多元函数微分学复习题及答案

第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答

一、选择题

1.极限limxyxyxy00242= （ B ）

(A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12

（提示：令22ykx）

2、设函数fxyxyyxxyxy(,)sinsin11000，则极限lim(,)xyfxy00= （ C ）

(A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2

（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）

3、设函数fxyxyxyxyxy(,)222222000，则(,)fxy （ A ）

(A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续；

(C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续

（提示：①在220xy，(,)fxy处处连续；②在0,0xy ，令ykx，22222000limlim0(0,0)1xxykxkxfxkxk ，故在220xy，函数亦连续。所以，(,)fxy在整个定义域内处处连续。）

4、函数zfxy(,)在点(,)xy00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ）

(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；

(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件

5、设uyxarctan，则ux= （ B ）

(A) xxy22； (B) yxy22； (C) yxy22 ； (D) xxy22

6、设fxyyx(,)arcsin，则fx'(,)21 （ A ）

（A）14； （B）14； （C）12； （D）12 7、若)ln(yxz，则yzyxzx （ C ）

（A）yx； （B）yx； （C）21； （D）21．

8、设yxzarctan，vux，vuy，则vuzz （ C ）

（A）22vuvu； （B）22vuuv； （C）22vuvu； （D）22vuuv．

9、若fxxxxfxxxx(,),(,)'232612，则fxxy'(,)2= （ D ）

(A) x32； (B) x32； (C) 21x； (D) 21x

10、设zyx，则()(,)zxzy21 （ A ）

(A) 2 ； (B) 1+ln2 ； (C) 0 ； (D) 1

11、设函数zxy122，则点 (,)00是函数 z的 （ B ）

（A）极大值点但非最大值点； （B）极大值点且是最大值点；

（C）极小值点但非最小值点； （D）极小值点且是最小值点。

12、设函数zfxy(,)具有二阶连续偏导数，在Pxy000(,)处，有 （ C ）2)()(,0)()(,0)(,0)(000000PfPfPfPfPfPfyxxyyyxxyx，则

（A）点P0是函数z的极大值点； （B）点P0是函数z的极小值点；

（C）点P0非函数z的极值点； （D）条件不够，无法判定。

二、填空题

1、极限limsin()xyxyx0=  。答：

2、极限limln()xyxyexy01222= 。答：ln2

3、函数zxyln()的定义域为  。答：xy1

4、函数zxyarcsin的定义域为  。答：11x，y0

5、设函数fxyxyxyyx(,)ln22，则fkxky(,)=  。答：kfxy2(,) 6、设函数fxyxyxy(,)，则fxyxy(,)=  。答：222xyx

（22()()(,)()()2xyxyxyfxyxyxyxyx）

7、设zxyysin()3，则zxxy21_________ 。答：3cos5

8、函数zzxy(,)由方程xyzexyz()所确定，则22zx 0 9、、设uxxyln，则2uxy= ___________ 。答：1y

9、函数zxyxy2346122的驻点是_________。答：（1，－1）

三、计算题

1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.

(1) 221zxy (2)ln()zxy(3)1ln()zxy (4)ln(1)zxy

解：(1)要使函数221zxy有意义，必须有2210xy，即有221xy.

故所求函数的定义域为22{(,)|1}Dxyxy,图形为图3.1

(2)要使函数ln()zxy有意义，必须有0xy.故所有函数的定义域为(,)|0Dxyxy，图形为图3.2

(3)要使函数1ln()zxy有意义，必须有ln()0xy，即0xy且1xy.

故该函数的定义域为(,)|01Dxyxyxy，，图形为图3.3

(4)要使函数ln(1)zxy有意义，必须有10xy.故该函数的定义域为{(,)|1}Dxyxy，图形为图3.4

图3.1 图3.2

图3.3 图3.4

2、求极限limxyxxyexy00416 。

解：limxyxxyexy00416lim()xyxxyexyxy00416 = -8 3、设函数zzxy(,)由方程xyzxyz2所确定，求zy。答：2112xyzxy

4、设zyxyxln()，求zxzy,。

解：zyyxyxyxxxlnln1 zxyxyyyyxx11ln()

四、应用题。

1、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022yxyxyx元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？

解：),(yxL表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有

利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22yxyxyxyxyxL

)0,0(,400)33(01.06822yxyxyxyx，

令0)6(01.060)6(01.08yxLyxLyx，解得唯一驻点（120，80）.

又因06.0,01.0,006.0yyxyxxLCLBLA，得

0105.332BAC.

得极大值320)80,120(L. 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.

五、证明题

1、设)11(yxez 求证zyzyxzx222

证明： 因为2)11(1xexzyx 2)11(1yeyzyx 所以 zeeyzyxzxyxyx2)11()11(22

2 设2sin(x2y3z )x2y3z 证明1yzxz

证明：设F(x y z)2sin(x2y3z)x2y3z 则

Fx2cos(x2y3z)1

Fy 2cos(x2y3z)222Fx

Fz2cos(x2y3z)(3)33Fx 

313xxzxFFFFxz 3232xxzyFFFFyz 于是 13231zzzxFFFFyzxz

3、设xx(y z) yy(x z) zz(x y)都是由方程F(x y z)0所确定的具有连续偏导数的函数

证明1xzzyyx

解：因为

xyFFyx

yzFFzy

zxFFxz

所以 1)()()(zxyzxyFFFFFFxzzyyx