多元函数微分法及其应用习题及参考答案

1 第八章 多元函数微分法及其应用(A)

1．填空题

(1)若yxfz,在区域D上的两个混合偏导数yxz2，xyz2 ，则在D上，

xyzyxz22。

(2)函数yxfz,在点00,yx处可微的 条件是yxfz,在点00,yx处的偏导数存在。

(3)函数yxfz,在点00,yx可微是yxfz,在点00,yx处连续的 条件。

2．求下列函数的定义域

(1)yxz；(2)22arccosyxzu

3．求下列各极限

(1)xxyyxsinlim00； (2)11lim00xyxyyx； (3)22222200)()cos(1limyxyxyxyx

4．设xyxzln，求yxz23及23yxz。

5．求下列函数的偏导数

(1)xyarctgz；(2)xyzln；(3)32zxyeu。

6．设utuvzcos2，teu，tvln，求全导数dtdz。

7．设zyeux，tx，tysin，tzcos，求dtdu。

8．曲线4422yyxz，在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角是多少？ 2 9．求方程1222222czbyax所确定的函数z的偏导数。

10．设yxyezx2sin2，求所有二阶偏导数。

11．设yxfz,是由方程yzzxln确定的隐函数，求xz，yz。

12．设xyeexy，求dxdy。

13．设yxfz,是由方程03xyzez确定的隐函数，求xz，yz，yxz2。

14．设yyezxcos2，求全微分dz。

15．求函数222lnyxz在点2,1的全微分。

16．利用全微分求2201.498.2的近似值。

17．求抛物面22yxz与抛物柱面2xy的交线上的点2,1,1P处的切线方程和平面方程。

18．求曲面3914222zyx上点3,1,2P处的切平面方程和法线方程。

19．求曲线tx34，2ty，3tz上点0000,,zyxM，使在该点处曲线的切线平行于平面62zyx。

20．求函数224,yxyxyxf的极值。

21．求函数yyxeyxfx2,22的极值。

22．要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？

(B)

1．求下列函数的定义域 3 (1)222410lnlnarcsinyxyxz；(2)222241yxyxu

2．(1)设22,yxxyyxf，求yxf,，xyyxf,。

(2)设yxyxf2,，求yxfxyf,,

3．求下列函数的极限

(1)2222221limyxyxyx；(2) 22221100sinlimyxyxyxee

4．设0,0,,00,0),(,,24yxyxyxxyyxf当当，问yxfyx,lim00是否存在？

5．讨论函数的连续性，其中yxyxyxyxxyxf2,02,22sin,。

6．二元函数0,0,,00,0,,,22yxyxyxxyyxf在点0,0处：①连续，偏导数存在；②连续，偏导数不存在；③不连续，偏导数存在；④不连续，偏导数不存在。

7．设yyxz21，求xz，yz。

8．设zyxfu23223，求xf，22xf。

9．设zyxfu2,3,223，求zf，xzf2。

10．设2222,yxyxxyfz，f可微，求dt。

11．设0,,xzzyxyf，求xz，yz。

12．设0zxyz，求111zyxdz。 4 13．设sin,cosrrfz可微，求全微分dz。

14．设yxfz,是由方程0,yzzxf所确定的隐函数，其中f具有连续的偏导数，求dz，并由此求xz和yz。

15．求xyyxz22的偏导数。

16．设10222zyxzyx，求dzdx，dzdy。

17．设xyzeu，求zyxu3。

18．求函数xyzu在点2,1,5处沿从点2,1,5到点14,4,9方向的方向导数。

19．求函数222zyxxu在点2,2,1M沿tx，22ty，42tz在此 点的切线方向上的方向导数。

20．求函数zyxu2286在点P处沿方向n的方向导数。

21．判断题：(简单说明理由)

(1)00,,yxyyxf就是yxf,在00,yx处沿y轴的方向导数。

(2)若yxf,在00,yx处的偏导数yf，yf存在，则沿任一方向l的方向导数均存在。

22．证明曲面4323232zyx上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。

23．证明：球面∑：1222zyx上任意一点cba,,处的法线都经过球心。

24．求椭球面163222zyx上的一点3,2,1处的切平面与平面0z的交角。 5 25．设u，v都是x，y，z的函数，u，v的各偏导数都存在且连续，证明：

26．问函数zxyu2在2,1,1P处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。

27．求内接于椭球面122222czbyax的最大长方体的体积。

28．某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入R与报纸广告费x及电视广告费y(单位：万元)之间的关系有如下经验公式：221028311415yxxyyxR，在限定广告费为1.5万元的情况下，求相应的最优广告策略。

29．求函数yxeyxf,的n阶麦克劳林公式，并写出余项。

30．利用函数yxyxf,的2阶泰勒公式，计算02.111的近似值。

(C)

1．证明0lim2200yxxyyx。

2．设yxyxyxf,||,，其中yx,在点0,0，邻域内连续，问(1)yx,在什么条件下，偏导数0,0xf，0,0yf存在；(2)yx,在什么条件下，yxf,在0,0处可微。

3．设txfy,而t为由方程0,,tyx所决定的函数，且tyx,,是可微的，试求dxdy。

4．设yxzz,由0ln2dtezzxyt确定，求yxt2。

5．从方程组1122222vuzyxvuzyx中求出xu，xv，2xu，2xv。 6 6．设byaxeyxuz,，且02yxu，试确定常数a，b，使函数yxzz,能满足方程：02zyzxzyxz。

7．证明：旋转曲面22yxfz)0(f上任一点处的法线与旋转轴相交。

8．试证曲面azyx(0a)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a。

9．抛物面22yxz被平面1zyx截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。

10．设x轴正向到方向l的转角为，求函数22,yxyxyxf在点1,1沿方向l的方向导数，并分别确定转角，使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0。

第八章 多元函数微分法及其应用

(A)

1．填空题

(1)若yxfz,在区域D上的两个混合偏导数yxz2，xyz2 连续 ，则在D上，

xyzyxz22。

(2)函数yxfz,在点00,yx处可微的 必要 条件是yxfz,在点00,yx处的偏导数存在。 7 (3)函数yxfz,在点00,yx可微是yxfz,在点00,yx处连续的 充分 条件。

2．求下列函数的定义域

(1)yxz

解：设定义域为D，由

和0yx，即02yx，0x

得yxyxyxD2,0,0|,，如图1所示

(2)22arccosyxzu

解：设定义域为D，由

022yx，即x，y不同时为零，且122yxz，

即 222yxz，得

0,|,,22222yxyxzzyxD。

3．求下列各极限

(1)xxyyxsinlim00 (2)11lim00xyxyyx

解：原式yxyxyyxsinlim00 解：原式)11)(11()11(lim00xyxyxyxyyx

001 211lim00xyyx

(3)22222200)()cos(1limyxyxyxyx

解：原式222222222200422sin2limyxyxyxyxyx y

O (0,1) x

图1 8 220011lim21yxyx

4．设xyxzln，求yxz23及23yxz

解：1lnlnxyxyyxxyxz

xxyyxz122，023yxz，

yxyxyxz12，2231yyxz

5．求下列函数的偏导数

(1)xyarctgz

解：222222211yxyyxyxxxyxxyxz

类似地22211yxxxyyxyxz

(2)xyzln

解：xyxxyxyxxxzln211lnln121lnln

同理可证得：xyyyzln21

(3)32zxyeu

解：32323232zxyzxyezyzxyxexz

3223322zxyzxyexyzzxyyeyu

323222323zxyzxyezxyzxyzezu

6．设utuvzcos2，teu，tvln，求全导数dtdz。