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八年级数学上册课件：14.2.2 完全平方公式

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初中数学人教版八年级上册《14.2.2完全平方公式》课件

初中数学人教版八年级上册《14.2.2完全平方公式》课件

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完全平方公式运算的示例：
（m 2n）2 m2 2 m 2n （2n）2
ab
a2
2ab
b2
（y - 4）2 y2 2 y 4 42
ab
a2
2ab b2
完全平方公式的常见变形
a2 b2 （a b）2 - 2ab （a b）2 2ab
（a b）2 （a b）2 4ab
（a - b）2 （a b）2 - 4ab
知识点1 完全平方公式
(1)用多项式乘法推导完全平方公式
(a-b)2 =(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
知识点1 完全平方公式
(2) 借助几何图形推导完全平方公式
如图(1) ，边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b)2 .
解：(1) (-2m-n)2=(2m+n)2=(2m)2+2·2m·n+n2 =4m2+4mn+n2 ;
(2) (2x+3y)(-2x-3y)=-(2x+3y)2=-[(2x)2+2·2x·3y+(3y)2]=-4x2-12xy-9y2 .
运算下列式子： (3) (-4a+5b)2 ;
(4) (x+7y)2 .
（a b）2 （-）2 （ 2 a2 b2）
ab 1（a b）2 （a2 b2）（a b）2 （a b）2
2
2
2
（a b c）2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc

14.2.2完全平方公式(第一课时)

14.2.2完全平方公式(第一课时)

: “练”公式，学以致用
随堂练习：我自信 我成功
1. (4m+ n ) 2
2. (-4m - n )23.(源自2a+-1
2
)
2
4. (2a - 0.5)2
(1) (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (2) (a-b)2与(b-a)2相等吗?
利用完全平方公式计算
(1) 1022
(2)992
中考链接
( 1 ) （ 3 x + 2 y ) 2 = 99x22 + 1 2 x y + 4 y 2 ( 2 ) ( 5 m - 4 n ) 2 = 2 5 m 2 - 4 0 m n ++1166nn22 (3) (4a+3b) 2=16a2 ++2244aabb +9b2 ( 4 ) ( 2 x - 8 y ) 2 = 4 x 2 --3322xxyy + 6 4 y 2
判断正误
判断下列各题是否正确，若错误加以改正：
(1) (2a+1)2＝4a2 +1+4a 千万不要漏项哦！
(2) (2a−1)2＝（2a）2−4a+1 此时记得加括号
（3）(3x−y)2＝9x2−y2
(a-b)2≠a2-b2
（4）(3x+2)2＝9x2+12x+4
“练”公式，学以致用
在阴影部分填一个式子，使等式成立：
图形验证公式
计算下图中红色部分的面积
b
b
a a
ab
b a
“说”公式，提炼提升
(a+b)2 =a 2+2ab+b2 (a- b)2 =a2-2ab+b2

人教版数学八年级上册课件：14.2.2 完全平方公式

人教版数学八年级上册课件：14.2.2 完全平方公式

= x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
(2)原式 = [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
方法总结：第1小题选用平方差公式进行计算，需 要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相 反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个 整体，再按照完全平方公式进行计算.
典例精析
例1 运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2；
解: (4m+n)2=(4m)2 +2•(4m) •n+n2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =16m2 +8mn +n2；
(2)

y

1 2
2
解： y

1 2
2 =
y2
-2•y•
1 2

1
2

b有什么关系？它的符号与什么有关？
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2

人教版八年级上册数学：完全平方公式精品课件PPT

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合作探究
思考：怎样添括号才能够变成 乘法公式的结构？
例5 运用乘法公式计算: 找到相同和相反项
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ;
(2) (a + b +c ) 2.
变成两个项的和
解：(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) （2）（a + b +c ) 2
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y- 3) ] = [ (a+b) +c ]2
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
尝试练习
1.先将式子变形，后自选两道题再计算。
(1) (a + 2b – 1 ) 2 (2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
2
= _[_a_+_(_2_b_-_1_)]____ =_[_2_x_+_(_y_+_z_)_]_[_2_x_-_(_y_+_z_)]
= x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9)
三=平=个a方2数(和+a和2，+a的b再b)完加2+全+上b2平2每(+方两a2等+数ab于c乘)c这+积2+三的bc个2c2倍数+。c的2
= x2-4y2+12y-9.
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
点拨：此式需用添括号变形成平方差和完全平方公式 公式结构，再运用公式使计算简便。

人教版八年级数学上册课件：14.2.2完全平方公式(共34张PPT)

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已知x，y的和与积求平方和 答案：69
已知x，y的和与积求平方和 答案：11或-11
总结
这节课我们学会了什么？ 2倍符号看前方
= =
首平方尾平方ຫໍສະໝຸດ 2倍乘积放中央总结
这节课我们还学会了什么？
1．如何判断应该选择哪个公式？ 根据式子中括号的个数，一个括号，就用_________________，两 个括号，就用____完___全__平__方__公___式_ ． 平方差公式
例题 运用乘法公式计算：
这个符合完全平方公式还是平方差公式？ 只有一个括号，只能是完全平方公式 先变形 再化简
已知x，y的和与差的平方求积
已知x，y的和与差的平方求积 答案：8
已知x，y的和与积求平方和 ②等式右边都是两个数_____________，再减去这两个数_____________
你知道怎么算这种式子吗？
①等式左边都是两个数_____________ 这个符合完全平方公式还是平方差公式？
=
③公式中的字母a，b可以单个的数或字母，也可以表示式子．
（2）a-b-c=a-（ ） 1．如何判断应该选择哪个公式？
=
③公式中的字母a，b可以单个的数或字母，也可以表示式子．
观察式子，回答下列问问题：
首平方
尾平方
2倍乘积放中央
完全平方公式 怎么推导完全平方公式？ 利用完全平方公式计算应该注意什么？
例题 运用完全平方公式计算：
解：
ab
ab
例题 运用完全平方公式计算： 方法一：
方法二：
哪种方法比较简单？
总结：为了简便，可以先把括号内变形为首项为正的．
练习 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：

《完全平方公式》八年级初二上册PPT课件(第14.2.2课时)

《完全平方公式》八年级初二上册PPT课件(第14.2.2课时)
而s1=s4=(a-b)b,s2= 2
∴s3= S-(s1+s2+s4) =2 -(2ab-2 2 + 2 )
= 2 -2ab+ 2
∴ ( − )2 = 2 -2ab+ 2
逆推导完全平方公式
计算：2 +2ab+ 2 =？
2 +2ab+ 2
= 2 + ab + 2 +ab
0
a
b
x
课前导入
通过定积分的学习，掌握了微积分的基本思想和方法就能得到一些具有特殊曲边的图形的面积，
并得出平面图形面积的计算公式.
课前导入
用定积分概念解决实际问题的四个步骤：
第一步：将所求量 分为部分量之和，即:
第二步：求出每个部分量的近似值，
n
F = ΔFi ;
i=1
ΔFi = f(ξi )Δxi i = 1, 2, ,n ,
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,
再把所得的积相加。
(a+b)•(m+n)=
am+
an+
+
bm
bn
探索完全平方公式
计算下列多项式的积，你能发现什么规律：
1） (+) =(x+1)(x+1)=
2+ ++1 = 2 +2x+1
2） ( + ) =(m+2)(m+2)= 2+2+2+4= 2 +4m+4
( − )2 = 2 -2ab+ 2
扩展一(公式变化)： 2 + 2 = ( + )2 −

人教版数学八年级上册14.完全平方公式课件


直接求：总面积=(a+b)(a+b) 间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
(a b)2 a 2+ 2ab+ b2
b
a
a
b
（1）
探究新知
某学校要对一个边长为a的正方形操场进行改造， 方案（2）若现要分割出一个边长比原来小b的正方 形操场，用两种不同的方法表示新操场的面积。
直接求：总面积=(a-b)(a-b) 间接求：总面积=a2-ab-ab+b2
；-10
2.若4x2+mx+9是完全平方式，则m=
±.12
解析：（1）∵(x-5)2=x2-10x+25=x2+kx+25， ∴k=-10.
（2）∵4x2+mx+9是完全平方式， ∴4x2+mx+9=(2x±3)2，∴m=±12.
口诀：首平方，尾平方， 积的2倍放中央，
s式子 3x 42
3x
4
3x2 2.3x 4 42
思考
（1）（a+b）2 与 （-a-b）2 相等吗？ （2）（a-b）2 与 （b-a）2 相等吗？ （3）（a-b）2 与 a2 -b2 相等吗？为什么？
（1）（2）相等.因为互为相反数的数或式子 平方相等.（3）不相等.因为前者是完全平方， 后者是平方差.
1.若(x-5)2=x2+kx+25，则k=
你发现了什么？
(a b)2 a2 2ab b2
a （2） a
像研究平方差公式一样，我们探究一下(a+b)2的运算 结果有什么规律． 计算下列各式，你能发现什么规律？
（1）(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______； （2）(m+2)2=_______； （3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=________； （4）(m-2)2=________；

人教版 八年级数学上册课件：14.2.2完全平方公式


3 600
(2)9.82=(10-0.2)2=102-2×10×0.2+0.22=100-4+0.04=96.04.
答案
一二
一二
2.利用完全平方式对整式变形 【例 2】 已知 a2+b2=1,a-b=12,求(a+b)4 的值. 分析:要求(a+b)4,直接求 a,b 的值有一定的困难,因而可利用整体思想, 先设法求出(a+b)2,再结合题目条件 a2+b2=1,求出 ab 的值.
14.2.2 完全平方公式
学前温故 新课早知
平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2 .即两个数的和与这两个数的差的积, 等于这两个数的平方差.
学前温故 新课早知
1.完全平方和公式:(a+b)2= a2+2ab+b2 ,完全平方差公 式:(a-b)2= a2-2ab+b2 . 2.两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们 的 积的 2 倍 .这个公式叫做(乘法的) 完全平方公式 . 3.计算:(x+3)2= x2+6x+9 ,(x-3)2= x2-6x+9 . 4.添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都 不变符号 ;如 果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号 . 即是:遇“加”不变 ,遇“减”都变 . 5.在下列去括号或添括号的变形中,错误的是( C ). A.a3-(2a-b-c)=a3-2a+b+c B.3a-5b-1+2c=-(-3a)-[5b-(2c-1)] C.(a+1)-(-b+c)=(-1+b-a+c) D.a-b+c-d=a-(b+d-c)

人教版数学八年级上册第十四章 完全平方公式课件

(3)(m＋2)2＝________________；
可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许 (a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.
(2)(a＋b＋c)2.
他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性．
教学设计
四、再探新知 1．现有下图所示三种规格的卡片各若干张，请你根据 二次三项式a2＋2ab＋b2，选取相应种类和数量的卡片， 尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形的代数意义：
教学设计
(2)(a＋b＋c)2 ＝[(a＋b)＋c]2 ＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2 ＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2 ＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
教学设计
讲解此例之前可先让学生自学教材第111页的“添括号法 则”并完成教材第111页练习第1题．然后给出例5题目，让 学生思考选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学 生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的 项，学会运用整体思想，将其与公式中的字母a，b对照， 其中－2y＋3＝－(2y－3)，故应运用平方差公式．第(2)小 题可将任意两项之和看作一个整体，然后运用完全平方公 式．
＝9 801. ＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点的原因． 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括；
此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路， (1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22
在解此例的过程中，应注意边辩析各项的符号特征，边 对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过 程，帮助学生理解这一公平方公式有了哪些认识？它与平方差 公式有什么区别和联系？ 作业：教材第112页习题14.2第2题，第3题的(1)(3)(4)， 第4题．

14.2.2 完全平方公式课件


你发现了什么？
a
(a+b)2=a2+2ab+b2
a
b
问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= p2+2p+1 . (2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= m2+4m+4 . (3) (p–1)2=(p–1)(p–1)= p2–2p+1 . (4) (m–2)2=(m–2)(m–2)= m2–4m+4 .
简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中央”
你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?
证明 设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释
b
a
=
+
+
+
a
b
a2
ab
ab
b2
和的完全平方公式：
(a+b)2= a2+2ab+b2 .
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64， 运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝ ____2_5___．归纳新知源自法则完全平 注 意 方公式
常用 结论
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添 括号变形成符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构 特点及结果两方面)
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总结
这节课我们学会了什么？ 2倍符号看前方
= =
首平方
尾平方
2倍乘积放中央
总结
这节课我们还学会了什么？
1．如何判断应该选择哪个公式？ 根据式子中括号的个数，一个括号，就用_________________，两 个括号，就用____完___全__平__方__公___式_ ． 平方差公式
2．括号内有三项时怎么利用公式？ 添括号，把三项变成两项．
我们不希望自己是什么天才。没有从天而降的成功，每从跌倒里站起来一次，成功就近了一寸。也没有平白无故的威信。每正确一次，威信就 增加一分。 一个今天胜过两个明天。 我们的人生必须励志，不励志就仿佛没有灵魂。 学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹 人，其实不需要太多的东西，只要健康地活着，真诚地爱着，也不失为一种富有。
完全平方和
观察式子，回答下列问问题：
①等式左边都是两个数__和__的__平___方____ ②等式右边都是两个数__平__方__的___和____，再加上这两个数 __积___的__两__倍____
你能用一个式子概括上述规律吗？
=
怎么证明呢？
代数证明 =
几何证明
ab ab
=
完全平方差
观察式子，回答下列问问题： ①等式左边都是两个数__差__的__平___方____ ②等式右边都是两个数__平__方___的__和____，再减去这两个数 __积__的___两__倍____
练习 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：
例题 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：
在等式右边的括号内填上适当的项：
点睛：“-”变，“+”不变，要变全都变 思考：怎么检验添括号是否正确呢？ 从右往左去括号
练习
1．在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验．
巧记口诀
2倍符号看前方
= =
首平方
尾平方
2倍乘积放中央
完全平方公式 怎么推导完全平方公式？ 利用完全平方公式计算应该注意什么？
例题 运用完全平方公式计算：
解：
ab
ab
例题 运用完全平方公式计算： 方法一：
方法二：
哪种方法比较简单？
总结：为了简便，可以先把括号内变形为首项为正的．
练习 运用完全平方公式计算：
如果我们一直告诫自己要开心过每一天，就是说我们并不开心。 在灾难面前不屈服，而应更加勇敢地去正视它。 我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯 读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。——朱熹 我决定喜欢你一辈子，不是你的一辈子，是我的一辈子，只要我还活着，就会一直喜欢下去。 你硬要把单纯的事情看得很严重，那样子你会很痛苦。 学而时习之，不亦说乎？有朋自远方来，不亦乐乎？人不知而不愠，不亦君子乎？——《论语·学而》 朋友间的不和，就是敌人进攻的机会。——伊索 业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈 如果你真的爱他，那么你必须容忍他部份的缺点。 不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止。 拒绝严峻的冶炼，矿石并不比被发掘前更有价值。 家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物，但是在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 先淡后浓，先疏后密，先远后近，交友之道也。 在人生道路上，走上坡路要昂首阔步，走下坡路要谨小慎微，走阳关道要目视前方，走羊肠路要俯视脚下。
完全平方公式
知识回顾
多项式乘多项式的法则
（a + b）（p + q）= ap + aq + bp + bq
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项 式的每一项，再把所得的积相加．
这个式子有什么特点？
这是两个数的平方和 你知道怎么算这种式子吗？
下面就来探究一下．
探究 计算下列各式：
（1）a+b-c=a+（
）
（2）a-b-c=a-（
）
（3）a+b-c=a-（
）
（4）a+b+c=a-（
）
练习 2．运用乘法公式计算：
（2）（2x+y+z）（2x-y-z）
例题
运用乘法公式计算： （1）（x+2y-3）（x-2y+3） 这个符合完全平方公式还是平方差公式？ 有两个括号，只能是平方差公式 先变形 原式=[x+(2y-3）][x-（ 2y-3）] 再化简
你能用一个式子概括上述规律吗？
=
怎么证明呢？
代数证明 =
几何证明平方公式吗？ 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上（或减去）它们的积的2倍．
公式特点
= =
①积为__二_____次___三____项式． ②积中两项为两数的平方_和____，另一项为两数的积____的_2_倍_____ ，且符号与等式左边符号相__同______． ③公式中的字母a，b可以单个的数或字母，也可以表示式子．
例题 运用乘法公式计算：
这个符合完全平方公式还是平方差公式？ 只有一个括号，只能是完全平方公式 先变形 再化简
已知x，y的和与差的平方求积
已知x，y的和与差的平方求积 答案：8
已知x，y的和与积求平方和 答案：7
已知x，y的和与积求平方和 答案：69
已知x，y的和与积求平方和 答案：11或-11