高中数学人教版选修2-1课后训练：2-3-1 双曲线及其标准方程 Word版含解析

技能演练基 础 强 化1．双曲线x 29－y 2m ＝1的焦距是10，则实数m 的值为( )A ．－16B ．4C ．16D ．81解析 2c ＝10，∴c ＝5，∴9＋m ＝25，∴m ＝16. 答案 C2．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．3B ．5C ．6D ．9解析 由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝6，观察选项知D 正确． 答案 D3．若k ∈R ，则“k ＞3”是“方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 当k >3时，k －3>0，k ＋3>0，∴方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线．反之，若该方程表示双曲线，则(k －3)(k ＋3)>0，∴k >3，或k<－3.故k>3是方程x2k－3－y2k＋3＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案 A4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是() A．16 B．18C．21 D．26解析如图所示，由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝8，(1)|BF2|－|BF1|＝8，(2)又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝5，(3)∴由(1)，(2)，(3)得|AF2|＋|BF2|＝21.故△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝26.答案 D5．双曲线x210－y22＝1的焦距为()A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3解析 由双曲线x 210－y 22＝1，知c 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3. 答案 D6．已知双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x －2y ＋20＝0上，两焦点关于原点对称，c a ＝53，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 264＝1 B.x 264－y 236＝1 C.x 236－y 264＝－1 D.x 264－y 236＝－1 解析 令x ＝0，y ＝10，∴双曲线的焦点坐标F 1(0，－10)，F 2(0,10)，∴c ＝10，又c a ＝53，∴a ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝100－36＝64，故双曲线方程为y 236－x 264＝1，故选D.答案 D7．已知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是__________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9，b ＝3，c 2＝a 2＋b 2，得a ＝4，b ＝3，又焦点在y 轴上，∴所求双曲线方程为y 216－x 29＝1.答案 y 216－x 29＝18．双曲线x 2m 2－4－y 2m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是__________．解析依题意得⎩⎨⎧m ＋1<0，m 2－4<0，⇒⎩⎨⎧m <－1，－2<m <2，⇒－2<m <－1. 答案 (－2，－1)能 力 提 升9．已知定点A (3,0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．解 设P 的坐标为(x ，y )． ∵圆P 与圆C 外切且过点A ， ∴|PC |－|PA |＝4.∵|AC |＝(3＋3)2＋0＝6＞4，∴点P 的轨迹是以C ，A 为焦点，实轴长为2a ＝4的双曲线的右支，∵a ＝2，c ＝3， ∴b 2＝c 2－a 2＝5.∴动圆圆心P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．10．求与双曲线x 24－y 22＝1有相同的焦点，且过点P (2,1)的双曲线的方程．解 方法1：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知，c 2＝4＋2＝6，又点P (2,1)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，4a 2－1b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝3，b 2＝3.故所求的双曲线方程为x 23－y 23＝1.方法2：∵所求的双曲线与x 24－y 22＝1有相同的焦点，∴可设双曲线方程为x 24－λ－y 22＋λ＝1(－2＜λ＜4)．∵双曲线过点P (2,1)， ∴44－λ－12＋λ＝1， 解得λ＝1，或λ＝－4(舍去)． 故所求的双曲线方程为x 23－y 23＝1.品 味 高 考11．(2010·安徽)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0)C ．(62，0)D ．(3，0)解析 双曲线x 2－2y 2＝1化为标准形式，得x 2－y212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c 2＝a 2＋b 2＝32.∴c ＝62.故右焦点坐标为(62，0)．答案 C12．(2010·全国Ⅰ)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 点在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则P 到x 轴的距离为( )A.32B.62C. 3D. 6解析 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，不妨设m >n ，P (x ，y )，|PF 1|－|PF 2|＝m －n ＝2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得(22)2＝m 2＋n 2－2mn cos60°， ∴8＝(m －n )2＋mn . ∴mn ＝4.由△F 1PF 2的面积相等，得 12×22×|y |＝12mn sin60°，即2|y|＝12×4×3 2.∴|y|＝62.即P到x轴的距离为62. 答案 B。

§ 2.3双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为________________________________________________________________________． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做__________________，两焦点间的距离叫做__________________． 2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B .x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y 22＝14．双曲线x 2m －y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A .12B ．1或3C .1＋22D .2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y22＝1二、填空题8．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．9．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝________________________________________________________________________. 三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) (－c,0) (c,0)(2)y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0) (0，－c ) (0，c ) (3)c 2＝a 2＋b 2 作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙， 只有当2a <|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以ba <0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线，故选B.]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)．由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b2＝1.②由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.] 4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m ＋3＋m ＝c 2＝4.∴m ＝12.]5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.]7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4，又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2 ＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2. 8．－1<k <1解析 因为方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k )(1－k )>0.所以(k ＋1)(k －1)<0.所以－1<k <1. 9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有 ⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)， 又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)． 所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4， 即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.11．解 设A 点的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，代入sin B －sin C ＝12sin A ， 得|AC |2R －|AB |2R ＝12·|BC |2R ，又|BC |＝8， 所以|AC |－|AB |＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1 (x >2)．12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4， ∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P (x ，y )(x ≥3)，13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b2＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y 25＝1.。

绝密★启用前2.3.1双曲线及其标准方程一、选择题1．【题文】双曲线x y 222-=8的焦点坐标是（ ）A.()23,0± B.()0,23± C.()2,0± D.()0,2±2．【题文】若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于 （ ）A ．11B ．9C ．5D ．33．【题文】下列曲线中焦点坐标为()1,0-的是（ ）A ．223312x y -=B ．2214x y +=C ．22143x y -= D ．22123x y +=4．【题文】若双曲线22149x y -=上一点P 到左焦点的距离是3，则点P 到右焦点的距离为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．【题文】过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于P 、Q 点，若7PQ =，2F 是双曲线的右焦点，则△2PF Q 的周长是（ ）A ．28B ．1482-C ．1482+D ．826．【题文】椭圆2214x y +=与双曲线2212x y -=有相同的焦点1F 、2F ，P 是这两条曲线的一个交点，则△12F PF 的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．127．【题文】过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，若1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（ ）A ．b a MO MT -=-B ．b a MO MT ->-C ．b a MO MT -<-D ．b a MO MT -=+8．【题文】已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左，右焦点，且212b F F a=，I 为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F S SSλ=+成立，则λ的值为（ ）A ．1222+ B ．231- C ．21- D ．21+二、填空题9．【题文】设m 为常数，若点()5,0F 是双曲线2219x y m-=的一个焦点，则m = ．10．【题文】已知双曲线221x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则12PF PF +=_______．11．【题文】若动圆M 与圆1C ：()224+2x+y =外切，且与圆2C ：()224+2x y -=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程________．三、解答题12．【题文】求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．13．【题文】已知命题p ：方程22122x y m m -=-表示焦点在x 轴上的双曲线.命题q ：曲线()2231y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围.14．【题文】已知()12,0F -，()22,0F ，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；（2）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点，无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(),0M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 的值.2.3.1双曲线及其标准方程参考答案及解析1.【答案】A【解析】双曲线方程整理为222221,4,8,12,2348x ya b c c-=∴==∴=∴=，焦点为()23,0±，故选A.考点：双曲线方程及性质.【题型】选择题 【难度】较易 2. 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =， 故选B ．考点：双曲线的标准方程和定义． 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】A【解析】双曲线223312x y -=中，223a =，213b =，故2221c a b =+=，焦点为()1,0±，符合题意；椭圆2214x y +=中，焦点为()3,0±，不符合题意；双曲线22143x y -=中，焦点为()7,0±，不符合题意；椭圆22123x y +=中，焦点为()0,1±，不符合题意.故选A.考点：椭圆与双曲线的焦点坐标. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】D【解析】由双曲线方程可知2224,9,13,2,3,13a b c a b c ==∴=∴===，P 到左焦点的距离是3，所以P 在左支上且11223,4,34,PF PF PF PF =∴-=∴-=27PF ∴=.考点：双曲线定义及方程. 【题型】选择题 【难度】较易 5. 【答案】C【解析】由双曲线方程可知22a b ==，884c =+=，根据双曲线的定义， 得2142PF PF -=，2142QF QF -=，∴2142PF PF =+，2142QF QF =+，相加可得221182PF QF PF QF +=++， ∵117PF QF PQ +==，∴22782PF QF +=+，因此△2PF Q 的 周长2278271482PF QF PQ =++=++=+，故选C ．考点：双曲线的定义． 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】C【解析】联立两方程得22221,41,2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得33y =，由题意可知1223F F =，所以121323123F PF S =⨯⨯=△.考点：焦点三角形的面积. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】A【解析】连接OT ，则1OT PF ⊥，在1FTO △中，1TF b =．连接2PF ， 在12PF F △中，O 、M 分别是12F F 、1PF 的中点，所以212OM PF =， ()()21121111122222MO MT PF PF TF PF PF b a b b a ⎛⎫∴-=--=-+=-+=- ⎪⎝⎭，故 选A ．考点：双曲线的定义，直线与圆相切． 【题型】选择题 【难度】较难 8. 【答案】C【解析】设△12PF F 的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得12122,2PF PF a F F c -==，1112IPF SPF r =⋅，2212IPF S PF r =⋅，12122IF F S c r cr =⋅⋅=.由题意得：121122PF r PF r cr λ⋅=⋅+，∴122PF PF a c c λ-==，又2122b F F c a==， ∴222c a ac -=，∴21acλ==-，故选C ． 考点：双曲线定义的应用. 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】16【解析】由点()5,0F 是双曲线2219x y m -=的一个焦点及222c a b =+可得，259m =+，解得16m =．考点：双曲线的标准方程． 【题型】填空题 【难度】较易 10. 【答案】23【解析】设点P 在双曲线的右支上，因为12PF PF ⊥，所以()2221222PF PF =+，又因为122PF PF -=，所以()2124PF PF -=，可得1224PF PF ⋅=， 则()222121212212PF PF PF PF PF PF +=++⋅=，所以1223PF PF +=. 考点：双曲线定义的应用. 【题型】填空题 【难度】一般11. 【答案】()2212214x y x -=≥ 【解析】设动圆M 的半径为r ，则由已知1+2MC r =，22MC r =-， ∴1222MC MC -=．又()14,0C -，()24,0C ，∴128C C =．∴1222C C <．根据双曲线的定义知，点M 的轨迹是以()14,0C -、()24,0C 为焦点的双曲线的右支．∵2a =，4c =，∴22214b c a =-=，∴点M 的轨迹方程是()2212214x y x -=≥．考点：求轨迹方程. 【题型】填空题 【难度】一般12. 【答案】22135x y -= 【解析】由椭圆的方程为22185x y +=可知8,5a b ==，则3c =，又因为双曲线 以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，所以双曲线中 3,8,5a c b ===，则双曲线的方程为221.35x y -= 考点：双曲线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】较易 13. 【答案】522m <≤或12m < 【解析】若命题p 为真，则2m >；若命题q 为真，则52m >或12m <，∵p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，∴,p q 一真一假，若p 真q 假，则522m <≤；若p 假q 真，则12m <.∴实数m 的取值范围为522m <≤或12m <.考点：双曲线的标准方程，二次函数的图像，简易逻辑关系. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】（1）()22113y x x -=≥ （2）1- 【解析】（1）由12122PF PF FF -=<知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线右支，22,22,3c a b ==∴=，故轨迹E 的方程为()22113y x x -=≥. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()()()11222,,,,y k x P x y Q x y =-，与双曲线方程联立消去y 得()222234430k x k x k --++=，22122212230,0,40,3430,3k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪∴⎨+=>-⎪⎪+⎪⋅=>-⎩解得23k >， ()()()()()()21212121222MP MQ x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+--()()()22221212124k x x k m x x m k =+-++++ ()()()()22222222222143423454.333k k k k m m k m k m k k k +++-+=-++=+--- ,0MP MQ MP MQ ⊥∴⋅=，()()22231450m k m m ∴-+--=对任意的23k >恒成立，2210,450,m m m ⎧-=⎪∴⎨--=⎪⎩解得 1.m =- ∴当1m =-时，MP MQ ⊥.当直线l 的斜率不存在时，由()()2,3,2,3P Q -及()1,0M -知结论也成立， 综上，当1m =-时，MP MQ ⊥.考点：圆锥曲线的轨迹问题及双曲线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】较难。

课后课时精练一、选择题．设双曲线－＝(>)的渐近线方程为±＝，则的值为( ). .. .解析：∵焦点在轴上，∴渐近线方程为＝±，又∵渐近线方程为±＝，∴＝.答案：．[·广东实验中学期末]已知双曲线－＝(>，>)，两渐近线的夹角为°，则双曲线的离心率为( ) . .. . 或解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线－＝(>，>)，两渐近线的夹角为°，则可知＝或＝，那么可知双曲线的离心率为＝，所以结果为或，故选.答案：．已知双曲线的渐近线方程为＝±，则此双曲线的( ). 焦距为. 实轴长和虚轴长分别是和. 离心率是或. 离心率不确定解析：若焦点轴，则＝，∴＝＝；若焦点在轴上，则＝，∴＝.∴＝＝.答案：．[·大纲全国卷]双曲线：－＝(>，>)的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于( ) . .. .解析：本题主要考查双曲线的几何性质，意在考查考生的基本运算能力．双曲线的渐近线方程为＝±，即±＝.焦点为(±)，故焦点到渐近线的距离＝＝，解得＝.而离心率＝＝，故＝，又＝＝＝，所以＝.故＝＝，所以双曲线的焦距为＝，选.答案：.已知双曲线的两个焦点为(－，)，(，)，是此双曲线上的一点，且满足·＝，·＝，则该双曲线的方程是( )－＝．－＝－＝－＝解析：本题主要考查双曲线的定义，向量数量积及解三角形等知识．由·＝可得＋＝＝，又由·＝可得－＝＝，得＝，＝，故选.答案：. [·湖北高二检测]设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ). .. .解析：设直线的斜率为－，则与其垂直的渐近线的斜率为，所以有－＝－即＝，所以－＝，两边同时除以可得－－＝，解得＝或＝(舍)．答案：二、填空题.。

2.3.1双曲线的标准方程课时过关·能力提升1.若双曲线的方程A.(±2,0)B.(±4,0)C.(0,±2)D.(0,±4)解析:因为c2=a2+b2=10+6=16,焦点在x轴上,所以焦点坐标为(4,0),(-4,0).答案:B2.若方A.-1<k<1B.k>0C.k≤0D.k>1或k<-1解析:因为方,所以有(1+k)(1-k)>0,解得-1<k<1.答案:A3.若椭A. 1B.1或3C.1或3或-2D.3解析:由题意可知m>0,于是焦点都在x轴上,故m=1.答案:A4.已知方程ax2-ay2=b,且ab<0,则它表示的曲线是()A.焦点在x轴上的双曲线B.圆C.焦点在y轴上的双曲线D.椭圆解析:原方程可变形y轴上的双曲线.答案:C★5.与双曲AC.解析:由题意知,c2=16+4=20,设所求的双曲线方程a2+b2=20,a2=12,b2=8.所以双曲线的标准方程答案:D6.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为.解析:令x=0,得y2-4y+8=0,方程无解,即该圆与y轴无交点.令y=0,得x2-6x+8=0,解得x=2或x=4,所以a=2,c=4,b2=c2-a2=16-4=12,且焦点在x轴上.故双曲线的标准方程答案:7.已知F是双曲解析:设右焦点为F1,依题意,有|PF|=|PF1|+4,∴|PF|+|P A|=|PF1|+4+|P A|=|PF1|+|P A|+4≥|AF1|+4=5+4=9,当A,P,F1三点共线时取等号.答案:9★8.已知双曲∠F1PF2△F1PF2的面积是.解析:不妨设P为双曲线左支上的点,F1为左焦点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,②-①2,得r1r2=2.所答案:19.已知双曲线的焦点为F1(0,-6),F2(0,6),且经过点(2,-5),求该双曲线的标准方程.分析:由焦点坐标可知,焦点在y轴上,可设方程c=6,再把点代入即可求得.解:设所求的双曲线方程故所求的双曲线的标准方程,且双曲线经过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程.分析:此题由于不知道焦点在哪个坐标轴上,所以应先分两种情况来讨论,再把两点代入.此题还可以先设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0),再把两点代入求解.解法一当焦点在x轴上时,设所求的双曲线的标准方程M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,所解得当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程同理,解得.故所求的双曲线的标准方程解法二设所求的双曲线的标准方程为Ax2+By2=1(AB<0).因为M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,代入上述方程解得故所求的双曲线的标准方程。

04课后课时精练一、选择题1．在方程mx 2＋ny 2＝n 中，若mn <0，则方程表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线 解析：方程可化为x 2n m ＋y 2＝1，∵mn <0，∴nm <0.∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线． 答案：D2．[2014·福建宁德一模]已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A. 2B. 10C. 4D. 34解析：因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点(±7，0)，则有a 2－9＝7，∴a ＝4.选C.答案：C3．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )A.23 B ．1 C ．20D ．4解析：NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线的定义，知|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D.答案：D4．若椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)和双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是椭圆与双曲线的交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．a －m B.14(a －m ) C ．a 2－m 2D.a －m解析：由椭圆和双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，||PF 1|－|PF 2||＝2m ，两式平方相减得4|PF 1|·|PF 2|＝4(a －m )， ∴|PF 1|·|PF 2|＝a －m . 答案：A5．若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是下图中的( )解析：方程可化为y ＝ax ＋b 和x 2a ＋y 2b ＝1.从选项B ，D 中的两个椭圆看，a 、b ∈(0，＋∞)，但由B 中直线可知a <0，b <0，矛盾，应排除B ；由D 中直线可知a <0，b >0，矛盾，应排除D ；再由A 中双曲线可知a <0，b >0，但直线中a >0，b >0，也矛盾，应排除A ；由C 中的双曲线可知a >0，b <0，和直线中a >0，b <0一致．应选C.答案：C6．[2014·江西高考]过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A. x 24－y 212＝1 B. x 27－y 29＝1 C. x 28－y 28＝1D. x 212－y 24＝1解析：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，意在考查考生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力．设双曲线的右焦点为F ，则F (c,0)(其中c ＝a 2＋b 2)，且c ＝|OF |＝r ＝4，不妨将直线x ＝a 代入双曲线的一条渐近线方程y ＝ba x ，得y ＝b ，则A (a ，b )．由|F A |＝r ＝4，得(a －4)2＋b 2＝4，即a 2－8a ＋16＋b 2＝16，所以c 2－8a ＝0，所以8a ＝c 2＝42，解得a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，所以所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案：A 二、填空题7. [2014·北京高考]设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________．解析：本题考查双曲线的基本性质以及标准方程．根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，所以a ＝1，c ＝2，于是b 2＝c 2－a 2＝1，所以方程为x 2－y 2＝1.答案：x 2－y 2＝18．与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线的标准方程是________．解析：解法一：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点(32，2)，所以(32)2a 2－22b 2＝1， ①通过计算可知c ＝25，所以a 2＋b 2＝(25)2. ②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝8.故所求双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.解法二：设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(－4<k <16)，将点(32，2)代入，得(32)216－k －224＋k＝1，解得k ＝4或k ＝－14(舍去)，所以双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.答案：x 212－y 28＝19．过双曲线x 2144－y 225＝1的一个焦点作x 轴的垂线，则垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为________．解析：∵双曲线方程为x 2144－y 225＝1，∴c ＝144＋25＝13，F 1(－13,0)，F 2(13,0)．设过F 1垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y >0)，∴y 225＝132144－1＝25144.∴y ＝2512，即|AF 1|＝2512. 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24， ∴|AF 2|＝24＋2512＝31312. 故所求距离分别为：2512、31312. 答案：2512、31312 三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．解：解法一：设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为15，于是有⎩⎨⎧42a2－(15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线方程为y 24－x 25＝1.解法二：将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)、F 2(0，－3)．所以2a ＝(15－0)2＋(4＋3)2－ (15－0)2＋(4－3)2＝8－4＝4，a ＝2， ∴b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5， 所以双曲线方程为y 24－x 25＝1.解法三：由题意设双曲线方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，将A (15，4)代入得，λ＝32，λ＝0(舍去)．所以所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.11．已知椭圆x 2＋2y 2＝32的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝4.求动点P 的轨迹E 的方程．解：由椭圆的方程可化为x 232＋y 216＝1，得|F 1F 2|＝2c ＝232－16＝8，|PF 1|－|PF 2|＝4<8. ∴动点P 的轨迹E 是以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点， 2a ＝4，a ＝2的双曲线的右支，由a ＝2，c ＝4得b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12， 故其方程x 24－y 212＝1(x ≥2)．12．A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6千米，C 在B 北偏西30°，相距4千米，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方向角．解：如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (－3,0)，A (3,0)，C (－5，23)．因为|PB |＝|PC |，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上． 设敌炮阵地的坐标为(x ，y )，因为k BC ＝－3，BC 中点D (－4，3)，所以直线l PD ：y －3＝13(x ＋4)．①又|PB |－|P A |＝4，故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上． 则双曲线方程为x 24－y 25＝1(x >0)．② 联立①②式，得x ＝8，y ＝53， 所以P 的坐标为(8,53)．因此k P A ＝538－3＝ 3.故炮击的方向角为北偏东30°.。

课时作业10 双曲线及其标准方程 |基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．直线D ．一条射线解析：F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．答案：D 2．已知双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0) 解析：将双曲线方程化为标准方程，即x 21－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62，∴右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.答案：C3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B.x23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：由双曲线定义知，2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2， ∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y23＝1.答案：A4．下面各选项中的双曲线，与x212－y224＝1共焦点的双曲线是()A.x212＋y214＝1 B.y224－x212＝1C.x210－y226＝1 D.x210＋y226＝1解析：方法一因为所求曲线为双曲线，所以可排除选项A，D；又双曲线x212－y224＝1的焦点在x轴上，所以排除选项B，综上可知，选C.方法二与x212－y224＝1共焦点的双曲线系方程为x212＋λ－y224－λ＝1，对比四个选项中的曲线方程，发现只有选项C中的方程符合条件(此时λ＝－2)．答案：C5．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|P A|－|PB|＝3，则|P A|的最小值为()A.12 B.32C.72D．5解析：如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|P A|最小，最小值为a＋c＝32＋2＝72.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.解析：由点F(0,5)可知该双曲线y2m－x29＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.答案：167．已知P是双曲线x264－y236＝1上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝17，求|PF2|＝________.解析：由双曲线方程x264－y236＝1可得a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图象可得点P到右焦点F2的距离d≥c－a＝2.因为||PF1|－|PF2||＝16，|PF1|＝17，所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33.答案：338．已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的标准方程是________．解析：如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，故|BN|＝|BM|2＋|MN|2＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋22＝52.由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝52－32＝1，即a2＝14.而2c＝|MN|＝2，从而c＝1，b2＝34. 所以双曲线E的标准方程是x214－y234＝1.答案：x214－y234＝1三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知x21－k－y2|k|－3＝－1，当k为何值时，(1)方程表示双曲线？|能力提升|(20分钟，40分)11．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程是( )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)解析：如图，设过M ，N 的直线与圆C 相切于R ，S ，则|PR |＝|PS |，|MR |＝|MB |，|SN |＝|NB |， 所以|PM |＝|PR |＋|RM | ＝|PR |＋|MB |， |PN |＝|PS |＋|SN | ＝|PS |＋|NB |，所以|PM |－|PN |＝|MB |－|NB | ＝2<|MN |，所以由双曲线定义知，P 点的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的右支，因为2a ＝2，所以a ＝1，c ＝3， 所以b 2＝c 2－a 2＝8，所以点P 的轨迹方程为x 2－y28＝1(x >1)． 故选A. 答案：A12．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为______________．解析：由题意可设双曲线方程为由Ruize收集整理。

课后训练1．双曲线的方程为22=1106x y -，则它的两焦点坐标是（ ）A ．(±2,0）B ．(±4,0）C ．(0，±2)D ．（0，±4)2．方程22=111x y k k -+-表示双曲线,则k 的取值范围是( )A ．－1＜k ＜1B ．k ＞0C ．k ≤0D ．k ＞1或k ＜－13．若椭圆22=14x y m +与双曲线22=12x y m -有相同的焦点，则实数m 的值为（ )A ．1B ．1或3C ．1或3或－2D ．34．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且ab ＜0，则它表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．椭圆5．与双曲线22=1164x y -共焦点，且过点的双曲线的标准方程为（ ）A ．22=1812x y -B ．22=1812x y -+C ．22=1128x y -+ D ．22=1128x y -6．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________________．7．已知F 是双曲线22=1412x y -的左焦点,点A (1，4),P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为______．8．已知双曲线22=14x y -的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上且满足12π2F PF ∠=，则△F 1PF 2的面积是__________． 9．已知双曲线的焦点为F 1（0,－6），F 2(0,6），且经过点（2，－5）．求该双曲线的标准方程．10．已知双曲线经过M （1，1），N （－2，5)两点，求双曲线的标准方程．参考答案1. 答案：B 由c 2＝a 2＋b 2＝10＋6＝16,焦点又在x 轴上，∴两焦点坐标为（±4,0）．2。

课堂效果落实.[·四川宜宾测试]已知点(－，)，(，)，动点满足－＝，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是( ). .. .解析：由已知可得＝，＝，∴＝.∴双曲线方程为－＝(≤－)．将＝代入，可得点的横坐标为＝－.∴点到原点的距离为＝.答案：．已知方程－＝表示的图形是双曲线，那么的取值范围是( )．> ．>或－<<．>或<－．－<<解析：由于方程－＝只需满足(－)与(－)同号，方程即能表示双曲线．∵方程的图形是双曲线，∴(－)(－)>，即(\\(－>，－>，))或(\\(－<，－<，))解得>或－<<.答案：．已知双曲线的方程为－＝，点、在双曲线的右支上，线段经过双曲线的右焦点，＝，为另一焦点，则△的周长为( )．＋．＋．＋．＋解析：∵、在双曲线的右支上，∴－＝，－＝，∴＋－(＋)＝.∴＋＝＋.∴△的周长为＋＋＝＋.答案：．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为()，则双曲线的标准方程为( ) . －＝ . －＝. －＝ . －＝解析：依题意，＋＝·.即＋＝，∴＋＋＝(＋)．∴(－)＝，即＝.∵一个顶点坐标为()，∴＝＝，∴双曲线方程为－＝.答案：．已知双曲线的两个焦点、之间的距离为，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为，求双曲线的方程．解：若以线段所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式．由题意得＝＝.∴＝，＝，＝－＝.当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程为－＝.若以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系．则双曲线的方程为－＝.。

03课堂效果落实1.已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( )A. 62B. 32C. 3D. 2解析：由已知可得c ＝2，a ＝1，∴b ＝1.∴双曲线方程为x 2－y 2＝1(x ≤－1)．将y ＝12代入，可得点P 的横坐标为x ＝－52.∴点P 到原点的距离为 (－52)2＋(12)2＝62.答案：A2．已知方程x 2k －5－y 2|k |－2＝1表示的图形是双曲线，那么k 的取值范围是( )A ．k >5B ．k >5或－2<k <2C ．k >2或k <－2D ．－2<k <2 解析：由于方程x 2k －5－y 2|k |－2＝1只需满足(k －5)与(|k |－2)同号，方程即能表示双曲线．∵方程的图形是双曲线，∴(k －5)(|k |－2)>0，即⎩⎨⎧ k －5>0，|k |－2>0，或⎩⎨⎧ k －5<0，|k |－2<0，解得k >5或－2<k <2.答案：B3．已知双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为()A．2a＋2m B．4a＋2mC．a＋m D．2a＋4m解析：∵A、B在双曲线的右支上，∴|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|－|AF2|＝2a，∴|BF1|＋|AF1|－(|BF2|＋|AF2|)＝4a.∴|BF1|＋|AF1|＝4a＋m.∴△ABF1的周长为4a＋m＋m＝4a＋2m.答案：B4．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A. y24－x24＝1 B.x24－y24＝1C. y24－y29＝1 D.x28－y24＝1解析：依题意，2a＋2b＝2·2c.即a＋b＝2c，∴a2＋2ab＋b2＝2(a2＋b2)．∴(a－b)2＝0，即a＝b.∵一个顶点坐标为(0,2)，∴a2＝b2＝4，∴双曲线方程为y 2－x 2＝4.答案：A5．已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．解：若以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式．由题意得2a ＝24,2c ＝26.∴a ＝12，c ＝13，b 2＝132－122＝25.此时双曲线的焦点在x 轴上，双曲线的方程为x 2144－y 225＝1.若以线段F 1F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系．此时双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的方程为y 2144－x 225＝1.。

课时作业13 双曲线及其标准方程时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2010·安徽高考)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0B .⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0C .⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D .()3，0 解析：∵双曲线方程为x 2－2y 2＝1，∴a ＝1，b ＝22，得c ＝a 2＋b 2＝12＋(22)2＝62， ∴它的右焦点坐标为(62，0)，故C 正确． 答案：C2．k>1，则关于x 、y 的方程(1－k)x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在x 轴上的双曲线解析：原方程化为y 2k 2－1－x 21＋k＝1，∵k>1， ∴k 2－1>0,1＋k>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．答案：C3．若双曲线x 2m 2－4－y 2m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(－2，－1)C ．(1,2)D ．(－1,2)解析：由已知得⎩⎨⎧ m 2－4<0m ＋1<0，即⎩⎨⎧ －2<m<2m<－1.即－2<m<－1.答案：B 4．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是( )A ．±5B ．±3C ．5D ．9解析：由题意知34－n 2＝n 2＋16，∴2n 2＝18，n 2＝9.∴n ＝±3.答案：B5．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A .x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y 22＝1 解析：∵F 1(－5，0)，PF 1的中点坐标为(0,2)，∴P 的坐标为(5，4)．又∵双曲线的一个焦点为F 1(－5，0)，∴另一个焦点为F 2(5，0)．∴2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝|(5＋5)2＋16－(5－5)2＋42|＝2.∴a ＝1.又∵c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝4.∴双曲线方程为x 2－y 24＝1. 答案：B6．双曲线x 2n－y 2＝1(n>1)的两焦点分别为F 1、F 2.P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A .12B ．1C ．2D ．4解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2n.由|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2， 解得|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n ， |F 1F 2|＝2n ＋1.所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∠F 1PF 2＝90°.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝1. 答案：B二、填空题(每小题8分，共24分)7．已知双曲线x216－y220＝1上一点M到它的一个焦点的距离等于6，则点M到另一个焦点的距离为________．解析：由题意可知，a＝4，b＝20，设焦点为F1，F2且|MF1|＝6，则|MF2|－|MF1|＝±2a＝±8，∴|MF2|＝6＋8＝14或|MF2|＝6－8＝－2(舍去)．答案：148．双曲线x2－y2k＝1的一个焦点是(2,0)，那么实数k的值为________．解析：由已知c＝2，∴c2＝a2＋b2即1＋k＝4，∴k＝3.答案：39．若椭圆x2m＋y2n＝1(m>n>0)和双曲线x2a－y2b＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1、F2，P为椭圆与双曲线的公共点，则|PF1|·|PF2|等于________．解析：椭圆的焦点为(±m－n，0)，双曲线的焦点为(±a＋b，0)，∴m－n＝a＋b.∴|PF1|＋|PF2|＝2m，①||PF1|－|PF2||＝2a②①2－②2有|PF1|·|PF2|＝m－a.答案：m－a三、解答题(共40分)10．(10分)已知椭圆x 2＋2y 2＝32的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝4.求动点P 的轨迹E 的方程．解：由椭圆的方程可化为x 232＋y 216＝1得 |F 1F 2|＝2c ＝232－16＝8，|PF 1|－|PF 2|＝4<8.∴动点P 的轨迹E 是以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点，2a ＝4，a ＝2的双曲线的右支，由a ＝2，c ＝4得b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，故其方程x 24－y 212＝1(x ≥2)．图111．(15分)如图1，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3.∴M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝914. ∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1(x ≤－32)．12．(15分)已知曲线C ：x 2t 2＋y 2t 2－1＝1(t ≠0，t ≠±1)． (1)求t 为何值时，曲线C 分别为椭圆、双曲线；(2)求证：不论t 为何值，曲线C 有相同的焦点． 解：(1)当|t|>1时，t 2>0，t 2－1>0，曲线C 为椭圆； 当0<|t|<1时，t 2－1<0，曲线C 为双曲线．(2)当|t|>1时，t 2－1>0，曲线C 是椭圆，且t 2>t 2－1， 因而c 2＝t 2－(t 2－1)＝1.∴焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)当0<|t|<1时，双曲线C 的方程为x 2t 2－y 21－t 2＝1. ∵c 2＝t 2＋(1－t 2)＝1，∴焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)． 综上所述，无论t 为何值，曲线C 有相同的焦点．。

其次章 2.3 2.3.1A 级 基础巩固 一、选择题1．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程的曲线是导学号 21324532( D ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 [解析] 方程mx 2－my 2＝n 可化为：y 2－n m －x 2－n m ＝1，∵mn <0，∴－nm >0，∴方程的曲线是焦点在y 轴上的双曲线．2．双曲线x 225－y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为导学号 21324533( A )A ．22或2B ．7C ．22D ．2[解析] ∵a 2＝25，∴a ＝5，由双曲线定义可得||PF 1|－|PF 2||＝10，由题意知|PF 1|＝12，∴|PF 1|－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝22或2.3．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是导学号 21324534( A )A ．－3<k <－2B ．k <－3C ．k <－3或k >－2D ．k >－2[思路分析] 由于方程表示焦点在x 轴上的双曲线，故k ＋3>0，k ＋2<0.[解析] 由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3>0k ＋2<0，解得－3<k <－2.4．(2021·甘肃金昌市永昌一中高二期末)椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k 2－y 23＝1有相同的焦点，则k 的取值范围导学号 21324535( C )A ．k >3B ．2<k <3C ．k ＝2D ．0<k <2[解析] 双曲线x 2k －y 23＝1的焦点(±3＋k ，0)，椭圆的焦点坐标(±9－k 2，0)，椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，可得：3＋k ＝9－k 2，k ＞0，解得k ＝2.故选：C ． 5．(2021·福建八县一中高二期末测试)△ABC 中，A (－5,0)、B (5,0)，点C 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin A －sin B sin C ＝导学号 21324536( D )A ．35B ．±35C ．－45D ．±45[解析] 在△ABC 中，sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R ＝102R. ∴sin A －sin B sin C ＝|BC |－|AC |2R 102R ＝|BC |－|AC |10.又∵|BC |－|AC |＝±8， ∴sin A －sin B sin C ＝±810＝±45.6．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是导学号 21324537( D )A ．16B ．18C ．21D ．26[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 二、填空题7．双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点A (－5，6)，则双曲线的标准方程为 y 216－x 220＝1 .导学号 21324538[解析] 解法一：由已知得，c ＝6，且焦点在y 轴上，则另一焦点坐标是(0,6)． 由于点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的确定值是常数2a ，即2a ＝|(－5)2＋(6＋6)2－(－5)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求的双曲线标准方程是y 216－x 220＝1.解法二：由焦点坐标知c ＝6，∴a 2＋b 2＝36， ∴双曲线方程为y 2a 2－x 236－a 2＝1.∵双曲线过点A (－5,6)，∴36a 2－2536－a 2＝1，∴a 2＝16，b 2＝20. 双曲线方程为y 216－x 220＝1.8．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为__y 24－x 25＝1__.导学号 21324539 [解析] 椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，且c ＝3，a 2＋b 2＝9.由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A (15，4)、B (－15，4)， 由点A 在双曲线上知，16a 2－15b2＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝916a 2－15b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝5.∴所求曲线的方程为y 24－x 25＝1.三、解答题9．已知双曲线经过两点M (1,1)、N (－2,5)，求双曲线的标准方程.导学号 21324540[解析] 设所求双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，将点M (1,1)、N (－2,5)代入上述方程，得到⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝14m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝87n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.10．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.导学号 21324541[解析] 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有 |MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3.∴M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线左支，且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝c 2－a 2＝914.∴双曲线方程为4x 29－4y 291＝1(x ≤－32)．B 级 素养提升 一、选择题1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)为定点，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a ＝3和a ＝5时，P 点的轨迹分别为导学号 21324542( D )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线的一支和一条直线C ．双曲线和一条射线D ．双曲线的一支和一条射线[解析] |F 1F 2|＝(－8－2)2＋(3－3)2＝10a ＝3时，|PF 1|－|PF 2|＝6<10 ∴P 点轨迹为靠近F 2的双曲线一支 a ＝5时，|PF 1|－|PF 2|＝10＝|F 1F 2| ∴P 点轨迹为靠近F 2的一条射线．2．椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 22＝1有相同的焦点，则m 的值是导学号 21324543( A )A ．±1B ．1C ．－1D ．不存在[解析] 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1， 对椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：明显双曲线焦点在x 轴上， 故4－m 2＝m 2＋2. ∴m 2＝1，即m ＝±1.3．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于导学号 21324544( D )A ．23B ．1C ．2D ．4[解析] NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线定义知，|MF 2|－|MF 1|＝10，由于|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D ．4．设F 为双曲线x 216－y 29＝1的左焦点，在x 轴上F 点的右侧有一点A ，以F A 为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M 、N ，则|FN |－|FM ||F A |的值为导学号 21324545( D )A ．25B ．52C ．54D ．45[解析] 对点A 特殊化，不妨设点A 为双曲线的右焦点，依题意得F (－5,0)，A (5,0)， |FN |－|NA |＝8，|FM |＝|NA |，所以|FN |－|FM |＝8，|FN |－|FM ||F A |＝810＝45，选D ．二、填空题5．设F 1、F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于_24__.导学号 21324546[解析] 由3|PF 1|＝4|PF 2|知|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又c 2＝a 2＋b 2＝1＋24＝25，∴c ＝5，∴|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24.6．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为_9__.导学号 21324547[解析] ∵F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，∴a ＝2，b ＝23，c ＝4，F (－4,0)，右焦点H (4,0) 由双曲线定义|PF |＋|P A |＝2a ＋|PH |＋|P A |≥2a ＋|AH |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝9.三、解答题7．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？导学号 21324548 [解析] (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝1和x ＝－1. (2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1.①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45°<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝1和y ＝－1.(4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．8．在△ABC 中，A 、B 、C 所对三边分别为a 、b 、c ，B (－1,0)、C (1,0)，求满足sin C －sin B ＝12sin A 时，顶点A 的轨迹，并画出图形.导学号 21324549[解析] ∵sin C －sin B ＝12sin A ，∴c －b ＝12a ＝12×2＝1，即|AB |－|AC |＝1<|BC |＝2.∴动点A (x ，y )的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线 ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ′＝12c ′＝2b ′2＝c ′2－a ′2，∴⎩⎨⎧a ′＝12b ′＝32.∴A 点轨迹方程为x 214－y 234＝1.由于c >b 就是|AB |>|AC |，可知A 点的轨迹是双曲线的右支，还需除去点(12，0)如图所示．C 级 力量拔高争辩x 225－k ＋y 29－k ＝1表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征？导学号 21324550[解析] 由于k ≠9，k ≠25，则k 的取值范围为k <9,9<k <25，k >25，分别进行争辩． ①当k <9时，25－k >0,9－k >0，所给方程表示椭圆， 此时，a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，a 2－b 2＝16， 这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)． ②当9<k <25时，25－k >0,9－k <0， 所给方程表示双曲线，此时，a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16， 这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)． ③当k >25时，所给方程不表示任何圆锥曲线．。

[课时作业 ][A 组基础稳固 ]x 221．与椭圆 4 ＋ y ＝1 共焦点且过点 Q(2,1)的双曲线方程是 ()x 2 x 2A. 2 －y 2＝1B. 4 －y 2＝ 1x 2 y 2 2y 2C. 3－ 3 ＝1D ．x －2 ＝1分析：椭圆的焦点 F 1(－ 3，0)，F 2( 3，0)．与椭圆x 2＋ y 2＝1 共焦点的只有 A 、4D 两项，2x2又因为 Q 点在 2 －y ＝1 上．故应选 A. 答案： A2．已知双曲线中心在座标原点且一个焦点为F 1(－ 5，0)，点 P 位于该双曲线上，线段 PF 1 的中点坐标为 (0,2)，则该双曲线的方程是 ()x 222y 2A. 4 －y ＝1B ．x － 4＝ 1x 2 y 2x 2 y 2 C. 2－ 3 ＝1D. 3－2＝1分析：由题意可设双曲线方程为 x2y2a 2－ － 2＝1，5 a又由中点坐标公式可得 P( 5，4)，5162∴ a 2－5 － 2＝1，解得 a＝ 1.a答案： B．若双曲线22F 1，F 2，点 P 在双曲线 E 上，E ：x－ y＝1 的左、右焦点分别为39 16且 |PF 1 ＝ ，则 2 等于)| 3 |PF | ( A ．11 B ．9 C ． 5D ．3分析：由题意知 a ＝3，b ＝4， c ＝ 5，由双曲线定义知， ||PF 1|－ |PF 2||＝ |3－|PF 2||＝ 2a ＝6，∴ |PF 2|＝9答案： B ．已知 F 1、F 2 为双曲线 C ：x 2－y 2＝ 2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF 1 ＝ 2|PF 2 ， 4 | | 则 cos ∠F 1 2 等于 ( )PF1 3 3 4A. 4B ．5C.4D. 5x 2 y 2分析：双曲线的方程为 2 －2 ＝1，因此 a ＝b ＝ 2，c ＝2，因为 |PF 1|＝ 2|PF 2|，因此点 P 在双曲线的右支上，则有 |PF 1|－ |PF 2|＝ 2a ＝2 2，因此解得 |PF 2|＝2 2，|PF 1|＝4 2，因此依据余弦定理得2 2＋22－163cos ∠F 1 PF 2＝2×2 2×4 2＝ .4答案： C．已知 F 1、F 2 为双曲线 C ：x 2－ y 2＝1 的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠ F 1 PF 25＝ 60°，则 P 到 x 轴的距离为 ()36A. 2B. 2C. 3D. 6分析： ∵ ||PF 1|－ |PF 2||＝ 2，∴ |PF 1|2 －2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4，∴ |PF 1|2 ＋|PF 2|2＝4＋2|PF 1||PF 2|， 由余弦定理知|PF 1|2＋ |PF 2|2－|F 1F 2|2＝ 2|PF 1||PF 2|cos 60 ，°又∵ a ＝1，b ＝1，∴ c ＝ a 2＋b 2＝ 2，∴ |F 1F 2|＝2c ＝2 2，∴ 4＋ 2|PF 1||PF 2|－ 8＝ |PF 1||PF 2|，设 P 到 x 轴的距离为 |y 0|，1S △PF 1F 2＝2|PF 1||PF 2|sin 60°1＝ 2|F 1F 2||y 0|，13 1∴ 2×4×2 ＝2×2 2|y 0|，∴ y 0 ＝3＝26 2 .应选 B.答案： B6．双曲线8kx 2－ky 2＝8 的一个焦点为 (0,3)，则实数 k 的值为 ________．2 2分析：方程化为标准形式是y 8－－k x1＝1， － k8 1因此－ k －k ＝9，即 k ＝－ 1.答案： －1x22 y2＝1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则实数m 的取值＋7．若方程5－m m －2m －3范围是 ________．分析：依据焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为y2x2a 2－b 2＝ 1(a ＞0，b ＞0)，得知足题意的 m 需知足不等式组 5－ m ＜0， m ＞5，2－2m －3＞0， 即 ＞或＜－， m m 3 m1∴ m ＞5，∴ m 的取值范围为 (5，＋ ∞)． 答案： (5，＋ ∞)x2y 28．已知双曲线 C ： 9 － 16＝1 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，P 为双曲线 C 的右 支上一点，且 |PF 2 ＝ 1 2 ，则△ 1 2 的面积等于 ________．| |F F |PF F分析：由x 2－y 2＝ 1 知 c ＝5，9 16由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴ |PF 1|＝6＋|PF 2|＝16，1 2 ＋|PF 2 2－|F 1 2 2cos ∠F 1 PF 2＝|PF ||F |2|PF 1||PF 2|256＋100－100 4 ＝2×16×10 ＝5.3∴ sin ∠F 1PF 2＝5.∴S PF 1F 211 3 ＝ |PF 1||PF 2|sin ∠ F 1PF 2＝ ×16×10×＝ 48.22 5 答案： 48．动圆 M 与两定圆 F 1：x 2＋y 2＋10x ＋ 24＝0，F 2：x 2＋y 2－10x －24＝0 都外切， 9求动圆圆心 M 的轨迹方程．分析：将圆的方程化成标准式：F 1：(x ＋5)2 ＋y 2＝1，圆心 F 1(－5,0)，半径 r 1＝1，F 2：(x －5)2 ＋y 2＝72，圆心 F 2(5,0)，半径 r 2＝7.因为动圆 M 与定圆 F 1，F 2 都外切，因此 |MF 1|＝r ＋1，|MF 2|＝r ＋7，∴ |MF 2|－ |MF 1|＝6，∴点 M 的轨迹是双曲线的左支，且焦点F 1(－5,0)， F 2(5，0)，∴ c ＝5，且 a ＝3，∴ b 2＝ c 2－a 2＝52－32＝16.x 2y 2∴动圆圆心 M 的轨迹方程为 9 －16＝1(x<0)．x2y 210．设双曲线 4 － 9 ＝1，F 1，F 2 是其两个焦点，点M 在双曲线上．(1)若∠ F 1 MF 2＝90°，求△ F 1MF 2 的面积；(2)若∠ F 1 MF 2＝60°时，△ F 1MF 2 的面积是多少？分析： (1)由双曲线方程知 a ＝2，b ＝3，c ＝ 13.设 |MF 1|＝ r 1，|MF 2|＝r 2(r 1>r 2)．由双曲线定义，有 r1－r 2＝2a＝4，两边平方得 r 21＋r 22－ 2r 1·r2＝16，即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，也即52－16＝4S△F1MF 2，求得 S△F1MF2＝9.(2)若∠ F1 MF2＝60°.在△ MF 1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝r 21＋r22－ 2r 1r 2cos 60 ，°|F1F2|2＝(r 1－ r2)2＋r1r2，解得 r 1r 2＝36.1求得 S△F1MF 2＝2r1r2sin 60 ＝°9 3.[B 组能力提高]1．“mn<0”是“方程 mx2＋ ny2＝ 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线”的()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件分析：由 mn<0? m<0， n>0 或 m>0，n<0，因此 mx2＋ ny2＝ 1 表示焦点可能在 x 轴上也可能在 y 轴上的双曲线；而 mx2＋ny2＝1 表示焦点在 x 轴的双曲线则有 m>0，n<0，故 mn<0.故应选 B.答案： B2．已知双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与双曲线的左支交于A，B 两点，线段 AB 的长为 5，若 2a＝ 8，那么△ ABF2 的周长是()A．16B．18C．21D．26分析：由题意联合双曲线定义得 |AF2＝＋ 1 ， 2 ＝＋1|.|2a|AF ||BF |2a|BF又 |AF1＋ 1 ＝＝＝，||BF ||AB|5,2a 8∴△ ABF2的周长为 |AB|＋ |AF2 |＋ |BF2|＝|AB|＋ 4a＋ |AB|＝16＋2|AB|＝ 26.答案： D22223．若椭圆x＋ y＝1(m>n>0)和双曲线x－y＝1(a>0，b>0)有共同的焦点 F 1， F 2，m na bP 是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF | |PF · |＝ ________.1 2 分析：如图，由椭圆定义知，1 2m ，|PF |＋|PF |＝2∴(|PF 1 ＋2 2＝ 4m.①| |PF |)由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2 a ，∴ (|PF 1|－|PF 2|)2＝ 4a ， ② ①－②得， |PF 1| ·|PF 2|＝ m －a.答案： m －a224．已知双曲线 x－y＝ 1 的两焦点为 F 1，F 2164.→ →(1)若点 M 在双曲线上，且 MF 1 ·MF 2＝ 0，求 M 点到 x 轴的距离； (2)若双曲线 C 与已知双曲线有同样焦点，且过点 (3 2，2)，求双曲线 C 的方程．分析： (1)不如设→ → M 在双曲线的右支上， M 点到 x 轴的距离为 h ，MF1· 2＝0，MF则 MF 1⊥MF 2， 设|MF 1 ＝ ， 2 ＝ ，| m |MF | n由双曲线定义知， m －n ＝2a ＝ 8， ① 又 m 2＋ n 2＝(2c)2＝80，②由①②得 m ·n ＝8，11∵ 2mn ＝4＝2|F 1F 2| ·h ，2 5∴ h ＝ 5 .(2)设所求双曲线 C 的方程为22xy－＝ 1(－4<λ<16)，16－λ 4＋ λ因为双曲线 C 过点 (3 2，2)，∴ 18－4＝1， 16－λ 4＋λ解得λ＝4 或λ＝－ 14(舍去 )．x2y2∴所求双曲线 C 的方程为12－8＝1.35．在周长为 48 的 Rt△ MPN 中，∠MPN＝ 90°，tan∠ PMN＝4，求以 M 、N 为焦点，且过点 P 的双曲线方程．3分析：∵△ MPN 的周长为 48，且 tan∠PMN＝4，∴设 |PN|＝3k，|PM|＝ 4k，则 |MN|＝5k.由 3k＋4k＋5k＝ 48 得 k＝ 4.∴|PN|＝12， |PM|＝16，|MN|＝20.以 MN 所在直线为 x 轴，以 MN 的中点为原点成立直角坐标系，如下图．设所求双曲线方程为x2y2a2－b2＝1(a>0， b>0)．由 |PM|－ |PN|＝4 得 2a＝4，a＝2，a2＝4.由 |MN|＝20 得 2c＝ 20，c＝ 10，∴ b2＝c2－a2＝96.x2y2∴所求双曲线方程为 4 －96＝1(x≠±2).。

第二章 2.3 课时作业17一、选择题1．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．32B ．4 2C ．33D ．4 3解析：由双曲线的标准方程可知，a 2＝10，b 2＝2.于是有c 2＝a 2＋b 2＝12，则2c ＝4 3.故选D.答案：D2．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1 B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 D.x 225－y 249＝1或y 225－x 249＝1 解析：因为b 2＝c 2－a 2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程为x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1. 答案：C3．[2014·福建宁德一模]已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点，则a的值为( )A. 2B. 10C. 4D. 34解析：因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点(±7，0)，则有a 2－9＝7，∴a ＝4.选C.答案：C4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.答案：B 二、填空题5．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝__________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m >0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：166．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为__________．解析：由双曲线方程x 264－y 236＝1知，a ＝8，b ＝6，则c ＝a 2＋b 2＝10.∵P 是双曲线上一点，∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝16，又|PF 1|＝17，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝33. 又|PF 2|≥c －a ＝2，∴|PF 2|＝33. 答案：337．在△ABC 中，B (－6,0)，C (6,0)，直线AB ，AC 的斜率乘积为94，则顶点A 的轨迹方程为__________．解析：设顶点A 的坐标为(x ，y )，根据题意，得y x ＋6·y x －6＝94，化简，得x 236－y 281＝1(x ≠±6)．故填x 236－y 281＝1(x ≠±6)． 答案：x 236－y 281＝1(x ≠±6)三、解答题8．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)；(2)过点P 1(3，－42)，P 2(94，5)．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，||PF 1|－|PF 2|| ＝⎪⎪⎪⎪(5＋5)2＋(94－0)2－(5－5)2＋(94－0)2 ＝⎪⎪⎪⎪(414)2－(94)2＝8，即2a ＝8，则a ＝4. 又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9.故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－42)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋32B ＝18116A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－19B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.9．已知曲线x 216－m －y 2m＝1.(1)当曲线是椭圆时，求实数m 的取值范围，并写出焦点坐标； (2)当曲线是双曲线时，求实数m 的取值范围，并写出焦点坐标． 解：(1)曲线为椭圆⇔⎩⎪⎨⎪⎧16－m >0－m >016－m ≠－m⇔⎩⎨⎧m <16m <0⇔m <0.即实数m 的取值范围是(－∞，0)．此时，椭圆的焦点在x 轴上，坐标为(±4,0)．(2)曲线为双曲线⇔(16－m )m >0⇔0<m <16.即实数m 的取值范围是(0,16)． 此时，双曲线的焦点在x 轴上，坐标为(±4,0)．。

2．3.1双曲线及其标准方程填一填1.双曲线的定义F1， F2的距离的差的绝对值等于非零常数平面内与两个定点(小于 |F1 F2 |)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程焦点在 x 轴上x2y2标准方程a2－b2＝1(a>0， b>0)焦点在 y 轴上y2x2a2－b2＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－ c,0)， F 2(c,0) F 1(0，－ c)， F 2(0， c) a， b，c 的关系c2＝ a2＋ b2判一判1.平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离 )的点的轨迹是双曲线． (× )x2y22．在双曲线标准方程a2－b2＝1中，a>0，b>0且a≠b.(×)3．双曲线标准方程中，a， b 的大小关系是 a>b.(× )4．双曲线标准方程中的两个参数 a 和 b 确立了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．(√)5．双曲线的焦点 F 1，F 2的地点是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的种类．(√ ) 6．双曲线的标准方程中，因为c2＝ a2＋ b2，所以长度分别为 a， b，c 的三条线段恰巧构成一个直角三角形，且长度为 c 的线段是斜边． (√)x2y2只有 mn<0 时，＋＝1(mn≠ 0)，其实不可以确立它所表示的曲线能否是双曲线，7．给出方程m n方程才表示双曲线．(√ )8．点 P 到两定点 F (－ 2,0)，F(2,0) 的距离之差为 6，则点 P 的轨迹为双曲线的一支．(× )12想想1.双曲线的定义中，若2a＝ |F F |，则点 P 的轨迹是什么？若 2a>|F1F|，则点 P 的轨迹是122什么？若 2a＝ |F1F2|，则点 P 的轨迹为以F1， F2为端点的两条射线．若2a>|F1 F2 |，则点 P 的轨迹不存在．2．求双曲线方程的两个步骤是什么？(1)定位：确立双曲线焦点的地点，以判断方程的形式．(2)定量：确立方程中参数 a ， b 的详细的值，常依据条件列方程 (组 )求解．3．如何判断一个方程能否表示双曲线？x 2 y 2 (1)关于方程 m ＋ n ＝ 1，当 mn<0 时表示双曲线．进一步，当m>0，n<0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线；当 m<0，n>0 时表示焦点在 y 轴上的双曲线．x 2 y 2(2)关于方程 m － n ＝ 1，则当 mn>0 时表示双曲线．且当m>0 ，n>0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线；当 m<0， n<0 时表示焦点在 y 轴上的双曲线．思虑感悟：练一练x 2 y 2－＝1 的焦距为 ()1．双曲线 97A. 2 B ． 2 2 C ． 4 D ． 8 答案： D2．“ mn<0 ”是“方程 mx 2＋ ny 2＝ 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线”的 ( )A ．充足不用要和要件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件 答案： B3．平面内有两个定点12 (5,0)1 2F(－ 5,0)和 F，动点 P 知足 |PF |－ |PF|＝ 6，则动点 P 的轨迹方程是 ( )x 2 y 2x2y2A.16－ 9＝1(x ≤－ 4) B. 9 －16＝ 1(x ≤－ 3)x 2 － y 2 1(x ≥ 4) D. x 2 y 2 ＝ 1(x ≥3)C.16 ＝ － 169 9 答案： Dx 2 y 2 x 2 y 24．椭圆 4 ＋ a 2＝ 1 与双曲线 a －2 ＝ 1 有同样的焦点，则a 的值是 ()1A. 2 B ． 1 或－ 21 C ．1 或2 D ．1答案： D知识点一 双曲线标准方程的认识x 2－ y 2 ＝ 1 对应的图形是双曲线，那么k 的取值范围是 ()1．已知方程 k － 5|k|－ 2A ． k>5B ． k>5 或－ 2< k<2C ． k>2 或 k<－ 2D ．－ 2<k<2分析： ∵ 方程对应的图形是双曲线，∴ ( k － 5)(|k|－ 2)>0.k －5>0 ， k － 5<0 ，即或|k|－ 2>0 ，|k|－ 2<0.解得 k>5 或－ 2<k<2. 答案： B2．在方程 mx 2－ my 2＝n 中，若 mn<0，则方程所表示的曲线是 ( )A ．焦点在 x 轴上的椭圆B ．焦点在 x 轴上的双曲线C ．焦点在 y 轴上的双曲线D ．焦点在 y 轴上的椭圆22分析：方程 mx 2－ my2＝ n 可化为 x n －y n ＝ 1.由 mn<0 知m n<0，故方程所表示的曲线是焦点在 m my 轴上的双曲线．答案： C知识点二双曲线的定义3.已知 M(－ 2,0)， N(2,0) ，||PM |－ |PN||＝ 3，则动点 P 的轨迹是 ( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．双曲线分析： 由双曲线的定义可判断动点 P 的轨迹是双曲线．答案： D4．与两圆 x 2＋ y 2＝ 1 和 x 2＋ y 2－ 8x ＋ 12＝ 0 都外切的圆的圆心在 ( )A ．一个椭圆上B ．一条直线上C ．双曲线的一支上D ．一个圆上分析： 设动圆圆心为P ，半径为 r ，圆 x 2＋ y 2＝ 1 的圆心为 O(0,0)，r 1＝ 1，圆 x 2＋y 2－8x＋ 12＝ 0 的圆心为 M(4,0) ， r 2＝ 2，由题意知， |PM|＝r ＋ r 2 ，|PO |＝ r ＋ r 1 ，因为 |PM |－ |PO|＝ r 2－ r 1＝ 1<|OM|＝ 4，所以由双曲线定义知动圆圆心为双曲线的一支．应选 C.答案： C知识点三求双曲线的标准方程5.求合适以下条件的双曲线的标准方程：(1)a ＝ 2 5，经过点 A(2 ，－ 5)，焦点在 y 轴上；(2)过点 A(3,2)和 B(17,12)．y 2 x2分析：(1) 因为双曲线的焦点在 y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为 a 2－ b 2＝ 1(a>0，b>0) ．由题设知， a ＝ 2 5，且点 A(2，－ 5)在双曲线上，a ＝ 2 5，所以 254a 2 －b 2＝1，解得 a 2＝ 20， b 2＝ 16.y 2x 2故所求双曲线的标准方程为20－16＝ 1.x 2 y 2(2)若焦点在 x 轴上，设双曲线的标准方程为a 2－b 2＝ 1(a>0， b>0)．9 4 1a 2－b 2＝ 1，a 2＝ 1，由已知条件得122解得1721a 2 －2 ＝1，2＝ 2.bby2则双曲线的标准方程为x 2－ 1 ＝ 1.222若焦点在 y 轴上，设双曲线的标准方程为y 2 － x2＝ 1(a>0 ， b>0) ，a b42－ 92＝ 1，ab由已知条件得172122a 2 －b 2 ＝ 1，1a 2＝－ 2，解得明显不建立，舍去．1b 2＝－ 1，综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y 21＝1.26．求合适以下条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝ 3，c ＝ 4，焦点在 x 轴上；(2)焦点为 (0，－ 6)， (0,6)，经过点 A(－ 5,6)；x 2 ＋y 2＝ 1 长轴的端点为焦点，且经过点 (3， 10)．(3)以椭圆 8 5分析： (1) 由题设知， a ＝ 3，c ＝ 4，由 c 2 ＝ a 2＋ b 2，得 b 2＝ c 2－ a 2＝ 42－ 32＝ 7. 因为双曲线的焦点在 x 轴上，x 2 y 2 所以所求双曲线的标准方程为9 －7＝1. (2)由已知得 c ＝ 6，且焦点在 y 轴上． 因为点 A(－ 5,6)在双曲线上，所以 2a ＝ |－ 5－ 0 2＋ 6＋ 6 2－ － 5－ 0 2＋ 6－ 6 2|＝ |13－ 5|＝ 8，则 a ＝ 4， b 2＝ c 2－ a 2＝ 62－42＝ 20.所以所求双曲线的标准方程为 y 2－x 2＝ 1.16 20(3)由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且 c ＝ 2 2.设双曲线的标准方程为910b>0) ，则有 a 2＋ b 2＝ c 2＝ 8， a 2－ b 2 ＝ 1，解得 a 2＝ 3， b 2＝ 5.x2y2故所求双曲线的标准方程为3－5＝1.综合应用x 2 y 2a 2－b 2＝ 1(a>0，7.点 P 与定点 F(2,0)的距离和它到定直线 1的距离的比是 21，求点 P 的轨迹方程．x ＝ 2分析： 设点 P 的坐标为 (x ， y)，x － 2 2＋ y － 0 2 y 2由题意得1＝ 2，化简得 x 2－ 3 ＝ 1，x －2y 2所以点 P 的轨迹方程为x 2－ 3 ＝ 1.12x2－ y 2 ＝ 1 的两个焦点， 点 P 在双曲线上， 且∠ F 1 2＝ 60 128．设 F，F 是双曲线 916PF °，求△ F PF的面积．x2y2分析： ∵ 双曲线 9 － 16＝ 1，∴ a ＝ 3，b ＝ 4， c ＝ 5， 不如设 |PF 1 |>|PF 2|，则 |PF 1|－ |PF 2|＝ 2a ＝ 6， |F 1F 2|2＝ |PF 1|2 ＋ |PF 2|2－ 2|PF 1||PF 2 |cos 60 . ° 而|F 1F 2|＝ 2c ＝ 10，得|PF 1|2＋ |PF 2|2－ |PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－ |PF 2|)2＋ |PF 1| ·|PF 2|＝ 100， ∴ |PF 1||PF 2|＝ 64.1∴S △ F 1PF 2＝ 2|PF 1 ||PF 2 |sin 60 ＝°163.基础达标一、选择题22x－ y＝1的焦距为 ()1．双曲线 10 2 A ．3 2 B ．4 2C ．3 3D ．4 3分析： c 2＝ a 2＋ b 2＝ 10＋2＝ 12， ∴ c ＝2 3， 2c ＝ 4 3. 答案： D2．若双曲线方程为 x 2－ 2y 2 ＝1，则它的右焦点为 ( )A.2，0 B. 5， 0226， 0D ．( 3，0)C. 22分析： 双曲线的标准方程为x 2－ y＝ 1.焦点在 x 轴上，1 21 3 6c 2＝ 1＋ ＝ ， c ＝2.226∴右焦点为2，0.3．若双曲线 8kx 2－ ky 2＝8 的一个焦点坐标是 (3,0) ，则 k ＝( )A ． 1B ．－ 11 1C.2D ．－ 2x 2 y 2分析： 依题意，知双曲线的焦点在 x 轴上，且 c ＝ 3，方程可化为 1 － 8 ＝ 1，则 k>0，且18 18k ka 2＝ k ，b 2＝ k ，所以 k ＋ k ＝ 9，解得 k ＝ 1.答案： A x 2 y 2F 1，F 2，点 P 在双曲线 E 上，且 |PF 1|＝ 3，4．若双曲线 E ： － ＝ 1 的左、 右焦点分别为则 |PF 2|等于 ( 9 16)A ．11B ．9C ．5D ．3分析：依题意知， 点 P 在双曲线的左支上，依据双曲线的定义， 得 |PF 2 |－ |PF 1|＝ 2× 3＝6，所以 |PF 2|＝ 6＋ 3＝ 9.答案： B x 2 ＋ y 2 5．设 θ是三角形的一个内角， 且 sin θ＋ cos θ＝1，则方程 ＝ 1 所表示的曲线为5 sin θ cos θ ()A ．焦点在 x 轴上的椭圆B ．焦点在 y 轴上的椭圆C ．焦点在 x 轴上的双曲线D ．焦点在 y 轴上的双曲线1分析： 由 sin θ＋ cos θ＝ 5得 sin θ·cos θ<0， 又∵ θ为三角形的一个内角， ∴ s in θ>0， cos θ<0，∴方程表示的是焦点在 x 轴上的双曲线，应选C.答案： C12 (211时，6．已知点 F (－2，0)、F 2， 0)，动点 P 知足 |PF |－ |PF |＝ 2.当点P 的纵坐标是 2点 P 到坐标原点的距离是 ()6 3A. 2B.2C. 3D ． 2分析：因为动点 P 知足 |PF 2 |－ |PF 1|＝ 2 为定值， 又 2<2 2，所以 P 点的轨迹为双曲线的一支．因为 2a ＝ 2，所以 a ＝1.又因为 c ＝ 2，所以 b 2＝ c 2－ a 2＝ 1.所以 P 点轨迹为 x 2－ y 2＝ 1 的1 55 16 左支．当 y ＝ 2时， x 2＝ 1＋ y 2＝ 4，则 P 点到原点的距离为 |PO|＝x 2＋ y 2＝4＋ 4＝2.答案： A7．已知双曲线的中心在座标原点，且一个焦点为1F (－ 5， 0)，点 P 在该双曲线上，线段 PF 1 的中点坐标为 (0,2)，则该双曲线的标准方程为()22A.x－ y 2＝ 1 B ． x 2－ y＝ 14 4C. x 2 y 2 x 2y 2－ ＝1 D. － ＝ 12 3 3 2 x 2 y 2分析： 设双曲线的标准方程为22a 2－b 2＝ 1(a>0， b>0) ，则c ＝① .设 P(x ，5，即 a ＋ b ＝ 5－5＋ x2＝ 0，x＝5，y)，由线段 PF1的中点坐标为5，(0,2)，可知得即点 P 的坐标为 (0＋ y y＝ 4，2＝ 2，516② .联立①②，得 a2＝ 1，b2＝ 4，即双曲线的标准方程为4)，代入双曲线方程，得a2－b2 ＝1x2－y24＝ 1.应选 B.答案： B2228．设椭圆x＋y＝ 1 和双曲线x－ y2＝ 1 的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，623则 cos∠ F1PF2等于 ()11A.4B.31 3C.9D.5分析：设 |PF1|＝ d1， |PF 2|＝ d2，则 d1＋ d2＝ 2 6，①|d1－ d2|＝ 23，②2222①＋②，得 d1＋ d2＝ 18.①2－②2，得 2d1d2＝ 6.而 c＝ 2，2221d1＋ d2－ 4c 18－ 16即 cos∠F 1PF 2＝2d d＝6＝ .应选 B.12答案： B二、填空题是双曲线 x2－y29．设 F1， F2＝ 1 的两个焦点， P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝ 4|PF 2|，则 |PF 1|＝________.24分析：依题意有3|PF1|＝4|PF 2|，解得 |PF2|＝6， |PF1|＝8。

2.3　双曲线2.3.1　双曲线的标准方程1．了解双曲线标准方程的推导过程．(难点)2．理解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程．(重点、难点)3．椭圆与双曲线标准方程的区别与联系．(易混点)[基础·初探]教材整理　双曲线的标准方程阅读教材P 39～P 40例1以上部分，完成下列问题.标准方程－＝1(a >0，b >0)x 2a 2y 2b 2－＝1(a >0，b >0)y 2a 2x 2b 2焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形焦点坐标F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 之间的关系c 2＝a 2＋b 2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程－＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )x 2a 2y 2b 2(2)在双曲线标准方程中，a ，b 和焦点F 2(c,0)满足a 2＝b 2＋c 2.( )(3)双曲线y 2－x 2＝1的焦点坐标在y 轴上．( )(4)在双曲线－＝1中，焦点坐标为(±5,0)．( )y 29x 24【解析】　(1)方程－＝1中，a >0，b >0.x 2a 2y 2b 2a ＝b 时也是双曲线，故不正确；(2)在双曲线标准方程中，都有a 2＋b 2＝c 2.故不正确．(3)根据标准方程特点，正确．(4)在－＝1中，c ＝＝，所以焦点坐标为(0，±)．y 29x 249＋41313【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]求双曲线标准方程　根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P ，Q ；(3，154)(－163，5)(2)c ＝，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．6【精彩点拨】　解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a ，b ，c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式，将两点代入，简化运算过程．解答(2)利用待定系数法．【自主解答】　(1)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为－＝1(a >0，b >0)，x 2a 2y 2b 2∴点P 和Q 在双曲线上，(3，154)(－163，5)∴Error!解得Error!(舍去)若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为－＝1(a >0，b >0)，y 2a 2x 2b 2将P ，Q 两点坐标代入可得Error!解得Error!∴双曲线的标准方程为－＝1.y 29x 216法二：设双曲线方程为＋＝1(mn <0)．x 2m y 2n ∵P ，Q 两点在双曲线上，∴Error!解得Error!∴所求双曲线的标准方程为－＝1.y 29x 216(2)法一：依题意可设双曲线方程为－＝1(a >0，b >0)．x 2a 2y 2b 2依题设有Error!解得Error!∴所求双曲线的标准方程为－y 2＝1.x 25法二：∵焦点在x 轴上，c ＝，6∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．x 2λy 26－λ∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，25λ46－λ∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是－y 2＝1.x 251．用待定系数法求双曲线方程的一般步骤2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解．[再练一题]1．已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)，求双曲x 227y 23615线的方程. 【导学号：09390030】【解】　椭圆＋＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，故可设双曲x 227y 236线的方程为－＝1.y 2a 2x 2b 2由题意，知Error!解得Error!故双曲线的方程为－＝1.y 24x 25双曲线标准方程的讨论　(1)如果方程＋＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是x 2m ＋2y 2m ＋1________．(2) “ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的________条件(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)．(3)若方程＋＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的x 25－m y 2m 2－2m －3取值范围．【精彩点拨】　根据双曲线标准方程的特征常列不等式组求解．【自主解答】　(1)由题意知(2＋m )(1＋m )＜0，解得－2＜m ＜－1.故m 的取值范围是(－2，－1)．(2)若ax 2＋by 2＝c 表示双曲线，即＋＝1表示双曲线，则<0，这就是x 2ca y 2cb c 2ab 说“ab <0”是必要条件，然而若ab <0，c 等于0时不表示双曲线，即“ab <0”不是充分条件．【答案】　(1)(－2，－1)　(2)必要不充分(3)由方程＋＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得Error!解x 25－m y 2m 2－2m －3得m >5.所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．方程表示双曲线的条件及参数范围求法1．对于方程＋＝1，当mn ＜0时表示双曲线．进一步，当x 2m y 2n m ＞0，n ＜0时表示焦点在x 轴上的双曲线；当m ＜0，n ＞0时表示焦点在y 轴上的双曲线．2．对于方程－＝1，则当mn ＞0时表示双曲线．且当m ＞0，n ＞0时x 2m y 2n 表示焦点在x 轴上的双曲线；当m ＜0，n ＜0时表示焦点在y 轴上的双曲线．3．已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．[再练一题]2．讨论＋＝1表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征？x 225－k y 29－k 【解】　由于k ≠9，k ≠25，则k 的取值范围为k <9,9<k <25，k >25，分别进行讨论．(1)当k <9时，25－k >0,9－k >0，所给方程表示椭圆，此时，a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，a 2－b 2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．(2)当9<k <25时，25－k >0,9－k <0，所给方程表示双曲线，此时，a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．(3)当k >25时，所给方程没有轨迹．[探究共研型]双曲线中的焦点三角形探究1　双曲线上一点M 与双曲线的两个焦点F 1，F 2构成的三角形称为焦点三角形，其中MF 1，MF 2，F 1F 2为三角形的三边，在焦点三角形中，常用的关系式有哪些？【提示】　焦点三角形中，常用的关系式有：(1)MF 1－MF 2＝±2a ；(2)S △F1MF 2＝MF 1·MF 2·sin ∠F 1MF 2；12(3)F 1F ＝MF ＋MF －2MF 1·MF 2·cos ∠F 1MF 2.2212探究2　在双曲线的焦点三角形中，如何确定它的面积？随着∠F 1PF 2的变化，△F 1PF 2的面积将怎样变化？【提示】　由公式S △PF 1F2＝PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2，12cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 2－F 1F 22PF 1·PF 2＝(PF 1－PF 2)2－F 1F 2＋2PF 1·PF 22PF 1·PF 2＝4a 2－4c 2＋2PF 1·PF 22PF 1·PF 2＝－4b 2＋2PF 1·PF 22PF 1·PF 2＝＋1，－2b 2PF 1·PF 2∴PF 1·PF 2＝.2b 21－cos ∠F 1PF 2从而得S △PF1F2＝(θ＝∠F 1PF 2)．b 2tan θ2∵0<θ<π，∴0<<，θ2π2在内，是单调递减的，(0，π2)1tan θ2∴当θ增大时，S △F1MF2＝减小．b 2tan θ2　设F 1，F 2为双曲线－＝1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足x 24y 24∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的周长及△F 1PF 2的面积．【精彩点拨】　由双曲线定义、勾股定理建立方程组，求出PF 1与PF 2的长，或利用整体代入法先求PF 1＋PF 2与PF 1·PF 2，再求周长与面积．【自主解答】　法一：∵点P 在双曲线－＝1上，x 24y 24∴|PF 1－PF 2|＝4，F 1F 2＝4.2又∵∠F 1PF 2＝90°，∴△F 1PF 2为直角三角形，∴PF ＋PF ＝F 1F ＝32.2122列方程组Error!解得Error!或Error!∴△F 1PF 2的周长为PF 1＋PF 2＋F 1F 2＝4＋4，32△F 1PF 2的面积为PF 1·PF 2＝(2＋2)(2－2)＝4.121233法二：同解法一得|PF 1－PF 2|＝4，F 1F 2＝4，PF ＋PF ＝32.2212∴(|PF 1－PF 2)2＝PF ＋PF －2PF 1·PF 2，212即16＝32－2PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2＝8.∴(PF 1＋PF 2)2＝PF ＋PF ＋2PF 1·PF 2＝32＋16＝48，212∴PF 1＋PF 2＝4.3∴△F 1PF 2的周长为PF 1＋PF 2＋F 1F 2＝4＋4，32△F 1PF 2的面积为PF 1·PF 2＝ ×8＝4.1212在双曲线的焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点，另外，还经常结合MF 1－MF 2＝±2a ，运用平方的方法，建立它与MF 1·MF 2的联系，体现了数学中的一种整体思想.[再练一题]3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，PF 1＝2PF 2，则cos ∠F 1PF 2＝________.【解析】　由双曲线方程得a ＝，b ＝，则c ＝＝2.因为22a 2＋b 2PF 1－PF 2＝2，且PF 1＝2PF 2，所以PF 1＝4，PF 2＝2，而F 1F 2＝4，在△222PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝＝.PF 21＋PF2－F 1F 22PF 1·PF 234【答案】　34[构建·体系]1．若k ∈R ，方程＋＝1表示双曲线，则k 的取值范围是x 2k ＋3y 2k ＋2________．【解析】　据题意知(k ＋3)(k ＋2)＜0，解得－3＜k ＜－2.【答案】　(－3，－2)2．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1－PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是________．【解析】　由条件可知，双曲线焦点在x 轴上，且a ＝3，c ＝5，则b 2＝c 2－a 2＝16，∴动点P 的轨迹方程为－＝1.x 29y 216【答案】　－＝1x 29y 2163．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数x 24y 2a 2x 2a y 22a ＝________.【导学号：09390031】【解析】　由条件可得4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1.【答案】　14．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k 的值为________．【解析】　方程可化为－＝1.由条件可知－－＝9，解得k ＝－1.y 2－8k x 2－1k 8k 1k 【答案】　－15．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；x 28y 25(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)．x 216y 242【解】　(1)依题意，双曲线的焦点在x 轴上且a ＝，c ＝2，32∴b 2＝c 2－a 2＝5.∴双曲线的标准方程为－＝1.x 23y 25(2)法一：∵c 2＝16＋4＝20，∴c ＝2，5∴F (±2，0)，5∴2a ＝|－|(32－25)2＋4(32＋25)2＋4＝，∴a 2＝12，3∴b 2＝c 2－a 2＝8，∴双曲线方程为－＝1.x 212y 28法二：设所求双曲线方程为－＝1(－4<λ<16)．x 216－λy 24＋λ∵双曲线过点(3，2)，2∴－＝1，1816－λ44＋λ解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线方程为－＝1.x 212y 28我还有这些不足：(1)　(2)　我的课下提升方案：(1)　(2)　学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．(2016·徐州高二检测)双曲线－＝1上一点P 到一个焦点的距离是y 216x 2910，那么点P 到另一个焦点的距离是________．【解析】　据题意知|PF 1－PF 2|＝|PF 1－10|＝8，∴PF 1＝18或2.【答案】　18或22．双曲线－＝1的焦距是________．x 2m 2＋12y 24－m 2【解析】　由题意，得c ＝＝4，∴焦距为2c ＝8.(m 2＋12)＋(4－m 2)【答案】　83．已知双曲线－＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且x 216y 225PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.【解析】　设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝|PF ′|.12又|FN |＝＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|OF |2－|ON |2|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－|PF ′|＝(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝×8－5＝－1.121212【答案】　－14．焦点分别是(0，－2)，(0,2)，且经过点P (－3,2)的双曲线的标准方程是________．【解析】　由题意，焦点在y 轴上，且c ＝2，可设双曲线方程为－＝1(0<m <4)，将P (－3,2)代入，解得m ＝1.y 2m x 24－m 因此所求双曲线标准方程为y 2－＝1.x 23【答案】　y 2－＝1x 235．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________．【解析】　不妨设P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(2)2＝PF 2＋PF ，又因为|PF 1－PF 2|＝2，所以(PF 1－PF 2)2＝4，可得2PF 1·PF 2＝4，则212(PF 1＋PF 2)2＝PF ＋PF ＋2PF 1·PF 2＝12，所以PF 1＋PF 2＝2.2123【答案】　36．已知双曲线－＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距x 29y 216离是________. 【导学号：09390032】【解析】　由于双曲线－＝1的右焦点为F (5,0)，将x M ＝5代入双曲线x 29y 216可得|y M |＝，即双曲线上一点M 到右焦点的距离为，故利用双曲线的定义163163可求得点M 到左焦点的距离为2a ＋|y M |＝6＋＝.163343【答案】　3437．(2016·江西九江模拟)已知F 1，F 2是双曲线－＝1的左，右焦点，P x 216y 29是双曲线右支上一点，M 是PF 1的中点，若OM ＝1，则PF 1的值为________．【解析】　因为M 是PF 1的中点，所以PF 2＝2OM ＝2，又由双曲线的定义知：PF 1－PF 2＝2a ＝8，所以PF 1＝10.【答案】　108．(2016·云南玉溪模拟)若圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________. 【导学号：09390033】【解析】　解方程组Error!得Error!或Error!∵圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴A (0，－3)，B (0,3)，且a ＝3,2c ＝18，∴b 2＝2－32＝72，(182)∴双曲线方程为－＝1.y 29x 272【答案】　－＝1y 29x 272二、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝4，经过点A；(1，－4103)(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．【解】　(1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为－＝1(b ＞0)，x 216y 2b 2把A 点的坐标代入，得b 2＝－×＜0，不符合题意；16151609当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为－＝1(b ＞0)，y 216x 2b 2把A 点的坐标代入，得b 2＝9，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.y 216x 29(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴Error!解得Error!∴所求双曲线的标准方程为－＝1.x 29y 2310．已知F 1，F 2是双曲线－＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，x 29y 216且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．【解】　双曲线的标准方程为－＝1，可知x 29y 216a ＝3，b ＝4，c ＝＝5.由双曲线的定义，a 2＋b 2得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF ＋PF －2PF 1·PF 2＝36，212∴PF ＋PF ＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100.212在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝＝＝0，PF 21＋PF 2－F 1F 22PF 1·PF 2100－1002PF 1·PF 2∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝PF 1·PF 2＝×32＝16.1212[能力提升]1．设F 1，F 2是双曲线x 2－＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且y 2243PF 1＝4PF 2，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】　由题意知PF 1－PF 2＝2a ＝2，∴PF 2－PF 2＝2，43∴PF 2＝6，PF 1＝8.又F 1F 2＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝90°，∴S △PF 1F 2＝×6×8＝24.12【答案】　242．设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的513点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为_____．【解析】　对于椭圆C 1，∵长轴长2a 1＝26，∴a 1＝13，又离心率e 1＝＝，∴c 1＝5.c 1a 1513由题意知曲线C 2为双曲线，且与椭圆C 1共焦点，∴c 2＝5.又2a 2＝8，∴a 2＝4，b 2＝＝3，又焦点在x 轴上，c 2－a 2故曲线C 2的标准方程为－＝1.x 216y 29【答案】　－＝1x 216y 293．已知双曲线的两个焦点F 1(－，0)，F 2(，0)，P 是双曲线上一点，55且·＝0，PF 1·PF 2＝2，则双曲线的标准方程为________．PF1→ PF 2→ 【解析】　由题意可设双曲线方程为－＝1(a ＞0，b ＞0)．x 2a 2y 2b 2由·＝0，得PF 1⊥PF 2.PF1→ PF 2→ 根据勾股定理得PF ＋PF ＝(2c )2，即PF ＋PF ＝20.212212根据双曲线定义，有PF 1－PF 2＝±2a .两边平方并代入PF 1·PF 2＝2，得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1.故双曲线的标准方程是－y 2＝1.x 24【答案】　－y 2＝1x 244．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图2­3­1所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA ，PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100km ，PB ＝150km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．图2­3­1【解】　矩形灾民区ABCD 中的点可分为三类，第一类沿道路PA 送药较近，第二类沿道路PB 送药较近，第三类沿道路PA 和PB 送药一样远近．依题意，界线是第三类点的轨迹．设M 为界线上的任一点，则PA ＋MA ＝PB ＋MB ，MA －MB ＝PB －PA ＝50(定值)，∴界线是以A ，B 为焦点的双曲线的右支的一部分．如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为－＝1(a >0，b >0)，x 2a 2y 2b 2∵a ＝25,2c ＝|AB |＝50，1002＋1502－2×100×150×cos 60°7∴c ＝25，b 2＝c 2－a 2＝3 750，7故双曲线的标准方程为－＝1.x 2625y 23 750注意到点C 的坐标为(25，60)，故y 的最大值为60，此时x ＝35，故界7线的曲线方程为－＝1(25≤x ≤35，y >0)．x 2625y 23 750。

2.3.1双曲线的标准方程一、选择题1．已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝0B ．y ＝0(|x |≥13)C ．x ＝0(|y |≥13)D ．以上都不对[答案] C[解析] ||PF 1|－|PF 2||＝|F 1F 2|，∴x ＝0.2．双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为( ) A ．(－7，0)，(7，0)B ．(0，－7)，(0，7)C ．(－5,0)，(5,0)D ．(0，－5)，(0,5)[答案] C[解析] 16＋9＝c 2＝25，∴c ＝5，∵焦点在x 轴上，∴(－5,0)，(5,0)为焦点坐标．3．已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值为( )A.12B.32C.72 D ．5[答案] C[解析] 点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P 与双曲线右支顶点M 重合时，|P A |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.故选C.4．已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m[答案] B[解析] 由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AF 1|＋|BF 1|－(|AF 2|＋|BF 2|)＝4a .又|AF 1|＋|BF 1|＝AB ＝m ，∴△ABF 1周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＋2m .5．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点．若|PF 1|：|PF 1|＝3：2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24 [答案] B[解析] 设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝2，x y ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝4又|F 1F 2|＝213 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝16＋36－4×132×4×6＝0. ∴S △PF 1F 2＝12x ·y ·sin ∠F 1PF 2＝4×6×12×1＝12. 6．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0.b >0)有相同的焦点，P 是两曲线上的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2 D.m －b[答案] A[解析] 由题意|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a 整理得|PF 1|·|PF 2|＝m －a ，选A.7．方程x 24－t ＋y 2t －2＝1所表示的曲线为C ，有下列命题： ①若曲线C 为椭圆，则2<t <4；②若曲线C 为双曲线，则t >4或t <2；③曲线C 不可能是圆；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，则3<t <4.以上命题正确的是( )A ．②③B ．①④C ．②④D ．①②④ [答案] C[解析] 若C 为圆，则4－t ＝t －2>0，∴t ＝3.当t ＝3，C 表示圆，∴③不正确．若C 为椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4－t >0，t －2>0，4－t ≠t －2.∴2<t <4，且t ≠3，故①不正确，故选C.8．设θ∈(34π，π)则关于x ，y 的方程x 2csc θ－y 2sec θ＝1 所表示的曲线是( ) A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．长轴在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆[答案] C[解析] 方程即是x 2sin θ＋y 2－cos θ＝1，因θ∈(3π4，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，且－cos θ>sin θ，故方程表示长轴在y 轴上的椭圆，故答案为C.9．已知平面内有一定线段AB ，其长度为4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|PO |的最小值为( )A ．1B.32 C ．2D ．4 [答案] B[解析] 由已知，P 点轨迹为以A ，B 为焦点，2a ＝3的双曲线一支，顶点到原点距离最小，∴|PO |的最小值为32，故选B.10．设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|的值等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8[答案] A[解析] ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→.又||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝20－2|PF 1|·|PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2.二、填空题11．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3) ，那么k 的值为________．[答案] k ＝－1[解析] 方程为x 21k －y 28k＝1，∵焦点为(0,3)，∴k <0且(－8k )＋(－1k)＝9，∴k ＝－1. 12．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，则a ＋b ＝________.[答案] 12[解析] p (a ，b )点到y ＝x 的距离d ＝|a －b |2， ∵P (a ，b )在y ＝x 下方，∴a >b ∴a －b ＝2，又a 2－b 2＝1，∴a ＋b ＝12. 13．设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．[答案] 163 [解析] 如图所示，设圆心P (x 0，y 0)，则|x 0|＝c ＋a 2＝4，代入x 29－y 216＝1， 得y 20＝16×79，∴|OP |＝x 20＋y 20＝163. 14．双曲线x 216－y 29＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥F 1F 2，则点P 到x 轴的距离为______．[答案] 94[解析] ∵F 1(－5,0)，PF 1⊥F 1F 2.设P (－5，y P )∴2516－y 2P 9＝1，即y 2P ＝8116，∴|y P |＝94， ∴点P 到x 轴的距离为94. 三、解答题15．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．[解析] 当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线．当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点上，半径为2的圆．当k <0时，方程y 24＋x 24k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线． 当0<k <1时，方程x 24k＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆． 当k >1时，方程x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆． 16．在△ABC 中，BC 固定，A 点为动点，设|BC |＝8，且|sin C －sin B |＝12sin A ，求A 点的轨迹方程．[解析] 以BC 所在直线为x 轴，以线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (－4,0)，C (4,0)．设A (x ，y )，则由正弦定理知，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R，代入|sin C －sin B |＝12sin A ，得|c －b |＝12a ＝4，且|BC |＝8>4，故由双曲线定义知，A 点在以B ，C 为焦点的双曲线上，2a 0＝4，∴a 0＝2,2c 0＝8，c 0＝4，∴b 20＝c 20－a 20＝16－4＝12，即点A 的轨迹方程为x 24－y 212＝1(y ≠0)． 17．设双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上． (1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F 1MF 2＝60°时，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝120°时，△F 1MF 2的面积又是多少？[解析] (1)由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13，设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(r 1>r 2)如图所示．由双曲线定义，有r 1－r 2＝2a ＝4.两边平方得r 21＋r 22－2r 1·r 2＝16， 因为∠F 1MF 2＝90°，所以r 21＋r 22＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝52，所以r 1r 2＝18，所以S △F 1MF 2＝9.(2)若∠F 1MF 2＝60°，在△MF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos60°|F 1F 2|2＝(r 1－r 2)2＋r 1r 2，得r 1r 2＝36，所以S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin60°＝9 3. 同理，当∠F 1MF 2＝120°，S △F 1MF 2＝3 3.18．如图所示，某村在P 处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路P A 或PB 送到成矩形的一块田ABCD 中去，已知P A ＝100m ，BP ＝150m ，BC ＝60m ，∠APB ＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路P A 送肥较近而另一侧的点则沿PB 送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．[解析] 田地ABCD 中的点可分为三类：第一类沿P A 送肥近，第二类沿PB 送肥较近，第三类沿P A 或PB 送肥一样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹．设M 是界线上的任一点，则|P A |＋|MA |＝|PB |＋|MB |，即|MA |－|MB |＝|PB |－|P A |＝50(定值)故所求界线是以A 、B 为焦点的双曲线一支．若以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系，则所求双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1，其中a ＝25，2c ＝|AB |＝1002＋1502－2·100·150·cos60° ＝507.∴c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3750.因此，双曲线方程为x 2625－y 23750＝1(25≤x ≤35，y ≥0)， 即为所求界线的方程．。