(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项的求解方法练习题类型一专项练习题：1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。

(12n n n a +=）2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。

(31)2n n n a +=3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

21n a n =+4、已知}{n a 中，n n n a a a 2,311+==+，求n a 。

21n n a =+5、已知112a =,112nn n a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 13122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭6、 已知数列{}n a 满足11,a =()1132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a ？（312n n a -=）7、若数列的递推公式为1*113,23()n n n a a a n N ++==-⋅∈，则求这个数列的通项公式 1123n n a +=- 8、 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

31n n a n =+-9、已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

312n a n =- 10、数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值； c=2（II ）求{}n a 的通项公式． 22n a n n =-+11、设平面内有n 条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这n 条直线交点的个数，则(4)f = 5 ；当4n >时，()f n = 222n n -+ （用n 表示）．类型二专项练习题：1、已知11a =，111n n n a a n --=+(2n ≥)，求n a 。

专题1：递推公式求通项公式1．数列3，7，13，21，31，…，的一个通项公式为（ ）A ．14-=n a nB ．223++-=n n n a nC ．12++=n n a n D ．不存在2．在数列}{n a 中，21-=a ， n a a n n +=+21，则=3a （ ） A. 6- B. 5- C. 4- D. 3-3．数列}{n a 中，a 1=1，对于所有的2n ≥，*n N ∈都有2123n a a a a n ⋅⋅=L ，则35a a +=等于（ ）A.1661B.925C.1625D.1531 4．下列各式中，可以作为数列}{n a 的通项公式的是：（ ） A ．2-=n a n B ．)2(log 1-=-n a n n C ．112++=n n a n D ．4tan πn a n = 5．在数列}{n a 中，2,121==a a ，n n n a a a -=++122，则=4a （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。

下列数中及时三角形数又是正方形数的是 （ ）A ．289B ．1024C ．1225D ．13787．数列}{n a 的前n 项和)2(2≥⋅=n a n S n n ，而11=a ，通过计算2a ，3a ，4a 猜想=n aA ．2)1(2+n B ．n n )1(2+ C ．122-n D ．122-n8．数列}{n a 中，)2(31,1111≥+==--n a a a a n n n ，则数列｛a n ｝的通项公式是：（ ）A ．231-n B ．231+n C ．321-n D ．321+n 9．数列}{n a 中，若)(2)13(1+∈-=N n a S n n ，且544=a ，则1a 的值是________. 10．数列}{n a 满足2112313333n n n a a a a -+++++=L *()n N ∈，则=n a __________. 11．已知数列}{n a 满足21=a ，+∈∀N n ，0>n a ，且0)1(2112=-++++n n n n na a a a n ，则数列}{n a 的通项公式是=n a ____ __。

.专题 由递推关系求数列的通项公式一、目标要求通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法：二、知识梳理求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。

三、典例精析1、公式法 ：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。

常用的公式有 a nS 1 S nSn 1等差数列和等比数列的通项公式。

例 1已知数列 { a n } 中 a 1 2 ， s nn 2+2 ，求数列 { a n } 的通项公式n 1及n 2评注 在运用 a n s n s n 1 时要注意条件 n 2 ，对 n=1 要验证。

2、累加法： 利用恒等式 a n a 1 a 2 a 1 +......+ a n a n 1 求通项公式的方法叫累加法。

它是求型如an 1a n +f n 的递推数列的方法（其中数列 f n 的前 n 项和可求）。

例2已知数列{ a n } 中 a 1 1 a n +1 ，求数列 { a n } 的通项公式 ， a n 12 +3n2 n 2评注 此类问题关键累加可消中间项，而f ( n ）可求和则易得 a n 3 、 . 累乘法 ：利用恒等式 a n a 1a 2a 3 a n a n 0 求通项公式的方法叫累乘法。

它是求型如a 1 a 2a n1an 1g n a n 的递推数列的方法 数列 g n可求前 n 项积例 3已知数列{a n} 中s n 1 na n，求数列{ a n} 的通项公式评注此类问题关键是化a ng n ，且式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消。

a n14、转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。

.专题 由递推关系求数列的通项公式一、目标要求通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法：二、知识梳理求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。

三、典例精析1、公式法 ：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。

常用的公式有 a nS 1 S nSn 1等差数列和等比数列的通项公式。

例 1已知数列 { a n } 中 a 1 2 ， s nn 2+2 ，求数列 { a n } 的通项公式n 1及n 2评注 在运用 a n s n s n 1 时要注意条件 n 2 ，对 n=1 要验证。

2、累加法： 利用恒等式 a n a 1 a 2 a 1 +......+ a n a n 1 求通项公式的方法叫累加法。

它是求型如an 1a n +f n 的递推数列的方法（其中数列 f n 的前 n 项和可求）。

例2已知数列{ a n } 中 a 1 1 a n +1 ，求数列 { a n } 的通项公式 ， a n 12 +3n2 n 2评注 此类问题关键累加可消中间项，而f ( n ）可求和则易得 a n 3 、 . 累乘法 ：利用恒等式 a n a 1a 2a 3 a n a n 0 求通项公式的方法叫累乘法。

它是求型如a 1 a 2a n1an 1g n a n 的递推数列的方法 数列 g n可求前 n 项积例 3已知数列{a n} 中s n 1 na n，求数列{ a n} 的通项公式评注此类问题关键是化a ng n ，且式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消。

a n14、转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。

数列求通项公式常用方法与典型题目（附答案）（一）题型一累加法1．数列{}n a 中，11a =，()12,nn n a a n n n N --=≥∈，则na=___________．2．已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n+=++，则n a =__________．3．如果数列{}n a 满足：()1111,22n n n a a a n --=-=≥，则n a =()A ．121n +-B ．1(1)21n n --⋅+C ．21n -D ．12n -4．在数列{}n a 中，10a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则{}n a 的通项公式为()．A ．ln n a n =B ．()()1ln 1n a n n =-+C ．ln n a n n=D ．ln 2n a n n =+-5．设数列{}n a 中，112,1+==++n n a a a n ，则通项n a =___________．6．已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，则2018a =()A ．20182019⨯B ．20172018⨯C ．20162017⨯D ．20182018⨯（二）题型二累乘法1．已知数列{}n a 满足11a =，()12311111231n n a a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+>-．数列{}n a 的通项公式是______．2．已知11a =，()()1n n n a n a a n N ++=-∈，则数列{}n a 的通项公式是()A ．21n -B ．11n n n -+⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2n D ．n3．已知12a =，12nn n a a +=，则数列{}n a 的通项公式n a 等于()A ．2122n n -+B ．2122n n ++C ．2222n n -+D ．2222n n --4．在数列{}n a 中，11a =，()32122223n n a a a a a n n*++++=∈N ，则n a =______．（三）题型三公式法1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若()11,1,31n n a a S n +=≥=则n a =____________．2．数列{}n a 满足，123231111212222n n a a a a n ++++=+ ，写出数列{}n a 的通项公式__________．3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2+n ，则a n ＝_____．4．若数列的前n 项和2133n n S a =+，则的通项公式是n a =________5．数列{}n a 的前n 项和23nn S =+，则其通项公式n a =________．6．数列{}n a 的前n 项和210n S n n =-，则该数列的通项公式为__________．7．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n =______．8．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若111,23n n a a S +==+，则数列{}n a 的通项公式为___________．9．已知数列{}n a 满足23123222241nnn a a a a ++++=- ，则{}n a 的通项公式___________________．10．数列{a n }满足()21*1232222n n na a a a n N -+++⋯+=∈，则a 1a 2a 3…a 10=()A ．551(2B ．1011()2-C ．911()2-D ．601()211．如果数列{}n a 的前n 项和为332n n S a =-，则这个数列的通项公式是()A ．()221n a n n =++B ．23nn a =⋅C ．32nn a =⋅D ．31n a n =+（四）题型四构造法1．数列{}n a 中，若11a =，()1231n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a =()A ．123n +-B ．23n -C ．23n +D ．123n --2．已知数列{}n a 中，112,21n n a a a +==+则n a =___________．3．已知数列{}n a 满足11a =132n n a a +=+，则{}n a 的通项公式为__________________．（五）题型五倒数法1．在数列{n a }中，已知12a =，1122n n n a a a --=+，(2)n ≥，则n a 等于()A ．21n +B ．2n C ．3nD ．31n +2．若数列{}n a 满足11n n n a a a +=+，且123a =，则10a =___________．3．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足11n n n n S S S S ++=⋅-()n N *∈，且11a=，则n a =_____．4．已知数列{}n a 满足12,a =11n n n n a a a a ++-=，那么31a 等于()A ．130-B ．261-C ．358-D ．259-5．已知数列{}n a 满足递推关系111,12n n n a a a a +==+，则2017a =()A ．12016B ．12018C ．12017D ．120196．若数列{}n a 满足1121n n n a a a --=+(2n ≥，*n N ∈)，且112a =，则n a =()A ．12nB ．2n C ．1122n +-D ．222n +7．已知数列{}n a 满足11a =，()*11nn n a a n N a +=∈+，则2020a =()A ．12018B ．12019C ．12020D ．12021（六）题型六周期数列1．在数列{}n a 中，112a =，111n n a a -=-(2n ≥，n ∈+N )，则2020a =()A ．12B ．1C ．1-D ．22．已知数列{}n a 中，13=4a ，111n n a a -=-(,2n N n +∈≥)，那么2020a 等于()A ．13-B ．34C ．2D ．43．已知数列{}n a 中，12213,6,n n n a a a a a ++===-,则2016a =()A ．6B ．6-C ．3D ．3-参考解析（一）题型一累加法1．()12n n +【解析】()112,1,nn n a a n n n Na -=≥=-∈ ，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+ ()()()()112122n n n n n n +=+-+-++=≥ ，验证1n =时成立．()12n n n a +∴=．故答案为：()12n n +2．31,1,2n n N n*-≥∈【解析】因为121n n a a n n +=++，所以121111n n a a n n n n +-==-++，则当2,n n N *≥∈时，213211121123...111n n a a a a a a n n -⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪⎪⎪-=-⎪-⎩，将1n -个式子相加可得11111111...12231n a a n n n -=-+-++-=--，因为112a =，则1131122n a n n=-+=-，当1n =时，1311212a =-=符合题意，所以31,1,2n a n n N n *=-≥∈．故答案为:31,1,2n n N n*-≥∈．3．C 【解析】由题意可得,112n n n a a ---=，212a a ∴-=，2322a a -=，…112n n n a a ---=,以上1n -个式子相加可得,21122 (2)n n a a --=+++()12122212n n --==--，21n n a ∴=-,故选B ．4．A 【解析】由已知得()11ln ln 1ln n n n a a n n n ++⎛⎫-==+- ⎪⎝⎭，所以()1ln ln 1n n a a n n --=--()()12ln 1ln 2n n a a n n ---=---32ln 3ln 2a a -=-21ln 2ln1a a -=-将上述1n -个式子相加，整理的1ln ln1ln n a a n n -=-=又因为10a =，所以ln n a n =．故选A ．5.()112++n n 【解析】∵112,1+==++n n a a a n ∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，⋯，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦ ()()()()11111111222n n n nn n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112++n n ；6.B 【解析】 数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，∴12n n a a n +-=，∴()121n n a a n --=-，()1222n n a a n ---=-，()2323n n a a n ---=-，……212a a -=，累加得：()()()112123 (1212)n n n a a n n n --=++++-=⋅=-⎡⎤⎣⎦，又 10a =，∴()1n a n n =-，∴201820182017a =⋅．故选B ．(二）题型二累乘法1.1,1,22n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩【解析】1231111(1)231n n a a a a a n n -=++++>- ，11a =当2n =时，211a a ==当2n >时，112311111231n n n a a a a a a n n+-∴=+++++- ，两式相减得：11n n n a a a n +-=，即11n n n a a n++=，∴11n n a n a n++=，11n n a n a n -=-，1212n n a n a n ---=-，⋯3232a a =，累乘得：22n a n a =，所以2n na =，()2n >1,1,22n n a n n =⎧⎪∴=⎨≥⎪⎩，故答案为：1,1,22n n a nn =⎧⎪=⎨≥⎪⎩2.D 【解析】由()()1n n n a n a a n N ++=-∈得：()()11n n n a na n N +++=∈，即()11n n a n n N a n+++=∈，则11n n a n a n -=-，1212n n a n a n ---=-，2323n n a n a n ---=-，……．．，2121a a =，由累乘法可得1na n a =，又因为11a =，所以n a n =．故选：D ．3.C 【解析】1122nn n n n n a a a a ++=∴= 当n ≥2时，2212122112122222nn n n n n n n n a a a a a a a a -+-----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ，经检验，1a 也符合上述通项公式．本题选择C 选项．4.21n n +【解析】由题意得：当2n ≥时，()31211222231n n a a a a a n --++++=- ，所以12n n n a a a n-=-，即()2211n n na n a --=，也即是11+1n n n n n a a n --=，所以121+1221211n n n n n a n n n a a a n ---===-=-= ，所以21n n a n =+，故答案为：21nn +．（三）题型三公式法1.21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩．【解析】()13,1n n a S n N n ++=∈∴= 时，23,2a n =≥时，13n n a S -=，可得13n n n a a a +-=，即14,n n a a +=∴数列{}n a 从第二项起为等比数列，2n ≥时，=n a 234n -⋅，故答案为21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩．2.16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩【解析】因为123231111212222n n a a a a n ++++=+ ,所以()12312311111121122222n n n n a a a a a n +++++++=++ ,两式相减得11122n n a ++=，即12,2n n a n +=≥，又1132a =，所以16a =，因此16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩3.2n 【解析】由题,当1n =时,21112a =+=,当2n ≥时,()()1112nn n a S S n n n n n -=-=+--=．当1n =时也满足．故2n a n =．故答案为：2n4.()12n --【解析】当n =1时，1112133a S a ==+，解得11a =，当n ≥2时，1n n n a S S -=-121213333n n a a -⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12233n n a a -=+，整理可得12313n n a a -=-，即12n n a a -=-，故数列{}n a 以1为首项，2-为公比的等比数列，所以()12n n a -=-，故答案为：()12n --．5.15,12,2n n n -=⎧⎨≥⎩【解析】当1n =时，11235a =S =+=；当2n ≥时，11123232n n n n n n a S S ---=-=+--=；故15,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩故答案为：15,12,2n n n -=⎧⎨≥⎩6.211n a n =-【解析】221110,11019,n S n n a S =-∴==-⨯=- 当2n ≥时()()221101101211,n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦当1n =时也适合，故211n a n =-．即答案为211n a n =-．7.1(2)n n a -=-；【解析】当n=1时，a 1=S 1=23a 1+13，解得a 1=1,当n≥2时，a n =S n -S n-1=(2133n a +)-(12133n a -+)=23n a -123n a -整理可得13a n ＝−23a n−1，即1n n a a -=-2，故数列{a n }是以1为首项，-2为公比的等比数列，故a n =1×(-2)n-1=(-2)n-1故答案为(-2)n-1．8.21,153,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【解析】n S Q 为数列{}n a 的前n 项和，111,23n n a a S +==+——①2n ≥时，123n n a S -=+——②①-②，得：12n n n a a a +=-，13n na a +∴=13n na a +∴=，21235a a =+= ，∴数列{}n a 的通项公式为21,153,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩．故答案为：21,153,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩．9.a n ＝3•2n ﹣2【解析】∵数列{a n }满足2a 1+22a 2+23a 3+…+2n a n ＝4n ﹣1，∴当n ≥2时，2n a n ＝(4n ﹣1)﹣(4n ﹣1﹣1)，化为a n ＝3•2n ﹣2．当n ＝1时，2a 1＝4﹣1，解得132a =，上式也成立．∴a n ＝3•2n ﹣2．故答案为a n ＝3•2n ﹣2．10.A 【解析】n =1时,a 1=12,∵211232222n n n a a a a -+++⋯+=,∴2n ≥时,22123112222n n n a a a a ---+++⋯+=,两式相减可得2n -1a n =12,∴12n n a =,n =1时，也满足∴12310a a a a = 55231012310111111222222++++⎛⎫⨯⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭,故选A11.B 【解析】由332n n S a =-，当2n ≥时，1113333332222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫⎛⎫=-=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13nn a a -=，当1n =时，111332S a a ==-，此时16a =，所以，数列{}n a 是以6为首项，3为公比的等比数列，即16323n n n a -=⋅=⋅．故选：B ．（四）题型四构造法1.A 【解析】因为()1231n n a a n +=+≥，所以132(3)n n a a ++=+，即数列{3}n a +是以4为首项，2为公比的等比数列，所以1342n n a -+=⋅，故1142323n n n a -+=⋅-=-，故选：A2.1321n -⋅-【解析】因为121n n a a +=+，所以()112221n n n a a a ++=+=+且1130a +=≠，所以1121n n a a ++=+，所以{}1n a +是以3为首项，2为公比的等比数列，所以1132n n a -+=⋅，所以1321n n a -=⋅-，故答案为：1321n -⋅-．3.1231n -⨯-【解析】因为132n n a a +=+，11a =，所以()113331n n n a a a ++=+=+，即1131n n a a ++=+所以{}1n a +以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⨯所以1231n n a -=⨯-故答案为：1231n -⨯-（五）题型五倒数法1.B 【解析】将等式1122n n n a a a --=+两边取倒数得到11112n n a a -=+，11111=,2n n n a a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列，11a =12，根据等差数列的通项公式的求法得到()1111222n nn a =+-⨯=，故n a =2n．故答案为：B ．2.219【解析】11n n n a a a +=+ 11111n n n n a a a a ++∴==+，即1111n na a +-=∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1132a =为首项，1为公差的等差数列()131211222n n n n a -∴=+-=-=221n a n ∴=-10219a ∴=故答案为：2193.1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩【解析】由11n n n n S S S S ++=⋅-，得1111n nS S +-=()n N *∈1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以11111S a ==为首相，1为公差的等差数列，11(1)1nn n S ∴=+-⨯=，1n S n ∴=，当2n ≥时，11111(1)n n n a S S n n n n -=-=-=---，1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩故答案为：1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩4.D 【解析】11n n n n a a a a ++-= ,1111n n a a +∴-=,即1111n n a a +-=-,又12,a =所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12,公差为1-的等差数列,132n n a ∴=-+,3113593122a ∴=-+=-,故31259a =-,故选:D ．5.B 【解析】由11n n n a a a +=+，所以11111n n n n a a a a ++==+则1111n n a a +-=，又112a =，所以112a =所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公比的等差数列所以11n n a =+，则11n a n =+所以201712018a =故选：B6.A 【解析】当2n ≥且n *∈N ，在等式1121n n n a a a --=+两边取倒数得11121112n n n n a a a a ---+==+，1112n n a a -∴-=，且112a =，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且首项为2，公差为2，因此，()12212n n n a =+-=．12n a n∴=故选：A ．7.C 【解析】11n n n a a a +=+ ，∴两边同时取倒数得11111n n n n a a a a ++==+，即1111n n a a +-=，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差1d =的等差数列，首项为111a =．则11(1)1n n n a =+-⨯=，得1n a n =，则202012020a =，故选：C (六）题型六周期数列1.A 【解析】2111121a a =-=-=-，3211112a a =-=+=，431111122a a =-=-=，可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，202036731112a a a ⨯+∴===．故选：A ．2.B 【解析】因为13=4a ，111n n a a -=-，所以211113a a =-=-，32114a a =-=，431314a a =-=，…所以数列{}n a 是以3为周期的数列，所以202067331134a a a ⨯+===，故选：B 3.B 【解析】因为21n n n a a a ++=-,①则321n n n a a a +++=-,②①+②有:3n n a a +=-,即63n n a a ++=-,则6n n a a +=,即数列{}n a 的周期为6,又123,6a a ==,得3453,3,6a a a ==-=-，63a =-,则2016a =633663a a ⨯==-,故选:D ．。

常见递推数列通项的求法类型一：1()n n a a f n +=+思路1（递推法）：123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= (1)11()n i a f n -==+∑。

思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n n i a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑。

例1 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。

解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ……1[23a =+++…1(1)(2)(1)]2ni n n n n n n =++-+-+==∑。

方法2（叠/累加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、212a a -=，将各式叠加并整理得12nn i a a n =-=∑，121(1)2n nn i i n n a a n n ==+=+==∑∑。

例2、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a413134-+=a a ，……，nn a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=. 例3．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a .解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n ，把以上各式相加，得()()()21232113231-=-+-=-+++=n n n n a n【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用2,3,4,,2,1 --n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。

求数列通项公式的方法｛a n ｝的通项公式。

二、累加法解：由 a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1 则出(a n a n 1) (a n 1 a n 2) L(a 3 a 2) (a ? aj a 1，即得数列｛a n ｝的通项公式。

、公式法 例1已知数列｛a n ｝满足a n i 2a n 3 2n， a i 2，求数列｛a n ｝的通项公式。

解：a n 1 2a n 3 2n 两边除以2n 1，得開a n 3 a n 1 a n 3 2^ 2，人」2门1歹 2，得鱼 2n 以|1 2 1为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式, 212 2 故数列｛》｝是 1(n 1)1，3 1 所以数列｛a n ｝的通项公式为a n ( n -)2n 。

评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n 1 2a n 2n 转化为開｛|讣是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出a n1)3，进而求出数列-，说明数列2[2( n 1) 1] [2( n 2) 1] L (2 2 1) (2 1 1) 12[(n 1) (n 2) L 2 1] (n 1) 1 -(n 1)n(n 1) 1 2 -2(n 1)( n 1) 12na n (a n a n 1)(a n 1 a n 2) L(a3 a 2) (a 2 a 1 ) a 1例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2n 1，1，求数列｛a n ｝的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n 1a n 2n 1转化为a n 1 a n 2n 1，进而求例3已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2 3n 1, a “ 3，求数列｛务｝的通项公式。

解：由 a n 1 a n 2 3n 1 得 a n 1所以 a n 3n n 1.a n 1 a n 2 3n 1 转化为 a n 1 a n 2 3n 1，已知数列｛a n ｝满足a n 1 3a n 2 3n 1，a 1解：a n 1 3a n 2 3 1两边除以3 1，得一^4 n n3 3 3 3则旦L 丄旦L Z 丄故 3n 1 3n 3 3n 1，故an 1)a nan2(n 1) 3 存1 1 3n 1) 1 3 2n 1 13n32 2 3n' 则a n2 n 3n 13n132 2(a n a n 1 ) (a n 1 a n 2) L(a 3 a ?)(a 2 a 1 ) a 1n (2 3 1 1)(2 n 231) L(2 3211) (2 31) 312(33n2 L 3 3 ) (n 1) 33(13n 1) (n 1) 321 3n33 n 133 n 1a na n 2 3n 1 则评注：本题解题的关键是把递推关系式 进而求出 a n (a n a n 1) (a n 1 a n 2) L 项公式。

递推数列求通项公式的典型方法1、 a n+1=a n +f （n ）型 累加法:a n =（a n -a n-1）+（a n-1-a n-2）+…＋（a 2-a 1）+ a 1 =f （n-1）+f （n-2）+…f （1）+ a1例1 已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n+1=a n +2n （n ∈N *）, 求a n 解: a n =（a n -a n-1）+（a n-1-a n-2）+…＋（a 2-a 1）+ a 1 =2n-1+2n-2+…+21+1=2n -1（n ∈N *）例 在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n则,211112-+=a a 312123-+=a a413134-+=a a ，……，nn a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=2、)(1n g a ann =+型累积法:112211.....a a aa a a a a n n n n n ---=所以()()()()11...321a g n g n g n g a n ---=∴例2:已知数列｛a n ｝满足()*1N n n a ann ∈=+,.11=a 求n a解:112211...a a aa a a a a n n n n n ---==()()()()!11...321-=---n n n n ()()+∈-=∴N n n a n !1例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）. 解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，nn a a n n 11-=- 逐项相乘得：n a a n 11=，即n a =n1. 3．q pa a n n +=+1型（p,q 为常数）方法：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-++111p q a p p q a n n ，再根据等比数列的相关知识求n a . (2)()11-+-=-n n n n a a p a a 再用累加法求n a .(3)111++++=n n n n n p qp a p a ,先用累加法求n n p a 再求n a 例3．已知{}n a 的首项a a =1（a 为常数），()2,21≥∈=+-n N n a a n n ，求n a解 设()λλ-=--12n n a a ，则1-=λ ()1211+=+∴-n n a a{}1+∴n a 为公比为2的等比数列。

第17讲 数列递推求通项15类【题型一】通过“累加法”学通项思想1：基础型【典例分析】已知数列{}n a 中，已知12a =，12n n a a n +-=，则50a 等于（ ） A ．2451 B ．2452C ．2449D ．2450【答案】B【详解】由12n n a a n +-=得：()121n n a a n --=-，()1222n n a a n ---=-，……，3222a a -=⨯，2121a a -=⨯，各式相加可得：()()()112121212n n n a a n n n --=⨯++⋅⋅⋅+-=⨯=-⎡⎤⎣⎦， 又12a =，()2212n a n n n n ∴=+-=-+，5025005022452a ∴=-+=.故选：B.【变式演练】1.已知数列{}n a 满足12a =，12nn n a a +-=，则9a =（ ）A ．510B ．512C ．1022D ．1024【答案】B【详解】由12a =,12n n n a a +-=得212a a -=，2322a a -=，3432a a ，…112n n n a a ---=，以上各式相加得，()21112122122222n n nn a a ---==+--=++-，所以1222n nn a a =-+=，所以991252a ==.故选：B.2.已知数列{a n }满足11a =-，111+1n n a a n n +=-+，n ∈N *，求数列的通项公式a n . 【答案】1n a n=-； 【详解】（1）111=1+--+n n a a n n ，213243*********,,,,(2)1223341n n a a a a a a a a n n n-∴-=--=--=-⋯-=-≥-，将以上1n -个式子相加，得()()()()2132431n n a a a a a a a a --+-+-+⋯+-11111111+223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-⋯+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()1112,n a a n n N n *-=-≥∈.()11111112,n a a n n N n n n*∴=+-=-+-=-≥∈. 又当n=1时，11a =-也符合上式，1n a n=-. 3.数列{a n }中，a 1=0,a n+1−a n =√n+√n+1且a n =9，则n =_________【答案】100【详解】∵a n+1−a n =√n−√n+1=√n +1−√n ，∵a n =a n −a n−1+a n−1−a n−2+⋯+a 2−a 1+a 1=√n −√n −1+√n −1−√n −2+⋯+√2−√1+0=√n −1 ∵a n =9，即√n −1=9，解得n=100故填：100【题型二】 通过“累加法”学通项思想2：换元型与同除型【典例分析】已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤ C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4a D ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a 【答案】C 【详解】令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-， 所以累加得()()213+2113++122nn n b n --==，所以2+1212+n nb n an n n n===， 所以()()()()+13+41212+1+++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ， 即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，故选：C.【变式演练】1.在数列{}n a 中，12a =，11ln 11n n a a n n n +⎛⎫⎪⎝+++⎭=，则n a =（ ） A ．8a B ．()21ln n n +-C ．1ln n n ++D ．2ln n n n +【答案】D【详解】由题意得，11ln 1n n a a n n n n ++=++，则1ln 11n n a a n n n n -=+--，121ln 122n n a a n n n n ---=+---…，212ln 211a a =+， 由累加法得，112ln ln ln1121n a a n n n n n -=+++--，即112ln 121n a n n a n n n -⎛⎫=+⋅⋅⋅ ⎪--⎝⎭， 则2ln na n n=+，所以2ln n a n n n =+，故选：D 2.已知数列{}n a 满足132a =，112n n n n na a n -=--. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求满足12n S <的所有正整数n 的取值集合. 【答案】（1）2n n n a n =+；（2）{}1,2,3,4. 【详解】（1）因为112n n n n n a a n -=--，所以1112n n n a a n n --=--.因为2121212a a -=-，3231322a a -=-，…，1112n n n a a n n --=--，所以112321111111121122222212n n n n a a n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-=-+++=-=-⎪⎝⎭-，于是2n n n a n =+. 当1n =时，113122a =+=，所以2n n na n =+. （2）因为102n n n nnS S a n --==+>，所以{}n S 是递增数列. 因为113122a =+=，225242a =+=，33327328a =+=，44417424a =+=，5555165232a ==+， 所以132S =，24S =，3598S =，493128S =<，55371232S =>， 于是所有正整数n 的取值集合为{}1,2,3,4.3.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ﹣a n +1＝()*1(1)n n a a n N n n +∈+，则a 10的值是（ ） A ．23B ．12C ．1019D ．52【答案】C解：由11(1)n n n n a a a a n n ++-=+可得：111111(1)1n n a a n n n n +-==-++， 则：101099821111111111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝11111191191089210⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则101019a =．故选：C ． 【题型三】 通过“累加法”学通项思想3：复杂“同除换元型”【典例分析】 已知数列{}n a 满足112a =，()11(1)n n n n n n a a a a +++-=，则数列{}n a 的通项公式n a =____． 【答案】()*1nn N n ∈+ 【详解】易知0n a ≠，由()11(1)n n n n n n a a a a +++-=，得111(1)n n n n a a a a n n ++-=+，∵111111n n a a n n +-=-+，∵11111(2)1n n n a a n n--=--． ∵当2n 时，有12111112a a -=-，23111123a a -=-，．．．．．．111111n n a a n n--=--， 将以上1n -个等式相加得，111111(2)n n n a a n n --=-=又112a =， ∵1112(2)n n n n a n n-+=-=，经验证，当1n =时符合上式，∵)*(1n na n N n =∈+【变式演练】1.已知数列{}n a 满足*13(1)1(),2n n na n a n N a +-+=∈=，则2021a =______.【答案】2020【详解】因为1(1)1n n na n a +-+=，所以1(1)1n n na n a n n +-+=+-， 式子两端除以()1n n +，整理得：1111n n a a n n +++=+，即1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列. 因为32a =，所以31121133n a a n +++===，所以1n a n =-，所以2021202112020a =-=.故答案为：20202.已知数列{}n a 中，12a =，()11n n n n a a a +-=+，*N n ∈，则na n的取值范围是_____________． 【答案】[)2,3【详解】由题意得，11n n n a a a n n +-=+，即()111n n n a a n n++=+，则()1111n n a a n n n n +=+++，即11111n n a a n n n n +-=-++， 所以2111122a a -=-，32113223a a -=-，34114334a a -=-，…，11111n n a a n n n n--=---， 相加得，1111n a a n n -=-，故11213n a n n n=+-=-， 因为函数13y x=-在0,上单调递增，且当x →+∞时，133x-→， 所以1233n≤-<，即n a n 的取值范围是[)2,3.故答案为：[)2,3.【题型四】 累积法【典例分析】已知数列{}n a 满足1(1)n n n a a n ++=+，12a =，则31a -的值为 ___，2021a 的值为_ ____. 【答案】16112021!+ 解：令1n =，则21213a a =+=，232a =，令2n =，则323732222a a =+=+=，所以376a =，所以3116a -=， 因为1(1)n n n a a n ++=+，所以1(1)(11)n n n a a +-+=-，即11111n n a a n +-=-+，当2n ≥时，有1321122111111(1)1111n n n n n a a a a a a a a a a --------=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-----，1111(1)12a n n =⋅⋅⋅⋅⋅--，因为12a =，所以11!n a n -=，所以11!n a n =+，所以2021112021!a =+，故答案为：16，112021!+【变式演练】1.已知数列{}n a 满足110,1,(2)2n n n n a a n a a a +≠=-=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列35n a n n ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】(1) 12n n a n -=⋅ (2) 237212nn n-+-试题解析：（∵）因为()122n n n n a a a +-=，故()121n n n a a n++=，得121n n a an n+=⋅+；（也可以累积法） 设n n a b n =，所以12n n b b +=，0a ≠，0b ∴≠，12n n b b +∴=又因为1111ab ==， 所以数列{}n b 是以1为首项，公比为2的等比数列，故11122n n n n a b n--=⋅==，故12n n a n -=⋅. （∵）略.2.已知数列{}n a 的前n 项和为()2*1,1,Nn n n S a S n a n ==∈，则数列{}na 的通项公式为___________.【答案】()21n a n n =+【详解】由2n n S n a =，可得当2n ≥时，()2111n n S n a --=-，则2211(1)n n n n n a S S n a n a --=-=--，即221(1)(1)n n n a n a --=-，故111n n a n a n --=+， 所以123211232112321211143(1)n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n n n --------=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⨯⨯=+-+. 当11,1n a ==满足2(1)n a n n =+.故数列{}n a 的通项公式为2(1)n a n n =+.故答案为：2(1)n a n n =+3.数列{}n a 满足：112a =，212n n a a a n a ++⋯+=⋅，则数列{}n a 的通项公式n a =___________. 【答案】21n n+解：因为212n n a a a n a ++⋯+=⋅∵；当2n ≥时，()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅∵；∵减∵得()2211n n n a n a n a -=⋅-⋅-，即()()22111n n n a n a -⋅-⋅-=，所以()()()21111n n n n a n a --+=⋅-⋅，所以()()111n n n a n a -⋅-⋅+=，所以111n n a n a n --=+所以2113a a =，3224a a =，4335a a =，……，111n n a n a n --=+， 所以324211312313451n n a a a a n a a a a n --⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯+，所以()121n a a n n =+，又112a =，所以()11n a n n =+，当1n =时()11n a n n =+也成立，所以()11n a n n =+故答案为：()11n n +【题型五】 周期数列【典例分析】已知数列{}n a 满足1130,31n n n a a a +==+2017a =A ．0B ．3-C 3D ．32【答案】A【详解】112130331a a a ===-+，，223233331a a a =-==+，，334333031a a a ===+，，由上述可知，数列{}n a 是每三项一次循环的数列，则有201710a a ==，故选A ．【变式演练】1.数列{}n a 中，11a =，23a =，*11(2,)n n n a a a n n N +-=-≥∈，那么2019a =A ．1B ．2C ．3D ．-3【答案】B 【详解】由题意，得32a =，41a =-，53a =-，62a =-，71a =，…，由此发现数列{}n a 是以6为周期的数列，又201933663=⨯+，所以201932a a ==，故正确答案为B.2.在数列{}n a 中，若121,2a a ==，并有11=n n n a a a +-对1n >且*n N ∈恒成立；则20202021a a +=_______________．【答案】32解：由条件11n n n a a a +-=及12n n n a a a ++=，得1121111n n n n n n n a a a a a a a ++++--===， 即211n n a a +-=（1n >且*n N ∈），则()*631n n n a a n N a ++==∈，从而知6是数列{}n a 的一个周期； 由121,2a a ==，及12n n n a a a ++=，得34561 2,1,2a a a a ====；故20202021a a +=4513122a a +=+=⋅故答案为：32. 另解：由121,2a a ==，又11n n n a a a +-=即11nn n a a a +-=对1n >且*n N ∈，可得34567812,1,,1,2,,2a a a a a a ======从而知6是数列{}n a 的一个周期；故202020214513122a a a a +=+=+=.故答案为：323.设数列{}n a 满足12a =，且对任意正整数n ，总有()()1112n n n a a a +--=成立，则数列{}n a 的前2019项的乘积为 A ．12B ．1C ．2D ．.3【答案】D【详解】由题意可得：1211n n n a a a +=+-，故：12a =，1212131a a a =+=--，23221112a a a =+=--，34321113a a a =+=-，45142121a a a a =+==-，据此可得数列{}n a 是周期为4T =的周期数列，注意到201943MOD =，且：12341a a a a =，故数列{}n a 的前2019项的乘积为：()12332⎛⎫⨯-⨯-= ⎪⎝⎭. 故选D.【题型六】 构造二阶等比数列型（待定系数型）【典例分析】已知数列{}n a 满足：*121()n n a a n n N +=-+∈，13a =.（1）证明数列*()n n b a n n N =-∈是等比数列，并求数列{}n a 的通项；（2）设11n nn n n a a c a a ++-=，数列{}n c 的前n 项和为{}n S ，求证：1n S <.【答案】（1）2nn a n =+；（2）略试题解析：（1）解：由n n b a n =-知n n a b n =+，代入得：()()1121n n b n b n n +++=+-+，化简得：12n n b b +=，即{}n b 是等比数列，又111312b a =-=-=，则2n n b =，进而有2nn a n =+．（2）证明：由于11111n n n n n n n a a c a a a a +++-==-，所以121223111111111111111n n n n n n S c c c a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-=-< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【变式演练】1.数列{}n a 满足112,21n n a a a +==-则6a = A ．33 B ．32 C ．31 D ．34【答案】A【详解】数列{}n a 满足112,21n n a a a +==-，{}112(1),1n n n a a a +-=--是以2为公比的等比数列，首项为1，得到11122 1.n n n n a a ---=⇒=+633.a =故答案为A ．2.已知数列{}n a 中，11a =，134n n a a -=+（n *∈N 且2n ≥），则数列{}n a 通项公式n a 为（ ） A ．13n - B ．132n +-C ．32n -D ．3n【答案】C 【详解】由11a =，134n n a a -=+知：27a =且1232n n a a -+=+(2n ≥)，而123a +=，229a +=，∵{2}n a +是首项、公比都为3的等比数列，即32nn a =-，故选：C【题型七】 分式递推【典例分析】在数列{}n a 中，11a =，12()2nn n a a n a +=∈+*N ，则22019是这个数列的第________________项． 【答案】2018【分析】同取倒数，得到关于1{}na 是等差数列；进而求得n a 的通项公式即可求出项数．详解】由已知得11112n n a a +=+，所以1{}n a 是以111a =为首项，12d =为公差的等差数列， 所以()1111122n n n a +=+-=，所以21n a n =+，令2212019n a n ==+，解得2018n =【变式演练】1.数列{}n a 满足：113a =，且*1121(,2)n n n a n n n N n a a --+-=∈≥ ，则数列{}n a 的通项公式是n a =_____． 【答案】21n na n =+ 【详解】原等式可化简为：112n n n n a a --=+，所以数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以3为首项，2公差的等差数列， 则()32121n nn n a =+-=-，所以21n n a n =-. 2.已知在数列{}n a 中，11a =，132nn na a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为n a =______.【答案】11231n -⨯-【详解】由题意，132n n n a a a +=+，取倒数得132132n n n n a a a a ++==+，即111131n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 又11120a +=≠，所以，数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公比为3的等比数列，故11123n na -+=⨯， 所以11231n n a -=⨯-.故答案为：11231n -⨯-. 3.已知数列{}n a 满足111221,(2)311n n n a a n a a ---==≥--．（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,用数学归纳法证明:13ln 22n n S n +⎛⎫<+- ⎪⎝⎭.【答案】（1）12n n a n +=+.（2）答案见解析 【详解】（1）1121,(2)11n n n a n a a ---=≥--,11111111111n n n n a a a a ----+∴==-+---111111n n a a -∴-=---∴11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为3-,公差为1-的等差数列．13(1)21n n n a ∴=---=---12n n a n +∴=+【题型八】构造二阶等差数列【典例分析】数列{}n a 满足：113a =，且()()*113n n n n a a n N a n ++=∈+，则数列{}n a 的前n 项和n s =__________. 【答案】3n【解析】∵()()*113n n n n a a n N a n++=∈+∵131n n n a n n a a +++=，即113n nn na a ++=+ ∵n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，3为公差的等差数列∵()13313n 3n n n n a a =+-==，即∵数列{}n a 的前n 项和3n ns =【变式演练】1.数列{}n a 满足11a =，1(1)0n n n a a a ++-=（*n N ∈），则2018a =__________． 【答案】12018【解析】数列{}n a 满足11a =，()110n n n a a a ++-=，变形得到1111111=11,,n n n n n a a a a a n+-==∴=， 则2018a =12018。

第三讲 利用递推公式求数列的通项公式1．递推数列(1)概念：数列的连续若干项满足的等量关系a n ＋k ＝f (a n ＋k －1，a n ＋k －2，…，a n )称为数列的递推关系．由递推关系及k 个初始值确定的数列叫递推数列．(2)求递推数列通项公式的常用方法：构造法、累加(乘)法、归纳猜想法． 2．数列递推关系的几种常见类型（1）公式法：形如S n =f(n)或S n =f(a n )或S n =f(n,a n ) (2)累加法：形如a n －a n －1＝f (n )(n ∈N *，且n ≥2)当n ∈N *，n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1. (3)累乘法：形如a n a n －1＝f (n )(n ∈N *且n ≥2) 当n ∈N *，n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1. 注意：n ＝1不一定满足上述形式，所以需要检验．（4）倒数法：（构造等差数列）形如11110nn n n n n n pa a a ka a a qa k++++-==+整式或分式整式：两边同时除以1n n a a + 分式：两边同时取倒数 （5）待定系数法①形如a n ＝pa n －1＋q (n ∈N *且n ≥2) 方法：化为a n ＋qp －1＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋q p －1的形式．令b n ＝a n ＋qp －1，即得b n ＝pb n －1，{b n }为等比数列，从而求得数列{a n }的通项公式．②形如a n ＝pa n －1＋f (n )(n ∈N *且n ≥2) 方法：两边同除p n，得a n p n ＝a n －1p n －1＋f (n )p n ，令b n ＝a n p n ，得b n ＝b n －1＋f (n )p n，转化为利用累加法求b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫若f (n )p n 为常数，则{b n }为等差数列，从而求得数列{a n }的通项公式．考向一 公式法【例1】(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝________. (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. (3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n，则a n ＝________.【答案】（1）4n －5 （2）-63 （3）∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2.【解析】（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.（2）∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1＝－1，公比q ＝2的等比数列，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－1×(1－2n )1－2＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.（3）当n ＝1时，由已知，可得a 1＝21＝2， ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n，① ∴a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，②由①－②得na n ＝2n－2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －1n.显然当n ＝1时不满足上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2.【举一反三】1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋1，则a n ＝________.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.2.设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，则a n ＝________.【答案】13n 【解析】 因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，① 则当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，②①－②得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n ≥2)．由题意知a 1＝13符合上式，所以a n ＝13n .3.若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.【答案】 (－2)n －1【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a na n －1＝－2，所以数列{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列．故a n ＝(－2)n －1.考向二 倒数法求通项【例2】（1）在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，则a n ＝________. (2)已知在数列{}a n 中，a 1＝15，且当n ≥2时，有a n －1－a n －4a n a n －1＝0，则a n ＝____________.【答案】（1）2n ＋1，n ∈N * （2）14n ＋1(n ∈N *) 【解析】（1)由已知可知a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12， 又1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列，1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n ＋12，∴a n ＝2n ＋1，n ∈N *. (2)由题意知a n ≠0，将等式a n －1－a n －4a n a n －1＝0两边同除以a n a n －1得1a n －1a n －1＝4，n ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为1a 1＝5，公差d ＝4，故1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1，∴a n ＝14n ＋1(n ∈N *)．【举一反三】1．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. 【答案】 －1n【解析】 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ， 又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1， ∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.2.若数列{a n }的首项a 1＝12，且a n ＝(a n ＋1)a n ＋1，则a 200a 300＝________.【答案】301201【解析】 a n ＝(a n ＋1)a n ＋1，得a n －a n ＋1＝a n a n ＋1且a n ≠0， 所以1a n ＋1－1a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以2为首项，1为公差的等差数列，1a n＝n ＋1，从而a 200a 300＝301201. 考向三 累加法【例3】已知在数列{}a n 中，a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1，求a n . 【答案】a n ＝(n －1)2【解析】由已知得a n －a n －1＝2n －3，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1) ＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －3)＋(2n －5)＋…＋1＋0＝(n －1)2. 当n ＝1时，a 1＝0符合上式，所以a n ＝(n －1)2，n ∈N *.【举一反三】1．数列{}a n 满足a 1＝12，a n ＝a n －1＋1n 2－n (n ≥2，n ∈N *)，求数列{}a n 的通项．【答案】a n ＝32－1n (n ∈N *)．【解析】由a n －a n －1＝1n 2－n (n ≥2，n ∈N *)且a 1＝12， a n －a n －1＝1n 2－n ＝1n －1－1na n －1－a n －2＝1n －2－1n －1，…，a 2－a 1＝1－12，各式累加整理得a n ＝32－1n ，n 取1时，32－1＝12＝a 1，所以a n ＝32－1n(n ∈N *)．2.已知数列 ， ，，则数列 的通项公式=______．【答案】【解析】数列 ， ，， 可得 ， ， ，…， 累加可得：． 故答案为：考向四 类乘法【例4】已知在数列{}a n 中，a 1＝2，且na n ＋1＝(n ＋2)a n ，求a n . 【答案】a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． 【解析】由已知得a n ＋1a n ＝n ＋2n ，当n ≥2时，a n ＝a n a n －1.a n －1a n －2.....a 2a 1.a 1＝n ＋1n －1.n n －2.. (3)1·2＝n (n ＋1)， 当n ＝1时，a 1＝2也符合上式，所以a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．【举一反三】1．已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．【答案】【解析】(1)由S 2＝43a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理，得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1， 将以上n 个等式两端分别相乘，整理，得a n ＝n (n ＋1)2.当n ＝1时，a 1＝1也符合上式， 综上，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *.考向五 待定系数法【例5】（1）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． (2)已知在数列{}a n 中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3·2n，则a n ＝________.【答案】（1）a n ＝2n ＋1－2(n ∈N *)． （2）2n·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －12，n ∈N *【解析】（1）∵a n ＋1＝2a n ＋2，∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)， 又a 1＋2＝4，∴{a n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋2＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－2(n ∈N *)．（2）在递推关系a n ＋1＝2a n ＋3·2n的两边同除以2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋32，令b n ＋1＝a n ＋12n ＋1，则b n ＋1＝b n ＋32，b 1＝1，所以{b n }是以1为首项，32为公差的等差数列．所以b n ＝1＋32(n －1)＝32n －12，故a n ＝2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －12，n ∈N *.【举一反三】1.已知数列{}a n 满足a n ＝13a n －1＋2，a 1＝1，求数列{}a n 的通项公式．【答案】a n ＝3－23n －1(n ∈N *)【解析】 设a n ＋λ＝13(a n －1＋λ)，解得λ＝－3，则a n －3＝13(a n －1－3)，令b n ＝a n －3，则数列{}b n 是以b 1＝a 1－3＝－2为首项，13为公比的等比数列，所以b n ＝－23n －1，所以a n ＝3－23n －1(n ∈N *)．2．已知在数列{}a n 中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，则a n ＝________.【答案】32n －23n (n ∈N *) 【解析】 在a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1的两边同乘以2n ＋1得2n ＋1·a n ＋1＝23·(2n a n )＋1，令b n ＝2na n .则b 1＝53，b n ＋1＝23b n ＋1，于是可得b n ＋1－3＝23(b n －3)，∴b n －3＝－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，【套路总结】使用条件：型如1n n a pa q +=+（其中,p q 为常数，且(1)0,pq p -≠）解题模板：第一步 假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )； 第二步 由待定系数法，解得1qt p =-； 第三步 写出数列{}1n qa p +-的通项公式； 第四步 写出数列{}n a 通项公式.∴b n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，∴a n ＝b n 2n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝32n －23n (n ∈N *)．1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.2.已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2S n ＝a n ＋1，则a n ＝________. 【答案】 2n －1【解析】方法一 由已知2S n ＝a n ＋1，得当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入已知得2S n ＝S n －S n －1＋1，即S n －1＝(S n －1)2. 又a n >0，故 S n －1＝S n －1或S n －1＝ 1－S n (舍)， 即S n －S n －1＝1(n ≥2)，由定义得{S n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴S n ＝n .故a n ＝2n －1.方法二 ∵2S n ＝a n ＋1，∴4S n ＝(a n ＋1)2， 当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2，两式相减，得4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2， 化简可得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵a n >0，∴a n －a n －1＝2， ∵2a 1＝a 1＋1，∴a 1＝1.∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝2n －1.3．已知a 1＝3，a n ＋1＝3n －13n ＋2a n (n ≥1，n ∈N *)，则a n ＝________. 【答案】 63n －1【解析】 当n ≥2时，a n ＝3(n －1)－13(n －1)＋2·3(n －2)－13(n －2)＋2·…·3×2－13×2＋2·3－13＋2a 1＝3n －43n －1·3n －73n －4·…·58·25·3＝63n －1. a 1＝3也符合上式，所以a n ＝63n －1. 4．已知在数列{}a n 中，a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋14n 2－1，则a n ＝____________. 【答案】 4n －34n －2(n ∈N *) 【解析】 由已知可得a n ＋1－a n ＝14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 令n ＝1,2，…，(n －1)，代入得(n －1)个等式累加，即(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1， ∴a n －a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1，∴a n ＝a 1＋12－12·12n －1， 即a n ＝1－14n －2＝4n －34n －2(n ∈N *)⎝ ⎛⎭⎪⎫经验证a 1＝12也符合. 5．在数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝________. 【答案】 2＋ln n (n ∈N *)【解析】 ∵当n ≥2时，a n ＝a n －1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n －1＝a n －1＋ln n n －1， a n －1＝a n －2＋ln n －1n －2， a n －2＝a n －3＋ln n －2n －3， …，a 2＝a 1＋ln 2，累加可得a n ＝a 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×2＝a 1＋ln n ， ∴a n ＝2＋ln n ，n ∈N *(经验证a 1＝2也符合此式)． 6．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式为____________．【答案】 a n ＝3n －1【解析】 由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)， 解得a 1＝1或a 1＝2.由已知a 1＝S 1>1，得a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n . 因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去．因此a n ＋1－a n －3＝0，即a n ＋1－a n ＝3， 从而{a n }是公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n ，则数列{a n }的通项公式为____________．【答案】 a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ∈N *) 【解析】 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12≠1，∴a n ＋1－1a n －1＝12. 设c n ＝a n －1，∵首项c 1＝a 1－1＝－12. ∴数列{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列． 故c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ∈N *)． 8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知4a n －2n ＝3S n ，则a n ＝________.【答案】 3·4n －1－2n －1(n ∈N *)【解析】 由已知得4a n ＋1－2n ＋1＝3S n ＋1，∴4(a n ＋1－a n )－2n ＝3a n ＋1，∴a n ＋1＝4a n ＋2n ， a n ＋1＋2n ＝4a n ＋2n ＋1＝4(a n ＋2n －1)，又4a 1－2＝3S 1，∴a 1＝2，∴{a n ＋2n －1}是以3为首项，4为公比的等比数列． ∴a n ＋2n －1＝3·4n －1， ∴a n ＝3·4n －1－2n －1(n ∈N *)． 9.已知a 1＝2，a 2＝4，数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2且a n ＋1－a n ＝b n .(1)求证：数列{b n ＋2}是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【答案】见解析【解析】(1)证明：由题知，b n ＋1＋2b n ＋2＝2b n ＋2＋2b n ＋2＝2， ∵b 1＝a 2－a 1＝4－2＝2，∴b 1＋2＝4，∴数列{b n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)可得，b n ＋2＝4·2n －1，故b n ＝2n ＋1－2.∵a n ＋1－a n ＝b n ，∴a 2－a 1＝b 1， a 3－a 2＝b 2，a 4－a 3＝b 3，…a n －a n －1＝b n －1.累加得，a n －a 1＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1(n ≥2)，a n ＝2＋(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(2n －2)＝21－2n 1－2－2(n －1) ＝2n ＋1－2n ，故a n ＝2n ＋1－2n (n ≥2)．∵a 1＝2符合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1－2n (n ∈N *)．10．已知 是数列 的前 项和，数列 满足，则 __________．【答案】【解析】∵， ∴， 两式做差，∴，∴ ，而 时，可得： 也满足，∴ ，∴ .11.设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1=2，对任意n ∈N *，都有2S n =（n+1）a n ，求数列{a n }的通项公式。

递推公式求通项公式作业1．数列3，7，13，21，31，…，的一个通项公式为（ ）A ．14-=n a nB ．223++-=n n n a nC ．12++=n n a nD ．不存在 2．在数列}{n a 中，21-=a ， n a a n n +=+21，则=3a （ ） A. 6- B. 5- C. 4- D. 3-3．数列}{n a 中，a 1=1，对于所有的2n ≥，*n N ∈都有2123n a a a a n ⋅⋅= ，则35a a +=（ ）A.1661B.925C.1625D.1531 4．在数列}{n a 中，2,121==a a ，n n n a a a -=++122，则=4a （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。

下列数中及时三角形数又是正方形数的是 （ ）A ．289B ．1024C ．1225D ．1378 6．数列}{n a 中，)2(31,1111≥+==--n a a a a n n n ，则数列｛a n ｝的通项公式是：（ ） A ．231-n B ．231+n C ．321-n D ．321+n 7．数列}{n a 中，若)(2)13(1+∈-=N n a S n n ，且544=a ，则1a 的值是________. 8．已知数列}{n a 满足21=a ，+∈∀N n ，0>n a ，且0)1(2112=-++++n n n n na a a a n ，则数列}{n a 的通项公式是=n a ____ __。

9．已知数列}{n a 的首项11=a（1）若11n n a a n +=++，则n a =_________；（2）若112n n n a a ++=⋅，则n a =_______ （3）若1)1(++=n n a n na ，则n a =______；（4）若)2(231≥+=-n a a n n ，则n a =________； （5）若11nn n a a a +=+，则n a =_______;（6）122(2),_______.nn n n a a n a -=+≥=若则10.设正数数列{}n a 满足21=a，n a =n ≥2），求数列{}n a 的通项公式。

递推数列通项求解方法举隅类型一：1n n a pa q +=+(1p ≠）思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---⎡⎤=+=++=+++=⎣⎦……121(1n p a q p p -=++++…211)11n n q q p a p p p --⎛⎫+=+⋅+ ⎪--⎝⎭。

思路2（构造法）:设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1qp μ=-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1111n n q q a a p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭,即1111n nq qa a p p p -⎛⎫=++ ⎪--⎝⎭. 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：方法1（递推法）：()123232(23)3222333n n n n a a a a ---⎡⎤=+=++=+++=⎣⎦ (12)23(122n -=++++…211332)12232112n n n --+⎛⎫+=+⋅+=- ⎪--⎝⎭。

方法2（构造法):设()12n n a a μμ++=+,即3μ=，∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=⋅=，即123n n a +=-。

类型二：1()n n a a f n +=+思路1（递推法)：123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-=…111()n i a f n -==+∑。

思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n n i a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑。

递推数列通项公式求法各类数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

现总结出几种求解数列通项公式的方式。

类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例 已知数列{}n a 知足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。

类型2 n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:已知数列{}n a 知足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。

类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pq t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 11+=+再待定系数法解决。

例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ，t 知足⎩⎨⎧-==+q st p t s 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求n a 。