非线性动力学定性理论方法

数学建模中对非线性动力系统模型的认识和体会真实动力系统几乎总是含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间隙、干摩擦，结构系统中的材料弹塑性和黏弹性、构件大变形，控制系统中的元器件饱和特性、控制策略非线性等等。

非线性动力学理论的研究和发展已经经历了一个多世纪，在新世纪之初，为了使非线性动力学理论得到更好的发展，非常有必要回顾一下非线性动力学研究和发展的历史。

非线性动力学理论的发展大致经历了三个阶段。

第一个阶段是从1881年到1920年前后，第二阶段从20世纪20年代到70年代，第三阶段从20世纪70年代至今。

人们对于非线性系统的动力学问题的研究可以追溯到1673年Huygens对单摆大幅摆动非等时性的观察。

第一阶段的主要进展是动力系统的定性理论，其标志性成果是法国科学家Poincare从1881年到1886年期间发表的系列论文“微分方程定义的积分曲线”，俄罗斯科学家Liapunov 从1882年到1892年期间完成的博士论文“运动稳定性通论”，以及美国科学家Birkhoff在1927年出版的著作“动力系统"。

第二阶段的主要进展是提出了一系列求解非线性振动问题的定量方法，代表人物有俄罗斯科学家Krylov、Bogliubov，乌克兰科学家Mitropolsky，美国科学家Nayfeh等等。

他们系统地发展了各种摄动方法和渐近方法，解决了力学和程科学中的许多问题。

在这个阶段中抽象提炼出了若干著名的数学模型，如Duffing方程、vander Pol方程、Mathieu方程等，至今仍被人们用以研究非线性系统动力学现象的本质特征。

从20世纪60~70年代开始，原来独立发展的分岔理论汇入非线性动力学研究的主流当中，混沌现象的发现更为非线性动力学的研究注入了活力，分岔、混沌的研究成为非线性动力学理论新的研究热点。

俄罗斯科学家Arnold和美国科学家Smale等数学家和力学家相继对非线性系统的分岔理论和混沌动力学进行了奠基性和深入的研究，Lorenz和Ueda等物理学家则在实验和数值模拟中获得了重要发现。

动态系统理论解读非线性动力学行为动态系统理论是研究系统随时间变化的数学理论，在物理学、生物学、经济学等领域广泛应用。

非线性动力学是动态系统理论的一个重要分支，研究的是非线性系统的行为。

非线性动力学行为指的是系统中存在非线性因素导致的复杂行为，这些行为通常无法通过简单的线性理论来解释。

非线性动力学行为的研究领域包括混沌理论、奇异吸引子、分岔现象等。

混沌理论是非线性动力学行为的重要组成部分。

混沌现象指的是一个看似没有规律的、极为敏感的动态行为，它对初始条件极为敏感，微小的初始条件差异可能会导致系统最后的行为完全不同。

混沌现象的典型例子是著名的“蝴蝶效应”，即一个蝴蝶在巴西扇动翅膀可能最终引起美国得克萨斯州发生龙卷风的现象。

奇异吸引子是一种特殊的吸引子，它具有分岔结构。

吸引子是动态系统中一组确定的状态，而奇异吸引子则是一种分维度小于系统自身维度的吸引子。

奇异吸引子的特点是具有分形结构，即在不同尺度上具有相似的形状。

分岔现象是非线性动力学中的一个重要现象，它表示系统参数改变时出现的定性变化。

在分岔现象中，随着参数的改变，系统从一个稳定状态转变为多个稳定状态或不稳定状态。

这种转变可以是突然的、跳跃的或连续的，而且是可逆的。

非线性动力学行为的研究对于理解现实世界中复杂系统的行为模式具有重要意义。

在物理学中，非线性动力学行为可以帮助解释天体运动、流体力学等现象。

在生物学中，非线性动力学行为可以解释生物系统中的自组织、自适应等特性。

在经济学中，非线性动力学行为可以用来解释经济周期、市场波动等现象。

非线性动力学行为的研究方法包括数学建模、理论分析和计算机模拟等。

数学建模是非线性动力学研究的基础，可以将系统的动力学行为用方程或规则来描述。

理论分析通过数学方法对系统的动态行为进行解析，寻找系统的稳定状态和边界条件等。

计算机模拟则可以通过计算机程序对系统进行模拟，观察系统的行为变化。

然而，非线性动力学行为的研究也面临着一些挑战。

非线性振动的研究包括理论分析方法和数值分析方法。

其中理论分析方法有是沿着两个方向发展，第一是定性方法，第二是定量方法，也称为解析法。

定性方法是对方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性等的研究；定量方法是对方程解的具体表达形式、数量大小和解的数目等的研究。

数值方法目前已广泛用于计算非线性振动系统，是一种求解非线性方程的有效方法。

本文在查询相关文献的基础上，对非线性振动理论的分析方法最新研究成果做简要概括和分析比较。

1、平均法平均法是求解非线性振动最常见和最实用的近似方法之一。

其基本思想是设待解微分方程与派生方程具有相同形式的解，只是振幅和相位随时间缓慢变化。

将振幅和相位的导数用一个周期的平均值替代，得到平均化方程，求解平均化方程，得到振幅和相位的表达式，从而求解出原方程的近似解析解。

1.1利用平均法分析多自由度非线性振动平均法主要是用在单自由度非线性振动的分析中，是一种求近似解的方法，虽然精度较低，但可避免繁琐的中间运算，具有便于应用的突出优点。

将其推广的到多自由度系统，导出了平均化方程，由此能够得到多自由度非线性振动的幅频特性。

1.2用改进平均法求解自由衰减振动用平均法求解自由衰减振动方程时，无论是线性阻尼还是平方阻尼，在阻尼常量很小的情况下，平均法解均有较高的精度。

但随阻尼常量的增加，阻尼对振动周期的影响已不能忽略，此时平均法解的结果与实际振动情况有了明显的偏离，需要改进。

改进平均法是将待解微分方程的圆频率与派生方程圆频率的差异函数表示为阻尼系数的多项式。

2、FFT多谐波平衡法分析非线性系统非线性动力系统的响应可能含有几个主导频率，且有可能与激振频率不成倍数关系。

现有的单一谐波法和多谐波法仅限于系统响应主导频率为激振频率的非线性系统，因此在某些情况下使用单一谐波法或多谐波法研究非线性系统动力学特性是不可靠的，而基于快速傅立叶变换（FFT）和主导频率的 FFT 多谐波平衡法能够依据所有的主导频率构筑多谐波平衡方程，因此其解析解精确度高，并能广泛适用于单倍周期、多倍周期、与初始条件有关的多解性及拟周期响应等典型的非线性特征响应。

为什么要学些火灾动力学?前不久，消防圈有一种论调为：“指挥员源于战斗员，亘古不变的道理”，言下之意，只有干过,才有发言权。

这种思想似乎很普遍，听上去似乎很有道理。

本来嘛，救人靠技能，技能靠实战,有实战经验的似乎比没有实战经验的强.然而，2015年8月12日的天津港大爆炸表明,救援除了依赖经验，还需要有必要的知识和战略的眼光。

说起军事指挥家，近代中国无人超过“曾胡左李”。

曾国藩、胡林翼、左宗棠、李鸿章,这四人无一当过战斗员,但当时人都毫不怀疑他们的指挥能力.即使是解放战争期间，林彪和粟裕，都是黄埔军校出身，典型的学院派，也不是战斗员出身，丝毫不能妨害他们的指挥能力。

今天，高层次的指挥员大多是学院派，美国的消防队长也要求有本科BS学位，所以指挥这个岗位,恰恰不是战斗员所能够胜任的,因为他需要理科知识（Fire Science)和工科素养(Fire Protection Engineering），才能够认识火场的复杂现象，才能发出更好的指令,取得更有效的战术效果。

战斗员自救是自己的事，指挥员的命令可以不听（不能影响生命安全）,因此指挥员是否干过战斗员，并不是很重要的一件事。

我们听到有些声音，火灾动力学对灭火工作没什么用。

但其实这门知识博大精深，涉及很多方面，是非常有用的.Drysdale 教授阅读并引用了800篇文章，才写出了一本《火灾动力学》教材，无人不说有用。

（京东有售,见下图，点击’阅读原文’，查看火灾动力学试读链接。

）图：火灾动力学第三版你说无用，就是对消防没有入门的标志。

其实，在理论的知识和应用的知识之间，存在沟通问题。

不能很好地应用和传递知识,相当于没有知识。

美国消防队员需要学习火灾动力学知识，源于一项技术革命。

Nomex纤维，是一种特殊的阻燃材料,刚出现的时候，非常昂贵,只能用在高度风险的场合,如赛车手的特殊防护服。

随着成本的下降，现代消防队员也开始普及Nomex纤维制成的防护服，并携带自己的自助呼吸器（SCBA）。

第三讲自然物理系统及其复杂性系统的层次来看，自然物理系统处于系统底层，可以看作是由非智能的机械物体构成的，满足特定的自然物理规律，其复杂性的根源在“非线性”。

在系统科学中，迄今真正成熟的主要是线性系统理论。

系统科学重点研究的是非线性系统，是处理非线性问题的一种方法论。

同时，相比于静态系统，动态系统是系统科学讨论的重点对象。

一、线性系统1 线性特性和线性系统一般地说，能够用线性数学模型描述的系统，称为线性系统。

线性系统的基本特性，即输出响应特性、状态响应特性、状态转移特性等，都满足叠加原理。

具体讲，令f代表某种数学操作，如关系、变换、运算、方程或其他，x为数学操作的对象，f(x)表示对x施行操作f的结果。

若f(x)满足以下两个条件(1) 加和性：f(x1+x2)＝f(x1)+f(x2)(2) 齐次性：f(kx)＝kf(x)即f(ax1+bx2z)＝af(x1)+bf(x2)，就称操作f为线性的，满足叠加原理。

2、线性系统的动态行为描述描述连续动态系统的数学模型是微分方程。

如果状态变量只是时间的函数，与空间分布无关，则称集中参数系统，用常微分方程描述；状态变量同时依赖于时间和空间分布的是分布参数系统，须用偏微分方程描述。

线性连续动态系统的数学模型为线性常微分方程，可以使用一元高阶方程，也可以使用多元一阶联立方程组，这两种形式是等价的。

一般形式如下：nnn n n nn x a x a x x a x a x ++=++=11'1111'1记系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A 1111，状态向量()Tn x x x X ,,,21 =则上述动态方程可表示为：AX X ='A 不随时间变化→常系数方程→时不变线性系统A 随时间变化 →变系数方程→时变线性系统A 包含了线性系统一切行为特性的信息。

3、线性动态系统的求解分析线性系统的常用方法是求它的通解：∑=k tk V e C X k λ其中，λ为特征方程0=-I A λ的特征根；V k 是一组线性无关的特征向量；C k 是由初值决定的常系数。

第12章非平衡非线性化学动力学侯中怀 hzhlj@中国科学技术大学化学物理系合肥 230026非线性化学动力学的研究对象，是化学体系在远离平衡条件下，由体系中非线性过程的作用，自发形成的宏观尺度上的各种复杂的时空有序结构，包括多重定态，化学振荡，图灵斑图，化学波和化学混沌等[1-3]。

这些现象都是非平衡条件下大量分子的集体行为，因此非线性化学动力学的研究，属于物理化学和非平衡统计物理的交叉领域。

随着20世纪50年代BZ化学反应体系中各类非线性化学现象的实验发现，非线性化学动力学的研究便成为物理化学研究中的一个新的生长点。

20世纪70年代，以普里高津(Prigogine)为首的比利时布鲁塞尔学派提出了著名的“耗散结构”理论[4,5]，奠定了非线性化学现象的热力学基础。

过去20年，计算机技术和非线性科学的发展，使得人们能从理论上再现实验上观测到的各种非线性现象，以深入了解非线性化学现象的动力学机制，从而进一步推动非线性化学动力学在实际体系中的应用。

近年来，随着化学研究的对象向生命和纳米等复杂体系的深入，非平衡、非线性和复杂性之间的相互作用，目前是非线性化学动力学研究的一个主要发展方向。

在生命和表面催化等体系中，实验上已发现大量的非线性动力学行为，如细胞体系内的钙振荡及钙波[6]，生理时钟振荡[7]，单晶表面催化过程中的化学振荡、螺旋波、化学混沌等[8,9]。

研究表明，这些非线性化学动力学行为，对生命体系的功能和催化过程的活性与选择性等，起着非常重要的作用；要深入理解这些作用的机制，必须考虑到实际体系中的各种复杂性因素，包括噪声和无序等随机因素，环境和体系以及体系内部的复杂相互作用等。

本章中，我们将对非线性化学动力学的基本内容和研究进展作一简单概述。

为使内容具有相对完整性，第一节主要介绍非线性化学动力学的基本概念和研究方法。

在第二节和第三节，将重点介绍近年来复杂体系非线性化学动力学的一些研究结果，主要包括环境噪声、空间和拓扑无序、介观反应体系内涨落对非线性化学动力学的调控作用等。

数学中的动力系统理论及其应用研究数学中的动力系统理论是一门非常重要的学科，它研究的是不断变化的系统及其变化规律。

这门学科有着广泛的应用，如生物学，物理学，经济学，力学等各领域都有其应用。

动力系统学说的发展历程长达两个世纪，最早的研究者是拉格朗日和欧拉，其后，哈密顿、普朗克、庞加莱、尼古拉斯·罗伯特∙比尔、基尔霍夫等数学家都取得了丰硕的成果。

一、动力系统的基本概念动力系统指的是一个具有演化规律的系统，通常用一个向量场表示，向量场用来表示物体的速度和方向，从而得到物体运动的轨道。

用数学方程式表示一个动力系统通常有两种方式，一种是演化方程式，即在以时间为自变量的空间中描述变化；另一种是离散映射，即在以整数为自变量的空间中描述变化。

我们称系统动力学模型研究的是与时间变化有关的系统的动力学过程。

二、动力系统的重要性动力学是研究非线性系统的一个重要领域，非线性系统是指一类物理或化学系统，其各种成分之间的关系为非线性的，所以同样的初始条件可能会导致不同的结果。

动力学的研究有助于人们认识复杂的现象，分析现象的发展趋势，预测未来的变化过程。

三、动力系统的应用1.生物学领域动力系统在生物学领域有着广泛的应用，例如生物钟模型的研究。

生物钟是指生物体内内在的自然节律，非常重要的生理功能，它的研究是生物学领域的热点之一。

利用动力学模型，可以对生物钟的内部规律进行研究和解析。

2.物理学领域在物理学领域，动力学模型可以用来描述各种系统的运动规律和相互作用。

例如，研究天体运动、宇宙演化和分子运动都需要使用动力学模型。

3.经济学领域经济学是有关经济及其相关现象的一门社会科学，其中的动力学模型可以用来分析经济体系中不断发生变化的现象，包括商业、金融等各个方面。

四、动力系统的研究方法1.定性方法定性方法是动力学研究中的基本方法，它着重于从数学上分析动力系统的本质，研究系统的稳定性和不稳定性等基本性质。

2.定量方法定量方法是通过使用精确的数学工具来研究动力系统，例如微积分、差分方程、拓扑学、几何等过程。

818 中国科学E辑工程科学材料科学2004, 34(7): 818~831CCEBC/EEAC方法的定性分析*廖浩辉**唐云***(清华大学数学科学系, 北京 100084)摘要 CCEBC/EEAC 方法是对电力系统暂态稳定性作量化分析的一个很有效的方法. 对CCEBC/EEAC方法进行了定性分析, 说明从几何观点出发, CCEBC/EEAC方法中的CCCOI-RM可以看作是对系统模型的变量在权向量空间上的投影, 由此得到广义P-轨迹. 由于电力系统的暂态过程可以近似地看作分时间段简单Hamilton系统, 为了给出CCEBC/EEAC方法的定性分析, 比较了两机无穷大系统的势能与CCEBC/EEAC能量. 计算结果表明两者相似. 弄清这两者之间的定性关系, 对于从数学上论证CCEBC/EEAC方法能够用于判定系统的暂态稳定性将起到重要作用. 通过定性分析, 也能更好地了解 CCEBC/EEAC 方法基于量化分析所揭示的一些重要现象, 如多摆失稳和孤立稳定域.关键词CCEBC/EEAC 分时间段简单Hamilton系统暂态稳定性CCEBC/EEAC(complementary-cluster energy-barrier criterion/extended equal area criterion)方法是电力系统暂态稳定性分析的一个有效方法, 其商品化软件已得到重要应用[1]. 该方法是薛禹胜[2]给出的等面积法则(EAC)对多机系统的一种推广. CCEBC/EEAC方法的基本思想最初在文献[3]中以EEAC方法的形式提出, 它通过保稳线性变换把多机问题化为两机问题, 然后应用EAC方法计算临界清除时刻和稳定裕度. EEAC方法依赖于电力系统的经典模型[3], 为了把EEAC方法应用到电力系统精确模型的暂态稳定性分析, 薛禹胜在文献[2]中提出了CCEBC 方法, 并用于分析和推广EEAC方法, 得到了CCEBC/EEAC方法, 而原来的EEAC方法可看作CCEBC/EEAC方法的一个特例, 称之为SEEAC方法.CCEBC/EEAC 方法的推动力是计算机速度的不断提高. 在传统的时域分析中, 用来判定系统是否趋于稳定的数值积分所需要的时间是比较长的, 这是由于2003-05-22收稿, 2003-10-27收修改稿*国家重点基础研究专项经费(批准号: G1998020309)和国家自然科学基金(批准号: 10272059)资助项目**E-mail:liaohaohui00@***E-mail: ytang@第7期　廖浩辉等: CCEBC/EEAC方法的定性分析　819820　中国科学E辑工程科学材料科学第34卷　第7期　廖浩辉等: CCEBC/EEAC方法的定性分析　821822　中国科学E辑工程科学材料科学第34卷　第7期　廖浩辉等: CCEBC/EEAC方法的定性分析　823824　中国科学E辑工程科学材料科学第34卷　第7期　廖浩辉等: CCEBC/EEAC方法的定性分析　825图1 系统当τ =3.7时的实际势能与CCEBC/EEAC能量的比较1示实际势能, 2示CCEBC/EEAC能量图 2 广义P-δ轨迹(τ =3.7)量之间的联系, 是建立引言中第(Ⅱ)~(Ⅴ)的数学理论的基础. 其中(Ⅴ)是最重要的问题, 因为电力系统工程关心在特定时间内是否可以判定系统的暂态稳定性, 而不需要花费较长的积分时间.3CCEBC/EEAC揭示了电力系统中的重要现象以上的分析指出了对CCEBC/EEAC方法进行严格化的困难. 不管是薛禹胜的工程观点, 还是本文采用的几何观点, 都未对CCEBC/EEAC方法进行严格化. 但是, 采用几何观点可以对CCEBC/EEAC方法所揭示的多摆失稳和孤立稳定域826　中国科学E辑工程科学材料科学第34卷　图3 系统当τ = 3.9时的实际势能与CCEBC/EEAC能量的比较1示实际势能, 2示CCEBC/EEAC能量图4 广义P-δ轨迹(τ =3.9)(ISD, isolated stable domain)这些在电力系统可能发生的重要现象[2]给出定性解释, 为认识电力系统中暂态能量函数(TEF)方法与CCEBC/EEAC方法的联系提供了一个途径.系统(6)的一个摆次是指势能V(δ)极大的两个相邻时刻所决定的时间区间. 如果系统(6)在出现多个摆次后失稳, 则称系统发生多摆失稳. 多摆失稳可以看作是n>个自由度Hamilton系统中的一个自然的现象. 这是因为系统的轨迹保持(1)Hamilton量, 由势能与动量的相互转换关系, 系统会出现多摆现象. 因此, 从数学的角度来说, 多摆失稳并不是很特别的现象. 但是, 通过对CCEBC/EEAC与暂第7期　廖浩辉等: CCEBC/EEAC方法的定性分析　827图6 系统出现ISD和NARI时, 用二分法可能求到错误的cct1~4表示二分法的划分对于不同的清除时刻τ, 系统的暂态稳定性可从图7~9观察到. 从这些图容易明白ISD产生的原因在于失稳轨迹可以离开故障后系统的稳定域后在有限时刻内又重新进入.对于实际的电力系统而言, 由于故障轨迹可以离开后又进入故障后系统的稳定域内, 所以也和分时间段常微分方程一样, 会出现ISD. 在计算稳定域的临界边界时, 因为ISD的出现, 搜索方法可能会误求错误的临界点, 从而导致NARI[2]. NARI可以认为是稳定域与ISD在参数空间中的一个凸包. 这容易通过图6来描述.ISD的发现意味着在设计程序时必须注意搜寻算法的有效性. 时域方法通常通过二分法来搜寻T cct, 而利用二分法所求得的T cct不一定是系统真正的临界故障清除时刻(见图6), 因此必须注意搜寻步长. TEF方法通过故障轨迹第一次离开稳定域来判定T cct, 因此在理论上不会出现NARI现象. 而CCEBC/EEAC方法通过排除掉首摆和多摆失稳来确定出正确的T cct, 理论上避开了NARI. 在实际计算当中, 由于缺乏比较, 还难以下定论.图7 系统(12)当τ = 5.00, 5.52, 5.56时的轨迹图8 系统(12)当τ = 8.60, 8.73, 8.80时的轨迹图9 系统(12)当τ = 18.40, 18.48, 18.50时的轨迹致谢作者感谢薛禹胜教授的热情帮助以及审稿人的批评指正.参考文献1 薛禹胜. 滑步与发散, 运动系统与一般动力学系统. 电力系统自动化, 2003, 27(7): 17~212 薛禹胜.　运动稳定性量化理论:　非自治非线性多刚体系统的稳定性分析.　南京:　江苏科学技术出版　社,　19993 Xue Y, Van Cutsem T, Ribbens-Pavella M. A simple direct method for fast transient stability assessment oflarge power systems. IEEE Trans on Power Systems, 1988, 3(2): 400~4114 Zhang Y, Wehenkel L, Rousseaux P, et al. SIME: A hybrid approach to fast transient stability assessmentand contingency selection. Int J Electrical Power and Energy Systems, 1997, 19(3): 195~2085 Zhang Y, Wehenkel L, Pavella M. SIME: A comprehensive approach to fast transient stability assessment.Trans of IEE Japan, 1998, 118-B(2): 127~1326 Ernst D, Ruiz-Vega D, Pavella M, et al. A unified approach to transient stability contingency filtering,ranking and assessment. IEEE Trans on Power Systems, 2001, 16(3): 435~4437 邱志鹏,　邹 云,　薛禹胜.　非线性系统同步稳定分析的互补簇簇际能量壁垒准则的数学描述.　非线性动力学学报, 2002, 9(3-4): 120~1318 邹云, 邱志鹏, 薛禹胜. 非自治动力学系统的同步稳定性. 应用数学学报, 2001, 24(1): 155~1579 Tang Y. Synchronous stability of multi-machine systems. Proceedings of the 3rd WSEAS Symposium onMath Methods and Comput Tech in Electrical Engineering, WSEAS Press, 2001. 5181~518410 薛禹胜. EEAC与直接法的机理: (一)受扰程度函数. 电力系统自动化, 2001, 25(11): 6~1111 薛禹胜. EEAC与直接法的机理: (二)壁垒点与观察点. 电力系统自动化, 2001, 25(12): 1~712 薛禹胜. EEAC与直接法的机理: (三)定性判稳与定量分析. 电力系统自动化, 2001, 25(13): 1~513 薛禹胜. EEAC与直接法的机理: (四)回顾与瞻望. 电力系统自动化, 2001, 25(14): 1~614 廖浩辉, 唐云. 电力系统中CCEBC/EEAC方法的数学描述. 电力系统自动化, 2003, 27(7): 12~1615 Univ California, Berkeley. Bifurcation and chaos in power systems: A survey, Aug 1992. EPRT TR-100834,Project 8010-1016 Chiang H D, Chu C C. Theoretical foundation of the BCU method for direct stability analysis ofnetwork-reduction power system models with small transfer conductances. IEEE Trans on Circuits and Systems—I: Fundamental Theory and Applications, 1995, 42(5): 252~26517 Chiang H D, Chu C C, Cauley G. Direct stability analysis of electric power systems using energy functions:Theory, applications, and perspective. Proceedings of the IEEE, 1995, 83(11): 1497~152918 Chiang H D. The BCU method for direct stability analysis of electric power systems: Theory andapplications. In: Chow J, Kokotovic P V, Thomas R J, eds. System Control Theory for Power Systems, 1995, 64: 39~9419 Chiang H D. Power system stability. In: John G W, ed. Wiley Enclyclopedia of Electrical and ElectronicEngineering. New York: John Wiley and Sons Inc, 1999。

非线性动力学非线性系统之一瞥——Lorenz系统2013-01-300 前言非线性系统动力学线性系统是状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统；非线性系统就是这些量不满足叠加原理的系统。

非线性系统在日常生活和自然界中不胜枚举，也远远多于线性系统。

非线性动力学是研究非线性系统的各种运动状态的定性和定量变化规律，尤其是系统的长时期行为。

研究的对象主要有分叉、混沌和孤立子等。

洛伦兹方程洛伦兹方程是美国气象学家洛伦兹在模拟天气这一非周期性现象时确定，这个方程的三个变量分别模拟温度、湿度和压力。

可以得出结论，初期微小的差别随着时间推移差别会越来越大，洛伦兹基于此提出长期的天气预报是不可能的。

这也被视为研究非线性混沌理论的开始，所以洛伦兹系统在研究非线性系统中具有举足轻重的地位。

本文借助洛伦兹系统对非线性进行简单的介绍。

洛伦兹方程如下。

方程中，、和都为实参数。

实参不同，系统的奇点及数目也是不同的。

1 奇点和稳定性奇点洛伦兹系统含有三个实参数，当参数变化，奇点的数目可能不同。

首先，一定是系统的奇点。

时，当时，系统仅有一个奇点；当时，系统还有另外两个奇点。

下面仅解时的两个非原点奇点。

令方程第一式得，第三式可得，将两式代入第二式得即，。

奇点稳定性判别下面根据Liapunov稳定性判别方法，找出系统在原点处大范围渐进稳定的条件，取Liapunov函数。

考虑，的情况。

则有将洛伦兹方程代入上式，可得变换为二次型，系数矩阵为已知，，则系数矩阵负定的条件是。

所以该系统是大范围渐进稳定的条件是，前提是，。

Liapunov函数V总是存在的，只要构造出合适的Liapunov函数，就可以通过Liapunov稳定性定理直接判断奇点的稳定性，而不需要求解非线性方程组。

有的Liapunov函数不易构造，则可以通过奇点处导算子的特征值来判断：若所有的特征值实部都小于0，则方程组在该奇点是局部渐进稳定的；若特征值实部至少有一个为正，该奇点是不稳定的。