（完整版）多元函数微分法及其应用习题及答案

(完整版)多元函数微分法及其应用习题

1 / 5 第八章 多元函数微分法及其应用

一．填空题

1。函数2224ln(1)xyzxy的定义域是

2、00sinlimxyxyx

3、2222001cos()limxyxyxy

4、设ln()zxy,那么zx ,zy

5、已知22ln(1)zxy，则(1,2)dz

6、设(,)3ln(1)fxyxxy，则(1,2)xf ，(1,2)xyf

7、设f(x,y)在点（a，b)处的偏导数存在，则0(,)(,)limxfaxbfaxbx

8、若yxfz,在区域D上的两个混合偏导数yxz2，xyz2 ，则在D上， xyzyxz22。

9。函数yxfz,在点00,yx处可微的 条件是yxfz,在点00,yx处的偏导数存在。

10、函数yxfz,在点00,yx可微是yxfz,在点00,yx处连续的 条件。

11、)()(1yxyxyfxz，f、具有二阶偏导数，

则yxz2 。

12．设32) , ,(zxyzyxf，其中) ,(yxzz是由方程03222xyzzyx所确定的隐函数，则)1 ,1 ,1(xf 。

13．若函数),(yxfz可微,且1),(2xxf，xxxfx),(2，则当0x时，

),(2xxfy 。

14、设2ln,,32xzuvuvxyy，则zx ,zy y

第八章 多元函数微分法及其应用

(A)

1．填空题

(1) 若 z f x, y 在区域 D 上的两个混合偏导数 2 z ， 2 z ，则在 D 上，

x y y x

2 z 2 z 。

x y y x

(2) 函数 z f x, y 在点 x0 , y0 处可微的 条件是 z f x, y 在点 x0 , y0 处的

偏导数存在。

(3) 函数 z f x, y 在点 x0 , y0 可微是 z f x, y 在点 x0 , y0 处连续的 条件。

2．求下列函数的定义域

(1) z x y ；(2) u arccos z

x2 y 2

3．求下列各极限

(1) lim sin xy ； (2) lim xy ； (3) lim 1 cos( x2 y2 )

x 222 2 x 0 x 0 xy 1 1 x 0 ( x y ) x y y 0 y 0 y 0

4．设 z x ln xy 3 z 3 z 。 ，求 x 2 y 及 x y 2

5．求下列函数的偏导数

(1) z arctg y ； (2) z ln xy ；(3) u exy2 z3 。

x

6．设 z uv 2 t cosu ， u et ， v ln t ，求全导数 dz 。

dt

7．设 u ex y z ， x t ， y sin t ， z cost ，求 du 。

dt

8．曲线 z x 2 y 2

，在点 (2,4,5) 处的切线对于 x 轴的倾角是多少 4

y 4

9．求方程 x 2 y 2 z 2 1所确定的函数 z 的偏导数。

第八章 多元函数微分学习题解

第八章 多元函数微分学习题解

第8章 多元函数微分学

§8.1 多元函数的基本概念

内容概要

区域 定义

邻域 nR空间中点0P的邻域为 00(){|||}UPPPP

平面上点000(,)Pxy的邻域为 22000(){(,)|()()}UPxyxxyy

点集 开集 所有点都是内点的点集

闭集 开集连同边界构成的点集

连通集 任意两点都可用一条完全在点集中的折线连接的点集

区域 连通的点集。开区域、闭区域；有界区域、无界区域

多元函数 定义 D为平面上非空点集，如果对D中任一点(,)xy，按某种法则f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f为D上的二元函数，记(,)zfxy，(,)xyD，D为定义域。

几何意义：(,)zfxy为空间曲面，D为曲面在xoy面上投影。

可定义三元及以上函数。

二重极限 0,0,当2200()()xxyy时，恒有|(,)|fxyA，则称00lim(,)xxyyfxyA。

注：其中00(,)(,)xyxy为任意方式。从而若(,)xy以不同方式趋于00(,)xy时，(,)fxy无限靠近不同的常数，则二重极限不存在。

多元函数连续 若0000lim(,)(,)xxyyfxyfxy，则函数(,)zfxy在00(,)xy连续。

初等函数在其定义区域内连续。

闭区域上连续函数必有最大、最下值；有界；满足介值定理。

课后习题全解

习题8-1

★1.设 222(,)xyfxyxy，求(1,)yfx。

解：222222(1,)1()yyxyxfyxxyx

★2. 已知函数(,,)wuvfuvwuw，试求(,,)fxyxyxy。

解： 2(,,)()()xyxfxyxyxyxyxy

★★3.设()zxyfxy，且当0y时，2zx，求()fx。

0809 B

一、填空题（每小题3分，共18分）

2、设)ln(xyz，则其全微分dz ．

11dxdyxy

3、函数xyxyu2222的所有间断点是 .

2{(,)|2,,}xyyxxRyR

二、选择题（每小题3分，共15分）

1、22),(yxxyyxf，则极限),(lim00yxfyx（ Ａ ）

（A）不存在 （B）1 （C）2 （D）0

A

当点(,)Pxy沿曲线ykx趋向(0,0)时，

222200lim(,)limxxykxkxfxyxkx21kk显然，当k取值不同是，极限也不相同。

所以 22(,)(0,0)limxyxyxy不存在．

2、在曲线32,,tztytx所有切线中，与平面433zyx平行的切线（ Ａ ）

（A）只有一条； （B） 只有两条； （C）至少有3条； （D） 不存在

曲线的切向量2((),(),())=(12,3)Tttttt，,平面的法向量(1,3,3)n

22(12,3)(1,3,3)1690tttt，,2(31)0t,1.3t得所以只有一条切线满足条件.

3、点0,0是函数xyz的（ Ｂ ）

（A）极值点；（B）.驻点但不是极值点；（C）是极值点但不是驻点；（D）以上都不对

分析: 令0,0xyzyzx,得(0,0)是驻点,但点(0,0)是xyz的鞍点,不是极值点.

四、计算题（每小题8分，共32分）

1、设, , ,sinyxvxyuvezu求xz和yz

解 zffufvxxuxvxesinecose[sin()cos()]uuxyvyvyxyxy