高中数学人教版选修2-1课后训练：2-3-1 双曲线及其标准方程 Word版含解析

技能演练基 础 强 化1．双曲线x 29－y 2m ＝1的焦距是10，则实数m 的值为( )A ．－16B ．4C ．16D ．81解析 2c ＝10，∴c ＝5，∴9＋m ＝25，∴m ＝16. 答案 C2．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．3B ．5C ．6D ．9解析 由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝6，观察选项知D 正确． 答案 D3．若k ∈R ，则“k ＞3”是“方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 当k >3时，k －3>0，k ＋3>0，∴方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线．反之，若该方程表示双曲线，则(k －3)(k ＋3)>0，∴k >3，或k<－3.故k>3是方程x2k－3－y2k＋3＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案 A4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是() A．16 B．18C．21 D．26解析如图所示，由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝8，(1)|BF2|－|BF1|＝8，(2)又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝5，(3)∴由(1)，(2)，(3)得|AF2|＋|BF2|＝21.故△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝26.答案 D5．双曲线x210－y22＝1的焦距为()A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3解析 由双曲线x 210－y 22＝1，知c 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3. 答案 D6．已知双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x －2y ＋20＝0上，两焦点关于原点对称，c a ＝53，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 264＝1 B.x 264－y 236＝1 C.x 236－y 264＝－1 D.x 264－y 236＝－1 解析 令x ＝0，y ＝10，∴双曲线的焦点坐标F 1(0，－10)，F 2(0,10)，∴c ＝10，又c a ＝53，∴a ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝100－36＝64，故双曲线方程为y 236－x 264＝1，故选D.答案 D7．已知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是__________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9，b ＝3，c 2＝a 2＋b 2，得a ＝4，b ＝3，又焦点在y 轴上，∴所求双曲线方程为y 216－x 29＝1.答案 y 216－x 29＝18．双曲线x 2m 2－4－y 2m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是__________．解析依题意得⎩⎨⎧m ＋1<0，m 2－4<0，⇒⎩⎨⎧m <－1，－2<m <2，⇒－2<m <－1. 答案 (－2，－1)能 力 提 升9．已知定点A (3,0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．解 设P 的坐标为(x ，y )． ∵圆P 与圆C 外切且过点A ， ∴|PC |－|PA |＝4.∵|AC |＝(3＋3)2＋0＝6＞4，∴点P 的轨迹是以C ，A 为焦点，实轴长为2a ＝4的双曲线的右支，∵a ＝2，c ＝3， ∴b 2＝c 2－a 2＝5.∴动圆圆心P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．10．求与双曲线x 24－y 22＝1有相同的焦点，且过点P (2,1)的双曲线的方程．解 方法1：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知，c 2＝4＋2＝6，又点P (2,1)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，4a 2－1b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝3，b 2＝3.故所求的双曲线方程为x 23－y 23＝1.方法2：∵所求的双曲线与x 24－y 22＝1有相同的焦点，∴可设双曲线方程为x 24－λ－y 22＋λ＝1(－2＜λ＜4)．∵双曲线过点P (2,1)， ∴44－λ－12＋λ＝1， 解得λ＝1，或λ＝－4(舍去)． 故所求的双曲线方程为x 23－y 23＝1.品 味 高 考11．(2010·安徽)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0)C ．(62，0)D ．(3，0)解析 双曲线x 2－2y 2＝1化为标准形式，得x 2－y212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c 2＝a 2＋b 2＝32.∴c ＝62.故右焦点坐标为(62，0)．答案 C12．(2010·全国Ⅰ)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 点在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则P 到x 轴的距离为( )A.32B.62C. 3D. 6解析 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，不妨设m >n ，P (x ，y )，|PF 1|－|PF 2|＝m －n ＝2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得(22)2＝m 2＋n 2－2mn cos60°， ∴8＝(m －n )2＋mn . ∴mn ＝4.由△F 1PF 2的面积相等，得 12×22×|y |＝12mn sin60°，即2|y|＝12×4×3 2.∴|y|＝62.即P到x轴的距离为62. 答案 B。

§ 2.3双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为________________________________________________________________________． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做__________________，两焦点间的距离叫做__________________． 2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B .x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y 22＝14．双曲线x 2m －y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A .12B ．1或3C .1＋22D .2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y22＝1二、填空题8．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．9．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝________________________________________________________________________. 三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) (－c,0) (c,0)(2)y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0) (0，－c ) (0，c ) (3)c 2＝a 2＋b 2 作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙， 只有当2a <|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以ba <0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线，故选B.]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)．由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b2＝1.②由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.] 4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m ＋3＋m ＝c 2＝4.∴m ＝12.]5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.]7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4，又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2 ＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2. 8．－1<k <1解析 因为方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k )(1－k )>0.所以(k ＋1)(k －1)<0.所以－1<k <1. 9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有 ⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)， 又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)． 所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4， 即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.11．解 设A 点的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，代入sin B －sin C ＝12sin A ， 得|AC |2R －|AB |2R ＝12·|BC |2R ，又|BC |＝8， 所以|AC |－|AB |＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1 (x >2)．12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4， ∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P (x ，y )(x ≥3)，13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b2＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y 25＝1.。

绝密★启用前2.3.1双曲线及其标准方程一、选择题1．【题文】双曲线x y 222-=8的焦点坐标是（ ）A.()23,0± B.()0,23± C.()2,0± D.()0,2±2．【题文】若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于 （ ）A ．11B ．9C ．5D ．33．【题文】下列曲线中焦点坐标为()1,0-的是（ ）A ．223312x y -=B ．2214x y +=C ．22143x y -= D ．22123x y +=4．【题文】若双曲线22149x y -=上一点P 到左焦点的距离是3，则点P 到右焦点的距离为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．【题文】过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于P 、Q 点，若7PQ =，2F 是双曲线的右焦点，则△2PF Q 的周长是（ ）A ．28B ．1482-C ．1482+D ．826．【题文】椭圆2214x y +=与双曲线2212x y -=有相同的焦点1F 、2F ，P 是这两条曲线的一个交点，则△12F PF 的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．127．【题文】过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，若1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（ ）A ．b a MO MT -=-B ．b a MO MT ->-C ．b a MO MT -<-D ．b a MO MT -=+8．【题文】已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左，右焦点，且212b F F a=，I 为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F S SSλ=+成立，则λ的值为（ ）A ．1222+ B ．231- C ．21- D ．21+二、填空题9．【题文】设m 为常数，若点()5,0F 是双曲线2219x y m-=的一个焦点，则m = ．10．【题文】已知双曲线221x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则12PF PF +=_______．11．【题文】若动圆M 与圆1C ：()224+2x+y =外切，且与圆2C ：()224+2x y -=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程________．三、解答题12．【题文】求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．13．【题文】已知命题p ：方程22122x y m m -=-表示焦点在x 轴上的双曲线.命题q ：曲线()2231y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围.14．【题文】已知()12,0F -，()22,0F ，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；（2）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点，无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(),0M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 的值.2.3.1双曲线及其标准方程参考答案及解析1.【答案】A【解析】双曲线方程整理为222221,4,8,12,2348x ya b c c-=∴==∴=∴=，焦点为()23,0±，故选A.考点：双曲线方程及性质.【题型】选择题 【难度】较易 2. 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =， 故选B ．考点：双曲线的标准方程和定义． 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】A【解析】双曲线223312x y -=中，223a =，213b =，故2221c a b =+=，焦点为()1,0±，符合题意；椭圆2214x y +=中，焦点为()3,0±，不符合题意；双曲线22143x y -=中，焦点为()7,0±，不符合题意；椭圆22123x y +=中，焦点为()0,1±，不符合题意.故选A.考点：椭圆与双曲线的焦点坐标. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】D【解析】由双曲线方程可知2224,9,13,2,3,13a b c a b c ==∴=∴===，P 到左焦点的距离是3，所以P 在左支上且11223,4,34,PF PF PF PF =∴-=∴-=27PF ∴=.考点：双曲线定义及方程. 【题型】选择题 【难度】较易 5. 【答案】C【解析】由双曲线方程可知22a b ==，884c =+=，根据双曲线的定义， 得2142PF PF -=，2142QF QF -=，∴2142PF PF =+，2142QF QF =+，相加可得221182PF QF PF QF +=++， ∵117PF QF PQ +==，∴22782PF QF +=+，因此△2PF Q 的 周长2278271482PF QF PQ =++=++=+，故选C ．考点：双曲线的定义． 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】C【解析】联立两方程得22221,41,2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得33y =，由题意可知1223F F =，所以121323123F PF S =⨯⨯=△.考点：焦点三角形的面积. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】A【解析】连接OT ，则1OT PF ⊥，在1FTO △中，1TF b =．连接2PF ， 在12PF F △中，O 、M 分别是12F F 、1PF 的中点，所以212OM PF =， ()()21121111122222MO MT PF PF TF PF PF b a b b a ⎛⎫∴-=--=-+=-+=- ⎪⎝⎭，故 选A ．考点：双曲线的定义，直线与圆相切． 【题型】选择题 【难度】较难 8. 【答案】C【解析】设△12PF F 的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得12122,2PF PF a F F c -==，1112IPF SPF r =⋅，2212IPF S PF r =⋅，12122IF F S c r cr =⋅⋅=.由题意得：121122PF r PF r cr λ⋅=⋅+，∴122PF PF a c c λ-==，又2122b F F c a==， ∴222c a ac -=，∴21acλ==-，故选C ． 考点：双曲线定义的应用. 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】16【解析】由点()5,0F 是双曲线2219x y m -=的一个焦点及222c a b =+可得，259m =+，解得16m =．考点：双曲线的标准方程． 【题型】填空题 【难度】较易 10. 【答案】23【解析】设点P 在双曲线的右支上，因为12PF PF ⊥，所以()2221222PF PF =+，又因为122PF PF -=，所以()2124PF PF -=，可得1224PF PF ⋅=， 则()222121212212PF PF PF PF PF PF +=++⋅=，所以1223PF PF +=. 考点：双曲线定义的应用. 【题型】填空题 【难度】一般11. 【答案】()2212214x y x -=≥ 【解析】设动圆M 的半径为r ，则由已知1+2MC r =，22MC r =-， ∴1222MC MC -=．又()14,0C -，()24,0C ，∴128C C =．∴1222C C <．根据双曲线的定义知，点M 的轨迹是以()14,0C -、()24,0C 为焦点的双曲线的右支．∵2a =，4c =，∴22214b c a =-=，∴点M 的轨迹方程是()2212214x y x -=≥．考点：求轨迹方程. 【题型】填空题 【难度】一般12. 【答案】22135x y -= 【解析】由椭圆的方程为22185x y +=可知8,5a b ==，则3c =，又因为双曲线 以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，所以双曲线中 3,8,5a c b ===，则双曲线的方程为221.35x y -= 考点：双曲线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】较易 13. 【答案】522m <≤或12m < 【解析】若命题p 为真，则2m >；若命题q 为真，则52m >或12m <，∵p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，∴,p q 一真一假，若p 真q 假，则522m <≤；若p 假q 真，则12m <.∴实数m 的取值范围为522m <≤或12m <.考点：双曲线的标准方程，二次函数的图像，简易逻辑关系. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】（1）()22113y x x -=≥ （2）1- 【解析】（1）由12122PF PF FF -=<知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线右支，22,22,3c a b ==∴=，故轨迹E 的方程为()22113y x x -=≥. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()()()11222,,,,y k x P x y Q x y =-，与双曲线方程联立消去y 得()222234430k x k x k --++=，22122212230,0,40,3430,3k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪∴⎨+=>-⎪⎪+⎪⋅=>-⎩解得23k >， ()()()()()()21212121222MP MQ x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+--()()()22221212124k x x k m x x m k =+-++++ ()()()()22222222222143423454.333k k k k m m k m k m k k k +++-+=-++=+--- ,0MP MQ MP MQ ⊥∴⋅=，()()22231450m k m m ∴-+--=对任意的23k >恒成立，2210,450,m m m ⎧-=⎪∴⎨--=⎪⎩解得 1.m =- ∴当1m =-时，MP MQ ⊥.当直线l 的斜率不存在时，由()()2,3,2,3P Q -及()1,0M -知结论也成立， 综上，当1m =-时，MP MQ ⊥.考点：圆锥曲线的轨迹问题及双曲线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】较难。

课后课时精练一、选择题．设双曲线－＝(>)的渐近线方程为±＝，则的值为( ). .. .解析：∵焦点在轴上，∴渐近线方程为＝±，又∵渐近线方程为±＝，∴＝.答案：．[·广东实验中学期末]已知双曲线－＝(>，>)，两渐近线的夹角为°，则双曲线的离心率为( ) . .. . 或解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线－＝(>，>)，两渐近线的夹角为°，则可知＝或＝，那么可知双曲线的离心率为＝，所以结果为或，故选.答案：．已知双曲线的渐近线方程为＝±，则此双曲线的( ). 焦距为. 实轴长和虚轴长分别是和. 离心率是或. 离心率不确定解析：若焦点轴，则＝，∴＝＝；若焦点在轴上，则＝，∴＝.∴＝＝.答案：．[·大纲全国卷]双曲线：－＝(>，>)的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于( ) . .. .解析：本题主要考查双曲线的几何性质，意在考查考生的基本运算能力．双曲线的渐近线方程为＝±，即±＝.焦点为(±)，故焦点到渐近线的距离＝＝，解得＝.而离心率＝＝，故＝，又＝＝＝，所以＝.故＝＝，所以双曲线的焦距为＝，选.答案：.已知双曲线的两个焦点为(－，)，(，)，是此双曲线上的一点，且满足·＝，·＝，则该双曲线的方程是( )－＝．－＝－＝－＝解析：本题主要考查双曲线的定义，向量数量积及解三角形等知识．由·＝可得＋＝＝，又由·＝可得－＝＝，得＝，＝，故选.答案：. [·湖北高二检测]设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ). .. .解析：设直线的斜率为－，则与其垂直的渐近线的斜率为，所以有－＝－即＝，所以－＝，两边同时除以可得－－＝，解得＝或＝(舍)．答案：二、填空题.。

2.3.1双曲线的标准方程课时过关·能力提升1.若双曲线的方程A.(±2,0)B.(±4,0)C.(0,±2)D.(0,±4)解析:因为c2=a2+b2=10+6=16,焦点在x轴上,所以焦点坐标为(4,0),(-4,0).答案:B2.若方A.-1<k<1B.k>0C.k≤0D.k>1或k<-1解析:因为方,所以有(1+k)(1-k)>0,解得-1<k<1.答案:A3.若椭A. 1B.1或3C.1或3或-2D.3解析:由题意可知m>0,于是焦点都在x轴上,故m=1.答案:A4.已知方程ax2-ay2=b,且ab<0,则它表示的曲线是()A.焦点在x轴上的双曲线B.圆C.焦点在y轴上的双曲线D.椭圆解析:原方程可变形y轴上的双曲线.答案:C★5.与双曲AC.解析:由题意知,c2=16+4=20,设所求的双曲线方程a2+b2=20,a2=12,b2=8.所以双曲线的标准方程答案:D6.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为.解析:令x=0,得y2-4y+8=0,方程无解,即该圆与y轴无交点.令y=0,得x2-6x+8=0,解得x=2或x=4,所以a=2,c=4,b2=c2-a2=16-4=12,且焦点在x轴上.故双曲线的标准方程答案:7.已知F是双曲解析:设右焦点为F1,依题意,有|PF|=|PF1|+4,∴|PF|+|P A|=|PF1|+4+|P A|=|PF1|+|P A|+4≥|AF1|+4=5+4=9,当A,P,F1三点共线时取等号.答案:9★8.已知双曲∠F1PF2△F1PF2的面积是.解析:不妨设P为双曲线左支上的点,F1为左焦点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,②-①2,得r1r2=2.所答案:19.已知双曲线的焦点为F1(0,-6),F2(0,6),且经过点(2,-5),求该双曲线的标准方程.分析:由焦点坐标可知,焦点在y轴上,可设方程c=6,再把点代入即可求得.解:设所求的双曲线方程故所求的双曲线的标准方程,且双曲线经过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程.分析:此题由于不知道焦点在哪个坐标轴上,所以应先分两种情况来讨论,再把两点代入.此题还可以先设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0),再把两点代入求解.解法一当焦点在x轴上时,设所求的双曲线的标准方程M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,所解得当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程同理,解得.故所求的双曲线的标准方程解法二设所求的双曲线的标准方程为Ax2+By2=1(AB<0).因为M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,代入上述方程解得故所求的双曲线的标准方程。

04课后课时精练一、选择题1．在方程mx 2＋ny 2＝n 中，若mn <0，则方程表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线 解析：方程可化为x 2n m ＋y 2＝1，∵mn <0，∴nm <0.∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线． 答案：D2．[2014·福建宁德一模]已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A. 2B. 10C. 4D. 34解析：因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点(±7，0)，则有a 2－9＝7，∴a ＝4.选C.答案：C3．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )A.23 B ．1 C ．20D ．4解析：NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线的定义，知|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D.答案：D4．若椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)和双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是椭圆与双曲线的交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．a －m B.14(a －m ) C ．a 2－m 2D.a －m解析：由椭圆和双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，||PF 1|－|PF 2||＝2m ，两式平方相减得4|PF 1|·|PF 2|＝4(a －m )， ∴|PF 1|·|PF 2|＝a －m . 答案：A5．若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是下图中的( )解析：方程可化为y ＝ax ＋b 和x 2a ＋y 2b ＝1.从选项B ，D 中的两个椭圆看，a 、b ∈(0，＋∞)，但由B 中直线可知a <0，b <0，矛盾，应排除B ；由D 中直线可知a <0，b >0，矛盾，应排除D ；再由A 中双曲线可知a <0，b >0，但直线中a >0，b >0，也矛盾，应排除A ；由C 中的双曲线可知a >0，b <0，和直线中a >0，b <0一致．应选C.答案：C6．[2014·江西高考]过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A. x 24－y 212＝1 B. x 27－y 29＝1 C. x 28－y 28＝1D. x 212－y 24＝1解析：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，意在考查考生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力．设双曲线的右焦点为F ，则F (c,0)(其中c ＝a 2＋b 2)，且c ＝|OF |＝r ＝4，不妨将直线x ＝a 代入双曲线的一条渐近线方程y ＝ba x ，得y ＝b ，则A (a ，b )．由|F A |＝r ＝4，得(a －4)2＋b 2＝4，即a 2－8a ＋16＋b 2＝16，所以c 2－8a ＝0，所以8a ＝c 2＝42，解得a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，所以所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案：A 二、填空题7. [2014·北京高考]设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________．解析：本题考查双曲线的基本性质以及标准方程．根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，所以a ＝1，c ＝2，于是b 2＝c 2－a 2＝1，所以方程为x 2－y 2＝1.答案：x 2－y 2＝18．与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线的标准方程是________．解析：解法一：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点(32，2)，所以(32)2a 2－22b 2＝1， ①通过计算可知c ＝25，所以a 2＋b 2＝(25)2. ②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝8.故所求双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.解法二：设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(－4<k <16)，将点(32，2)代入，得(32)216－k －224＋k＝1，解得k ＝4或k ＝－14(舍去)，所以双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.答案：x 212－y 28＝19．过双曲线x 2144－y 225＝1的一个焦点作x 轴的垂线，则垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为________．解析：∵双曲线方程为x 2144－y 225＝1，∴c ＝144＋25＝13，F 1(－13,0)，F 2(13,0)．设过F 1垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y >0)，∴y 225＝132144－1＝25144.∴y ＝2512，即|AF 1|＝2512. 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24， ∴|AF 2|＝24＋2512＝31312. 故所求距离分别为：2512、31312. 答案：2512、31312 三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．解：解法一：设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为15，于是有⎩⎨⎧42a2－(15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线方程为y 24－x 25＝1.解法二：将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)、F 2(0，－3)．所以2a ＝(15－0)2＋(4＋3)2－ (15－0)2＋(4－3)2＝8－4＝4，a ＝2， ∴b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5， 所以双曲线方程为y 24－x 25＝1.解法三：由题意设双曲线方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，将A (15，4)代入得，λ＝32，λ＝0(舍去)．所以所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.11．已知椭圆x 2＋2y 2＝32的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝4.求动点P 的轨迹E 的方程．解：由椭圆的方程可化为x 232＋y 216＝1，得|F 1F 2|＝2c ＝232－16＝8，|PF 1|－|PF 2|＝4<8. ∴动点P 的轨迹E 是以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点， 2a ＝4，a ＝2的双曲线的右支，由a ＝2，c ＝4得b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12， 故其方程x 24－y 212＝1(x ≥2)．12．A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6千米，C 在B 北偏西30°，相距4千米，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方向角．解：如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (－3,0)，A (3,0)，C (－5，23)．因为|PB |＝|PC |，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上． 设敌炮阵地的坐标为(x ，y )，因为k BC ＝－3，BC 中点D (－4，3)，所以直线l PD ：y －3＝13(x ＋4)．①又|PB |－|P A |＝4，故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上． 则双曲线方程为x 24－y 25＝1(x >0)．② 联立①②式，得x ＝8，y ＝53， 所以P 的坐标为(8,53)．因此k P A ＝538－3＝ 3.故炮击的方向角为北偏东30°.。

课时作业10 双曲线及其标准方程 |基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．直线D ．一条射线解析：F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．答案：D 2．已知双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0) 解析：将双曲线方程化为标准方程，即x 21－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62，∴右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.答案：C3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B.x23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：由双曲线定义知，2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2， ∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y23＝1.答案：A4．下面各选项中的双曲线，与x212－y224＝1共焦点的双曲线是()A.x212＋y214＝1 B.y224－x212＝1C.x210－y226＝1 D.x210＋y226＝1解析：方法一因为所求曲线为双曲线，所以可排除选项A，D；又双曲线x212－y224＝1的焦点在x轴上，所以排除选项B，综上可知，选C.方法二与x212－y224＝1共焦点的双曲线系方程为x212＋λ－y224－λ＝1，对比四个选项中的曲线方程，发现只有选项C中的方程符合条件(此时λ＝－2)．答案：C5．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|P A|－|PB|＝3，则|P A|的最小值为()A.12 B.32C.72D．5解析：如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|P A|最小，最小值为a＋c＝32＋2＝72.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.解析：由点F(0,5)可知该双曲线y2m－x29＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.答案：167．已知P是双曲线x264－y236＝1上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝17，求|PF2|＝________.解析：由双曲线方程x264－y236＝1可得a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图象可得点P到右焦点F2的距离d≥c－a＝2.因为||PF1|－|PF2||＝16，|PF1|＝17，所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33.答案：338．已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的标准方程是________．解析：如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，故|BN|＝|BM|2＋|MN|2＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋22＝52.由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝52－32＝1，即a2＝14.而2c＝|MN|＝2，从而c＝1，b2＝34. 所以双曲线E的标准方程是x214－y234＝1.答案：x214－y234＝1三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知x21－k－y2|k|－3＝－1，当k为何值时，(1)方程表示双曲线？|能力提升|(20分钟，40分)11．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程是( )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)解析：如图，设过M ，N 的直线与圆C 相切于R ，S ，则|PR |＝|PS |，|MR |＝|MB |，|SN |＝|NB |， 所以|PM |＝|PR |＋|RM | ＝|PR |＋|MB |， |PN |＝|PS |＋|SN | ＝|PS |＋|NB |，所以|PM |－|PN |＝|MB |－|NB | ＝2<|MN |，所以由双曲线定义知，P 点的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的右支，因为2a ＝2，所以a ＝1，c ＝3， 所以b 2＝c 2－a 2＝8，所以点P 的轨迹方程为x 2－y28＝1(x >1)． 故选A. 答案：A12．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为______________．解析：由题意可设双曲线方程为由Ruize收集整理。

课后训练1．双曲线的方程为22=1106x y -，则它的两焦点坐标是（ ）A ．(±2,0）B ．(±4,0）C ．(0，±2)D ．（0，±4)2．方程22=111x y k k -+-表示双曲线,则k 的取值范围是( )A ．－1＜k ＜1B ．k ＞0C ．k ≤0D ．k ＞1或k ＜－13．若椭圆22=14x y m +与双曲线22=12x y m -有相同的焦点，则实数m 的值为（ )A ．1B ．1或3C ．1或3或－2D ．34．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且ab ＜0，则它表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．椭圆5．与双曲线22=1164x y -共焦点，且过点的双曲线的标准方程为（ ）A ．22=1812x y -B ．22=1812x y -+C ．22=1128x y -+ D ．22=1128x y -6．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________________．7．已知F 是双曲线22=1412x y -的左焦点,点A (1，4),P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为______．8．已知双曲线22=14x y -的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上且满足12π2F PF ∠=，则△F 1PF 2的面积是__________． 9．已知双曲线的焦点为F 1（0,－6），F 2(0,6），且经过点（2，－5）．求该双曲线的标准方程．10．已知双曲线经过M （1，1），N （－2，5)两点，求双曲线的标准方程．参考答案1. 答案：B 由c 2＝a 2＋b 2＝10＋6＝16,焦点又在x 轴上，∴两焦点坐标为（±4,0）．2。

课堂效果落实.[·四川宜宾测试]已知点(－，)，(，)，动点满足－＝，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是( ). .. .解析：由已知可得＝，＝，∴＝.∴双曲线方程为－＝(≤－)．将＝代入，可得点的横坐标为＝－.∴点到原点的距离为＝.答案：．已知方程－＝表示的图形是双曲线，那么的取值范围是( )．> ．>或－<<．>或<－．－<<解析：由于方程－＝只需满足(－)与(－)同号，方程即能表示双曲线．∵方程的图形是双曲线，∴(－)(－)>，即(\\(－>，－>，))或(\\(－<，－<，))解得>或－<<.答案：．已知双曲线的方程为－＝，点、在双曲线的右支上，线段经过双曲线的右焦点，＝，为另一焦点，则△的周长为( )．＋．＋．＋．＋解析：∵、在双曲线的右支上，∴－＝，－＝，∴＋－(＋)＝.∴＋＝＋.∴△的周长为＋＋＝＋.答案：．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为()，则双曲线的标准方程为( ) . －＝ . －＝. －＝ . －＝解析：依题意，＋＝·.即＋＝，∴＋＋＝(＋)．∴(－)＝，即＝.∵一个顶点坐标为()，∴＝＝，∴双曲线方程为－＝.答案：．已知双曲线的两个焦点、之间的距离为，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为，求双曲线的方程．解：若以线段所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式．由题意得＝＝.∴＝，＝，＝－＝.当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程为－＝.若以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系．则双曲线的方程为－＝.。

03课堂效果落实1.已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( )A. 62B. 32C. 3D. 2解析：由已知可得c ＝2，a ＝1，∴b ＝1.∴双曲线方程为x 2－y 2＝1(x ≤－1)．将y ＝12代入，可得点P 的横坐标为x ＝－52.∴点P 到原点的距离为 (－52)2＋(12)2＝62.答案：A2．已知方程x 2k －5－y 2|k |－2＝1表示的图形是双曲线，那么k 的取值范围是( )A ．k >5B ．k >5或－2<k <2C ．k >2或k <－2D ．－2<k <2 解析：由于方程x 2k －5－y 2|k |－2＝1只需满足(k －5)与(|k |－2)同号，方程即能表示双曲线．∵方程的图形是双曲线，∴(k －5)(|k |－2)>0，即⎩⎨⎧ k －5>0，|k |－2>0，或⎩⎨⎧ k －5<0，|k |－2<0，解得k >5或－2<k <2.答案：B3．已知双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为()A．2a＋2m B．4a＋2mC．a＋m D．2a＋4m解析：∵A、B在双曲线的右支上，∴|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|－|AF2|＝2a，∴|BF1|＋|AF1|－(|BF2|＋|AF2|)＝4a.∴|BF1|＋|AF1|＝4a＋m.∴△ABF1的周长为4a＋m＋m＝4a＋2m.答案：B4．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A. y24－x24＝1 B.x24－y24＝1C. y24－y29＝1 D.x28－y24＝1解析：依题意，2a＋2b＝2·2c.即a＋b＝2c，∴a2＋2ab＋b2＝2(a2＋b2)．∴(a－b)2＝0，即a＝b.∵一个顶点坐标为(0,2)，∴a2＝b2＝4，∴双曲线方程为y 2－x 2＝4.答案：A5．已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．解：若以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式．由题意得2a ＝24,2c ＝26.∴a ＝12，c ＝13，b 2＝132－122＝25.此时双曲线的焦点在x 轴上，双曲线的方程为x 2144－y 225＝1.若以线段F 1F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系．此时双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的方程为y 2144－x 225＝1.。