2020届高考数学一轮复习 第十二章算法初步、推理与证明、复数12.6数系的扩充与复数的引入教学案 理

1 12.6 数系的扩充与复数的引入

考纲要求

1．理解复数的基本概念和复数相等的充要条件．

2．了解复数的代数表示法及其几何意义．

3．会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．

1．数系扩充的脉络是：________→________→______，用集合符号表示为____

________，实际上前者是后者的真子集．

2．复数的有关概念

(1)复数的概念

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的____和____．若______，则a＋bi为实数；若______，则a＋bi为虚数；若__________，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di__________(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭__________(a，b，c，d∈R)．

(4)复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，______叫做实轴，______叫做虚轴．实轴上的点表示______；除原点外，虚轴上的点都表示__________；各象限内的点都表示非纯虚数．复数集C和复平面内__________组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以______为起点的向量组成的集合也是一一对应的．

(5)复数的模

向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作______或__________，其中|z|＝|a＋bi|＝____________.

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝____________；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝____________；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝____________；

④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝______________(c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝____________.

1．下列命题中，正确命题的个数是( )．

①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.

A．0 B．1 C．2 D．3

2．(2012安徽高考)复数z满足(z－i)i＝2＋i，则z＝( )．

A．－1－i B．1－i

C．－1＋3i D．1－2i

3．(2012课标全国高考)复数z＝－3＋i2＋i的共轭复数是( )．

A．2＋i B．2－i

C．－1＋i D．－1－i

4．(2012上海高考)若1＋2i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )．

A．b＝2，c＝3 B．b＝2，c＝－1 2 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－2，c＝3

5．i为虚数单位，1i＋1i3＋1i5＋1i7＝( )．

A．0 B．2i C．－2i D．4i

一、复数的分类

【例1】已知m∈R，复数z＝mm－2m－1＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限；(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．

方法提炼

1．判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证含参数的式子有意义，忽略这一要求会酿成根本性的错误；其次对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键．因此，解答后进行验算是很有必要的．

2．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度将其分解成两部分去认识它，这是解复数问题的重要思路之一．

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二、复数的代数运算

【例2－1】 (2012浙江高考)已知i是虚数单位，则3＋i1－i＝( )．

A．1－2i B．2－I C．2＋i D．1＋2i

【例2－2】 (2012山东高考)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( )．

A．3＋5i B．3－5i

C．－3＋5i D．－3－5i

方法提炼

1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．

2．记住以下结论，可提高运算速度

(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i1－i＝i；(3)1－i1＋i＝－i；(4)a＋bii＝b－ai；(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．

请做演练巩固提升2,3

三、复数的几何意义

【例3】 (2012北京高考)在复平面内，复数10i3＋i对应的点的坐标为( )．

A．(1,3) B．(3,1)

C．(－1,3) D．(3，－1)

方法提炼

复数实部、虚部的符号与其对应点所在象限密切相关，实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上．若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限；若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限；若实部为负且虚部为负，则复数对应点在第三象限；若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限．此外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式．如：若复数z的对应点在直线x＝1上，则z＝1＋bi(b∈R)；若复数z的对应点在直线y＝x上，则z＝a＋ai(a∈R)，这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用．

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易因复数概念不清而致误 3 【典例】 (2012陕西高考)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的( )．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：由a＋bi为纯虚数可知a＝0，b≠0，所以ab＝0.而ab＝0a＝0，且b≠0.故选B.

答案：B

答题指导：1.掌握好复数的有关概念、复数运算的有关规则是解答复数题目的关键．

2．对于复数与其他部分知识的综合题，只要明确复数在其中的作用即可．

1．设复数z1＝1＋i，z2＝2＋bi，若z2z1为实数，则实数b＝( )．

A．－2 B．－1 C．1 D．2

2．(2012济南调研)设a是实数，且a1＋i＋1－i2是实数，则a＝( )．

A．12 B．－1 C．1 D．2

3．(2012天津高考)i是虚数单位，复数5＋3i4－i＝( )．

A．1－i B．－1＋i C．1＋i D．－1－i

4．复数z＝2－i2＋i(i是虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )．

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

5．(2012上海高考)计算：3－i1＋i＝________(i为虚数单位)． 4 参考答案

基础梳理自测

知识梳理

1．自然数集 有理数集 实数集 N Q R

2．(1)实部 虚部 b＝0 b≠0 a＝0且b≠0 (2)a＝c，b＝d

(3)a＝c，b＝－d

(4)x轴

y轴

实数

纯虚数

所有的点

原点O

(5)|z| |a＋bi| a2＋b2

3．(1)①(a＋c)＋(b＋d)i ②(a－c)＋(b－d)i ③(ac－bd)＋(ad＋bc)i

④ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i (2)z2＋z1 z1＋(z2＋z3)

基础自测

1．A 解析：①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，∴③是假命题．

2．B 解析：由题意可得，z－i＝2＋ii＝(2＋i)ii2＝1－2i，

所以z＝1－i.

3．D 解析：z＝－3＋i2＋i＝(－3＋i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝－5＋5i5＝－1＋i，故z的共轭复数为－1－i.

4．D 解析：由x1＝1＋2i，知x2＝1－2i.

则x1＋x2＝2＝－b，即b＝－2；

x1x2＝(1＋2i)(1－2i)＝1－2i2＝3＝c.

5．A 解析：1i＋1i3＋1i5＋1i7＝1i＋1i2·i＋1i4·i＋1i4·i2·i＝1i－1i＋1i－1i＝0.

考点探究突破

【例1】 解：(1)当z为实数时，则有m2＋2m－3＝0且m－1≠0，得m＝－3，

故当m＝－3时，z∈R.

(2)当z为纯虚数时，则有 m(m－2)m－1＝0，m2＋2m－3≠0.

解得m＝0或m＝2.

∴当m＝0或m＝2时，z为纯虚数．

(3)当z对应的点位于复平面的第二象限时，

则有 m(m－2)m－1<0，m2＋2m－3>0，

解得m＜－3或1＜m＜2.

故当m＜－3或1＜m＜2时，z对应的点位于复平面的第二象限．

(4)当z对应的点在直线x＋y＋3＝0上时，则有m(m－2)m－1＋(m2＋2m－3)＋3＝0，

得m(m2＋2m－4)m－1＝0，解得m＝0或m＝－1±5.

∴当m＝0或m＝－1±5时，z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．

【例2－1】 D 解析：∵3＋i1－i＝(3＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)

＝3＋3i＋i＋i22＝1＋2i，

∴选D. 5 【例2－2】 A 解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，则z(2－i)＝(a＋bi)(2－i)＝(2a＋b)＋(2b－a)i，所以 2a＋b＝11，2b－a＝7，解得 a＝3，b＝5，

所以z＝3＋5i，故选A.

【例3】 A 解析：∵10i3＋i＝10i(3－i)(3＋i)(3－i)＝10＋30i10＝1＋3i，

∴10i3＋i对应的点的坐标为(1,3)．

演练巩固提升

1．D

解析：z2z1＝2＋bi1＋i＝(2＋bi)(1－i)(1＋i)(1－i)＝(2＋b)＋(b－2)i2∈R，∴b＝2.

2．B 解析：由a1＋i＋1－i2＝a(1－i)＋1－i2＝(a＋1)－i(a＋1)2是实数得，a＋1＝0，

故a＝－1.

3．C 解析：5＋3i4－i＝(5＋3i)(4＋i)(4－i)(4＋i)＝20＋5i＋12i＋3i216－i2＝17＋17i17＝1＋i.

4．D 解析：因z＝2－i2＋i＝(2－i)(2－i)5＝35－45i，故其在复平面内对应的点在第四象限．

5．1－2i 解析：3－i1＋i＝(3－i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝2－4i2＝1－2i.