2020年新高考一轮理数：第十二章 推理与证明、算法、复数

第十二章 推理与证明、算法、复数

第一节 合情推理与演绎推理

本节主要包括2个知识点： 1.合情推理； 2.演绎推理.

突破点(一) 合情推理

[基本知识]

类型 定义 特点

归纳

推理 根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理 由部分到整体、

由个别到一般

类比

推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 由特殊到特殊

[基本能力]

1．判断题

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( )

(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )

答案：(1)× (2)√ (3)×

2．填空题

(1)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是an＝________.

解析：a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.

答案：n2

(2)由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是合情推理中的________推理．

答案：类比

(3)观察下列不等式：

①12<1；②12＋16<2；③12＋16＋112<3.

则第5个不等式为____________________________________________________． 答案：12＋16＋112＋120＋130<5

[全析考法]

归纳推理

运用归纳推理时的一般步骤

(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；

(2)把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；

(3)对所得出的一般性命题进行检验．

类型(一) 与数字有关的推理

[例1] (1)给出以下数对序列：

(1,1)

(1,2)(2,1)

(1,3)(2,2)(3,1)

(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)

……

记第i行的第 j 个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝( )

A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)

C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)

(2)(2018·兰州模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.

[解析] (1)由前4行的特点，归纳可得：若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴anm＝(m，n－m＋1)．

(2)由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.

[答案] (1)A (2)n2

解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．

[易错提醒]

类型(二)

与式子有关的推理

[例2]

(1)(2016·山东高考)观察下列等式：

sinπ3－2＋sin2π3－2＝43×1×2；

sinπ5－2＋sin2π5－2＋sin3π5－2＋sin4π5－2＝43×2×3；

sinπ7－2＋sin2π7－2＋sin3π7－2＋…＋sin6π7－2＝43×3×4；

sinπ9－2＋sin2π9－2＋sin3π9－2＋…＋sin8π9－2＝43×4×5；

……

照此规律，

sinπ2n＋1－2＋sin2π2n＋1－2＋sin3π2n＋1－2＋…＋sin2nπ2n＋1－2＝________.

(2)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋1x≥2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥3，x＋27x3＝x3＋x3＋x3＋27x3≥4，…，类比得x＋axn≥n＋1(n∈N*)，则a＝________.

[解析] (1)观察前4个等式，由归纳推理可知sinπ2n＋1－2＋sin2π2n＋1－2＋sin3π2n＋1－2＋…＋sin2nπ2n＋1－2＝43×n×(n＋1)＝4nn＋13.

(2)第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.

[答案] (1)4nn＋13 (2)nn

[方法技巧]

与式子有关的推理类型及解法

(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解．

(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．

类型(三) 与图形有关的推理

[例3] 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，

则预计第10年树的分枝数为( )

A．21 B．34

C．52 D．55

[解析] 因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.

[答案] D

[方法技巧]

与图形有关的推理的解法

与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．

类比推理

1.类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下：

类比定义 在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解

类比性质 从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键

类比方法 有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移

2．平面中常见的元素与空间中元素的类比：

平面 点 线 圆 三角形 角 面积 周长 …

空间 线 面 球 三棱锥 二面角 体积 表面积 …

[例4] 如图，在△ABC中，O为其内切圆圆心，过O的直线将三角形面积分为相等的两部分，且该直线与AC，BC分别相交于点F，E，则四边形ABEF与△CEF的周长相等．试将此结论类比到空间，写出一

个与其相关的命题，并证明该命题的正确性．

[解] 如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球(与四个面都相切的球)的球心O，且与BC，DC分别交于点E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积相等．

下面证明该结论的正确性，

设内切球半径为R，

则VA-BEFD＝13(S△ABD＋S△ABE＋S△ADF＋S四边形BEFD)×R＝VA-EFC＝13(S△AEC＋S△ACF＋S△ECF)×R，

即S△ABD＋S△ABE＋S△ADF＋S四边形BEFD＝S△AEC＋S△ACF＋S△ECF，两边同加S△AEF可得结论．

[方法技巧]

类比推理的步骤和方法

(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：

①找出两类事物之间的相似性或一致性；

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．

(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．

[全练题点]

1.[考点二]由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：

①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；

②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；

③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；

④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；

⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；

⑥“acbc＝ab”类比得到“a·cb·c＝ab”．

以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．

2.[考点二]在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1S2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则V1V2＝( )

A.18 B.19

C.164 D.127

解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V1V2＝127.

3.[考点一·类型一]将正奇数排成如图所示的三角形数阵(第k行有k个奇数)，其中第i行第j个数表示为aij，例如a42＝15，若aij＝2 017，则i－j＝( )

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

…

A．26 B．27

C．28 D．29

解析：选A 前k行共有奇数为1＋2＋3＋…＋k＝k1＋k2个，所以第k行的最后一个数为2·k1＋k2－1＝k2＋k－1，第k＋1行的第一个数为k(k＋1)＋1，当k＋1＝45时，k(k＋1)＋1＝44×45＋1＝1 981，即第45行的第一个数为1 981，因为2 017－1 9812＝18，

所以2 017是第45行的第19个数，

即i＝45，j＝19，所以i－j＝45－19＝26.故选A.

4．[考点一·类型(二)]观察下列各等式：55－4＋33－4＝2，22－4＋66－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )

A.nn－4＋8－n8－n－4＝2

B.n＋1n＋1－4＋n＋1＋5n＋1－4＝2