第四章 习题课基本内容1．线性有界泛函:f D X ⊂→∧满足()()()f x y f x f y αβαβ+=+，线性． 若x D ∀∈，|()|||||f x M x ≤．——称f 有界． 2．线性有界泛函的范数 |()|||||sup||||x f x f x θ≠=． ||||1||||1||||sup |()|sup |()|x x f f x f x ≤===．共轭空间（Banach 空间）*()n n R R =，*()p q l l =，*([,])p q L a b L =，*H H =． 基本定理：①延括定理：G X ⊂是线性子空间，:f G X ⊂→∧是线性有界泛函，则*F X ∃∈，使（ⅰ）当x G ∈时，()()F x f x =； （ⅱ）||||||||X G F f =． ②两个推论：（Ⅰ）（Hahn —Banach 定理）设X l.n.s ，0x X ∀∈，0x θ≠，则*f X ∃∈，||||1f =，00()||||f x x =．（Ⅱ）设X l.n.s ，G X ⊂是线性子空间，0x X ∈，0(,)0d x G >，则*f X ∃∈，满足（ⅰ）x G ∀∈，()0f x =；（ⅱ）0()f x d =； （ⅲ）||||1f =． 3．线性有界算子1X ，2X ——l.n.s ，1D X ⊂线性子空间，2:T D X ⊂满足 ()()()T x y T x T y αβαβ+=+．4．线性有界算子，算子范数． 5．基本定理引理：（开映射原理）：若1X ，2X 是Banach 空间，12()T B X X ∈→，且2()R T X =，则T 为开映射．① 逆算子定理：设1X ，2X 都是Banach 空间，12:T X X →满射，可逆的线性有界算子，则T 的逆算子1T -是有界算子．② 闭图像定理：设1X ，2X 都是Banach 空间，12:()T D T X X ⊂→是闭算子，其中()D T 是1X 的闭子空间，则T 是线性有界算子．③ 共鸣定理：设1X 是Banach 空间，2X 是l.n.s.{|}i X i A ∈是一族12X X →的线性有界算子，则{|||||}i T i A ∈有界1x X ⇔∀∈，{|||||}i T x i A ∈有界．6．强收敛与弱收敛① l.n.s 中的点列的强、弱收敛．（ⅰ）若||||0n x x →→，称{}n x 强收敛于x ，记为n x x →； （ⅱ）若*f X ∀∈，|()()|0n f x f x -→，称*n x x →（弱收敛）． ② 有限维空间中，强弱收敛等价． ③ 弱收敛的判别（等价条件）*n x x →⇔（ⅰ）{||||}n X 有界；（ⅱ）**M X ∃⊂（稠密），使*f M ∀∈，0|()()|0n f x f x -→．④ 算子列的各种收敛性：（ⅰ）一致收敛：||||0n T T -→； （ⅱ）强收敛：||||0n T x Tx -→；（ⅲ）弱收敛：||()()||0n f T x f Tx -→，*2f X ∀∈，1x X ∈． 特别泛函列n f ：（ⅰ）强收敛：||||0n f f -→（对应一致收敛）；（ⅱ）弱*收敛：||()()||0n f x f x -→（对应算子列强收敛）．7．共轭算子设1X ，2X 是同一数域∧上的l.n.s.12()T B X X ∈→， ***21:T X X →，如果对任何1x X ∈，*2f X ∈，都有*()()()T f x f Tx = 或 *(,)(,)x T f Tx f =成立，就称*T 是T 的共轭算子（也称伴随算子）．共轭算子的范数：定理（共轭算子的范数）：设12()T B X X ∈→，*T 是T 的共轭算子，则*T 是**21X X →的线性有界算子，且有*||||||||T T =．定理（共轭算子的性质）： （1）**()aT aT =； （2）***2112()T T T T ⋅=⋅； （3）***1212()T T T T +=+；（4）12:I X X →,则***12:I X X →． 8．自共轭算子H 是Hilbert 空间，若,x y H ∀∈，(,)(,)Tx y x Ty =．T ——自共轭算子． Th ．（自共轭算子的充要条件）：H 是复的Hilbert 空间，T 为自共轭算子x H ⇔∀∈，(,)Tx x 为实数．性质：（1）特征值为实数；T 1X *1X *T 2X *2X（2）不同特征值的特征向量正交．投影算子：0Px x =.（0x x z =+，0x M ∈，z M ⊥∈）．举 例例1．设21,X X 是s n l ..，)(21X X T →∈，则T X X B T ⇔→∈)(21应某个内部非空的有界集为有界集。
证：)(⇐设Φ≠⊂01,A X A （0A 是A 的内部）2X TA ⊂有界，取A r a O ⊂),(（Φ≠0A ），,0>r 令∞<=∈||||sup Tx Ax β，,0,1≠∈∀x X x 有),(||||1r a O x x r a ∈+-，因此β≤+-||)||||(||1x x r a T可以推出 r x r x Ta x x ra T Tx /||||2/||||||)||||(||||||β≤-+= 因此T 有界。
)(⇒显然成立。
例2．设)(Y A B T →∈，A 是X 的稠密子空间，Y 完备，则∃唯一的)(Y X B T →∈，使得||||||||,T T T T A ==。
证：X x ∈∀，取,}{A x n ⊂使)(∞→→n x x n 。
因||||||||||||n m n m x x T Tx Tx -≤-故 }{n Tx 是Y 中的Cauchy 列；由于Y 完备，必存在n n Tx ∞→lim ，记为x T ，这与}{n x 的选取无关（事实上，若)(A x x x n n ∈'→'，取},,,,{}{2211 x x x x y n ''=，x y →，则}{n Ty 为Cauchy 列，x T Ty n →，则x T x T n →'），这样就定义了一个算子Y X T →:，T 显然是线性的，且T T A =。
由||||||||||||||||lim ||||lim||||x T x T Tx x T n n n n =≤=∞→∞→故 ||||||||T T ≤，故)(Y X B T →∈。
因 ||||||||||||||||,x T x T Tx A x ≤=∈∀， 故||||||||T T ≤， 因此 ||||||||T T =。
若有某)(Y X B S →∈亦满足,T S A =则X x ∈∀，取,}{A x n ⊂，使x x n →，则x T Tx Sx n n ==∞→lim ，因此T S =（唯一性得证）。
例3．设-----Y X ,...s n l ，∞=X dim ，}0{≠Y ，则存在无界线性算子Y X T →:。
证： ∞=X dim ，∴可取线性独立的可数集,}{X x A n ⊂=可设,1||||=n x 取Y y y ∈≠,0，定义算子T ：ny Tx =T 可以自然的扩张到SpanA （如),Y x T x T Ty SpanA x x y ∈''+'=∈''+'=βαβα。
则X 可以表示B SpanAA X ⊕=，B x ∈∀定义0=Tx ，则T 是一线性算子，)(Y X T →∈，因+∞==≥=||||sup ||||sup ||||sup 1||||ny Tx Tx nn nx故T 是无界算子。
例4．设),0,0,,,,(21 n n x x x x T =，2}{l x x n ∈=∀。
证明 )(22l l B T n →∈，求||||n T 。
证： )(22l l B T n →∈显然。
||||||=x T n ||),0,0,,,,(21 n x x x ||,||x ≤因此1||||≤n T 。
另一方面，设}{i e 是2l 的标准正交基，则1||||=n e ，n n n e e T =，故||||1n e ==||||||||||||||||n n n n n T e T e T ==， 故 1||||≥n T ，故1||||=n T 。
例5．给定.)..(s n l X a ∈，令Ta T =)(ϕ（))(X X B T →∈，证明),((X X B B →∈ϕ求||||ϕ。
解：此题中，a 是固定的， T 成了“自变量”，)()()()(S T Sa Ta a S T S T βϕαϕβαβαβαϕ+=+=+=+ （))(,X X B S T →∈ 可见:ϕX X X B →→)(是线性算子。
由||||||||||||||)(||a T Ta T ≤=ϕ ))((X X B T →∈∀得 ||||||||a ≤ϕ； ∴X X X B →→∈)(ϕ。
取 I T =，得 ||||||||||||||)(||||||||||ϕϕϕ=≤==I I Ia a∴ ||||||||ϕ≤a ； ||||||||a =∴ϕ。
例6． 设Y X ,是Banach 空间，)(Y X B T →∈是一个单射，存在X x n ⊂}{，使得)(||||1||||N n x nTx n n ∈∀≤，证明)(T R 在Y 中不是闭的。
证： 用反证法。
若)(T R 在Y 中闭，则)(T R 作为Y 的子空间是一个Banach 空间，于是)(:T R X T →是一个线性等距同构（T 是单射，2121,Tx Tx x x ≠≠），由逆算子定理知，))((1X T R B T →∈-，这与以下事实相矛盾。
.||||||||||)(||1n n n Tx n x Tx T >=-例7．设X 是,..s n l 设X x k ⊂}{，*X f ∈∀，∑∞=∞<1|)(|k k x f ，证明∑∞=≤1|||||)(|k kf M xf 。
证：定义算子l X T '→*:l X ',(*均为Banach 空间），))((k x f Tf =。
若在*X 中f f n →，在l '中)(k n a a Tf =→，则必有)()(k k n x f x f →=),(N k n a k ∈∀∞→a TF =∴。
于是由闭图像定理知),(*l X B T '∈，即得证。
M T ≤∴||||，故*X f ∈∀，.||||||||f M Tf ≤ 即∑∞=≤1|||||)(|k kf M xf 。
