2021版高考数学一轮复习第十二章复数算法推理与证明第1讲数系的扩充与复数的引入

1 [基础题组练]

1．(2019·长春监测)设i为虚数单位，则(－1＋i)(1＋i)＝( )

A．2i B．－2i

C．2 D．－2

解析：选D.(－1＋i)(1＋i)＝－1－i＋i＋i2＝－1－1＝－2.故选D.

2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内z－对应的点位于( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

解析：选C.由题意，得z－＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C.

3．(2019·福州模拟)若复数z＝a1＋i＋1为纯虚数，则实数a＝( )

A．－2 B．－1

C．1 D．2

解析：选A.因为复数z＝a1＋i＋1＝a（1－i）（1＋i）（1－i）＋1＝a2＋1－a2i为纯虚数，所以a2＋1＝0且－a2≠0，解得a＝－2.故选A.

4．(2019·南昌模拟)已知复数z满足(1＋i)z＝2，则复数z的虚部为( )

A．1 B．－1

C．i D．－i

解析：选B.法一：因为(1＋i)z＝2，所以z＝21＋i＝2（1－i）（1＋i）（1－i）＝1－i，则复数z的虚部为－1.故选B.

法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1＋i)(a＋bi)＝a－b＋(a＋b)i＝2，a－b＝2，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，所以复数z的虚部为－1.故选B.

5．(2019·石家庄质量检测)若复数z满足z1－i＝i，其中i为虚数单位，则共轭复数z－＝( )

A．1＋i B．1－i

C．－1－i D．－1＋i

解析：选B.由题意，得z＝i(1－i)＝1＋i，所以z－＝1－i，故选B.

2 6．已知1＋2i2＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝( )

A．－7 B．7

C．－4 D．4

解析：选A.因为1＋2i2＝1＋4i＋4i2＝－3－4i，

1 / 8 数系的扩充与复数的引入

[考试要求]

1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.

2.了解复数的代数表示法及其几何意义.

3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数加、减运算的几何意义．

1．复数的有关概念

(1)复数的定义

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b. (2)复数的分类

错误!错误!

(3)复数相等

a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(4)共轭复数

a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(5)复数的模

向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，a，b∈R)．

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ→.

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝错误!＝错误!＋错误!i(c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

[常用结论]

1．(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.

2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．

3．z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝|z1||z2|，|zn|＝|z|n.

1 3．1.1 数系的扩充和复数的概念

学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．

知识点一 复数的概念及代数表示

思考 为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？

答案 设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．

梳理 (1)复数

①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．

②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．

(2)复数集

①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．

②表示：通常用大写字母C表示．

知识点二 两个复数相等的充要条件

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 2 知识点三 复数的分类

(1)复数(a＋bi，a，b∈R) 实数b＝0虚数b≠0 纯虚数a＝0非纯虚数a≠0

(2)集合表示：

1．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( × )

2．复数z＝bi是纯虚数．( × )

3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √

)

类型一 复数的概念

例1 (1)给出下列几个命题：

①若z∈C，则z2≥0；

②2i－1虚部是2i；

③2i的实部是0；

④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；

⑤实数集的补集是虚数集．

其中真命题的个数为( )

A．0 B．1

C．2 D．3

- 1 - 3.1.1 数系的扩充和复数的概念

1．虚数单位i

在实数集R中添加新数i，规定：(1)i2＝□01－1，其中i叫做虚数单位；(2)i可与实数进行□02四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立．

2．复数的相关概念

集合C＝{a＋bi|a∈R，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做□03复数，其中i叫做□04虚数单位．全体复数的集合C叫做□05复数集．

复数通用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做□06复数的代数形式．其中的a与b分别叫做复数z的□07实部与虚部．

3．复数的分类

对于复数z＝a＋bi，当且仅当□08b＝0时，它是实数；当且仅当□09a＝b＝0时，它是实数 - 2 - 0；当且仅当□10b≠0时，叫做虚数；当□11a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数．

4．复数相等的充要条件

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di的充要条件是□12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

复数相等的充要条件

(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．

(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) - 3 - (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )

(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( )

(3)bi是纯虚数．( )

(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )