07_非线性弹性本构关系_2012_709704628

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7.1.4 混凝土的本构模型
7.1.5 混凝土的本构模型
常用的混凝土本构模型

理论是完美的，但不是真实的
非线性弹性本构模型（弹性力学） 弹塑性本构模型（塑性力学） 损伤本构模型（损伤力学） 断裂力学本构模型（断裂力学）
以理论模型为基础， 根据试验数据修改理 论模型使之与试验相 吻合
试验是真实的，但不是完美的


保持I1, θ不变，改变J2直至与破坏面相交得到交点
(I1, J2f, θ)
引入调整系数k
k
β=
J2
J2 f
23
σ3 β = σ 3f

0 ≤ k ≤1
24
7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
等效一维应力应变关系

7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
等效一维应力应变关系 割线模量计算式
E

νs
E
Cedolin 模型
σ oct = 3K sε oct τ oct = 3Gsγ oct
0
Ks = ab −ε oct / c + d K0
Gs = pq −γ oct / v + sγ oct + t G0

(1 −ν s ) (1 +ν )(1 − 2ν ) Es s s D=
cosθ cos(31.03D ) σ 1 − 3.466 2 I1 2 J2 D D = − σ θ π cos( ) + = 5.292cos(31.03 − 120 ) − 8 = − 7.905 2 3 3 3 σ − 12.630 cos(31.03D + 120D ) 3 cos(θ + 2 π ) 3
(1 + ν )(1 − 2ν ) νE0 (1 − ν )E0 ( − 1 ν )t E0
0 0 0 0.5(1 − 2ν )E0
K=
G=
5
νE0 νE0 (1 − ν )E0
0 0 0 0 0.5(1 − 2ν )E0
E 3(1 − 2ν )
0
2 K− G 3 2 K− G 3 4 K+ G 3
+ 各种理论模型可以得到混凝土的任意应力应变关系 - 但是未必和真实情况一致 + 试验得到的混凝土应力应变关系是真实的 - 但是不能得到任意应力应变数值
7 8
7.1.6 非线性弹性本构模型

7.1.7 弹塑性本构模型
基本的弹塑性本构模型
ν
0 0 0 G12 G23


基本的非线性弹性本构模型
E 0 0 0
{ { }
= tσ + [Dt ]{dε }
σ } = {tσ }+ {dσ }
13
14
7.3 全量模型
7.3.1 K－G全量模型 全量模型
0 0 0 Gs 0 0 0 0 Gs

K－G 模型

分别建立K和G 随应力/应变的变化关系
2 K s − Gs 3 4 K s + Gs 3

E－ν 模型
2 K s − Gs 3 2 K s − Gs 3 4 K s + Gs 3
2
σ oct
fc
−1.75
)
Es =
1 1 1 1 E0 − β E0 − E f ± E0 − β E0 − E f 2 2 2 2
2 + βE f [D(1 − β ) − 1]
Ottosen公式
Ef = Ec ≥0 J2 E0 1 1 + 4 f − 3 E − 1 c f c

如何将一维的结果拓展到三维？
单一指标法

将三维应力/应变归一化，寻找一个合适的非线性指标， 以该指标为基础建立本构模型

一维非线性 应力应变关系
三维非线性 应力应变关系

Ottosen, 江见鲸模型，过镇海模型
等效依据
多指标法

在主应力空间里分别建立各个主应力方向的非线性指 标，而后建立各个主应力－主应变的关系，然后用经验 /假设方法确定本构矩阵的非对角项
7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
(1 + ν s )(1 − 2ν s ) s (1 +ν s )(1 − 2ν s ) s νs (1 −ν s ) E E (1 + ν s )(1 − 2ν s ) s (1 +ν s )(1 − 2ν s ) s (1 −ν s ) E (1 +ν s )(1 − 2ν s ) s
7.1.1 空间应力应变关系
σ ij = Cijkl ε kl

本构模型定义：反映物质宏观性质的数学模型。

把本构关系写成具体的数学表达形式就是本构方 程。

不同的本构方程：

胡克定律

热传导方程
{σ } = [D]{ε }

理想气体状态方程

牛顿粘性定律
σ x σ y σ z {σ } = τ xy τ yz τ zx
σ
fc

采用Sargin表达式(Ottosen建议)
β=
Es =
2
σ ε
ε ε + D ε ε0 0
2
ε ε A ε + (D − 1) ε 0 0 σ = k3 f c 2 ε ε 1 + ( A − 2 ) + D ε0 ε0

本课程所涉及本构关系只涉及应力－应变关系
3
ε x ε y ε z {ε } = γ xy γ yz γ zx
4
7.1.2 弹性本构矩阵－E ν 形式 7.1.3 弹性本构矩阵－K G形式
0 0
De = 0
sym
1 0
×
2 K− G 3 4 K+ G 3
坏准则，中国规范建议应力应变曲线
2 2 2 J 3 = S11S22 S33 + 2S12 S23 S31 − S11S23 − S 22 S13 − S33S12 = −2

求

当前的割线模量和泊松比
4J2 = 5.292 r= 3 4J3 cos 3θ = 3 = −0.05399 r θ = 31.03D

非线性指标： 非线性弹性本构 β ε pl 弹塑性本构 损伤力学本构 D
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ADINA, Darwin等程序
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非线性弹性模型的分类


非线性弹性模型的分类 增量形式模型
采用切线模量 稍复杂 可以模拟加卸载

全量形式模型

采用割线模量

简单

难以模拟加卸载
{
t + ∆t
t + ∆t
σ } = [Ds ]{t + ∆t ε } = [Ds ]({t ε }+ {dε })

破坏准则（Ottosen准则或其他准则）β=σFra bibliotekfcσ
fc

非线性指标

等效应力应变关系


该准则的框架比较具有代表性，很多研究者在他 的基础上又提出了很多各自的模型
β =1
处于破坏状态
ε
19 20
7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
三维非线性指标

7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
Ottosen法 保持σ1, σ2不变，改变σ3直至与破坏面相交得到交 点(σ1, σ2, σ3f)
T ∂G ∂F D e De ∂σ ∂σ Dep = De − T ∂F ∂G A + De ∂σ ∂σ
(1 −ν ) (1 + ν )(1 − 2ν ) E11 D=
− 24 = −8 3

混凝土强度为fc=20MPa，ft=2MPa，初始弹性模量 E0=30GPa，泊松比为ν0=0.18
[s] = [2
2 − 4 2 2 1]
T

一点应力状态为{-6 -6 -12 2 2 1}T，选用江见鲸四参数破
2 2 2 J 2 = − S11S22 − S 22 S33 − S11S33 + S12 + S 23 + S31 = 21 ， J 2 = 4.583
二维非线性指标
β=
OP σ2 σ = 1 = σ 2 f σ 1 f OF
β=
σ3 σ3f
21
22
7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
三维非线性指标

三维非线性指标：

J 2 法（江见鲸等提出）
比例增大法（王传志等提出） 比例增大(σ1, σ2, σ3)，直至与破坏面相交得到交点 (σ1f, σ2f, σ3f)
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7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型


7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
本构矩阵计算步骤 已知
混凝土强度，初始弹性模量和泊松比，单轴应力应变关 系，破坏准则，当前应力水平

割线泊松比计算
νs =ν0
if β < β a
β − βa ν s = ν f − (ν f − ν 0 ) 1 − 1− β