工科数学分析期末试卷

(工科)数学分析B 期末试题(A 卷)一. 解以下各题〔每题6分〕1. .设)ln(),,(22z y x z y x u y ++=, 求zu y u x u ∂∂∂∂∂∂,,及全微分)2,1,(e du . 2. 求曲线32,,t z t y t x =-==的与平面0193=-++z y x 平行的切线方程.3. 将⎰⎰+=x x dy yx dx I 222101化为极坐标系下的累次积分, 并计算I 的值. 4. 判断级数∑∞=12tan 1n n n 和∑∞=-+-1)1()1(n n n n 的敛散性.二. 解以下各题〔每题7分〕1. 设函数)(u f 具有二阶连续导数, 且)sin (y e f z x =满足方程 z e yz x z x 22222=∂∂+∂∂, 求)(u f 的表达式. 2.计算第一类曲面积分⎰⎰∑=zdS I , 其中∑为锥面22y x z +=在柱体x y x 222≤+内的局部.3. 设)(x S 函数⎩⎨⎧≤<≤<-=ππx x x x f 002)(2的以π2为周期的傅里叶级数展开式的和函数, 求)3(),2(),6(),6(ππS S S S -的值.4. 计算曲线积分⎰-+=Ldz z xdy dx y I 222, 其中L 是平面2=+z x 与柱面122=+y x 的交线, 假设从z 轴正向往负向看去, L 取逆时针方向.三. (8分〕把函数)3(1)(-=x x x f 展成1-x 的幂级数, 并指出收敛域. 四. 〔8分〕设V 是由曲面z z y x 2222=++围成的立体, 其上任一点处的密度与该点到原点的距离成正比(比例系数为)k , (1)求V 的质量; (2) 求V 的质心坐标.五.〔8分〕证明曲面m xyz =0(≠m 为常数)上任一点的切平面在各坐标轴上的截距之积为常数.六.〔8分〕求幂级数∑∞=---121)12()1(n n n x n n 的收敛区间及和函数. 七. (8分)计算曲面积分,)]([])([333⎰⎰∑-+++=dxdy yz zf z dzdx y yz yf dydz x I 其中函数f 有连续的导函数, ∑为上半球面221y x z --=的上侧.八. (8分) 设函数)(y f 在+∞<<∞-y 内有连续的导函数, 且y ∀, 0)(≥y f ,1)1(=f , 对右半平面}0,),{(>+∞<<∞-x y y x 内任意一条封闭曲线Γ, 都有0)(2=+-⎰Γy f x xdy ydx , 求)(y f 的表达式.。

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《工科数学分析》2012—2013第二学期期末考试试卷（A ）1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷；本试卷共 5个 大题，满分100分， 考试时间120分钟。

一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下述函数中有可能成为二阶微分方程(,,'')0f x y y =的通解的是（ ）A ．120C x C y +=；B ．212e x yC C -=+；C ． 312eC xC y C =；D ．123ln y C x C x C =++．2．设(,)f x y 是可微函数，且(0,0)0,(0,0),(0,0)x y f f a f b ===，令()(,(,)t f t f t t ϕ=，则'(0)ϕ=（ ）A ．a ；B ．()a b a b ++；C ．1a +；D ．1ab-． 3．10d (,)d yy f x y x -⎰⎰交换积分顺序后，正确的结果是（ ）A ．0111101d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y --+⎰⎰⎰⎰； B ．1101d (,)d x f x y y ⎰⎰； C ．011d (,)d xx f x y y --⎰⎰； D ．111d (,)d xx f x y y -⎰⎰．4．设C 是右半圆周222,0,0x y a x a +=≥>，则曲线积分()d Cx y s +=⎰（ ）A ．0；B ．22a ； C ．2a ； D ．4a ． 5. 设2()(01)f x x x =≤<，而1()s i n π()nn S x bn x x ∞==-∞<<+∞∑，其中102()sin πd (1,2,)n b f x n x x n ==⋅⋅⋅⎰，则1()2S -=（ ）A ．12-；B ．14-；C ．14；D ．12．二、填空题（每小题3分，共15分）１. 微分方程2'''0yy y -=的通解为 ； ２. 设(1)arcsinx u x y y =+-，则(1,2)ux ∂=∂ ； ３. 设区域:0,0πD y x x ≤≤≤≤，则二重积分d Dx y = ；４. 已知曲线C 为22x y ax +=，则曲线积分s =⎰；５. 幂级数1(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域为 ． 三、计算题（每小题10分，共50分）１. 计算三重积分222()d I x y z V Ω=++⎰⎰⎰，其中Ω：2222x y z z ++≤．2.设∑是锥面z =被平面0z =及1z =所截部分的外侧，计算第二类曲面积分2d d d d (2)d d I x y z y z x z z x y ∑=++-⎰⎰．3.求幂级数0(21)nn n x ∞=+∑的和函数，并据此求数项级数0212nn n ∞=+∑的值．4. 求,a b 的值，使得包含圆周22(1)1x y -+=在其内部的椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠有最小的面积．5. 求微分方程''2e x y y x -=的通解．四、证明题（本题10分）证明数项级数1sin(n ∞=∑条件收敛．五、应用题（本题10分）设某山峰可由曲面2252z x y =--表示。

工科数学分析试题卷及答案考试形式（闭卷）：闭 答题时间：150 （分钟） 本卷面成绩占课程成绩 80 %一、填空题（每题2分，共20分）1．---→xx x x sin 11lim 30 3-2．若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,0,13sin )(2x a x xe x xf ax 在0=x 处连续，则a 3- 3．设01lim 23=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x ，则 =a 1 ， =b 0 4．用《δε-》语言叙述函数极限R U ⊂∈=→)(,)(lim 0x x A x f x x 的定义： εδδε)()()(:000A x f x x ∈→∈∀>∍>∀U 5．若当)1(,023+++-→cx bx ax e x x是3x 的高阶无穷小，则=a61=b21=c 1 6．设N ∈=--→n x x x f x f nx x ,1)()()(lim2000，则在0x x =处函数)(x f 取得何种极值？ 答： 极小值姓名: 班级： 学号：遵守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范7．设x x y +=，则dydx x)211(+⋅8．设x x y sin =，则=dy dx xxx x xx)sin ln (cos sin +9．⎰=+dx x x 21arctan C x +2arctan 21 10．⎰=+dx ee xx12 C e e x x ++-)1l n ( 二、选择题：（每题2分，共20分）1．设0,2)1()1l n (2s i n2t a n li m 2222≠+=-+-+-→c a e d x c xb x a x x ，则必有（ D ）（A ）d b 4=；（B ）c a 4-=；（C ）d b 4-=；（D ）c a 2-= 2．设9320:0<<>k x ，则方程112=+x kx 的根的个数为（ B ）（A ）1 ；（B ） 2 ； （C ） 3 ； （D ）03．设)(x f 连续，且0)0(>'f ，则存在0>δ使得（ A ）（A ）)(x f 在),0(δ内单增； （B ）对),0(δ∈∀x 有)0()(f x f >； （C ）对)0,(δ-∈∀有)0()(f x f >； （D ）)(x f 在)0,(δ-内单减。

河南理工大学 2010-2011 学年第 2 学期《工科数学分析》(下)试卷（A 卷）一、填空题（共28分，每小题4分）１．函数xyz z xy u -+=32在点()2,1,1处沿方向l （其方向角分别是00060,45,60）的方向导数 是 9/2 ．２．设0 < p < 1，计算级数()∑∞=--1121k k p p k =)20(,22<<-p pp3. 函数())sin(,22y x y x f +=在点)0,0(的泰勒公式（到二阶为止）为()()()2222,y x y x y x f +=++=ρρο４．函数()xx f 3=的幂级数展开式为∑∞=0!3ln n nn x n ．5.设()⎰-=22x xxy dy ex F ,则=')(x F ()⎰----+-223522x xxy x x dy ey ex e６．()⎰C ds x =()15532-，其中（C ）为抛物线x y =从点()0,0到点()1,1的一段弧。

7．微分方程()02='+''y y ，满足初始条件1,000='===x x y y 的特解为1ln y +=x 。

二、解答题（共50分，每小题10分）1、 设()v u ,Φ具有连续偏导数，函数()y x z ,由隐方程()bz cy az cx --Φ,=0确定，求yz b x z a∂∂+∂∂。

解：将隐方程两边全微分可得：()()()()()0,2121=-⋅Φ'+-⋅Φ'=-⋅Φ'+-⋅Φ'=--Φbdz cdy adz cdx bz cy d az cx d bz cy az cx d ………………………………………………3分 整理得：dy b a c dx b a c dz 212211Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'=……………………………………6分所以，212211,Φ'+Φ'Φ'=∂∂Φ'+Φ'Φ'=∂∂b a c y zb ac x z …………………………………………8分 y zb x z a ∂∂+∂∂=c b a c b b a c a =Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'212211,………………………………………10分2、 判定正项级数∑⎰∞=+1141n n dx x x的敛散性。

工科数学分析（下）期末考试模拟试题姓名：___________得分: _________一、填空题（每小题3分，满分18分）1、设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为_________.2.,,,-__________.222L L xdy ydx L x y=⎰+Ñ设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分1,()cc x y x y ds +=+=⎰Ñ3.设曲线为则曲线积分 ___________4、微分方程2(3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________5、2sin(xy)(y)______________.y yF dx x=⎰的导数为 6、{,01,0x (x),2x e x f x ππππ--≤<≤≤==则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_____________.二、计算下列各题（每小题6分，满分18分） 1. (1) 求极限lim0→→y x ()xy yx y x sin 11232+-(2) 220)(lim 22y x x y x y +→→2.设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求xvx u ∂∂⋅∂∂（中间为乘号）.3..222V z x y z V +=设是由所围成的立体,求的体积.三、判断积数收敛性（每小题4分，共8分）1. ∑∞=1!.2n n n nn2.∑∞=-1!2)1(2n n nn四、（本小题8分）求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k u r r r u r 穿过球面∑： 222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量； 五、（本小题7分）2(1sin )cos ,(0,1)(0,1)y y lx e x dy e xdx l x A B +--=-⎰计算其中为半圆到的一段弧。

A一、计算题（每小题6分，共60分）1、已知函数2u x yz =+，求梯度grad u 及其梯度的散度().div grad u 解：,2,,u u u x z y x y z∂∂∂===∂∂∂{2,,},grad u x z y =---------------------------------------------------------3分()()()() 2.grad u grad u grad u div grad u x y z∂∂∂=++=∂∂∂--------------------3分2、设曲线22:=14x L y +的周长为l ，求2(2).Lx y ds +⎰ 解：222(2)(4)444.LLLLx y ds x y ds xyds ds l +=++==⎰⎰⎰⎰ 3、设D 是由1,0==y x 及x y =围成的区域，计算22.y Dx e dxdy -⎰⎰解：因为2_y e dy ⎰无法用初等函数表示，所以积分时必须考虑次序，2222321112_2200..3312(1).3yy y y y Dy y x edxdy dy x edx ee dy e---====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰4、设222:,r D x y r +≤求22201lim cos().rx y r D ex y dxdy r+-→+⎰⎰解：由积分中值定理，存在(,),r D ξη∈使得22222cos()cos().rx y D e x y dxdy e r ξηξηπ--+=+⎰⎰于是原式=2220lim cos()..r e r ξηξηππ+-→+=5、设Ω为椭球体,1222222≤++c z b y a x 计算2().x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰解法一：作广义极坐标变换：Asin cos :sin sin cos x ar T y br z cr ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩则T 的Jacobi 行列式为2J(,,)sin r abcr ϕθϕ=所以2222222()[()222]()x y z dxdydzx y z xy xz yz dxdydz x y z dxdydzΩΩΩ++=+++++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2122222222402222222222002222220222(sin cos sin sin cos )sin 2(sin cos sin sin cos )sin 52(2cos 2sin )54().15d d a b c abcr drabc d a b c d abc a b c d abc a b c πππππθϕϕθϕθϕϕθϕθϕθϕϕϕθθθπ=++=++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法二因为2222()()222,x y z x y z xy xz yz ++=+++++且,,xy xz yz 分别关于,,x y z 的奇函数，所以20,20,20.xydxdydz xzdxdydz yzdxdydz ΩΩΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是2222222()[()222]()x y z dxdydzx y z xy xz yz dxdydz x y z dxdydzΩΩΩ++=+++++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为22zccD z dxdydz z dz dxdy-Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中222222{(,)|1}.z x y z D x y a b c=+≤-于是2222324(1),15zccc c D z z dxdydz z dz dxdy ab z dz abc c ππ--Ω==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰同理，232344,1515x dxdydz a bc y dxdydz ab c ππΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰故22224()().15x y z dxdydz abc a b c πΩ++=++⎰⎰⎰6、计算积分22(),x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由2z z ==围成的区域.解：作柱面坐标变换:cos ,sin ,T x r y r z zθθ===则积分区域Ω的表达式变为{(,,)|2,02,02},r z r z r θθπΩ=≤≤≤≤≤≤因此222223016().5rx y dxdydz dr d r dz πθπΩ+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰7、计算22,Lxydx x dy +⎰其中L 为有向折线OAB ，这里,,O A B 依次是点(0,0),(1,0),(1,1).解：222222LOAABxydx x dy xydx x dy xydx x dy+=+++⎰⎰⎰100(2.01)1.y dy=++=⎰8、设Ω是由球面2224x y z ++=和平面0,0,0x y z ===所围成的在第一卦限的空间区域，则三重积分222()d f x y z V Ω++⎰⎰⎰在球坐标系下的累次积分为解222220()sin d d f r r drππϕθθ⎰⎰⎰9、计算曲面积分222,x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰其中∑是球面2222(0)x y z R z ++=≥的上侧.解法一：因为∑是关于Oyz 平面对称的上半球面，所以∑上关于Oyz 平面对称的元素i ∆∑在Oyz 平面上的有向投影i σ∆正好抵消，被积函数关于x 是偶函数，故由定义可得，20.x dydz ∑=⎰⎰同理，20.y dzdx ∑=⎰⎰所以原式=22222222224()().2Rx y R z dxdy R x y dxdy d R r rdr R π∑πθ+≤=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法二222222224()().2xyxyD D Rz dxdy z dxdy R x y dxdyd R r rdr R ∑ππθ==--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰又2222222()()0,yzyzD D x dydz R z y dydz R z y dydz ∑=-----=⎰⎰⎰⎰⎰⎰同理,2222222()()0,zxzxD D x dydz R z x dydz R z x dydz ∑=-----=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以，原式4.2R π=解法三原式=22222222222240{((}00()().2xyD Rx y Rx y z dxdyR x y dxdy d R r rdr ππθ+≤+-+=++--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰10求向量场222(,,)A x yz xy z xyz =的旋度.解：222222222((),(),())ij k rotA x z y y x z z y x x y z x yzx y zx yz ∂∂∂==---∂∂∂二、（本题满分10分）设(,)f x y 在2214x y +≤上具有连续的二阶偏导数，L 是椭圆2214x y +=的顺时针方向，求[3(,)](,)xyLy f x y dx fx y dy ++⎰的值.（利用Green 公式）解：(,)3(,),(,)(,),x y P x y y f x y Q x y f x y =+=---------------------------------------2分则(,)(,)3(,),(,),xy yx P x y Q x y f x y f x y yx∂∂=+=∂∂----------------------------4分由Green 公式得,[3(,)](,)36.xyLDy f x y dx fx y dy dxdy π ++=--=⎰⎰⎰-----------------------10分三、（本题满分10分）利用Gauss 公式计算32222cos cos cos ,()x y z dS x y z αβγ∑++++⎰⎰其中∑是包含原点的曲面222(1)(2)(3)191625x y z ---++=的外侧，cos ,cos ,cos αβγ是其外法线向量的方向余弦.解：332222222232222(,,)(,,),()()(,,)()x y P x y z Q x y z x y z x y z z R x y z x y z ==++++=++-----------------------2分对充分小的0,ε>取22221:x y z ε∑++=（取内侧），-------------------------------4分使1∑位于∑内的内区域中，记Ω为∑与1∑所围有界区域，则11332222222232222cos cos cos cos cos cos ()()cos cos cos ()x y z x y z dS dSx y z x y z x y z dS x y z αβγαβγαβγ∑∑+∑∑++++=++++++-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------7分1222233++10(cos cos cos )134.x y z dV x y z dSdV εαβγεπεΩ∑≤=-++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---------------------------------------------10分四、（本题满分10分）利用Stokes 公式计算积分222222()()()I y z dx z x dy x y dz Γ=-+-+-⎰ ，其中Γ为平面1x y z ++=与三个坐标平面的交线，从第一卦限向原点看逆时针方向．四、解：222222P(,,)=,(,,)R(,,)=,x y z y z Q x y z x z x y z y x +=++，且cos αβγ===---------------------------------------------4分则222222cos cos cos 3().2SSI dS x y z dS dS xyzy z z x x yαβγ∂∂∂==-++=-=-∂∂∂---⎰⎰-------10分或222222Sdydzdzdx dxdyI x y z y z z x x y∂∂∂∴=∂∂∂---⎰⎰2()()()...S y z dydz z x dzdx x y dxdy =-+++++=⎰⎰．五、（本题满分10分）设曲线积分2()Lxy dx yf x dy +⎰与路径无关，其中()f x 具有连续导数，且(0)0,f =求()f x 的表达式并计算(2,2)2(0,0)()xy dx yf x dy +⎰的值.解：令2P(,)=,(,)()x y xy Q x y yf x =则'P(,)(,)2,()x y Q x y xy y f x y x∂∂==∂∂------------------------------------2分因为P(,)(,),x y Q x y y x∂∂=∂∂所以有'2(),x f x =-------------------------------------------------4分解得，2(),f x x C =+又由于(0)0,f =知20,().C f x x ==----------------------------------------------------------6分(2,2)(2,2)222(0,0)(0,0)222()(..)8.xy dx yf x dy xy dx yx dyx x x x dx +=+=+=⎰⎰⎰-------------------------------------------10分六、（附加题满分10分）设22:0L x y x y +++=的方向为逆时针方向，证明：22sin +cos 2L y x dx x y dy π≤-≤⎰证明：令由22:0L x y x y +++=围成的区域为,D 由GREEN 公式得222222sin +cos (sin cos )sin cos LDDDy x dx x y dy x y dxdyx dxdy x dxdy-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---------4分2),4Dx dxdy π=+⎰⎰-----------------------------------------6分又(,),x y D ∈于是有1||,2x ≤从而2,2x π≤所以23,444x πππ<+≤------------------------------------------------------8分于是2sin(1,24x π<+≤且2(),2S D ππ==---------------------------------------10分故命题得证.。

课程编号：MTH17004, MTH17006北京理工大学2010-2011学年第二学期工科数学分析期末试题（A 卷）班级_______________ 学号_________________ 姓名__________________(本试卷共6页, 十一个大题，试卷后面空白纸撕下作草稿纸)一. 填空题（每小题2分, 共10分）1. 已知3||=a ，26||=b ，72||=⨯b a，且a 与b 的夹角是钝角，则=⋅b a ______。

2. 设x yz ye y x u z ln 2++=，则=)1,1,1()grad (div u ______________。

3. 已知向量c b a,,不共面，但向量c a c b b a +++λ,,2共面，则=λ _________。

4. 设L 是曲线1,,3===z t y t x 上从)1,0,0(A 到)1,8,2(B 的一段，若将⎰++=Lzdz ydy dx x I 2化成第一类曲线积分，则有=I _________________________。

5. 变量替换x y v x u ==,可将微分方程z yzy x z x =∂∂+∂∂化成 ________________________。

二. (9分) 交换积分次序并计算⎰⎰=yyxdx xe dy I 1。

三. (9分) 求函数y y y x y x f -+=2221),(的极值和极值点。

四. (9分)设方程523=+-y xz z 确定函数),(y x z z =，求yx z∂∂∂2。

五. (9分) 在曲面xy z =上求一点，使曲面在此点处的切平面垂直于直线13211zy x =-=+，并写出切平面方程。

六. (8分) 证明方程0ln 1=+-xdy x dx yx y y 是全微分方程，并求出通解。

七. (10分) 求幂级数∑∞=-+11)1(n n x n n 的收敛域及和函数。

诚信应考，考试作弊将带来严重后果！华南理工大学本科生期末考试《工科数学分析（二）》2016-2017学年第二学期期末考试试卷A 卷注意事项：1. 开考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上； 3．考试形式：闭卷；4. 本试卷共5大题，满分100分，考试时间120分钟。

一、 填空题：共5题，每题2分，共10分.1. 函数22(,)2f x y x y =+在点(1,1)处沿该点的梯度方向的方向导数为 ;2. 向量场(23)(3)(2)x y x z y x -+-+-i j k 的旋度向量为 ;3. 设∑表示球面2222x y z R ++=的外侧，则第二类曲面积分d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰ ;4. 初值问题sin 0'cos e1xx y y x y -=⎧+=⎪⎨=⎪⎩的解为 ;5. 设()f x 是周期为2的周期函数，它在(1,1]-上的表达式32,10,()1,01,x f x x x -<⎧=⎨+<⎩则()f x 的傅里叶(Fourier)级数在0x =处收敛于 .二、 单选题（每题只有一个正确选项）：共5题，每题2分，共10分.1、 二元函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处（ ）;A. 连续，偏导数存在B. 不连续，偏导数存在C. 连续，偏导数不存在D. 不连续，偏导数不存在2、 曲线22291x y z x y z ⎧++=⎨+=-⎩在点(1,2,2)M 处的切线一定平行于（ ）;A. Oxy 平面B. Oyz 平面C. Ozx 平面D. 平面1x y z -+=3、 设D 是一个有界的平面闭区域，其边界曲线Γ分段光滑，则下列积分值不等于区域D 的面积的是（ ）;A. d y x Γ⎰B.1d d 2x y y x Γ-⎰ C.d x y Γ⎰D.1d d Dx y ⎰⎰4、 关于未知函数y 的微分方程(sin )d d 0y x x x y -+=是（ ）;A. 可分离变量方程B. 一阶非齐次线性方程C. 一阶齐次线性方程D. 非线性方程5、 使得级数1(1)npn n∞=-∑条件收敛的常数p 的取值范围是（ ）. A. 0pB. 01p <<C. 01p <D. 1p >三、 计算题：共4题，每题7分，共28分.1. 设函数(,,)u f x y z =有连续的偏导数，函数()y y x =和()z z x =分别由方程exyy =和e z xz =确定，计算d d u x.2. 计算累次积分24212d d d d .22xxxx y x y yyππ+⎰⎰3. 计算三重积分d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由上半球面2222,0,0xy z R z R ++=>和锥面z =所围成的闭区域.4. 计算第二类曲线积分22d d xy y x y x Γ-⎰，其中Γ为椭圆2241x y +=取逆时针方向.四、 解答题：共4题，每题8分，共32分1. 设二阶常系数线性微分方程e xy y y αβ'''++=-的一个特解为(1)e xy x =+，试确定常数,,αβ并求该方程的通解.2. 已知螺旋形弹簧一圈的方程为：cos ,sin ,,02,x a t y a t z bt t π===其中,a b 为大于零的常数，且弹簧上各点处的线密度等于该点到Oxy 平面的距离，求此弹簧的质心坐标.3. 求上半球面2222,0x y z a z ++=被柱面22x y ax +=截下的部分的面积.4. 将函数()arctan f x x =展开为x 的幂级数.四、证明题：共2题，每题6分，共12分.1. 设函数(,)f ξη具有连续的二阶偏导数，且满足22220f fξη∂∂+=∂∂. 证明：函数22(,2)z f x y xy =-满足22220z zx y∂∂+=∂∂.2. 证明：函数项级数(1)nn x x∞=-∑在区间(0,1)上点态收敛，但不一致收敛.五、应用题：共1题，共8分.求曲线221z x yyx⎧=+⎪⎨=⎪⎩上到Oxy平面距离最近的点.。

工科数学分析（下）期末考试模拟试题姓名：___________得分: _________一、填空题（每小题3分，满分18分）1、设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为_________.2.,,,-__________.222L L xdy ydx L x y =⎰+设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分1,()cc x y x y ds +=+=⎰3.设曲线为则曲线积分 ___________4、微分方程2(3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________5、2sin(xy)(y)______________.y yF dx x=⎰的导数为 6、{,01,0x (x),2x e x f x ππππ--≤<≤≤==则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_____________.二、计算下列各题（每小题6分，满分18分） 1. (1) 求极限lim0→→y x ()xy yx y x sin 11232+-(2) 220)(lim 22y x x y x y +→→2.设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求xvx u ∂∂⋅∂∂（中间为乘号）.3..222V z x y z V +=设是由所围成的立体,求的体积.三、判断积数收敛性（每小题4分，共8分）1. ∑∞=1!.2n n n nn2.∑∞=-1!2)1(2n n nn四、（本小题8分）求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k 穿过球面∑：222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量； 五、（本小题7分）2(1sin )cos ,(0,1)(0,1)y y lx e x dy e xdx l x A B +--=-⎰计算其中为半圆到的一段弧。

《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷诚信应考，考试作弊将带来严重后果！华南理工大学本科生期末考试 《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷（A ）卷注意事项：1. 开考前请将密封线内各项信息填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 5个 大题，满分100分， 考试时间120分钟。

《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷一、填空题（每小题3分，共15分） １. 函数()1212x xe ef x e e+=-的间断点及其类型为0x =是跳跃间断点，12x =是无穷间断点；２. 已知函数()y y x =由方程yxx y =所确定，则曲线()y y x =在点()1,1处的切《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷线方程为0x y -= ；３. 设xy xe =，则()n d y =()xnx n e dx + ；４. 220x t d e dt dx -⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰42x xe - ；５. 反常积分()22ln dx x x +∞=⎰1ln 2．二、计算下列各题（每小题8分，共16分） 1. 求极限()11limxx x ex→+-《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷解：()()()()()()()11ln 101ln 12001limlim1ln 1lim 41ln 1lim 6282x xxx x x x x x x eeexxx x x e x x x e x e +→→+→→+--=-++=⋅+-+==-分分分或()()()1ln 1110020011lim lim ln 1lim 4111lim 6282x x x x x x x e e x e x xx x e x x e x e +-→→→→⎡⎤-⎢⎥+-⎣⎦=+-=-+==-分分分2.计算定积分21dxx ⎰ 解：2321434tan,sec,cos4sin16sin t83x t dx tdttdttππππ===⎰⎰令则分＝－分分三、解答下列各题（每小题10分，共40分）1.设()1110,1,2,,nx x n+===试证明数列{}n x收敛，并求lim.nnx→∞证明：（1）()1110343,3,1,2,nx x x n=≥=≥≥=，用归纳法可证，即数列{}nx有下界；3分（2）1320,n n nx xx x x+-+-==<即，数列{}n x 单调减少。