高中数学人教版选修2-1课后训练:2-3-1 双曲线及其标准方程 Word版含解析
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技能演练基 础 强 化1.双曲线x 29-y 2m =1的焦距是10,则实数m 的值为( )A .-16B .4C .16D .81解析 2c =10,∴c =5,∴9+m =25,∴m =16. 答案 C2.已知双曲线x 29-y 216=1上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3,则P 到另一个焦点的距离为( )A .3B .5C .6D .9解析 由双曲线的定义知||PF 1|-|PF 2||=6,观察选项知D 正确. 答案 D3.若k ∈R ,则“k >3”是“方程x 2k -3-y 2k +3=1表示双曲线”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件解析 当k >3时,k -3>0,k +3>0,∴方程x 2k -3-y 2k +3=1表示双曲线.反之,若该方程表示双曲线,则(k -3)(k +3)>0,∴k >3,或k<-3.故k>3是方程x2k-3-y2k+3=1表示双曲线的充分不必要条件.答案 A4.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,在左支上过F1的弦AB的长为5,若2a=8,那么△ABF2的周长是() A.16 B.18C.21 D.26解析如图所示,由双曲线的定义知,|AF2|-|AF1|=8,(1)|BF2|-|BF1|=8,(2)又|AF1|+|BF1|=|AB|=5,(3)∴由(1),(2),(3)得|AF2|+|BF2|=21.故△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=26.答案 D5.双曲线x210-y22=1的焦距为()A .3 2B .4 2C .3 3D .4 3解析 由双曲线x 210-y 22=1,知c 2=12,∴c =23,∴2c =4 3. 答案 D6.已知双曲线的焦点在y 轴上,且它的一个焦点在直线5x -2y +20=0上,两焦点关于原点对称,c a =53,则双曲线的方程为( )A.x 236-y 264=1 B.x 264-y 236=1 C.x 236-y 264=-1 D.x 264-y 236=-1 解析 令x =0,y =10,∴双曲线的焦点坐标F 1(0,-10),F 2(0,10),∴c =10,又c a =53,∴a =6,∴b 2=c 2-a 2=100-36=64,故双曲线方程为y 236-x 264=1,故选D.答案 D7.已知双曲线的焦点在y 轴上,且a +c =9,b =3,则它的标准方程是__________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a +c =9,b =3,c 2=a 2+b 2,得a =4,b =3,又焦点在y 轴上,∴所求双曲线方程为y 216-x 29=1.答案 y 216-x 29=18.双曲线x 2m 2-4-y 2m +1=1的焦点在y 轴上,则m 的取值范围是__________.解析依题意得⎩⎨⎧m +1<0,m 2-4<0,⇒⎩⎨⎧m <-1,-2<m <2,⇒-2<m <-1. 答案 (-2,-1)能 力 提 升9.已知定点A (3,0)和定圆C :(x +3)2+y 2=16,动圆和圆C 相外切,并且过点A ,求动圆圆心P 的轨迹方程.解 设P 的坐标为(x ,y ). ∵圆P 与圆C 外切且过点A , ∴|PC |-|PA |=4.∵|AC |=(3+3)2+0=6>4,∴点P 的轨迹是以C ,A 为焦点,实轴长为2a =4的双曲线的右支,∵a =2,c =3, ∴b 2=c 2-a 2=5.∴动圆圆心P 的轨迹方程为x 24-y 25=1(x ≥2).10.求与双曲线x 24-y 22=1有相同的焦点,且过点P (2,1)的双曲线的方程.解 方法1:设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),由题意知,c 2=4+2=6,又点P (2,1)在双曲线上,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2=6,4a 2-1b 2=1,解得⎩⎨⎧a 2=3,b 2=3.故所求的双曲线方程为x 23-y 23=1.方法2:∵所求的双曲线与x 24-y 22=1有相同的焦点,∴可设双曲线方程为x 24-λ-y 22+λ=1(-2<λ<4).∵双曲线过点P (2,1), ∴44-λ-12+λ=1, 解得λ=1,或λ=-4(舍去). 故所求的双曲线方程为x 23-y 23=1.品 味 高 考11.(2010·安徽)双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为( )A .(22,0)B .(52,0)C .(62,0)D .(3,0)解析 双曲线x 2-2y 2=1化为标准形式,得x 2-y212=1,∴a 2=1,b 2=12.∴c 2=a 2+b 2=32.∴c =62.故右焦点坐标为(62,0).答案 C12.(2010·全国Ⅰ)已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=1的左、右焦点,P 点在C 上,∠F 1PF 2=60°,则P 到x 轴的距离为( )A.32B.62C. 3D. 6解析 设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,不妨设m >n ,P (x ,y ),|PF 1|-|PF 2|=m -n =2.在△F 1PF 2中,由余弦定理得(22)2=m 2+n 2-2mn cos60°, ∴8=(m -n )2+mn . ∴mn =4.由△F 1PF 2的面积相等,得 12×22×|y |=12mn sin60°,即2|y|=12×4×3 2.∴|y|=62.即P到x轴的距离为62. 答案 B。
§ 2.3双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.1.双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线.平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为________________________________________________________________________. 平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________. (2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做__________________,两焦点间的距离叫做__________________. 2.双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是______________________,焦点F 1__________,F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________,焦点F 1__________,F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________.一、选择题1.已知平面上定点F 1、F 2及动点M ,命题甲:||MF 1|-|MF 2||=2a(a 为常数),命题乙:M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线,则甲是乙的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 2.若ax 2+by 2=b(ab<0),则这个曲线是( ) A .双曲线,焦点在x 轴上 B .双曲线,焦点在y 轴上C .椭圆,焦点在x 轴上D .椭圆,焦点在y 轴上3.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A .x 2-y 23=1 B .x 23-y 2=1C .y 2-x 23=1 D .x 22-y 22=14.双曲线x 2m -y23+m=1的一个焦点为(2,0),则m 的值为( )A .12B .1或3C .1+22D .2-125.一动圆与两圆:x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为( )A .抛物线B .圆C .双曲线的一支D .椭圆6.已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(-5,0),点P 位于该双曲线上,线段PF 1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是( ) A .x 24-y 2=1 B .x 2-y 24=1 C .x 22-y 23=1 D .x 23-y22=1二、填空题8.已知方程x 21+k -y 21-k=1表示双曲线,则k 的取值范围是________.9.F 1、F 2是双曲线x 29-y 216=1的两个焦点,P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|=32,则∠F 1PF 2=________________________________________________________________________. 三、解答题10.设双曲线与椭圆x 227+y 236=1有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A 的纵坐标为4,求此双曲线的标准方程.11.在△ABC 中,B(4,0)、C(-4,0),动点A 满足sin B -sin C =12sin A ,求动点A 的轨迹方程.能力提升A .[3-23,+∞)B .[3+23,+∞)C .[-74,+∞)D .[74,+∞)13.已知双曲线的一个焦点为F(7,0),直线y =x -1与其相交于M ,N 两点,MN 中点的横坐标为-23,求双曲线的标准方程.1.双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得.2.和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解,也要和双曲线的定义相结合.3.直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求),利用韦达定理,弦长公式等解决.§2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程知识梳理1.(1)|F 1F 2| 以F 1,F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2.(1)x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0) (-c,0) (c,0)(2)y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0) (0,-c ) (0,c ) (3)c 2=a 2+b 2 作业设计1.B [根据双曲线的定义,乙⇒甲,但甲 乙, 只有当2a <|F 1F 2|且a ≠0时,其轨迹才是双曲线.]2.B [原方程可化为x 2b a+y 2=1,因为ab <0,所以ba <0,所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线,故选B.]3.A [∵双曲线的焦点在x 轴上,∴设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0).由题知c =2,∴a 2+b 2=4.①又点(2,3)在双曲线上,∴22a 2-32b2=1.②由①②解得a 2=1,b 2=3,∴所求双曲线的标准方程为x 2-y 23=1.] 4.A [∵双曲线的焦点为(2,0),在x 轴上且c =2,∴m +3+m =c 2=4.∴m =12.]5.C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0),O 2(4,0),设动圆圆心为O ,动圆半径为r ,则|OO 1|=r +1,|OO 2|=r +2,∴|OO 2|-|OO 1|=1<|O 1O 2|=4,故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.]6.B [设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1,因为c =5,c 2=a 2+b 2,所以b 2=5-a 2,所以x 2a 2-y 25-a 2=1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2),则P 点的坐标为(5,4).代入双曲线方程得5a 2-165-a 2=1,解得a 2=1或a 2=25(舍去),所以双曲线方程为x 2-y 24=1.故选B.]7.2解析 ∵||PF 1|-|PF 2||=4,又PF 1⊥PF 2,|F 1F 2|=25, ∴|PF 1|2+|PF 2|2=20,∴(|PF 1|-|PF 2|)2 =20-2|PF 1||PF 2|=16,∴|PF 1|·|PF 2|=2. 8.-1<k <1解析 因为方程x 21+k -y 21-k=1表示双曲线,所以(1+k )(1-k )>0.所以(k +1)(k -1)<0.所以-1<k <1. 9.90°解析 设∠F 1PF 2=α,|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2. 在△F 1PF 2中,由余弦定理,得(2c )2=r 21+r 22-2r 1r 2cos α,∴cos α=(r 1-r 2)2+2r 1r 2-4c 22r 1r 2=36+64-10064=0.∴α=90°.10.解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2-x 2b2=1 (a >0,b >0),由题意知c 2=36-27=9,c =3.又点A 的纵坐标为4,则横坐标为±15,于是有 ⎩⎪⎨⎪⎧42a 2-(±15)2b 2=1,a 2+b 2=9,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=4,b 2=5.所以双曲线的标准方程为y 24-x 25=1.方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15,4), 又两焦点分别为F 1(0,3),F 2(0,-3). 所以2a =|(±15-0)2+(4+3)2-(±15-0)2+(4-3)2|=4, 即a =2,b 2=c 2-a 2=9-4=5,所以双曲线的标准方程为y 24-x 25=1.11.解 设A 点的坐标为(x ,y ),在△ABC 中,由正弦定理,得a sin A =b sin B =c sin C =2R ,代入sin B -sin C =12sin A , 得|AC |2R -|AB |2R =12·|BC |2R ,又|BC |=8, 所以|AC |-|AB |=4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a =4,2c =8,所以a =2,c =4,b 2=12.所以A 点的轨迹方程为x 24-y 212=1 (x >2).12.B[由c =2得a 2+1=4, ∴a 2=3,∴双曲线方程为x 23-y 2=1.设P (x ,y )(x ≥3),13.解 设双曲线的标准方程为x 2a 2-y2b2=1,且c =7,则a 2+b 2=7.①由MN 中点的横坐标为-23知,中点坐标为⎝⎛⎭⎫-23,-53. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则由⎩⎨⎧x 21a 2-y 21b 2=1,x 22a 2-y 22b 2=1,得b 2(x 1+x 2)(x 1-x 2)-a 2(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0.∵⎩⎨⎧x 1+x 2=-43y 1+y 2=-103,且y 1-y 2x 1-x 2=1,∴2b 2=5a 2.②由①,②求得a 2=2,b 2=5.∴所求双曲线的标准方程为x 22-y 25=1.。
绝密★启用前2.3.1双曲线及其标准方程一、选择题1.【题文】双曲线x y 222-=8的焦点坐标是( )A.()23,0± B.()0,23± C.()2,0± D.()0,2±2.【题文】若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线E 上,且13PF =,则2PF 等于 ( )A .11B .9C .5D .33.【题文】下列曲线中焦点坐标为()1,0-的是( )A .223312x y -=B .2214x y +=C .22143x y -= D .22123x y +=4.【题文】若双曲线22149x y -=上一点P 到左焦点的距离是3,则点P 到右焦点的距离为 ( )A .4B .5C .6D .75.【题文】过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于P 、Q 点,若7PQ =,2F 是双曲线的右焦点,则△2PF Q 的周长是( )A .28B .1482-C .1482+D .826.【题文】椭圆2214x y +=与双曲线2212x y -=有相同的焦点1F 、2F ,P 是这两条曲线的一个交点,则△12F PF 的面积是( )A .4B .2C .1D .127.【题文】过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F ,作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ,切点为T ,若1PF 的中点M 在第一象限,则以下结论正确的是( )A .b a MO MT -=-B .b a MO MT ->-C .b a MO MT -<-D .b a MO MT -=+8.【题文】已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上一点,12,F F 分别为双曲线的左,右焦点,且212b F F a=,I 为三角形12PF F 的内心,若1212IPF IPF IF F S SSλ=+成立,则λ的值为( )A .1222+ B .231- C .21- D .21+二、填空题9.【题文】设m 为常数,若点()5,0F 是双曲线2219x y m-=的一个焦点,则m = .10.【题文】已知双曲线221x y -=,点1F ,2F 为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若12PF PF ⊥,则12PF PF +=_______.11.【题文】若动圆M 与圆1C :()224+2x+y =外切,且与圆2C :()224+2x y -=内切,则动圆圆心M 的轨迹方程________.三、解答题12.【题文】求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程.13.【题文】已知命题p :方程22122x y m m -=-表示焦点在x 轴上的双曲线.命题q :曲线()2231y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点,若p q ∧为假命题,p q ∨为真命题,求实数m 的取值范围.14.【题文】已知()12,0F -,()22,0F ,点P 满足122PF PF -=,记点P 的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程;(2)若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点,无论直线l 绕点2F 怎样转动,在x 轴上总存在定点(),0M m ,使MP MQ ⊥恒成立,求实数m 的值.2.3.1双曲线及其标准方程参考答案及解析1.【答案】A【解析】双曲线方程整理为222221,4,8,12,2348x ya b c c-=∴==∴=∴=,焦点为()23,0±,故选A.考点:双曲线方程及性质.【题型】选择题 【难度】较易 2. 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==,即236PF -=,解得29PF =, 故选B .考点:双曲线的标准方程和定义. 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】A【解析】双曲线223312x y -=中,223a =,213b =,故2221c a b =+=,焦点为()1,0±,符合题意;椭圆2214x y +=中,焦点为()3,0±,不符合题意;双曲线22143x y -=中,焦点为()7,0±,不符合题意;椭圆22123x y +=中,焦点为()0,1±,不符合题意.故选A.考点:椭圆与双曲线的焦点坐标. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】D【解析】由双曲线方程可知2224,9,13,2,3,13a b c a b c ==∴=∴===,P 到左焦点的距离是3,所以P 在左支上且11223,4,34,PF PF PF PF =∴-=∴-=27PF ∴=.考点:双曲线定义及方程. 【题型】选择题 【难度】较易 5. 【答案】C【解析】由双曲线方程可知22a b ==,884c =+=,根据双曲线的定义, 得2142PF PF -=,2142QF QF -=,∴2142PF PF =+,2142QF QF =+,相加可得221182PF QF PF QF +=++, ∵117PF QF PQ +==,∴22782PF QF +=+,因此△2PF Q 的 周长2278271482PF QF PQ =++=++=+,故选C .考点:双曲线的定义. 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】C【解析】联立两方程得22221,41,2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得33y =,由题意可知1223F F =,所以121323123F PF S =⨯⨯=△.考点:焦点三角形的面积. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】A【解析】连接OT ,则1OT PF ⊥,在1FTO △中,1TF b =.连接2PF , 在12PF F △中,O 、M 分别是12F F 、1PF 的中点,所以212OM PF =, ()()21121111122222MO MT PF PF TF PF PF b a b b a ⎛⎫∴-=--=-+=-+=- ⎪⎝⎭,故 选A .考点:双曲线的定义,直线与圆相切. 【题型】选择题 【难度】较难 8. 【答案】C【解析】设△12PF F 的内切圆半径为r ,由双曲线的定义得12122,2PF PF a F F c -==,1112IPF SPF r =⋅,2212IPF S PF r =⋅,12122IF F S c r cr =⋅⋅=.由题意得:121122PF r PF r cr λ⋅=⋅+,∴122PF PF a c c λ-==,又2122b F F c a==, ∴222c a ac -=,∴21acλ==-,故选C . 考点:双曲线定义的应用. 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】16【解析】由点()5,0F 是双曲线2219x y m -=的一个焦点及222c a b =+可得,259m =+,解得16m =.考点:双曲线的标准方程. 【题型】填空题 【难度】较易 10. 【答案】23【解析】设点P 在双曲线的右支上,因为12PF PF ⊥,所以()2221222PF PF =+,又因为122PF PF -=,所以()2124PF PF -=,可得1224PF PF ⋅=, 则()222121212212PF PF PF PF PF PF +=++⋅=,所以1223PF PF +=. 考点:双曲线定义的应用. 【题型】填空题 【难度】一般11. 【答案】()2212214x y x -=≥ 【解析】设动圆M 的半径为r ,则由已知1+2MC r =,22MC r =-, ∴1222MC MC -=.又()14,0C -,()24,0C ,∴128C C =.∴1222C C <.根据双曲线的定义知,点M 的轨迹是以()14,0C -、()24,0C 为焦点的双曲线的右支.∵2a =,4c =,∴22214b c a =-=,∴点M 的轨迹方程是()2212214x y x -=≥.考点:求轨迹方程. 【题型】填空题 【难度】一般12. 【答案】22135x y -= 【解析】由椭圆的方程为22185x y +=可知8,5a b ==,则3c =,又因为双曲线 以椭圆22185x y +=的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点,所以双曲线中 3,8,5a c b ===,则双曲线的方程为221.35x y -= 考点:双曲线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】较易 13. 【答案】522m <≤或12m < 【解析】若命题p 为真,则2m >;若命题q 为真,则52m >或12m <,∵p q ∧为假命题,p q ∨为真命题,∴,p q 一真一假,若p 真q 假,则522m <≤;若p 假q 真,则12m <.∴实数m 的取值范围为522m <≤或12m <.考点:双曲线的标准方程,二次函数的图像,简易逻辑关系. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】(1)()22113y x x -=≥ (2)1- 【解析】(1)由12122PF PF FF -=<知,点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线右支,22,22,3c a b ==∴=,故轨迹E 的方程为()22113y x x -=≥. (2)当直线l 的斜率存在时,设直线方程为()()()11222,,,,y k x P x y Q x y =-,与双曲线方程联立消去y 得()222234430k x k x k --++=,22122212230,0,40,3430,3k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪∴⎨+=>-⎪⎪+⎪⋅=>-⎩解得23k >, ()()()()()()21212121222MP MQ x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+--()()()22221212124k x x k m x x m k =+-++++ ()()()()22222222222143423454.333k k k k m m k m k m k k k +++-+=-++=+--- ,0MP MQ MP MQ ⊥∴⋅=,()()22231450m k m m ∴-+--=对任意的23k >恒成立,2210,450,m m m ⎧-=⎪∴⎨--=⎪⎩解得 1.m =- ∴当1m =-时,MP MQ ⊥.当直线l 的斜率不存在时,由()()2,3,2,3P Q -及()1,0M -知结论也成立, 综上,当1m =-时,MP MQ ⊥.考点:圆锥曲线的轨迹问题及双曲线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】较难。
课后课时精练一、选择题.设双曲线-=(>)的渐近线方程为±=,则的值为( ). .. .解析:∵焦点在轴上,∴渐近线方程为=±,又∵渐近线方程为±=,∴=.答案:.[·广东实验中学期末]已知双曲线-=(>,>),两渐近线的夹角为°,则双曲线的离心率为( ) . .. . 或解析:本题考查双曲线的简单几何性质的应用.根据题意,由于双曲线-=(>,>),两渐近线的夹角为°,则可知=或=,那么可知双曲线的离心率为=,所以结果为或,故选.答案:.已知双曲线的渐近线方程为=±,则此双曲线的( ). 焦距为. 实轴长和虚轴长分别是和. 离心率是或. 离心率不确定解析:若焦点轴,则=,∴==;若焦点在轴上,则=,∴=.∴==.答案:.[·大纲全国卷]双曲线:-=(>,>)的离心率为,焦点到渐近线的距离为,则的焦距等于( ) . .. .解析:本题主要考查双曲线的几何性质,意在考查考生的基本运算能力.双曲线的渐近线方程为=±,即±=.焦点为(±),故焦点到渐近线的距离==,解得=.而离心率==,故=,又===,所以=.故==,所以双曲线的焦距为=,选.答案:.已知双曲线的两个焦点为(-,),(,),是此双曲线上的一点,且满足·=,·=,则该双曲线的方程是( )-=.-=-=-=解析:本题主要考查双曲线的定义,向量数量积及解三角形等知识.由·=可得+==,又由·=可得-==,得=,=,故选.答案:. [·湖北高二检测]设双曲线的一个焦点为,虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( ). .. .解析:设直线的斜率为-,则与其垂直的渐近线的斜率为,所以有-=-即=,所以-=,两边同时除以可得--=,解得=或=(舍).答案:二、填空题.。
2.3.1双曲线的标准方程课时过关·能力提升1.若双曲线的方程A.(±2,0)B.(±4,0)C.(0,±2)D.(0,±4)解析:因为c2=a2+b2=10+6=16,焦点在x轴上,所以焦点坐标为(4,0),(-4,0).答案:B2.若方A.-1<k<1B.k>0C.k≤0D.k>1或k<-1解析:因为方,所以有(1+k)(1-k)>0,解得-1<k<1.答案:A3.若椭A. 1B.1或3C.1或3或-2D.3解析:由题意可知m>0,于是焦点都在x轴上,故m=1.答案:A4.已知方程ax2-ay2=b,且ab<0,则它表示的曲线是()A.焦点在x轴上的双曲线B.圆C.焦点在y轴上的双曲线D.椭圆解析:原方程可变形y轴上的双曲线.答案:C★5.与双曲AC.解析:由题意知,c2=16+4=20,设所求的双曲线方程a2+b2=20,a2=12,b2=8.所以双曲线的标准方程答案:D6.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为.解析:令x=0,得y2-4y+8=0,方程无解,即该圆与y轴无交点.令y=0,得x2-6x+8=0,解得x=2或x=4,所以a=2,c=4,b2=c2-a2=16-4=12,且焦点在x轴上.故双曲线的标准方程答案:7.已知F是双曲解析:设右焦点为F1,依题意,有|PF|=|PF1|+4,∴|PF|+|P A|=|PF1|+4+|P A|=|PF1|+|P A|+4≥|AF1|+4=5+4=9,当A,P,F1三点共线时取等号.答案:9★8.已知双曲∠F1PF2△F1PF2的面积是.解析:不妨设P为双曲线左支上的点,F1为左焦点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,②-①2,得r1r2=2.所答案:19.已知双曲线的焦点为F1(0,-6),F2(0,6),且经过点(2,-5),求该双曲线的标准方程.分析:由焦点坐标可知,焦点在y轴上,可设方程c=6,再把点代入即可求得.解:设所求的双曲线方程故所求的双曲线的标准方程,且双曲线经过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程.分析:此题由于不知道焦点在哪个坐标轴上,所以应先分两种情况来讨论,再把两点代入.此题还可以先设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0),再把两点代入求解.解法一当焦点在x轴上时,设所求的双曲线的标准方程M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,所解得当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程同理,解得.故所求的双曲线的标准方程解法二设所求的双曲线的标准方程为Ax2+By2=1(AB<0).因为M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,代入上述方程解得故所求的双曲线的标准方程。
04课后课时精练一、选择题1.在方程mx 2+ny 2=n 中,若mn <0,则方程表示的曲线是( ) A .焦点在x 轴上的椭圆 B .焦点在x 轴上的双曲线 C .焦点在y 轴上的椭圆 D .焦点在y 轴上的双曲线 解析:方程可化为x 2n m +y 2=1,∵mn <0,∴nm <0.∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 答案:D2.[2014·福建宁德一模]已知椭圆x 2a 2+y 29=1(a >0)与双曲线x 24-y 23=1有相同的焦点,则a 的值为( )A. 2B. 10C. 4D. 34解析:因为椭圆x 2a 2+y 29=1(a >0)与双曲线x 24-y 23=1有相同的焦点(±7,0),则有a 2-9=7,∴a =4.选C.答案:C3.已知双曲线x 225-y 29=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18,N 是MF 2的中点,O 为坐标原点,则|NO |等于( )A.23 B .1 C .20D .4解析:NO 为△MF 1F 2的中位线,所以|NO |=12|MF 1|,又由双曲线的定义,知|MF 2|-|MF 1|=10,因为|MF 2|=18,所以|MF 1|=8,所以|NO |=4,故选D.答案:D4.若椭圆x 2a +y 2b =1(a >b >0)和双曲线x 2m -y 2n =1(m >0,n >0)有相同的焦点F 1、F 2,P 是椭圆与双曲线的交点,则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A .a -m B.14(a -m ) C .a 2-m 2D.a -m解析:由椭圆和双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|+|PF 2|=2a ,||PF 1|-|PF 2||=2m ,两式平方相减得4|PF 1|·|PF 2|=4(a -m ), ∴|PF 1|·|PF 2|=a -m . 答案:A5.若ab ≠0,则ax -y +b =0和bx 2+ay 2=ab 所表示的曲线只可能是下图中的( )解析:方程可化为y =ax +b 和x 2a +y 2b =1.从选项B ,D 中的两个椭圆看,a 、b ∈(0,+∞),但由B 中直线可知a <0,b <0,矛盾,应排除B ;由D 中直线可知a <0,b >0,矛盾,应排除D ;再由A 中双曲线可知a <0,b >0,但直线中a >0,b >0,也矛盾,应排除A ;由C 中的双曲线可知a >0,b <0,和直线中a >0,b <0一致.应选C.答案:C6.[2014·江西高考]过双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为( )A. x 24-y 212=1 B. x 27-y 29=1 C. x 28-y 28=1D. x 212-y 24=1解析:本题考查双曲线的标准方程与几何性质,意在考查考生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力.设双曲线的右焦点为F ,则F (c,0)(其中c =a 2+b 2),且c =|OF |=r =4,不妨将直线x =a 代入双曲线的一条渐近线方程y =ba x ,得y =b ,则A (a ,b ).由|F A |=r =4,得(a -4)2+b 2=4,即a 2-8a +16+b 2=16,所以c 2-8a =0,所以8a =c 2=42,解得a =2,所以b 2=c 2-a 2=16-4=12,所以所求双曲线的方程为x 24-y 212=1.答案:A 二、填空题7. [2014·北京高考]设双曲线C 的两个焦点为(-2,0),(2,0),一个顶点是(1,0),则C 的方程为________.解析:本题考查双曲线的基本性质以及标准方程.根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,所以a =1,c =2,于是b 2=c 2-a 2=1,所以方程为x 2-y 2=1.答案:x 2-y 2=18.与双曲线x 216-y 24=1有公共焦点,且过点(32,2)的双曲线的标准方程是________.解析:解法一:设双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),因为双曲线过点(32,2),所以(32)2a 2-22b 2=1, ①通过计算可知c =25,所以a 2+b 2=(25)2. ②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=12,b 2=8.故所求双曲线的标准方程为x 212-y 28=1.解法二:设双曲线方程为x 216-k -y 24+k =1(-4<k <16),将点(32,2)代入,得(32)216-k -224+k=1,解得k =4或k =-14(舍去),所以双曲线的标准方程为x 212-y 28=1.答案:x 212-y 28=19.过双曲线x 2144-y 225=1的一个焦点作x 轴的垂线,则垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为________.解析:∵双曲线方程为x 2144-y 225=1,∴c =144+25=13,F 1(-13,0),F 2(13,0).设过F 1垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (-13,y )(y >0),∴y 225=132144-1=25144.∴y =2512,即|AF 1|=2512. 又∵|AF 2|-|AF 1|=2a =24, ∴|AF 2|=24+2512=31312. 故所求距离分别为:2512、31312. 答案:2512、31312 三、解答题10.设双曲线与椭圆x 227+y 236=1有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A 的纵坐标为4,求此双曲线的方程.解:解法一:设双曲线的方程为y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0),由题意知c 2=36-27=9,c =3.又点A 的纵坐标为4,则横坐标为15,于是有⎩⎨⎧42a2-(15)2b 2=1,a 2+b 2=9.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=4,b 2=5.所以双曲线方程为y 24-x 25=1.解法二:将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (15,4),又两焦点分别为F 1(0,3)、F 2(0,-3).所以2a =(15-0)2+(4+3)2- (15-0)2+(4-3)2=8-4=4,a =2, ∴b 2=c 2-a 2=9-4=5, 所以双曲线方程为y 24-x 25=1.解法三:由题意设双曲线方程为x 227-λ+y 236-λ=1(27<λ<36),将A (15,4)代入得,λ=32,λ=0(舍去).所以所求双曲线方程为y 24-x 25=1.11.已知椭圆x 2+2y 2=32的左、右两个焦点分别为F 1,F 2,动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=4.求动点P 的轨迹E 的方程.解:由椭圆的方程可化为x 232+y 216=1,得|F 1F 2|=2c =232-16=8,|PF 1|-|PF 2|=4<8. ∴动点P 的轨迹E 是以F 1(-4,0),F 2(4,0)为焦点, 2a =4,a =2的双曲线的右支,由a =2,c =4得b 2=c 2-a 2=16-4=12, 故其方程x 24-y 212=1(x ≥2).12.A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地,A 在B 正东6千米,C 在B 北偏西30°,相距4千米,P 为敌炮阵地,某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号,由于B 、C 两地比A 距P 地远,因此4 s 后,B 、C 才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s ,A 若炮击P 地,求炮击的方向角.解:如图,以直线BA 为x 轴,线段BA 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系,则B (-3,0),A (3,0),C (-5,23).因为|PB |=|PC |,所以点P 在线段BC 的垂直平分线上. 设敌炮阵地的坐标为(x ,y ),因为k BC =-3,BC 中点D (-4,3),所以直线l PD :y -3=13(x +4).①又|PB |-|P A |=4,故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上. 则双曲线方程为x 24-y 25=1(x >0).② 联立①②式,得x =8,y =53, 所以P 的坐标为(8,53).因此k P A =538-3= 3.故炮击的方向角为北偏东30°.。
课时作业10 双曲线及其标准方程 |基础巩固|(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知F 1(-8,3),F 2(2,3),动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=10,则P 点的轨迹是( )A .双曲线B .双曲线的一支C .直线D .一条射线解析:F 1,F 2是定点,且|F 1F 2|=10,所以满足条件|PF 1|-|PF 2|=10的点P 的轨迹应为一条射线.答案:D 2.已知双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22,0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52,0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62,0 D .(3,0) 解析:将双曲线方程化为标准方程,即x 21-y 212=1,∴a 2=1,b 2=12,∴c =a 2+b 2=62,∴右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62,0.答案:C3.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A .x 2-y 23=1 B.x23-y 2=1C .y 2-x 23=1 D.x 22-y 22=1 解析:由双曲线定义知,2a =(2+2)2+32-(2-2)2+32=5-3=2, ∴a =1.又c =2,∴b 2=c 2-a 2=4-1=3,因此所求双曲线的标准方程为x 2-y23=1.答案:A4.下面各选项中的双曲线,与x212-y224=1共焦点的双曲线是()A.x212+y214=1 B.y224-x212=1C.x210-y226=1 D.x210+y226=1解析:方法一因为所求曲线为双曲线,所以可排除选项A,D;又双曲线x212-y224=1的焦点在x轴上,所以排除选项B,综上可知,选C.方法二与x212-y224=1共焦点的双曲线系方程为x212+λ-y224-λ=1,对比四个选项中的曲线方程,发现只有选项C中的方程符合条件(此时λ=-2).答案:C5.已知定点A,B且|AB|=4,动点P满足|P A|-|PB|=3,则|P A|的最小值为()A.12 B.32C.72D.5解析:如图所示,点P是以A,B为焦点的双曲线的右支上的点,当P在M处时,|P A|最小,最小值为a+c=32+2=72.答案:C二、填空题(每小题5分,共15分)6.设m是常数,若点F(0,5)是双曲线y2m-x29=1的一个焦点,则m=________.解析:由点F(0,5)可知该双曲线y2m-x29=1的焦点落在y轴上,所以m>0,且m+9=52,解得m=16.答案:167.已知P是双曲线x264-y236=1上一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=17,求|PF2|=________.解析:由双曲线方程x264-y236=1可得a=8,b=6,c=10,由双曲线的图象可得点P到右焦点F2的距离d≥c-a=2.因为||PF1|-|PF2||=16,|PF1|=17,所以|PF2|=1(舍去)或|PF2|=33.答案:338.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的标准方程是________.解析:如图,由题意不妨设|AB|=3,则|BC|=2.设AB,CD的中点分别为M,N,在Rt△BMN中,|MN|=2c=2,故|BN|=|BM|2+|MN|2=⎝⎛⎭⎪⎫322+22=52.由双曲线的定义可得2a=|BN|-|BM|=52-32=1,即a2=14.而2c=|MN|=2,从而c=1,b2=34. 所以双曲线E的标准方程是x214-y234=1.答案:x214-y234=1三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知x21-k-y2|k|-3=-1,当k为何值时,(1)方程表示双曲线?|能力提升|(20分钟,40分)11.已知点M (-3,0),N (3,0),B (1,0),动圆C 与直线MN 切于点B ,过M ,N 与圆C 相切的两直线相交于点P ,则点P 的轨迹方程是( )A .x 2-y 28=1(x >1)B .x 2-y28=1(x <-1)C .x 2+y 28=1(x >0)D .x 2-y 210=1(x >1)解析:如图,设过M ,N 的直线与圆C 相切于R ,S ,则|PR |=|PS |,|MR |=|MB |,|SN |=|NB |, 所以|PM |=|PR |+|RM | =|PR |+|MB |, |PN |=|PS |+|SN | =|PS |+|NB |,所以|PM |-|PN |=|MB |-|NB | =2<|MN |,所以由双曲线定义知,P 点的轨迹是以M (-3,0),N (3,0)为焦点的双曲线的右支,因为2a =2,所以a =1,c =3, 所以b 2=c 2-a 2=8,所以点P 的轨迹方程为x 2-y28=1(x >1). 故选A. 答案:A12.已知双曲线的两个焦点F 1(-5,0),F 2(5,0),P 是双曲线上一点,且PF 1→·PF 2→=0,|PF 1|·|PF 2|=2,则双曲线的标准方程为______________.解析:由题意可设双曲线方程为由Ruize收集整理。
课后训练1.双曲线的方程为22=1106x y -,则它的两焦点坐标是( )A .(±2,0)B .(±4,0)C .(0,±2)D .(0,±4)2.方程22=111x y k k -+-表示双曲线,则k 的取值范围是( )A .-1<k <1B .k >0C .k ≤0D .k >1或k <-13.若椭圆22=14x y m +与双曲线22=12x y m -有相同的焦点,则实数m 的值为( )A .1B .1或3C .1或3或-2D .34.已知方程ax 2-ay 2=b ,且ab <0,则它表示的曲线是( )A .焦点在x 轴上的双曲线B .圆C .焦点在y 轴上的双曲线D .椭圆5.与双曲线22=1164x y -共焦点,且过点的双曲线的标准方程为( )A .22=1812x y -B .22=1812x y -+C .22=1128x y -+ D .22=1128x y -6.已知圆C :x 2+y 2-6x -4y +8=0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为________________.7.已知F 是双曲线22=1412x y -的左焦点,点A (1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF |+|PA |的最小值为______.8.已知双曲线22=14x y -的两个焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线上且满足12π2F PF ∠=,则△F 1PF 2的面积是__________. 9.已知双曲线的焦点为F 1(0,-6),F 2(0,6),且经过点(2,-5).求该双曲线的标准方程.10.已知双曲线经过M (1,1),N (-2,5)两点,求双曲线的标准方程.参考答案1. 答案:B 由c 2=a 2+b 2=10+6=16,焦点又在x 轴上,∴两焦点坐标为(±4,0).2。
课堂效果落实.[·四川宜宾测试]已知点(-,),(,),动点满足-=,当点的纵坐标是时,点到坐标原点的距离是( ). .. .解析:由已知可得=,=,∴=.∴双曲线方程为-=(≤-).将=代入,可得点的横坐标为=-.∴点到原点的距离为=.答案:.已知方程-=表示的图形是双曲线,那么的取值范围是( ).> .>或-<<.>或<-.-<<解析:由于方程-=只需满足(-)与(-)同号,方程即能表示双曲线.∵方程的图形是双曲线,∴(-)(-)>,即(\\(->,->,))或(\\(-<,-<,))解得>或-<<.答案:.已知双曲线的方程为-=,点、在双曲线的右支上,线段经过双曲线的右焦点,=,为另一焦点,则△的周长为( ).+.+.+.+解析:∵、在双曲线的右支上,∴-=,-=,∴+-(+)=.∴+=+.∴△的周长为++=+.答案:.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(),则双曲线的标准方程为( ) . -= . -=. -= . -=解析:依题意,+=·.即+=,∴++=(+).∴(-)=,即=.∵一个顶点坐标为(),∴==,∴双曲线方程为-=.答案:.已知双曲线的两个焦点、之间的距离为,双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为,求双曲线的方程.解:若以线段所在的直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系,则双曲线的方程为标准形式.由题意得==.∴=,=,=-=.当双曲线的焦点在轴上时,双曲线的方程为-=.若以线段所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立直角坐标系.则双曲线的方程为-=.。
03课堂效果落实1.已知点F 1(-2,0),F 2(2,0),动点P 满足|PF 2|-|PF 1|=2,当点P 的纵坐标是12时,点P 到坐标原点的距离是( )A. 62B. 32C. 3D. 2解析:由已知可得c =2,a =1,∴b =1.∴双曲线方程为x 2-y 2=1(x ≤-1).将y =12代入,可得点P 的横坐标为x =-52.∴点P 到原点的距离为 (-52)2+(12)2=62.答案:A2.已知方程x 2k -5-y 2|k |-2=1表示的图形是双曲线,那么k 的取值范围是( )A .k >5B .k >5或-2<k <2C .k >2或k <-2D .-2<k <2 解析:由于方程x 2k -5-y 2|k |-2=1只需满足(k -5)与(|k |-2)同号,方程即能表示双曲线.∵方程的图形是双曲线,∴(k -5)(|k |-2)>0,即⎩⎨⎧ k -5>0,|k |-2>0,或⎩⎨⎧ k -5<0,|k |-2<0,解得k >5或-2<k <2.答案:B3.已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1,点A、B在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为另一焦点,则△ABF1的周长为()A.2a+2m B.4a+2mC.a+m D.2a+4m解析:∵A、B在双曲线的右支上,∴|BF1|-|BF2|=2a,|AF1|-|AF2|=2a,∴|BF1|+|AF1|-(|BF2|+|AF2|)=4a.∴|BF1|+|AF1|=4a+m.∴△ABF1的周长为4a+m+m=4a+2m.答案:B4.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为()A. y24-x24=1 B.x24-y24=1C. y24-y29=1 D.x28-y24=1解析:依题意,2a+2b=2·2c.即a+b=2c,∴a2+2ab+b2=2(a2+b2).∴(a-b)2=0,即a=b.∵一个顶点坐标为(0,2),∴a2=b2=4,∴双曲线方程为y 2-x 2=4.答案:A5.已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26,双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24,求双曲线的方程.解:若以线段F 1F 2所在的直线为x 轴,线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则双曲线的方程为标准形式.由题意得2a =24,2c =26.∴a =12,c =13,b 2=132-122=25.此时双曲线的焦点在x 轴上,双曲线的方程为x 2144-y 225=1.若以线段F 1F 2所在直线为y 轴,线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴,建立直角坐标系.此时双曲线的焦点在y 轴上,则双曲线的方程为y 2144-x 225=1.。
04课后课时精练
一、选择题
1.在方程mx 2+ny 2=n 中,若mn <0,则方程表示的曲线是( ) A .焦点在x 轴上的椭圆 B .焦点在x 轴上的双曲线 C .焦点在y 轴上的椭圆 D .焦点在y 轴上的双曲线 解析:方程可化为x 2n m +y 2
=1,
∵mn <0,∴n
m <0.
∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 答案:D
2.[2014·福建宁德一模]已知椭圆x 2a 2+y 29=1(a >0)与双曲线x 24-y 2
3=1有相同的焦点,则a 的值为( )
A. 2
B. 10
C. 4
D. 34
解析:因为椭圆x 2a 2+y 29=1(a >0)与双曲线x 24-y 2
3=1有相同的焦点(±7,0),则有a 2-9=7,∴a =4.选C.
答案:C
3.已知双曲线x 225-y 2
9=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18,N 是MF 2的中点,O 为坐标原点,则|NO |等于( )
A.23 B .1 C .20
D .4
解析:NO 为△MF 1F 2的中位线,所以|NO |=1
2|MF 1|,又由双曲线的定义,知|MF 2|-|MF 1|=10,因为|MF 2|=18,所以|MF 1|=8,所以|NO |=4,故选D.
答案:D
4.若椭圆x 2a +y 2b =1(a >b >0)和双曲线x 2m -y 2
n =1(m >0,n >0)有相同的焦点F 1、F 2,P 是椭圆与双曲线的交点,则|PF 1|·|PF 2|的值是( )
A .a -m B.1
4(a -m ) C .a 2-m 2
D.a -m
解析:由椭圆和双曲线的定义可得
⎩⎨
⎧
|PF 1|+|PF 2|=2a ,||PF 1|-|PF 2||=2m ,
两式平方相减得4|PF 1|·|PF 2|=4(a -m ), ∴|PF 1|·|PF 2|=a -m . 答案:A
5.若ab ≠0,则ax -y +b =0和bx 2+ay 2=ab 所表示的曲线只可能是下图中的( )
解析:方程可化为y =ax +b 和x 2a +y 2
b =1.从选项B ,D 中的两个椭圆看,a 、b ∈(0,+∞),但由B 中直线可知a <0,b <0,矛盾,应排除B ;由D 中直线可知a <0,b >0,矛盾,应排除D ;再由A 中双曲线可知a <0,b >0,但直线中a >0,b >0,也矛盾,应排除A ;由C 中的双曲线可知a >0,b <0,和直线中a >0,b <0一致.应选C.
答案:C
6.[2014·江西高考]过双曲线C :x 2a 2-y 2
b 2=1的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为( )
A. x 24-y 2
12=1 B. x 27-y 2
9=1 C. x 28-y 2
8=1
D. x 212-y 2
4=1
解析:本题考查双曲线的标准方程与几何性质,意在考查考生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力.设双曲线的右焦点为F ,则F (c,0)(其中c =
a 2+
b 2),且
c =|OF |=r =4,不妨将直线x =a 代
入双曲线的一条渐近线方程y =b
a x ,得y =
b ,则A (a ,b ).由|F A |=r =4,得
(a -4)2+b 2=4,即a 2-8a +16+b 2=16,所以c 2-8a =0,
所以8a =c 2=42,解得a =2,所以b 2=c 2-a 2=16-4=12,所以所求双曲线的方程为x 24-y 2
12=1.
答案:A 二、填空题
7. [2014·北京高考]设双曲线C 的两个焦点为(-2,0),(2,0),一个顶点是(1,0),则C 的方程为________.
解析:本题考查双曲线的基本性质以及标准方程.根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,所以a =1,c =2,于是b 2=c 2-a 2=1,所以方程为x 2-y 2=1.
答案:x 2-y 2=1
8.与双曲线x 216-y 2
4=1有公共焦点,且过点(32,2)的双曲线的标准方程是________.
解析:解法一:设双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0),因为双曲线过点(32,2),所以
(32)2a 2-22
b 2=1, ①
通过计算可知c =25,所以a 2+b 2=(25)2. ②
由①②得⎩⎨⎧
a 2=12,
b 2
=8.
故所求双曲线的标准方程为x 212-y 2
8=1.
解法二:设双曲线方程为x 216-k -y 2
4+k =1(-4<k <16),将点(32,
2)代入,得(32)216-k -22
4+k
=1,
解得k =4或k =-14(舍去),所以双曲线的标准方程为x 212-y 2
8=1.
答案:x 212-y 2
8=1
9.过双曲线x 2144-y 2
25=1的一个焦点作x 轴的垂线,则垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为________.
解析:∵双曲线方程为x 2144-y 2
25=1,∴c =144+25=13,F 1(-
13,0),F 2(13,0).
设过F 1垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (-13,y )(y >0),∴y 2
25=132144-1=25144.
∴y =2512,即|AF 1|=2512. 又∵|AF 2|-|AF 1|=2a =24, ∴|AF 2|=24+2512=313
12.
故所求距离分别为:2512、313
12. 答案:2512、31312 三、解答题
10.设双曲线与椭圆x 227+y 2
36=1有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A 的纵坐标为4,求此双曲线的方程.
解:解法一:设双曲线的方程为y 2a 2-x 2
b 2=1(a >0,b >0),由题意知
c 2=36-27=9,c =3.
又点A 的纵坐标为4,则横坐标为15,于是有
⎩
⎪⎨⎪⎧
42a 2-(15)2b 2=1,
a 2+
b 2=9.解得⎩⎨⎧
a 2=4,
b 2
=5.
所以双曲线方程为y 24-x 2
5=1.
解法二:将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (15,4),又两焦点分别为F 1(0,3)、F 2(0,-3).
所以2a =
(15-0)2+(4+3)2-
(15-0)2+(4-3)2=8-4=4,a =2, ∴b 2=c 2-a 2=9-4=5, 所以双曲线方程为y 24-x 2
5=1.
解法三:由题意设双曲线方程为
x 227-λ+y 2
36-λ
=1(27<λ<36),将A (15,4)代入得,λ=32,λ=0(舍去).所以所求双曲线方程为y 24-x 2
5=1.
11.已知椭圆x 2+2y 2=32的左、右两个焦点分别为F 1,F 2,动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=4.求动点P 的轨迹E 的方程.
解:由椭圆的方程可化为x 232+y 2
16=1, 得|F 1F 2|=2c =2
32-16=8,|PF 1|-|PF 2|=4<8.
∴动点P 的轨迹E 是以F 1(-4,0),F 2(4,0)为焦点, 2a =4,a =2的双曲线的右支,
由a =2,c =4得b 2=c 2-a 2=16-4=12, 故其方程x 24-y 2
12=1(x ≥2).
12.A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地,A 在B 正东6千米,C 在B 北偏西30°,相距4千米,P 为敌炮阵地,某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号,由于B 、C 两地比A 距P 地远,因此4 s 后,B 、C 才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s ,A 若炮击P 地,求炮击的方向角.
解:如图,以直线BA 为x 轴,线段BA 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系,则
B (-3,0),A (3,0),
C (-5,23).
因为|PB |=|PC |,所以点P 在线段BC 的垂直平分线上. 设敌炮阵地的坐标为(x ,y ),
因为k BC =-3,BC 中点D (-4,3),所以直线l PD :y -3=
1
3(x +4).①
又|PB |-|P A |=4,故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上. 则双曲线方程为x 24-y 2
5=1(x >0).② 联立①②式,得x =8,y =53, 所以P 的坐标为(8,53).
因此k P A =53
8-3
= 3.故炮击的方向角为北偏东30°.。