (x )＝ax 2－x (a ∈R)．若f (g (1))＝1，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．－1 解析：先求函数值，再解指数方程．因为g (x )＝ax 2－x ，所以g (1)＝a －1.因为f (x )＝5|x |， 所以f (g (1))＝f (a －1)＝5|a －1|＝1.所以|a －1|＝0. 所以a ＝1. 答案：A6．当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( )A ．1＜|a |＜2B ．|a |＜1C ．|a |＞1D ．|a |＞2解析：根据指数函数性质知a 2－1＞1，即a 2＞2. 所以|a |＞ 2. 答案：D7．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＋32x >⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＋321－x ，则实数x 的取值范围________．解析：因为a 2＋a ＋32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋54>1，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＋32x在R 上为增函数，所以x >1－x ⇒x >12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8．函数y ＝a 2x ＋b ＋1(a ＞0，且a ≠1，b ∈R)的图象恒过定点(1，2)，则b 的值为________．解析：因为函数y ＝a 2x ＋b ＋1的图象恒过定点(1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋b ＝0，a 0＋1＝2，即b ＝－2.答案：－29．若函数f (x )＝a ＋14x ＋1为奇函数，则a ＝________．解析：因为f (x )为奇函数且定义域为R ， 所以f (0)＝0，即a ＋140＋1＝0.所以a ＝－12.答案：－1210．求函数y ＝32x －1－19的定义域为________． 解析：要使函数有意义，则x 应满足32x －1－19≥0， 即32x －1≥3－2.因为函数y ＝3x 是增函数， 所以2x －1≥－2，即x ≥－12.故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞11．求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋2(0≤x ≤3)的值域．解：令t ＝x 2－2x ＋2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t，又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， 因为0≤x ≤3，所以当x ＝1时，t min ＝1，当x ＝3时，t max ＝5.故1≤t ≤5，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫125≤y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫121.故所求函数的值域⎣⎢⎡⎦⎥⎤132，12.12．已知函数f (x )＝1＋22x －1.(1)求函数f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )在(－∞，0)上为减函数． (1)解：f (x )＝1＋22x －1，因为2x －1≠0，所以x ≠0.所以函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}． (2)证明：任意设x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1＜x 2. f (x 1)－f (x 2)＝22x 1－1－22x 2－1＝2（2x 2－2x 1）（2x 1－1）（2x 2－1）.因为x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1＜x 2， 所以2x 2＞2x 1且2x 1＜1，2x 2＜1. 所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)． 所以函数f (x )在(－∞，0)上为减函数．B 级 能力提升13．函数y ＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )解析：函数y ＝a x －1a 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，当a >1时，1－1a ∈(0，1)且为增函数，排除A ，B ；当0<a <1时，1－1a <0且y ＝a x －1a 为减函数，排除C.答案：D14．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a ＞0，且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2 B.154 C.174D ．a 2解析：因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 所以由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2.①所以得f (－x )＋g (－x )＝－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2.② ①＋②，得g (x )＝2， ①－②，得f (x )＝a x －a －x .又g (2)＝a ，所以a ＝2.所以f (x )＝2x －2－x . 所以f (2)＝22－2－2＝154.答案：B15．若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ，x ＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0，则不等式f (x )≥13的解集是________．解析：(1)当x ≥0时，由f (x )≥13得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥13，所以0≤x ≤1.(2)当x ＜0时，不等式1x ≥13明显不成立，综上可知不等式f (x )≥13的解集是{x |0≤x ≤1}．答案：{x |0≤x ≤1}16．若函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．解析：当a >1时，有a 2＝4，a －1＝m ⇒a ＝2，m ＝12，但此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，则a －1＝4，a 2＝m ⇒a ＝14，m ＝116，适合题意．答案：1417．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1时，求函数f (x )的单调增区间； (2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 由于g (x )在(－2，＋∞)上递减，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数， 所以f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1；因此必有⎩⎨⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.故当f (x )有最大值3时，a 的值为1.18．一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过0.08 mg/mL ，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶(精确到1小时)?解：1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%)mg/mL ，…，x 小时后其酒精含量为0.3(1－50%)x mg/mL ，由题意知0.3(1－50%)x≤0.08，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤415.采用估算法，x ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12＞415.x ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14＝416＜415.由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以满足要求的x 的最小整数为2.故至少要过2小时驾驶员才能驾驶.。

第1章集合1.2 子集、全集、补集A级基础巩固1．下列集合中，不是集合{0，1}的真子集的是( )A．∅ B．{0} C．{1} D．{0，1}解析：任何一个集合是它本身的子集，但不是它本身的真子集．答案：D2．(2014·浙江卷)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝( )A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5}解析：因为A＝{x∈N|x≤－5或x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x＜5}，故∁U A＝{2}．答案：B3．若集合A＝{a，b，c}，则满足B⊆A的集合B的个数是( ) A．1 B．2 C．7 D．8解析：把集合A的子集依次列出，可知共有8个．答案：D4．(2014·湖北卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁U A＝( )A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{1，3，5，6}，所以∁U A＝{2，4，7}．答案：C5．已知M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则能表示M，N之间关系的Venn图是( )解析：M＝{－1，0，1}，N＝{0，－1}，所以N M.答案：C6．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a满足( )A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4解析：由A B，结合数轴，得a≥4.答案：D7．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________________．解析：集合A和B的数轴表示如图所示．由数轴可知：∁A B＝{x|0≤x＜2或x＝5}．答案：{x|0≤x＜2或x＝5}8．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，则实数a的值为________．解析：由A⊇B，得a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a ＝－1或a＝1，结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2.答案：－1或29．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁U A与∁U B 的包含关系是________．解析：因为∁U A＝{x|x＜0}，∁U B＝{y|y＜1}＝{x|x＜1}，所以∁U A∁U B.答案：∁U A∁U B10．集合A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|a＋1≤x<4a＋1}，若B A，则实数a的取值范围是________．解析：分B＝∅和B≠∅两种情况．答案：{a|a≤1}11．已知∅{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．解析：因为∅{x |x 2－x ＋a ＝0}， 所以方程x 2－x ＋a ＝0有实根． 则Δ＝1－4a ≥0，所以a ≤14.答案：a ≤1412．已知集合A ＝{－2}，B ＝{x |ax ＋1＝0，a ∈R}，B ⊆A ，求a 的值．解：因为B ⊆A ，A ≠∅，所以B ＝∅或B ≠∅. 当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ，所以－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12.综上所述，a ＝0或a ＝12.B 级 能力提升13．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：因为A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，所以C 中必须含有1，2，即求{3，4}的子集的个数，为22＝4.答案：D14．已知：A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，定义某种运算：A*B＝{x|x ＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中最大的元素是________，集合A*B 的所有子集的个数为________．解析：A*B＝{2，3，4，5}，故最大元素为5，其子集个数为24＝16.答案：5 1615．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}．若全集U＝R，且A⊆(∁U B)，则a的取值范围是________．解析：因为A＝{x|－4≤x≤－2}，B＝{x|x≥a}，U＝R，所以∁U B＝{x|x＜a}．要使A⊆∁U B，只需a＞－2(如图所示)．答案：{a|a＞－2}16．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．解：①若B＝∅，则应有m＋1>2m－1，即m<2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，⇒2≤m ≤3.综上即得m 的取值范围是{m |m ≤3}．17．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若B A ，求a 的值．解：A ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1，3}， 若a ＝0，则B ＝∅，满足B A .若a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a .由B A ，可知1a ＝－1或1a＝3，即a ＝－1或a ＝13.综上可知a 的值为0，－1，13.18．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－1}，B ＝{x |2a ＜x ＜a ＋3}，且B ⊆∁R A ，求a 的取值范围．解：由题意得∁R A ＝{x |x ≥－1}．(1)若B ＝∅，则a ＋3≤2a ，即a ≥3，满足B ⊆∁R A . (2)若B ≠∅，则由B ⊆∁R A ，得2a ≥－1且2a ＜a ＋3，即－12≤a ＜3.综上可得a ≥－12.。

第一章 集合与函数概念 1.1.1（1）集合的含义与表示1．下列几组对象可以构成集合的是( )．A ．充分接近π的实数的全体B ．善良的人C ．某校高一所有聪明的同学D ．某单位所有身高在1.7 m 以上的人2．下面有四个语句：①集合N *中最小的数是0；②－a ∉N ，则a ∈N ；③a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值是2；④x 2＋1＝2x 的解集中含有2个元素． 其中正确语句的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．下列所给关系正确的个数是( )．①π∈R ； ②3∉Q ； ③0∈N *； ④|－4|∉N *.A ．1B ．2C ．3D ．44．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )．A ．0∉M B ．2∈M C ．－4∉M D ．4∈M5．满足“a ∈A 且4－a ∈A ”，a ∈N 且4－a ∈N 的有且只有2个元素的集合A 的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．36．设集合M 中的元素为平行四边形，p 表示某个矩形，q 表示某个梯形，则p ________M ，q ________M .7．已知集合A 中只含有1，a 2两个元素，则实数a 不能取的值为________．8．集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1，若t ∈A ，则t 的值为________．9．以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．10．设1,0，x 三个元素构成集合A ，若x 2∈A ，求实数x 的值．11．已知集合M 中含有三个元素2，a ，b ，集合N 中含有三个元素2a,2，b 2，且M ＝N ，求a ，b 的值．12．(能力提升)设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？1.1.1（2）集合的含义与表示1．下列集合表示法正确的是( )．A ．{1,2,2}B ．{全体实数}C ．{有理数}D ．{祖国的大河} 2．集合M ＝{(x ，y )|xy >0，x ∈R ，y ∈R }是指( )．A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第一、三象限内的点集D ．第二、四象限内的点集 3．下列语句：①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x －1)2(x －2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}； ④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． 正确的是( )．A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．以上语句都不对 4．直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合为( )．A ．{0,1}B ．{(0,1)}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，05．集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A 、B 中x ∈R ，y ∈R )．选项中元素与集合的关系都正确的是( )．A ．2∈A ，且2∈B B ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈BC ．2∈A ，且(3,10)∈BD ．(3,10)∈A ，且2∈B 6．集合A ＝{a ，b ，(a ，b )}含有________个元素．7．用列举法表示集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈Z ，86－x ∈N ＝________.8．已知集合{－1,0,1}与集合{0，a ，b }相等，则a 2 010＋b 2 011的值等于________．9．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2＋ax ＋3＝0}中所有元素之和为________．10．用另一种方法表示下列集合．(1){绝对值不大于2的整数}；(2){能被3整除，且小于10的正数}；(3){x |x ＝|x |，x <5且x ∈Z }；(4){(x ，y )|x ＋y ＝6，x ∈N *，y ∈N *}；(5){－3，－1,1,3,5}．11．用适当的方法表示下列对象构成的集合． (1)绝对值不大于3的整数；(2)平面直角坐标系中不在第一、三象限内的点； (3)方程2x ＋1＋|y －2|＝0的解．12．(能力提升)已知集合M ＝{0,2,4}，定义集合P ＝{x |x ＝ab ，a ∈M ，b ∈M }，求集合P .1.1.2 集合间的基本关系1．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集；④若∅A ，则A ≠∅. 其中正确的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．如果A ＝{x |x >－1}，那么正确的结论是( )．A ．0⊆AB ．{0}AC ．{0}∈AD ．∅∈A3．集合A ＝{x |0≤x <3且x ∈Z }的真子集的个数是( )．A ．5B ．6C ．7D ．84．下列关系中正确的是________．①∅∈{0}；②∅{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．5．集合U 、S 、T 、F 的关系如图所示，下列关系错误的有________．①S U ；②F T ；③S T ；④S F ；⑤S F ；⑥F U .6．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，试写出A 的所有子集．7．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k3，k ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k6，k ∈Z ，则( )．A ．AB B ．B AC ．A ＝BD ．A 与B 关系不确定8．满足{a }⊆M {a ，b ，c ，d }的集合M 共有( )．A ．6个B ．7个C ．8个D ．15个9．设A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，若B A ，则a 的值为________．10．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，集合Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，那么a 的取值是________．11．已知M ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}，N ＝{－2,4a －3,3a －1}，若M ＝N ，求实数a 的值．12．(能力提升)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)若x ∈Z ，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，若没有元素使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．1.1.3（1）集合的基本运算（交集与并集）1．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x <－5或x >5}，则M ∪N 等于( )．A ．{x |x <－5或x >－3}B ．{x |－5<x <5}C ．{x |－3<x <5}D ．{x |x <－3或x >5}2．满足条件M ∪{1}＝{1,2,3}的集合M 的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．43．设集合M ＝{m ∈Z |－3<m <2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N 等于( )．A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}4．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是( )．A．1 B．2 C．3 D．45．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{x|y＝x－1}，则A∩B＝()．A．{－2} B．{(－2，－3)}C．∅D．{－3}6．满足{0,1}∪A＝{0,1,2}的所有集合A是________．7．若集合P＝{x|x2＝1}，集合M＝{x|x2－2x－3＝0}，则P∩M＝________.8．设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B＝________.9．集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∩B＝{1}，则a＝________.10．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.11．若A∩B＝A，A∪C＝C，B＝{0,1,2}，C＝{0,2,4}，写出满足上述条件的所有集合A. 12．(能力提升)设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．1.1.3（2）集合的基本运算（补集及综合运算）1．设全集U＝R，A＝{x|0≤x≤6}，则∁R A＝( )．A．{0,1,2,3,4,5,6} B．{x|x<0或x>6}C．{x|0<x<6} D．{x|x≤0或x≥6}2．已知全集U＝{2,5,8}，且∁U A＝{2}，则集合A的真子集个数为( )．A．3 B．4 C．5 D．63．若A为全体正实数的集合，B＝{－2，－1,1,2}，则下列结论中正确的是( )．A．A∩B＝{－2，－1} B．(∁R A)∪B＝{－2，－1,1}C．A∪B＝{1,2} D．(∁R A)∩B＝{－2，－1}4．在如图中，用阴影表示出集合(∁U A)∩(∁U B)．5．已知U 为全集，集合M 、N 是U 的子集，若M ∩N ＝N ，则( )．A ．(∁U M )⊇(∁U N )B ．M ⊆(∁U N )C ．(∁U M )⊆(∁U N )D ．M ⊇(∁U N )6．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )．A ．a ≤2 B．a <1 C ．a ≥2 D．a >27．已知集合A ＝{3,4，m }，集合B ＝{3,4}，若∁A B ＝{5}，则实数m ＝________.8．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|0<x <10}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝________.9．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________.10．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ≥1}，则∁U A 与∁U B 的包含关系是________．11．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，(1)求A ∩B ；(2)求(∁U B )∪P ；(3)求(A ∩B )∩(∁U P )．12．(能力提升)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |4x ＋p <0}，且B ⊆∁U A ，求实数p 的取值范围．1.2.1函数的概念1．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( )．A ．x ＝y 2＋1B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( )．A ．{x |x ≥0} B．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1} 3．与y ＝|x |为相等函数的是( )．A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x x >0－x x <0D ．y ＝3x 34．给出下列函数：①y ＝x 2－x ＋2，x >0；②y ＝x 2－x ，x ∈R ；③y ＝t 2－t ＋2，t ∈R ；④y ＝t 2－t ＋2，t >0.其中与函数y ＝x 2－x ＋2，x ∈R 是相等函数的是________．5．如果函数f ：A →B ，其中A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a ∈A ，在B 中都有唯一确定的|a |和它对应，则函数的值域为________．6．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋5，f (a )＝10，求a 的值．7．下列各组函数表示相等函数的是( )．A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z8．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )．A ．1B ．－1 C.35 D ．－359．y ＝x ＋4x ＋2的定义域为________．10．集合{x |－1≤x <0或1<x ≤2}用区间表示为________．11．求函数y ＝x ＋26－2x －1的定义域，并用区间表示．12．(能力提升)若函数f (x )的定义域为[－2,1]，求g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域．1.2.2（1）函数的表示法1．若g (x ＋2)＝2x ＋3，g (3)的值是( )． A ．9 B ．7 C ．5 D ．32．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为( )．A ．y ＝12xB ．y ＝24xC ．y ＝28xD ．y ＝216x3．下列图形中，不可能作为函数y ＝f (x )图象的是( )．4．已知f (2x ＋1)＝3x －2且f (a )＝4，则a 的值为________． 5．已知f (x )与g (x )分别由下表给出那么f (g (3))＝________.6．已知函数f (x )是二次函数，且它的图象过点(0,2)，f (3)＝14，f (－2)＝8＋52，求f (x )的解x 1 2 3 4 g (x ) 3 1 4 2x 1 2 3 4 f (x ) 4 3 2 1析式．7．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( )． A.B.C.D.8．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( )．A ．f (x )＝3x ＋2B ．f (x )＝3x ＋1C ．f (x )＝3x －1D ．f (x )＝3x ＋4 9．下列图形中，可以是函数y ＝f (x )图象的是________．11．作出下列函数的图象：(1)f (x )＝x ＋x 0；(2)f (x )＝1－x (x ∈Z ，且－2≤x ≤2)．12．(能力提升)已知函数f (x )对任意实数a 、b ，都有f (ab )＝f (a )＋f (b )成立． (1)求f (0)与f (1)的值；(2)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )；(3)若f (2)＝p ，f (3)＝q (p ，q 均为常数)，求f (36)的值．1.2.2.（2）函数的表示法（分段函数及映射）1．下列对应不是映射的是( )．2．以下几个论断：①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射； ②函数y ＝x －1，x ∈Z 且x ∈(－3,3]的图象是一条线段； ③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； ④若D 1、D 2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D 1∩D 2＝∅. 其中正确的论断有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ba ≥b ，a a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是( )．A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞) D．(1，＋∞)4．设集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，则下列的对应不表示从P 到Q 的映射的是( )．A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝xx 非负数 非正数 y 1 －1 x 奇数 0 偶数y 1 0 －1 x 有理数 无理数 y 1 －1 x 自然数 整数 有理数y 1 0 －15．下列图形是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x <0x －1，x ≥0的图象的是________．6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，x 2，x ≥0，若f (x )＝16，则x 的值为________．7．作出函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x0<x <1，xx ≥1的图象，并求其值域．8．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )．9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2 x ≤2，2x x >2，若f (x 0)＝8，则x 0＝________.10．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，点(x ，y )在映射f ：A →B 的作用下对应的点是(x －y ，x ＋y )，则B 中点(3,2)对应的A 中点的坐标为________．11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋4x ≥0，x x －4 x <0，若f (1)＋f (a ＋1)＝5，求a 的值．12．(能力提升)在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v (公里/小时)的平方与车身长S (米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d 关于v 的函数关系式(其中S 为常数)．1.3.1（1）函数的单调性1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( )．A ．[0，＋∞)B．(－∞，0]C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞) 2．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f a －f ba －b>0，则必有( )．A ．函数f (x )先增后减B ．函数f (x )先减后增C ．函数f (x )是R 上的增函数D ．函数f (x )是R 上的减函数 3．下列说法中正确的有( )．①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m 的取值范围是________．5．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为________．6．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)<f (1－3x )，求x 的取值范围．7．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )．A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性8．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)9．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________． 10．已知函数y ＝8x 2＋ax ＋5在[1，＋∞)上递增，那么a 的取值范围是________．11．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，求实数a 的取值范围．12．(能力提升)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；(2)试证明函数y ＝f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．1.3.1（2）函数的最大（小）值1．函数y ＝f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )．A ．f (－2)，0B ．0,2C ．f (－2)，2D ．f (2)，22．函数y ＝1x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )． A.14B ．－1C ．4D ．－4 3．函数f (x )＝x 2＋3x ＋2在区间(－5,5)上的最大、最小值分别为( )．A ．42,12B ．42，－14C ．12，－14D ．无最大值，最小值为－144．函数y ＝2x 2＋1，x ∈N *的最小值为________．5．若函数y ＝k x(k >0)在[2,4]上的最小值为5，则k 的值为________． 6．画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x，x ∈－∞，0，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞的图象，并写出函数的单调区间，函数最小值．7．函数y ＝2x在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是( )．A ．1，12B.12，1 C.12，14D.14，128．函数f (x )＝11－x 1－x的最大值是( )．A.45B.54C.34D.439．已知函数y *f (x )是(0，＋∞)上的减函数，则f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系是________．10．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．11．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费60元．(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？12．(能力提升)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．1.3.2函数的奇偶性1. 已知y ＝f (x )是偶函数，且f (4)＝5，那么f (4)＋f (－4)的值为( )． A ．5 B ．10 C ．8 D ．不确定2．对于定义域是R 的任意奇函数y ＝f (x )，都有( )．A ．f (x )－f (－x )>0B ．f (x )－f (－x )≤0C ．f (x )·f (－x )≤0 D．f (x )·f (－x )>03．已知函数f (x )＝1x2(x ≠0)，则这个函数( )．A ．是奇函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数4．若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．25．奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必定经过点( )．A ．(a ，f (－a ))B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a )) D.⎝⎛⎭⎪⎫a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a6．已知函数y ＝f (x )为奇函数，若f (3)－f (2)＝1，则f (－2)－f (－3)＝________.7．如果定义在区间[2－a,4]上的函数y ＝f (x )为偶函数，那么a ＝________.8．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a 的值为________．9．若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)、f (1)、f (－2)从小到大的顺序是________．10．如图是偶函数y ＝f (x )在x ≥0时的图象，请作出y ＝f (x )在x <0时的图象．11．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝2x －1＋1－2x ；(2)f (x )＝x 4＋x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋20－x 2－2x >0，x ＝0，x <0；(4)f (x )＝x 3－x 2x －1.12．(能力提升)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，求f (6)的值．章末质量评估一、选择题1．如果集合A ＝{x |x ≤3}，a ＝2，那么( )．A ．a ∉AB ．{a }AC ．{a }∈AD ．a ⊆A2．函数y ＝2x ＋1＋3－4x 的定义域为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)3．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x >4}，那么集合A ∩(∁U B )等于 A ．{x |－2≤x <4} B ．{x |x ≤3或x ≥4}C．{x |－2≤x <－1} D ．{x |－1≤x ≤3} 4．若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( )．A ．f (x )＝9x ＋8B ．f (x )＝3x ＋2C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4 5．设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，满足A B ，则实数a 的取值范围是( )．A ．{a |a ≥2} B．{a |a ≤1}C．{a |a ≥1} D．{a |a ≤2}6．如果奇函数y ＝f (x )在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么y ＝f (x )在区间 [－5，－1]上是( )．A ．增函数且最小值为3B ．增函数且最大值为3C ．减函数且最小值为－3D ．减函数且最大值为－37．设函数f (x )＝1＋x21－x2，则有( )．A ．f (x )是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )B ．f (x )是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )C ．f (x )是偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )D ．f (x )是偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x ) 8．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表(从上到下)：表 1 映射f 的对应法则表2 映射g 的对应法则则与f [g (1)]相同的是( )．A ．g [f (1)]B ．g [f (2)]C ．g [f (3)]D ．g [f (4)]9．设集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，若对于函数y ＝f (x )，其定义域为A ，值域为B ，则这个函数的图象可能是( )．10．若函数y ＝f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f (3)＝0，则f x ＋f －x 2x<0的解集为( )．A ．(－3,3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3,0)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3) 二、填空题11．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值________．12．用列举法表示集合：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x ＋1∈Z ，x ∈Z ＝________. 13．函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋1，则当x <0时，f (x )＝________.14．某城市出租车按如下方法收费：起步价8元，可行3 k m(含3 k m)，3 k m 后到10 k m(含10 k m)每走1 k m 加价1.5元，10 k m 后每走1 k m 加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了20 k m ，他应交费________元．三、解答题，（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(10分)设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}．原象 1 2 3 4 象 3 4 2 1 原象 1 2 3 4 象 4 3 1 2(1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )； (3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集．16．已知y ＝f (x )为二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x )的表达式．17．已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．18．某工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂价是60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式．19已知函数f (x )对任意x 、y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2. (1)判断函数f (x )的奇偶性．(2)当x ∈[－3,3]时，函数f (x )是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由．2.1.1指数与指数幂的运算（1）1. 若242x x =-，则x 的取值范围是（ ）A.0x >B.0x <C.0x ≥D.0x ≤2．计算20032004(32)(32)+⋅-的值是（ ） A.1 B.32- C.32+ D.23- 3．化简：()⎪⎭⎫⎝⎛<+-2391246322b a bab a 的结果是（ ）A.23a b -B.32b a -C. (23)a b ±-D.32ba - 4下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2； ③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中正确的是( ) A ．①③④ B ．②③④ C ．②③ D ．③④5．求值（1）33(2)-=；（22(2)-=；（344(32)-=．6．当810x <<22(8)(10)x x --= ______． 70(52)9454552+-=-． 8726726+-．9化简：1212--+-+x x x x ） (12)x <<．10．化简：24334(1)(1)(1)x x x -+--1132343(1)(1)8x x ++ 12x y x y y x++．2.1.1指数与指数幂的运算（2）１．下列运算中，正确的是（ ）A.5552a a a ⋅=B.56a a a +=C.5525a a a ⋅= D.5315()a a -=-２．下列根式与分数指数幂的互化中．正确的是（ ）A.12()(0)x x =->13(0)y y =<C.340)xx -=>D.130)x x -=≠3．式子a ） A.111144a b B.111142a b C.114a D.114b4． 3216842111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)222222++++++的值等于（ ） A.64112- B.63122- C.651122- D.32314(1)2-5．化简：（1）131121373222[()()()]ab ab b ---⋅⋅⋅=．（2）21131133344()()x y z x y z ---⋅⋅⋅⋅⋅=．（3)20a >=．6．若103,104x y==，则10x y-=． 7.计算：π0＋2－2×21412⎪⎭⎫⎝⎛＝________. 8.已知3a ＝2,3b ＝15，则32a －b ＝________.9．求值： 341681⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12100-， 314-⎛⎫ ⎪⎝⎭10．已知0,0a b >>，化简：11112244()()a b a b -÷-11．化简求值： (1)()31064.0-－(－18)0＋4316＋2125.0；(2)a －1＋b －1(ab )－1(a ，b ≠0)．12．(能力提升)化简1111124242(1)(1)(1)x x x x x x -+++-+．13．(能力提升)已知a ＋a －1＝5，求下列各式的值： (1)a 2＋a －2；(2)2121--aa .2.1.2 指数函数及其性质（1）1．函数2(232)xy a a a =-+是指数函数，则a 的取值范围是（ ） A.0,1a a >≠ B.1a = C.12a = D.1a =或12a = 2．函数211327x y -=-） A.(2,)-+∞ B.[1,)+∞ C.(,1]-∞- D.(,2)-∞-3．函数f (x )＝3x -3(1<x ≤5)的值域是( )A ．(0，＋∞) B．(0,9)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤19，9D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，27 4．若函数y ＝(1－2a )x是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B ．(－∞，0)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 5． 若221(2)(2)xxa a a a -++>++，则x 的范围为．6已知函数()f x 满足：对任意的12x x <，都有12()()f x f x <，且有1212()()()f x x f x f x +=⋅，则满足上述条件的一个函数是．7．将三个数10.20.7321.5,1.3,()3-按从小到大的顺序排列是8．（1）函数15x y -=（2）函数15x y =-的定义域是；值域是．9已知指数函数y ＝f (x )的图象过点M (3,8)，则f (4)＝________，f (－4)＝________.10．已知 2223422(),()(0,1)x x x x f x a g x a a a +-+-==>≠，确定x 的范围，使得()()f x g x >．11．实数,a b 满足11111212a b ++=--，则a b +=．12．(能力提升)若函数2121x x a ay ⋅--=-为奇函数，（1）确定a 的值；（2）讨论函数的单调性．2.1.2 指数函数及其性质（2）１．如图指数函数①x y a =②x y b =③x y c =④xy d =的图象，则（ ） A.01a b c d <<<<< B.01b a d c <<<<< C.1a b c d <<<< D.01a b d c <<<<<2．在同一坐标系中，函数xy a =与函数1y ax =+的图象只能是 （ ）A B C D3．要得到函数122xy -=的图象，只要将函数1()4xy =的图象 （ ）A.向左移1个单位B.向右移1个单位C.向左移0.5个单位D.向右移0.5个单位4．已知()|21|xf x =-，当a b c <<时，有()()()f a f c f b >>，则下列各式中正确的是 ( ) A.22a c > B.22a b > C.22ac -< D.222a c +<5函数y ＝2－x的图象是( )．6．若函数(1)(0,1)xy a b a a =-->≠图象不经过第二象限，则,a b 的满足的条件是_____________．7． 将函数21()3xy =图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是；8．函数21x y a +=-(0,1)a a >≠的图象过定点．9．函数22363xx y -+=的单调递减区间是．10．已知函数311()()212x f x x =+-，(1)求()f x 的定义域； 11．如果75+->x xa a(a >0，a ≠1)， (2)讨论()f x 的奇偶性； (3)证明：()0f x >． 求x 的取值范围．12已知指数函数()(0,1)xf x a a a =>≠，根据它的图象判断121[()()]2f x f x +和12()2x x f +的大小（不必证明）．13．函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．2.1.2 指数函数及其性质（3）1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）A.511个B.512个C.1023个D.1024个2．某商场进了A B 、两套服装，A 提价20%后以960元卖出，B 降价20%后以960元卖出，则这两套服装销售后 （ ）A.赚不亏B. 赚了80元C.亏了80元D.赚了2000元 3.某商品降价20%后，欲恢复原价，则应提价（ ）A. 25%B.20%C.30%D.15%4.已知a ＝30.2，b ＝0.2－3，c ＝(－3)0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )． A.a >b >c B.b >a >c C.c >a >b D.b >c >a5．某新型电子产品2002年初投产，计划到2004年初使其成本降低36%，那么平均每年应降低成本.6. 据报道，1992年底世界人口达到54.8亿，若世界人口的年平均增长率为%x ，到2005年底全世界人口为y 亿，则y 与x 的函数关系是.7.某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加21%，第三年比第二年增加44%，则这两年的平均增长率是.8．a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是________．9．函数y ＝a x在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a ＝________.10.甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄。

章末知识整合一 指数、对数的基本运算[例1] 计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－13＋ 4（3－π）4＝________.(2)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________． 解析：(1)原式＝1＋813＋|3－π|＝1＋2＋π－3＝π.(2)因为f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg a 2b 2，又f (ab )＝lg ab ＝1，所以lg a 2b 2＝2lg ab ＝2.答案：(1)π (2)2规律方法1．指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是考查的重要问题类型，也是高考的常考内容．主要考查指数和对数的运算性质，以客观题为主．2．(1)指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算．(2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式进行对数计算、化简． [即时演练] 1.计算：(1)(·安徽卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________．(2)(·浙江卷)2log 23＋log 43＝________．解析：(1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋0＝278. (2)原式＝2log 23＋log 23＝2log 2(33)＝3 3.答案：(1)278 (2)33 二 幂函数的图象与性质[例2] 已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随着x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 2<(3－2a )－m 2的a 的取值范围．解：因为函数f (x )在(0，＋∞)上的函数值随着x 的增大而减小， 所以m 2－2m －3<0.利用二次函数的图象可得－1<m <3.又m ∈N *，所以m ＝1，2.又函数图象关于y 轴对称，所以m 2－2m －3为偶数，故m ＝1.所以所以有(a ＋1)－12<(3－2a )－12. 又因为y ＝x －12的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＞3－2a ，解得23<a <32. 故实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪23<a <32. 规律方法1．幂函数y ＝x n 的图象，关键是根据n 的取值，确定第一象限的情况，然后再由定义域及奇偶性进一步确定幂函数在其他象限的图象．2．幂函数中的参数问题，要依据题设条件列出指数中参数所含的方程或不等式，求出参数，然后再利用幂函数的图象和相关的性质进行计算检验．[即时演练] 2.已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)．(1)试确定函数的定义域，并指明该函数的单调性；(2)若该函数的图象经过点(2，2)，求函数的解析式．解：(1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m (m ＋1)为偶数．所以函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)因为函数f (x )经过点(2，2)， 所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1.所以m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2.又因为m ∈N *，所以m ＝1.因此函数f (x )＝x 12.三 指数函数与对数函数的图象与性质[例3] 已知函数f (x )＝log 12ax －2x －1(a 为常数)．(1)若常数a ＜2且a ≠0，求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2，4)上是减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意，ax －2x －1＞0，即(x －1)(ax －2)＞0.当0＜a ＜2时，2a ＞1. 解不等式得x ＜1或x ＞2a. 当a ＜0时，解得2a＜x ＜1. 故当a ＜0时，定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ＜x ＜1； 当0＜a ＜2时，定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1或x ＞2a . (2)令u ＝ax －2x －1，因为f (x )＝log 12u 为减函数， 故要使f (x )在(2，4)上是减函数，只需函数u (x )＝ax －2x －1＝ a ＋a －2x －1， 在(2，4)上单调递增且为正．故由⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，u （2）＝2a －22－1≥0，解得1≤a ＜2. 所以实数a 的取值范围为[1，2)．规律方法1．求解f (x )的定义域，注意a 的取值影响，要进行分类讨论．2．第(2)问中，逆用“对数型”复合函数的性质，在脱去对数符号时，其真数一定要大于0，从而u (2)≥0得到关于a 的不等式组．[即时演练] 3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.(1)画出函数f (x )的图象；(2)根据图象写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域．解：(1)先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，利用偶函数的图象关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图象．(2)函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]．四 函数模型的实际应用[例4] 甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图甲和图乙所示．甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只．乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第六年10个，请你根据提供的信息说明．图甲 图乙(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第六年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模最大？说明理由．解：(1)由题图可知，直线y 甲＝kx ＋b ，经过(1，1)和(6，2)．可求得k ＝0.2，b ＝0.8.所以y 甲＝0.2(x ＋4)．故第二年甲鱼池的产量为1.2万只．同理可得y 乙＝4⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋172. 故第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．(3)设第x 年规模最大，即求y 甲·y 乙＝0.2(x ＋4)·4⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋172＝－0.8x 2＋3.6x ＋27.2的最大值．当x ＝－ 3.62×（－0.8）＝214≈2时， y 甲·y 乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2(万只)最大．即第二年规模最大，甲鱼产量为31.2万只．[即时演练] 4.某汽车公司曾在初公告：销量目标为39.3万辆；且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标．已知，某汽车年销量8万辆；，某汽车年销量18万辆；，某汽车年销量30万辆．如果我们分别将，，，定义为第一、第二、第三、第四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ≠1，b ＞0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与第x 年的关系？解：建立年销量y (万辆)与第x 年的函数，可知函数图象必过点(1，8)，(2，18)，(3，30)．(1)构造二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝7，c ＝0.则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为4.7.(2)构造指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c ，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1253，b ＝65，c ＝－42.则g (x )＝1253×⎝ ⎛⎭⎪⎫65x －42， 故g (4)＝1253×⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为5.1. 由上可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y (万辆)与第x 年的关系．五 转化与数形结合思想[例5] 当a 为何值时，函数y ＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2的一个零点在区间(0，1)上，另一个零点在区间(1，2)上？解：已知函数对应的方程为7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0， 函数的大致图象如图所示．根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0，1)上，另一个在(1，2)上，则：⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，a 2－2a －8＜0，a 2－3a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞2，－2＜a ＜4，a ＜0或a ＞3，所以－2＜a ＜－1或3＜a ＜4.规律方法2．在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的．[即时演练] 5.(2019·湖南卷)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，等价于函数y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象(如图所示)． 由图象知，两图象有2个交点，则0＜b ＜2.答案：{b |0＜b ＜2}。

第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.1 对数A 级 基础巩固1．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：由log 2(log 3x )＝0，得log 3x ＝1，则x ＝3. 同理y ＝4，z ＝2.所以x ＋y ＋z ＝3＋4＋2＝9. 答案：A2．已知log 2x ＝3，则x －12等于( ) A.13 B.123 C.133D.24 解析：因为log 2x ＝3，所以x ＝23＝8. 则x －12＝8－12＝18＝24. 答案：D3．log 242＋log 243＋log 244等于( ) A ．1 B ．2 C ．24 D.12解析：log 242＋log 243＋log 244＝log 24(2×3×4)＝log 2424＝1. 答案：A4．计算log 916·log 881的值为( ) A ．18 B.118 C.83 D.38解析：log 916·log 881＝lg 24lg 32·lg 34lg 23＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83.答案：C5．若lg x ＝a ，lg y ＝b ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值为( )A.12a －2b －2 B.12a －2b ＋1 C.12a －2b －1 D.12a －2b ＋2 解析：原式＝12lg x －2lg y 10＝12lg x －2(lg y －1)＝12a －2(b －1)＝12a －2b ＋2.答案：D6．对数式lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18的化简结果为( )A ．1B ．2C ．0D ．3解析：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0. 答案：C7．方程log 2(1－2x )＝1的解x ＝________． 解析：因为log 2(1－2x )＝1＝log 22， 所以1－2x ＝2.所以x ＝－12.经检验满足1－2x ＞0.答案：－128．若x ＞0，且x 2＝916，则x log 34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝________． 解析：由x ＞0，且x 2＝916.所以x ＝34.从而x log 34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝34log 34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝43.答案：439．已知m ＞0，且10x ＝lg(10m )＋lg 1m，则x ＝________． 解析：因为lg(10m )＋lg 1m ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫10m ·1m ＝lg 10＝1， 所以10x ＝1，得x ＝0. 答案：010．若log a b ·log 3a ＝4，则b ＝________． 解析：因为log a b ·log 3a ＝log 3blog 3a ·log 3a ＝log 3b ，所以log 3b ＝4，b ＝34＝81. 答案：8111．设log a 3＝m ，log a 5＝n .求a 2m ＋n 的值． 解：由log a 3＝m ，得a m ＝3， 由log a 5＝n ，得a n ＝5， 所以a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45. 12．计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 22； (2)lg 23－lg 9＋1（lg 27＋lg 8－lg 1 000）lg 0.3·lg 1.2.解：(1)原式＝2lg 5＋lg 2·(1＋lg 5)＋lg 22＝2lg 5＋lg 2·(1＋lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋2lg 2＝2.(2)原式＝lg 23－2lg 3＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫32 lg 3＋3lg 2－32（lg 3－1）·（lg 3＋2lg 2－1）＝（1－lg 3）·32（lg 3＋2lg 2－1）（lg 3－1）·（lg 3＋2lg 2－1）＝－32.B 级 能力提升13．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 解析：因为lg 10＝1，ln e ＝1, 所以①②正确．由10＝lg x 得x ＝1010，故③错；由e ＝ln x 得x ＝e e ，故④错． 答案：C14．已知2x＝3，log 4 83＝y ，则x ＋2y 等于( )A ．3B ．8C ．4D ．log 48 解析：由2x ＝3，得x ＝log 23，所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2×log 283log 24＝log 23＋log 283＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫3×83＝log 28＝3.答案：A15．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．A 地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，那么A 地地震的能量是B 地地震能量的________倍．解析：由R ＝23(lg E －11.4)，得32R ＋11.4＝lg E ，故E ＝1032R ＋11.4. 设A 地和B 地地震能量分别为E 1，E 2，则E 1E 2＝1032×9＋11.41032×8＋11.4＝1032＝1010. 即A 地地震的能量是B 地地震能量的1010倍． 答案：101016．已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1，求x ·y 34的值． 解：因为log 2(log 3(log 4x ))＝0，所以log 3(log 4x )＝1. 所以log 4x ＝3.所以x ＝43＝64.由于log 4(log 2y )＝1，知log 4y ＝4，所以y ＝24＝16.因此x ·y 34＝64×1634＝8×8＝64.17．一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价格降低8.75%，问经过多少年这台机器的价值为8万元(lg 2≈0.301 0，lg 9.125≈0.960 2)?解：设经过x 年，这台机器的价值为8万元，则8＝20(1－0.087 5)x ，即0.912 5x ＝0.4.两边取以10为底的对数，得x ＝lg 0.4lg 0.912 5＝lg 4－1lg 9.125－1＝2lg 2－1lg 9.125－1≈10(年)．所以约经过10年这台机器的价值为8万元．18．甲、乙两人解关于x 的方程：log 2x ＋b ＋c log x 2＝0，甲写错了常数b ，得两根14，18；乙写错了常数c ，得两根12，64.求这个方程的真正根．解：原方程变形为(log 2x )2＋b log 2x ＋c ＝0.① 由于甲写错了常数b ，得到的根为14和18.所以c ＝log 214·log 218＝6.由于乙写错了常数c ，得到的根为12和64，所以b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫log 212＋log 264＝－5. 故方程①为(log 2x )2－5log 2x ＋6＝0， 解得log 2x ＝2或log 2x ＝3， 所以x ＝22或x ＝23.所以，这个方程的真正根为x ＝4或x ＝8.。

高一数学必修1习题及答案5篇进入高中一之后，第一个学习的重要数学知识点就是集合，学生需要通过练习稳固集合内容，那么,高一数学必修1习题及答案怎么写以下是我精心收集整理的高一数学必修1习题及答案，下面我就和大家分享，来欣赏一下吧。

高一数学必修1习题及答案1一、选择题：(在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.)1.假设集合，那么m∩p= ( )a. b. c. d.2.以下函数与有相同图象的一个函数是( )a. b. c. d.3. 设a={x|0≤x≤2}，b={y|1≤y≤2}，在以下各图中，能表示从集合a 到集合b的映射的是( )4设，，，那么，，的大小关系为( ). . . . .5.定义为与中值的较小者，那么函数的值是( )6.假设，那么的表达式为( )a. b. c. d.7.函数的反函数是( )a. b.c. d.8假设那么的值为( )a.8b.c.2d.9假设函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，那么以下说法正确的选项是( )a.假设，不存在实数使得;b.假设，存在且只存在一个实数使得;c.假设，有可能存在实数使得;d.假设，有可能不存在实数使得;10.求函数零点的个数为( ) a. b. c. d.11.定义域为r的函数f(x)在区间(-∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5+t)=f(5-t)，那么以下式子一定成立的是( )a.f(-1)f(9)f(13) p=b.f(13)f(9)f(-1)c.f(9)f(-1)f(13) p=d.f(13)f(-1)f(9)12.某学生离家去，由于怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，假设以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，那么以下四个图形中，符合该学生走法的是( )二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分.把答案直接填在题中横线上.13、，那么的取值范围是14.实数满足等式，以下五个关系式：(1) ，(2) ，(3) ，(4) ，(5)其中可能成立的关系式有.15.如果在函数的图象上任取不同的两点、，线段(端点除外)总在图象的下方，那么函数的图象给我们向上凸起的印象，我们称函数为上凸函数;反之，如果在函数的图象上任取不同的两点、，线段(端点除外)总在图象的上方，那么我们称函数为下凸函数.例如：就是一个上凸函数.请写出两个不同类型的下凸函数的解析式：16.某批发商批发某种商品的单价p(单位：元/千克)与一次性批发数量q(单位：千克)之间函数的图像如图2，一零售商仅有现金2700元，他最多可购置这种商品千克(不考虑运输费等其他费用).三、解答题：.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题总分值12分)全集u=r，集合，，求，，。

第一章 1.1 1.1.1集合的含义与表示基础巩固一、选择题1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x 2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是( )A ．②B ．③C ．②③D ．①②③[答案] C[解析] 高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x 2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C.2．已知集合A ＝{x |x ≤10}，a ＝2＋3，则a 与集合A 的关系是( ) A ．a ∈A B ．a ∉A C ．a ＝A D ．{a }∈A[答案] A[解析] 由于2＋3＜10，所以a ∈A .3．(2015·山东临沂检测)集合{x ∈N *|x －2＜3}的另一种表示形式是( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5}[答案] B[解析] 由x －2＜3，得x ＜5，又x ∈N *，所以x ＝1,2,3,4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}．4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7B ．{x ，y |x ＝3且y ＝－7}C ．{3，－7}D ．{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7} [答案] D[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7，用描述法表示为{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D. 5．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形[答案] D[解析] 由集合中元素的互异性知a ，b ，c 互不相等，故选D.6．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0或2或3[答案] B[解析] 因为2∈A ，所以m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝0或m ＝2或m ＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m 的所有取值进行一一检验可得m ＝3，故选B.二、填空题7．用符号∈与∉填空：(1)0________N *；3________Z ； 0________N ；(－1)0________N *； 3＋2________Q ；43________Q .(2)3________{2,3}；3________{(2,3)}； (2,3)________{(2,3)}；(3,2)________{(2,3)}． (3)若a 2＝3，则a ________R ，若a 2＝－1，则a ________R . [答案] (1)∉ ∉ ∈ ∈ ∉ ∈ (2)∈ ∉ ∈ ∉ (3)∈ ∉[解析] (1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{(2,3)}的元素；同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的数是±3，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．8．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，则b －a ＝________.[答案] 2[解析] 显然a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，b a＝－1，所以a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2. 三、解答题9．已知集合A 含有a －2,2a 2＋5a,12三个元素，且－3∈A ，求a 的值． [解析] ∵－3∈A ，则－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，∴a ＝－1舍去． 当a ＝－32时，经检验，符合题意．故a ＝－32.[注意] (1)分类讨论意识的建立．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识，如本例按照元素－3与a －2,2a 2＋5a,12的关系分类 ，即可做到不重不漏．(2)注意集合中元素的互异性．求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求，如本例在求出a 的值后，需代入验证是否满足集合中元素的互异性．10．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若A 是单元素集合，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．[分析] 将求集合中元素问题转化为方程根问题．(1)集合A 为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程ax 2－3x ＋2＝0可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．[解析] (1)因为集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根， 则Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98，此时A ＝{43}，符合题意．综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}，当a ＝98时，A ＝{43}．(2)由(1)可知，当a ＝0时，A ＝{23}符合题意；当a ≠0时，要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98且a ≠0.综上所述，若集合A 中至少有一个元素，则a ≤98.[点评] “a ＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax 2＋2x ＋1＝0”有两种情况：一是“a ＝0”，即它是一元一次方程；二是“a ≠0”，即它是一元二次方程，只有在这种情况下，才能用判别式“Δ”来解决．能力提升一、选择题1．(2015·河北衡水中学期末)下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A ．{x |x ＝1}B ．{x |x 2＝1} C ．{1} D ．{y |(y －1)2＝0}[答案] B[解析] {x |x 2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.2．下列六种表示法：①{x ＝－1，y ＝2}；②{(x ，y )|x ＝－1，y ＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x ，y )|x ＝－1或y ＝2}．能表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是( )A ．①②③④⑤⑥B ．②③④⑤C ．②⑤D ．②⑤⑥[答案] C [解析] 方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故选C.3．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M[答案] D[解析] 当x ＞0，y ＞0，z ＞0时，代数式的值为4，所以4∈M ，故选D.4．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝{x |x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则集合A ＋B 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 当x 1＝1时，x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时，x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时，x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6.∴A ＋B ＝{3,4,5,6}，共4个元素．二、填空题5．已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N ，k ∈R }，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是________．[答案] {k |5＜k ≤6}[解析] x 只能取3,4,5，故5＜k ≤6.6．(2015·湖南郴州模拟)用列举法写出集合{33－x ∈Z |x ∈Z }＝________.[答案] {－3，－1,1,3} [解析] ∵33－x∈Z ，x ∈Z ， ∴3－x 为3的因数． ∴3－x ＝±1，或3－x ＝±3. ∴33－x ＝±3，或33－x＝±1. ∴－3，－1,1,3满足题意． 三、解答题7．数集A 满足条件：若a ∈A ，则1＋a 1－a ∈A (a ≠1)．若13∈A ，求集合中的其他元素．[分析] 已知a ∈A ，1＋a 1－a ∈A ，将a ＝13代入1＋a1－a 即可求得集合中的另一个元素，依次，可得集合中的其他元素．[解析] ∵13∈A ，∴1＋131－13＝2∈A ，∴1＋21－2＝－3∈A ，∴1－31＋3＝－12∈A ，∴1－121＋12＝13∈A . 故当13∈A 时，集合中的其他元素为2，－3，－12.8．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”． (1)判断集合A ＝{－1,1,2}是否为可倒数集； (2)试写出一个含3个元素的可倒数集．[解析] (1)由于2的倒数为12不在集合A 中，故集合A 不是可倒数集．(2)若a ∈A ，则必有1a ∈A ，现已知集合A 中含有3个元素，故必有一个元素有a ＝1a，即a ＝±1，故可以取集合A ＝{1,2，12}或{－1,2，12}或{1,3，13}等．第一章 1.1 1.1.2集合间的基本关系基础巩固一、选择题1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是( )A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A[答案] C[解析] “A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.2．下列命题中，正确的有( )①空集是任何集合的真子集；②若A B，B C，则A C；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B.A．①②B．②③C．②④D．③④[答案] C[解析] ①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性；故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确，故选C.3．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( )A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D[答案] B[解析] ∵正方形必为矩形，∴C⊆B.4．下列四个集合中，是空集的是( )A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}[答案] B[解析] 选项A、C、D都含有元素．而选项B无元素，故选B.5．若集合A⊆{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有( )A．3个B．4个C．5个D．6个[答案] D[解析] 集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．6．设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ≥2 B ．a ≤1 C ．a ≥1 D ．a ≤2[答案] A[解析] 在数轴上表示出两个集合(图略)，因为A B ，所以a ≥2. 二、填空题7．用适当的符号填空：(1){x |x 是菱形}________{x |x 是平行四边形}； {x |x 是三角形}________{x |x 是斜三角形}． (2)Z ________{x ∈R |x 2＋2＝0}； 0________{0}；Ø________{0}；N ________{0}． [答案] (1)(2) ∈[解析] (1)判断两个集合之间的关系，可以根据子集的定义来加以判断，特别要注意判断出包含关系后，还要进一步判断是否具有真包含关系．(2)集合{x ∈R |x 2＋2＝0}中，由于实数范围内该方程无解，因此{x ∈R |x 2＋2＝0}＝Ø；0是集合{0}中的元素，它们之间是属于关系；{0}是含有一个元素0的集合；Ø是不含任何元素的集合，故Ø{0}；自然数集N 中含有元素0，但不止0这一个元素．8．(2012·大纲全国改编)已知集合A ＝{1,2，m 3}，B ＝{1，m }，B ⊆A ，则m ＝________. [答案] 0或2或－1[解析] 由B ⊆A 得m ∈A ，所以m ＝m 3或m ＝2，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝1或m ＝0，又由集合中元素的互异性知m ≠1.所以m ＝0或2或－1.三、解答题9．判断下列集合间的关系：(1)A ＝{x |x －3＞2}，B ＝{x |2x －5≥0}； (2)A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A }． [解析] (1)∵A ＝{x |x －3＞2}＝{x |x ＞5}，B ＝{x |2x －5≥0}＝{x |x ≥52}，∴利用数轴判断A 、B 的关系． 如图所示，AB .(2)∵A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A ，∴B ＝{0,1,2}，∴B A .10．已知集合M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }，试确定M ，N ，P 之间的关系．[解析] 解法一：集合M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }，对于集合N ，当n 是偶数时，设n ＝2t (t ∈Z )， 则N ＝{x |x ＝t －13，t ∈Z }；当n 是奇数时，设n ＝2t ＋1(t ∈Z )，则N ＝{x |x ＝2t ＋12－13，t ∈Z }＝{x |x ＝t ＋16，t ∈Z }．观察集合M ，N 可知M N .对于集合P ，当p 是偶数时，设p ＝2s (s ∈Z )，则P ＝{x |x ＝s ＋16，s ∈Z }，当p 是奇数时，设p ＝2s －1(s ∈Z )，则P ＝{x |x ＝2s －12＋16，s ∈Z } ＝{x |x ＝s －13，s ∈Z }．观察集合N ，P 知N ＝P . 综上可得：MN ＝P .解法二：∵M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝6m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝3×2m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －26，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －1＋16，n －1∈Z }，P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }＝{x |x ＝3p ＋16，p ∈Z }，比较3×2m ＋1,3(n －1)＋1与3p ＋1可知，3(n －1)＋1与3p ＋1表示的数完全相同， ∴N ＝P,3×2m ＋1只相当于3p ＋1中当p 为偶数时的情形， ∴MP ＝N .综上可知M P ＝N .能力提升一、选择题1．(2015·瓮安一中高一期末试题)设集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k∈Z }，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M 与N 的关系不确定[答案] B[解析] 解法1：用列举法，令k ＝－2，－1,0,1,2…可得M ＝{…－34，－14，14，34，54…}， N ＝{…0，14，12，34，1…}，∴MN ，故选B.解法2：集合M 的元素为：x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z )，集合N 的元素为：x ＝k 4＋12＝k ＋24(k ∈Z )，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴M N ，故选B.[点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k 是任意整数，则k ＋m (m 是一个整数)也是任意整数，而2k ＋1,2k －1均为任意奇数，2k 为任意偶数．2．(2015·湖北孝感期中)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x }和B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1x ＋4y ＝5，则下列结论中正确的是( )A ．1∈AB ．B ⊆AC ．(1,1)⊆BD ．Ø∈A[答案] B[解析] B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1x ＋4y ＝5＝{(1,1)}，故选B. 3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |ax －2＝0}，若B ⊆A ，则a 的值不可能是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] D[解析] 由题意知，a ＝0时，B ＝Ø，满足题意；a ≠0时，由2a∈A ⇒a ＝1,2，所以a 的值不可能是3.4．集合P ＝{3,4,5}，Q ＝{6,7}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则P *Q 的子集个数为( )A ．7B ．12C ．32D ．64[答案] D[解析] 集合P *Q 的元素为(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6个，故P *Q 的子集个数为26＝64.二、填空题5．已知集合M ＝{x |2m ＜x ＜m ＋1}，且M ＝Ø，则实数m 的取值范围是________． [答案] m ≥1[解析] ∵M ＝Ø，∴2m ≥m ＋1，∴m ≥1.6．集合⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝－x ＋2，y ＝12x ＋2⊆{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.[答案] 2[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2y ＝12x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，代入y ＝3x ＋b 得b ＝2. 三、解答题7．设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠Ø且B ⊆A ，求实数a 、b 的值．[解析] ∵B 中元素是关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的根，且B ⊆{－1,1}，∴关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ＝0.∵B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}⊆A ＝{－1,1}，且B ≠Ø， ∴B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1,1}． 当B ＝{－1}时，Δ＝4a 2－4b ＝0且1＋2a ＋b ＝0，解得a ＝－1，b ＝1. 当B ＝{1}时，Δ＝4a 2－4b ＝0且1－2a ＋b ＝0，解得a ＝b ＝1. 当B ＝{－1,1}时，有(－1)＋1＝2a ，(－1)×1＝b ，解得a ＝0，b ＝－1.8．设集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；(3)当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝Ø，满足B ⊆A .当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，即2≤m ≤3.综上，当B ⊆A 时，m 的取值范围是{m |m ≤3}．(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴集合A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)∵x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}， B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，∴当B ＝Ø，即m ＋1>2m －1，得m <2时，符合题意；当B ≠Q ，即m ＋1≤2m －1，得m ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ＋1>5，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，2m －1<－2，解得m >4.综上，所求m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．第一章 1.1 1.1.3 第一课时并集和交集基础巩固一、选择题1．下面四个结论：①若a ∈(A ∪B )，则a ∈A ；②若a ∈(A ∩B )，则a ∈(A ∪B )；③若a ∈A ，且a ∈B ，则a ∈(A ∩B )；④若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] ①不正确，②③④正确，故选C.2．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x >3}，则M ∪N ＝( )A ．{x |x >－3}B ．{x |－3<x ≤5}C ．{x |3<x ≤5}D ．{x |x ≤5}[答案] A[解析] 在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x>－3}．3．(2015·全国高考卷Ⅰ文科，1题)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2[答案] D[解析] A∩B＝{8,14}，故选D.4．(2015·浙江省期中试题)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( )A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}[答案] D[解析] A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故选D.5．若A∪B＝Ø，则( )A．A＝Ø，B≠ØB．A≠Ø，B＝ØC．A＝Ø，B＝ØD．A≠Ø，B≠Ø[答案] C6．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝Ø，则实数a的取值集合为( )A．{a|a<2} B．{a|a≥－1}C．{a|a<－1} D．{a|－1≤a≤2}[答案] C[解析] 如图．要使A∩B＝Ø，应有a<－1.二、填空题7．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.[答案] 0,1或－2[解析] 由已知得B⊆A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性知x≠2，∴x ＝0,1或－2.8．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________.[答案] 6[解析] 用数轴表示集合A 、B 如图所示．由于A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，得m ＝6.三、解答题9．设集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}，A ∩B ＝{－3}，求实数a 的值．[解析] ∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈B .∵a 2＋1≠－3，∴①若a －3＝－3，则a ＝0，此时A ＝{0,1，－3}，B ＝{－3，－1,1}，但由于A ∩B ＝{1，－3}与已知A ∩B ＝{－3}矛盾，∴a ≠0.②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{1,0，－3}，B ＝{－4，－3,2}，A ∩B ＝{－3}．综上可知a ＝－1.10．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}．(1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵B ＝{x |x ≥2}，A ＝{x |－1≤x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)∵C ＝{x |x ＞－a 2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ， ∴－a 2<2，∴a ＞－4. 能力提升一、选择题1．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M 且a ≠b }，则M ∪N ＝( )A ．{0,1}B ．{－1,0}C ．{－1,0,1}D ．{－1,1} [答案] C[解析] 由题意可知，集合N ＝{－1,0}，所以M ∪N ＝M .2．若集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，P ＝{(x ，y )|x －y ＝2}，则M ∩P 等于( )A ．(1，－1)B ．{x ＝1或y ＝－1}C ．{1，－1}D ．{(1，－1)} [答案] D[解析] M ∩P 的元素是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0x －y ＝2的解∴M ∩P ＝{(1，－1)}．3．(2015·衡水高一检测)若集合A ，B ，C 满足A ∩B ＝A ，B ∪C ＝C ，则A 与C 之间的关系为( )A ．C AB ．AC C ．C ⊆AD ．A ⊆C [答案] D[解析] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，又B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C ，故选D.4．当x ∈A 时，若x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合M ＝{0,1,3}的孤星集为M ′，集合N ＝{0,3,4}的孤星集为N ′，则M ′∪N ′＝( )A ．{0,1,3,4}B ．{1,4}C ．{1,3}D ．{0,3} [答案] D[解析] 由条件及孤星集的定义知，M ′＝{3}，N ′＝{0}，则M ′∪N ′＝{0,3}．二、填空题5．以下四个推理：①a ∈(A ∪B )⇒a ∈A ；②a ∈(A ∩B )⇒a ∈(A ∪B )；③A ⊆A ⇒A ∪B ＝B ；④A ∪B ＝A ⇒A ∩B ＝B .其中正确的为________．[答案] ②③④[解析] ①是错误的，a ∈(A ∪B )时可推出a ∈A 或a ∈B ，不一定推出a ∈A .6．已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，B ＝{x |x 2－px －2q ＝0}，且A ∩B ＝{－1}，则A ∪B ＝________.[答案] {－2，－1,4}[解析] 因为A ∩B ＝{－1}，所以－1∈A ，－1∈B ，即－1是方程x 2＋px ＋q ＝0和x 2－px －2q ＝0的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12－p ＋q ＝0，－12＋p －2q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝2， 所以A ＝{－1，－2}，B ＝{－1,4}，所以A ∪B ＝{－2，－1,4}．三、解答题7．已知A ＝{x |2a ＜x ≤a ＋8}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，A ∪B ＝R ，求a 的取值范围．[解析] ∵B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＜－1，a ＋8≥5，解得－3≤a ＜－12. 8．设A ＝{x |x 2＋8x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0}，其中a ∈R .如果A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．[解析] ∵A ＝{x }x 2＋8x ＝0}＝{0，－8}，A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .当B ＝Ø时，方程x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0无解，即Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＜0，得a ＜－2.当B ＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式 Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＝0，得a ＝－2.将a ＝－2代入方程，解得x ＝0，∴B ＝{0}满足．当B ＝{0，－8}时，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，－2a ＋2＝－8，a 2－4＝0，可得a ＝2.综上可得a ＝2或a ≤－2. [点评] (1)当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时，要考虑B ＝Ø的情形，切不可漏掉．(2)利用集合运算性质化简集合，有利于准确了解集合之间的关系．第一章 1.1 1.1.3 第二课时补集基础巩固一、选择题1．(2015·重庆三峡名校联盟)设全集I ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{2,3,5}，集合B ＝{1,2}，则(∁I B )∩A 为( )A ．{2}B ．{3,5}C ．{1,3,4,5}D ．{3,4,5}[答案] B[解析] 因为全集I ＝{1,2,3,4,5}，集合B ＝{1,2}，则∁I B ＝{3,4,5}．所以(∁I B )∩A 为{3,5}．故选B.[易错警示] 本小题的关键是先求出集合B的补集，再求交集．集合的运算是集合关系的基础知识，要理解清楚，可能渗透在一个大题中，不熟练会导致整体看不懂或理解错误．2．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则∁U A的所有非空子集的个数为( )A．4 B．3C．2 D．1[答案] B[解析] ∵∁U A＝{2,4}，∴非空子集有22－1＝3个，故选B.3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．(∁R P)⊆Q D．Q⊆∁R P[答案] C[解析] ∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}．又Q＝{x|x＞－1}，∴(∁R P)⊆Q，故选C.4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U M) D．(∁U M)∩(∁U N)[答案] D[解析] ∵M∪N＝{1,2,3,4}，∴(∁U M)∩(∁U N)＝∁U(M∪N)＝{5,6}，故选D.5．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，那么集合A∪(∁U B)等于( )A．{x|－2≤x≤4}B．{x|x≤3，或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1}D．{x|－1≤x≤3}[答案] A[解析] 由题意可得∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∪(∁U B)＝{x|－2≤x≤4}，故选A.6．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则a满足( )A．a≥2B．a＞2C．a＜2 D．a≤2[答案] A[解析] ∁R B＝{x|x≥2}，则由A∪(∁R B)＝R得a≥2，故选A.二、填空题7．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁A B＝{5}，则实数m＝________.[答案] 58．U ＝R ，A ＝{x |－2<x ≤1或x >3}，B ＝{x |x ≥4}，则∁U A ＝________，∁A B ＝________.[答案] {x |x ≤－2或1<x ≤3} {x |－2<x ≤1或3<x <4}三、解答题9．已知全集U ＝{2,3，a 2－2a －3}，A ＝{2，|a －7|}，∁U A ＝{5}，求a 的值．[解析] 解法1：由|a －7|＝3，得a ＝4或a ＝10.当a ＝4时，a 2－2a －3＝5，当a ＝10时，a 2－2a －3＝77∉U ，∴a ＝4.解法2：由A ∪∁U A ＝U 知⎩⎪⎨⎪⎧ |a －7|＝3a 2－2a －3＝5，∴a ＝4.10．(2015·唐山一中月考试题)已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )．[分析] 利用数轴，分别表示出全集U 及集合A ，B ，先求出∁U A 及∁U B ，然后求解．[解析] 如图所示，∵A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，∴∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}，∁U B ＝{x |x <－3或2<x ≤4}．∴A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}，(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2或3≤x ≤4}，A ∩(∁UB )＝{x |2<x <3}．[点评] (1)数轴与Venn 图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行数集的交、并、补运算时，经常借助数轴求解．(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集．能力提升一、选择题1．如图，阴影部分用集合A 、B 、U 表示为( )A ．(∁U A )∩BB ．(∁U A )∪(∁U B )C ．A ∩(∁U B )D ．A ∪(∁U B )[答案] C[解析] 阴影部分在A中，不在B中，故既在A中也在∁U B中，因此是A与∁U B的公共部分．2．设S为全集，则下列说法中，错误的个数是( )①若A∩B＝Ø，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝Ø；③若A∪B＝Ø，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析] 借助文氏图可知，①②正确，对于③于由A∪B＝Ø，∴A＝Ø，B＝Ø，∴A＝B，故选A.3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T＝{2}，(∁U S)∩T＝{4}，(∁U S)∩(∁U T)＝{1,5}则有( )A．3∈S,3∈T B．3∈S,3∈∁U TC．3∈∁U S,3∈T D．3∈∁U S,3∈∁U T[答案] B[解析] 若3∈S,3∈T，则3∈S∩T，排除A；若3∈∁U S，3∈T，则3∈(∁U S)∩T，排除C；若3∈∁U S,3∈∁U T，则3∈(∁U S)∩(∁U T)，排除D，∴选B，也可画图表示．4．(2008·北京)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩(∁U B)等于( )A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x<－1} D．{x|－1≤x≤3}[答案] D[解析] ∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A∩∁U B＝{x|－1≤x≤3}，故选D.二、填空题5．已知全集为R，集合M＝{x∈R|－2＜x＜2}，P＝{x|x≥a}，并且M⊆∁R P，则a的取值范围是________．[答案] a≥2[解析] M＝{x|－2＜x＜2}，∁R P＝{x|x＜a}．∵M⊆∁R P，∴由数轴知a≥2.6．已知U ＝R ，A ＝{x |a ≤x ≤b }，∁U A ＝{x |x ＜3或x ＞4}，则ab ＝________.[答案] 12[解析] ∵A ∪(∁U A )＝R ，∴a ＝3，b ＝4，∴ab ＝12.三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．[提示] 由2∈B,4∈A ，列方程组求解．[解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B ，∴4－2a ＋b ＝0.①又∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ，∴16＋4a ＋12b ＝0.②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2a ＋b ＝0，16＋4a ＋12b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝87，b ＝－127.经检验，符合题意：∴a ＝87，b ＝－127. [点评] 由题目中所给的集合之间的关系，通过分析得出元素与集合之间的关系，是解决此类问题的关键．8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，且B ⊆∁R A ，求a 的取值范围．[分析] 本题从条件B ⊆∁R A 分析可先求出∁R A ，再结合B ⊆∁R A 列出关于a 的不等式组求a 的取值范围．[解析] 由题意得∁R A ＝{x |x ≥－1}．(1)若B ＝Ø，则a ＋3≤2a ，即a ≥3，满足B ⊆∁R A .(2)若B ≠Ø，则由B ⊆∁R A ，得2a ≥－1且2a <a ＋3，即－12≤a <3. 综上可得a ≥－12.第一章 1.1 1.1.3 第三课时习题课基础巩固一、选择题1．(2015·全国高考卷Ⅱ文科，1题)已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |－1<x <0}C．{x|0<x<2} D．{x|2<x<3}[答案] A[解析] A∪B＝{x|－1<x<3}，故选A.2．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁U B)等于( )A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}[答案] B[解析] 画出数轴，如图所示，∁U B＝{x|x≤1}，则A∩∁U B＝{x|0＜x≤1}，故选B.3．图中阴影部分所表示的集合是( )A．B∩(∁U(A∪C))B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁U B)D．[∁U(A∩C)]∪B[答案] A[解析] 阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩(∁U(A∪C))，故选A.4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－2或x＞4}，那么集合(∁U A)∩(∁U B)等于( )A．{x|3＜x≤4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|3≤x＜4} D．{x|－1≤x≤3}[答案] A[解析] 方法1：∁U A＝{x|x＜－2或x＞3}，∁U B＝{x|－2≤x≤4}∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|3＜x≤4}，故选C.方法2：A∪B＝{x|x≤3或x＞4}，(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{x|3＜x≤4}．故选A.5．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|－1≤x≤a}，且(A∪B)⊆(A∩B)，则实数a＝( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析] ∵(A ∪B )⊆(A ∩B )，∴(A ∪B )＝(A ∩B )， ∴A ＝B ，∴a ＝1.6．设U 为全集，对集合X ，Y 定义运算“*”，X *Y ＝∁U (X ∩Y )，对于任意集合X ，Y ，Z ，则(X *Y )*Z ＝( )A ．(X ∪Y )∩∁U ZB ．(X ∩Y )∪∁U ZC ．(∁U X ∪∁U Y )∩ZD ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z [答案] B[解析] X *Y ＝∁U (X ∩Y )(X *Y )*Z ＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝∁U (∁U (X ∩Y ))∪∁U Z ＝(X ∩Y )∪∁U Z ，故选B. 二、填空题7．(河北孟村回民中学2014～2015学年高一九月份月考试题)U ＝{1,2}，A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，∁U A ＝{1}，则p ＋q ＝________.[答案] 0[解析] 由∁U A ＝{1}，知A ＝{2}即方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等根2，∴p ＝－4，q ＝4，∴p ＋q ＝0.8．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，若m ∈A ，m ∈B ，则m 为________．[答案] (4,7)[解析] 由m ∈A ，m ∈B 知m ∈(A ∩B )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝x ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝7，∴A ∩B ＝{(4,7)}．三、解答题9．已知全集U ＝R ，A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3≤x <7}，求： (1)(∁R A )∩(∁R B ) (2)∁R (A ∪B ) (3)(∁R A )∪(∁R B ) (4)∁R (A ∩B )[分析] 在进行集合运算时，充分利用数轴工具是十分有效的手段，此例题可先在数轴上画出集合A 、B ，然后求出A ∩B ，A ∪B ，∁R A ，∁R B ，最后可逐一写出各小题的结果．[解析] 如图所示，可得A ∩B ＝{x |3≤x <5}，A ∪B ＝{x |2≤x <7}．∁R A ＝{x |x <2或x ≥5}， ∁R B ＝{x |x <3或x ≥7}． 由此求得(1)(∁R A )∩(∁R B )＝{x |x <2或x ≥7}． (2)∁R (A ∪B )＝{x |x <2或x ≥7}．(3)(∁R A )∪(∁R B )＝{x |x <2或x ≥5}∪{x <3或x ≥7}＝{x |x <3或x ≥5}． (4)∁R (A ∩B )＝{x |x <3或x ≥5}．[点评] 求解集合的运算，利用数轴是有效的方法，也是数形结合思想的体现． 10．已知U ＝R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(∁U A )∩B ＝{2}，(∁UB )∩A ＝{4}，求A ∪B .[分析] 先确定p 和q 的值，再明确A 与B 中的元素，最后求得A ∪B . [解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B 且2∉A . ∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A 且4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42＋4p ＋12＝0，22－5×2＋q ＝0.解得p ＝－7，q ＝6，∴A ＝{3,4}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{2,3,4}．能力提升一、选择题1．设A 、B 、C 为三个集合，(A ∪B )＝(B ∩C )，则一定有( ) A ．A ⊆C B ．C ⊆A C ．A ≠C D ．A ＝Ø[答案] A[解析] ∵A ∪B ＝(B ∩C )⊆B ， 又B ⊆(A ∪B )，∴A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ， 又B ⊆(A ∪B )＝B ∩C ，且(B ∩C )⊆B ， ∴(B ∩C )＝B ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C .2．设P ＝{3,4}，Q ＝{5,6,7}，集合S ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则S 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] D[解析] S ＝{(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)}共6个元素，故选D. 3．(2015·陕西模拟)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则集合∁U (A ∪B )中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析] 因为集合A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，所以∁U(A∪B)＝{3,5}．4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，且B∩(∁U A)≠Ø，则( )A．k＜0 B．k＜2C．0＜k＜2 D．－1＜k＜2[答案] C[解析] ∵U＝R，A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁U A＝{x|1＜x＜3}．∵B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，∴当B∩(∁U A)＝Ø时，有k＋1≤1或k≥3(不合题意，舍去)，如图所示，∴k≤0，∴当B∩(∁U A)≠Ø时，0＜k＜2，故选C.二、填空题5．(2014·福建，理)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2，④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．[答案] 6[解析] 根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4)；(3)若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；(4)若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(4,1,3,2)，(3,1,4,2)．所以共有6个．故答案为6.6．设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．[答案]1 12[解析] 如图，设AB 是一长度为1的线段，a 是长度为34的线段，b 是长度为13的线段，a ，b 可在线段AB 上自由滑动，a ，b 重叠部分的长度即为M ∩N 的“长度”，显然，当a ，b各自靠近线段AB 两端时，重叠部分最短，其值为34＋13－1＝112.三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，试探求a 取何实数时，(A ∩B )Ø与A ∩C ＝Ø同时成立．[解析] B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{2，－4}，由A ∩BØ与A ∩C ＝Ø同时成立可知，3是方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解，将3代入方程得a 2－3a －10＝0，解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，此时A ∩C ＝{2}，与此题设A ∩C ＝Ø矛盾，故不适合．当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，此时(A ∩B )Ø与A ∩C ＝Ø同时成立，则满足条件的实数a ＝－2.8．设A ，B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }． (1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A －B 与B －A 是否一定相等？说明理由；(3)已知A ＝{x |x >4}，B ＝{x |－6<x <6}，求A －(A －B )和B －(B －A )． [解析] (1)如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}， 则A －B ＝{1}． (2)不一定相等，由(1)B －A ＝{4}，而A －B ＝{1}， 故A －B ≠B －A .又如，A ＝B ＝{1,2,3}时，A －B ＝Ø，B －A ＝Ø，此时A －B ＝B －A ，故A －B 与B －A 不一定相等． (3)因为A －B ＝{x |x ≥6}，B －A ＝{x |－6<x ≤4}， A －(A －B )＝{x |4<x <6}， B －(B －A )＝{x |4<x <6}．第一章 1.2 1.2.1函数的概念基础巩固一、选择题1．下列四种说法中，不正确的是( )A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 [答案] B2．f (x )＝1＋x ＋x1－x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．RD ．[－1,1)∪(1，＋∞)[答案] D[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥01－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.3．各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )[答案] A[解析] 因为垂直x 轴的直线与函数y ＝f (x )的图象至多有一个交点，故选A. 4．(2015·曲阜二中月考试题)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )A ．f x →y ＝12xB ．f x →y ＝13xC ．f x →y ＝23xD ．f x →y ＝x[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意．故选C.5．下列各组函数相同的是( )A ．f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x ·－2x C ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxD ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝t 2－12[答案] D[解析] 对于A.f (x )的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同，故不是相同函数；对于B.f (x )＝|x |·－2x ，g (x )＝x ·－2x 的对应法则不同；对于C ，f (x )的定义域为R 与g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数；对于D.f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相同函数，故选D.6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上[答案] C[解析] 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点． 二、填空题 7．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________. [答案] －56[解析] f (t )＝1t ＋1＝6.∴t ＝－568．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2＜x ≤4}＝________； (3){x |x ＞－1且x ≠2}＝________.[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞) 三、解答题9．求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.[分析] 列出满足条件的不等式组⇒解不等式组⇒求得定义域[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． [规律总结] 定义域的求法：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f (x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 10．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f (23)的值；(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．[解析] (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠－2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}． (2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f (23)＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)因为a ＞0，故f (a )，f (a －1)有意义．f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.能力提升一、选择题1．给出下列从A 到B 的对应：①A ＝N ，B ＝{0,1}，对应关系是：A 中的元素除以2所得的余数 ②A ＝{0,1,2}，B ＝{4,1,0}，对应关系是f ：x →y ＝x 2③A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1，12}，对应关系是f ：x →y ＝1x其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个．( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0[答案] B[解析] 由于③中，0这个元素在B 中无对应元素，故不是函数，因此选B. 2．(2012·高考安徽卷)下列函数中，不满足：f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x [答案] C[解析] f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件． 3．(2014～2015惠安中学月考试题)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )[答案] B[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B. 4．(2015·盘锦高一检测)函数f (x )＝11－2x 的定义域为M ，g (x )＝x ＋1的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，12)C ．(－1，12)D ．(－∞，12)[答案] B 二、填空题5．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值范围是________． [答案] (1,2)[解析] 由区间的定义知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜a ＋1，a ＋3＜4a⇒1＜a ＜2.6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．[答案] [－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] [解析] 观察函数图象可知f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]． 三、解答题7．求下列函数的定义域： (1)y ＝31－1－x；(2)y ＝x ＋10|x |－x；(3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.[解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝31－1－x的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x ＜0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x ＞0，x ≠0.解得－32≤x ＜2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为[－32，0)∪(0,2)．[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．8．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，(1)求f (x )的定义域． (2)若f (a )＝2，求a 的值．(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )． [解析] (1)要使函数f (x )＝1＋x 21－x 2有意义，只需1－x 2≠0，解得x ≠±1，所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． (2)因为f (x )＝1＋x21－x2，且f (a )＝2，所以f (a )＝1＋a 21－a 2＝2，即a 2＝13，解得a ＝±33. (3)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1，－f (x )＝－1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )．第一章 1.2 1.2.2 第一课时函数的表示方法基础巩固一、选择题1．已知y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x[答案] C[解析] 设y ＝k x ，由1＝k 2得，k ＝2，因此，y 关于x 的函数关系式为y ＝2x.2．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( ) A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0＜x ＜10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5＜x ＜10)[答案] D[解析] 由题意得y ＋2x ＝20，∴y ＝20－2x .又∵2x ＞y ，∴2x ＞20－2x ，即x ＞5.由y ＞0，即20－2x ＞0得x ＜10，∴5＜x ＜10.故选D.3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是( ) A ．g (x )＝2x ＋1 B ．g (x )＝2x －1 C ．g (x )＝2x －3 D ．g (x )＝2x ＋7[答案] B[解析] ∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，∴令x ＋2＝t ，则x ＝t －2，g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.∴g (x )＝2x －1.4．(2015·安丘一中月考)某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：A ．成绩y 不是考试次数x 的函数B ．成绩y 是考试次数x 的函数C ．考试次数x 是成绩y 的函数D ．成绩y 不一定是考试次数x 的函数 [答案] B5．如果二次函数的二次项系数为1，图象开口向上，且关于直线x ＝1对称，并过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝－(x －1)2＋1 C ．f (x )＝(x －1)2＋1 D ．f (x )＝(x －1)2－1[答案] D6．(2015·武安中学周测题)若f (x )满足关系式f (x )＋2f (1x)＝3x ，则f (2)的值为( )。

必修1—集合【基础知识】①();();()Cu AB CuA CuB Cu A B CuA CuB A B A B A A B B ==⊆⇔==②A 集合中有n 个元素时,其子集个数:2n真子集个数: 21n -非空真子集个数:22n- 【题型训练】【题型1】集合定义及基本运算类 1.如图，阴影部分表示的集合是( D )（A ）B ∩ [C U (A ∪C)] （B ）(A ∪B)∪ (B ∪C) （C ）(A ∪C) ∩( C U B) （D ）[C U (A ∩C)]∪B2.已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是B3.若集合{}A=|1x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =∈，，则A B ⋂=（ C ） A. {}|11x x -≤≤B. {}|0x x ≥C. {}|01x x ≤≤D. ∅变式:1. 如果{}|3,xS y y x R ==∈,{}2|1,T y y x x R ==-∈,则S T = S .2.已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R C A B ⋂= （ C ） （A ）{}2,1--（B ）{}2-（C ）{}1,0,1-（D ）{}0,13.已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则AB =（ B ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1- 4.已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则MN =（ C ）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 5.已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =（ A ）（A ）｛0｝（B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1}（D ）｛-1，,0，1}4.已知集合{}2,0xA y y x -==<，集合{}12B x y x ==，则A B ⋂=（ B ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ 5.设集合{|101},{|5}A x Z x B x Z x =∈--=∈≤≤≤，则AB 中元素的个数是（C ）A 、11B 、10C 、16D 、15 6.若集合{}1213A x x =-≤+≤，20,x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭则A B ⋂= ( B ) A.{}10x x -≤< B..{}01x x <≤ C. {}02x x ≤≤ D. {}01x x ≤≤7.设集合1|,24K M x x K Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,1|,42K N x x K Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,则( B ) A.M=N B.M N ⊂ C. M N ⊃ D.M N φ=【题型2】点集问题1.已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N 为（ D ）A 、3,1x y ==-B 、(3,1)-C 、{3,1}-D 、{(3,1)}- 2.设集合13{(,)|log }A x y y x ==，{(,)|3}xB x y y ==，则A B ⋂的子集的个数是(C )A ．4B ．3C ．2D ．1 【题型3】子集问题1.已知全集 u={1、2、3、4、5}，A={1、5}，B C U A,则集合B 的个数是（ D ）（A ）5(B) 6（C) 7(D)83．若集合}4,3,1{},3,2,1{==B A ，则B A 的子集个数为（ C ）A ．2B ．3C ．4D ．162.集合{},,,,S a b c d e =,包括{},a b 的S 的子集共有( D ) A.2个 B.3个 C.4个 D.8个变式:1.满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a =，，，的集合M 的个数是（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知集合M={2,0,11},若A M ≠⊂,且A 的元素中至少含有一个偶数,则满足条件的集合A 的个数为 5 .【题型4】集合运算1.设全集{,,,,}I a b c d e =，集合{,,},{,,}M a b c N b d e ==，那么I IMN 是（ A ）A 、∅B 、{}dC 、{,}a cD 、{,}b e变式:1.已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭,则U C P =A A ．1[,)2+∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()0,+∞ D ．1(,0][,)2-∞+∞2.已知集合{1,2,3,4}U =，集合={1,2}A ，={2,3}B ，则()UA B =D（A ）{1,3,4} （B ）{3,4} （C ）{3} （D ）{4}2.若集合121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A =R( A )A.2(,0],2⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B.⎫+∞⎪⎪⎝⎭C.2(,0][,)2-∞+∞ D.)+∞ 3.设全集是实数集R ，{|22}M x x =-≤≤，N x x =<{|}1，则RM N 等于（ A ）A 、{|}xx <-2B 、{|}x x -<<21C 、{|}xx <1D 、{|}x x -≤<21 4.设集合U 为全集,集合,M N U ≠⊂,若MN N =,则( C )A.U U C M C N ⊇B.U M C N ⊆C.U U C M C N ⊆D.U M C N ⊇ 5.设集合{|12},{|}M x x N x x a =-<=≤≤，若MN ≠∅，则a 的取值范围是1a ≥-.6.已知集合2{|||1},{|40}A x x a B x x x =-≤=-≥,若A B φ=，则实数a 的取值范围是（ C ）A ．（0，4）B ．（0，3）C ．（1，3）D ．（2，3）变式:1.{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值范围是( C ) A {}a |0a 6≤≤ B {}|2,a a ≤≥或a 4 C {}|0,6a a ≤≥或a D {}|24a a ≤≤设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ A ） (A) (,2)-∞(B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞(D) [2,)+∞7.已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是C A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞） C ．[-1，1] D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）变式:设集合{}|||2A x x a =-<,21|12x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,若A B A =,求实数a 取值范围.([0,1]) 8.设A 、B 、C 是三个集合,若A B B C =,则有( D ) A. A B = B. C B ⊆ C. B A ⊆ D. A C ⊆ 变式:设I 为全集,123,,S S S 是I 的三个非空子集且123S S S I =,则下面论断正确的是( C )A.123()I C S S S φ⋂⋃=B.123()I I S C S C S ⊆C.123I I I C S C S C S φ=D.123()I I S C S C S ⊆【题型4】集合与函数综合运用1. 知集合A={-1，a²+1,a²-3},B={-4,a-1,a+1},且A∩B={-2}，求a 的值。

高中数学必修一同步训练及解析1．下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ；②3∉Q ；③0∈N *；④|－4|∉N *. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.①②正确，③④错误．2．下列各组集合，表示相等集合的是( ) ①M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}； ②M ＝{3,2}，N ＝{2,3}； ③M ＝{(1,2)}，N ＝{1,2}． A ．① B ．② C ．③D ．以上都不对解析：选B.①中M 中表示点(3,2)，N 中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M 表示一个元素：点(1,2)，N 中表示两个元素分别为1,2. 3．用描述法表示不等式x <－x －3的解集为________．答案：{x |x <－x －3}(或{x |x <－32})4．集合A ＝{x ∈N|2x 2－x －1＝0}用列举法表示为__________．解析：解方程2x 2－x －1＝0，得x ＝1或x ＝－12.又因为x ∈N ，则A ＝{1}．答案：{1}[A 级 基础达标]1．下面几个命题中正确命题的个数是( ) ①集合N *中最小的数是1； ②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 的最小值是2； ④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C.N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，但a ∉N *，故②错；若a ∈N *，则a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确，故选C.2．设集合M ＝{x ∈R|x ≤33}，a ＝26，则( ) A ．a ∉M B ．a ∈M C ．{a }∈MD ．{a |a ＝26}∈M解析：选B.(26)2－(33)2＝24－27<0， 故26<3 3.所以a ∈M .3．若集合M ＝{a ，b ，c }，M 中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：选D.根据元素的互异性可知，a ≠b ，a ≠c ，b ≠c .4．已知①5∈R ；②13∈Q ；③0＝{0}；④0∉N ；⑤π∈Q ；⑥－3∈Z.正确的个数为________．解析：③错误，0是元素，{0}是一个集合；④0∈N ；⑤π∉Q ，①②⑥正确． 答案：35．已知x 2∈{1,0，x }，则实数x ＝________.解析：∵x 2∈{1,0，x }，∴x 2＝1或x 2＝0或x 2＝x . ∴x ＝±1或x ＝0.但当x ＝0或x ＝1时，不满足元素的互异性． ∴x ＝－1. 答案：－16．设集合B ＝{x ∈N|62＋x∈N}．(1)试判断元素1和2与集合B 的关系； (2)用列举法表示集合B .解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ；当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，∴1∈B,2∉B .(2)令x ＝0,3,4代入62＋x∈N 检验，可得B ＝{0,1,4}．[B 级 能力提升]7．设集合A ＝{2,3,4}，B ＝{2,4,6}，若x ∈A 且x ∉B ，则x 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6解析：选B.∵x ∈{2,3,4}且x ∉{2,4,6}，∴x ＝3.8．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A *B 的所有元素之和为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．6解析：选D.∵z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B ，∴z 的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4， 故A *B ＝{0,2,4}，∴集合A *B 的所有元素之和为：0＋2＋4＝6.9．已知集合A ＝{x |2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵1∉A ，∴2＋a ≤0，即a ≤－2. 答案：a ≤－2 10.用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数；(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)； (3)满足方程x ＝|x |，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B . 解：(1){x |x ＝3n ，n ∈Z}；(2){(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0}；(3)B ＝{x |x ＝|x |，x ∈Z}．11．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0}．(1)若A 中只有一个元素，求a 的取值范围； (2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围． 解：(1)∵方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一个解，若a ＝0，则x ＝－12；若a ≠0，则Δ＝0，解得a ＝1，此时x ＝－1. ∴a ＝0或a ＝1时，A 中只有一个元素． (2)①A 中只有一个元素时，a ＝0或a ＝1.②A 中有两个元素时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ>0，解得a <1且a ≠0.综上，a ≤1.高中数学必修一同步训练及解析1．下列集合中是空集的是( ) A ．{x |x 2＋3＝3}B ．{(x ，y )|y ＝－x 2，x ，y ∈R}C ．{x |－x 2≥0}D ．{x |x 2－x ＋1＝0，x ∈R}解析：选D.∵方程x 2－x ＋1＝0的判别式Δ<0，∴方程无实根，故D 选项为空集，A 选项中只有一个元素0，B 选项中有无数个元素，即抛物线y ＝－x 2上的点，C 选项中只有一个元素0.2．已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <1}，则( ) A ．A >B B ．A B C ．B A D ．A ⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x ∈B ⇒x ∈A ，但x ∈A ⇒x ∈B 不成立． 3．下列关系中正确的是________． ①∅∈{0}；②∅；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}． 解析：∅，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确；{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a ，b )}与{(b ，a )}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②. 答案：②4．图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，则A 、B 、C 、D 、E 分别代表的图形的集合为__________________________．解析：由以上概念之间的包含关系可知：集合A ＝{四边形}，集合B ＝{梯形}，集合C ＝{平行四边形}，集合D ＝{菱形}，集合E ＝{正方形}．答案：A ＝{四边形}，B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}，D ＝{菱形}，E ＝{正方形}[A 级 基础达标]1．如果A ＝{x |x >－1}，那么( ) A ．0⊆A B ．{0}∈A C ．∅∈A D ．{0}⊆A解析：选D.A 、B 、C 的关系符号是错误的． 2．若{1,2}＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，则( ) A ．b ＝－3，c ＝2 B ．b ＝3，c ＝－2 C ．b ＝－2，c ＝3 D ．b ＝2，c ＝－3解析：选A.由题意知1,2为方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－b ，1×2＝c ，解得b ＝－3，c ＝2.3．符合条件{a P ⊆{a ，b ，c }的集合P 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选B.集合P 中一定含有元素a ，且不能只有a 一个元素，用列举法列出即可．4．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|yx＝1}，则A 、B 间的关系为________．解析：(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ，故B A . 答案：B A5．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________. 解析：由于B ⊆A ，则应有m 2＝2m －1，于是m ＝1. 答案：16．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N}，试写出A 的所有子集． 解：∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N}， ∴A ＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A 的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．[B 级 能力提升]7．集合M ＝{x |x 2＋2x －a ＝0，x ∈R}，且∅M ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－1B ．a ≤1C ．a ≥－1D ．a ≥1解析：选C.∅M 等价于方程x 2＋2x －a ＝0有实根．即Δ＝4＋4a ≥0.解得a ≥－1. 8．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≤1 C ．a ≥1 D ．a ≤2解析：选A.A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，要使A B ，则应有a ≥2.9．设A ＝{x ∈R|x 2－5x ＋m ＝0}，B ＝{x ∈R|x －3＝0}，且B ⊆A ，则实数m ＝________，集合A ＝________.解析：B ＝{3}．∵B ⊆A ，∴3∈A ，即9－15＋m ＝0.∴m ＝6.解方程x 2－5x ＋6＝0，得x 1＝2，x 2＝3， ∴A ＝{2,3}． 答案：6 {2,3}10．设M ＝{x |x 2－2x －3＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若N ⊆M ，求所有满足条件的a 的集合． 解：由N ⊆M ，M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1,3}， 得N ＝∅或N ＝{－1}或N ＝{3}． 当N ＝∅时，ax －1＝0无解，∴a ＝0.当N ＝{－1}时，由1a ＝－1，得a ＝－1.当N ＝{3}时，由1a ＝3，得a ＝13.∴满足条件的a 的集合为{－1,0，13}．11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求a 的取值范围． 解：(1)若AB ，由图可知，a >2.(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.高中数学必修一同步训练及解析1．已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |－1<x <2}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <2}解析：选D.如图所示．A ∩B ＝{x |x >1}∩{x |－1<x <2}＝{x |1<x <2}．2．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}则()A．M⊆NB．N⊆MC．M∩N＝{2,3}D．M∪N＝{1,4}解析：选C.∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}．∴选项A、B显然不对．M∪N＝{1,2,3,4}，∴选项D错误．又M∩N＝{2,3}，故选C.3．设M＝{0,1,2,4,5,7}，N＝{1,4,6,8,9}，P＝{4,7,9}，则(M∩N)∪(M∩P)＝________.解析：M∩N＝{1,4}，M∩P＝{4,7}，所以(M∩N)∪(M∩P)＝{1,4,7}．答案：{1,4,7}4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．解析：A∪B＝A，即B⊆A，∴m≥2.答案：m≥2[A级基础达标]1．下列关系Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确的个数是() A．1B．2C．3D．4解析：选C.只有Z∪N＝N是错误的，应是Z∪N＝Z.2．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：选C.由P＝{x|x2≤1}得P＝{x|－1≤x≤1}．由P∪M＝P得M⊆P.又M＝{a}，∴－1≤a≤1.3．已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}的关系的韦恩(Venn)图，如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A．3个B．2个C．1个D．无穷多个解析：选B.M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所示的集合为M∩N＝{1,3}，即阴影部分所示的集合共有2个元素．4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________.解析：∵A∩B＝{2,3}，∴3∈B，∴m＝3.答案：35．设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是________．解析：利用数轴分析可知，a>－1.答案：a>－16．已知集合A ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧3－x >03x ＋6>0}，集合B ＝{m |3>2m －1}，求：A ∩B ，A ∪B .解：∵A ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧3－x >03x ＋6>0}＝{x |－2<x <3}，B ＝{m |3>2m －1}＝{m |m <2}．用数轴表示集合A ，B ，如图．∴A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．[B 级 能力提升]7．设A ＝{(x ，y )|(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝0}，B ＝{－2，－1}，则必有( ) A ．A ⊇B B ．A ⊆B C ．A ＝B D ．A ∩B ＝∅解析：选D.A ＝{(x ，y )|(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝0}＝{(－2，－1)}是点集，B ＝{－2，－1}是数集，所以A ∩B ＝∅.8．若集合A ＝{参加2012年奥运会的运动员}，集合B ＝{参加2012年奥运会的男运动员}，集合C ＝{参加2012年奥运会的女运动员}，则下列关系正确的是( ) A ．A ⊆B B ．B ⊆CC ．A ∩B ＝CD ．B ∪C ＝A解析：选D.参加2012年奥运会的运动员是参加2012年奥运会的男运动员和女运动员的总和，即A ＝B ∪C .9．满足条件{1,3}∪M ＝{1,3,5}的集合M 的个数是________． 解析：∵{1,3}∪M ＝{1,3,5}，∴M 中必须含有5， ∴M 可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个． 答案：410．已知集合M ＝{x |2x －4＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}， (1)当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N ； (2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值． 解：由题意得M ＝{2}．(1)当m ＝2时，N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}， 则M ∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1,2}． (2)∵M ∩N ＝M ，∴M ⊆N . ∵M ＝{2}，∴2∈N .∴2是关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的解，即4－6＋m ＝0，解得m ＝2. 11．集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a >0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵B ＝{x |x ≥2}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}．(2)C ＝{x |x >－a2}，B ∪C ＝C ⇒B ⊆C ，∴－a2<2，∴a >－4.高中数学必修一同步训练及解析1．若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>－1}，则()A．P⊆QB．Q⊆PC．∁R P⊆QD．Q⊆∁R P解析：选C.∵P＝{x|x<1}，∴∁R P＝{x|x≥1}，∴∁R P⊆Q.2．设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有() A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选A.∵U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}．故选A.3．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________. 解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁U C＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁U C)＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}．答案：{2,5}4．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.答案：－1或2[A级基础达标]1．设集合U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则∁U(M∩N)＝()A．{1,2}B．{2,3}C．{2,4}D．{1,4}解析：选D.∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，∴M∩N＝{2,3}．又∵U＝{1,2,3,4}，∴∁U(M∩N)＝{1,4}．2．已知集合U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则()A．M∩N＝{4,6}B．M∪N＝UC．(∁U N)∪M＝UD．(∁U M)∩N＝N解析：选B.由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，得M∩N＝{4,5}，(∁U N)∪M ＝{3,4,5,7}，(∁U M)∩N＝{2,6}，M∪N＝{2,3,4,5,6,7}＝U.3．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|x＞1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |1＜x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：选D.∵B ＝{x |x ＜1}，∴∁R B ＝{x |x ≥1}， ∴A ∩∁R B ＝{x |1≤x ≤2}．4．已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________. 解析：∵A ∪∁U A ＝U ，∴A ＝{x |1≤x ＜2}．∴a ＝2. 答案：25．设集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |y ＝x －3，－1≤x ≤3}，则∁R (A ∩B )＝________. 解析：∵A ＝{x |0≤x ≤4}， B ＝{y |－4≤y ≤0}， ∴A ∩B ＝{0}，∴∁R (A ∩B )＝{x |x ∈R ，且x ≠0}． 答案：{x |x ∈R ，且x ≠0}6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．解：将集合A 、B 、P 表示在数轴上，如图．∵A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}， ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}． ∵∁U B ＝{x |x ≤－1或x ＞3}，∴(∁U B )∪P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩{x |0＜x ＜52}＝{x |0＜x ＜2}．[B 级 能力提升]7．已知集合U ＝R ，集合A ＝{x |x <－2或x >4}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．{x |－3≤x ≤4} B ．{x |－2≤x ≤3}C ．{x |－3≤x ≤－2或3≤x ≤4}D ．{x |－2≤x ≤4}解析：选B.∁U A ＝{x |－2≤x ≤4}．由图可知：(∁U A )∩B ＝{x |－2≤x ≤3}． 8.已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选A.依题意知A ＝{0,1}，(∁U A )∩B 表示全集U 中不在集合A 中，但在集合B 中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}．9．设全集U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m 的值为________．解析：如图，∵U ＝{0,1,2,3}， ∁U A ＝{1,2}， ∴A ＝{0,3}，∴方程x 2＋mx ＝0的两根为x 1＝0，x 2＝3， ∴0＋3＝－m ，即m ＝－3. 答案：－310．设全集U ＝{x |0<x <10，x ∈N *}，且A ∩B ＝{3}，A ∩(∁U B )＝{1,5,7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{9}，求A ，B .解：如图所示，由图可得A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,6,8}．11．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：由已知A ＝{x |x ≥－m }， ∴∁U A ＝{x |x ＜－m }，∵B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∁U A )∩B ＝∅， ∴－m ≤－2，即m ≥2， ∴m 的取值范围是m ≥2.高中数学必修一同步训练及解析1．函数y ＝1x的定义域是( )A ．RB ．{0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．{x |x ≠1}解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．2．下列各组函数表示相等函数的是( )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x >0－x ， x <0与g (x )＝|x |B ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxC ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝(t 2－1)2D ．f (x )＝x 2与g (x )＝x解析：选C.A ：f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同． B ：f (x )的定义域是R ，g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同．C ：f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，虽然表示自变量的字母不同，但定义域与对应法则都相同．D ：f (x )＝|x |，g (x )＝x ，对应法则不相同．3．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析：由题意3a －1＞a ，则a ＞12.答案：(12，＋∞)4．函数y ＝x 2－2x (－2≤x ≤4，x ∈Z)的值域为________．解析：∵－2≤x ≤4，x ∈Z ，∴x 取－2，－1,0,1,2,3,4.可知y 的取值为8,3,0，－1,0,3,8，∴值域为{－1,0,3,8}． 答案：{－1,0,3,8}[A 级 基础达标]1．下列对应关系中能构成实数集R 到集合{1，－1}的函数的有( ) ①②③A ．①B ．②C ．③D ．①③解析：选B.①中将自变量分为两类：一类是奇数，另一类是偶数．而实数集中除奇数、偶数之外，还有另外的数，如无理数，它们在集合{1，－1}中无对应元素；③中实数集除整数、分数之外，还有无理数，它们在集合{1，－1}中无对应元素；②符合题干要求．2．函数y ＝31－1－x的定义域是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，0)∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．[1，＋∞)解析：选B.由⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0.即得x ≤1且x ≠0，故选B.3．区间[5,8)表示的集合是( )A ．{x |x ≤5或x >8}B ．{x |5<x ≤8}C ．{x |5≤x <8}D ．{x |5≤x ≤8} 答案：C4．函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R)的值域是________．解析：y ＝x 2x 2＋1＝1－1x 2＋1，∴y 的值域为[0,1)． 答案：[0,1)5．设f (x )＝11－x，则f [f (x )]＝________.解析：f [f (x )]＝11－11－x ＝11－x －11－x＝x －1x .(x ≠0，且x ≠1)答案：x －1x(x ≠0，且x ≠1)6．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝2x －1－3－x ＋1；(2)f (x )＝4－x 2x ＋1.解：(1)要使函数f (x )有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，3－x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ≤3⇔12≤x ≤3.∴f (x )的定义域是[12，3]．(2)函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0x ＋1≠0⇔⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2x ≠－1 ⇔{x |－2≤x ≤2，且x ≠－1}．∴f (x )的定义域是[－2，－1)∪(－1,2]．[B 级 能力提升]7．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f [f (－1)]＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2解析：选A.f (－1)＝a －1，f [f (－1)]＝f (a －1) ＝a (a －1)2－1＝－1，所以a ＝1. 8．下列说法中正确的为( )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应关系是否相同．9．已知函数f (x )对任意实数x 1，x 2，都有f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)成立，则f (0)＝________，f (1)＝________.解析：令x 1＝x 2＝0，有f (0×0)＝f (0)＋f (0)，解得f (0)＝0； 令x 1＝x 2＝1，有f (1×1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0. 答案：0 010．求下列函数的值域． (1)y ＝x ＋1；(2)y ＝xx ＋1.解：(1)因为函数的定义域为{x |x ≥0}， ∴x ≥0，∴x ＋1≥1.所以函数y ＝x ＋1的值域为[1，＋∞)．(2)∵y ＝x x ＋1＝1－1x ＋1，且定义域为{x |x ≠－1}，∴1x ＋1≠0，即y ≠1. 所以函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ∈R ，且y ≠1}．11．已知函数f (x )＝x 2＋x －1， (1)求f (2)，f (a )；(2)若f (a )＝11，求a 的值； (3)求f (x )的值域．解：(1)f (2)＝22＋2－1＝5， f (a )＝a 2＋a －1.(2)∵f (a )＝a 2＋a －1，∴若f (a )＝11，则a 2＋a －1＝11， 即(a ＋4)(a －3)＝0. ∴a ＝－4或a ＝3.(3)∵f (x )＝x 2＋x －1＝(x ＋12)2－54≥－54，∴f (x )的值域为[－54，＋∞)．高中数学必修一同步训练及解析1．下列点中不在函数y ＝2x ＋1的图象上的是( )A ．(1,1)B ．(－2，－2)C ．(3，12)D ．(－1,0) 答案：D2．已知一次函数的图象过点(1,0)，和(0,1)，则此一次函数的解析式为( ) A ．f (x )＝－x B ．f (x )＝x －1 C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x ＋1解析：选D.设一次函数的解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝0，b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1.∴f (x )＝－x ＋1.3．已知f (x )＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于________．解析：2m ＋3＝6，m ＝32.答案：324．已知f (2x )＝x 2－x －1，则f (x )＝________.解析：令2x ＝t ，则x ＝t2，∴f (t )＝⎝⎛⎭⎫t 22－t 2－1，即f (x )＝x 24－x 2－1.答案：x 24－x 2－1[A 级 基础达标]1．已知f (x )是反比例函数，且f (－3)＝－1，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝－3xB ．f (x )＝3xC ．f (x )＝3xD ．f (x )＝－3x 答案：B2．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f (12)等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：选C.法一：令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)，∴f (t )＝4(t －1)2－1，∴f (12)＝16－1＝15.法二：令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f (12)＝16－1＝15.3．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )解析：选B.根据题意，知火车从静止开始匀加速行驶，所以只有选项B 、C 符合题意，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，所以可以确定选B. 4．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出，x 1 2 3 g (x )321则f [g (1)]的值为________；当g [f (x )]＝2时，x ＝________. 解析：f [g (1)]＝f (3)＝1； g [f (x )]＝2，∴f (x )＝2， ∴x ＝1. 答案：1 15．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是________．解析：由题意，知长方体的宽为x cm ，长为(10＋x ) cm ，则根据长方体的体积公式，得y ＝(10＋x )x ×80＝80x 2＋800x .所以y 与x 之间的表达式是y ＝80x 2＋800x (x >0)． 答案：y ＝80x 2＋800x (x >0)6．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )． 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，∴a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.[B 级 能力提升]7．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3解析：选B.设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∴f (x )＝3x －2. 8.已知函数f (x )的图象如图所示，则此函数的定义域、值域分别是( ) A ．(－3,3)；(－2,2) B ．[－3,3]；[－2,2] C ．[－2,2]；[－3,3] D ．(－2,2)；(－3,3)解析：选B.结合f (x )的图象知，定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]． 9．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )的解析式为________． 解析：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1 ＝(x ＋1)2－1，∴f (x )＝x 2－1.由于x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 答案：f (x )＝x 2－1(x ≥1)10．2012年，第三十届夏季奥林匹克运动会在英国伦敦举行，其门票价格从20英磅到2000英磅不等，但最高门票：7月27日开幕式的贵宾票，价格高达2012英磅，折合人民币21352元，是2008年北京奥运会门票的四倍．为鼓励伦敦青少年到现场观看比赛，伦敦奥组委为伦敦市的14000名学生提供了一次免费门票机会，16岁以下青少年儿童的门票价格比最低价门票还要优惠些，有些比赛项目则无需持票观看，如马拉松、三项全能和公路自行车比赛均向观众免费开放．某同学打算购买x 张价格为20英磅的门票(x ∈{1,2,3,4,5}，需用y 英磅，试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数． 解：解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 列表法：图象法：11．作出下列函数的图象： (1)y ＝x ＋2，|x |≤3；(2)y ＝x 2－2，x ∈Z 且|x |≤2.解：(1)因为|x |≤3，所以函数的图象为线段，而不是直线，如图(1)． (2)因为x ∈Z 且|x |≤2，所以函数的图象是五个孤立的点，如图(2)．高中数学必修一同步训练及解析1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，则下列对应不是A 到B 的映射的是( )解析：选C.A 、B 、D 均满足映射的定义，C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应，且A 中元素b 在B 中无元素与之对应．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f [1f (2)]的值为( )A.1516B ．－2716C.89 D ．18解析：选A.∵f (2)＝22＋2－2＝4，∴f [1f (2)]＝f (14)＝1－(14)2＝1516.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤00，x >0，则f (2)＋f (－2)＝________.答案：44．已知M ＝{正整数}，N ＝{正奇数}，映射f ：a →b ＝2a －1，(a ∈M ，b ∈N )，则在映射f 下M 中的元素11对应N 中的元素是________． 答案：21[A 级 基础达标]1．下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x ≤1.②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④2.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤－1)，x 2(－1＜x ＜2)，2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值是( )A ．1B ．1或32C ．1，32或±3 D. 3解析：选D.该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)， ∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1＜x ＜2，∴x ＝ 3.3．函数y ＝x ＋|x |x的图象为( )解析：选C.y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x >0)x －1 (x <0)，再作函数图象．4.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(4,2)，则f (f (f (2)))＝________.解析：f (2)＝0，f (f (2))＝f (0)＝4，f (f (f (2)))＝f (4)＝2. 答案：25．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0x 2，x ≥0，若f (x )＝16，则x 的值为________．解析：当x <0时，2x ＝16，无解；当x ≥0时，x 2＝16，解得x ＝4. 答案：46．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2.(1)求f (－74)；(2)求f (14)；(3)求f (4)；(4)若f (a )＝3，求a 的值．解：(1)f (－74)＝－74＋2＝14；(2)f (14)＝2×14＝12；(3)f (4)＝422＝8；(4)因为当x ≤－1时，x ＋2≤1，当x ≥2时，x 22≥2，当－1<x <2时，－2<2x <4.所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <22a ＝3⇒a ＝32，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2a 22＝3⇒a 2＝6⇒a ＝ 6.综上，若f (a )＝3，则a 的值为32或 6.[B 级 能力提升]7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2 (－1<x <0)－12x (0≤x <2)，3 (x ≥2)则f (x )的值域是( )A ．(－1,2)B ．(－1,3]C ．(－1,2]D ．(－1,2)∪{3}解析：选D.对f (x )来说，当－1<x <0时，f (x )＝2x ＋2∈(0,2)；当0≤x <2时，f (x )＝－12x ∈(－1,0]；当x ≥2时，f (x )＝3.故函数y ＝f (x )的值域为(－1,2)∪{3}．故选D.8．映射f ：A →B ，A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a ∈A ，在集合B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素个数至少是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解析：选A.对于A 中的元素±1，B 中有1与之对应；A 中的元素±2，B 中有一个元素2与之对应；A 中的元素±3，B 中有一个元素3与之对应；A 中的元素4，B 中有一个元素4与之对应，所以B 中的元素个数至少是4.9．设f ：A →B 是从集合A 到B 的映射，其中A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，f ：(x ，y )→(x ＋y ，x －y )，那么A 中元素(1,3)所对应的B 中的元素为________，B 中元素(1,3)在A 中有________与之对应．解析：(1,3)→(1＋3,1－3)，即(4，－2)． 设A 中与(1,3)对应的元素为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 答案：(4，－2) (2，－1)10．根据函数f (x )的图象如图所示，写出它的解析式．解：当0≤x ≤1时，f (x )＝2x ；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3. 所以解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.11．某市乘出租车计费规定：2公里以内5元，超过2公里不超过8公里的部分按每公里1.6元计费，超过8公里以后按每公里2.4元计费．若甲、乙两地相距10公里，则乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为多少元？ 解：设乘出租车走x 公里，车费为y 元， 由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0<x ≤25＋1.6×(x －2)，2<x ≤8，14.6＋2.4×(x －8)，x >8即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0<x ≤21.8＋1.6x ，2<x ≤8，2.4x －4.6，x >8因为甲、乙两地相距10公里，即x ＝10>8，所以车费y ＝2.4×10－4.6＝19.4(元)． 所以乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为19.4元．高中数学必修一同步训练及解析1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)解析：选A.根据y ＝－x 2的图象可得．2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：选A.∵－1<0，所以一次函数y ＝－x ＋3在R 上递减；反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上递减；二次函数y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.3．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是________．答案：[－1.5,3]，[5,6]4．证明：函数y ＝xx ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．证明：设x 1>x 2>－1，则y 1－y 2＝x 1x 1＋1－x 2x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，∵x 1>x 2>－1，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即y 1－y 2>0，y 1>y 2， ∴y ＝xx ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．[A 级 基础达标]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选A.函数的单调性的定义是指定义在区间I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x <0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5，而f (－3)>f (5)；④y ＝1x的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法． 2．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2]D ．(－∞，32]解析：选D.由二次函数y ＝x 2－3x ＋2图象的对称轴为x ＝32且开口向上，所以单调减区间为(－∞，32]，故选D.3．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：选C.因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3，故选C.4．函数f (x )＝|x －3|的单调递增区间是________，单调递减区间是________． 解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥3，－x ＋3，x <3.其图象如图所示，则f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，3]． 答案：[3，＋∞) (－∞，3]5．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围为________．解析：设任意的x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵f (x )在(－2，＋∞)上单调递增， ∴f (x 1)－f (x 2)<0. ∴(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)<0， ∵x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴2a －1>0，∴a >12.答案：(12，＋∞)6．作出函数y ＝x |x |＋1的图象并写出其单调区间． 解：由题可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，作出函数的图象如图所示，所以原函数的单调增区间为(－∞，＋∞)．[B 级 能力提升]7．对于函数y ＝f (x )，在给定区间上有两个数x 1，x 2，且x 1<x 2，使f (x 1)<f (x 2)成立，则y ＝f (x )( ) A ．一定是增函数 B ．一定是减函数 C ．可能是常数函数 D ．单调性不能确定解析：选D.由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值． 8．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2－1)<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )解析：选D.∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a .∴f (a 2＋1)<f (a )．故选D.9．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f (12)的实数x 的取值范围为________．解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，即－1≤x <12.答案：－1≤x <1210．作出函数f (x )＝|2x －1|的图象并写出其单调区间． 解：当x >12时，f (x )＝2x －1，当x ≤12时，f (x )＝－2x ＋1，所以f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x >12，－2x ＋1，x ≤12，画出函数的图象如图所示，所以原函数的单调增区间为[12，＋∞)，减区间为(－∞，12]．11．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．解：(1)∵f (1)＝0，f (3)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3. (2)证明：∵f (x )＝x 2－4x ＋3， ∴设x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1＋3)－(x 22－4x 2＋3)＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)，∵x 1－x 2＜0，x 1＞2，x 2＞2， ∴x 1＋x 2－4＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．高中数学必修一同步训练及解析1．设函数f (x )＝2x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 解析：选C.画出函数f (x )＝2x －1(x <0)的图象，如右图中实线部分所示．由图象可知，函数f (x )＝2x －1(x <0)是增函数，无最大值及最小值．故选C.2．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13D ．－12解析：选B.函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数，∴y min ＝13－1＝12.3．函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________.解析：∵f (x )在[1，b ]上是减函数，∴f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，∴b ＝4. 答案：44．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________． 解析：∵x ∈N *，∴x 2≥1， ∴y ＝2x 2＋2≥4，即y ＝2x 2＋2在x ∈N *上的最小值为4，此时x ＝1. 答案：4[A 级 基础达标]1．函数f (x )＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,4]，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3 D ．－2解析：选C.∵f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，又f (1)＝0，f (4)＝3. ∴f (x )的最大值是3.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10、6B ．10、8C ．8、6D ．以上都不对解析：选A.f (x )在x ∈[－1,2]上为增函数，f (x )max ＝f (2)＝10，f (x )min ＝f (－1)＝6. 3．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a ) C ．9－a D ．9－a 2解析：选A.x ∈[0,3]时f (x )为减函数，f (x )max ＝f (0)＝9. 4．函数f (x )＝x －2，x ∈{0,1,2,4}的最大值为________．解析：函数f (x )自变量的取值是几个孤立的数，用观察法即得它的最大值为f (4)＝2. 答案：25．函数f (x )＝x 2＋bx ＋1的最小值是0，则实数b ＝________. 解析：f (x )是二次函数，二次项系数1>0，则最小值为f (－b 2)＝b 24－b 22＋1＝0，解得b ＝±2. 答案：±26．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2 (－12≤x ≤1)1x(1＜x ≤2)，求f (x )的最大、最小值．解析：当－12≤x ≤1时，由f (x )＝x 2，得f (x )的最大值为f (1)＝1，最小值为f (0)＝0；当1＜x ≤2时，由f (x )＝1x，得f (2)≤f (x )＜f (1)，即12≤f (x )＜1. 综上f (x )max ＝1，f (x )min ＝0.[B 级 能力提升]7．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )的最小值为－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.因为f (x )＝－(x －2)2＋4＋a ，由x ∈[0,1]可知当x ＝0时，f (x )取得最小值，及－4＋4＋a ＝－2，所以a ＝－2，所以f (x )＝－(x －2)2＋2，当x ＝1时，f (x )取得最大值为－1＋2＝1.故选C.8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A ．90万元 B ．60万元 C ．120万元 D ．120.25万元解析：选C.设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售15－x 辆，公司获利为 L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x ) ＝－x 2＋19x ＋30＝－(x －192)2＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．9．函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝______.解析：若a <0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a ＋1＝4，解得a ＝3，不满足a <0，舍去；若a >0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是增函数，当x ＝3时，y ＝4，∴3a ＋1＝4，∴a ＝1. 综上：a ＝1. 答案：110．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0)．(1)证明f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若f (x )的定义域、值域都是[12，2]，求实数a 的值．解：(1)证明：设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2. ∵x 2>x 1>0，∴x 2－x 1>0， ∴x 2－x 1x 1x 2>0，即f (x 2)>f (x 1)． ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且定义域和值域均为[12，2]，∴⎩⎨⎧f (12)＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，∴a ＝25.11.如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m ，问每间笼舍的宽度x 为多少m 时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间最大面积为多少？ 解：设总长为b ， 由题意知b ＝30－3x ，可得y ＝12xb ，即y ＝12x (30－3x )＝－32(x －5)2＋37.5，x ∈(0,10)．当x ＝5时，y 取得最大值37.5，即每间笼舍的宽度为5 m 时，每间笼舍面积y 达到最大，最大面积为37.5 m 2.高中数学必修一同步训练及解析1．下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝|x |＋xB ．f (x )＝x 2＋1xC ．f (x )＝x 2＋xD ．f (x )＝|x |x2解析：选D.只有D 符合偶函数定义．2．f (x )＝x 3＋1x的图象关于( )A ．原点对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．y ＝－x 对称解析：选A.x ≠0，f (－x )＝(－x )3＋1－x＝－f (x )，f (x )为奇函数，关于原点对称．3．函数f (x )＝x 3＋ax ，f (1)＝3，则f (－1)＝________. 解析：显然f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案：－34．若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________. 解析：f (x )＝x 2＋(1－a )x －a 为偶函数， ∴1－a ＝0，a ＝1. 答案：1[A 级 基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．函数y ＝1x是奇函数，且在定义域内为减函数B ．函数y ＝x 3(x －1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C ．函数y ＝x 2是偶函数，且在(－3,0)上为减函数D ．函数y ＝ax 2＋c (ac ≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数解析：选C.选项A 中，y ＝1x在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D 中，当a ＜0时，y ＝ax 2＋c (ac ≠0)在(0,2)上为减函数，故选C. 2．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数是f (x )＝0. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A.偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，如y ＝1x2，故①错，③对；奇函数的图象不一定通过原点，如y ＝1x，故②错；既奇又偶的函数除了满足f (x )＝0，还要满足定义域关于原点对称，④错．故选A.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，那么g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数 解析：选A.g (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝xf (x )，g (－x )＝－x ·f (－x )＝－x ·f (x )＝－g (x )，所以g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是奇函数；因为g (x )－g (－x )＝2ax 3＋2cx 不恒等于0，所以g (－x )＝g (x )不恒成立．故g (x )不是偶函数．4．如图给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)的值是________．解析：f (－2)＝－f (2)＝－32.答案：－325．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f (x )是定义域为[a －1,2a ]的偶函数，∴a －1＝－2a ，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )， 即13x 2－bx ＋1＋b ＝13x 2＋bx ＋1＋b . ∴b ＝0.答案：136．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x －1＋1－x ； (2)f (x )＝|x |＋x 2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 (x >0)0 (x ＝0).x ＋1 (x <0)解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－x ≥0.∴x ＝1.定义域为{1}，不关于原点对称，∴函数f (x )为非奇非偶函数．(2)f (x )＝|x |＋x 2＝2|x |， 定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．且有f (－x )＝2|－x |＝2|x |＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(3)法一：显然定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称． 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝1－x ＝－f (x )， 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－x －1＝－f (x )． 则f (－0)＝f (0)＝－f (0)＝0. ∴f (x )为奇函数．法二：作出函数f (x )的图象，可知f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数．[B 级 能力提升]7．若f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )≥2，则当x ≤0时( ) A ．f (x )≤2 B ．f (x )≥2C ．f (x )≤－2D ．f (x )∈R解析：选B.可画出f (x )的大致图象：易知当x ≤0时，有f (x )≥2.故选B.8．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( ) A ．f (π)>f (－3)>f (－2) B ．f (π)>f (－2)>f (－3) C ．f (π)<f (－3)<f (－2) D ．f (π)<f (－2)<f (－3)解析：选A.∵f (x )为偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )为增函数． 又∵f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)， 且2<3<π，∴f (2)<f (3)<f (π)，即f (－2)<f (－3)<f (π)．9．若偶函数f (x )在(－∞，0]上为增函数，则满足f (1)≤f (a )的实数a 的取值范围是________． 解析：由已知偶函数f (x )在(－∞，0]上为增函数， ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (1)≤f (a )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0－1≤a ⇔0<a ≤1，或－1≤a ≤0.。

新版高一数学必修第一册第一章全部配套练习题（含答案和解析）1.1 集合的概念第1课时集合的概念基础练巩固新知夯实基础1．有下列各组对象：①接近于0的数的全体；①比较小的正整数的全体；①平面上到点O的距离等于1的点的全体；①直角三角形的全体．其中能构成集合的个数是()A．2 B．3C．4 D．52．已知集合A由x＜1的数构成，则有()A．3①A B．1①AC．0①A D．－1①A3．集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是()A．0①A B．a①A C．a①A D．a＝A4．若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是() A．矩形B．平行四边形C．菱形D．梯形5．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a①A，有6－a①A，则a为() A．2 B．2或4C ．4D ．06．若x ①N ，则满足2x －5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为________． 7．已知①5①R ；①13①Q ；①0①N ；①π①Q ；①－3①Z .正确的个数为________．能 力 练综合应用 核心素养8．已知x ，y 都是非零实数，z ＝x |x |＋y |y |＋xy|xy |可能的取值组成集合A ，则( )A ．2①AB ．3①AC ．－1①AD ．1①A9．已知集合A 中含有三个元素1，a ，a －1，若－2①A ，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－1或－2D ．－2或－310．集合A 中含有三个元素2,4,6，若a ①A ，且6－a ①A ，那么a ＝________. 11．由实数x ，－x ，|x |，x 2及－3x 3所组成的集合，最多含有________个元素．12．已知集合M 中含有三个元素2，a ，b ，集合N 中含有三个元素2a,2，b 2，且M ＝N .求a ，b 的值．13．设A 为实数集，且满足条件：若a ①A ，则11－a①A (a ≠1)．求证：(1)若2①A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．14．已知方程ax2－3x－4＝0的解组成的集合为A.(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．【参考答案】1．A 解析 ①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．①不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准．①①均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依． 2．C 解析 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．3．C 解析 由题意知A 中只有一个元素a ，①a ①A ，元素a 与集合A 的关系不能用“＝”，a 是否等于0不确定，因此0是否属于A 不确定，故选C ．4．D 解析 由集合中的元素具有互异性可知a ，b ，c ，d 互不相等，而梯形的四条边可以互不相等． 5．B 解析 若a ＝2①A ，则6－a ＝4①A ；或a ＝4①A ，则6－a ＝2①A ；若a ＝6①A ，则6－a ＝0①A . 6．3 解析 由2x －5＜0，得x ＜52，又x ①N ，①x ＝0,1,2，故所有元素之和为3.7．3 解析 ①①①是正确的；①①是错误的． 8．C 解析 ①当x >0，y >0时，z ＝1＋1＋1＝3；①当x >0，y <0时，z ＝1－1－1＝－1； ①当x <0，y >0时，z ＝－1＋1－1＝－1； ①当x <0，y <0时，z ＝－1－1＋1＝－1， ①集合A ＝{－1,3}． ①－1①A .9．C 解析 由题意可知a ＝－2或a －1＝－2，即a ＝－2或a ＝－1，故选C ．10．2或4 解析若a ＝2，则6－2＝4①A ；若a ＝4，则6－4＝2①A ；若a ＝6，则6－6＝0①A .故a ＝2或4. 11．2 解析 因为|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，所以不论x 取何值，最多只能写成两种形式：x ，－x ，故合中最多含有2个元素．12．解 法一 根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2ab ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b 2b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.法二 ①两个集合相同，则其中的对应元素相同．①⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2a ＋b 2a ·b ＝2a ·b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b b －1＝0 ①ab ·2b －1＝0 ①①集合中的元素互异，①a ，b 不能同时为零． 当b ≠0时，由①得a ＝0，或b ＝12.当a ＝0时，由①得b ＝1，或b ＝0(舍去)． 当b ＝12时，由①得a ＝14.当b ＝0时，a ＝0(舍去)．①⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.13．证明 (1)若a ①A ，则11－a①A .又①2①A ，①11－2＝－1①A .①－1①A ，①11－－1＝12①A .①12①A ，①11－12＝2①A . ①A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a，即a 2－a ＋1＝0，方程无解． ①a ≠11－a，①集合A 不可能是单元素集．14．解 (1)因为A 中有两个元素，所以方程ax 2－3x －4＝0有两个不等的实数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9＋16a >0，即a >－916且a ≠0.所以实数a 的取值范围为a >－916，且a ≠0.(2)当a ＝0时，由－3x －4＝0得x ＝－43；当a ≠0时，若关于x 的方程ax 2－3x －4＝0有两个相等的实数根，则Δ＝9＋16a ＝0，即a ＝－916；若关于x 的方程无实数根，则Δ＝9＋16a <0，即a <－916， 故所求的a 的取值范围是a ≤－916或a ＝0.1.1 集合的概念 第2课时 集合的表示基 础 练巩固新知 夯实基础1．集合A ＝{x ①Z |－2<x <3}的元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集不可以表示为( )A.错误! B.错误!C ．{1,2}D ．{(1,2)} 3．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合4．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是( ) A.{}x |x 是小于18的正奇数 B.{}x |x ＝4k ＋1，k ①Z ，且k <5 C.{}x |x ＝4t －3，t ①N ，且t ≤5 D.{}x |x ＝4s －3，s ①N *，且s ≤55．集合M ＝{(x ，y )|xy ＜0，x ①R ，y ①R }是( )A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集6．集合{x ①N |x 2＋x －2＝0}用列举法可表示为________．7．将集合{(x ，y )|2x ＋3y ＝16，x ，y ①N }用列举法表示为________． 8．有下面四个结论：①0与{0}表示同一个集合；①集合M ＝{3,4}与N ＝{(3,4)}表示同一个集合；①方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}； ①集合{x |4＜x ＜5}不能用列举法表示． 其中正确的结论是________(填写序号)．能 力 练综合应用 核心素养9．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＝x |x |＋y |y |＋xy |xy |为( ) A ．{0,3} B ．{1,3} C ．{－1,3}D ．{1，－3}10．已知集合A ＝{}x |x ＝2m －1，m ①Z ，B ＝{}x |x ＝2n ，n ①Z ，且x 1，x 2①A ，x 3①B ，则下列判断不正确的是( ) A ．x 1·x 2①A B ．x 2·x 3①B C ．x 1＋x 2①BD ．x 1＋x 2＋x 3①A11．已知集合A ＝{x |x ＝3m ，m ①N *}，B ＝{x |x ＝3m －1，m ①N *}，C ＝{x |x ＝3m －2，m ①N *}，若a ①A ，b ①B ， c ①C ，则下列结论中可能成立的是( ) A ．2 006＝a ＋b ＋c B ．2 006＝abc C ．2 006＝a ＋bcD ．2 006＝a (b ＋c )12．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ①A ，y ①A ，x ＋y ①A }，则B 中所含元素的个数为________．13．定义集合A －B ＝{x |x ①A ，且x ①B }，若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －23<0，则集合A －B ＝________.14．已知集合A ＝{x ①R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ①R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .15．设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求a2014＋b2014.16．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，定义集合P＋Q＝{a＋b|a①P，b①Q}，用列举法表示集合P＋Q.【参考答案】1.D 解析因为A＝{x①Z|－2<x<3}，所以x的取值为－1，0,1,2，共4个．2.C 解析C选项表示两个数．3. D 解析集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.4.D解析对于x＝4s－3，当s依次取1,2,3,4,5时，恰好对应的x的值为1,5,9,13,17.5. D 解析因xy＜0，所以有x＞0，y＜0；或者x＜0，y＞0.因此集合M表示的点集在第四象限和第二象限．6. {1} 解析由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1. 又x①N，①x＝1.7. {(2,4)，(5,2)，(8,0)} 解析①3y＝16－2x＝2(8－x)，且x①N，y①N，①y为偶数且y≤5，①当x＝2时，y＝4，当x＝5时y＝2，当x＝8时，y＝0.8. ① 解析 {0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；①集合M 是实数3,4的集合，而集合N 是实数对(3,4)的集合，不正确；①不符合集合中元素的互异性，错误；①中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．9. C 解析 当x >0，y >0时，m ＝3，当x <0，y <0时，m ＝－1－1＋1＝－1.当x ，y 异号，不妨设x >0，y <0时，m ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.因此m ＝3或m ＝－1，则M ＝{－1,3}． 10. D ①集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集，①x 1，x 2是奇数，x 3是偶数，①x 1＋x 2＋x 3为偶数． 11. C 解析 由于2 006＝3×669－1，不能被3整除，而a ＋b ＋c ＝3m 1＋3m 2－1＋3m 3－2＝3(m 1＋m 2＋m 3－1)不满足；abc ＝3m 1(3m 2－1)(3m 3－2)不满足；a ＋bc ＝3m 1＋(3m 2－1)(3m 3－2)＝3m －1适合； a (b ＋c )＝3m 1(3m 2－1＋3m 3－2)不满足．12. 3 解析 根据x ①A ，y ①A ，x ＋y ①A ，知集合B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．13. {x |x ≥2} 解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >－12，B ＝{x |x <2}， A －B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－12且x ≥2＝{x |x ≥2}． 14. 解 ①1是集合A 中的一个元素，①1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根，①a ·12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3.方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13，①集合A ＝{－13，1}．15.解 ①A ＝B ，①⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝b ，ab ＝1.解方程组得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，或a ＝1，b 为任意实数．由集合元素的互异性得a ≠1，①a ＝－1，b ＝0，故a 2014＋b 2014＝1.16. 解 ①当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的 值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11. ①P ＋Q ＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．1.1 集合的概念 第2课时 集合的表示基 础 练巩固新知 夯实基础1．集合A ＝{x ①Z |－2<x <3}的元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集不可以表示为( )A.错误! B.错误!C ．{1,2}D ．{(1,2)} 3．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合4．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是( ) A.{}x |x 是小于18的正奇数 B.{}x |x ＝4k ＋1，k ①Z ，且k <5 C.{}x |x ＝4t －3，t ①N ，且t ≤5 D.{}x |x ＝4s －3，s ①N *，且s ≤55．集合M ＝{(x ，y )|xy ＜0，x ①R ，y ①R }是( )A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集6．集合{x ①N |x 2＋x －2＝0}用列举法可表示为________．7．将集合{(x ，y )|2x ＋3y ＝16，x ，y ①N }用列举法表示为________． 8．有下面四个结论：①0与{0}表示同一个集合；①集合M ＝{3,4}与N ＝{(3,4)}表示同一个集合；①方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}； ①集合{x |4＜x ＜5}不能用列举法表示． 其中正确的结论是________(填写序号)．能 力 练综合应用 核心素养9．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＝x |x |＋y |y |＋xy |xy |为( ) A ．{0,3} B ．{1,3} C ．{－1,3}D ．{1，－3}10．已知集合A ＝{}x |x ＝2m －1，m ①Z ，B ＝{}x |x ＝2n ，n ①Z ，且x 1，x 2①A ，x 3①B ，则下列判断不正确的是( ) A ．x 1·x 2①A B ．x 2·x 3①B C ．x 1＋x 2①BD ．x 1＋x 2＋x 3①A11．已知集合A ＝{x |x ＝3m ，m ①N *}，B ＝{x |x ＝3m －1，m ①N *}，C ＝{x |x ＝3m －2，m ①N *}，若a ①A ，b ①B ， c ①C ，则下列结论中可能成立的是( ) A ．2 006＝a ＋b ＋c B ．2 006＝abc C ．2 006＝a ＋bcD ．2 006＝a (b ＋c )12．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ①A ，y ①A ，x ＋y ①A }，则B 中所含元素的个数为________．13．定义集合A －B ＝{x |x ①A ，且x ①B }，若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －23<0，则集合A －B ＝________.14．已知集合A ＝{x ①R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ①R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .16．设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求a 2014＋b 2014.16．若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ①P ，b ①Q }，用列举法表示集合P ＋Q .【参考答案】3. D 解析 因为A ＝{x ①Z |－2<x <3}，所以x 的取值为－1，0,1,2，共4个．4. C 解析 C 选项表示两个数．3. D 解析 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.4. D 解析 对于x ＝4s －3，当s 依次取1,2,3,4,5时，恰好对应的x 的值为1,5,9,13,17.5. D 解析因xy ＜0，所以有x ＞0，y ＜0；或者x ＜0，y ＞0.因此集合M 表示的点集在第四象限和第二象限．6. {1} 解析 由x 2＋x －2＝0，得x ＝－2或x ＝1. 又x ①N ，①x ＝1.7. {(2,4)，(5,2)，(8,0)} 解析 ①3y ＝16－2x ＝2(8－x )，且x ①N ，y ①N ，①y 为偶数且y ≤5，①当x ＝2时，y ＝4，当x ＝5时y ＝2，当x ＝8时，y ＝0.8. ① 解析 {0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；①集合M 是实数3,4的集合，而集合N 是实数对(3,4)的集合，不正确；①不符合集合中元素的互异性，错误；①中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．9. C 解析 当x >0，y >0时，m ＝3，当x <0，y <0时，m ＝－1－1＋1＝－1.当x ，y 异号，不妨设x >0，y <0时，m ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.因此m ＝3或m ＝－1，则M ＝{－1,3}． 12. D ①集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集，①x 1，x 2是奇数，x 3是偶数，①x 1＋x 2＋x 3为偶数． 13. C 解析 由于2 006＝3×669－1，不能被3整除，而a ＋b ＋c ＝3m 1＋3m 2－1＋3m 3－2＝3(m 1＋m 2＋m 3－1)不满足；abc ＝3m 1(3m 2－1)(3m 3－2)不满足；a ＋bc ＝3m 1＋(3m 2－1)(3m 3－2)＝3m －1适合； a (b ＋c )＝3m 1(3m 2－1＋3m 3－2)不满足．12. 3 解析 根据x ①A ，y ①A ，x ＋y ①A ，知集合B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．13. {x |x ≥2} 解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >－12，B ＝{x |x <2}， A －B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－12且x ≥2＝{x |x ≥2}． 14. 解 ①1是集合A 中的一个元素，①1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根，①a ·12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3.方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13，①集合A ＝{－13，1}．15.解 ①A ＝B ，①⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝b ，ab ＝1.解方程组得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，或a ＝1，b 为任意实数． 由集合元素的互异性得a ≠1，①a ＝－1，b ＝0，故a 2014＋b 2014＝1.17. 解 ①当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的 值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.①P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．1.2集合间的基本关系基础练巩固新知夯实基础1．下列集合中，结果是空集的是()A．{x∈R|x2－1＝0} B．{x|x＞6或x＜1}C．{(x，y)|x2＋y2＝0} D．{x|x＞6且x＜1}2．已知集合N＝{1,3,5}，则集合N的真子集个数为()A．5B．6C．7D．83．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.其中正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．34．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()5．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，那么a的值是________．6．设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，则满足B⊆A的实数m的值所组成的集合为________．7. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．8．已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．能力练综合应用核心素养9.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},则能使A⊇B成立的实数a的取值集合是()A.{a|3<a≤4}B.{a|3≤a≤4}C.{a|3<a<4}D.⌀10．若集合A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且B⊆A，则满足条件的实数x的个数是()A．1B．2C．3D．411．适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()A．15 B．16 C．31 D．3212．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R},B＝{x|0<x<5，x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为() A．1 B．2 C．3 D．413.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠⌀,B⊆A,则(a,b)不能是()A.(-1,1)B.(-1,0)C.(0,-1)D.(1,1)14．已知集合A＝{x|x2＝a}，当A为非空集合时a的取值范围是________．15．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．16．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是________．17.已知集合M={x|x2+2x-8=0},N={x|(x-2)(x-a)=0},若N⊆M,则实数a的值是.18．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B⊆A，求实数m的集合．19. 已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．20.已知集合A={x|-1≤x≤6},B={x|m-1≤x≤2m+1},且B⊆A.(1)求实数m的取值集合;(2)当x∈N时,求集合A的子集的个数.【参考答案】1. D 解析 对D ，显然不存在既大于6又小于1的数，故{x |x ＞6且x ＜1}＝∅.2. C 解析 集合N 的真子集有：∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，共7个．3. B 解析 ①错，空集是任何集合的子集，有∅⊆∅；②错，如∅只有一个子集；③错，空集不是空集的真子集；④正确，因为空集是任何非空集合的真子集．4. B 解析 由N ＝{－1,0}，知N M ，故选B.5. 0，±1 解析 P ＝{－1,1}，Q ⊆P ，所以 (1)当Q ＝∅时，a ＝0. (2)当Q ≠∅时，Q ＝{1a }，∴1a ＝1或1a ＝－1，解之得a ＝±1. 综上知a 的值为0，±1.6. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12 解析 ∵A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，又∵B ⊆A ，当m ＝0，mx ＋1＝0无解，故B ＝∅，满足条件，若B ≠∅，则B ＝{－3}，或B ＝{2}，即m ＝13，或m ＝－12，故满足条件的实数m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.7. 解 A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A . ①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，解得m <2， 此时有B ⊆A ；②若B ≠∅，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2， 由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ＋1≥－22m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得m ≤3.∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．8. 解 当B ＝∅时，只需2a ＞a ＋3, 即a ＞3.当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a ＞4.解得a ＜－4或2＜a ≤3. 综上，实数a 的取值范围为{a |a ＜－4或a ＞2}．9. B 解析∵A ⊇B ,∴{a -1≤3,a +2≥5,解得3≤a ≤4.经检验知当a=3或a=4时符合题意.故3≤a ≤4.10. C 解析 由B ⊆A ，知x 2＝3，或x 2＝x ，解得x ＝±3，或x ＝0，或x ＝1，当x ＝1时，集合A ，B 都不满足元素的互异性，故x ＝1舍去． 11. A 解析 因为集合A 中必须包含元素1，但从元素2、3、4、5中至多选取3个，于是集合A 的个数是24－1＝15个，故选A.12. D 解析 用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数．由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 13. B 解析 当a=-1,b=1时,B={x|x 2+2x+1=0}={-1},符合; 当a=b=1时,B={x|x 2-2x+1=0}={1},符合; 当a=0,b=-1时,B={x|x 2-1=0}={-1,1},符合; 当a=-1,b=0时,B={x|x 2+2x=0}={0,-2},不符合.14. a ≥0 解析 要使集合A 为非空集合，则应有方程x 2＝a 有解，故只须a ≥0.15. M ＝P 解析 ∵xy >0，∴x ，y 同号，又x ＋y <0，∴x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 表示第三象限内的点，故M ＝P .16. 0或±1 解析因为A有且仅有两个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0仅有一根，当a ＝0时，方程化为2x＝0，A＝{0}，符合题意；当a≠0时，Δ＝4－4a2＝0，解得a＝±1此时A＝{－1}或{1}，符合题意．综上所述a＝0或a＝±1.17.-4或2 解析M={x|x2+2x-8=0}={2,-4}.当a≠2时,N={x|(x-2)(x-a)=0}={2,a}.∵N⊆M,∴a=-4.当a=2时,N={x|(x-2)(x-a)=0}={2},此时N⊆M,符合题意.18. 解由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.∴集合A＝{1,3}．(1)当B＝∅时，此时m＝0，满足B⊆A.(2)当B≠∅时，则m≠0，B＝{x|mx－3＝0}＝{3m}．∵B⊆A，∴3m＝1或3m＝3，解之得m＝3或m＝1.综上可知，所求实数m的集合为{0,1,3}．19 . 解因为B是A的子集，所以B中元素必是A中的元素，若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．若x＋2＝－x3，则x3＋x＋2＝0，所以(x＋1)(x2－x＋2)＝0.因为x2－x＋2≠0，所以x＋1＝0，所以x＝－1，此时x＋2＝1，集合B中的元素不满足互异性．综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，此时A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}．20.解：(1)①当m-1>2m+1,即m<-2时,B=⌀符合题意.②当m-1≤2m+1,即m≥-2时,B≠⌀.由B⊆A,借助数轴(如图所示),得{m -1≥-1,2m +1≤6,m ≥−2,解得0≤m ≤52.所以0≤m ≤52.经验证知m=0和m=52符合题意.综合①②可知,实数m 的取值集合为 {m |m <−2或0≤m ≤52}. (2)∵当x ∈N 时,A={0,1,2,3,4,5,6}, ∴集合A 的子集的个数为27=128.1.3 集合的基本运算 第1课时 并集与交集基 础 练巩固新知 夯实基础1．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x <1}，则A ∩B 等于( ) A ．{0} B ．{－1,0} C ．{0,1}D ．{－1,0,1}2．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |－1≤x ≤2}，则A ①B=( ) A ．{x |x ≥－1}B ．{x |x ≤2}C．{x|0＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}3．若集合A＝{参加伦敦奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加伦敦奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加伦敦奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是()A．A①B B．B①CC．A∩B＝C D．B①C＝A4．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x①R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝()A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}5．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为()A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)C．{3，－1} D．{(3，－1)}6．设集合M＝{1,2}，则满足条件M①N＝{1,2,3,4}的集合N的个数是()A．1 B．3 C．2 D．47．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝①，则实数t的取值范围是()A．t＜－3 B．t≤－3C．t＞3 D．t≥38．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，满足A∩B＝{2}，则实数a＝________.9．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a①R}，若A∩B＝B，求a的值．10．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B①C＝C，求实数a的取值范围．能力练综合应用核心素养11．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A①B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0 B．1C．2 D．412．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠①，若A①B＝A，则() A．－3≤m≤4 B．－3＜m＜4C．2＜m＜4 D．2＜m≤413．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A①B＝A，则m等于()A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或314．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤4}，C＝{x|－3＜x＜2}且集合A∩(B①C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝________，b＝________.15．已知M＝{x|y＝x2－1}，N＝{y|y＝x2－1}，那么M∩N等于。

学案数学必修1同步练习与综合训练题组含答案全册
数学必修1同步练习与综合训练题组含答案(全册)
目录：数学1（必修）
数学1（必修）第一章：（上）集合 [训练A、B、C] 数学1（必修）第一章：（中）函数及其表示 [训练A、B、C] 数学1（必修）第一章：（下）函数的基本性质[训练A、B、C] 数学1（必修）第二章：基本初等函数（I） [基础训练A组] 数学1（必修）第二章：基本初等函数（I） [综合训练B组]
数学1（必修）第二章：基本初等函数（I） [提高训练C组] 数学1（必修）第三章：函数的应用 [基础训练A组]
数学1（必修）第三章：函数的应用 [综合训练B组] 数学1（必修）第三章：函数的应用 [提高训练C组] 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函
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