13.数列的通项公式练习

数列专题1、数列的通项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ).2、等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；3、等差数列其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 4、等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 5、等比数列前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或 11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.常用数列不等式证明中的裂项形式:（1）(1111n n =-+n(n+1)1111()1k n k =-+n(n+k);(2) 211111()1211k k k <=---+2k (3)211111111(1)(1)1kk k k k k k k k-=<<=-++-- (4)1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦; (5)()()111!!1!n n n n =-++(6)=<<=1(1)n n >+)一.数列的通项公式的求法1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n +++=L ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。

总述：求数列通项的方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、一、累加法适用于：1()n n a a f n +=+转换成1()n n a a f n +-=，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若③若④若例1解：由n a 例2解；由n a 3221((2333(1)3(1)3n a a a n n =++-=++⨯=++++-+=-+==练习1.已知数列{}n a的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a的通项公式.答案：12+-n n练习2.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：裂项求和n a n 12-=二、累乘法1.适用于：1()n n a f n a +=----------这是广义的等比数列2．若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏ 例4例4.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。

解：由条件知1=+n a n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式三.。

例2n 满足S n 点评②数列{a 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

1．形如(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{na }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{na }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得d c =-λ)1(,所以)0(,1≠-=c cd λ所以有：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n {+a n dn +-1,式.a 例6解法一：2n n a a -=又{}112,1n a a +=∴+是首项为2，公比为2的等比数列12n n a ∴+=，即21n n a =-练习．已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a 。

求数列通项公式方法大全一、累加法适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以2n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231nn n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.nn a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯，则21133.322nn n a n =⨯⨯+⨯- 练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n练习2.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：裂项求和n a n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

通项公式和前n 项和一、新课讲解：求数列前N 项和的办法 1. 公式法（1）等差数列前n 项和：特此外,当前n 项的个数为奇数时,211(21)k k S k a ++=+,即前n 项和为中央项乘以项数.这个公式在许多时刻可以简化运算. （2）等比数列前n 项和： q=1时,1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，,特别要留意对公比的评论辩论.（3）其他公式较罕有公式：1.)1(211+==∑=n n k S nk n 2.)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3.213)]1(21[+==∑=n n k S n k n[例1] 已知3log 1log 23-=x ,求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和.[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.2. 错位相减法这种办法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的办法,这种办法重要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和,个中{ a n }.{ b n }分离是等差数列和等比数列.[例3]乞降：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………① [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和.演习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)xn-1答案：当x=1时,S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时,S n = 1 1-x[4x(1-x n ) 1-x+1-（4n-3）x n ]3. 倒序相加法乞降这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的办法,就是将一个数列倒过来分列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值 4. 分组法乞降有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列恰当拆开,可分为几个等差.等比或罕有的数列,然后分离乞降,再将其归并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa an ,… 演习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和.5. 裂项法乞降这是分化与组合思惟在数列乞降中的具体运用. 裂项法的本质是将数列中的每项（通项）分化,然后从新组合,使之能消去一些项,最终达到乞降的目标. 通项分化（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10] 在数列{a n }中,11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ,又12+⋅=n n n a a b ,求数列{b n }的前n 项的和. [例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项） ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项乞降）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立演习：求63135115131+++之和.6. 归并法乞降针对一些特别的数列,将某些项归并在一路就具有某种特别的性质,是以,在求数列的和时,可将这些项放在一路先乞降,然后再求S n .[例12]求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. [例14] 在各项均为正数的等比数列中,若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.7. 运用数列的通项乞降先依据数列的构造及特点进行剖析,找出数列的通项及其特点,然后再运用数列的通项揭示的纪律来求数列的前n 项和,是一个重要的办法. [例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 演习：求5,55,555,…,的前n 项和.以上一个7种办法固然各有其特色,但总的原则是要擅长转变原数列的情势构造,使其能进行消项处理或能运用等差数列或等比数列的乞降公式以及其它已知的根本乞降公式来解决,只要很好地掌控这一纪律,就能使数列乞降化难为易,水到渠成.求数列通项公式的八种办法一.公式法（界说法）依据等差数列.等比数列的界说求通项 二.累加.累乘法1.累加法 实用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥,则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=双方分离相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 知足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式. 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =.例2 已知数列{}n a 知足112313n n n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式.解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+双方除以13n +,得111213333n n n n n a a +++=++, 则111213333n n n n n a a +++-=+,故 是以11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯,则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-2.累乘法 实用于： 1()n n a f n a += 若1()n n a f n a +=,则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，， 双方分离相乘得,1111()nn k a a f k a +==⋅∏例3 已知数列{}n a 知足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，,求数列{}n a 的通项公式. 解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，,所以0n a ≠,则12(1)5n n na n a +=+,故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯三.待定系数法 实用于1()n n a qa f n +=+剖析：经由过程凑配可转化为1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+; 解题根本步调： 1.肯定()f n2.设等比数列{}1()n a f n λ+,公比为2λ3.列出关系式1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+4.比较系数求1λ,2λ5.解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式6.解得数列{}n a 的通项公式例4 已知数列{}n a 中,111,21(2)n n a a a n -==+≥,求数列{}n a 的通项公式. 解法一：121(2),n n a a n -=+≥又{}112,1n a a +=∴+是首项为2,公比为2的等比数列12n n a ∴+=,即21n n a =-解法二：121(2),n n a a n -=+≥两式相减得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥,故数列{}1n n a a +-是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法的……例5 已知数列{}n a 知足1112431n n n a a a -+=+⋅=，,求数列{}n a 的通项公式. 解法一：设11123(3n n n n a a λλλ-++=+⋅),比较系数得124,2λλ=-=,则数列{}143n n a --⋅是首项为111435a --⋅=-,公比为2的等比数列, 所以114352n n n a ---⋅=-⋅,即114352n n n a --=⋅-⋅解法二： 双方同时除以13n +得：112243333n n n n a a ++=⋅+,下面解法略留意：例 6 已知数列{}n a 知足21123451n n a a n n a +=+++=，,求数列{}n a 的通项公式.解：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ 比较系数得3,10,18x y z ===,所以2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ 由213110118131320a +⨯+⨯+=+=≠,得2310180n a n n +++≠则2123(1)10(1)18231018n n a n n a n n ++++++=+++,故数列2{31018}n a n n +++为认为21311011813132a +⨯+⨯+=+=首项,以2为公比的等比数列,是以2131018322n n a n n -+++=⨯,则42231018n n a n n +=---.留意：形如21 n n n a pa qa ++=+时将n a 作为()f n 求解剖析：原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的情势,比较系数可求得λ,数列{}1n n a a λ++为等比数列.例7 已知数列{}n a 知足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=,求数列{}n a 的通项公式. 解：设211(5)()n n n n a a a a λλλ++++=++比较系数得3λ=-或2λ=-,无妨取2λ=-,则21123(2)n n n n a a a a +++-=-,则{}12n n a a +-是首项为4,公比为3的等比数列11243n n n a a -+∴-=⋅,所以114352n n n a --=⋅-⋅四.迭代法例8 已知数列{}n a 知足3(1)2115nn n n a a a ++==，,求数列{}n a 的通项公式.解：因为3(1)21nn n n a a ++=,所以又15a =,所以数列{}n a 的通项公式为(1)123!25n n n n n a --⋅⋅=.注：本题还可分解运用累乘法和对数变换法求数列的通项公式. 五.变性转化法1.对数变换法 实用于指数关系的递推公式例9 已知数列{}n a 知足5123n n n a a +=⨯⨯,17a =,求数列{}n a 的通项公式.解：因为511237n n na a a +=⨯⨯=，,所以100n n a a +>>，. 双方取经常运用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++ 设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++（同类型四） 比较系数得,lg3lg3lg 2,4164x y ==+ 由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg 1lg 71041644164a +⨯++=+⨯++≠,得lg3lg3lg 2lg 04164n a n +++≠, 所以数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +++是认为lg3lg3lg 2lg 74164+++首项,以5为公比的等比数列,则1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (lg 7)541644164n n a n -+++=+++,是以11111111116164444111115161644445415151164lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)54164464[lg(7332)]5lg(332)lg(7332)lg(332)lg(732)n n n n n n n n n n a n --------=+++---=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅则11541515164732n n n n n a -----=⨯⨯.2.倒数变换法 实用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例10 已知数列{}n a 知足112,12nn n a a a a +==+,求数列{}n a 的通项公式. 解：求倒数得11111111111,,22n n n n n n a a a a a a +++⎧⎫=+∴-=∴-⎨⎬⎩⎭为等差数列,首项111a =,公役为12,112(1),21n n n a a n ∴=+∴=+ 3.换元法 实用于含根式的递推关系 例11 已知数列{}n a知足111(14116n n a a a +=+=，,求数列{}n a 的通项公式.解：令n b =则21(1)24n n a b =-代入11(1416n n a a +=+得 即2214(3)n n b b +=+因为0n b =≥,则123n n b b +=+,即11322n n b b +=+, 可化为113(3)2n n b b +-=-,所所以{3}n b -认为13332b -===首项,认为21公比的等比数列,是以121132()()22n n n b ---==,则21()32n n b -=+,21()32n -=+,得2111()()3423n n n a =++.六.数学归纳法 经由过程首项和递推关系式求出数列的前n 项,猜出数列的通项公式,再用数学归纳法加以证实.例12 已知数列{}n a 知足11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+=++，,求数列{}n a 的通项公式.解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+++及189a =,得由此可猜测22(21)1(21)n n a n +-=+,下面用数学归纳法证实这个结论. （1）当1n =时,212(211)18(211)9a ⨯+-==⨯+,所以等式成立.（2）假设当n k =时等式成立,即22(21)1(21)k k a k +-=+,则当1n k =+时, 由此可知,当1n k =+时等式也成立.依据（1）,（2）可知,等式对任何*n N ∈都成立. 七.阶差法1.递推公式中既有n S ,又有n a 剖析：把已知关系经由过程11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩转化为数列{}n a 或n S 的递推关系,然后采取响应的办法求解.例13 已知数列{}n a 的各项均为正数,且前n 项和n S 知足1(1)(2)6n n n S a a =++,且249,,a a a 成等比数列,求数列{}n a 的通项公式. 解：∵对随意率性n N +∈有1(1)(2)6n n n S a a =++⑴ ∴当n=1时,11111(1)(2)6S a a a ==++,解得11a =或12a =当n ≥2时,1111(1)(2)6n n n S a a ---=++⑵ ⑴-⑵整顿得：11()(3)0n n n n a a a a --+--= ∵{}n a 各项均为正数,∴13n n a a --= 当11a =时,32n a n =-,此时2429a a a =成立当12a =时,31n a n =-,此时2429a a a =不成立,故12a =舍去 所以32n a n =-2.对无限递推数列例14 已知数列{}n a 知足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，,求{}n a 的通项公式.解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥① 所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+② 用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥ 故11(2)n na n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=③由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥,21222n a a a ==+取得,则21a a =,又知11a =,则21a =,代入③得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=. 所以,{}n a 的通项公式为!.2n n a =八.不动点法不动点的界说：函数()f x 的界说域为D ,若消失0()f x x D ∈,使00()f x x =成立,则称0x 为()f x 的不动点或称00(,())x f x 为函数()f x 的不动点.剖析：由()f x x =求出不动点0x ,在递推公式双方同时减去0x ,在变形求解.类型一：形如1 n n a qa d +=+例 15 已知数列{}n a 中,111,21(2)n n a a a n -==+≥,求数列{}n a 的通项公式. 解：递推关系是对应得递归函数为()21f x x =+,由()f x x =得,不动点为-1 ∴112(1)n n a a ++=+,…… 类型二：形如1n n n a a ba c a d+⋅+=⋅+剖析：递归函数为()a x bf x c x d⋅+=⋅+（1）如有两个相异的不动点p,q 时,将递归关系式双方分离减去不动点p,q,再将两式相除得11n nn n a p a pk a q a q++--=⋅--,个中a pck a qc-=-,∴111111()()()()n n n a q pq k a p pq a a p k a q -----=--- （2）如有两个雷同的不动点p,则将递归关系式双方减去不动点p,然后用1除,得111n n k a p a p +=+--,个中2ck a d=+.例16 已知数列{}n a 知足112124441n n n a a a a +-==+，,求数列{}n a 的通项公式.解：令212441x x x -=+,得2420240x x -+=,则1223x x ==，是函数2124()41x f x x -=+的两个不动点.因为112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+.所以数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是认为112422343a a --==--首项,认为913公比的等比数列,故12132()39n n n a a --=-,则113132()19n n a -=+-.。

数列求通项公式练习题及答案练题
1. 求等差数列的通项公式，已知公差为3，首项为5。

2. 求等差数列的通项公式，已知首项为2，末项为20，公差为2。

3. 求等差数列的通项公式，已知首项为10，公差为-2，求第6项。

4. 求等差数列的通项公式，已知首项为1，公差为0.5，求第10项。

5. 求等差数列的通项公式，已知首项为3，公差为-1/2，求第8项。

答案
1. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
公差为3，首项为5，代入公式得：$a_n = 5 + (n-1) \cdot 3$
2. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为2，末项为20，公差为2，代入公式得：$20 = 2 + (n-1) \cdot 2$
化简为：$18 = (n-1) \cdot 2$
3. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为10，公差为-2，求第6项，代入公式得：$a_6 = 10 + (6-1) \cdot -2$
4. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为1，公差为0.5，求第10项，代入公式得：$a_{10} = 1 + (10-1) \cdot 0.5$
5. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为3，公差为$-\frac{1}{2}$，求第8项，代入公式得：$a_8 = 3 + (8-1) \cdot -\frac{1}{2}$
以上是数列求通项公式练习题及答案。

高中数学等差数列的通项公式训练练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A.第13项B.第14项C.第15项D.第16项2. 已知等差数列{a n}，a2=4，a6+a7=6+a9，则公差d=（）A.2B.1C.−2D.−13. 已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+12(n∈N∗)，则a99的值为( )A.48B.49C.50D.514. 在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2a9−a10的值为( )A.6B.8C.12D.135. 数列{a n}中，若a1=1，a n+1=a n+4，则下列各数中是{a n}中某一项的是()A.2007B.2008C.2009D.20106. 若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1，d2，则d1d2等于（）A.3 2B.23C.43D.347. 在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a na n+2(n∈N∗)，则a5等于( )A.2 5B.13C.23D.128. 已知等差数列{a n}的公差d为正数，a1=1，2(a n a n+1+1)=tn(1+a n)，t为常数，则a n=( )A.2n−1B.4n−3C.5n−4D.n9. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为()A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸10. 一个首项为，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是()A. B. C. D.11. 等差数列{a n}，a1=0，公差d=1，则a8=________．712. 在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则a n=________．13. 等差数列{a n}中，若a3+a5=4，则a4=________．14. 已知数列{a n}的前n项和S n=n2−9n，则其通项a n=________．15. 已知等差数列{a n}，a n=4n−3，则首项a1为________，公差d为________．16. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”．其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为________．17. “欢欢”按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为{a n}，则数到2008时对应的指头是________，数列{a n}的通项公式a n=________．（填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）．18. 表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字70在表中出现的次数为________19. 已知数列的前n项和为，，，则________．20. 已知数列满足，，若，则数列的前n项和________．21. 数列{a n}中，a1=8，a4=2且满足a n+2=2a n+1−a n(n∈N∗)，数列{a n}的通项公式________．22. 在等差数列{a n}中，已知a4+a6=28，a7=20，求a3和公差d．23. 数列{a n}是等差数列，a1=f(x+1)，a2=0，a3=f(x−1)，其中f(x)=x2−4x+2，求通项公式a n．24. 设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)已知数列{b n}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{b n}的通项公式．25. 已知数列{a n},|b n}满足a1=2,b1=1 ,且当n≥2a n=23a n−1+13b n−1+2b n=1 3a n−1+23b n−1+2(1)令c n=a n+b n,d n=a n−b n ,证明：{c n}为等差数列，{d n}为等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式及前π项和S n26. 已知公差不为零的等差数列{a n}各项均为正数，其前n项和为S n，满足2S2=a2(a2+1)且a1,a2,a4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n+1⋅2a n，求数列{b n}的前n项和为T n.27. 已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=4，a5是a2与a11的等比中项．(1)求S n；(2)设数列{b n}满足b1=a2, b n+1=b n+3×2a n，求数列{b n}的通项公式．28. 已知递增等差数列{a n}满足a1+a5=4，前3项的积为8，求等差数列{a n}的通项公式．29. 在等差数列{a n}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d，a20，a n．30. 已知数列{a n}，对于任意n∈N∗，都有a n=n2−bn，是否存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列？这样的整数是否唯一？是否存在最大的整数？31. 在等差数列{a n}中，a2=3，a9=17，求a19+a20+a21的值．32. 在等差数列{a n}中，已知a3=8，且满足a10>21，a12<27，若d∈Z，求公差d的值．33. 已知数列{a n}为等差数列，且a4=9，a9=−6．（1）求通项a n；（2）求a12的值．34. 已知：公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3a4=117，a2+a5= 22．求数列{a n}的通项公式．35. 设无穷等差数列{a n}的前n项和为S n，求所有的无穷等差数列{a n}，使得对于一切正整数k都有S k3=(S k)3成立．36. 在等差数列{a n}中，公差d≠0，己知数列a k1，a k2，a k3，…a kn…是等比数列，其中k1=1，k2=7，k3=25．（1）求数列{k n}的通项公式；（2）若a1=9，b n=√a k n6+√k n2，S n=b12+b22+b32...+b n2，T n=1b12+1b22+1b32...+1b n2，试判断{S n+T n}的前100项中有多少项是能被4整除的整数．37. 设正数数列的前项和为，对于任意，是和的等差中项. （1）求数列的通项公式；（2）设，是的前项和，是否存在常数，对任意，使恒成立？若存在，求取值范围；若不存在，说明理由.38. 记等差数列的前项和，已知.（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的的取值范围.39. 观察下表：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，……问：（1）此表第行的第一个数与最后一个数分别是多少？（2）此表第行的各个数之和是多少？（3）2019是第几行的第几个数？40. 等差数列{a n}中，d=2，a1=5，S n=60，求n及a n．参考答案与试题解析高中数学等差数列的通项公式训练练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】等差数列的通项公式【解析】根据等差数列51、47、43，…，得到等差数列的通项公式，让通项小于0得到解集，求出解集中最小的正整数解即可．【解答】解：因为数列51、47、43，…为等差数列，所以公差d=47−51=−4，首项为51，所以通项a n=51+(n−1)×(−4)=55−4n，所以令55−4n<0解得n>554因为n为正整数，所以最小的正整数解为14，所以第一个负数项为第14项故选B2.【答案】B【考点】等差数列的通项公式【解析】（1）利用等差数列的性质进行解题即可.【解答】解：已知数列{a n}是等差数列，则a2=a1+d=4，a6+a7=2a1+11d=6+a1+8d，解得d=1 .故选B .3.【答案】D【考点】等差数列的通项公式【解析】的等差数列，由此能求出a99．由已知得数列{a n}是首项为a1=2，公差为a n+1−a n=12【解答】(n∈N∗)，解：∵在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+12∴数列{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，2∴a99=2+98×1=51．2故选D．4.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】由已知条件利用等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a1+3a8+a15=60，∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=5(a1+7d)=60，∴a1+7d=12，∴2a9−a10=2(a1+8d)−(a1+9d)=a1+7d=12.故选C.5.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的定义判断，再用通项公式求解即可．【解答】解：∵数列{a n}中有a1=1，a n+1=a n+4，∴数列{a n}为等差数列，且a1=1，公差d=4，即通项公式为：a n=4n−3，∵4n−3=2009，4n=2012，∴n=503且n=503是整数.故选C.6.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】由a，x1，x2，b为等差数列，根据等差数列的性质得到b=a+3d1，表示出d1，同理由a，y1，y2，y3，b为等差数列，根据等差数列的性质表示出d2，即可求出d1与d2的比值．【解答】解：∵a，x1，x2，b为等差数列，且公差为d1，∴b=a+3d1，即d1=b−a，3∵a，y1，y2，y3，b也为等差数列，且公差为d2，∴b=a+4d2，即d2=b−a，4则d 1d 2=43．故选C 7.【答案】 B【考点】等差数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由a n+1=2a nan+2，得1a n+1=a n +22a n=1a n+12，又a 1=1，所以数列{1a n}是以1为首项，12为公差的等差数列， 所以1a 5=1+4×12=3，所以a 5=13．故选B ． 8. 【答案】 A【考点】等差数列的通项公式 【解析】根据数列的递推关系式，先求出t ＝4，即可得到{a 2n−1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n−1＝4n −3，{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n −1，问题得以解决． 【解答】解：由题设2(a n a n+1+1)=tn(1+a n )，即a n a n+1+1=tS n ，可得a n+1a n+2+1=tS n+1， 两式相减得a n+1(a n+2−a n )=ta n+1， 所以a n+2−a n =t .由2(a 1a 2+1)=t(1+a 1) 可得a 2=t −1，由a n+2−a n =t 可知a 3=t +1.因为{a n }为等差数列，所以2a 2=a 1+a 3， 解得t =4，故a n+2−a n =4，由此可得{a 2n−1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n−1=4n −3， {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n =4n −1， 所以a n =2n −1. 故选A . 9. 【答案】 B【考点】等差数列的通项公式【解析】从冬至日起各节气日影长设为{a n}，可得{a n}为等差数列，根据已知结合前八项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解．【解答】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{a n}S n是其前？项和，则尺，所以a5=9.5尺，由题S S=9(a1+a5)24+a7=3a4=31.5所以a4=10.5，所以公差d=a5−a4=−1所以a12=a5+7d=2.5尺．故选：B．10.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】设等差数列{a n}的公差为|da4=23+5d,a7=23+6d，又：数列前六项均为正数，第七项起为负数，23+5d>0.23+6d<0−235<d<−236，又…数列是公差为整数的等差数列，d=−4，故选C．【解答】此题暂无解答二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】1【考点】等差数列的通项公式【解析】直接由等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}，由a1=0，公差d=17，得a8=a1+7d=0+7×17=1．故答案为：1．12.【答案】2n−3【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=1，a4=5，∴{a1+d=1a1+3d=5，解得{a1=−1d=2．∴a n=−1+2(n−1)=2n−3．故答案为2n−3．13.【答案】2【考点】等差数列的通项公式【解析】根据等差数列的定义和性质，结合题意可得2a4=a3+a5=4，由此解得a4的值．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3+a5=4，∴2a4=a3+a5=4，解得a4=2，故答案为：2．14.【答案】2n−10【考点】等差数列的通项公式【解析】利用递推关系a n={S1n=1S n−S n−1n≥2可求数列的通项公式【解答】解：∵S n=n2−9n，∴a1=S1=−8n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−9n−(n−1)2+9(n−1)=2n−10 n=1，a1=8适合上式故答案为：2n−1015.【答案】1,4【考点】等差数列的通项公式【解析】根据等差数列的通项公式求出公差d，令n=1求得首项a1．【解答】解：由题意得，等差数列{a n}，a n=4n−3，则公差d=4，令n=1得首项a1=1，故答案为：1、4．16.【答案】429等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．【解答】已知数列{a n}为等差数列，其中，a1＝5，a n＝1，S n＝90．，1＝5+(n−1)d，设公差为d，则90=n(5+1)2．解得：d=−42917.【答案】食指,4n−1【考点】等差数列的通项公式【解析】注意到数1，9，17，25，，分别都对应着大拇指，且1+8×(251−1)=2001，因此数到2008时对应的指头是食指．对应中指的数依次是：3，7，11，15，，因此数列{a n}是3为首项4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可得到答案．【解答】解：∵数1，9，17，25，，分别都对应着大拇指，且1+8×(251−1)=2001，∴数到2008时对应的指头是食指．∵对应中指的数依次是：3，7，11，15，因此数列{a n}的通项公式是a n=3+(n−1)×4=4n−1．故答案为：食指，4n−118.【答案】4【考点】等差数列的通项公式【解析】第1行数组成的数列A1j(j＝1, 2,…)是以2为首项，公差为1的等差数列，第j列数组成的数列Aij(i＝1, 2,…)是以j+1为首项，公差为j的等差数列，求出通项公式，就求出结果．【解答】第i行第j列的数记为Aij．那么每一组i与j的组合就是表中一个数．因为第一行数组成的数列A1j(j＝1, 2,…)是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j＝2+(j−1)×1＝j+1，所以第j列数组成的数列Aij(i＝1, 2,…)是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以Aij＝(j+1)+(i−1)×j＝ij+1．所以ij＝69＝1×69＝3×23＝23×3＝69×1＝81．所以表中的数70共出现54，19.【答案】________、1,2n—1【考点】等差数列的通项公式根据a n−1=S n+1−S n ，代入后等式两边同时除以S n+1S n+1．即可得【解答】因为a n−1=S n+1−S n则a n−1+2S n+1S n =0可化简为S n−1−S n +2S n−1S n =0等式两边同时除以S n−1S n可得1S n −1S n+1+2=0．即1S n−1−1S n =2 所以数列为等差数列，首项1S 1=1a 1=1，公差d =2 所以1S n=1+(n −1)×2=2n −1 即S n =12n−1故答案为：12n−1I =加加】本题考查了数列的综合应用，通项公式与前n 项和公式的关系，等差数列通项公式的求法，属于中档题．20.【答案】s _、4”1−4,3【考点】等差数列的通项公式【解析】a n+1n+1−a n n =2，求得an n 的通项，进而求得a n =2n 2，得b n 通项公式，利用等比数列求和即可．【解答】由题为等差数列，a n n =a 11+n −1×2=2na n =2n 2∴ b n =22n ∴ S n =4(1−42)1−4=4n−1−43，故答案为4n+1−43三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ）21.【答案】a n =10−2n【考点】等差数列的通项公式【解析】本题考查等差数列通项公式，由条件 a n+2=2a n+1−a n 可得 a n+2−a n+1=a n+1−a n ，从而{a n }为等差数列，利用 a 1=8， a 4=2 可求公差，从而可求数列{a n }的通项公式．【解答】解：由题意， a n+2−a n+1=a n+1−a n ，∴ 数列 {a n } 为等差数列，设公差为d ，由a 1=8，a 4=2 ，得8+3d =2 ，解得d =−2，∴ a n =8−2(n −1)=10−2n ．故答案为：a n =10−2n ．22.【答案】解：在等差数列{a n }中，∵ a 4+a 6=28，a 7=20，∴ 由题意得{a 3+d +a 3+3d =28①，a 3+4d =20②，由①②解得{a 3=8，d =3.【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{a n }中，∵ a 4+a 6=28，a 7=20，∴ 由题意得{a 3+d +a 3+3d =28①，a 3+4d =20②，由①②解得{a 3=8，d =3.23.【答案】解：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1+a 3=2a 2，即f(x +1)+f(x −1)=0，又f(x)=x 2−4x +2，所以(x +1)2−4(x +1)+2+(x −1)2−4(x −1)+2=0，整理得x 2−4x +3=0，解得x =1，或x =3．当x =1时，a 1=f(x +1)=f(2)=22−4×2+2=−2，d =a 2−a 1=0−(−2)=2，∴ a n =a 1+(n −1)d =−2+2(n −1)=2n −4．当x =3时，a 1=f(x +1)=f(4)=42−4×4+2=2，d =0−2=−2，∴ a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×(−2)=4−2n ．所以，数列{a n }的通项公式为2n −4或4−2n ．【考点】等差数列的通项公式【解析】题目给出了一个等差数列的前3项，根据等差中项概念列式a 1+a 3=2a 2，然后把a 1和a 3代入得到关于x 的方程，解方程，求出x 后再分别代回a 1=f(x +1)求a 1，则d 也可求，所以通项公式可求．【解答】解：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1+a 3=2a 2，即f(x +1)+f(x −1)=0，又f(x)=x 2−4x +2，所以(x +1)2−4(x +1)+2+(x −1)2−4(x −1)+2=0，整理得x 2−4x +3=0，解得x =1，或x =3．当x =1时，a 1=f(x +1)=f(2)=22−4×2+2=−2，d =a 2−a 1=0−(−2)=2，∴ a n =a 1+(n −1)d =−2+2(n −1)=2n −4．当x =3时，a 1=f(x +1)=f(4)=42−4×4+2=2，d =0−2=−2，∴ a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×(−2)=4−2n ．所以，数列{a n }的通项公式为2n −4或4−2n ．24.【答案】解：(1)由题设可知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n =3n−1，S n =1−3n 1−3=3n −12.(2)设数列{b n }的公差为d ,∵ b 1=a 2=3，b 3=a 1+a 2+a 3=S 3=13，∴ b 3−b 1=10=2d ，∴ d =5，∴ b n =5n −2.【考点】等比数列的前n 项和等比数列的通项公式等差数列的通项公式【解析】（1）判断数列是等比数列，然后求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（2）利用数列的关系求出公差，然后求解通项公式．【解答】解：(1)由题设可知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n =3n−1，S n =1−3n 1−3=3n −12.(2)设数列{b n }的公差为d ,∵ b 1=a 2=3，b 3=a 1+a 2+a 3=S 3=13，∴ b 3−b 1=10=2d ，∴ d =5，∴ b n =5n −2.25.【答案】解：（1）数列{a n }，{b n }满足a 1=2,b 1=1,且 {a n =23a n−1+13b n−1+2b n =13a n−1+23b n−1+2(n ≥2), ∴ a n +b n =(a n−1+b n−1)+4(n ≥2)，因为c n =a n +b n ，即c n =c n−1+4(n ≥2)，∴ {c n }是首项为a 1+b 1=3, 公差为4的等差数列．且通项公式为c n =3+4(n −1)=4n −1,而a n −b n =(13a n−1−13b n−1)=13(a n−1−b n−1)(n ≥2)，因为d n =a n −b n ，即d n =13d n−1(n ≥2)， ∴ {d n }是首项为a 1−b 1=1, 公比为13的等比数列．且通项公式为d n =(13)n−1. （2）由（1）得到 {a n +b n =4n −1a n −b n =(13)n−1, 解得a n =12×3n−1+2n −12,∴ S n = 12×[1−(13)n ]1−13+2×n(n+1)2-12n =34−14×3+n 2+n 2． 【考点】由递推关系证明数列是等差数列等差数列与等比数列的综合数列的求和等比数列的通项公式等差数列的通项公式【解析】由题得到a n +b n =(a n−1+b n−1)+4(n ≥2)，即可得到c n =c n−1+4(n ≥2)，即可知{c n }是首项为a 1+b 1=3, 公差为4的等差数列．而a n −b n =13(a n−1−b n−1)(n ≥2)，即可得d n =13d n−1(n ≥2)，可知{d n }是首项为a 1−b 1=1, 公比为13的等比数列．由（1）得到 {a n +b n =4n −1a n −b n =(13)n−1,即可得到a n =12×3+2n −12,再利用分组转换求和法即可得解S n ．【解答】解：（1）数列{a n }，{b n }满足a 1=2,b 1=1,且 {a n =23a n−1+13b n−1+2b n =13a n−1+23b n−1+2(n ≥2), ∴ a n +b n =(a n−1+b n−1)+4(n ≥2)，因为c n =a n +b n ，即c n =c n−1+4(n ≥2)，∴ {c n }是首项为a 1+b 1=3, 公差为4的等差数列．且通项公式为c n =3+4(n −1)=4n −1,而a n −b n =(13a n−1−13b n−1)=13(a n−1−b n−1)(n ≥2)，因为d n =a n −b n ，即d n =13d n−1(n ≥2)， ∴ {d n }是首项为a 1−b 1=1, 公比为13的等比数列．且通项公式为d n =(13)n−1. （2）由（1）得到 {a n +b n =4n −1a n −b n =(13)n−1, 解得a n =12×3n−1+2n −12,∴ S n =12×[1−(13)n ]1−13+2×n(n+1)2-12n =34−14×3+n 2+n 2． 26.【答案】解：(1)设等差数列的公差为d ，由题意得{2S 2=a 2(a 2+1)，a 22=a 1a 4， 整理{a 12+2a 1d +d 2=3a 1+d ，a 1=d ，解得a 1=d =1，所以a n =n .(2)由(1)得b n =(n +1)2n ，则T n =2×21+3×22+4×23+⋯+(n +1)×2n ，2T n =2×22+3×23+4×24+⋯+(n +1)×2n+1，两式作差整理得，T n =n ⋅2n+1.【考点】等比中项数列的求和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设等差数列的公差为d ，由题意得{2S 2=a 2(a 2+1)，a 22=a 1a 4，整理{a 12+2a 1d +d 2=3a 1+d ，a 1=d ，解得a 1=d =1，所以a n =n .(2)由(1)得b n =(n +1)2n ，则T n =2×21+3×22+4×23+⋯+(n +1)×2n ，2T n =2×22+3×23+4×24+⋯+(n +1)×2n+1，两式作差整理得，T n =n ⋅2n+1.27.【答案】解：(1)由题意可得{a 1+2d =4，(a 1+4d )2=(a 1+d )(a 1+10d )，即{a 1+2d =4,2d 2=a 1d.又因为d ≠0，所以{a 1=2，d =1，所以a n =n +1，所以S n =n (2+n+1)2=n 2+3n 2；(2)由条件及(1)可得b 1=a 2=3．由已知得b n+1−b n =3×2n+1，b n −b n−1=3×2n (n ≥2)．所以b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b 2−b 1)+b 1=3(2n +2n−1+2n−2+⋯+22)+3=3×2n+1−9(n ≥2).又b 1=3满足上式，所以b n =3×2n+1−9．【考点】等比中项数列递推式等差数列的前n 项和等差数列的通项公式【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：(1)由题意可得{a 1+2d =4，(a 1+4d )2=(a 1+d )(a 1+10d )，即{a 1+2d =4,2d 2=a 1d.又因为d ≠0，所以{a 1=2，d =1，所以a n =n +1，所以S n =n (2+n+1)2=n 2+3n 2；(2)由条件及(1)可得b 1=a 2=3．由已知得b n+1−b n =3×2n+1，b n −b n−1=3×2n (n ≥2)．所以b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b 2−b 1)+b 1=3(2n +2n−1+2n−2+⋯+22)+3=3×2n+1−9(n ≥2).又b 1=3满足上式，所以b n =3×2n+1−9．28.【答案】解：∵ 递增等差数列{a n }满足a 1+a 5=4，前3项的积为8，∴ {a 1+a 1+4d =4a 1(a 1+d)(a 1+2d)=8d >0，解得a 1=−4，d =3，∴ 等差数列{a n }的通项公式a n =−4+(n −1)×3=3n −7．【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出等差数列{a n }的通项公式．【解答】解：∵ 递增等差数列{a n }满足a 1+a 5=4，前3项的积为8，∴ {a 1+a 1+4d =4a 1(a 1+d)(a 1+2d)=8d >0，解得a 1=−4，d =3，∴ 等差数列{a n }的通项公式a n =−4+(n −1)×3=3n −7．29.【答案】解：解法一：∵ a 5=10，a 12=31，则{a 1+4d =10a 1+11d =31⇒{a 1=−2d =3∴ a n =a 1+(n −1)d =3n −5，a 20=a 1+19d =55解法二：∵ a 12=a 5+7d ⇒31=10+7d ⇒d =3∴ a 20=a 12+8d =55，a n =a 12+(n −12)d =3n −5【考点】等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】略30.【答案】解：∵数列{a n}，对于任意n∈N∗，都有a n=n2−bn，假设存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，∴a n+1−a n=[(n+1)2−b(n+1)]−(n2−bn)=2n+1−b>0，∴存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，且m=2n+1，n∈N∗．满足条件的整数m不是唯一的，但不存在最大值．【考点】等差数列的通项公式【解析】假设存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，则a n+1−a n=[(n+ 1)2−b(n+1)]−(n2−bn)=2n+1−b>0，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}，对于任意n∈N∗，都有a n=n2−bn，假设存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，∴a n+1−a n=[(n+1)2−b(n+1)]−(n2−bn)=2n+1−b>0，∴存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，且m=2n+1，n∈N∗．满足条件的整数m不是唯一的，但不存在最大值．31.【答案】解：∵等差数列{a n}中，a2=3，a9=17∴d=a9−a29−2=17−37=2∴a20=a2+18d=3+36=39∵a19+a20+a21=3a20=117【考点】等差数列的通项公式【解析】由已知结合公式d=a9−a29−2可求d，然后利用等差数列的性质及通项公式即可求解【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=3，a9=17∴d=a9−a29−2=17−37=2∴a20=a2+18d=3+36=39∵a19+a20+a21=3a20=11732.【答案】解：∵等差数列{a n}中，a3=8，且满足a10>21，a12<27，∴{a1+2d=8a1+9d>21a1+11d<27，∴{8−2d+9d>218−2d+11d<27，解得137<d <199．∵ d ∈Z ，∴ 公差d =2． 【考点】等差数列的通项公式 【解析】由已知条件利用等差数列通项公式能求出公差d 的值． 【解答】解：∵ 等差数列{a n }中，a 3=8，且满足a 10>21，a 12<27， ∴ {a 1+2d =8a 1+9d >21a 1+11d <27，∴ {8−2d +9d >218−2d +11d <27，解得137<d <199．∵ d ∈Z ，∴ 公差d =2． 33.【答案】 解：（1）∵ 数列{a n }为等差数列，且a 4=9，a 9=−6， ∴ {a 1+3d =9a 1+8d =−6，解得a 1=18，d =−3，∴ 通项a n =18+(n −1)×(−3)=21−3n ． （2）a 12=21−3×12=−15．【考点】等差数列的通项公式 【解析】（1）利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出通项a n ． （2）由通项通项a n ，能求出a 12的值．【解答】 解：（1）∵ 数列{a n }为等差数列，且a 4=9，a 9=−6， ∴ {a 1+3d =9a 1+8d =−6，解得a 1=18，d =−3，∴ 通项a n =18+(n −1)×(−3)=21−3n ． （2）a 12=21−3×12=−15． 34.【答案】解：在等差数列{a n }中，a 3+a 4=a 2+a 5=22，a 3⋅a 4=117， ∴ a 3，a 4是方程x 2−22x +117=0的两实根， ∵ 公差d >0，∴ a 3<a 4， ∴ a 3=9，a 4=13； 即{a 1+2d =9a 1+3d =13， 解得{a 1=1d =4；∴ 通项公式为a n =1+4(n −1)=4n −3． 【考点】等差数列的通项公式 【解析】根据题意，由a 3+a 4=a 2+a 5，a 3⋅a 4的值求出a 3、a 4；由此求出{a 1=1d =4；即得通项公式a n ． 【解答】解：在等差数列{a n }中，a 3+a 4=a 2+a 5=22，a 3⋅a 4=117， ∴ a 3，a 4是方程x 2−22x +117=0的两实根， ∵ 公差d >0，∴ a 3<a 4， ∴ a 3=9，a 4=13； 即{a 1+2d =9a 1+3d =13， 解得{a 1=1d =4；∴ 通项公式为a n =1+4(n −1)=4n −3． 35.【答案】解：若等差数列{a n }满足S k 3=(S k )3则当k =1时，有s 1=s 13，∴ a 1=0或a 1=1或a 1=−1当k =2时，有s 8=s 23，即8a 1+8×72d =(2a 1+d)3(1)当a 1=0时，代入上式得d =0或d =2√7或d =−2√7 ①当a 1=0，d =0时，a n =0，S n =0 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：0，0，0…②当a 1=0，d =2√7时，a n =2√7(n −1)，S n =2√7n(n−1)2=√7n(n −1)S 27≠(S 3)3 ∴ 不满足题意③当a 1=0，d =−2√7时，a n =−2√7(n −1)，S n =−2√7n(n−1)2=−√7n(n −1)S 27≠(S 3)3 ∴ 不满足题意(2)当a 1=1时，代入上式得d =0或d =2或d =−8 ①当a 1=1，d =0时，a n =1，S n =n 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：1，1，1…②当a 1=1，d =2时，a n =2n −1，S n =n 2 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：1，3，5…③当a 1=1，d =−8时，a n =−8n +9，S n =n(5−4n) S 27≠(S 3)3 ∴ 不满足题意(3)当a 1=−1时，代入上式得d =0或d =−2或d =8 ①当a 1=−1，d =0时，a n =−1，S n =−n满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：−1，−1，−1…②当a1=−1，d=−2时，a n=−2n+1，S n=−n2满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：−1，−3，−5…③当a1=−1，d=8时，a n=8n−9，S n=n(4n−5)S27≠(S3)3∴不满足题意∴满足题意的等差数列{a n}有：①0，0，0…②1，1，1…③1，3，5…④−1，−1，−1…⑤−1，−3，−5…【考点】等差数列的通项公式【解析】先由k=1，k=2时，确定首项和公差，再验证每一组解是否符合题意，从而可以找到符合题意的数列【解答】解：若等差数列{a n}满足S k3=(S k)3则当k=1时，有s1=s13，∴a1=0或a1=1或a1=−1d=(2a1+d)3当k=2时，有s8=s23，即8a1+8×72(1)当a1=0时，代入上式得d=0或d=2√7或d=−2√7①当a1=0，d=0时，a n=0，S n=0满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：0，0，0…=√7n(n−1)②当a1=0，d=2√7时，a n=2√7(n−1)，S n=2√7n(n−1)2S27≠(S3)3∴不满足题意=−√7n(n−1)③当a1=0，d=−2√7时，a n=−2√7(n−1)，S n=−2√7n(n−1)2S27≠(S3)3∴不满足题意(2)当a1=1时，代入上式得d=0或d=2或d=−8①当a1=1，d=0时，a n=1，S n=n满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：1，1，1…②当a1=1，d=2时，a n=2n−1，S n=n2满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：1，3，5…③当a1=1，d=−8时，a n=−8n+9，S n=n(5−4n)S27≠(S3)3∴不满足题意(3)当a1=−1时，代入上式得d=0或d=−2或d=8①当a 1=−1，d =0时，a n =−1，S n =−n 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：−1，−1，−1…②当a 1=−1，d =−2时，a n =−2n +1，S n =−n 2 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：−1，−3，−5…③当a 1=−1，d =8时，a n =8n −9，S n =n(4n −5) S 27≠(S 3)3 ∴ 不满足题意∴ 满足题意的等差数列{a n }有： ①0，0，0… ②1，1，1… ③1，3，5…④−1，−1，−1… ⑤−1，−3，−5… 36.【答案】 解：（1）设{a n }的首项为a 1，公差为d(d ≠0)， ∵ a 1，a 7，a 25成等比数列， ∴ (a 1+6d)2=a 1(a 1+24d)， ∴ 36d 2=12a 1d ，又d ≠0， ∴ a 1=3d...3分∴ a n =3d +(n −1)d =(n +2)d ， 又a k 2a k 1=a 7a 1=9d 3d=3，∴ {a k n }是以a 1=3d 为首项，3为公比的等比数列，∴ a k n =3d ⋅3n−1=d ⋅3n ，∴ (k n +2)d =d ⋅3n (d ≠0)， ∴ k n =3n −2(n ∈N ∗)．（2）∵ a 1=9，∴ 3d =9，解得d =3，∴ a k n =3n+1， ∴ b n =√a k n 6+√kn2=√3n +√3n −2√2， 则b n 2+1b n2=(b n +1b n)2−2=(√3n +√3n −2√2√3n −√3n −2√2)2−2=2×3n −2，∴ S n +T n =2×3n−1−32−2n =3(3n −1)−2n ，当n 为偶数时：3n−1=(8+1)n 2−1=8n 2+...+C n 2n 2−1⋅8，能被4整除，2n 也能被4整除，∴ S n +T n 能被4整除．当n 为奇数时，S n +T n =3n+1−1−2(n +1)， 3n+1−1=(8+1)n+12−1=8n+12+...+Cn+12n+12−1⋅8能被4整除，2(n +1)也能被4整除，∴ S n +T n 能被4整除，∴ {S n +T n }的前100项中有100项是能被4整除的整数．【考点】等差数列的通项公式 【解析】（1）设{a n }的首项为a 1，公差为d(d ≠0)，由题意可求得a 1=3d ，于是可求得a n 的关于d 的表达式，再利用a k 2ak 1=a 7a 1=9d3d =3，可求得其公比，继而可求得akn 的关系式，两者联立即可求得数列{k n }的通项公式k n ．（2）先求出b n ，进一步求出S n +T n 的通项公式，再利用二项式知识解决整除问题 【解答】 解：（1）设{a n }的首项为a 1，公差为d(d ≠0)， ∵ a 1，a 7，a 25成等比数列， ∴ (a 1+6d)2=a 1(a 1+24d)， ∴ 36d 2=12a 1d ，又d ≠0， ∴ a 1=3d...3分∴ a n =3d +(n −1)d =(n +2)d ， 又a k 2a k 1=a 7a 1=9d 3d=3，∴ {a k n }是以a 1=3d 为首项，3为公比的等比数列，∴ a k n =3d ⋅3n−1=d ⋅3n ，∴ (k n +2)d =d ⋅3n (d ≠0)， ∴ k n =3n −2(n ∈N ∗)．（2）∵ a 1=9，∴ 3d =9，解得d =3，∴ a k n =3n+1， ∴ b n =√a k n 6+√k n 2=√3n +√3n −2√2， 则b n 2+1b n2=(b n +1b n)2−2=(√3n +√3n −2√2√3n −√3n −2√2)2−2=2×3n −2，∴ S n +T n =2×3n−1−32−2n =3(3n −1)−2n ，当n 为偶数时：3n−1=(8+1)n 2−1=8n 2+...+C n 2n 2−1⋅8，能被4整除，2n 也能被4整除，∴ S n +T n 能被4整除．当n 为奇数时，S n +T n =3n+1−1−2(n +1)， 3n+1−1=(8+1)n+12−1=8n+12+...+Cn+12n+12−1⋅8能被4整除，2(n +1)也能被4整除，∴ S n +T n 能被4整除，∴ {S n +T n }的前100项中有100项是能被4整除的整数． 37.【答案】（1）a n =n ；（2）存在实数0≤λ<1符合题意．【考点】等差数列的通项公式 【解析】（1）根据S n 是a n 2和a n 的等差中项可知2S n =a n 2+a n ，且a n >0，则当n ≥2时，有2S n−1=(a n−1)2+a n−1，两式相减并化简即 可求解；（2）由（1）知a n =n ，由题意知，T n =1−(12)n，假设存在常数λ≥0，对任意n ∈N ，使恒成立等价于对任意n ∈N ′1−(12)n−λ(12)n>√λ恒成立整理化简，利用分离参数法求解恒成立问题即可．【解答】（1）由S n 是a n 2和a n 的等差中项可知，2S n =a n 2+a n ，且a n >0 则当n ≥2时，有2S n−1=(a n−1)2+a n−1两式相减可得，2S n −2S n−1=a n 2−a n−12+a n −a n−1即2a n =a n 2−a n−12+a n −a n+1,a n >0，化简可得，a n −a n−1=1(n ≥2) 所以数列{a n }是以1为首项1为公差的等差数列， 所以数列{a n }的通项公式为a n =n（2）由（1）知，a n =n ，因为b n =(12)n，所以数列{b n }的前几项和T n =1−(12)n假设存在常数λ≥0，对任意n ∈N ′，使T n −λ⋅2−a ,√λ恒成立 即对任意n ∈N1−(12)n−λ(12)n>√λ恒成立等价于对任意n ∈N ′1+√A <2n 恒成立即1+√2小于2a 的最小值即可．所以0≤λ<1满足对任意n ∈N ，使T n −λ⋅2−a >√λ恒成立．所以存在这样的实数？，对任意n ∈N ′，使恒成立，实数？的取值范围为0≤λ<1 38.【答案】（1）a n =−2n +8（2）{n|1≤n ≤8,n ∈N }【考点】等差数列的通项公式 【解析】（1）由已知可得a 4=0，再根据a 2=4可得a 1,d 的方程组，解得．（2）由（1）可知a 1=−3d ，故可用含d 的式子表示S n 和a n ，列出不等式求解即可． 【解答】（1）设等差数列{a n }的首项为a 1公差为d ；因为等差数列{a n }的前）项和S n 且S 4=S 3．a 4=0，又∵ a 2=4 {a 1+3d =0a 1+d =4，解得{a 1=4d =−2 所以a n =a 2+(n −2)⋅d =−2n +8 （2）因为a 1=−3d >0，所以d <0 所以S n =na 1+n (n−1)2d =−3nd +n (n−1)2da n =a 1+(n −1)⋅d =(n −4)d 因为S n ≥a n ，所以(n 2−n 2−3n)d ≥(n −4)d因为d <0，所以n 2−n2−3n ≤n −4整理得n 2−9n +8≤0，解得1≤n ≤8 所以”的取值范围是{n|1≤n ≤8,n ∈N } 39.【答案】（1）第几行的第一个数是n 2，最后一个数是n 2+2n （2）第八行各个数之和为2n 3+3n 2+n（3）2019是第44行第84个数．【考点】等差数列的通项公式【解析】（1）根据此表的特点可知此表n行的第1个数为n2，第n行共有3+(n−1)×2=2n+ 1个数，依次构成公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式解之即可；（2）直接根据等差数列的前n项和公式进行求解；（3）1936=442×2019×452=2025，所以2019在第44行，然后设2019是此数表的第44行的第k个数，而第44行的第1个数为442，可求出k，从而得到结论．【解答】（1）由表可知，每一行都是公差为1的等差数列，第n行第一个数是n2，每一行比上一行多2个数，第一行有3个数，则第n行有3+(n−1)×2=2n+1个数，所以第一行最后一个数是n2+(2n+1−1)×1=n2+2n（当然也可以观察得出第n行最后一个数为(n+1)2−1)（2）由（1）知，第几行各个数之和为(2n+1)(n 2+n2+2n)2=(2n+1)(n2+n)=2n3+3n2+n（3）因为1936=442<2019<452=2025，所以2019在第44行，设2019是第44行第k个数，则2019=442+(k−1)×1，解得k=84，所以2019是第44行第84个数．40.【答案】解：等差数列{a n}中，d=2，a1=5，S n=60，∵前n项和S n=na1+12n(n+1)d，即5n+12×n(n−1)×2=60；解得n=6，n=−10（舍去）；∴通项公式是a n=a1+(n−1)d=5+2(n−1)=2n+3，∴a6=2×6+3=15．∴所求的n=6，a6=15．【考点】等差数列的通项公式【解析】由等差数列的前n项和公式求出n的值，再由通项公式求出a6即可．【解答】解：等差数列{a n}中，d=2，a1=5，S n=60，∵前n项和S n=na1+12n(n+1)d，即5n+12×n(n−1)×2=60；解得n=6，n=−10（舍去）；∴通项公式是a n=a1+(n−1)d=5+2(n−1)=2n+3，∴a6=2×6+3=15．∴所求的n=6，a6=15．。

技巧方法专题2 数列求通项问题 解析版一、数列求通项常用方法知识框架二、数列求通项方法【一】归纳法求通项1.例题【例1】由数列的前n 项，写出通项公式： (1)3,5,3,5,3,5，… (2)12，23，34，45，56，… (3)2，52，134，338，8116，…(4)12，16，112，120，130，…【例2】已知数列：，按照从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的（ ） ()12,,,11k k N k k *⋅⋅⋅∈-k {}n a 1212381,,,,,,,213219⋅⋅⋅则{}n a 通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式，关键是依托基本数列如等差数列、等比数列，寻找a n 与n ，a n 与a n ＋1的联系.2. 巩固提升综合练习【练习1】由数列的前几项，写出通项公式： (1)1，－7，13，－19，25，… (2)14，37，12，713，916，… (3)1，－85，157，－249，…【练习2】如图是一个三角形数阵，满足第n 行首尾两数均为n ，(),A i j 表示第()2i i ≥行第j 个数，则()100,2A 的值为__________．【二】公式法求通项1.例题【例1】 数列满足，，则（ ） A ．B ．C ．D ．【例2】已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2． 求证：数列{b n }是等差数列，并求n a ． {}n a 112a =()*1111n 11n n N a a +=-∈--10a =91010910111110等差数列：d n a a n )1(1-+=等差数列：等比数列：11-=n n qa a 等比数列：2.巩固提升综合练习【练习1】已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0． (1)求a 2，a 3；(2)证明数列{a n }为等比数列,并求n a ．【练习2】已知数列{}n a 和{}n b 满足111112,341,341n n n n a b a b n b a n ++=+==+-=-+()1求证：{}n n a b +是等比数列,{}n n a b -是等差数列； ()2求数列{}n a 和{}n b 的通项公式．【三】累加法求通项1.例题【例1】在数列中，，，则（ ） A ． B ． C ．D ．{}n a 12a =11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭10a =2ln10+29ln10+210ln10+11ln10+型如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下： 第一步 将递推公式写成a n ＋1－a n ＝f (n )；第二步 依次写出a n －a n －1，…，a 2－a 1，并将它们累加起来； 第三步 得到a n －a 1的值，解出a n ；第四步 检验a 1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.累乘法类似.【例2】对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n 层货物的个数为n a ，则数列{}n a 的通项公式n a =_______，数列(2)n nn a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n S =_______.2.巩固提升综合练习【练习1】在数列中，，则数列的通项 ________.【练习2】已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足（），且，则数列的最大值为__________．【练习3】两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，得数列{}n a ，则1_______(2)n n a a n --=≥；对*n N ∈，_____n a =．【四】累积法求通项1.例题【例1】已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1a n ，求a n .{}n a 111,21n n a a a n +=-=+n a ={}n b 34-{}n a 12nn n a a +-=*n N ∈137a b =n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11a =25a =312a =422a =型如)(1n f a a nn =+的递推公式求通项可以使用累积法2.巩固提升综合练习【练习1】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2n a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A.a n ＝2n －1 B.a n ＝2n C.(1)22n n n a -=D.222n n a =【五】Sn 法（项与和互化求通项）1.例题【例1】已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且23-=nn S ，则=n a .【例2】设数列的前项和，若，，则的通项公式为_____． 【例3】设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝__________. 2.巩固提升综合练习【练习1】在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项a n .【练习2】记数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______. {}n a n n S 11a =-()*1102n n S a n N +-=∈{}n a {}n a n n S 323n n S a n =+-{}n a n a =11,(1)n n n s a s s n -⎧=⎨->⎩,（n=1)已知S n ＝f (a n )或S n ＝f (n )解题步骤：第一步 利用S n 满足条件p ，写出当n ≥2时，S n －1的表达式；第二步 利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求出a n 或者转化为a n 的递推公式的形式；第三步 若求出n ≥2时的{a n }的通项公式，则根据a 1＝S 1求出a 1，并代入{a n }的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是{a n }的递推公式，则问题化归为类型二.【练习3】已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .【练习4】设数列{}n a 满足12323...2(n N*)n na a a na ⋅⋅⋅⋅=∈．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列122n n a +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【练习5】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，20(2)n n n n S a S a n -+=≥． （1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）若1,32,nn n S n C n n -⎧⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数，设数列{}n C 的前n 项和为n T ，求2n T .【六】构造法求通项1.例题【例1】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n .【例2】已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋n ，a 1＝2，求数列{a n }的通项公式.【例3】已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，a 1＝6，求数列{a n }的通项公式. 1.型如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 为常数，且pq (p －1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下： 第一步 假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )； 第二步 由待定系数法，解得t ＝qp －1；第三步 写出数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p q a n 的通项公式； 第四步 写出数列{a n }通项公式. 2.a n ＋1＝pa n ＋f (n )型【参考思考思路】确定()f n →设数列{}1()n a f n λ+→列关系式)]([)1(1211n f a n f a n n λλλ+=+++→比较系数求1λ，2λ→解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式→解得数列{}n a 的通项公式【例4】 已知数列满足：，，则 （ ）A ．B ．C ．D ．2.巩固提升综合练习【练习1】已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2，且a 1＝1，则a n ＝________.【练习2】已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的通项公式a n 等于( )A.2nB.n (n ＋1)C.n2n －1D.n (n ＋1)2n【练习3】已知非零数列{}n a 的递推公式为11a =,()112n n n n a a a a n N *++=+∈.(1)求证数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； (2)若关于n 的不等式2221211152111log 1log 1log 1n m n n n a a a ++⋅⋅⋅+<-⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有解,求整数m 的最小值；(3)在数列()111n n a ⎧⎫+--⎨⎬⎩⎭中,是否一定存在首项、第r 项、第s 项()1r s <<,使得这三项依次成等差数列？若存在,请指出r s 、所满足的条件；若不存在,请说明理由. {}n a 11a =1122(2,)n n n a a n n N --=+≥∈n a =2n n a n =⋅12n n a n -=⋅(21)2n n a n =-⋅1(21)2n n a n -=-⋅【七】其他求通项方法 1.例题【例1】 已知数列满足,,则（ ） A ．B ．C ．D ．【例2】若数列{a n }中，a 1＝3且a n ＋1＝a 2n (n 是正整数)，则它的通项公式a n 为________________. 【例3】已知数列满足递推关系：，，则＝（ ） A ．B ．C ．D ．2.巩固提升综合练习【练习1】 已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且满足a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，211=a ，则S 2 017＝（ ） 【练习2】 在数列中，已知，，则_______，归纳可知_______．【八】特征根和不动点法求通项（自我提升）1.例题【例1】已知数列满足，求数列的通项．{}n a 113a =111nn n a a a ++=-*()n N ∈2012391a a a a ⋯⋯⋅⋅=3-2-12-13-{}n a 11n n n a a a +=+112a =2018a 12016120171201812019{}n a 12a =()*131nn n a a n N a +=∈+2a =n a ={}n a *12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈{}n a n a 一、形如是常数）的数列形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①若①有二异根，则可令是待定常数） 若①有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得．21(,n n n a pa qa p q ++=+112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+n a 2x px q =+,αβ1212(,n nn a c c c c αβ=+αβ=1212()(,nn a c nc c c α=+1122,,a m a m ==12,c c n a【例2】已知数列满足，求数列的通项．2.巩固提升综合练习【练习1】设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）． （1）证明：p αβ+=，q αβ=； （2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S ．{}n a *12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈{}n a n a1.例题【例3】已知数列满足，求数列的通项．【例4】已知数列满足，求数列的通项．{}n a 11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+{}n a n a {}n a *11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+{}n a n a 二、形如的数列对于数列，是常数且）其特征方程为，变形为…②若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得． 若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得． 此方法又称不动点法． 2n n n Aa Ba Ca D++=+2n n n Aa B a Ca D++=+*1,(,,,a m n N A B C D =∈0,0C AD BC ≠-≠Ax B x Cx D+=+2()0Cx D A x B +--=,αβ11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--c 12,a a c n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭11a a αβ--c n a αβ=111n n c a a αα+=+--c 12,a a c 1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭1na α-c n a2.巩固提升综合练习【练习2】已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a （1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a （4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？【练习3】).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(211≥-=n a b n n(1)求b 1、b 2、b 3、b 4的值；(2)求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S【练习4】各项均为正数的数列{}n a 中，,,11b b a a ==且对满足q p n m +=+的正整数q p n m ,,,都有=+++)1)(1(m n m n a a a a )1)(1(q p q p a a a a +++，当时，求通项54,21==b a n a ．三、课后自我检测1．已知正项数列，则数列的通项公式为（ ） A ． B ．C ．D ．2．在数列－1，0，211298n n -，，，，…中，0.08是它的第________项． 3．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.4．已知数列{}n a 中，1512a =-，1(1)3n n n na n a n +=+++，则该数列的通项n a =_______. 5．已知数列{}n a 中，()10a b b =>，()111n n a n N a ++=-∈+则能使n a b =的n 的数值是（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 6．已知数列{}n a 满足112a =且131n n a a +=+． （1）证明数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设数列{}n b 满足11b =，112n n n b b a +-=+，求数列{}n b 的通项公式． {}n a *12(1)()2n n n a a a n N ++=∈{}n a n a n =2n a n =2n na =22n n a =7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，1(2)3n n S n a =+． （1）求n a ； （2）求证:121111na a a ++⋯+<．8．已知f (x )＝log m x (m ＞0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )，…是首项为4，公差为2的等差数列， 求证：数列{a n }是等比数列，并求n a ．9．已知数列{}n a 满足：10a =，144n na a +=-，*n N ∈. （1）若存在常数x ，使得数列1n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，求x 的值；（2）设2311n n b a a a +=，证明：123n b b b +++<.10．已知数列{}n a 满足：()1231312nn a a a a +++⋅⋅⋅+=-，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足31log n n b a +=，求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．11．数列{}n a ，*n N ∈各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足221n n n a S a -=.（1）求证数列{}2n S 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设4241n n b S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使()2136n T m m >-对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值.12．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21nn n S a S =-．（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）证明：2221274n S S S +++<．13．已知数列{}n a 满足：11a =，()*121n n a a n +=+∈N（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：()()n12ˆ111*4441N n b b b b n a n ---⋅⋯⋯=+∈，证明：{}nb 是等差数列.（3）证明：()*122311232n n a a a n nn a a a +-<++⋯+<∈N .14．在平面直角坐标系中，点(,)n n A n a 、(1,0)n B n -和(,)n C n t （*,n N t ∈为非零常数），满足1//n n A A +n n B C ，数列｛n a ｝的首项为1a =1，其前n 项和用n S 表示. （1）分别写出向量1n n A A +和n n B C 的坐标； （2）求数列｛n a ｝的通项公式；（3）请重新设计的n A 、n C 坐标（点n B 的坐标不变），使得在1//n n A A +n n B C 的条件下得到数列｛n b ｝，其中n b =nS n．15．已知点11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()xf x a =（0a >且1a ≠）的图象上一点,等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -,数列{}()0n n b b >的首项为c ,且前n 项和n S 满足()112n n n n S S S S n -+-=+≥．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ,问使得10002015n T >成立的最小正整数n 是多少？。

2023考点专题复习——数列的通项公式考法一：累加法——适用于)(1n f a a n n +=+（)(n f 可以求和）例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。

例2、已知数列}{n a 中, 0>n a 且)(21nn n a na S +=,求数列}{n a 的通项公式.例3、已知数列{}n a 满足112313n n n a a a ，，求数列{}n a 的通项公式。

练习1、已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n nN 写出数列{}n a 的通项公式.练习2、已知数列}{n a 满足13a ，11(2)(1)n n a a n n n -=+≥-求此数列的通项公式.练习3、已知数列{}n a 满足11211nn a a n a ，，求数列{}n a 的通项公式。

练习4、已知在数列{}n a 中，13a =，112(2)n n n a a n --=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21log (1)n n b a +=-，求11{}n n b b +的前n 项和n T ．练习5、在数列{}n a 中，12a =，122n n n a a +=++． （1）求数列{2}n n a -的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2(22)n n b a n =+-，求{}n b 的前n 项和n S ．练习6、已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

练习7、已知数列{}n a 满足11a =，1n n n a a +-=，则数列{}n a 的通项公式练习8、在数列{}n a 中，12a =，11ln 11n n a a n n n +⎛⎫⎪⎝+++⎭=，则数列{}n a 的通项公式练习9、已知数列{a n }满足11a =-，111+1n n a a n n +=-+，n ∈N *，求数列的通项公式a n .练习10、设数列{}n a 满足11a =，()*112n n n a a n +-=∈N ，则数列{}n a 的通项公式练习11、已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n+=++，则数列{}n a 的通项公式考法二：累乘法例1、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。

一．观察法之答禄夫天创作例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：110-=n n a（2）;122++=n n n a n（3）;12+=n a n （4）1)1(1+⋅-=+n na n n .点评：关键是找出各项与项数n的关系。

二、公式法：当已知条件中有a n 和s n 的递推关系时，往往利用公式：a n ＝1*1(1)(2,)n n s n s s n n N -=⎧⎪⎨-≥∈⎪⎩来求数列的通项公式。

例1： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ，∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3=f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(q q b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·qn －1=4·(－2)n －1例 2. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）(A)122-=n a n (B)42+=n a n (C)122+-=n a n(D)102+-=n a n解析：设等差数列的公差位d ，由已知⎩⎨⎧==+⋅⋅+12348)()(3333a d a a d a ， 解得⎩⎨⎧±==243d a ，又{}n a 是递减数列， ∴2-=d，81=a ，∴=--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。

专题—求数列的通项公式方法归纳1．归纳法【例1】已知数列Λ,3219,1617,815,413试写出其一个通项公式：____________________ 2．公式法（1）利用等差、等比通项公式；（2）利用a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.【例2】已知下面各数列{}n a 的前n 项和为n S 的公式，求{}n a 的通项公式．(1)S n ＝3n －2. (2)S n ＝2a n ＋13．累加法形如)(1n f a a n n +=+形式，()f n 可以求和．转化为)(1n f a a n n =-+．【例3】已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a n +=+，求n a ．【例4】已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a ．练习1． 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

练习2．已知数列{}n a 中，12a =满足12n n n a a n +=++,求数列{}n a 的通项公式．练习3．已知数列{}n a 中，11a =满足1n n a a +=,求数列{}n a 的通项公式．4．累乘法形如1()n n a a f n +=⋅形式，()f n 可以求积．转化为1()n na f n a +=． 【例5】练习1．已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{a n }的通项公式.练习2.已知数列{a n }满足)(,2)1(,11N n a n S a nn ∈+==，求{a n }的通项公式。

{}12,3,1已知中，求通n n n n n a a a a a +==⋅5．构造等差、等比数列（构造法） 类型1：q pa a n n +=+1，)01(、p ≠方法一：待定系数法设)(1x a p x a n n +=++，解出x ，数列{}x a n +即为等比数列； 方法二：结论法：1-=p qx .【例6】已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .练习1．已知数列{a n }满足a 1＝1，3121n n a a +=+，求n a 的通项公式．练习2．已知数列{a n }的前n 项和n S 满足21()n n S a n n N *+=+∈，求n a 的通项公式．类型2：形如b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p方法一：待定系数法令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列；方法二：作差法，两式相减【例7】设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .练习1．在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．求数列{}n a 的通项公式；类型3：形如21n n a pa an bn c +=+++)001(≠≠，a 、p方法：待定系数法，即令221(1)(1)()n n a x n y n c p a xn yn c ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,z.从而转化为{}2n a xn yn c +++是公比为p 的等比数列。

求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232nn n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n na a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nn n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；解：22(1)4231a n a d S n n n n =-+∴=-=-=--23435T S n n n n n ∴=+=--……2分 当1,35811n T b ===--=-时当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，②由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3三、累加法例3 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

.数列求通项公式的常见题型与解题方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的根底．高考对本章的考查比拟全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起．探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现．本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等根本数学方法．数列这一章的主要章节结构为：近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：〔1〕数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式．〔2〕数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合．〔3〕数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主．试题的难度有三个层次，小题大都以根底题为主，解答题大都以根底题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大．.题型1数列前几项求通项公式在我们的教材中，有这样的题目：1．数列0,2,0,2的通项a n．2．数列1,1,314,1的通项a n．1223453．数列11,13,15,17的通项a n．242622281、0n为奇数2、n13、n12n1．a n a n〔〕a n1+〔〕n为偶数1n(n1)1(2n)2 2练习例1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是以下各数：(1)221,321,421,521;a n(n1)212345n11111n1 (2)12,23,34,45.a n(1)n(n1)例2.观察下面数列的特点，写出每个数列的一个通项公式：(1) 1,7, 13,19, ;a n(1)n(6n5).(2)7,77,777,7777,77777,;an 7(10n1) 9(3)5,0,5,0,5,0,5,0,.a n5sinn2例3:写出下面数列的一个通项公式：313131(1)n2(2)31537,.a nn2(1)1,,,,,,;a nn ,,,,3n2234565211717题型2由a n与S n的关系求通项公式.1、数列{a n }的前n 项和S n 1 (n 2 n)，那么a n．22、数列{a n }的前n 项和S n 3 2n ，那么a n3 1 〔a n -1〕(n N )．、设数列{a n }的前项的和S n =3(Ⅰ)求a 1；a 2；(Ⅱ)求证数列{a n }为等比数列．4、数列{a n }的前n 项和S n =3·2n-3,求数列的通项公式.5、设数列{a n }的前n 项和为S n =2n 2+3n+2，求通项a n 的表达式，并指出此数列是否为等差数列.6、数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且na n+1=S n +n(n+1)，求a n ．7、数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n =2a n +(-1)n,n ≥1．〔Ⅰ〕写出求数列{a n }的前3项a 1,a 2,a 3；〔Ⅱ〕求数列{a n }的通项公式；〔Ⅲ〕证明：对任意的整数m >4，有1 117a 4a 5a m.87、解：⑴当n =1时,有：S 1=a 1=2a 1+(-1)a 1=1；当n =2时,有：21+a 2=2 2+(-1) 2a 2=0；S =a a当n =3 时,有：S 3=a 1+a 2+a 3=2a 3+(-1)3a 3=2；综上可知a 1=1,a 2=0,a 3=2；⑵由得：a n S n S n12a n (1)n2a n1( 1)n1化简得：a n 2a n12(1)n1上式可化为：a n2(1)n2[a n12(1)n1]2( 3 2(3故数列{a n1)n }是以a 1 1)1 为首项,公比为2的等比数列.3 3故a n2(1)n12n1 ∴a n1 2n12(1)n2[2n2 (1)n ]33233 3数列{a n }的通项公式为：a n [2n2 ( 1)n ].31 11 3 1 11m ]⑶由得：a 4 a 5a m [ 2 123 12m2(1)223[111 111m ]1 111 1m2[1 3511]239 15 33 632( 1)2 21.1111111]145(12m5)14221][1351020[]2[552m52231132131(1)m5131041057.故1117(m>4).1552151201208a4a5a m8题型3数列递推公式求通项公式(公式法)1、数列{a n}的首项a11，且a n a n13(n2)，那么a n．2、数列{a n}中，a11,a n1a n2，求{a n}的通项公式．3、数列{a n}满足a11，111，求a n．a n a n14、数列{a n}中，a11,a n12a n，求{a n}的通项公式．a n25、数列{a n}的首项a11，且a n3a n1(n2)，那么a n．6、数列{an}的a1，a22且an22an1an那么an．1,〔累加法与累积法〕1、数列{a n}中，a11,a n1a n n，求{a n}的通项公式．2、数列{a n}中，a11,a n1a n3n1，求{a n}的通项公式．3、数列{a n}满足a n1a n2n，1，求数列{an}的通项公式。

数列11、 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

2、 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

3、 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

4、 已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

5、 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

6、 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项 公式。

数列2 1. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a3、已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项4、已知在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a5、 已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

6、已知数列{}n a 中，11=a,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求na7、已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .8、已知数列｛n a ｝中，2111,1n n a aa a ⋅==+)0(>a ，求数列{}.的通项公式n a9、已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。

专题13 数列通项公式的四种常见求法目录类型一：累加法..........................................................................................................................................................1类型二：累乘法..........................................................................................................................................................2类型三：已知S n 求a n .................................................................................................................................................3类型四：构造法求通项. (4)类型一：累加法题型专练：1．（2023·河北石家庄·统考一模）中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组成的新数列是等差数列.现有一个“堆垛”，共50层，第一层2个小球，第二层5个小球，第三层10个小球，第四层17个小球，...，按此规律，则第50层小球的个数为（ ）A ．2400B ．2401C ．2500D ．2501【答案】D【分析】依据等差数列的定义与求和公式，累加法计算即可.【详解】不妨设第n 层小球个数为a n ，由题意，a 2−a 1=3， a 3−a 2=5……，即各层小球之差成以3为首项，类型二：累乘法满分策略：当出现a na n−1=f(n)时，一般用累乘法求通项。