2020届高考数学(文)二轮强化专题卷(5)平面向量

2020年高考数学试题分项版——平面向量（解析版）一、选择题1．(2020·全国Ⅲ理，6)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935 C.1735 D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 2．(2020·新高考全国Ⅰ，7)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( )A ．(－2,6)B ．(－6,2)C ．(－2,4)D ．(－4,6) 答案 A解析 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)． 设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1<x <3. 所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．3．(2020·新高考全国Ⅱ，3)若D 为△ABC 的边AB 的中点，则CB →等于( ) A ．2CD →－CA → B ．2CA →－CD → C ．2CD →＋CA → D ．2CA →＋CD →答案 A解析 如图所示，∵D 为△ABC 的边AB 的中点， ∴CA →＋CB →＝2CD →， ∴CB →＝2CD →－CA →.4．(2020·全国Ⅱ文，5)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( )A ．a ＋2bB ．2a ＋bC ．a －2bD ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1，设a ，b 的夹角为θ＝60°， 故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2＝12＋2＝52≠0；对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝12－2＝－32≠0；对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.5．(2020·全国Ⅲ文，6)在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若AC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线 答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点A ，B 的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，点C 为(x ，y )， 则AC →＝(x ＋a ，y )，BC →＝(x －a ，y )， 所以AC →·BC →＝(x －a )(x ＋a )＋y ·y ＝x 2＋y 2－a 2＝1， 整理得x 2＋y 2＝a 2＋1. 因此点C 的轨迹为圆．二、填空题1．(2020·全国Ⅰ理，14)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1－(－1)＋1＝ 3.2．(2020·全国Ⅱ理，13)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________. 答案22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0. 因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°， 所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 3．(2020·北京，13)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.4.(2020·天津，15)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．答案 16 132解析 因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°， 所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1.因为AD →，BC →同向，且BC ＝6， 所以AD →＝16BC →，即λ＝16.在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ， 则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332.以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a,0)，不妨设点N 在点M 右侧， 则N (a ＋1,0)，且－32≤a ≤72.又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN →＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132. 所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132.5.(2020·江苏，13)在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP ＝9，若P A →＝mPB →＋⎝⎛⎭⎫32－m PC →(m 为常数)，则CD 的长度是________．答案185或0解析 方法一 ∵AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°， ∴BC ＝5.由向量系数m ＋⎝⎛⎭⎫32－m ＝32为常数，结合等和线定理可知|P A →||PD →|＝321. 故PD ＝23P A ＝6，AD ＝P A －PD ＝3＝AC ，当D 与C 重合时，CD ＝0；当D 与C 不重合时，得∠ACD ＝∠ADC ， ∴∠CAD ＝π－2∠ACD .在△ABC 中，cos ∠ACB ＝AC BC ＝35.在△ADC 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝ADsin ∠ACD，∴CD ＝sin (π－2∠ACD )sin ∠ACD ·AD ＝sin 2∠ACDsin ∠ACD ·AD＝2cos ∠ACD ·AD ＝2×35×3＝185.综上，CD ＝185或0.方法二 如图，以点A 为坐标原点，AB ，AC 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则C (0,3)，B (4,0)，AC →＝(0,3)，CB →＝(4，－3)．∵P A →＝mPB →＋⎝⎛⎭⎫32－m PC →＝32PC →＋m (PB →－PC →)＝32(P A →＋AC →)＋mCB →＝32P A →＋32AC →＋mCB →， ∴－12P A →＝32(0,3)＋m (4，－3)＝⎝⎛⎭⎫4m ，92－3m ， ∴P A →＝(－8m,6m －9)．∵|P A →|＝9，∴64m 2＋(6m －9)2＝81， ∴m ＝2725或m ＝0，当m ＝2725时，P A →＝⎝⎛⎭⎫－21625，－6325， ∴P ⎝⎛⎭⎫21625，6325，∴k P A ＝63216＝724.由⎩⎨⎧y ＝724x ，x 4＋y3＝1，解得⎩⎨⎧x ＝7225，y ＝2125，∴D ⎝⎛⎭⎫7225，2125， ∴CD ＝⎝⎛⎭⎫0－72252＋⎝⎛⎭⎫3－21252＝8 100252＝9025＝185. 当m ＝0时，P A →＝(0，－9)， ∴P (0,9)，此时C 与D 重合，CD ＝0. 综上，CD ＝185或0.6．(2020·浙江，17)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________． 答案2829解析 设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y )， 则a ＝(x ＋1，y )，b ＝(x ＋3，y )． 由2e 1－e 2＝(2－x ，－y )， 故|2e 1－e 2|＝(2－x )2＋y 2≤2， 得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2， 化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤1.cos 2θ＝⎝⎛⎭⎫a ·b |a |·|b |2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)(x ＋3)＋y 2(x ＋1)2＋y 2(x ＋3)2＋y 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4(x ＋1)2(x ＋1)(3x ＋5) ＝4(x ＋1)3x ＋5＝43(3x ＋5)－833x ＋5 ＝43－833x ＋5，当x ＝34时，cos 2θ有最小值，为4⎝⎛⎭⎫34＋13×34＋5＝2829.7．(2020·全国Ⅰ文，14)设向量a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1,2m －4)，若a ⊥b ，则m ＝________. 答案 5解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.又a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1,2m －4)，∴1×(m ＋1)＋(－1)×(2m －4)＝0，解得m ＝5.。

平面向量一、选择题1．已知向量 a ＝ (1 ， m ) ， b ＝ ( m,2) ，若 a ∥ b ，则实数 m 等于 ( )A ．－ 2 B. 2 C ．－ 2或 2D.022或 m ＝ 2. 分析：由于 a ∥ b ，所以 m ＝ 2，解得 m ＝－ 答案： C2．设向量 a ， b 知足 | a ＋ b | ＝ 10， | a －b | ＝ 6，则 a ·b ＝ ( )A ． 1B.2C.3D.522分析：∵ | a ＋ b | ＝ 10，∴ a ＋ 2a · b ＋ b ＝ 10. ①①－②，得 4a · b ＝ 4，即 a · b ＝1. 答案： A3．(2019 ·西安三模 ) 已知向量＝ (2,1 )，＝( ， )，若a ＋b 与 a 垂直，则 x 的值为 ( )a b1 xA ． 7B.－711 C. 2D.－ 2分析： a ＋b ＝(3 ， x ＋ 1) ，∵ a ＋b 与 a 垂直，∴ ( a ＋b ) · a ＝ 6＋x ＋ 1＝ 0，∴ x ＝－ 7. 答案： B→()4．已知点 A (1,3) ，B (4 ，－ 1) ，则与向量 AB 同方向的单位向量为A.3 4 B.4 35，－55，－5C. 3 4D. 4 3－ ，5－ ， 555分析：∵ (1,3)， (4，－ 1)，∴ →＝(3，－ 4) ．ABAB→→→3 4AB又∵ | AB | ＝ 5，∴与 AB 同向的单位向量为→ ＝ 5，－5 .| AB |答案： A5．如图，在△中，→＝ 1→ ， 是上的一点， 若 →＝ →＋ 2→ ，则实数 的值为 ()ABC AN 3NC P BNAP mAB 9ACm11 A. 9 B. 3 C.1D.3→ 1→ → →分析：由题意可知， AN ＝ 3NC ，所以 AC ＝ 4AN .→ → 2→ → → 8→又AP ＝ mAB＋9AC ，即 AP ＝ mAB ＋ 9AN ，81由于 B ， P ， N 三点共线，所以 m ＋ 9＝ 1，解得 m ＝9. 答案： A6．若两个非零向量 a ，b 知足 | a ＋ b | ＝ | a － b | ＝ 2| a | ，则向量 a ＋ b 与 a －b 的夹角为 ()ππ A. 6 B. 3C. 5π2π6D.3分析：由 | a ＋ b | ＝| a － b |→ →→ → 可知 a ⊥ b ，设 AB ＝ b ，AD ＝ a ，作矩形 ABCD ，可知 AC ＝a ＋ b ，BD ＝ a － b ，设 与 的交点为 ，联合题意可知 ＝ ＝ ，AC BDOOA OD AD∴∠＝π，∴∠＝2π. 又向量 a ＋ b 与 a － 的夹角为 →与→的夹角，故所求夹角为2π.AOD 3DOC3b AC BD3答案： D7．(2019 ·沙坪坝区校级期中 ) 向量 a ， b ， c 在正方形网格中的地点如下图．若向量c ＝λa ＋ b ，则实数 λ＝ ( )A ．－ 2 B.－1 C.1D.2分析：如下图，成立直角坐标系．取小正方形的边长为1，则 a ＝(1,1) ，b ＝ (0 ，－ 1) ，c＝ (2,1) ．∵向量 c ＝ λa ＋ b ，∴ (2,1) ＝ λ (1,1) ＋ (0 ，－ 1) ，∴ 2＝ λ，1＝λ－ 1，实数 λ＝ 2.答案： D8．已知点 A ( － 1,1) ，B (1,2) ，C ( －2，－ 1) ，D (3,4)→ →，则向量 AB 在CD 方向上的投影为 () 3 2 3 15 A. 2B.23 2D.－ 3 15C ．－22分析：∵ A ( －1,1) ， B (1,2) ， C ( － 2，－ 1) ，D (3,4)→ →，∴ AB ＝ (2,1) ， CD ＝ (5,5) ，所以 cos→ → → → → →→ → → AB ·CD3 10 〈AB ，CD 〉＝ → → ＝10 ，∴向量 AB 在CD 方向上的投影为| AB | ·cos 〈 AB ，CD 〉＝ 5 | AB | ·| CD |3 10 3 2×10 ＝.2答案： A9．设向量 a ＝ (1 ， cos θ) 与 b ＝( － 1,2cosθ) 垂直，则 cos 2 θ 等于 ()21 A.2 B. 2C ． 0D.－ 1分析：∵ a ⊥ b ，∴ 1×( － 1) ＋ cos θ·2cosθ＝ 0，即 2cos 2 θ－1＝ 0. ∴ cos 2 θ＝2cos 2 θ－ 1＝ 0.答案： C10．已知向量 a 是与单位向量 b 夹角为 60°的随意愿量，则对随意的正实数t ， | t a － b | 的最小值是 ( )A ． 01B.23C. 2D.1分析：∵ · ＝ |a || |cos 601| ，°＝ |a b b 2 a∴| t a － b | ＝ t 2a 2－ 2t a · b ＋ b 2＝ t 2a 2－ t | a | ＋ 1.设 x ＝ t | a | ，x >0，2123 3 3 3 ∴| t a － b | ＝ x － x ＋1 ＝ x －2＋4≥ 4＝ 2 . 故 | t a － b | 的最小值为2.答案： Cx 1＋ y 111．已知平面向量a ＝ ( x 1， y 1) ，b ＝ ( x 2， y 2) ，若 | a | ＝ 2， | b | ＝ 3， a · b ＝－ 6，则 x 2＋ y 2的值为()22 A. 3B. － 355 C. 6D.－ 6分析：由已知得向量 a ＝ ( x 1，y 1) 与 b ＝ ( x 2， y 2) 反向，则 3a ＋2b ＝ 0，即 3( x 1，y 1) ＋ 2( x 2，y 2) ＝(0,0)2 2 x 1＋ y 12，解得 x 1＝－ x 2， y 1＝－ y 2，故x ＋ y ＝－ .3 3 232答案： B12．在△中，已知 | → ＋ → |＝|→ －→| ， ＝2， ＝1，， 为边的三平分点， 则→· →ABCAB ACAB AC ABACE FBCAE AF＝()810 A. 9 B. 9C. 25269D.9→→→→| ，所以 → 2＋ → 2 →→→2 → 2→ →→ →分析：由于| ＋| ＝ |－AB＋ 2 · ＝ ＋－2 · ，即有·ACAB ACAB ACACAB AC AB AC AB ACAB ＝ ，由于， 为边→→→→→→→1→→1→E FBCAE AF ( AC CE ) AB BF )3 3211 2→2 2→ 2 5→ → 210→→→→2＋＝ AC ＋ AB · AC ＋ AB ＝＋ · ＝ ×(1＋4) ＋0＝ .3 3339AC 9AB 9AB AC 99答案： B二、填空题13．已知向量 a ＝ ( － 4,3) ， b ＝(6 ， m ) ，且 a ⊥ b ，则 m ＝ __________.分析：由向量 a ＝ ( － 4,3) ， b ＝(6 ， m ) ，且 a ⊥ b ，得 a · b ＝－ 24＋ 3m ＝0，∴ m ＝8. 答案： 814．已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，且 a ＝ ( － 2，－ 6) ， | b | ＝ 10，则 a · b ＝ .分析：由 a ＝( －2，－ 6) ，得 | a | ＝ －2 2＋ －6 2＝2 10，∴a ·＝ | a || b |cos 〈 ， 〉＝b a b2 10× 10×cos 60 °＝ 10.答案： 1015．已知向量 a ， b 夹角为 45°，且 | a | ＝1， |2a－ | ＝ 10，则 | b | ＝.b分析：∵ a ， b 的夹角为 45°， | a | ＝ 1，2∴a · b ＝ | a | ·|b |cos 45 °＝ 2 | b | ，|2 a － b | 2＝ 4－4×22| b | ＋ | b | 2＝ 10，∴ | b | ＝32.答案：3216．已知菱形ABCD 的边长为2，∠ BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ， DC 上， BC ＝ 3BE ， DC→ →.＝λ DF . 若AE · AF ＝ 1，则 λ 的值为→→→→1→分析：如图， AE ＝ AB ＋BE ＝ AB ＋3BC ，→→→→ 1 → → 1 →AF ＝ AD ＋ DF ＝AD ＋ λDC ＝BC ＋ λAB ，→ →→ 1→→1→1→ →1 →2 1 → 2 1 所 以 AE · AF ＝ AB ＋ 3BC · BC ＋λAB ＝ 1＋ 3λ AB · BC ＋ λ AB ＋3 BC ＝1＋3λ×2×2×cos 120 °＋ 4 4λ ＋ ＝1，解得 λ＝ 2.3答案： 2。

平面向量（2）平面向量的概念及其线性运算（B ）1、下列命题正确的是( )A.若,a b r r 都是单位向量,则a b =r rB.若AB DC =u u u r u u u r,则,,,A B C D 四点构成平行四边形C.若两向量,a b rr 相等,则它们是起点、终点都相同的向量D. AB u u u r 与BA u u u r是两平行向量2、下列说法正确的是( )A.若a r 与b r 共线,则a b =r r 或者a b =-r rB.若a b a c ⋅=⋅r r r r,则b c =r rC.若ABC ∆中,点P 满足2AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r,则点P 为BC 中点 D.若12,e e u r u u r 为单位向量,则12e e =u r u u r3、下列说法正确的是( )A.方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量是0C.长度相等的向量叫作相等向量D.共线向量是在一条直线上的向量4、若向量a r 与向量b r 不相等,则a r 与b r一定( )A.不共线B.长度不相等C.不都是单位向量D.不都是零向量 1. 5、若非零向量下列说法中正确的是满足a b a b +=-r rr r ,则( ) A.a b ⊥r r B.//a b r rC.a b =r rD.a b ≥r r6、在四边形ABCD 中, AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r,则四边形ABCD 是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形7、如图,已知,,3AB a AC b BD DC ===u u u r u u u r u u u r u u u r r r ,用,a b rr 表示AD u u u r ,则AD =u u u r ( )A. 34a b +r rB. 1344a b +r rC. 1144a b +r rD.3144a b +r r 8、设P 是ABC ∆所在平面内的一点, 2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r,则( ) A. 0PA PB +=u u u r u u u rB. 0PC PA +=u u u r u u u rC. 0PB PC +=u u u r u u u rD. 0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r9、ABC ∆中,点D 在边AB 上, CD 平分ACB ∠.若CB a =u u u r r ,CA b =u u u r r ,1a =r,2b =r ,则CD =u u u r( )A. 1233a b +r rB. 2133a b +r rC. 3455a b +r rD.4355a b +r r 10、已知边长为1的菱形ABCD 中,60BAD ∠=°,点E 满足2BE EC =u u u r u u u r,则AE BD ⋅u u u r u u u r 的值是( ) A.13-B.12-C.14-D.16-11、在矩形ABCD 中，||2AB =uuu r ，||4BC =u u u r ，则||CB CA DC +-=u u u r u u u r u u u r___________12、设D 为△ABC 所在平面内一点, 1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ,若()R BC DC λλ=∈uu u r uuu r ,则λ=__________13、如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AB AC AE λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的值为_____.14、已知向量(1,)a k =r,(9,6)b k =-r .若//a b r r,则实数是k =______________.15、下列四个式子,不能化简为AD u u u r的序号是__________.①()AB CD CB +-u u u r u u u r u u u r ;②()()AD BM BC MC -+-u u u r u u u u r u u u r u u u u r ;③OC OA CD -+u u u r u u u r u u u r ;④MB AD BM +-u u u r u u u r u u u u r.16、已知平面内有一点P 及一个ABC ∆,若,PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r则下列说法正确的是________.(填序号)①点P 在ABC ∆外部;②点P 在线段AB 上;③点P 在线段BC 上;④点P 在线段AC 上.答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：A.单位向量长度相等,但方向不一定相同,故A 不对; B. ,,,A B C D 四点可能共线,故B 不对;C.只要方向相同且长度相等,则这两个向量就相等,与始点、终点无关,故C 不对;D.因AB u u u r 和BA u u u r方向相反,是平行向量,故D 对.故选D.2答案及解析： 答案：C 解析：3答案及解析： 答案：A 解析：方向相同或相反的非零向量是平行向量,错误;对B,零向量是0,正确;对C,方向相同且长度相等的向量叫作相等向量,错误;对D,共线向量所在直线可能平行,也可能重合,错误.故选B.4答案及解析： 答案：D解析：若向量a r 与向量b r 不相等,则说明向量a r与向量b r 的方向或长度至少有一个不同,所以a r 与b r 有可能共线,有可能长度相等,也可能都是单位向量,故A,B,C 都错误,但a r 与b r 一定不都是零向量.5答案及解析： 答案：A 解析：6答案及解析： 答案：D 解析：7答案及解析： 答案：B解析：,,3AB a AC b BD DC ===u u u r u u u r u u u r u u u r r r ,用,a b rr 表示AD u u u r ,则1344AD a b =+u u u r r r ,选B.8答案及解析：答案：B 解析：∵2BC BA BP+=u u u r u u u r u u u r ∴0PB BC PB BA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r,即()()0PB BC PB BA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r,∴0PC PA +=u u u r u u u r.故选B.9答案及解析： 答案：B解析：如图所示, 12∠=∠,∴12CB BD CA DA ==, ∴13BD BA =u u u ru u u r ()()1133CA CB b a -=-u u u r u u u r r r, ∴()121333CD CB BD a b a a b =+=+-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r .10答案及解析： 答案：D解析：方法一：如图，由2BE EC =u u u ru u u r知2233BE BC AD ==u u u r u u u r u u u r ,所以23AE AB BE AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r依题意知1cos 2AB AD AB AD BAD ⋅=∠=u u u r u u u r u u u r u u u r ，故2()()3AE BD AB AD AD AB ⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2223AB AD AD AB =⋅+--u u u u r u u u u r u u u r u u u r 22221333AB AD AD AB AB AD ⋅=-+⋅u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 211113326=-+⨯=-.方法二:如图，以AD 所在直线为x 轴，过点A 且与AD 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系,则1333(,),(,)22D C ，又2BE EC =u u u r u u u r ，则73(,)6E ，故73(,)6AE =u u u r ，13(,)2BD =-u u u r ，故7311246AE BD ⋅=-=-u u u r u u u r .11答案及解析：答案：45解析：在矩形ABCD 中. 2CB CA DC CB CA CD CA +-=++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，||2||5CB CA DC CA +-==u u u r u u u r u u u r u u u r故答案为：4512答案及解析： 答案：-3解析：∵D 为△ABC 所在平面内一点, 1433AD AB AC =-+u u u ru u ur u u u r , ,,B C D ∴三点共线.若()R BC DC λλ=∈uu u r uuu r,AC AB AC AD λλ∴-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ,化为: 11AD AB ACλλλ-=+u u u r u u u r u u u r ,与1433AD AB AC =-+u u u r u u u r u u u r ,比较可得:113λ=-,解得3λ=-.13答案及解析：答案：0 解析：14答案及解析：答案：34-解析：因为//a b r r ,所以1(6)90k k ⨯--=,解得34k =-.15答案及解析： 答案：④解析：①原式=()AB CD CB AB BD AD +-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r;②原式=()AD BC BM MC AD BC BC AD +-++=-=u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r;③原式AC CD AD =+=u u u r u u u r u u u r;④原式=MB AD MB AD ++≠u u u r u u u r u u u r u u u r,∴只有④不能化为AD u u u r.16答案及解析： 答案：,PA PB PC PB PA ++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴20.PA PC +=u u u r u u u r如图,易知P 在线段AC 上.解析：。

平面向量（三） 平面向量的基本定理及坐标表示 第1页平面向量（三） 平面向量的基本定理及坐标表示一、平面向量的基本定理1.内容：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ、μ，使a = λe 1+ μe 2。

2.我们把不共线的向量e 1和e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

二、向量的夹角 1.表示：已知两个非零向量a 和b .如图，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ==θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角（通常记作 <a ，b >）.2. θ=0°，两向量同向，θ=180°，两向量反向，θ=90°， 两向量垂直，记作a ⊥b . 三、向量的坐标表示和运算1.a =（x ，y ）在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。

任作一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得：a =(x,y)，我们把(x,y)叫做向量a 的（直角）坐标。

其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。

在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。

2.两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.3.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.4.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.如：在平面直角坐标系中A （1，2）B （3，4）；则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（3-1，4-2）=（2，2）.四、平面向量共线的坐标表示1. 向量平行（共线）定理：向量a （a ≠0）与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b =λa.2.设a =（x ，y ），b =（m ，n ），其中b ≠0，则a ∥b ⟺xn-ym=0.五、基础练习1.若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2），BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，4），则AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A.（4，6） B.（-4，-6） C.（-2，-2） D.（2，2）2.若不共线向量a 和b 中满足2x a +（3-y ）b =x b +（3y+1）a ，则x+y=（ ）A.1B.2C.3D.43.已知向量a =（2，4），b =（1，0），c =（3，4）.若λ是一个实数，（a +λb ）∥c ，则λ=（ ）A.14B.12 C.1 D.2 4.已知向量a =（√3，1），b =（0，-1），c =（k ，√3）.若a-2b 与c 共线，则k=___________.5.已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（k ，12），OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（4，5），OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-k ，10），且A,B,C 三点共线，则实数k=_______.6.设O,A,B 为平面内不共线的三点，点P 在直线AB 上，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m+n=（ ）A.0B.-1C.1D.不能确定平面向量（三） 平面向量的基本定理及坐标表示 基础练习参考答案1.A2.C3.B4.15.-23，由题意，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC⃗⃗⃗⃗⃗ （λ≠0）. 6.C 由平面向量的基本定理得，m+n=1.拓展：证明三点共线时，可利用第6小题的条件与结论：若O,A,B 为平面内不共线的三点，且OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，m+n=1，则P ,A,B 三点共线（或P 在AB 上）.。

平面向量一、选择题：本大题共15题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则AB =u u u r （ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4） 2 若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的比λ的值为A.－13B. －15C. 15D. 133、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F ．若AC =u u u r a ，BD =u u u r b ，则AF =u u u r （ ） A ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a b D ．1233+a b 4、设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =u u u r u u u r 2,CE EA =u u u r u u u r 2,AF FB =u u u r u u u r 则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与BC uuu rA.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直5、已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=u u u r u u u r ，则OC =u u u r （ ）A ．2OA OB -u u u r u u u r B ．2OA OB -+u u u r u u u rC ．2133OA OB -u u u r u u u rD ．1233OA OB -+u u u r u u u r 6、平面向量a r ，b r 共线的充要条件是（ ） A. a r ，b r 方向相同 B. a r ，b r 两向量中至少有一个为零向量C. R λ∃∈， b a λ=r rD. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r7、在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （ ）A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 8、已知两个单位向量a r 与b r 的夹角为135︒，则||1a b λ+>r r 的充要条件是A.2)λ∈B.(2,0)λ∈-C.(,0)(2,)λ∈-∞+∞UD.(,2)(2,)λ∈-∞+∞U9、若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r , 则BC =u u u r （ ）A ．（1，1）B ．（－1，－1）C ．（3，7）D ．（-3,-7）10、已知平面向量，(2,)b m =-r ，且a r //b r ，则23a b +r r ＝（ ）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)--11、设a r =(1，－2), b r =(－3,4),c=(3,2)，则(2)a b c +⋅r r r =A.(15,12)-B.0C.－3D.－1112、已知平面向量a r =（1，－3），b r =（4，－2），a b λ+r r 与a r 垂直，则λ是（ ）A. －1B. 1C. －2D. 2 13、设平面向量(3,5),(2,1),2______==--=则a b a bA ．(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3) 14、已知两个单位向量a r 与b r 的夹角为3π，则a b λ+r r 与a b λ-r r 互相垂直的充要条件是（ ） A ．3λ=3λ=B ．12λ=-或12λ= C ．1λ=-或1λ= D ．λ为任意实数 二．填空题：本大题共7小题。

专题 平面向量平面向量的概念与运算一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u u r u u u r B ．1344AB AC -u u u r u u u r C ．3144AB AC +u u u r u u u r D ．1344AB AC +u u ur u u u r2．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．03．(2018天津)在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =，120MON ∠=o，2BM MA =u u u u r u u u r，2CN NA =u u u r u u u r ，则·BC OM u u u r u u u u r 的值为NMOCBAA ．15-B ．9-C ．6-D ．04．设非零向量a ，b 满足||||+=-a b a b 则A ．⊥a bB ．||||=a bC ．∥a bD ．||||>a b 5．设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅u u u r u u u r的值为A ．85-B ．81 C ．41 D ．8117．已知向量1(,22BA =uu v,1),2BC =uu u v 则ABC ∠=A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°8．(2018浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430-⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是A1B1C ．2D．29．如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =⋅u u u r u u u r ，2·I OB OC u u u r u u u r ＝，3·I OC OD u u u r u u u r＝，则 OABCDA ．1I <2I <3IB ．1I <3I <2IC ．3I < 1I <2ID ．2I <1I <3I10．已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP =u u u r ,PM MC =u u u u r u u u u r ，则2||BM u u u u r 的最大值是A ．443 B ．449C ．43637+D ．433237+11．在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ΑΒCD 是平行四边形，()1,2ΑΒu u u r =-，()2,1ΑD u u u r=，则ΑD ΑC u u u r u u u r ⋅= A ．5 B ．4 C ．3 D ．212．已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则||PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．913．已知向量(1,2),(,1)a b m ==-r r ，且()a a b ⊥+rr r ，则m =（ ）A ．-1B ．-2C ．-3D ．-4 14．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==r r，则向量a r 与b r的夹角的余弦值为（ ）A ．35B ．45C ．35-D ．45-15．若向量(4,2)a =r ，(6,)b k =r ，若//a b r r，则(k = )A ．12-B ．12C ．3-D ．3 16．已知()1,2a =r，()1,0b =r，则2a b +=r r （ ）A ．5B ．7C ．5D ．25二、填空题17．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+c a b P ，则λ=_． 18．(2018北京)设向量(1,0)=a ，(1,)m =-b ，若()m ⊥-a a b ，则m =_______． 19．已知向量(1,2)=-a ，(,1)m =b ．若向量+a b 与a 垂直，则m =__． 20．已知向量(2,3)=-a ，(3,)m =b ，且⊥a b ，则m = ．21．在△ABC 中，60A ∠=︒，AB =3，AC =2．若2BD DC =u u u r u u u r ，AE AC AB λ=-u u u r u u u r u u u r（λ∈R ），且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r ，则λ的值为 ．22．已知向量(2,6)=a ，(1,)λ=-b ，若a ∥b ，则λ= ．23．如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OC u u u r的夹角为α，且tan 7α=，OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为45o。

专题06 平面向量平面向量是工具性的知识，向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式，它把“数”和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法，在高考中，除了对向量本身的概念与运算的知识进行考察外，向量还与平面几何、三角几何、解析几何、立体几何等知识综合在一起考查，本专题应该掌握向量的基本概念、向量的运算方法与公式以及向量的应用．§6－1 向量的概念与运算【知识要点】1．向量的有关概念与表示(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量c b a ,,,自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量．(2)向量的模：向量的长度，记作：|||,|a向量的夹角：两个非零向量a ，b ，作b a ==,，则(AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作：〈a ，b 〉零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0单位向量：模为1，方向任意的向量，与a 共线的单位向量是：)0(||=/±a a a(3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量． 相反向量：长度相等，方向相反的向量．向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量．记作a ∥b向量垂直；〈a ，b )＝90°时，向量a 与b 垂直，规定：0与任意向量垂直． 2．向量的几何运算(注意：运算法则、运算律)(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则． (2)减法：三角形法则． (3)数乘：记作：λ a ．它的长度是：｜λ a ｜＝｜λ ｜·｜a ｜ 它的方向：①当λ ＞0时，λ a 与a 同向 ②当λ ＜0时，λ a 与a 反向 ③当λ ＝0时，λ a ＝0 (4)数量积：①定义：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉其物理背景是力在位移方向所做的功． ②运算律：1．(交换律)a ·b ＝b ·a2．(实数的结合律)λ (a ·b )＝(λ a )·b ＝a ·(λ b ) 3．(分配律)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ③性质：设a ，b 是非零向量，则：a ·b ＝0⇔a ⊥ba 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜ a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜ 特殊地：a ·a ＝｜a ｜2或a a a ⋅=||夹角：||||,cos b a ba b a ⋅>=<|a ·b |≤|a | |b |3．向量的坐标运算若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)加法：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)减法：a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)数乘：λ a ＝(λ x 1，λ y 1) (4)数量积：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 (5)若a ＝(x ，y )，则22||y x +=a(6)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a(7)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221221)()(||y y x x AB -+-=(8)a 在b 方向上的正射影的数量为22222121||,cos ||y x y y x x ++=>=<⋅b b a b a a 4．重要定理(1)平行向量基本定理：若a ＝λ b ，则a ∥b ，反之：若a ∥b ，且b ≠0，则存在唯一的实数λ 使得a ＝λ b (2)平面向量基本定理：如果e 1和e 2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2使a ＝a 1e 1＋a 2e 2(3)向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) 则：a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=2121y y x x b a【复习要求】1．准确理解相关概念及表示，并进行简单应用；2．掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题；3．熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直、平行等问题．【例题分析】例1 向量a 、b 、c 是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有( )个 (1)(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直， (2)若a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ， (3)(a ·b )c ＝a (b ·c )， (4)a ·b ≤｜a ｜｜b ｜ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【分析】(1)真命题，注意：向量的数量积是一个实数，因此[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，所以c (b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直；(2)假命题．a ·c ＝b ·c ≠a ＝b ；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量a 与向量b 都是与向量c 垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是a 、b 这两个向量不相等；(3)假命题．(a ·b )c ≠a (b ·c )，实际上(a ·b )c 是与向量c 方向相同或相反的一个向量，a (b ·c )是与a 方向相同或相反的一个向量，向量a 、c 的方向可以不同，左右两边的向量就不等；(4)真命题．a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉，且cos 〈a ，b 〉≤1，所以a ·b ≤｜a ｜｜b ｜． 解答：选C ． 【评析】(1)我们在掌握向量的有关概念时要力求准确和完整，比如平行向量(共线向量)、零向量等，注意积累像这样的容易错误的判断并纠正自己的认识；(2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是一个实数，要熟练掌握向量的运算法则和性质．例2 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．)37,97(B ．)97,37(--C ．)97,37(D ．)37,97(--【分析】知道向量的具体坐标，可以进行向量的坐标运算；向量的平行与垂直的关系也可以用坐标体现，因此用待定系数法通过坐标运算求解．解：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m ，2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )；又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，则有37,97-=-=n m 故选择D 【评析】平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．此外，待定系数法是在解决向量的坐标运算中常用的方法．例3 (1)已知向量)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===，且A 、B 、C 三点共线，求实数k 的值．(2)已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，求实数k 的值． 【分析】(1)向量a 与b (b ≠0)共线⇔存在实数m 使a ＝m b ． 当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．(2)利用向量的数量积能够巧妙迅速地解决有关垂直的相关问题． a ·b ＝0⇔a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0解：(1)∵)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===, ∴)5,4(),7,4(-+=--=k CB k AB , ∵A 、B 、C 三点共线，∴CB AB //，即(4－k )(－5)－(4＋k )(－7)＝0，解得：⋅-=32k (2)由(k a －2b )⊥a ，得(k a －2b )·a ＝k a 2－2b ·a ＝2k －2·(2－3)＝0，所以k ＝－1． 【评析】①向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数m 使a ＝m b ；当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．若判断(或证明)两个向量是否共线，只要判断(或证明)两个向量之间是否具有这样的线性关系即可；反之，已知两个向量具有平行关系时，也有线性等量关系成立．②利用向量的共线定理来解决有关求参数、证明点共线或线段平行，以及利用向量的数量积解决垂直问题等是常见的题型，注意在解题过程中适当选择方法、正确使用公式，并注意数形结合．例4 已知：｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，求：①a ·b ；②(2 a ＋b )·b ；③｜2a ＋b ｜；④2 a ＋b 与b 的夹角θ 的余弦值【分析】利用并选择合适的公式来求数量积、模、夹角等：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2a a a a a a ⋅⋅=⇒=||||2，若a ＝(x ，y )，则22||y x +=a222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a解：①∵｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝5； ②(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b ·b ＝10＋25＝35； ③;6125201644)2(|2|222=++=++=+=+⋅⋅b b a a b a b a④⋅==++=++>=+<⋅⋅⋅⋅6161756135||)2()2(|||2|)2(,2cos 2b b a b b a b b a b b a b b a【评析】向量的数量积是一个非常好的工具，利用向量的数量积可以解决求长度、角度、距离等相关问题，同时用向量的数量积解决垂直相关问题也是常见的题型，注意使用正确的公式．例5 已知向量a ＝(sin θ ，cos θ －2sin θ )，b ＝(1，2)． (Ⅰ)若a ∥b ，求tan θ 的值；(Ⅱ)若｜a ｜＝｜b ｜，0＜θ ＜π，求θ 的值．【分析】已知向量的坐标和平行关系与模长，分别用坐标公式刻画． 解：(Ⅰ)因为a ∥b ，所以2sin θ ＝cos θ －2sin θ ，于是4sin θ ＝cos θ ，故41tan =θ． (Ⅱ)由｜a ｜＝｜b ｜知，sin 2θ ＋(cos θ －2sin θ )2＝5，所以1－2sin2θ ＋4sin 2θ ＝5． 从而－2sin2θ ＋2(1－cos2θ )＝4，即sin2θ ＋cos2θ ＝－1， 于是22)4π2sin(-=+θ又由0＜θ ＜π知，49π4π24π<+<θ，所以45π4π2=+θ，或47π4π2=-θ因此2π=θ，或43π=θ． 例6 设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) (A)－2(B)22-(C)－1(D)21-【分析】由向量的模长以及夹角，考虑从数量积的运算寻找解决问题的突破口解：∵a ，b ，c 是单位向量，∴(a －c )·(b －c )＝a ·b －(a ＋b )·c ＋c 221〉,〈cos 121-≥+-=⋅⋅c b a故选D ．例7 在△ABC ，已知23||.||32BC ==⋅，求角A ，B ，C 的大小． 【分析】熟悉向量的数量积的形式，再结合三角公式来解决问题 解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c由||||32⋅⋅=得bc A bc 3cos 2=，所以23cos =A 又A ∈(0，π)，因此6π=A 由23||||3BC AC AB =⋅得23a bc =，于是43sin 3sin sin 2==⋅A B C 所以43)sin 23cos 21(sin ,43)6π5sin(sin =+=-⋅⋅C C C C C ，因此02cos 32sin ,3sin 32cos sin 22=-=+⋅C C C C C ，即0)3π2sin(=-C由6π=A 知6π50<<C ，所以34π3π2,3π<--C ，从而03π2=-C ，或π3π2=-C ，即6π=C ，或32π=C ，故 6π,32π,6π===C B A ，或⋅===32π,6π,6πC B A【评析】向量往往是一步工具性的知识应用，继而转化为三角函数、不等式、解三角形等知识，因此，熟练准确掌握向量的基本概念、基本运算法则、性质，以及灵活选择合适的公式非常必要．练习6－1一、选择题1．平面向量a ，b 共线的充要条件是( ) A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ ∈R ，b ＝λ aD ．存在不全为零的实数λ 1，λ 2，λ 1a ＋λ 2b ＝02．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λ a ＋b 与a 垂直，则λ 是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．23．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且2=，则顶点D 的坐标为( ) A ．)27,2(B ．)21,2(-C ．(3，2)D ．(1，3)4．设△ABC 的三个内角A ，B ，C ，向量)cos 3,(cos ),sin ,sin 3(A B B A ==n m ，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( ) A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 二、填空题5．设a ＝(2k ＋2，4)，b ＝(8，k ＋1)，若a 与b 共线，则k 值为______． 6．已知向量),3(),2,1(m =-=，若⊥，则 m ＝______． 7．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MN MP 21=，则P 点坐标为______． 8．已知a 2＝1，b 2＝2，(a －b )·a ＝0，则a 和b 的夹角是______． 三、解答题9．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB 相等，其中A (1，2)，B (3，2)，求实数x 的值．10．已知向量a 与b 同向，b ＝(1，2)，a ·b ＝10．(1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )a ．11．若向量a 与b 的夹角为60°，｜b ｜＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，求向量a 的模．§6－2 向量的应用【知识要点】1．向量的基本概念与运算与平面几何联系解决有关三角形的形状、解三角形的知识； 2．以向量为载体考查三角函数的知识；3．在解析几何中用向量的语言来表达平行、共线、垂直、中点以及定比分点等信息，实际上还是考查向量的运算方法与公式． 【复习要求】会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．例1若AB CA CA BC BC AB ·==⋅⋅，求证三角形ABC 是正三角形，【分析】给出的是一个连等的等式，考虑移项进行向量的运算，进而得到正三角形的某些判定的结论．证明0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅，即与BC 边上的中线垂直，所以AB ＝AC ，同理BC ＝BA ，可以得到该三角形是等边三角形；例2 已知四边形ABCD 中，若⋅⋅⋅⋅===，判断四边形ABCD 的形状．【分析】已知向量的数量积的对称式，可以从运算和几何意义上分别研究．解答1从几何意义上设k ====⋅⋅⋅⋅若k ＞0，则∠ABC ，∠BCD ，∠CDA ，∠DAB 都是钝角，与四边形内角和为360°矛盾，舍；同理k ＜0时，也不可能，故k ＝0，即四边形ABCD 为矩形．解答2从运算上，0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅ 同理；0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅ 于是BC AD //，同理CD AB //，得到四边形ABCD 是平行四边形；∴02)()(==+=-=-⋅⋅⋅⋅⋅ ∴BC AB ⊥，∴四边形ABCD 为矩形．【评析】利用数量积解决三角形的形状时，常常涉及向量的夹角问题，注意向量的数量积的正负对向量夹角的约束，另外，一些对称式告诉我们几何图形应该具有一个规则的形状，不因为改变字母而变化形状，我们可以直观判断形状．例3 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量)1,3(-=m ，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，求角A ，B 的大小．【分析】在三角形中，借助垂直向量的条件可以得到A 角的三角方程，从而求出三角形的内角A ，已知的等式左右两边是边的齐次式，可以借助三角形的正弦定理、三角公式等知识求三角形的其余内角．解：∵ 0sin cos 3=-=⊥⋅∴A A n m n m ，即3tan =A ，∴三角形内角;3π=A ∵a cosB ＋b cos A ＝c sinC ，∴sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，即sin(A ＋B )＝sin 2C ，sin C ＝1，,2π=C ∴⋅=6πB 【评析】向量的知识经常被用在三角形或者解析几何等知识里，结合相关的知识点进行考查，常见的有中点的表达(比如221OM AM 、AM +===等都说明M 是AB 中点)、定比分点的表达、平行(或共线)或垂直的表达等，要注意分析并积累向量语言表达的信息．例4 已知△ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A (3，4)、B (0，0)、C (c ，0)．(1)若0=⋅，求c 的值；(2)若c ＝5，求sin ∠A 的值．【分析】(1)利用点的坐标求向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式转化为代数问题进行运算求解即可．(2)向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，我们不仅可以数形结合，还可以利用解三角形的其他知识，如①利用数量积⋅求出cos A 进而求sin A ；②余弦定理正弦定理解：(1))4,3(),4,3(--=--=c 由0=⋅AC AB 可得－3(c －3)＋16＝0解得325=c (2)[法一]当c ＝5时，可得AB ＝5，52=AC ，BC ＝5，△ABC 为等腰三角形， 过B 作BD ⊥AC 交AC 于D ，可求得52=BD 故,552sin ==ABBD A[法二].cos ||||),4,2(),4,3(A ⋅=-=--=Θ⋅=∈=+-=⨯∴∴∴552sin ],π,0[,55cos 166cos 525A A A A Θ 【评析】向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，使用时不仅可以数形结合，还可以和解三角形的其他知识——余弦定理、正弦定理一起来解决有关三角形的问题．例 5 若等边△ABC 的边长为32，平面内一点M 满足3261+=，则 =⋅MB MA ______．解析：建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0，0)，)3,3(),0,32(B A ，利用向量坐标运算，求得)21,233(M ，从而求得)25,23(),21,23(--=-=MB MA ，运用数量积公式解得为－2．另外，还可以通过向量的几何运算求解．解：),3265()6131()()(--=--=⋅⋅⋅ 660cos 3232,32||||=⨯===⋅⋅ο，得到.2-=⋅MB MA【评析】注意向量有两套运算公式，有坐标时用代数形式运算，没有坐标时用向量的几何形式运算，同时注意向量在解三角形中的几何运用，以及向量的代数化手段的重要性．例6 已知向量a ＝(cos a ，sin a )，b ＝(cos β ，sin β )，c ＝(－1，0) (Ⅰ)求向量b ＋c 的长度的最大值；(Ⅱ)设4π=α，且a ⊥(b ＋c )，求cos β 的值． 【分析】关于向量的模一方面有坐标的计算公式和平方后用向量的数量积运算的公式，另一方面有几何意义，可以数形结合；解：(1)解法1：b ＋c ＝(cos β －1，sin β )，则 ｜b ＋c ｜2＝(cos β －1)2＋sin 2β ＝2(1－cos β )．∵－1≤cos β ≤1，∴0≤｜b ＋c ｜2≤4，即0≤｜b ＋c ｜≤2．当cos β ＝－1时，有｜b ＋c ｜＝2，所以向量b ＋c 的长度的最大值为2． 解法2：∵｜b ｜＝1，｜c ｜＝1，｜b ＋c ｜≤｜b ｜＋｜c ｜＝2 当cos β ＝－1时，有｜b ＋c ｜＝(－2，0)，即｜b ＋c ｜＝2， b ＋c 的长度的最大值为2．(2)解法1：由已知可得b ＋c ＝(cos β －1，sin β )，a ·(b ＋c )＝cos α cos β ＋sin α sin β －cos α ＝cos(α －β )－cos α ． ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos(α －β )＝cos α ．由4π=α，得4πcos )4πcos(=-β，即).(4ππ24πZ ∈±=-k k β ∴4ππ2+=k β或β ＝2k π，(k ∈Z )，于是cos β ＝0或cos β ＝1．解法2：若4π=α，则)22,22(=a ，又由b ＝(cos β ，sin β )，c ＝(－1，0)得,22sin 22cos 22)sin ,1(cos )22,22()(-+=-⋅=+⋅ββββc b a ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β (cos β －1)＝0∴sin β ＝1－cos β ，平方后sin 2β ＝(1－cos β )2＝1－cos 2β ，化简得cos β (cos β －1)＝0 解得cos β ＝0或cos β ＝1，经检验，cos β ＝0或cos β ＝1即为所求 例7 已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角,3π=C 求△ABC 的面积． 【分析】已知向量的坐标和位置关系，考虑用坐标运算入手，结合三角形的条件解决问题证明：(1)∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ， 即Rbb R a a 22⋅⋅=，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a ＝b ， ∴△ABC 为等腰三角形．解(2)由题意可知m ⊥p ，m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab ， 由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)∴33πsin 421sin 21===⋅⋅C ab S 例8 已知向量)2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos xx x x -==b a ，其中].2π,0[∈x(1)求a ·b 及｜a ＋b ｜；(2)若f (x )＝a ·b －2λ ｜a ＋b ｜的最小值是23-，求λ 的值． 【分析】只要借助向量的数量积以及模的坐标公式代入，继而转化为三角函数与函数的有关知识．解：(1)x xx x x 2cos 2sin 23sin2cos 23cos =-=⋅b a ]2π,0[,cos 22cos 22)(||2∈=+=+=+x x x b a b a或]2π,0[,cos 22cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos||22∈=+=-++=+x x x x x x x b a (2)f (x )＝a ·b －2λ ｜a ＋b ｜＝cos2x －4λ cos x ＝2cos 2x －4λ cos x －1＝2(cos x －λ )2－2λ 2－1∵],1,0([cos ]2π,0[x x ∴∈①当λ ≤0时；f (x )的最小值是－1，不可能是23-，舍； ②当0＜λ ＜1时，f (x )的最小值是23122-=--λ，解得;21=λ③当λ ≥1时，f (x )的最小值是2341-=-λ，解得185<=λ，舍；∴⋅=21λ【评析】向量的知识经常和三角函数、函数、不等式等的知识联系在一起进行考查，向量仅仅是一步坐标运算，继而转化为其他知识，因此使用公式时要准确，为后续解题做好准备．练习6－2一、选择题1．若为a ，b ，c 任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( ) A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m b D ．(a ·b )c ＝a (b ·c ) 2．设)31,(cos ),sin ,23(αα==b a ，且a ∥b ，则α 的值是( ) A ．)(,4ππ2Z ∈+=k k α B ．)(,4ππ2Z ∈-=k k α C ．)(,4ππZ ∈+=k k α D ．)(,4ππZ ∈-=k k α3．在△ABC 中，b a ==,，且a ·b ＞0，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形4．已知：△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，且=++，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上二、填空题5．若向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，且a 与b 的夹角为3π，则｜a ＋b ｜＝______． 6．已知向量a ＝(cos θ ，sin θ )，向量)1,3(-=b ，则｜2a －b ｜的最大值是______． 7．若)1,2(),3,1(x ==b a ，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，则x ＝______．8．已知向量)5,3(),6,4(==OB OA ，且//,⊥，则向量＝______ 三、解答题9．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，｜b ｜＝1，求｜a ＋2b ｜．10．P 在y 轴上，Q 在x 轴的正半轴上，H (－3，0)，M 在直线PQ 上，,0=⋅23-=．当点P 在y 轴移动时，求点M 的轨迹C 方程．11．已知向量a ＝(sin θ ，1)，2π2π),cos ,1(<<-=θθb (1)若a ⊥b ，求θ ；(2)求｜a ＋b ｜的最大值．习题6一、选择题1．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2 a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4) 2．给出下列五个命题： ①｜a ｜2＝a 2；②aba b a 2=⋅；③(a ·b )2＝a 2·b 2； ④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2；⑤若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；其中正确命题的序号是( )A ．①②③B ．①④C ．①③④D ．②⑤3．函数y ＝2x ＋1的图象按向量a 平移得到函数y ＝2x ＋1的图象，则( ) A ．a ＝(－1，－1) B ．a ＝(1，－1) C ．a ＝(1，1) D ．a ＝(－1，1) 4．若a 2＝1，b 2＝2，(a －b )·a ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 5．已知在△ABC 中，,⋅⋅⋅==则O 为△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 二、填空题6．已知p ＝(1，2)，q ＝(－1，3)，则p 在q 方向上的正射影长为______； 7．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：①．2=+ ②．AF AB AD 22+= ③．AB AD AD AC ⋅⋅=④．)()(⋅=⋅其中真命题的代号是______(写出所有真命题的代号)．8．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若y x +=，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______．9．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(1，1)，若向量b ⊥(a ＋λ b )，则实数λ 的值______；若b ba aa a c )(⋅⋅-=，则向量a 与c 的夹角为______；10．已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝4，a ·b ＝－2，则｜a ＋b ｜＝______． 三、解答题11．已知).1,3(),3,1(-==b a(1)证明：a ⊥b ；(2)若k a －b 与3a －k b 平行，求实数k ；(3)若k a －b 与k a ＋b 垂直，求实数k ．12．设向量a ＝(cos23°，cos67°)，b ＝(cos68°，cos22°)，u ＝a ＋t b ，(t ∈R )．(1)求a ·b(2)求u 的模的最小值．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，.73tan =C(1)求cos C ； (2)若25=⋅，且a ＋b ＝9，求c ．14．已知函数f (x )＝kx ＋b 的图象与x ，y 轴相交于点A ，B ，j i j i ,(22+=，分别是与x ，y 轴正半轴同方向的单位向量)函数g (x )＝x 2－x －6，(1)求k ，b 的值；(2)当x 满足f (x )＞g (x )时，求函数)(1)(x f x g +的最小值．15．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若f (x )＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围．专题06 平面向量参考答案练习6－1一、选择题1．D 2．A 3．A 4．C 二、填空题5．3或－5 6．4 7．)23,1(-- 8．45° 三、解答题9．由已知)0,2(==AB a ，所以⎩⎨⎧=--=+043232x x x ，得x ＝－1．10．(1)由已知设a ＝(λ ，2λ )且λ ＞0，a ·b ＝λ ＋4λ ＝10，λ ＝2，所以a ＝(2，4)； (2)(b ·c )a ＝(2－2)a ＝0． 11．6．练习6－2一、选择题1．D ． 2．C ． 3．C ． 4．D ． 二、填空题5．7 6．4 7．－6或9 8．)214,72(- 三、解答题9．32 由已知｜a ｜＝2，｜a ＋2b ｜2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴32|2|=+b a .10．解答：设M (x ，y )，∵M 在直线PQ 上, ),0,32(),2,0(,23x Q y P --=∴ ∵)2,(),2,3(,0y y x y+=-==⋅ ∴02323.=-yy x ，即y 2＝4x ．(除原点．) 11．解：(Ⅰ)若a ⊥b ，则sin θ ＋cos θ ＝0，由此得)2π2π(1tan <<--=θθ，所以;4π-=θ(Ⅱ)由a ＝(sin θ ，1)，b ＝(1，cos θ )得)cos (sin 23)cos 1()1(sin ||22θθθθ++=++=+b a,)4πsin(223++=θ当1)4πsin(=+θ时，｜a ＋b ｜取得最大值，即当4π=θ时，｜a ＋b ｜最大值为.12+习题6一、选择题1．B 2．B 3．A 4．B 5．D二、填空题 6．2107．①、②、④ 8．2 9．λ ＝－3；90° 10．21 三、解答题11．(2)k ＝±3；(3)k ＝±1． 12．答案：(1)22=⋅b a ，(2)22||min =u13．解答：(1)∵73tan =C ，∴73cos sin =C C ，又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1 解得⋅±=81cos C ∵tan C ＞0，∴C 是锐角． ∴⋅=81cos C(2)∵20,25cos ,25===⋅∴∴ab C ab ．又∵a ＋b ＝9 ∴a 2＋2ab ＋b 2＝81．∴a 2＋b 2＝41．∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36．∴c ＝6．14．略解：(1)由已知得)0,(k b A -，B (0，b )，则),(b k b AB =，于是.2,2==b kb∴k ＝1，b ＝2．(2)由f (x )＞g (x )，得x ＋2＞x 2－x －6，即(x ＋2)(x －4)＜0，得－2＜x ＜4，521225)(1)(2-+++=+--=+x x x x x x f x g由于x ＋2＞0，则3)(1)(-≥+x f x g ，其中等号当且仅当x ＋2＝1，即x ＝－1时成立∴)(1)(x f x g +的最小值是－3． 15．略解：解法1：依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f '(x ＝－3x 2＋2x ＋t ．若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设f '(x )≥0．∴f '(x )≥0⇔t ≥3x 2－2x ，在区间(－1，1)上恒成立，考虑函数g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为31=x ，开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5．而当t ≥5时，f '(x )在(－1，1)上满足f ′(x )＞0，即f (x )在(－1，1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5．解法2：依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，f '(x )＝－3x 2＋2x ＋t ． 若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设f '(x )≥0． ∵f '(x )的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当f '(1)＝t －1≥0，且f '(－1)＝t －5≥0时，f '(x )在(－1，1)上满足f '(x )＞0，即f (x )在(－1，1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5．。