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共轭算子与自共轭算子
引例1 引例1 实Rn空间中的共轭算子 分析: 作映射A: 是有界线性算子， 分析 (1) 作映射 Rn→Rm，则A是有界线性算子， 且A的表现 是有界线性算子 的表现 形式为一个m× 矩阵 矩阵： 形式为一个 ×n矩阵：
∀ x = (x1,…xn)∈Rn, ∈ (2) 定义在 m上的有界线性泛函极为 Rm的共轭空间记 m)*, 即 定义在R 上的有界线性泛函极为y*, 的共轭空间记(R (Rm)*={y*|y*为Rm上的有界线性泛函 为 上的有界线性泛函} 是实的Hilbert空间，因而是自共轭的） 空间， ⇒(Rm)*=Rm (Rm是实的 空间 因而是自共轭的） ⇒∀y*∈(Rm)*, ∃y=(y1,…,ym)∈Rm, 使得 ∈ ∈
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第8页 页 3 希尔伯特空间中的自共轭算子的概念 定义3 自共轭算子 自共轭算子) 是希尔伯特空间, 定义 (自共轭算子 设H是希尔伯特空间 T: H→H是有界线性 是希尔伯特空间 → 是有界线性 算子, 算子 即T∈B(H,H), H*是H 的共轭空间 则对∀u∈H, ∈ 是 的共轭空间, 则对∀ ∈ 自共轭性)唯一 ∃g∈H*=H(自共轭性 唯一 使得 ∈ 自共轭性 唯一, ∆ g(Tx)=<Tx,u>=f(x) (∀x∈X) ∀ ∈ 从而对上述泛函f∈ 唯一, 从而对上述泛函 ∈H*, ∃u*∈H唯一 使得 ∈ 唯一 f(x)=<x,u*>, (∀x∈X) ∀ ∈ 从而对∀ ∈ 从而对∀u∈H, ∃u*∈H, 使得 <Tx,u>=<x,u*> (∀x∈X) ∈ ∀ ∈ 即定义了一个从H到 的有界线性算子 的有界线性算子T*: 即定义了一个从 到H的有界线性算子 T*: H→H, T*u=u* → 则称T*∈ 的共轭算子, 则称 ∈B(H,H)=B(H*,H*)为T∈B(H,H)的共轭算子 并有 为 ∈ 的共轭算子 <Tx,u>=<x,u*>=<x,T*u> (∀x∈X) ∀ ∈ 如果T*=T, 则有 则有<Tx,u>=<x,Tu>, 这时称 为自共轭算子 这时称T为自共轭算子 如果 或自伴算子或Hermite算子）。 算子）。 （或自伴算子或 算子
的共轭算子与自共轭算子。 求T的共轭算子与自共轭算子。 的共轭算子与自共轭算子 证：∀y=y(t)∈L2[a,b] ∈
∆ 是以K*(t,s)= K(s,t)为核的积分算子。 为核的积分算子。 即T* 是以 为核的积分算子 为实对称函数时， 当K(s,t)=K(t,s)时， 即K(t,s)为实对称函数时，T*=T, 即T 是复希尔伯特空间 时 为实对称函数时 的自共轭算子。 L2[a,b]→L2[a,b]的自共轭算子。 → 的自共轭算子
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第3页 页 求实R 求实 n空间中的共轭算子的过程图示
将实R 空间中的共轭算子进行推广，将得到Banach空间的共轭算子的概念和 将实 n空间中的共轭算子进行推广，将得到 空间的共轭算子的概念和 Hilbert空间的自共轭算子概念 空间的自共轭算子概念
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第12页 页 4 巴拿赫空间中的共轭算子的性质 定理3 是希尔伯特空间， 是有界线性算子， 定理 设H 是希尔伯特空间，T: H→H是有界线性算子，H *=H → 是有界线性算子 的共轭空间， 的共轭算子, 是H的共轭空间，T*: H*→H*, 即T*:H→H为T的共轭算子 的共轭空间 → → 为 的共轭算子 一定是有界线性算子， 则T* 一定是有界线性算子，且||T*||=||T||
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第5页 页 注: 1) T与T*之间具有一定的对称关系 与 之间具有一定的对称关系 2) 线性赋范空间中的共轭算子的图示： 线性赋范空间中的共轭算子的图示：
||x*||≤||T|| ||y*|| ≤ T*y*(x)=x*(x)=y*(Tx) 3) T**与T的关系： 与 的关系 的关系： 在讨论X和 的关系是得到如下关系： 在讨论 和X**的关系是得到如下关系： 的关系是得到如下关系 ⊂ ∀x∈X, x*∈X*⇒x**(x*)=x*(x), ||x**||X**=||x||X, X⊂X** ∈ ∈ ⇒ ⇒∀T∈B(X,Y)，T*∈B(Y*,X*), 有T**∈B(X**,Y**): ∈ ， ∈ ∈ T**x**(y*)=x**(T*y*)=T*y*(x)=y*(Tx)=(Tx)**(y*) (∀x∈X, y*∈Y*,有T*y*∈X*,Tx∈Y) ∀ ∈ ∈ 有 ∈ ∈ ⇒ (Tx)**=T**x** 4) 若把 嵌入到X**，把Y嵌入到 若把X嵌入到 嵌入到Y**, 即X⊂X**, Y⊂Y**,则可视 则可视x**=x, 嵌入到 ， 嵌入到 ⊂ ⊂ 则可视 Tx=(Tx)**= T**x**=T**x⇒ T**x=Tx, ∀x∈X. ⇒ ∈
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巴拿赫空间中的共轭算子的概念
定义1 共轭算子 共轭算子) 是线性赋范空间， 定义 (共轭算子 设X、Y是线性赋范空间，T: X→Y是有界线性 、 是线性赋范空间 → 是有界线性 算子， 是分别是X、 的共轭空间 的共轭空间， 算子，即T∈B(X,Y)，X*、Y*是分别是 、Y的共轭空间， ∈ ， 、 是分别是 则对∀ ∈ 唯一, 则对∀y*∈Y*, ∃x*∈X*唯一 使得 ∈ 唯一 x*(x)=y*(Tx), ||x*||≤||T|| ||y*|| (∀x∈X) ≤ ∀ ∈ 从而定义了一个从Y*到 的有界线性算子 的有界线性算子T*: 从而定义了一个从 到X*的有界线性算子 T*: Y*→X* , T*y*=x* → 则称T*∈ 的共轭算子(或伴随算子 则称 ∈B(Y*,X*) 为T∈B(X,Y)的共轭算子 或伴随算子 ∈ 的共轭算子 或伴随算子), T*y*(x)=x*(x)=y*(Tx) 并有 定义2 二次共轭算子 二次共轭算子) 定义 (二次共轭算子 ∀T∈B(X,Y)，T*∈B(Y*,X*), 有 ∈ ， ∈ T**∈B(X**,Y**), 使T**x**(y*)=x**(T*y*) (∀y*∈Y) ∈ ∀ ∈ 则称T** 为T*的共轭算子，或称为 的二次共轭算子。 的共轭算子， 的二次共轭算子。 则称 的共轭算子 或称为T的二次共轭算子
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是复欧式空间， 例1 设Cn是复欧式空间，A=(aij)n×n, aji= aij, I,j=1,2,…,n. 令 ×
是复希尔伯特空间C 的自共轭算子。 则A是复希尔伯特空间 n→Cn的自共轭算子。 是复希尔伯特空间 ∈ 证：∀x=(x1,…,xn), u=(u1,…,un)∈Cn
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在希尔伯特空间H中 注: 1) 在希尔伯特空间 中，T与T*之间仍具有一定的对称关系 与 之间仍具有一定的对称关系 2) 希尔伯特空间中的 自)共轭算子的图示： 希尔伯特空间中的(自 共轭算子的图示 共轭算子的图示：
<Tx,u>=<x,u*>=<x,T*u> 3) 由于希尔伯特空间的自共轭性，有H*=H, 因此此时的 实际上是上述共 由于希尔伯特空间的自共轭性 自共轭性， 因此此时的T*实际上是上述共 轭算子的特例。 轭算子的特例。
另一方面， 定理， ≠θ, 另一方面，有Hahan-Banach定理，若T≠θ 则存在 ∈Y*,使得 ||y*||=1, 定理 ≠θ 则存在y*∈ 使得 |y*(Tx)|=||Tx|| ⇒||Tx||=|y*(Tx)|=|(T*y*)(x)|≤||T*y*|| ||x||≤||T*|| ||y*|| ||x||=||T*|| ||x|| ≤ ≤ ⇒||T||≤||T*||。若T=θ⇒ ||T*||=0=||T|| ≤ 。 θ 因此 ||T*||=||T||
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第7页 页 定理2 都是线性赋范空间， 定理 设X,Y,Z 都是线性赋范空间，若T,T1∈B(X,Y), T2∈B(Y,Z), 则1) (αT)*=αT8； α α ； 2) (T2·T1)*=T1*T2*; 3) (T1+T2)*=T1*+T2*; 4) 若I:X→X是恒等算子 则I*:X*→X*也是恒等算子。 是恒等算子, 也是恒等算子。 → 是恒等算子 → 也是恒等算子 证 1）∀y*∈Y*,∀x∈X ） ∈ ∀ ∈ ⇒(αT)*y*(x)=y*(αTx)=αy*(Tx)=αT*y*(x)⇒(αT)*=αT*； α α α α ⇒α α ； 2) ∀z*∈Z*,∀x∈X ∈ ∀ ∈ ⇒(T2·T1)*z*(x)=z*(T2T1x)=z*[T2(T1x)]=T2*z*(T1x)=(T1*T2*)z*(x) ⇒(T2·T1)*=T1*T2* 3) (T1+T2)*y*(x)=y*[(T1+T2)(x)]=y*(T1x)+y*(T2x) =T1*y*(x)+T2*y*(x)=(T1*+T2*)(x) ⇒(T1+T2)*=T1*+T2* 4) I*x*(x)=x*(Ix)=x*(x) ⇒I*x*=x* 定理3 T**是T的延拓，且||T**||=||T|| 定理 是 的延拓， 的延拓 的延拓; 证 1）X⊂X**, ∀y*∈Y*,∀x∈X, 有T**x=Tx⇒T**是T的延拓 ） ⊂ ∈ ∀ ∈ ⇒ 是 的延拓 由定理1， 由定理 ，||T||=||T*||=||T**||⇒(αT)*=αT*； ⇒α α ；
所以A*=A, 即A是复希尔伯特空间 n→Cn的自共轭算子。 是复希尔伯特空间C 的自共轭算子。 所以 是复希尔伯特空间
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