河南省开封高中2012届高三第一次定位测试数学理试题

数学试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试时间 120 分钟 .2．请将第Ⅰ卷选择题的答案填用2B 铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷在各题后直接作答.参照公式：假如事件 A 、B 互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) S 4 R2假如事件 A 、B 互相独立，那么P(A ·B)=P(A) ·P(B) 此中 R 表示球的半径假如事件 A 在一次试验中发生的概率是球的体积公式P，那么 n 次独立重复试验中恰巧发生k V球 4 R33次的概率 P n ( k) C n k P k (1 P) n k 此中 R 表示球的半径（ k=0， 1， 2，， n）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12 题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的）1．设会合M { y | y x 2 }, P { x | y x 1}, 则 P M （）A ．（1，+ ）B．[1, ) C．（ 0，+ ）D．[0, )2．在复平面内，复数z i 对应的点位于（）2 iA ．第一象限B．第二象限C．第三象限 D ．第四象限3．若( x 2 )n睁开式中二项式系数之和为64，则睁开式中常数项为（）xA ．20 B．－ 160 C． 160 D ．— 2704．函数y 3 x 1 ( 1 x 0) 的反函数是（）A ．y 1 log 3 x( x 0) B．y 1 log 3 x(x 0)C．y 1 log 3 x(1 x 3) D．y 1 log 3 x(1 x 3)5．圆( x 1) 2 y 2 4 上的动点P到直线x+y－7=0的距离的最小值等于（）A ．42 2B ．4 2C ．42 4D ．42 22 a) 是奇函数，则 f ( x) 0 的解集为（）6．设 f ( x) lg(1 xA ．（－ 1， 0）B ．（ 0， 1）C ．（－ ， 0）D ．（－ ，0）∪（ 1，+ ）7．两位到北京旅行的外国旅客要与2008 奥运会的祥瑞物福娃（ 5 个）合影纪念，要求排成一排，两位旅客相邻且不排在两头，则不一样的排法共有（）A ．1440B ． 960C ． 720D ．4808．以下函数中，即在（ 0，）上是增函数，又以 为最小正周期的偶函数的是（）2A ． y x 2 | cos x |B ． ycos2x C ． y | sin 2x | D ． y | sin x |9．已知等比数列 { a n } 各项均为正数， 公比 q1,设Pa 2 a 3,Qa 4 a 7 .则 P 与 Q 的大2小关系是（）A ．P<QB ． P=QC ． P>QD ．没法确立10．从 P 点出发三条射线 PA ， PB ， PC 两两成 60°，且分别与球O 相切于 A ，B ，C 三点，若球的体积为4，则 OP 的距离为（）3A ． 2B ． 3C ．3D ． 2211．函数 f ( x) 的定义域为（ 0， + ）且 f ( x)0, f ( x) 0, m 为正数，则函数y ( x m) f (xm)（）A ．存在极大值B ．存在极小值C ．是增函数D ．是减函数12．设椭圆x 2 y 21， 右 焦 点 F （ c,0a 21( a 0, b 0)的离心率 e），方程b 22ax 2bx c 0 的两个根分别为 x 1 ,x 2，则点 P （ x 1,x 2 ）在 （）A ．圆 x 2 y 2 2 内B ．圆 x 2y 2 2 上C ．圆 x 2y 2 2外D ．以上三种状况都有可能第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上）2x 3y 613．已知x y 0 则 z 3x y 的最大值为。

河南省开封市2012届高三第一次定位检测数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第(22)- (24)题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式 ])()()[(122221x x x x x x nS n -++-+-= Sh V 31= 其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 Sh V =3234,4R V R S ππ== 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．已知a 为实数，i 为虚数单位，12i a i ++为实数，则a 等于 （ ） A ．1 B ．12 C ．13D ．-2 2．下列判断错误．．的是 （ ） A ．“22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件B ．命题“32,10x R x x ∀∈--≤”的否定是“32,10x R x x ∃∈-->”C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D ．设随机变量211~(0,),(1),(01)44N P P ξσξξ<-=<<=且则3．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，若甲、乙两人的平均成绩分别记为12,a a ，则（ ） A ．12a a < B ．12a a = C ．12a a > D ．以上都不对4．如图给出的是计算11113529++++的值的一个程序框图，则图 中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是 （ ）A ．2,15?n n i =+=B ．2,15?n n i =+>C ．1,15?n n i =+=D ．1,15?n n i =+>5．由直线1,33x x ==，曲线1y x x =及轴所围图形的面积为（ ） A ．809 B ．829 C ．1ln 32 D ．2ln 36．已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且739a 是a 与a 的等比中项，{}n n S a 为的前n 项和，*n N ∈，则S 10的值为（ ） A ．-110 B ．-90 C ．90 D ．1107．已知函数22()2,()log ,()log 2x f x x g x x x h x x =+=+=-的零点依次为a 、b 、c ，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<8．已知某几何体的正视图，侧视图，俯视图都是如图所示的边长为1的等腰直角三角形，则该几何体的表面积等于（ ）A B ．2CD．1+9．已知变量370,11x y x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩满足，则||z y x =-的最大值为（ ） A ．1 B．2 C ．3 D ．3210．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A ．60B ．48C ．42D ．3611．已知函数2,1()(2),1ax bx c x f x f x x ⎧++≥-=⎨--<-⎩的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为21y x =+，则它在点(3,(3))f --处的切线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．230x y +-=C ．230x y ++=D ．210x y +-= 12．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F （-c ，0）作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为（ ）AB．2 C1 D．12第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~第24题为选考题，考试根据要求做答。

河南省开封市数学高三上学期理数第一次统一考试（1月)试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合A={x∈R |x2=x }，B={x∈R||x|=x }，则集合M={0，1}=（）A . BB . A∩BC . A∪BD . A∩CRP2. （2分）(2017·泉州模拟) 若复数z满足z（2﹣i）=i，则|z|=（）A .B .C .D .3. （2分）在的二项展开式中任取2项，表示取出的2项中有i项系数为奇数的概率. 若用随机变量表示取出的2项中系数为奇数的项数i，则随机变量的数学期望（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二上·邯郸期末) 在等差数列{an}中，a2=3，a5+a7=10，则a1+a10=（）A . 9B . 9.5C . 10D . 115. （2分） (2019高一上·沈阳月考) 甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一下·哈尔滨月考) 设a，b，c，d均为大于零的实数，且abcd＝1，令m＝a（b+c+d）+b（c+d）+cd，则a2+b2+m的最小值为（）A . 8B . 4+2C . 5+2D . 47. （2分） (2018高二下·惠东月考) 函数的图象是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高一上·西安期末) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A . 20πB . 24πC . 28πD . 32π9. （2分）若点O和点F(-2,0)分别为双曲线（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A . [3- ，）B . [3+ ，）C . [，）D . [，）10. （2分）(2016·连江模拟) 已知集合A= ，则A∩B=（）A . [﹣3，1]B . （0，1]C . [﹣3，2]D . （﹣∞，2]11. （2分） (2018高一下·宜宾期末) 设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（）A .B . ，则C .D .12. （2分） (2019高三上·汕头期末) 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，，，若，则（）A . 64B . 65C . 71D . 72二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·广东模拟) 已知均为单位向量，它们的夹角为，则 ________14. （1分）(2016·新课标Ⅲ卷文) 设x，y满足约束条件，则z=2x+3y﹣5的最小值为________．15. （1分） (2020高二上·那曲期末) 设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的标准方程是________。

开封市2009届高三年级第一次模拟考试数学试题（理科）注意事项：150分，考试时间120分钟。

参考公式如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发 生k 次的概率k n kk n p p C k --=)1()(p n球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径 球的体积公式V=334R π其中R 表示球的半径第 Ⅰ 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数=+=-=N M N x x M xx f ，则的定义域为，的定义域为)1ln()(g 11)( A ．{x|x ＞1} B ．{x ｜x ＜1}C ．{x ｜-1＜x ＜1}D ．φ2．如果α、β∈(），ππ2，且tan α＜cot β，那么必有A.α＜βB.β＜αC.α+β＜23π D.α+β＞23π3．已知P 、A 、B 、C 是平面内四点，且C A C P B P A P=++那么一定有A ．P CB P 2= B.B P PC 2= C.B P P A 2= D.PA B P 2=4．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有A ．10种B ．20种C ．36种D ．52种 5．设z ∈C ，z=ii 5665)i 1(2-++-，则7)1(z +展开式的第5项是 A ．35i B ．21i C ．21 D ．356．已知函数)(x f y =在定义域（-∞,0）内存在反函数，且x x x f 2)1(2-=-则=--)411(1fA. 23-B ．23C ．22-D ．227．设实数x 、y 满足0,1)1(22≥++=-+d y x y x 且恒成立，则d 的范围为A ．［),12+∞-B ．(12,-∞-］C ．［），∞++12D ．(12+∞-，］8．设数列｛2n-1n 组有n 个数（n 是正整数）的规则分组如下：（1），（2，4），（8，16，32）……则第101组中的第一个数为A ．49512B ．49502C ．50512D ．505029．一束光线从点A （-1，1）发出，并经过x 轴反射，到达圆1)3()222=-+-y x （上一点的最短路程是A ．4B ．5C ．123-D ．6210．如图是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象，则2221x x +等于 A ．98 B ．910C ．916D ．92811．已知不等式41||log 2--x x m x ＜0，在x ∈(0,22)时恒成立，则m 的取值范围是A ．0＜m ＜1B ．41≤m ＜1 C ．m ＞1 D ．0＜m ≤4112.在正方体ABCD-1111D C B A 中，E 、F 分别是线段1111C B B A 上的不与端点重合的动点，如果F B E A 11=，下面四个结论：①EF ⊥A 1A ②EF ∥AC ③EF 与AC 异面④EF ∥平面ABCD ，其中一定正确的是A ．①② B.②③ C. D.①④第 Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卷上）13．设x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥120y x y x x 若目标函数为32z x y =+，则z 的最大值为_______14．已知向量b 与a 的夹角为120°，且|)2(b ,4|||b a b a+==那么的值为_______15．椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，短轴的两个端点与一个焦点，恰好构成等边三角形，若短轴长为2，则两条准线间的距离为________16．已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若AB=6,AC=,132AD=8,则B 、C 两点间的球面距离是____________三、解答题（本大题有6小题；共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题满分10分) 已知函数214cos 4cos 4sin 3)(2++=x x x xf（Ⅰ）求)(x f的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c 满足C b B c a cos cos )2(=-，求)2(A f 的取值范围.18.(本题满分18分) 甲、乙二人进行羽毛球比赛，按“三局二胜制”的规则进行（即先胜两局者获胜，比赛结束），且设各局之间互不影响，根据两人以往的交战成绩知，甲在前两局的比赛每局获胜的概率是0.6，但乙在前两局战成1∶1的情况下，在第三局中凭借过硬的心理素质，获胜的概率为0.6.（Ⅰ）求乙以2∶1获胜的概率；（Ⅱ）在甲、乙二人的比赛中，设乙的净胜局数为ξ，求E ξ.19.(本题满分12分)直三棱柱ABC-111C B A 中，AB=AC=a BC a AA 2.31==，D 是BC 的中点，E 是1CC 上的点，且CE=a 2.（Ⅰ）求证：⊥E B 1平面ADE ；（Ⅱ）求二面角D-AE-C 的大小.20.(本题满分12分)已知,)ln()(x b ax x f -+=其中a ＞0，b ＞0. （Ⅰ）求使)(x f 在［0,+∞)上是减函数的充要条件； （Ⅱ）求)(x f 在［0,+∞)上的最大值.21.(本小题满分12分)如图，已知双曲线2222by a x - (a ＞0，b ＞0)其右准线交x 轴于点A ，双曲线虚轴的下端点为B ，过双曲线的右焦点F （c,0）作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，若点D 满足：P O F O D O +=2（O 为原点）且D A B Aλ=（λ≠0）（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）若a ＝2，过点B 的直线l 交双曲线于M 、N 两点，问在y 轴上是否存在定点C ，使N C M C∙为常数，若存在，求出C 点的坐标，若不存在，请说明理由.22.(本小题满分12分)已知数列{n a }满足⋅⋅⋅=-+==+2,1,)1(23,111n a a a n n n（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）设数列{na 1}的前n 项和为n S ，求证n S ＜37开封市2009届高三年级第一次模拟考试数学试题（理科）参考答案一、选择题： 1-12 CCDADAADACBD二、填空题：13. 5 14.0 15.338 16.π34三、解答题：17解：（Ⅰ）由1)62sin(1cos 212sin 23)(++=++=πx x x x x f 2分由)(226222z k k x k ∈+≤+≤-πππππ 4分 得)(324344z k k x k ∈+≤≤-ππππ ∴f(x)的单调递增区间为［324.344ππππ+-k k ]（k ∈Z ） 5分（Ⅱ）由（2a-c ）cosB=bcosC 及正弦定理得（2sinA-sinC ）cosB=sinBcosC∴2sinAcosB=cosBsinC+sinBcosC=sin(B+C) 6分又∵A+B+C=π，∴sin(B+C)=sinA ≠0∴cosB=21,B=3π,A+C=π-B=π32又∵A ，C 为锐角，∴26ππ〈〈A∴1)6(sin 23,3263≤+〈〈+〈ππππA A 即8分 ∴2,123(1)6sin()2(+∈++=πA A f ] 故)2(A f 的取值范围是（2123，+］10分18解：（Ⅰ）设乙以2∶1获胜的事件为A乙2∶1获胜即前两局二人成1∶1 2分 概率为12C ×0.4×0.6，且第三局乙获胜，P(A)= 12C ×0.4×0.6×0.6＝0.288 6分（Ⅱ）依题意，ξ可能的取值为-2，-1，1，2 7分∵p(ξ=-2)=0.36 p(ξ=-1)=0.192 p(ξ=1)=0.288 p(ξ=2)=0.1610分∴E ξ=-2×0.36-1×0.192+1×0.288+2×0.16＝-0.304 12分19（Ⅰ）证明：∵AB=AC,D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC,又ABC-111C B A 是直三棱柱， ∴面11B BCC ⊥面ABC ∴AD ⊥面11B BCC 2分∴AD ⊥E B 1，由Rt △DCE ≌Rt △11B EC∴∠DEC+∠EC B 1 =90° 即E B 1⊥DE 4分∴E B 1⊥平面ADE 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知AD ⊥平面11B BCC ∴平面ADE ⊥平面11B BCC , 作CH ⊥DE 于H ，则CH ⊥平面ADE,作HF ⊥AE 于F ，连CF ，则CF ⊥AE ∴∠CFH 是二面角D-AE-C 的平面角 8分 在Rt △CDE 中，CH=a DE CE CD 52=⋅，在Rt △ACE 中， CF=a AE CE AC 136=⋅， 10分 在Rt △CHF 中， sin ∠CFH=1565arcsin,1565为即二面角C AE D CF CH --=， 12分20（Ⅰ）∵bax axb a b ax a x f +--=-+=1)(' 2分∵x ≥0，a ＞0，b ＞0 ∴)('x f ≤0，a-b ≤0 即a ≤b 4分当a ≤b 时 ∵a ＞0，b ＞0，x ≥0 ∴ax+b ＞0，a-b-ax ≤0即)('x f ≤0∴)(x f 在［0,+∞)上是减函数的充要条件为b ≥a 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当b ≥a 时，)(x f 在［0,+∞)上是减函数，∴)(x f 最大值=)0(f =lnb 8分当b ＜a 时，∵)('x f =bax ax b a +--∴当0≤x ＜a b a -时，)('x f ＞0，当x ＞a ba -时)('x f ＜0 即)(x f 在［0, a b a -)上是增函数，在［aba -,+∞)上是减函数， 10分∴)(x f 最大值= f （a b a -）=lna-a ba - 11分∴)(x f 最大值=)(ln )(ln {a b aba a ab b 〈--≥ 12分21（Ⅰ）∵B(0,-b)，A(),()0,22ab c P c a易得∵2P O F O D O+= ∴D 为线段FP 的中点 1分∴(c,,),22D A B A a b λ=又即A 、B 、D 共线 2分 ∴而)2,(),,(222ab c a c D A b c a B A -=--= ,∴(ab c a b c a c 2)()()222⋅-=-⋅-得a=2b ∴e=25411)(12=+=+=a b a c 4分 （Ⅱ）∵a=2而e=∴=∴1252b 双曲线方程为1422=-y x ①5分∴B(0,-1) 假设存在定点C(0,n)使N C M C⋅为常数u，设MN 的方程为y=kx-1 ② 6分 由②代入①得088)4122=-+-kx x k （ 由题意得0)41(3264041{222〉-+=∆≠-k k k 得412122≠〈k k 且 设M(148,148),,(),,2212212211-=-=+∴k x x k k x x y x N yx 8分而22121212211)(),(),(n y y n y y x x n y x n y x N C M C ++-+=-⋅-=⋅=u n k n k k k n x x n k x x k =++-+--+=++++-+22222221212)1(14)1(814)1(8)1())(1()1(整理得：［4u n n 48)1(2--+］+2k ［8-u n ++2)1(］=0 10分 对满足恒成立，的且k k k 412122≠〈∴0)1(8048)14{22=++-=--+u n u n n （解得n=4,u=17故存在y 轴上的定点C(0,4),使N C M C⋅为常数17 12分22（Ⅰ）设[]nn n n a a )1(3)1(11-+=-+++λλ即21)1(23,)1(4311=-+=-+=++λλ比较得与nn n nn n a a a a 2分∴为公比的等比数列，为首项，以是以321)1(21)1(211=-+-+a a n n 即[]n n n a )1(3211--=- 4分 （Ⅱ）∵)13)(13(332)131131(211222222121222212-++⋅=-++⨯=+-------n n n n n n n n a a 6分＝2·1333333221212222222--+⋅+---++-n n n n n n ＜2·)3131(23333122212222212------+⋅=⋅+n n n n n n 8分当n 为偶数时，设n=2m （m=1,2……）则372〈m S 10分当n 为奇数时，设n ＝2m-1(m=1,2…)3722212〈〈-==-m m m m n S a S S S 12分综上可得37〈n S。

河大附中2012届高三第一次考试理科数学试题答案f 选择题：BCACB DCAAD BB三、解答题：17.解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件人、A?、£；疋表示事件“恰 有一人通过笔试”,则P （E ） = Pg A 2A 3） + P （人企AJ +卩（A AA 3）=0.6x 0.5 x 0.6 + 0.4x 0.5 x 0.6 + 0.4x 0.5 x 0.4 = 0.38 .................... 5 分（2）因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为p = 0.3, ...8分所以§ 〜3（3,0.3）,故 E （§） = np = 3x0.3 = 0.9 ...... i （）分 18.解：（1） TCA 是 00 的切线，.•. ZCAE = ZB,又J CD 是ZACB 的平分线,・・・ZACD = ZDCB , ............... （3分）Z.ADF = ZB + ZDCB = ZCAE + ZACD = ZAFD , /. AD = AF ; ................ （6 分） （2） •・• AB = AC ,・•・ ZCAE = ZB = ZACB ,又・.T 80° = ZACE + ZCAE + ZAEC = ZACE + ZCAE + （90° + ZABE ）,/. ZCAE = ZB = ZACB = 30a ,— ............. （12 分）BC AB 3 19.解：证明：（1） y_^ = l +丄—巧=3-語+ —=1 + x 1 + x1 + x•: x > 爲，/. x-V3 >0 ,而1一爺<:0,/. y < A /3 ; .................... （6 分）•・•兀 >0, A /3-2<0, |X -A /3|>0, | ^3 | -1 x-V3 |< 0 ,即I y — 命 |v| 兀一巧 I,二、填空题：246 + 4A /2 211 2,,+1 -n-2又 T ZACB = ZACB , /. △ BCA s' ACE ,AC AE（9分）（2）|y-V3|-|x-V3|=（1-V3）（x-V3） 十"皿-问（茫-|）十"|（帝严）, ・・・y 比x 更接近于巧. ..................... （12 分）•••（1—加）（3 +尸）=0,加=1, •••当点P 在直线）=亍上运动时，直线MN 恒经过定点2（0,1） （12分）3tz21. （1）若色=〜+],即加；]=兔,得a “ =0或。

河大附中高三年级第一次考试 ：孕味国际母婴用品旗舰店数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案写在答题卷上）1．向量()()2,1,1,3-=-=b a ，则b a23-等于（）A ．()4,3--B ．()7,11-C ．()8,9-D ．()7,11-2．若集合A=},1lg |{≤x x B=},42|{Z x x x∈≤,则B A 中元素的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)=-+z a i i 在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知点M 是直线042:=--y x l 与x 轴的交点，过M 点作直线l 的垂线，得到的垂线的直线方程是（ ）A ．022=--y xB ．022=+-y xC ．022=-+y xD ．022=+-y x5．设双曲线)0,0(,12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则其渐近线方程为（）A ．x y 21±= B ．x y 22±=C ．x y 2±= D ．x y 2±= 6．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率是（ ）A ．521B ．27C ．31D ．2187．若等差数列}{n a 的前n 项和为S n ,且12102a a a ++为一确定的常数,则下列各式中,也为确定的常数的是 ( )A ．13SB ．17SC ．15SD ．19S 8．已知函数f (x )＝21x 3﹣x 2﹣27x ，则f (﹣a 2)与f (﹣1)的大小关系为()A ．f (﹣a 2)≤f (﹣1)B ．f (﹣a 2)<f (﹣1)C ．f (﹣a 2)≥f (﹣1)D ．f (﹣a 2)与f (﹣1)的大小关系不确定9．已知分段函数21,0(),0x x x f x e x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则31(2)f x dx ⎰-等于（ ） A ．713e-B ．2e -C ．13e + D ．12e -10．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=0),1(0],[)(x x f x x x x f ，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[﹣1.2]=﹣2,[1.2]=1,[1]=1,若)0(,)(>+=k k kx x f 有三个不同的根，则实数k 的取值范围是（）A ．]31,41(B ．]41,0(C ．]31,41[D ．)31,41[11．如图在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为()A ．21B ．1C ．2D ．3 12．函数()(31)2f a m a b m =-+-，当[0,1]m ∈时，0()1f a ≤≤恒成立, 则229a b ab+的最大值与最小值之和为（ ） A ．18B ．16 C ．14 D ．494二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷上对应的横线上）13．二项式4)2(x x-的展开式中的x 1系数是．14．已知正数a ，b ，c 满足：a ＋2b ＋c ＝1则a 1＋b 1＋c1的最小值为．15．已知函数()()1,0log ≠>-+=a a b x x x f a 且当432<<<<b a 时，函数)(x f 的零点()*0,1,N n n n x ∈+∈，则=n ．16．设)}(,,2,1{+∈=N n n x n ，对n x 的任意非空子集A ，定义)(A f 为A 中的最小元素，当A 取遍n x 的所有非空子集时，对应的)(A f 的和为n S ，则：①=3S ，②n S =． 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75． （1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望E (ξ)．18．（本小题满分12分）已知C 点在⊙O 直径BE 的延长线上，CA 与⊙O 切于A 点，∠ACB 的平分线CD 交AE 于点F ，交AB 于点D ．（1）求证：AD =AF ；（2）若AB =AC ，求BCAC的值．19．（本小题满分12分）设正有理数x 是3的一个近似值，令xy ++=121． （1）若3>x ，求证：3<y ；（2）求证：y 比x 更接近于3．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(,12222>>=+b a b x a y 经过点)3,21(，一个焦点是F )3,0(-．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 与y 轴的两个交点为A 1、A 2，点P 在直线2a y =上，直线PA 1、PA 2分别与椭圆C 交于M 、N 两点．试问：当点P 在直线2a y =上运动时，直线MN 是否恒经过定点Q ？证明你的结论．21．（本题满分12分）数列}{n a 中，0>n a ，1≠n a ，且1231+=+n nn a a a （*∈N n ）．（1）证明：1+≠n n a a ；（2）若431=a ，计算2a ，3a ，4a 的值，并求出数列}{n a 的通项公式； （3）若a a =1，XX 数p （0≠p ），使得数列}{nna a p +成等比数列．22．（本小题满分12分）设函数x b x x f ln )1()(2+-=，其中b 为常数．（1）当21>b 时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （2）若函数()f x 有极值点，求b 的取值范围与()f x 的极值点；ADE FO（3）求证对任意不小于3的正整数n ，不等式nn n n 1ln )1ln(12<-+<都成立．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则B中所含元素的个数为A.3B.6C.8D.102.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有A.12种B.10种C.9种D.8种(3)下面是关于复数z=21i-+的四个命题P1：z=2 p2: 2z=2iP3:z的共轭复数为1+I P4 ：z的虚部为-1其中真命题为A P2 ,P3B P1 ,P2C P2，P4D P3 P4(4)设F1，F2是椭圆E：22xa+22yb=1 (a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x=23a上的一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为A 12B23C34D45（5）已知{a n}为等比数列，a4+a1=2 a5a6＝-8 则a1+a10 =A.7B.5 C-5 D.-7(6)如果执行右边的程序图，输入正整数N（N≥2）和实数a1.a2,…a n，输入A,B,则(A)A+B 为a 1a 2,…，a n 的和 （B ）2A B为a 1a 2.…，a n 的算式平均数 （C ）A 和B 分别是a 1a 2,…a n 中最大的数和最小的数 （D ）A 和B 分别是a 1a 2,…a n 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6 (B)9 (C)12 (D)18（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y ²=16x 的准线交于A ，B 两点，，则C 的实轴长为（A ）B ）C ）4（D ）8(9)已知w ＞0，函数在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，则w 的取值范围是（A ）（B ）（C ）（D ）（0,2](10)已知函数，则y=f （x ）的图像大致为（11）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（A ）6（B C ）3（D ）2（12）设点P 在曲线上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则|PQ|的最小值为（A ）1-ln2（B ）（C ）1+ln2（D ）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2015届河南省开封市高三上学期定位模拟考试数学试题（理科）【试卷综析】基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，体现了稳中求进的精神。

考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。

这套试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。

试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1．已知集合A=(){}{}2|lg 1,|230x y x B y yy =-=--≤，则A B =IA.{}|13x x << B. {}|13y y ≤≤ C. {}|13x x <≤ D. {}|13x x ≤<【知识点】函数的定义域；一元二次不等式的解法；集合运算. A1 B1 E3【答案解析】C 解析：A={x|x>1},B={y|-13y ≤≤},所以{}|13A B x x =<≤I ，故选C.【思路点拨】化简集合A 、B ，求得这两个数集的交集.【题文】2．已知i 是虚数单位，m.n R ∈,则“m=n=1”是“()22m ni i-=-”的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【知识点】 充分必要条件.A2【答案解析】 A 解析：解：因为m=n=1时()212i i-=-成立，而()22222220,11,1m ni m m ni n i m n m n m n m n -=-⋅+∴-=⋅=∴====-，所以正确选项为A.【思路点拨】由题意可解复数成立的条件，再根据充分必要关系确定命题的关系.【题文】3．已知双曲线224312x y -=，则双曲线的离心率为 A. 73 B. 213 C. 77 D. 72【知识点】双曲线的性质. H6【答案解析】B 解析：已知双曲线为22134x y -=，其中a=3,347c =+=,所以双曲线的离心率为213，故选B.【思路点拨】把已知方程化成标准方程，求得a,c ，从而利用公式ce a =求出离心率e.【题文】4．若()2,2,a b a b a ==-⊥r rr r r，则,a br r的夹角是A.512πB. 3πC. 6πD. 4π【知识点】平面向量单元综合. F4【答案解析】D 解析：()(),0a b a a b a-⊥∴-⋅=r r r r r rQ，即()2222cos,0a ab a b-⋅=-=r r r r r，2cos,2a b∴=r r，∴,a br r的夹角是4π.【思路点拨】由向量垂直则它们的数量积为0，得关于向量,a br r夹角的方程.【题文】5．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P表示估计的结果，则图中空白框内应填入P=A. 1000MB.1000M C.41000MD.10004M【知识点】算法与程序框图. L1【答案解析】C 解析：由于圆221x y+=在以O（0,0），A（0,1）B(1,1),C(1,0)为顶点的正方形中的面积为4π，所以441110001000M Mππ=⇒=⨯,故选C.【思路点拨】由圆在单位正方形中的面积与单位正方形的面积比，等于落在圆中的点个数M与总的点个数1000的比得结论.【题文】6．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是A. 3108cmB.1003cm C.92 3cm D.84 3cm【知识点】几何体的三视图. G2【答案解析】B 解析：由三视图可知此几何体是一个直四棱柱截去一个角后所得几何体，如下图,此几何体的体积为1163644310032⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故选B.【思路点拨】由三视图得此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.【题文】7．设变量x、y满足约束条件122x yx yy-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数22z x y=+的取值范围为 A.[]2,8B.[]4,13C.[]2,13D.5,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦【知识点】线性规划的应用. E5【答案解析】C 解析：画出可行域如图ABC∆内部（包括边界），目标函数为可行域中点到原点距离的平方，由图可知z 的最小值是原点到直线x+y=2距离的平方，由点到直线距离公式得值这个值为2；z 的最大值是222||3213OA =+=.【思路点拨】画出可行域，由图可知目标函数取得最值的最优解.【题文】8.已知函数()()()cos sin 2,0f x x x ϕϕπ=-+≤≤有一个零点13π，则ϕ的值是A ．6πB. 3πC. 4πD. 2π【知识点】 三角函数.C3【答案解析】A 解析：解：当3x π=时，代入各项的值可知，只有A 正确.【思路点拨】特殊值法可直接求出结果.【题文】9.将边长为2的等边PAB V 沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合，设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =的说法①()f x 的值域为[]0,2：②()f x 是周期函数：③()()()4.12013f f f π<<；④()692f x dx π=⎰其中正确的个数是A.0B. 1C. 2D. 3 【知识点】函数的性质. B3,B4【答案解析】C 解析：解：根据题意画出顶点P （x ，y ）的轨迹，如图所示．轨迹是一段一段的圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数y=f （x ）的有下列说法：①f （x ）的值域为[0，2]正确； ②f （x ）是周期函数，周期为6，②正确；③由于f （-1.9）=f （4.1），f （2013）=f （3）； 而f （3）＜f （π）＜f （4.1），∴f （-1.9）＞f （π）＞f （2013）；故③不正确；④()6f x dx ⎰表示函数f （x ）在区间[0，6]上与x 轴所围成的图形的面积，其大小为一个正三角形和二段扇形的面积和，其值为2223162223343ππ⨯⨯⨯+⨯=+故④错误．故选C ．【思路点拨】先根据题意画出顶点P （x ，y ）的轨迹，如图所示．轨迹是一段一段的圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数y=f （x ）的说法的正确性【题文】10．三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为94，高为3，底面是正三角形，若P 是111A B C ∆中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小是A. 12πB. 3πC. 4πD. 6π【知识点】空间几何体的结构；线面角的求法. G1 G11【答案解析】B 解析：设此正三棱柱的底面边长a ，由柱体体积公式得3a =，从而得底面中线长的三分之二为1，即11A P =,若PA 与平面ABC 所成角为θ，则113tan 31AA A P θ===,所以3πθ=，故选B. 【思路点拨】设PA 与平面ABC 所成角为θ，则11tan AA A P θ=，所以只需求出1A P 的长，而1A P 的长是正三棱柱的底面中线长的三分之二，所以需求正三棱柱的底面边长a ，由柱体体积公式得3a =，由此可求得PA 与平面ABC 所成角的大小.【题文】11.已知函数()323f x ax bx x=+-在1x =±处取得极值，若过点A()0,16作曲线()y f x =的切线，则切线方程是A. 9160x y +-=B. 9160x y -+=C. 9160x y +-=D. 9160x y -+= 【知识点】 导数;直线方程.B11,H1 【答案解析】C 解析：解：（I ）()f x '=3ax2+2ax-3，∵函数f （x ）在x=±1处取得极值，()()110f f ''=-=，即32303230a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得a=1，b=0．曲线f （x ）=x3-3x ，点（0，-16）不在曲线上．设切点为P （s ，t ），则t=s3-3s ．f′（s ）=3（s2-1），因此切线方程为：y-t=3（s2-1）（x-s ）．∵点（0，-16）在切线上，∴-16-（s3-3s ）=3（s2-1）（0-s ）， 化为s3=8，解得s=2，∴切点为P （2，2），故曲线方程为：9x-y-16=0．【思路点拨】考查了利用导数研究函数的单调性极值、导数的几何意义、切线的方程，利用推理能力和计算.【题文】12．设x R ∈，若函数()f x 为单调递增函数，且对任意实数x ，都有()1xf f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦（e 是自然对数的底数），则()ln 2f =A.1B.e+1C.3D.e+3【知识点】函数的单调性； B3【答案解析】C 解析：因为x R ∈时，函数()f x 为单调递增函数，所以定义域中的值与值域中的值是一一对应的，又对任意实数x ，都有()1x f f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦（e 是自然对数的底数），则()xf x e -是常数，设()()x x f x e m f x e m-=⇒=+，所以()1m f m e m e =+=+，因为函数x y e x =+是R 上增函数，所以m=1，从而()1,x f x e =+所以(ln 2)3f =，故选C. 【思路点拨】根据函数()f x 为R 上单调递增函数，且对任意实数x ，都有()1xf f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦（e 是自然对数的底数），则()x f x e -是常数，设()()x x f x e m f x e m-=⇒=+，所以()1m f m e m e =+=+，因为函数xy e x =+是R 上增函数，所以m=1，从而()1,xf x e =+所以(ln 2)3f =. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.【题文】13．已知函数()2log ,(0)(x)3,0xx x f x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则()0f f =⎡⎤⎣⎦ . 【知识点】分段函数；函数值的意义. B1 【答案解析】0 解析：因为()0031,f ==所以()0f f =⎡⎤⎣⎦()21log 10f ==.【思路点拨】根据分段函数的意义，自变量取哪个区间上的值就用哪个区间上的解析式求函数值.【题文】14.在二项式3nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为M ，各项二项式系数之和为N 且64M N +=，则展开式中含2x 项的系数为【知识点】 二项定理；特定项的系数.J3【答案解析】-90解析：解：∵二项式3nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，令x=1得：各项系数之和M=2n ，又各项二项式系数之和为N ，故N=2n ，又M+N=64，∴2×2n=64，∴n=5．设二项式53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为Tr+1，则()()15521531r r r r r r T C x --+-+=⋅⋅-⋅令()1522r r --+=得：r=3．∴展开式中含x2项的系数为()335351390C -⋅-⋅=-.【思路点拨】由已知条件可求出n 的值，再利用特定的求法求出二次项的系数. 【题文】15.已知点A()2,0抛物线C ：24x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =【知识点】 直线与抛物线.H7【答案解析】C 解析：解：∵抛物线C ：x2=4y 的焦点为F （0，1），点A 坐标为（2，0），∴抛物线的准线方程为l ：y=-1，直线AF 的斜率为011202k -==--过M 作MP ⊥l 于P ，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，∵Rt △MPN 中，tan ∠MNP=-k=1212PM PN ∴=，可得|PN|=2|PM|，得225MN PN PMPM=+=因此可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1:5．故答案为：1:5．【思路点拨】求出抛物线C 的焦点F 的坐标，从而得到AF 的斜率k ．过M 作MP ⊥l 于P ，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt △MPN 中，根据tan ∠MNP ，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|= 5|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【题文】16．如图，已知ABC ∆中，90ABC ∠=o，延长AC 到D,连接BD,若30CBD ∠=o且AB=CD=1，则AC=【知识点】正弦定理. C8【答案解析】32 解析：设AC=b,则在ABD ∆中，()113sin sin120sin 21b D D b +=⇒=+o ，在BCD ∆中，22111sin sin 30sin 2b b D D ++=⇒=o ，所以()231212b b +=+，整理得：432240b b b +--=，解得b=-2（舍去），或32b =.【思路点拨】在ABD ∆和BCD ∆中，用正弦定理得关于边AC 的方程，解此方程得AC 长. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 【题文】17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()2*111,+,n n n a n a a a n n n N +=-=+∈证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；设23nn n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求正项数列{}n b 的前n 项和n S . 【知识点】等差数列的定义；数列求和. D2 D4【答案解析】(1)证明：略；（2）()1213344n n n S +-=+解析：(1)由已知得111n n n a a a n nn +⎧⎫-=⇒⎨⎬+⎩⎭是等差数列，------6分 （2）由（1）得：2,3nn n a n b n ==⋅从而，-------8分231323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅L ，231313233n n S n +=⋅+⋅++⋅L ，错位相减得()1213344n n n S +-=+.-------12分【思路点拨】（1）由等差数列的定义证得结论；（2）由错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S .【题文】18.根据据《中华人民共和国道路交通安全法 》 规定，车辆驾驶员血液酒精浓度在[20,80)（单位：/100mg ml ）之间 属于“ 酒驾 ” 血液酒精浓度在80/100mg ml （含80）以上时，属于“醉驾”某市交警在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查， 经过一晚的抽查 ，共查出酒后驾车者 60名 ，图甲是用酒精测试仪对这60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图（I ）若血液酒精浓度在[50,60)和[60,70)的分别有 9人和6 人， 请补全频率分布直方图 ，图乙的程序框图是对这名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计 ，求出图乙输出的S 的值，并说明S 的统计意义：（图乙中数据i m 与i f 分别表示图甲中各组的组中点值及频率）;(II)本次行动中 ,吴、李2人都被酒精测试仪测得酒精浓度属于7090/100mg ml :的范围 ，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准 ，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒数精浓度属于7090/100mg ml :范围的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，设ξ为吴，李2人被抽中的人数，求ξ的分布列，并求吴、李2人至少1人被抽中的概率. 【知识点】 数据的特征数；分布列与期望.I2,K6【答案解析】(I) [50,60)的频率为90.1560=，则=0.015频率组距[6070)，的频率为60.160=，则=0.01频率组距，S统计意义：酒精浓度的平均数为250.25+350.15+450.2+550.15+650.1+750.1+850.05=47⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯(II)()()51012P A Pξ=-==解析：解：(I)[50,60)的频率为90.1560=，则=0.015频率组距[6070)，的频率为60.160=，则=0.01频率组距，S统计意义：酒精浓度的平均数为250.25+350.15+450.2+550.15+650.1+750.1+850.05=47⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（II）7090:共有600.15=9⨯人，ξ的可能值为0，1，2()()()2112787222299921141P0,1,2363636C C C CP PC C Cξξξ=========所以，ξ的分布列为：记“吴、李2人至少有1人被抽中”为事件A()()51012P A Pξ=-==【思路点拨】根据已知条件求出各特征数，再求出随机变量的各取值情况并列出分布列. 【题文】19.已知四棱锥P ABCD-，底面ABCD为梯形，,,1,ABCD PA=AD=DC=2ABAB CD AD CD AB PA⊥=⊥P平面，，点E是PC中点.(I)求证：BE DC⊥(II)若F为棱PC上一点，满足BF AC⊥,求二面角F—AB—P的余弦值.【知识点】根据已知条件建立空间坐标系，利用向量求直线的垂直关系.G9,G10【答案解析】(I)略 (II) 31010解析：解：(I)取CD 中点M ，连MB ，证得BEM BE CD CD ⊥⇒⊥平面(II)以A 为原点建立坐标系O xyz -,AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，则()()()()()()1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,2,0,2,2,2B C D P BC CP ==--u u u v u u u v()()2,2,0,1,0,0AC AB ==u u u v u u u v，设()()01,12,22,2CF CP BF BC CF BC CP λλλλλλ=≤≤=+=+=--u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v由0BF AC ⋅=u u u v u u u v 得34λ=，则113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，设()0,3,1n =-v 为平面FAB 的一个法向量，平面ABP 的一个法向量()0,1,0m =u v 310cos 10m n ⋅=-u v v ，由已知得二面角F —AB —P 余弦值31010.【思路点拨】根据题意可以直接证明线段垂直，再建立空间坐标系利用向量求出二面角的余弦值.【题文】20.已知双曲线22162x y -=上任一点M ()00,x y ，设M 关于x 轴对称点为1M ，双曲线的左右顶点分别为12,A A .(I)求直线1A M 与直线11A M 的交点P 的轨迹C 的方程.(II)设点()2,0F -，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作直线l TF ⊥交()I 中轨迹C 于P 、Q 两点，①证明：OT 经过线段PQ 中点（O 为坐标原点）：②当TFPQ最小时，求点T 的坐标.【知识点】 轨迹方程；直线与双曲线.H8,H9【答案解析】(I) 22162x y +=(II) ()()3,1;3,1T T ---解析：解(I)()()()121006,0,6,0,,A A M x y -,直线1A M方程是()0066y y x x =++直线21A M方程()066y y x x -=--两式子相乘得()22202066y y x x -=--，又2200162x y -=得22162x y +=为轨迹方程.(II)()()2,0,3,F T m --,直线PQ 方程：2x my =-，设()()1122,y ,Q ,y P x x 联立()()22222223420,16830162x my m y my m m x y =-⎧⎪⇒+--=∆=++>⎨+=⎪⎩()()()121212122224212,,x 4333m y y y y x m y y m m m --+==+=+-=+++PQ 的中点M 2262,33m m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，3OT m k =-，所以M 在OT 上，所以OT 平分PQ; ()()222121222411,143m TF m PQ m y y y y m +=+=++-=+22143142413TF m PQ m ⎛⎫=+++≥ ⎪+⎝⎭,仅当22411m m +=+，1m =±等号成立，此时TFPQ最小()()3,1;3,1T T ---【思路点拨】由已知条件可利用交轨法求出轨迹方程.再联立直线与椭圆方程，最后求出比值.【题文】21.已知常数0b >，函数()axf x x a =+图像过()2,1点，函数()()ln 1g x bx =+设()()()h x g x f x =-(I)讨论()h x 在区间()0,+∞上的单调性.(II)若()h x 存在两个极值点12,x x ，求b 的取值范围，使()()120h x h x +>【知识点】 导数；导数证明不等式.B11,B12 【答案解析】(I)当()()10,b h x ≥+∞时在增，当()()1010,2b b h x h x b ⎛⎫-'<<∈ ⎪ ⎪⎝⎭时当x 时<0,递减，()()12,b h x h x b ⎛⎫-'∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭当x 时>0,递增.(II) 1,12b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭解析：解：由已知2a =，()()()()()()()22222ln 1,h 212x x x bh x g x f x bx x x bx x +-'=-=+-=-+++()()()224121bx b x bx +-=++当1b ≥时()0h x '>此时，()h x 在()0,+∞增当01b <<得()12110,22b bh x x x b b ⎛⎫--'===- ⎪ ⎪⎝⎭舍去当()10,x x ∈时，()0h x '<，当()1,x x ∈+∞时，()0h x '>，故()h x 在()10,x x ∈递减，在()1,x x ∈+∞递增.综上：当()()10,b h x ≥+∞时在增，当()()1010,2b b h x h x b ⎛⎫-'<<∈ ⎪ ⎪⎝⎭时当x 时<0,递减，()()12,b h x h x b ⎛⎫-'∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭当x 时>0,递增.(II)由()()()()224121bx b h x x bx +-'=++知1b ≥时，()0h x '≥此时不存在极值点，因而要使得()h x 有两个极值点必有01b <<，又()h x 极值点只可能是12112,2b bx x b b --==-，且由()h x 有意义11111,22;222b b x x b b b b b -->-≠-⇒->--≠-⇒≠此时，()h x 极小值点和极大值点只能是12112,2b bx x b b--==-而()()()()()212121212222ln 1ln 1ln 2122221x x h x h x bx bx b x x b +=+-++-=-+-++-设21b x -=当()()()212220,10;2ln 2;02b x x x x x x x ϕϕ'<<-<<=-+-=-<()x ϕ在()1,0-递减，()()140x ϕϕ<-=-<，不满足题意()()120h x h x +<.当()()()2212221,01ln 2,0,2b x x x x x x x x ϕϕϕ'<<<<=+-=-<记在()0,1递减，()()10x ϕϕ>=，满足题意，()()120h x h x +>，综上：1,12b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 【思路点拨】利用导数判定函数单调性；再构造函数证明不等式.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.【题文】22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 为O e 的直径，点D 是O e 上的一点，点C 是»AD 的中点，弦CE AB ⊥于F ，GD是O e 的切线，且与EC 的延长线相交于点G ，连接AD ，交CE 于点P. (I)证明：ACD APC V :V (II)若2 1.1,GD GC =+=求PE 的长.【知识点】相似三角形；圆.N1,H3【答案解析】(I)略（II ）22PE GE GP ∴=-=+ 解析：解：(I)证明：AB Q 为O e 的直径，CE AB⊥»»AC AE∴=Q点C 是»AD的中点，»»¼,,AC CD AE ACE ADC CAP ∴==∴∠=∠∴∠为公共角，ACD APC V :V(II)连接DE，GDQ 是Oe 的切线，,GDC CED ∴∠=∠Q»»¼,AC CD AE ∴==GED ADE CDA GPD GDP∴∠=∠=∠∴∠=∠221,322GP GD GD GC GE GE ∴==+=⋅∴=+Q 22PE GE GP ∴=-=+【思路点拨】根据已知可求证明两三角形相似，再利用切线性质求出PE.【题文】23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，直线l 经过点()1,0P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=. 若直线l 与曲线C 有公共点，求a 的取值范围： 设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.【知识点】直线与圆.H4【答案解析】(I)5066πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，， (II) 322,322⎡⎤-+⎣⎦解析：解：(I)将曲线C 的极坐标方程26cos 50ρρθ-+=化为直角坐标方程为22650x y x +-+=直线l 的参数方程为()1cos sin x t t y t θθ=-+⎧⎨=⎩为参数将1cos sin x t y t θθ=-+⎧⎨=⎩代入22650x y x +-+=整理得28cos 120t t θ-+=Q直线l与曲线C有公共点，264cos 480θ∴∆=-≥33cos cos [0,)22θθθπθ∴≥≤-∴Q 或的取值范围是5066πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，(II)曲线C 的方程22650x y x +-+=可化为()2234x y -+=其参数方程为()()32cos M ,2sin x x y y θθθ=+⎧⎨=⎩Q 为参数为曲线上任意一点，32cos 2sin 32sin 4x y x yπθθθ⎛⎫∴+=++=++∴+ ⎪⎝⎭的取值范围是322,322⎡⎤-+⎣⎦【思路点拨】根据直线与圆的位置关系可直接求出结果. 【题文】24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a,b 都是正实数，且1a b +=(I)求证：114a b +≥; (II)求2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值. 【知识点】不等式，最值.E1,B3【答案解析】(I)略(II) 2211252a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解析：解：(I)证明：112224a b a b b a b aa b a b a b a b +++=+=++≥+⋅=(II) 22111124a b a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22211112ab a b a b ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又2a b ab +≥Q 得104ab <≤即11415ab ab ≥∴+≥2211252a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当12a b ==上式等号成立.【思路点拨】根据基本不等式可直接证明，再利用不等式证明最值.。

绝密★启用前2012年河南省高考数学（理科）试卷本试卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题。

满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑。

考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。

答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是（的值是（ ））A ．1B ．0 C ．－1 D ．1或－1 2．若(2)a i i b i -=-，其中,a b R Î，i 是虚数单位，复数a bi +=（ ））A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -3．如果随机变量ξ～N （μ，σ2），且E ξ=3=3，，D ξ=1=1，则，则P （－（－11＜ξ≤1）=（ ）） A ．2Φ（1）－）－1 B 1 B 1 B．．Φ（－（－44）－Φ（－（－22）C ．Φ（2）－Φ（4）D D．．Φ（4）－Φ（2） 4．设k R Î，下列向量中，与向量Q=Q=（（1，-1-1）一定不平行的向量是（）一定不平行的向量是（）一定不平行的向量是（ ）） A ．b=b=（（k ，k ） B ．c=c=（（-k -k，，-k -k））C ．d=d=（（k 2 +1,k 2 +1 +1））D ．e=e=（（k 2一l,k 2—1）5．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（），则该棱锥的全面积是（ ））m 2．正视图正视图正视图 侧视图侧视图侧视图 俯视图俯视图俯视图A ．624+B ．64+C ．224+D ．24+6.6.设函数设函数)22,0)(sin(3)(p f pw f w <<->+=x x f 的图像关于直线32p=x 对称对称,,它的周期是p ,则（则（ ）） A.)(x f 的图象过点)21,0(B.)(x f 在]32,12[p p 上是减函数上是减函数C.)(x f 的一个对称中心是)0,125(pD.将)(x f 的图象向右平移||f 个单位得到函数x y w sin 3=的图象的图象. .7．执行如图所示的程序框图，则输出的S=S=（（ ））A ．258B ．642C ．780D ．15388．双曲线22221(1,1)y x a b a b -=³>的离心率为2，则213b a +的最小值为（的最小值为（ ））.A A．．334 B ．333+ C ．2 D 2 D．．231+ 9．若a 满足4lg =+x x ，b 满足410=+xx ，函数ïîïíì>£+++=0,20,2)()(2x x x b a x x f ，则关于x 的方程x x f =)(的解的个数是的解的个数是( ) ( ) A ．4B ．3C ．2D. 11010．设．设O 是正三棱锥ABC P -的底面⊿ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与PA 、PB 的延长线分别交于Q 、R ，则PSPR PQ 111++( ) A 、有最大值而无最小值、有最大值而无最小值 B 、有最小值而无最大值、有最小值而无最大值 C 、无最大值也无最小值、无最大值也无最小值 D 、是与平面QRS 无关的常数无关的常数二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（（一）必考题（111111——14题）11．对任意的实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则a 2的值是的值是 。

2012年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. 设全集U 为实数集R ，M ={x|x 2>4}与N ={x|1<x ≤3}，则N ∩(∁U M)=( ) A {x|x <2} B {x|−2≤x <1} C {x|−2≤x ≤2} D {x|1<x ≤2}2. i 是虚数单位，复数z =2+3i −3+2i=( )A 0B −iC iD −13. 连续抛两枚骰子分别得到的点数是a ，b ，则向量(a, b)与向量(1, −1)垂直的概率是（ ）A 512B 16C 13D 124. 在等差数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，a 6=5，则S 11的值是( ) A 60 B 11 C 50 D 555. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．若b 2+c 2−a 2=65bc ，则sin(B +C)的值为( )A −45 B 45 C −35 D 356. 若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是（ ）①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若m ⊥α，则n ⊥β； ④m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直． A 1 B 2 C 3 D 47. 将函数y =sinx 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是( ) A y =sin(2x −π10) B y =sin(2x −π5) C y =sin(12x −π10) D y =sin(12x −π20)8. 如图框图，当x 1=6，x 2=9，p =8.5时，x 3等于( )A 7B 8C 10D 119. 对于函数y =f(x)，x ∈R ，“y =|f(x)|的图象关于y 轴对称”是“y =f(x)是奇函数”的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 10. 用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最小体积是（ ）A 9B 8C 7D 511. 由曲线xy =1，直线y =x ，y =3所围成的平面图形的面积为（ ） A 329 B 2−ln3 C 4+ln3 D 4−ln312. 已知函数f(x)={2x −1,(x ≤0)f(x −1)+1,(x >0) ，把函数g(x)＝f(x)−x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和为S n ，则S 10＝（ ） A 210−1 B 29−1 C 45 D 55二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. 已知点P(x, y)在不等式组{y ≤xy ≥−x x ≤2表示的平面区域内，则z =2x +y 的最大值为________．14. 已知双曲线的渐近线均和圆C:x 2+y 2−6x +5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________．15. x(x −2x )7的展开式中，x 4的系数是________（用数字作答）16. 已知点G 是△ABC 的重心，若∠A =120∘，AB →⋅AC →=−2，则|AG →|的最小值是________．三、解答题（共8小题，满分70分）17. 已知数列{a n }，其前n 项和S n 满足S n+1=2S n +1，且a 1=1． （1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）求数列{na n }的前n 项和T n ．18. 已知四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝60∘，E ，F 分别是BC ，PC 的中点． (Ⅰ)求证：AE ⊥PD ；(Ⅱ)若直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值为√64，求二面角E −AF −C 的余弦值．19. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，用茎叶图表示这两组数据．（1）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均数与方差的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？（2）若将频率为概率，对乙同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．20. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x−y+√6=0相切．（1）求椭圆的方程；（2）设P(4, 0)，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于点Q(1, 0)．21. 已知函数ℎ(x)=ln(ax+b)在点M（1, ℎ(1)）处的切线方程为x−2y+ln4−1=0．（1）求a，b的值；（2）若f(x)=[ℎ(x)]2−x21+x，求函数f(x)的单调区间．（3）求m的取值范围，使不等式(1+1n)n+m≤e对任意的n∈N∗都成立（其中e是自然对数的底数）．22. 如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．(1)求证：AD // EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．23. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1:x2+y2＝1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l:ρ(2cosθ−sinθ)＝6．（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的√3、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．24. 已知函数f(x)＝|x−a|．(Ⅰ)若不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤−1或x≥5}，求实数a的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若f(x)+f(x+4)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．2012年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）答案1. D2. B3. B4. D5. B6. A7. C8. B9. B10. D11. D12. C13. 614. x25−y24=115. 8416. 2317. 解：（1）∵ S n+1=2S n+1，∴ S n+1+1=2(S n+1)，∴ 数列{S n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列∴ S n+1=2×2n−1∴ S n=2n−1∴ a n=S n−S n−1=2n−1(n≥2)n=1时，a1=1也满足上式，∴ a n=2n−1；（2）数列{na n}的前n项和T n=1×20+2×21+...+n×2n−1，①2T n=1×21+2×22+...+n×2n，②①-②整理得T n=(n−1)2n+118. （1）由四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60∘，可得△ABC为正三角形．因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BC // AD，因此AE⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE．而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，且PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD．所以AE⊥PD． (4)（2）由(Ⅰ)知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，设AB＝2，AP＝a，则A(0, 0, 0)，B(√3, −1, 0)，C(√3, 1, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, a)，E(√3, 0, 0)，F(√32,12,a2)．所以PB →=(√3, −1, −a)，且AE →=(√3, 0, 0)为平面PAD 的法向量， 设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ， 由sinθ＝|cos <PB →，AE →>|=|PB →⋅AE →||PB →|⋅|AE →|=3√4+a 2√3=√64，解得a ＝2．…4 所以AE →=(√3, 0, 0)，AF →=(√32, 12, 1)．设平面AEF 的一法向量为m →=(x 1, y 1, z 1)，则{m →⋅AE →=0m →⋅AF →=0 ，因此{√3x 1=0√32x 1+12y 1+z 1=0 ， 取z 1＝−1，则m →=(0, 2, −1)．因为BD ⊥AC ，BD ⊥PA ，PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面AFC ，故BD →为平面AFC 的一法向量． 又BD →=(−√3, 3, 0)，所以cos <m →，BD →>=m →⋅BD →|m →|⋅BD→=2×3√5×√12=√155． 因为二面角E −AF −C 为锐角，故所求二面角的余弦值为√155． (4)19. 解：（1）因为 由题意可得：x 乙¯=93+95+81+82+84+88+78+798=85，x 甲¯=90+92+95+80+80+83+85+758=85，所以s 乙2=35.5，s 甲2=41， ∴ s 乙2<s 甲2，∴ 乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适． ...7分（2） 记“乙同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ， 则P(A)=68=34．随机变量ξ 的可能取值为0、1、2、3，且ξ∼B(3, 34)．∴ P(ξ=k)=C 3k( 34)k ( 14)3−k ，k =0，1，2，3．所以变量ξ 的分布列为：Eξ=0×164+1×964+2×2764+3×2764=94...12分20. 解：（1）∵ 椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，∴ a 2−b 2a 2=14∴ a 2=43b 2∵ 椭圆的短半轴为半径的圆与直线x −y +√6=0相切． ∴ b =√3∴ a 2=4，b 2=3 ∴ 椭圆的方程为x 24+y 23=1；（2）由题意知直线PB 的斜率存在，设方程为y =k(x −4)代入椭圆方程可得(4k 2+3)x 2−32k 2x +64k 2−12=0设B(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)，则A(x 1, −y 1)， ∴ x 1+x 2=32k 24k 2+3，x 1x 2=64k 2−124k 2+3又直线AE 的方程为y −y 2=y 2+y1x 2−x 1(x −x 2)令y =0，则x =x 2−y 2(x 2−x 1)y 2+y 1=x 2−k(x 2−4)(x 2−x 1)k(x 1+x 2−8)=2x 1x 2−8(x 1+x 2)x 1+x 2−8=1∴ 直线AE 过x 轴上一定点Q(1, 0)． 21. 解：（1）求导函数可得ℎ′(x)=ab+ax∵ 函数ℎ(x)=ln(ax +b)在点M （1, ℎ(1)）处的切线方程为x −2y +ln4−1=0 ∴a b+a=12∵ ℎ(1)=ln2∴ ln(a +b)=ln2 ∴ a =1，b =1；（2）若f(x)=[ℎ(x)]2−x 21+x ，定义域为(−1, +∞)f′(x)=2(1+x)ln(1+x)−x 2−2x(1+x)2设g(x)=2(1+x)ln(1+x)−x 2−2x ，则g′(x)=2ln(1+x)−2x 令φ(x)=2ln(1+x)−2x ，则φ′(x)=−2x 1+x当−1<x <0时，φ′(x)>0，φ(x)在(−1, 0)上为增函数；当x >0时，φ′(x)<0，φ(x)在(0, +∞)上为减函数∴ φ(x)在x =0处取得极大值，而φ(0)=0，所以g′(x)<0(x ≠0) ∴ 函数g(x)在(−1, +∞)上为减函数于是当−1<x <0时，g(x)>g(0)=0，当x >0时，g(x)<g(0)=0∴ 当−1<x <0时，f′(x)>0，f(x)在(−1, 0)上为增函数，当x >0时，f′(x)<0，f(x)在(0, +∞)上为减函数∴ 函数f(x)的单调增区间为(−1, 0)，单调减区间为(0, +∞)．（3）不等式(1+1n)n+m ≤e 等价于(n +m)ln(1+1n)≤≤1，由1+1n>1，知m ≤1ln(1+1n)−n设G(x)=1ln(1+x)−1x ，x ∈(0,1]，则G′(x)=(1+x)ln 2(1+x)−x 2x 2(1+x)ln 2(1+x)∵ ln 2(1+x)−x 21+x≤0，∴ (1+x)ln 2(1+x)−x 2≤0∴ G′(x)<0，x ∈(0, 1]，于是G(x)在(0, 1]上为减函数 ∴ G(x)在(0, 1]上的最小值为G(1)=1ln2−1 ∴ m 的取值范围为(−∞, 1ln2−1]． 22. (1)证明：连接AB ，∵ AC 是⊙O 1的切线， ∴ ∠BAC =∠D ， 又∵ ∠BAC =∠E ， ∴ ∠D =∠E ， ∴ AD // EC ．(2) 解：∵ PA 是⊙O 1的切线，PD 是⊙O 1的割线， ∴ PA 2=PB ⋅PD ， ∴ 62=PB ⋅(PB +9)， ∴ PB =3，在⊙O 2中由相交弦定理，得PA ⋅PC =BP ⋅PE ， ∴ PE =4，∵ AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线， ∴ AD 2=DB ⋅DE =9×16， ∴ AD =12.23. 由题意可知：直线l 的直角坐标方程为：2x −y −6＝0， 因为曲线C 2的直角坐标方程为：(√3)2+(y2)2=1．∴ 曲线C 2的参数方程为：{x =√3cosθy =2sinθ （θ为参数）．设P 的坐标(√3cosθ,2sinθ)，则点P 到直线l 的距离为： d =√3cosθ−2sinθ−6|√5=√5，∴ 当sin(60∘−θ)＝−1时，点P(−√32,1)， 此时d max =√5=2√5．24. （1）由不等式f(x)≥3可得|x −a|≥3，解得 x ≤a −3，或x ≥a +3． 再由f(x)≥3的解集为{x|x ≤−1或x ≥5}，可得a −3＝−1，a +3＝5，解得a ＝2．（2）在(Ⅰ)的条件下，f(x)＝|x−2|，设g(x)＝f(x)+f(x+4)，则g(x)＝|x−2|+|x+2|，表示数轴上的x对应点到2和−2对应点的距离之和，它的最小值为4，若f(x)+f(x+4)≥m对一切实数x恒成立，应有4≥m．故实数m的取值范围为(−∞, 4]．。