2014届河南省开封高级中学等中原名校高三高考仿真模拟统一考试理科数学试题(含答案解析)word版

中原名校2013－2014学年上学期期中联考高三数学（理）试题考试时间：120分钟试卷满分：150分本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，分别答在答题卷上。

第Ⅰ卷（选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．－≤0}，则A∪B＝1．若集A＝{x｜－1≤2x＋1≤3｝，B＝｛x｜2xxA．｛x｜－1≤x＜2｝B．{x｜－1≤x≤2} C．｛x｜0≤x≤2｝D．｛x｜0≤x≤1} 2．设f（x）＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2，3）内近似解的过程中得f（2．25）＜0，f（2．75）＞0，f（2．5）＜0,f（3）＞0,则方程的根落在区间A．（2，2．25) B．（2．25，2．5)C．（2．5，2．75）D．（2．75,3）3．已知α，β为不重合的两个平面，直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件π）的4．函数f（x）＝Asin（ωx＋ϕ）（其中A＞0，ω＞0，｜ϕ｜＜2图象如图所示,为了得到g （x ）＝sin2x 的图象，则只需将f(x ）的图象 度单位 A ．向右平移6π个长度单位B ．向右平移3π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移3π个长5．已知｛na ｝为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，nS 为｛na ｝的前n 项和，n ∈N ﹡，则S 10的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．1106．已知x ＞0，y ＞0，若222y x m m x y8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2＜m ＜4D ．－4＜m ＜2 7．已知向量a ＝（cos θ,sin θ)，向量b ＝（3,－1),则｜2a －b ｜的最大值与最小A ．42B ．6C ．4D ．168．已知函数f （x ）＝nx ＋11n n ax --＋22n n a x --＋…＋1a x ＋0a （n ＞2且n ∈N﹡）设0x 是函数f(x ）的零点的最大值，则下述论断一定错误的是A ．0()0f x '≠ B ．0()f x '＝0 C ．0()f x '＞0 D ．0()f x '＜09．给出下列四个命题:①命题p:x∀∈R，sinx≤1,则p⌝：x∃∈R，sinx＜1．②当a≥1时，不等式｜x－4|＋｜x－3｜＜a的解集为非空．③当x＞0时，有lnx＋1ln x≥2．④设复数z满足（1－i）z＝2i，则z＝1－i．其中真命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．310．已知F是双曲线2221xa b 2y－＝（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B 两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围为A．(1，＋∞）B．（1，2）C．(1,1＋2）D．(2，1＋2）11．已知na＝1()3n，把数列｛n a}的各项排列成如下的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A(10，12）＝A．931()3B．921()3C．941()3D．1121()312．在平面直角坐标系xOy中，点A（5，0),对于某个正实数k,存在函数f(x）＝a2x(a＞0）．使得OP＝λ·（OAOA ＋OQOQ）(λ为常数），这里点P、Q的坐标分别为P （1，f （1））,Q （k,f （k ）），则k 的取值范围为A ．（2，＋∞)B ．（3，＋∞）C ．［4，＋∞）D ．［8,＋∞)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．81()2x x＋的展开式中常数项为___________________．14．设z ＝2x ＋y,其中x,y 满足000x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋≥－y ≤≤≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为_________．15．在平面直角坐标系中，记抛物线y ＝x －2x 与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx （k ＞0）所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为__________．16．如图，在四边形ABCD 中，BC ＝λAD (λ∈R)，|AB |＝｜AD ｜＝2,｜CB －CD ｜＝23,且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形,则CB ·BA 的值为__________．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

中原名校2014-2015学年上期第一次摸底考试高三数学（理）试题第I 卷选择题（共60分）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，呈现了“注重学生对基本概念的理解”，“注重探索类问题”、“稳中求变、稳中求新”的几个特点，同时依旧“不追求题目的计算量”、“不强调死记硬背的结论”。

试题体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，以全新的面貌来诠释新课改的理念，试题图文并茂，文字阐述清晰，图形设计简明，应当说是一份很优秀的试题.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 【题文】1.己知集合\{}{}=|1,,|2A y y x x R B x x =-∈=≥，则下列结论正确的是A.3A -∈B.3B C. A B B ⋃= D. A B B ⋂=【知识点】集合.A1【答案解析】D 解析：解：∵|x|≥0，∴|x|﹣1≥﹣1； ∴A={y|y≥﹣1}，又B={x |x≥2} ∴A∩B={x|x≥2}=B【思路点拨】先求出集合A ，从而找出正确选项.【题文】2.己知2(,)a ib i a b R i +=+∈．其中i 为虚数单位，则a+b=A.-1B. 1C. 2 D ．3【知识点】复数代数形式的混合运算.L4 【答案解析】B 解析：解：由得a+2i=bi ﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i （a ，b ∈R ），则﹣a=1，b=2，a+b=1． 故选B ．【思路点拨】先化简复数，再利用复数相等，解出a 、b ，可得结果.【题文】3.设随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为A.73B.35C.53 D ．75【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.I3【答案解析】A 解析：解：∵随机变量ξ服从正态分布N （3，4）， ∵P （ξ＜2a ﹣3）=P （ξ＞a+2），∴2a ﹣3与a+2关于x=3对称， ∴2a ﹣3+a+2=6，∴3a=7，∴a=，故选A【思路点拨】根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a 的方程，解方程即可. 【题文】4某程序框图如右图所示，则输出的n 值是A. 21 B 22 C ．23 D ．24 【知识点】程序框图.L1【答案解析】C 解析：解：执行程序框图，有 p=1，n=2第一次执行循环体，n=5，p=11p ＞40不成立，第2次执行循环体，n=11，p=33 p ＞40不成立，第3次执行循环体，n=23，p=79 p ＞40成立，退出循环，输出n 的值为23． 故选：C ．【思路点拨】行程序框图，写出每次循环n ，p 的值，当p ＞40时退出循环，输出n 的值为23.【题文】5己知函数()ln 4xf x x =-，则函数()f x 的零点所在的区间是A.(0,1) B (1,2) C.(2,3) D(3,4) 【知识点】函数零点的判定定理.B9【答案解析】B 解析：解：∵f （1）=ln1﹣=﹣＜0，f （2）=ln2﹣=ln ＞0，∴f （1）f （2）＜0， 故选：B ．【思路点拨】将x=1，x=2代入函数的表达式，从而得出f （1）f （2）＜0，进而求出零点所在的区间.【题文】6.如图，在边长为e （e 为自然对数的 底数）的正方形中随机撒一粒黄豆， 则它落到阴影部分的概率为A.1eB.2eC.22eD.21e【知识点】几何概型.K3【答案解析】C 解析：解：由题意，y=lnx 与y=ex 关于y=x 对称， ∴阴影部分的面积为2（e ﹣ex ）dx=2（ex ﹣ex ）=2，∵边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为．故选：C ．【思路点拨】用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率.【题文】7.若4cos5θ=-，θ是第三象限的角,则1tan21tan2θθ-+=A.12 B.12-C.35 D．-2【知识点】三角函数的化简求值.C7【答案解析】D解析：解：由，α是第三象限的角，∴可得.，∴故选：D．【思路点拨】将表达式式中的正切化成正余弦，由，求出，即可得到结论．.【题文】8.已知a>0，x，y满足约束条件13(3)xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若z=2x+y的最小值为1，a= A.14 B.12 C. 1 D. 2【知识点】简单线性规划.E5【答案解析】B解析：解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=故选B．【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y 过可行域内的点B 时，从而得到a 值即可.【题文】9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()n S n N *∈，且2n a n λ=+，若数列{}n S 在7n ≥时为 递增数列，则实数λ的取值范围为A. (-15,+∞) B[-15,+∞) C.[-16,+∞) D. (-16,+∞)【知识点】等差数列与等比数列.D2,D3【答案解析】B 解析：解：∵an=2n+λ，∴a1=2+λ，∴Sn===n2+（λ+1）n ，由二次函数的性质可知≤7即可满足数列{Sn}为递增数列， 解不等式可得λ≥﹣15 故选：B【思路点拨】利用函数的单调性，列不等式即可求解. 【题文】10若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则5501234552a a a a a a +++++-等于A ． 55B ．-l C.52 D ．52-【知识点】二项式定理.J3【答案解析】A 解析：解：由于（2﹣3x ）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|即（2+3x ）5的展开式的各项系数和， 令x=1，可得（2+3x ）5的展开式的各项系数和为55， 故选：A ．【思路点拨】由题意可得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|即（2+3x ）5的展开式的各项系数和，令x=1，可得（2+3x ）5的展开式的各项系数和.【题文】11．”a<0”是”函数()(2)f x x x a=-在区间(0,)+∞上单调递增”的A.必要不充分条件B.充要条件C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.A2【答案解析】D 解析：解：，若a＜0，则f（x）=（x﹣a）2﹣a2在区间（0，+∞）上单调递增；反之不一定成立，例如a=0．∴a＜0”是”函数f（x）=|x（x﹣2a）|在区间（0，+∞）上单调递增”的充分不必要条件．故选：D．【思路点拨】a＜0，则f（x）=（x﹣a）2﹣a2在区间（0，+∞）上单调递增；反之不一定成立，例如a=0．.【题文】12已知一函数满足x>0时，有2()'()2g xg x xx=>，则下列结论一定成立的是A．(2)(1)32gg-≤B．(2)(1)32gg->C.(2)(1)42gg-<D．(2)(1)42gg-≥【知识点】导数的运算.B11【答案解析】B解析：解：∵x＞0时，有g′（x）=2x2＞，∴g（x）=x3，∴g（2）=，g（1）=，∴，故选B．【思路点拨】. 利用g′（x）=2x2＞，可得g（x）=x3+c，c必须为0，不然的话当x趋于0的时候无穷大，得到g（x）的解析式求值．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

扎{(-JJXdJ)}B.C.[山 I] k z(3 + 40 = ^tl^f 则|D, ⑴[0- A /2]12 ~5c A12B.D.□ y 5un=n/2]缶血4年改月灯日下午囚中原名校2014年烏番仿冀模拟统一考试（理科）数学试题hiifi 躺粛：硒城一离補：可高申石家庄一中（曲试时问：】20 4呻 试卷满介："0分）.本试"和善（选评皿和和—非选释题】两部分・垮生柞尊幽持咨案》’ 題卡上,李车璘孝占箏與歩％ 注意事项：1. 荐题前.考生务必先将自己的蝕名・准考证号填写在答题卡上-,il2. 选择題荐秦便用2B 铅药填涂*如需改动・用操皮擦F 净后，再选徐Jt ■他答案的杯:’非选祁题答案便用0心毫米的黑色中性（签字）笔或戰素笔甘写，字体工轅+笔迹消楚° 3. 请按廡題号在荐趣的答题区域（黑色线椎）内柞答，趙出答题区域书写的符案无效° 4. 保持答题卡面清洁・不折叠，不就捌*第I 卷选择题（共60分）r 选择騷 本丈题共12小题，每小題予分・共60分。

在毎小题给岀的四个选项中，只有一 项是捋合题目要求前*L 已知集合 M = {yeR\y^x 2}f N = {x R\x 2 + y 2 ^2},则 AfpV=3.如图，在程序框图中输入x 14,按程序运行后输出的結果是 A. 0氏2C. 3D. 44・一只蚂蚁从正方枷CDW 阳的顶点A 处出黴经正方体的踰按盪短路线爬行 到达顶点q 位置，则卜列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是 -尸0 /输入? n=(n~「〔结東］荼高三理舷学试题第1和典D,A T -1 S *设变耀石p 満足约朿条件x-^-2^0.御日标 Mz = 2x + 3y+ 1的嚴大垃为x>0A- UB. 109*设込占为单位向一出若tri#足仏-佃十助同盘一引*则［21的垠大值为A - 2血0. 2c. <5仮已知函数/⑴昭苗敷为广⑴，满足叭亦2他)=匹’且/何=丄・则/⑴ 的单调性情况为 “2eA.先增后减氐单调递増 U 嗔调递减 D.先减后増□.已^'^.f(x) = 2x- +bx + c(b,cER)的值域为［0,-HE ),若关丁乜的不等式/(x) < mC. 9D. 13D. 11A. 25B, -25C. 50D ・-5012,过原点的直线交咫曲线=4^2于P.二面角F 则折岛玛长攬的最小價等于A. 2^2Q 荊点・现将坐标平面沿克线$ =折成廉6已知取曲线匚-岭小"0』“)的一条渐近域方程是y = y/3x,它的一个粗点在哋 a' b物线戸“毗的推軽匕则瑕曲找的方程为A. ^Z = 1氏兰上“ °兰上" D 屈上“ 36 108927108 3627 9X 设随机变量百服从正态分布"3护)QaO) ^p(^<O) + p(f<l) = I r 则“的值为C. -1D. 12 2x+y-4<0的解集为(%科+ 1叭 则实数册的值为左事垄敬列衍J 的帕项轴为比+満足S 3i = S Wi = (l T aJ t S = (2014,a MM ).则2巧的 垃为A - 2014B. -2014 Cl D O口4 _A视'D.(S)@”三理曲学试琲需2丽(加页*第II眷业选择题严篇盘填緒题卡相应位置二、填空陋本丈麵共4小軀.割耐处妇吧J陈和U.（宀—羽的展幵式中丘的期熄一用数“ 14.己知盘它乩sin盘+ 3<：05疗=少，则怕口J疔二—__U,已知仙Q的二个顶点在以0为球心的球而上* "3畀^O-ABC的体积为羊，则球°的刖】枳为———呑 1 -16.已知数列｛斗｝的前沖项和为和満足尹近仙""项和"盼三、解幺题：（本大题共石小範共70分-解答应写出文字说明，证阴过程或演算步骤门17.（本小聰满分□分）_____________ilTiABC 中.已知2 摂才f=9* sinB - sifiC cos A, Z AABC 的由i 积为氐⑴^.AABC的三边長；（2）若D为BC边上的一点，且CD=1・求tan ZBAD.匾体小题满分12分）在乒乓球比赛中，甲与乙以“五局三胜”制进行比赛.根据以往比赛情况’甲在每一局胜3乙的概率均为已剜比赛中，乙先贏了第…局，求：<1>甲在这种情况下取胜的槪率；〔2）询比麝周数为儿求％的分布列及数学期望1均用分数作答）”19.（本小题满分12分）如图所示的几何体中，四边闿ABC D是導腰梯形,AB//CD，ZDAB=60叫FC丄平面ABCD, AEXBD, CB=CD=CF.⑴求证*平面ABCD丄平面AED；⑵直线AF与面BDF所成角的余弦值.却一（本小题满分辽分）已知椭圆^- + — -1 （a>b>0）的离柱率%~f KU 点（2,72）.（1'、求稱闖的标准方程：（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AG BD 过原点0,若% %仝._ a（i ）求刃刀的按值；：ij）求证；四边形ABCD的面积为定值.爭离三理科柚学试軀第3頁（共4页『常黑在第仝空举三题中任选一的貞如果參險则按所昨第一题记分做答时 用2B 铝笔在菩鯉卡上把所选曲目的题号涂弔22.⑴；Lx ⑴八⑴心他艸冷g 刖几町訴乜 ；?；f h 艸E 的劭E 札如皿"：门小）+ 2加作点引衍 g 弘吶等差数蜕叫）是 设＜7"）*（计—和列+ "阿］辛川J冷（刃的导歯數’求证t 匚认）" 劇满分10分）选4-1;几何证明选讲边形AB 「口址边反为“的疋方形，以D 豐3 需 呼径前圆弧与以BC 为理轻的半阅O 交于点° F.连接CF 井世 交AB 于点E.1） 求证；E 是AE 的屮点；2） 求线段BF 的长+卫.（本小题満分W 分｝选修 —b 塑标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，己知曲线G psia 2& = 2acos&（a ＞0）,过点P （—2, 一4）的直线/的参数方程为:h 为参数几直线f 与曲线C 相交于M ，N 两点.（!）写出曲线C 的直角坐标方程和直线f 的普逋方稈， ⑵若IPMI. I MN I , IPN 丨成等比数列，求已的值.24.（本小题满分！0分）选修4—5：不等式选讲已知函数 /（r ）=|2x+l| + |2x + a| +⑴ x 亠3时,或不等式f （x ）＜6的解集； （2）若关于求的不等^f （x ）＞a 恒成立，求实数丑的取值范鬧.诱高三理科数学试題第4页（共A 页）楽mj EU. rtf中原名校2014年高考仿真模拟统一考试15. 16 二 16.11 312014.5.18兀17、解：(1)设三边分别为 a,b, c ,由 sinB = sinCcosA 可得 cosC = 0= C =— 2ABA C = | 晶 | Amicos A=9js=1两式相除可得tan A 二上3a = 4k,b =3k(k . 0),2 )” 9tan BAD =— 小 1 贝V Sab =6 = 2k = 1”三边长分别为3,12分18 .解：甲取胜的概率为3 3P(A)=(；)323 2 C 32(-)22 3297 2 2(2) P(X=3)=()5兰，P(X =4)3 2525 5625 2 3 23 32 J ,3、2 2 354 *— -J -5C 3 () 55512551 12553412512分19【解析】(I ［因为四边形ABCD 是等腰梯^^AB/ZCD,数学试题(理科)参考答案一、 选择题：DBCCA ADDAC CB4二、 填空题:13. -78414.3三、 解答题：-X 的分布列为:ZD4/?=60\所以£冲皿?二 Z/fC7J = l20D .又 CB =CD,所以乙 CDB =,因此 AADB = 90口亠 BD,乂 AEJ_BD,1L AEC\AD ^A.AE.AD 匚平面所以甘0丄」平面AED.所以：平面 ABCD丄平面 AED;(11)连搂心1( I )知也丄肋;所以葩丄RC又丄平面ABCD, W此曲工艮防两两垂直，以C为燮标原点，分别以CA f CB.CF所在的直线为龙轴汀轴皿轴，建立如圏所示的空间宜角坐标系，不妨设C月-1,则A （、3,0,0）,B （0,1,0）D ,中) JW *=0,所以兀二再/二疗蛊，取云零1,则酬=(75\1,1).5.2、、5 贝V cos ：：： AF , m，所以 COST5520•解：(1)由题意=^1,+ JL =1,又 a 2=b 2+c 2,a 2 ' ab '解得 a 2 =8, b 2 =4,2 2故椭圆的标准方程为 1+£=1 ............12分丄y 二 kx m222联立 22 ，得(1 2k )x 4kmx 2m -8 二 0,f*X 1 X 2—J ■12m12mx 1x 2 -1 21 22 2Wy =(kx m)(kx m)二 k x x km(x x ) m222m -8-4km2二 k2km --------- 2 mm 2_8k 21 2k 22 , 2 2m -4 m -8k1 2k 2(1 2k 2.-(m 2-4)二 m 2_8k 2, • 4k 22 二 m 2.2m 2 _I 1 k2OB ：： 2.1_2=2_4^OAOB当k = 0 （此时m 2=2满足①式）』直线又直线AB 的斜率不存在时， OA OB =2 ,)_28 m 2_ 21 +2k 2k 2AB 平行于g 轴时，OA OB 的最小值为一2. 二OAOB 的最大值为2.(ii)设原点到直线 AB 的距离为d ，贝US AOBI AB I d1 k\ x 2 - x1 |----- 2(x 1 x 2)2 - 4x 1x 222“1+k 22=也］1 广型)2.■- = (4km)2- 4(1 2k 2)(2 m 2-8) =8(8k 2- m 24) 0,①=2 4k 2-m 24 = 2/2,12分2 ■ 1 2k 1 2k 2二S 四边形ABCD = 4S AAOB = 8\/2，即四边形ABCD 的面积为定值16(m 2-4)&分1+—L12*（3分）亂解江"由F ⑴巳⑴/⑴叫::二氛解得⑴眄】*土十石•圉/（云与g"》有一牛袋共点（丄J ）,而函数氛工）=护在点.⑴D 的切级方程了弓？工一1*都庞立即可.设™Jn x+x^{2i —l'） t 即^{j} = ln 工一工十]鼻气工）之丄~]^匕壬工x显知其在3*1〉上蛊増•崔口・+«0上證减* 所H 旅刃柱x^l 时取軒叢:fc 值■施L ）=0, 所以血工十工£2工一1悄.曲立t由〜一2H +1AD*得 ＜孑旅7.知氛血一 1恒腔宜， 核存在这样的 k 和 r*i*且 k = Z ＞m™ — 1. ............... ,xh+4r.,,,,+ … ................................... ......... .............. .............{ II 】因均 G （j ）=g （j ：） + 2 —y （r ）=i I -j-2—aln 工一虹有两亍零点工〕f ^t t t-Ej + 2sa aln xj — ftjr 2=»0・两武相减碍-Xj 'jc? ~a （]n j ：s — In 工】"贰召—jj ） = O. 即T 仙+帀）f 一弘肝— bHJJi —Ji又 Xi +xt = 2i fl ,工i+业① 当Q SS 时冷空"=氐则t ＞l r且如F 丄_[心嗨P]矶;—工11 + E设 ^1（0 = 107 Cz ^T _（I+^-dFH?＞Ot则 2 柱m+如上为堆函«t.裔川口"。

中原名校联盟2013——2014学年高三上期第一次摸底考试理科数学试题（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．设A ＝{1，4，2x}，若B ＝{1，2x }，若B ⊆A ，则x ＝ （ ） A ．0 B ．－2 C ．0或－2 D ．0或±22．已知m ，n ∈R ，mi －1＝n ＋i ，则复数m ＋ni 在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．若数列{n a }通项为n a ＝an ，则“数列{n a }为递增数列”的一个充分不必要条件是（ ） A ．a ≥0 B ．a ＞1 C ． a ＞0 D ．a ＜0 4．若直线y ＝kx 与圆22x y ＋－4x ＋3＝0的两个交点关于直线x ＋y ＋b ＝0对称，则 （ ） A ．k ＝1，b ＝－2 B ．k ＝1，b ＝2 C ．k ＝－1，b ＝2 D ．k ＝－1，b ＝－2 5．执行右边的程序框图，若t ∈[－1，2]，则s ∈（ ） A ．（－1，2） B ．[－1，2） C ．[－1，2] D ．（－l ，2]6．正方形AP 1P 2P 3的边长为4，点B ，C 分别是边P 1P 2，P 2P 3的中点，沿AB ，BC ，CA 折成一个三棱锥 P －ABC （使P 1，P 2，P 3重合于P ），则三棱锥P －ABC 的外接球表面积为 （ ）A ．24πB ．12πC ．8πD ．4π 7．已知等比数列{n a }中，各项都是正数，且a 1,12a 3，2a 2成等差数列，则91098a a a a ＋＋＝（ ）A ．12B ．12C ．2D 2－1 8．如图所示，M ，N 是函数y ＝2sin （wx ＋ϕ）（ω＞0）图像与x 轴的交点，点P 在M ，N之间的图像上运动，当△MPN 面积最大时PM ·PN ＝0，则ω＝ （ ） A ．4π B ．3πC ．2πD ．8 9．已知四棱锥P －ABCD 的三视图如下图所示，则四棱锥P －ABCD 的四个侧面中的最大的面积是 （ ）A ．3B ．25C ．6D ．810．在圆22(2)(2)4x y --＋＝内任取一点，则该点恰好在区域50303x x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋2y －≥－2＋≥≤内的概率为 （ ） A ．18π B ．14π C ．12π D ．1π11．等轴双曲线2221x a b2y －＝（a ＞0,b ＞0）的右焦点为F （c ，0），方程20ax x c ＋b －＝的实根分别为1x 和2x ，则三边长分别为｜1x ｜，｜2x ｜，2的三角形中，长度为2的边的对角是 （ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不能确定 12．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足()f x '＞f （x ），则 （ ）A ．f （2）＜2e f （0）B ．f （2）≤2e f （0） C ．f （2）＝2e f （0） D ．f （2）＞2e f （0）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

河南省中原名校2014年高三下第二次联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若0,a b >>集合{|},{|}2a bM x b x N x x a +=<<=<<，则集合M N 等于（ ）A. {|x b x <<B. {|}x b x a <<C. {|}2a b x x +<<D. {|}2a bx x a +<< 2.已知z 为纯虚数，12z i+-是实数，那么z =（ ） A. 2i B. 2i - C. 12i D. 12i -3.下列命题正确的个数是（ ）①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的逆命题是真命题；②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠则p 是q 的必要不充分条件；③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+>”；④若随机变量~(,)x B n p ，则.DX np =⑤回归分析中，回归方程可以是非线性方程. A.1 B.2 C.3 D.44.一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的P 位于区间43(10,10)--内，则判断框内应填入的条件是（ ）A. 3T ≤B. 4T ≤C. 5T ≤D. 6T ≤ 5.一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.6.函数()2y f x π=+为定义在R 上的偶函数，且当2x π≥时，1()()sin ,2x f x x =+则下列选项正确的是（ ） A. (3)(1)(2)f f f << B. (2)(1)(3)f f f << C. (2)(3)(1)f f f << D. (3)(2)(1)f f f <<7.已知双曲线22221x y a b-=，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C. D.8.若{}n b 为等差数列，244,8.b b ==数列{}n a 满足*111,(),n n n a b a a n N +==-∈则8a =（ ） A.56 B.57 C.72 D.739.在三角形ABC 中，60,A A ∠=∠ 的平分线交BC 于D ，AB=4, 1()4AD AC AB R λλ=+∈,则AD 的长为（ ）A. B. C. D.10.已知函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()f x ，且230a b c ++=，(0)(1)0,f f >设12,x x 是方程()0f x =的两根，则12||x x -的取值范围是（ ） A. 2[0,)3 B. 4[0,)9 C. 12(,)33 D. 14(,)9911.已知三角形PAD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2, 120,APD ∠= 若点P,A,B,C,D 都在同一球面上，则此球的表面积等于（ ） A. 8π B. 12π C. 16π D. 20π12.将数字1,2,3,4填入右侧表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有（ ）种. 1 2 3 4 4 3 1 2 21433 4 2 1A.432B.576C.720D.864第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y ay x x y ，若y x z +=3的最大值为,16则.________=a14.已知,|cos sin |0dx x x a ⎰-=π则73)1(xax x +的展开式中的常数项是.__________（用数字作答）15.已知椭圆C A y x ,,13422=+分别是椭圆的上、下顶点，B 是左顶点，F 为左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ，则BDF ∠的余弦值是.___________16.已知定义在R 上的函数)(x f y =存在零点，且对任意R n m ∈,都满足.)()]()([2n m f n f m mf f +=+若关于x 的方程)1,0(log 1|3)]([|≠>-=-a a x x f f a 恰有三个不同的根，则实数a 的取值范围是.___________三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数.21cos )6cos(sin )(2-+-⋅=x x x x f π（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值x 时的取值集合； （Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为,,,c b a ，若.3,21)(=+=c b A f 求a 的最小值. 18.某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的被淘汰.若有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图. (Ⅰ)求获得参赛资格的人数；(Ⅱ)根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；(Ⅲ)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛.已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响.已知他连续两次答错的概率为91，求甲在初赛中答题个数ξ的分布列及数学期望.ξE .19.如图，在直角梯形ABCP 中，221,,//===⊥AP BC AB AB AP BC AP ,D 是AP 的中点，E,G 分别为PC,CB 的中点，将三角形PCD 沿CD 折起，使得PD 垂直平面ABCD.（Ⅰ）若F 是PD 的中点，求证：AP //平面EFG;（Ⅱ）当二面角G-EF-D 的大小为4π时，求FG 与平面PBC 所成角的余弦值.20.如图，已知抛物线C 的顶点在原点，开口向右，过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2，过C 上一点A 作两条互相垂直的直线交抛物线于P,Q 两点. （Ⅰ）若直线PQ 过定点)2,3(- T ，求点A 的坐标；（Ⅱ）对于第（Ⅰ）问的点A ，三角形APQ 能否为等腰直角三角形？若能，试确定三角形APD 的个数；若不能，说明理由.21.已知函数2ln )(bx x a x f -=图像上一点))2(,2(f P 处的切线方程为.22ln 23++-=x y (Ⅰ)求b a ,的值；(Ⅱ)若方程0)(=+m x f 在区间],1[e e内有两个不等实根，求m 的取值范围；(Ⅲ)令),()()(R k kx x f x g ∈-=如果)(x g 的图像与x 轴交于))(0,(),0,(2121x x x B x A <两点，AB 的中点为)0,(o x C ，求证：.0)(0≠'x g 22.如图，在锐角三角形ABC 中，D 为C 在AB 上的射影，E 为D 在BC 上的射影,F 为DE 上一点，且满足.DBADFD EF =(Ⅰ)证明：;AE CF ⊥(Ⅱ)若AD=2，CD=3.DB=4，求BAE ∠tan 的值.23.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同单位长度.已知曲线),0(:>=a a C ρ过点)2,0(p 的直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 232,2（t 为参数）. (Ⅰ)求曲线C 与直线的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2得到曲线C '，若直线与曲线C '相切，求实数a 的值.24.设函数.|,2||1|)(R a a x x x f ∈-+-=(Ⅰ)当4=a 时，求不等式5)(≥x f 的解集；(Ⅱ)若4)(≥x f 对R x ∈恒成立，求a 的取值范围.中原名校2013－2014学年高三下期第二次联考数学(理)试题参考答案一、选择题：CDCCB ABBDA DB二、填空题：13.0 14.16816.()3,+∞ 17.解：(Ⅰ)22111()sin sin cos cos cos 222f x x x x x x x x ⎫=++-=+⎪⎭111112cos2sin 2224264x x x π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎭. ∴函数)(x f 的最大值为34.当)(x f 取最大值时sin(2)1,6x π+=22()62x k k Z πππ∴+=+∈,解得,6x k k Z ππ=+∈. 故x 的取值集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.……………………………………(6分)(Ⅱ)由题意111()sin 22642f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭,化简得 1sin(2).62A π+=()π,0∈A ,132(,)666A πππ∴+∈, ∴5266A ππ+=, ∴.3π=A 在ABC ∆中,根据余弦定理,得bc c b bc c b a 3)(3cos22222-+=-+=π.由3b c +=,知2924b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,即294a ≥. ∴当32b c ==时,a 取最小值32.…………………………..……………………(12分)18.解：(Ⅰ)由频率分布直方图得,获得参赛资格的人数为500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人. .……………………………………………………………..… ………(2分)(Ⅱ)设500名学生的平均成绩为x ,则x ＝(30＋502×0.0065＋50＋702×0.0140＋70＋902×0.0170＋90＋1102×0.0050＋110＋1302×0.0043＋130＋1502×0.0032)×20＝78.48分. …………………………………………………………………………..…………(6分) (Ⅲ)设学生甲答对每道题的概率为()P A ,则21(1())9P A -=,∴()P A ＝23.学生甲答题个数ξ的可能值为3,4,5,则(3)P ξ==,31313233=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛(4)P ξ=＝,271031323231313313=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C C (5)P ξ=＝.27832312224=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C 所以ξ的分布列为E ξ＝13×3＋1027×4＋827×5＝10727.…………………………..……………….. (12分) 19. (Ⅰ)证明：F 是PD 的中点时,EF //CD //AB ,EG //PB ,∴AB //平面EFG , PB //平面EFG ,AB PB B = ,∴平面PAB //平面EFG ,AP ⊆平面PAB , ∴AP //平面EFG .……………………………………………………..………(6分)(Ⅱ)建立如图所示的坐标系,则有(1,2,0)G ,(0,2,0)C ,(0,0,2)P ,(0,1,1)E ,设(0,0,)F a , (1,2,)GF a =-- ,(1,1,1)GE =-- ,平面EFG 的法向量1(,,1)n x y =,则有2010x y a x y --+=⎧⎨--+=⎩,解得21x a y a =-⎧⎨=-⎩. 1(2,n a a ∴=-- 平面EFD 的法向量2(1,0,0)n =,依题意,12cos ,n n ==, 1a ∴=.于是(1,2,1)GF =--. 平面PBC 的法向量3(,,1)n m n =,(0,2,2)PC =- ,(2,0,0)BC =-,则有22020n m -=⎧⎨-=⎩,解得01m n =⎧⎨=⎩. 3(0,1,1)n ∴= . FG 与平面PBC 所成角为θ,则有3sin cos ,GF n θ=== ,故有cos θ=分) 20.解：(Ⅰ)设抛物线的方程为22(0)y px p =>,依题意,22p =,则所求抛物线的方程为22y x =.………………………………………………(2分) 设直线PQ 的方程为x my n =+,点P 、Q 的坐标分别为11(,),P x y 22(,)Q x y .由22x my n y x=+⎧⎨=⎩,消x 得2220y my n --=.由0>∆,得220m n +>, 122y y m +=,122y y n ⋅=-.∵AP AQ ⊥,∴0AP AQ ⋅=.设A 点坐标为2,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则有221212()()022a a x x y a y a ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.221212,22y y x x ==,[]1212()()()()40y a y a y a y a ∴--+++=, ∴12()()0y a y a --=或12()()40y a y a +++=.∴222n a ma =-或2224n a ma =++, ∵0>∆恒成立. ∴2224n a ma =++. 又直线PQ过定点(3,T ,即3n =+,代入上式得22624,22(0,a ma a m a +=++-+-=注意到上式对任意m 都成立,故有a =,从而A点坐标为(.…………………………………………(8分)(Ⅱ)假设存在以PQ 为底边的等腰直角三角形APQ ,由第（Ⅰ）问可知,将n用3n =+代换得直线PQ 的方程为3x my =++.设11(,),P x y 22(,)Q x y ,由232x my y x⎧=++⎪⎨=⎪⎩消x ,得2260y my ---=.∴ 122y y m +=,126y y ⋅=--.∵PQ 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭,即221212,42y y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,∵2222121212()2344y y y y y y m ++-==++,∴PQ的中点坐标为2(3,)m m ++.m =-,即3230m m ++-=.设32()3g m m m =++-则2()330g m m '=++>,()g m ∴在R 上是增函数.又(0)0g =<,(1)40g =>,()g m ∴在(0,1)内有一个零点.函数()g m 在R 上有且只有一个零点,所以满足条件的等腰直角三角形有且只有一个. ……………………..………(12分)21.解：(Ⅰ)()2a f x bx x '=-,()242af b '=-,()2ln 24f a b =-. ∴432ab -=-,且ln 2462ln 22a b -=-++.解得a ＝2,b ＝1. ……...…………(4分) (Ⅱ)()22ln f x x x =-,设()2()2ln h x f x m x x m =+=-+,则()222(1)2x h x x x x -'=-=,令()0h x '=,得x ＝1(x ＝－1舍去).当x ∈1[,1)e 时,()0h x '>, h (x )是增函数；当x ∈(1,e]时,()0h x '<, h (x )是减函数.则方程()0h x =在1[,e]e内有两个不等实根的充要条件是1()0,e (1)0,(e)0.h h h ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤解得2112m e <+≤.………………………………………..………(8分)(Ⅲ)()22ln g x x x kx =--,()22g x x k x'=--.假设结论()00g x '=成立, 则有2111222212002ln 0, 2ln 0, 2, 220. x x kx x x kx x x x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪⎨+=⎪⎪--=⎪⎩①②③④,①－②,得221121222ln ()()0xx x k x x x ----=.∴120122ln2x x k x x x =--.由④得0022k x x =-,于是有12120ln 1xx x x x =-,∴121212ln 2x x x x x x =-+, 即11212222ln 1x x x x x x -=+.⑤ 令12x t x =,22()ln 1t u t t t -=-+ (0＜t ＜1),则22(1)()(1)t u t t t -'=+＞0. ∴()u t 在0＜t ＜1上是增函数,有()(1)0u t u <=,∴⑤式不成立,与假设矛盾.∴()00g x '≠.……………………………………………………………..………(12分) 22. (Ⅰ)证明：设CF 与AE 交于点G ,连接DG .EF AD FD DB = ,ED ABFD DB ∴=,又△CDE ∽△DBE , CD DB DE BE ∴=.于是有CD ABFD BE=,注意到 C ABDEF GCDF ABE ∠=∠,∴△CDF ∽△ABE ,∴DCG DAG ∠=∠,∴A D G C 、、、四点共圆.从而有90AGC ADC ∠=∠=︒, ∴CF AE ⊥.………………………………………………………………………(5分) (Ⅱ)在Rt △CEF 中, ECF AED ∴∠=∠,5BC =,125DE =,45EF ∴=,由2CD CE CB =⋅,知95CE =, 4tan 9ECF ∴∠=.又4tan 3DCB ∠=,442439tan 1643127DCF -∴∠==+. 故24tan 43BAE ∠=.………………………………………………………………(10分) 23.解：(Ⅰ)曲线C ：222x y a +=,直线：2y =+.…….. ….…………(5分)(Ⅱ)曲线C '：2224x y a +=,与直线联立得222442x y a y ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩,消去y ,得22131640x a ++-=,由△0=知,2413a =,a ∴=. ……….…(10分) 24. 解：(Ⅰ)()|1||24|f x x x =-+-35,13,1235,2x x x x x x -+≤⎧⎪=-+<<⎨⎪-≥⎩, ()5f x ∴≥的解集是10|03x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或.…………………... …….…………(5分)(Ⅱ)1x =时,()|2|,f x a =-2a x =时,()12af x =-,结合()f x 的图像知, 24142a a-≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩,解得10a ≥或6a ≤-, 故a 的取值范围是{}|106a a a ≥≤-或.…………………..……………..……(10分)。

开封高中2014届高考理科数学押题卷命题人：张文伟 审题人：一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分）（1）集合{|2}x A y R y =∈=,{1,0,1}B =-,则下列结论正确的是 （ ） A ．{0,1}A B = B ．(0,)A B =+∞ C ．()(,0)R C A B =-∞ D ．(){1,0}R C A B =-（2）已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥-+301,094y y x y x ，则x －3y 的最大值是 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2（3）若复数z 满足|z |2＋2|z |－15＝0，则z 在复平面内对应点的轨迹图形的面积等于( )A ．9πB ．3πC ．25πD ．5π（4）已知,a b 为非零向量，“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥ ”的（A ） 充分但不必要条件 （B ） 必要但不充分条件 （C ） 充要条件 （D ） （5）已知函数)20,0)(sin(πϕωϕω≤<>+=x y 且此函数的图象如图所示,则点),(ϕωP 的坐标是A ． )2,2(π B ．4,2(π C ． 2,4(π D ．)4,4(π（6）如果执行右面的程序框图，那么输出的t =（ ）A ．96B ．120C ．144D ．300(7) 已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立（8）设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c三数( )A ．至少有一个不小于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．都大于2(9) 在区间]1,0[上随机取一个数x ，则事件“212cos ≥xπ”发生的概率为（ ） A ．61 B.21 C.31D.32(10) 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若关于x 的不等式f (x －1)≥0的解集为[0,1]，则关于x 的不等式f (x ＋1)≤0的解集为( )A ．[2,3]B ．(－∞，2]∪[3，＋∞)C ．[－2，－1]D ．(－∞，－2]∪[－1，＋∞) （11）给出命题：（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；（2）设m l ,是不同的直线，α是一个平面，若α⊥l ，l ∥m ，则α⊥m ；（3）已知βα,表示两个不同平面，m 为平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的充要条件；（4）b a ,是两条异面直线，P 为空间一点, 过P 总可以作一个平面与b a ,之一垂直，与另一个平行。

中原名校2014年高考仿真模拟统一考试数学试题（理科）参考答案 2014.5.18一、选择题: DBCCA ADDAC CB 二、填空题:13. 784- 14. 43- 15. 16p 16. 100711134æö-ç÷èø三、解答题：17、解：（1）设三边分别为,,a b c ,由cos sinB sinC A =可得cos 02C C p =Þ=又cos 9162AB AC AB AC A S AB AC inA ì×ïí=ïîuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ＝｜｜｜｜＝＝｜｜｜｜s 两式相除可得4tan 3a A b == 令4,3(0)a k b k k ==>, 则1612S ab k ==Þ=,\三边长分别为3，4，5，………8分（2）有两角差的正切公式可得tan BAD Ð=913………………12分 18．解:甲取胜的概率为32233323()((5555P A C =+××＝297625………………4分 （2）224(3)()525P X ===,132232351(4)()5555125P X C ==××+= 12223323232354(5)()()555555125P X C C ==××+××= X \的分布列为：534125EX \=………………12分所以：平面ABCD ⊥平面AED ； ………………5分1(0,1,0),,0)22A B D-(AF=uuuuu r则cos,5AF m<>=-uuu r u r,所以cos5q=………………12分20．解：（1）由题意2242,1,2cea a b==+=又222,a b c=+解得228,4a b==，故椭圆的标准方程为221.84x y+=………………4分（2）设直线AB的方程为1122,(,),(,),y kx m A x y B x y=+联立2228y kx mx y=+ìí+=î，得222(12)4280,k x kmx m+++-=22222(4)4(12)(28)8(84)0,km k m k mD=-+-=-+>①1222122412.2812kmx xkmx xk-ì+=ïï+í-ï=ï+î2122122212122211,,2211284.221212AC BDy ybk ka x xm my y x xk k×=-=-\=---\=-=-×=-++Q2222222 121212122222848 ()()(),121212m km m k y y kx m kx m k x x km x x m k km mk k k---=++=+++=++=+++ 222222222248,(4)8,42.1212m m km m k k mk k--\-=\--=-\+=++………………8分（ⅰ）222212122222284442412121212m m m kOA OB x x y yk k k k---+-×=+=-==++++uuu r uuu rQ242,12k=-+ 224 2.OA OB\-=-£×<uuu r uuu r当0k=（此时22m=满足①式），即直线AB平行于x轴时，OA OB×uuu r uuu r的最小值为－2.又直线AB的斜率不存在时，2OA OB×=uuu r uuu r，∴OA OB×uuu r uuu r的最大值为2.（ⅱ）设原点到直线AB的距离为d，则211||||2AOBS AB d x xD=×=-=====∴S四边形ABCD = 4SΔAOB= ABCD的面积为定值. ………………12分1,2EBC OCD EB OC AB \D @D \==E \是AB 的中点。

中原名校2013-2014学年高三下期第二次联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若0,a b >>集合{|},{}2a bM x b x N x x a +=<<=<，则集合M N 等于（ ）A. {|x b x <B. {|}x b x a <<C. {}2a b x x +<D. {|}2a bx x a +<< 2.已知z 为纯虚数，12z i+-是实数，那么z =（ ）A. 2iB. 2i -C. 12iD. 12i -3.下列命题正确的个数是（ ）①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的逆命题是真命题； ②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠则p 是q 的必要不充分条件； ③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+>”； ④若随机变量~(,)x B n p ，则.DX np = ⑤回归分析中，回归方程可以是非线性方程. A.1 B.2 C.3 D.44.一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的P 位于区间43(10,10)--内，则判断框内应填入的条件是（ ）A. 3T ≤B. 4T ≤C. 5T ≤D. 6T ≤ 5.一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.6.函数()2y f x π=+为定义在R 上的偶函数，且当2x π≥时，1()()sin ,2x f x x =+则下列选项正确的是（ ）A. (3)(1)(2)f f f <<B. (2)(1)(3)f f f <<C. (2)(3)(1)f f f <<D. (3)(2)(1)f f f <<7.已知双曲线22221x y a b-=，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C. D.8.若{}n b 为等差数列，244,8.b b ==数列{}n a 满足*111,(),n n n a b a a n N +==-∈则8a =（ ） A.56 B.57 C.72 D.739.在三角形ABC 中，60,A A ∠=∠ 的平分线交BC 于D ，AB=4, 1()4AD AC AB R λλ=+∈,则AD 的长为（ ）A. 1B.C. 3D.10.已知函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()f x ，且230a b c ++=，(0)(1)0,f f >设12,x x 是方程()0f x =的两根，则12||x x -的取值范围是（ ）A. 2[0,)3B. 4[0,)9C. 12(,)33D. 14(,)9911.已知三角形PAD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2, 120,APD ∠= 若点P,A,B,C,D 都在同一球面上，则此球的表面积等于（ ） A. 8π B. 12π C. 16π D. 20π12.将数字1,2,3,4填入右侧表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有（ ）种.A.432B.576C.720D.864第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y ay x xy ，若y x z +=3的最大值为,16则.________=a14.已知,|cos sin |0dx x x a ⎰-=π则73)1(xax x +的展开式中的常数项是.__________（用数字作答） 15.已知椭圆C A y x ,,13422=+分别是椭圆的上、下顶点，B 是左顶点，F 为左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ，则BDF ∠的余弦值是.___________16.已知定义在R 上的函数)(x f y =存在零点，且对任意R n m ∈,都满足.)()]()([2n m f n f m mf f +=+若关于x 的方程)1,0(log 1|3)]([|≠>-=-a a x x f f a 恰有三个不同的根，则实数a 的取值范围是.___________三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）1 2 3 4 43 1 2 2 14 3 342117.已知函数.21cos )6cos(sin )(2-+-⋅=x x x x f π（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值x 时的取值集合； （Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为,,,c b a ，若.3,21)(=+=c b A f 求a 的最小值.18.某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的被淘汰.若有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图. (Ⅰ)求获得参赛资格的人数；(Ⅱ)根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；(Ⅲ)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛.已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响.已知他连续两次答错的概率为91，求甲在初赛中答题个数ξ的分布列及数学期望.ξE .19.如图，在直角梯形ABCP 中， 221,,//===⊥AP BC AB AB AP BC AP ,D 是AP 的中点，E,G 分别为PC,CB 的中点，将三角形PCD 沿CD 折起，使得PD 垂直平面ABCD.（Ⅰ）若F 是PD 的中点，求证：AP //平面EFG;（Ⅱ）当二面角G-EF-D 的大小为4π时，求FG 与平面PBC 所成角的余弦值.20.如图，已知抛物线C 的顶点在原点，开口向右，过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2，过C 上一点A 作两条互相垂直的直线交抛物线于P,Q 两点. （Ⅰ）若直线PQ 过定点)2,3(- T ，求点A 的坐标；（Ⅱ）对于第（Ⅰ）问的点A ，三角形APQ 能否为等腰直角三角形？若能，试确定三角形APD 的个数；若不能，说明理由.21.已知函数2ln )(bx x a x f -=图像上一点))2(,2(f P 处的切线方程为.22ln 23++-=x y (Ⅰ)求b a ,的值；(Ⅱ)若方程0)(=+m x f 在区间],1[e e内有两个不等实根，求m 的取值范围；(Ⅲ)令),()()(R k kx x f x g ∈-=如果)(x g 的图像与x 轴交于))(0,(),0,(2121x x x B x A <两点，AB 的中点为)0,(o x C ，求证：.0)(0≠'x g 22.如图，在锐角三角形ABC 中，D 为C 在AB 上的射影，E 为D 在BC 上的射影,F 为DE 上一点，且满足.DBADFD EF =(Ⅰ)证明：;AE CF ⊥(Ⅱ)若AD=2，CD=3.DB=4，求BAE ∠tan 的值.23.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同单位长度.已知曲线),0(:>=a a C ρ过点)2,0(p 的直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 232,2（t 为参数）. (Ⅰ)求曲线C 与直线l 的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2得到曲线C '，若直线l 与曲线C '相切，求实数a 的值. 24.设函数.|,2||1|)(R a a x x x f ∈-+-=(Ⅰ)当4=a 时，求不等式5)(≥x f 的解集；(Ⅱ)若4)(≥x f 对R x ∈恒成立，求a 的取值范围.中原名校2013－2014学年高三下期第二次联考数学(理)试题参考答案一、选择题：CDCCB ABBDA DB二、填空题：13.0 14.168 16.()3,+∞17.解：(Ⅰ)22111()sin sin cos cos cos 222f x x x x x x x x ⎫=++-=+⎪⎝⎭111112cos2sin 2224264x x x π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴函数)(x f 的最大值为34.当)(x f 取最大值时sin(2)1,6x π+=22()62x k k Z πππ∴+=+∈,解得,6x k k Z ππ=+∈.故x 的取值集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.……………………………………(6分)(Ⅱ)由题意111()sin 22642f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭,化简得 1sin(2).62A π+=()π,0∈A ,132(,)666A πππ∴+∈, ∴5266A ππ+=, ∴.3π=A在ABC ∆中,根据余弦定理,得bc c b bc c b a 3)(3cos 22222-+=-+=π.由3b c +=,知2924b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,即294a ≥. ∴当32b c ==时,a 取最小值32.…………………………..……………………(12分)18.解：(Ⅰ)由频率分布直方图得,获得参赛资格的人数为500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人. .……………………………………………………………..… ………(2分)(Ⅱ)设500名学生的平均成绩为x ,则x ＝(30＋502×0.0065＋50＋702×0.0140＋70＋902×0.0170＋90＋1102×0.0050＋110＋1302×0.0043＋130＋1502×0.0032)×20＝78.48分. …………………………………………………………………………..…………(6分) (Ⅲ)设学生甲答对每道题的概率为()P A ,则21(1())9P A -=,∴()P A ＝23.学生甲答题个数ξ的可能值为3,4,5,则(3)P ξ==,31313233=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛(4)P ξ=＝,271031323231313313=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C C (5)P ξ=＝.27832312224=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C 所以ξ的分布列为E ξ＝13×3＋1027×4＋827×5＝10727.…………………………..……………….. (12分)19. (Ⅰ)证明：F 是PD 的中点时,EF //CD //AB ,EG //PB ,∴AB //平面EFG , PB //平面EFG ,AB PB B = ,∴平面PAB //平面EFG ,AP ⊆平面PAB , ∴AP //平面EFG .……………………………………………………..………(6分)(Ⅱ)建立如图所示的坐标系,则有(1,2,0)G ,(0,2,0)C ,(0,0,2)P ,(0,1,1)E ,设(0,0,)F a ,(1,2,)GF a =-- ,(1,1,1)GE =-- ,平面EFG 的法向量1(,,1)n x y =,则有2010x y a x y --+=⎧⎨--+=⎩,解得21x a y a =-⎧⎨=-⎩. 1(2,1n a a ∴=-- 平面EFD 的法向量2(1,0,0)n =,依题意,12cos ,2n n == ,1a ∴=.于是(1,2,1)GF =--. 平面PBC 的法向量3(,,1)n m n =,(0,2,2)PC =- , (2,0,0)BC =-,则有 22020n m -=⎧⎨-=⎩,解得01m n =⎧⎨=⎩. 3(0,1,1)n ∴= . FG 与平面PBC 所成角为θ,则有3sin cos ,GF n θ===, 故有cos 6θ=.………………………………………………………………(12分) 20.解：(Ⅰ)设抛物线的方程为22(0)y px p =>,依题意,22p =,则所求抛物线的方程为22y x =.………………………………………………(2分) 设直线PQ 的方程为x my n =+,点P 、Q 的坐标分别为11(,),P x y 22(,)Q x y . 由22x my ny x=+⎧⎨=⎩,消x 得2220y my n --=.由0>∆,得220m n +>,122y y m +=,122y y n ⋅=-.∵AP AQ ⊥,∴0AP AQ ⋅=.设A 点坐标为2,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则有221212()()022a a x x y a y a ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 221212,22y y x x == ,[]1212()()()()40y a y a y a y a ∴--+++=,∴12()()0y a y a --=或12()()40y a y a +++=.∴222n a ma =-或2224n a ma =++, ∵0>∆恒成立. ∴2224n a ma =++.又直线PQ 过定点(3,T ,即3n =,代入上式得22624,22(0,a ma a m a +=++-+=注意到上式对任意m 都成立,故有a =从而A 点坐标为(.…………………………………………(8分)(Ⅱ)假设存在以PQ 为底边的等腰直角三角形APQ ,由第（Ⅰ）问可知,将n 用3n =+代换得直线PQ 的方程为3x my =++.设11(,),P x y 22(,)Q x y ,由232x my y x⎧=++⎪⎨=⎪⎩消x ,得2260y my ---=.∴ 122y y m +=,126y y ⋅=--.∵PQ 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭,即221212,42y y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,∵2222121212()2344y y y y y y m ++-==++,∴PQ的中点坐标为2(3,)m m +.m =-,即3230m m +=.设32()3g m m m =+则2()330g m m '=++>,()g m ∴在R 上是增函数.又(0)0g =<,(1)40g =>,()g m ∴在(0,1)内有一个零点.函数()g m 在R 上有且只有一个零点,所以满足条件的等腰直角三角形有且只有一个. ……………………..………(12分)21.解：(Ⅰ)()2a f x bx x '=-,()242af b '=-,()2ln 24f a b =-.∴432ab -=-,且ln2462ln22a b -=-++.解得a ＝2,b ＝1. ……...…………(4分) (Ⅱ)()22ln f x x x =-,设()2()2ln h x f x m x x m =+=-+,则()222(1)2x h x x x x -'=-=,令()0h x '=,得x ＝1(x ＝－1舍去).当x ∈1[,1)e时,()0h x '>, h (x )是增函数；当x ∈(1,e]时,()0h x '<, h (x )是减函数.则方程()0h x =在1[,e]e内有两个不等实根的充要条件是1()0,e (1)0,(e)0.h h h ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤解得2112m e <+≤.………………………………………..………(8分)(Ⅲ)()22ln g x x x kx =--,()22g x x k x'=--.假设结论()00g x '=成立, 则有2111222212002ln 0, 2ln 0, 2, 220. x x kx x x kx x x x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪⎨+=⎪⎪--=⎪⎩①②③④,①－②,得221121222ln ()()0xx x k x x x ----=.∴120122ln2x x k x x x =--.由④得0022k x x =-,于是有12120ln 1xx x x x =-,∴121212ln 2x x x x x x =-+,即11212222ln 1x x x x x x -=+.⑤ 令12x t x =,22()ln 1t u t t t -=-+ (0＜t ＜1),则22(1)()(1)t u t t t -'=+＞0.∴()u t 在0＜t ＜1上是增函数,有()(1)0u t u <=,∴⑤式不成立,与假设矛盾.∴()00g x '≠.……………………………………………………………..………(12分) 22. (Ⅰ)证明：设CF 与AE 交于点G ,连接DG .EF AD FD DB =,ED ABFD DB ∴=,又△CDE ∽△DBE , CD DB DE BE ∴=.于是有CD ABFD BE =,注意到 CDF ABE ∠=∠,∴△CDF ∽△ABE ,∴DCG DAG ∠=∠,∴A D G C 、、、四点共圆.从而有90AGC ADC ∠=∠=︒, ∴CF AE ⊥.………………………………………………………………………(5分) (Ⅱ)在Rt △CEF 中, ECF AED ∴∠=∠,5BC =,125DE =,45EF ∴=,由2CD CE CB =⋅,知95CE =, 4tan 9ECF ∴∠=.又4tan 3DCB ∠=,442439tan 1643127DCF -∴∠==+. 故24tan 43BAE ∠=.………………………………………………………………(10分) 23.解：(Ⅰ)曲线C ：222x y a +=,直线l：2y =+.…….. ….…………(5分)(Ⅱ)曲线C '：2224x y a +=,与直线l联立得222442x y a y ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩,消去y ,得22131640x a ++-=,由△0=知,2413a =,a ∴=. ……….…(10分) 24. 解：(Ⅰ)()|1||24|f x x x =-+-35,13,1235,2x x x x x x -+≤⎧⎪=-+<<⎨⎪-≥⎩,()5f x ∴≥的解集是10|03x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或.…………………... …….…………(5分)(Ⅱ)1x =时,()|2|,f x a =-2a x =时,()12af x =-,结合()f x 的图像知, 24142a a-≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩,解得10a ≥或6a ≤-, CABDEF Ga故a 的取值范围是{}|106a a a ≥≤-或.…………………..……………..……(10分)。

开封市2014届高三第二次模拟考试高二数学试题（理科）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U R =，集合{}{}2|290,|log 0A x x B x x =-≤=>，则A. {}|03x x <B. {}|31x x -≤≤C.{}|0x x <D.{}|13x x <≤ 2．已知复数2(1)(2)()z a a i a R =-+-∈，则“1a =”是“z 为纯虚数”的 A. 充分非必蕞条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件 D.既非充分又非必要条件 3．在一次独立性检验中，得出2×2列联表如下：且最后发现，两个分类变量X 和y 没有任何关系，则m 的可能值是A ．200B ．720C ．100D ．1804．已知()f x 是R 上的奇函数，若(1)2f =，当x>0，()f x 是增函数，且对任意的x ， y 都有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 在区间[-3，-2]的最大值为 A ．-5 B ．-6 C ．-2 D ．-45．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三 角形，则这个几何体的体积为A B ．(4π+C D6.设函数())cos(2)()2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线x=0对称，则 A. ()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 B ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数c ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数 D. ()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数7．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的T 是A ．1B ．2C ．3D ．48．已知双曲线2222:1x y M a b -=和双曲线2222:1y x N a b-=，其中b>a>0，且双曲线M 与N 的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M 的离心率是A C D 9．点P 是曲线2ln 0x y x --=上的任意一点，则点P 到直线y=x-2的最小距离为A.1 B C D 10．在平行四边形ABCD 中，1,60AD BAD =∠=,E 为CD 的中点．若12AD BE ⋅=， 则AB 的长为 A.12 B.1 C ．32D ．211.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其 中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有A ．12种 B. 18种 C ．36种 D ．54种12．函数[]11,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x ⎧--∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,则下列说法中正确命题的个数是①函数()ln(1)y f x x =-+有3个零点； ②若0x >时，函数()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； ③函数()f x 的极大值中一定存在最小值，④()2(2),()f x kf x k k N =+∈，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答，第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答。

2014年河南省中原名校高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数y =√x+1的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B =( )A ⌀B (0, +∞)C (−1, +∞)D (−1, 0)2. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A 4094B 1022C 2046D 20483. 如图，边长为2的正方形内有一个椭圆，用随机模拟的方法估计该椭圆的面积，在正方形中随机撒了10000粒豆子，落在椭圆内的有8000粒，据此估计该椭圆的面积为（ ）A 3.14B 3.2C 12.56D 12.84. a 表示函数y =sinx(−π≤x ≤π)与x 轴围成的图形的面积，则复数z =(−1+i)(a+i)−i（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 5. 已知tan(π6+α)=3，α为锐角，则cos(π3−α)=( )A3√1010 B −3√1010 C √1010 D −√10106. 在(xy −x −2y +2)6的展开式中，xy 2的系数是（ ） A 2880 B 1440 C −2880 D −14407. 实数x ，y 满足{y ≤x +1x +2y −5≥0x 2−6x +8≤0，则3x +y 的最大值为（ ）A 152 B 3+2√217 C 758−5√338D 17 8. 一个几何体的三视图如图所示，已知该几何体是一个正方体的一部分，则该几何体的体积是（ ） A 12 B 43 C 2 D 239. 给出下列命题：①“m =3”是“直线(m +3)x +my −2=0与直线mx −6y +5=0互相垂直”的充要条件； ②向量a →，b →均为非零向量，若|a →|=|b →|=|a →+b →|，则向量a →与b →的夹角为π3；③若直线a ，b 与平面α，β满足a ⊂α，b ⊂β，且a // β，b // α，则α // β；④命题p ：“∀k ∈R ，直线kx +2y −3=0与圆x 2+y 2=4都相交”，则￢p 为假命题． 其中真命题的个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 310. 函数f(x)=cos(2x −π4)+√2sinxcosx +√22−√2sin 2x ，下列结论中正确的有（ ）①f(x)是以π为最小正周期的周期函数； ②直线x =3π8是函数f(x)的一条对称轴；③f(x)在区间(0, π2)上是单调增函数； ④f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 11. 椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)和双曲线D:x 2A2−y 2B 2=1(A >0, B >0)有相同的焦点F 1、F 2，椭圆C 和双曲线D 在第一象限内的交点为P ，且PF 2垂直于x 轴．设椭圆的离心率为e 1，双曲线D 的离心率为e 2，则e 1e 2等于（ ） A 1 B 32C 23D 不确定12. 四面体ABCD 中，AB =CD =a +b （其中a ，b 分别是方程x +lnx =3，x +e x =3的解），AC =BD =m ，AD =BC =n ，并且a +b 既是m 与n 的等差中项，又是m 与n 的等比中项．则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A 27π B 272π C27√68π D 54π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知P 为抛物线y 2=4x 上一点，Q 为圆C ：(x +2)2+(y −2)2=1上一点，点P 到直线l:x =−1的距离为d ，则|PQ|+d 的最小值为________．14. 已知等差数列{a n }的前n 项和S n 有最小值，且a 3+a 5=14，a 2a 6=33，则数列{1a n a n+1}的前100项的和T 100=________．15. 等腰梯形ABCD 中，AD // BC ，AD =1，BC =3，AB =2．设点P ，Q 满足AP →=λAB →，DQ →=(1−λ)DC →．若BQ →⋅CP →=−10，则λ=________． 16. 对于实数a ，b ，定义运算“*”：a ∗b ={a 2−ab ，a >b b 2−ab ，a ≤b．设函数f(x)=(2x −1)∗(x −1)，且f(x)的图象与函数y =2x +m(m ∈R)恰有三个交点，则m 的取值范围是( )A [98, 14] B (−98, 14) C [98, 14) D (98, 14]三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n −a n−1=n ， （1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）在△ABC 中，AB =a 3，cosC =1a 2，求△ABC 周长的最大值．18. 学校游园活动有这样一个项目：甲箱子里装1个白球，2个黑球，乙箱子里装1个白球，1个黑球，这些球除颜色外没有区别．规定：从甲箱子中摸出一个白球记2分，摸出一个黑球记0分；从乙箱子中摸出一个白球记1分，摸出一个黑球记0分．从甲、乙箱子中各摸一个球叫摸球一次（摸后放回），每个人有两次摸球机会，若两次摸球的总分大于等于4分即获奖．(I)记摸一次球的得分为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望； (II)求一个人获奖的概率．19.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB // CD ，AD =12CD =2，点M 在线段EC 上， （1）求证：BF // 平面CDE ；（2）若AB =2，三棱锥M −BDE 的体积为43，求二面角M −BD −E 的余弦值．20. 点P 在圆x 2+y 2=2上移动，PQ ⊥x 轴于Q ，动点M 满足QP →=√2QM ， （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）若动直线x −√2y +m =0与曲线C 交于A ，B 两点，在第一象限内曲线C 上是否存在一点M 使MA 与MB 的斜率互为相反数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 21. 已知函数f(x)=(1+x)2e ax (a ≠0)． （1）求函数f(x)的单调区间；（2）若存在实数a <0，使得f(x)≤kx +k 对任意的x ∈[−1, +∞)恒成立，求实数k 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选的题目，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-1：几何证明选讲】22. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，过点A 的直线与△ABC 的外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D ，（1）求证：∠ABP=∠D；（2）若AC=3，AP=2，求点D到△ABC的外接圆的切线长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 极坐标系和直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=2，点M的直角坐标为(−1, 1)，直线l经过点M，且倾斜角为π3，（1）求直线l的参数方程和圆C的直角坐标方程；（2）设直线l与圆C的两个交点为A，B，求|MA|+|MB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24. 设关于x的不等式|x+1|>a，(a∈N∗)的解集为A，且34∉A，43∈A．（1）求a的值；（2）求函数f(x)=|x+a|−|x−1|的最值．2014年河南省中原名校高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. C3. B4. C5. A6. C7. D8. D9. B10. B11. A12. B13. √13−114. 10020115. 2或−116. B17. 解：（1）在数列{a n}中，a1=1，a n−a n−1=n，a n−1−a n−2=n−1，a n−2−a n−3=n−2，…，a2−a1=2，相加得：a n−a n−1+a n−1−a n−2+a n−2+a n−3+...+a2−a1=n+n−1+n−2+ (2)即a n−a1=n(n+1)2−1，则数列{a n}的通项公式a n=n(n+1)2；（2）在△ABC中，AB=c=a3=6，cosC=1a2=13，∴ 由余弦定理得：36=a2+b2−2abcosC=a2+b2−23ab=(a+b)2−83ab≥(a+b)2−83×(a+b)24=13(a+b)2，整理得：(a+b)2≤108，即a+b≤6√3，则△ABC周长最大值为6+6√3．18. 解：(1)由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=23×12=13，P(X=1)=23×12=13，P(X=2)=13×12=16，P(X=3)=13×12=16，∴ X的分布列为：∴ EX=0×13+1×13+2×16+3×16=76．(II)设事件M：“一个人获奖”，事件A：“两次摸球，一次得1分，一次得2分”，事件B：“两次摸球都得2分”，事件C：“两次摸球一次得2分，一次得3分”，事件D：“两次摸球都得3分”，P(A)=2P(X=1)P(X=3)=2×13×16=19，P(B)=P(X=2)P(X=2)=16×16=136，P(C)=2P(X=2)P(X=3)=2×16×16=118，P(D)=P(X=3)P(X=3)=16×16=136，因为A、B、C、D彼此互斥，且M=A∪B∪C∪D 所以有互斥事件的概率加法公式得：P(M)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=19+136+118+136=29．故一个人获奖的概率为29．…19. （1）证明：∵ AF // DE，AF⊄平面CDE，DE⊂平面CDE，∴ AF // 平面CDE，同理：AB // 平面CDE，又AF∩AB=A∴ 平面ABF // 平面CDE 又BF ⊂平面ABF ， ∴ BF // 平面CDE ．…（2）∵ 平面ADEF ⊥平面ABCD 于AD ， ∴ ED ⊥AD ，∴ ED ⊥平面ABCD ，分别以DA 、DC 、DE 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系， 则D(0, 0, 0)B(2, 2, 0)E(0, 0, 2)C(0, 4, 0)∵ 点M 在线段EC 上，∴ 设M(0, λ, 2−λ2)(0≤λ≤4)，ME →=(0,−λ,λ2)，DB →=(2,2,0)，DE →=(0,0,2)，设平面n →=(x,y,z)是平面BDE 的一个法向量，则{n →⋅DE →=2z =0˙，取x =1，得n →=(1,−1,0)，点M 到平面BDE 的距离d =|n →|˙=|λ|√2=λ√2，∵ 三棱锥M −BDE 的体积为43，∴ V M−BDE =13S △BDE ⋅d =13×12×BD ⋅DE ⋅λ√2=23λ=43， 解得λ=2，∴ M(0, 2, 1)，∴ DM →=(0, 2, 1)， 设m →=(a,b,c)是平面MBD 的一个法向量，则{m →⋅DM →=2b +c =0˙，取a =1，得m →=(1,−1,2)，…• 设二面角M −BD −E 的大小为θ， 则cosθ=|cos <m →，n →>|=}=|1+1+0√2×√6|=√33， ∴ 二面角M −BD −E 的余弦值为√33．…20. 解：（1）设动点M(x, y)，P(x 0, y 0)，则Q(x 0, 0)， 由QP →=√2OM →，得(0, y 0)=√2(x −x 0,y)， ∴ {√2(x −x 0)=0√2y =y 0，解得{x 0=x y 0=√2y ，代入x 02+y 02=2，得x 2+2y 2=2．∴ 动点M 所在曲线C 的方程为x 22+y 2=1．…（2）由{x −√2y +m =0x 2+2y 2=2，得2x 2+2mx +m 2−2=0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， ∵ 直线与曲线交于两点，∴ {△=4m 2−8(m 2−2)>0x 1+x 2=−m x 1x 2=m 2−22， ∴ y 1+y 2=√22(x 1+x 2+2m)=√22m ， y 1y 2=12(x 1+m)(x 2+m)=m 2−24，假设存在M(x′, y′)使MA 的斜率与MB 的斜率互为相反数，即k MA +k MB =0，y ′−y 1x ′−x 1+y ′−y 2x ′−x 2=2x ′y ′−y ′(x 1+x 2)+x 2y 1+x 1y 2(x ′−x 1)(x ′−x 2)=0，2x ′y ′−y ′(x 1+x 2)−x ′(y 1+y 2)+x 2y 1+x 1y 2=0，2x ′y ′−y ′(x 1+x 2)−x ′(y 1+y 2)+2√2y 1y 2−m(y 1+y 2)=0， 2x ′y ′+my ′−√22mx ′−√2=0，m(y′−√22x ′)+2x′y′−√2=0．… ∵ 与m 无关，∴ {y ′−√22x ′=02x ′y ′−√2=0，又M 在第一象限，∴ x ′=1．y ′=√22，… 又M(1, √22)在曲线C 上，故存在M(1, √22)，使MA ，MB 的斜率互为相反数．… 21. 解：（1）f(x)的定义域为R ， f′(x)=(1+x)(ax +a +2)e ax ，∵ a ≠0，∴ 由f′(x)=0得x =−1或x =−1−2a当a >0时，−1−2a<−1，由f′(x)>0得x >−1或x <−1−2a，由f′(x)<0得−1−2a <x <−1，∴ f(x)的单调递增区间为(−∞, −1−2a )和(−1, +∞)，单调递减区间为(−1−2a , −1)； 当a <0时，−1−2a >−1，由f′(x)>0得−1<x <−1−2a ，由f′(x)<0得x>−1−2a或x<−1，∴ f(x)的单调递增区间为(−1, −1−2a )，单调递减区间为(−∞, −1)和(−1−2a, +∞)；综上所述，当a>0时，f(x)的单调递增区间为(−∞, −1−2a)和(−1, +∞)，单调递减区间为(−1−2a, −1)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(−1, −1−2a)，单调递减区间为(−∞, −1)和(−1−2a, +∞)．（2）f(x)≤kx+k对任意的x∈[−1, +∞)恒成立，⇔(1+x)2e ax≤kx+k对任意的x∈[−1, +∞)恒成立，当x=−1时，0≤0恒成立，∴ k∈R，当x>−1时，等价于k≥(1+x)e ax恒成立，令g(x)=(1+x)e ax，(x>−1)则k≥g(x)max∵ g′(x)=e ax(ax+a+1)，∵ a<0，∴ 由g′(x)=0得x=−1−1a>−1，∴ x∈(−1, −1−1a )时，g′(x)>0，g(x)在(−1, −1−1a)上为增函数，x∈(−1−1a , +∞)时，g′(x)<0，g(x)在(−1−1a, +∞)上为减函数，∴ g(x)max=g(−1−1a )=−1ae−a−1，∴ k≥−1ae−a−1，即存在a<0使得k≥−1ae−a−1成立；设ℎ(a)=−1ae−a−1，(a<0)，∴ 只需k≥ℎ(x)min，∵ ℎ′(a)=1a2e−a−1−(−1a)e−a−1=a+1a2e−a−1，由ℎ′(x)=0得a=−1，∴ a∈(−∞, −1)时，ℎ′(a)<0，ℎ(a)在(−∞, −1)上为减函数，a∈(−1, 0)时，ℎ′(a)>0，ℎ(a)在(−1, 0)上为增函数，∴ ℎ(a)min=ℎ(−1)=e0=1，∴ k≥1．22. （1）证明：∵ AB=AC∴ ∠ABC=∠ACB又∠ACB=∠APB∴ ∠ABC=∠APB∵ ∠BAD=∠PAB，∴ △ABD∽△APB，∴ ∠ABP=∠D；（2）解：∵ △ABD∽△APB，∴ ABAD =APAB，∴ AB=AC=3，AP=2，∴ AD=92，∴ DP=AD−AP=52，设DE与圆相切于点E，则DE2=DP⋅DA=454，∴ DE=3√52．23. 解：（1）根据直线l经过点M(−1, 1)，且倾斜角为π3，可得直线l的参数方程为{x=−1+tcosπ3y=1+tsinπ3，即{x=−1+12ty=1+√32t（t为参数）．∵ 圆C的极坐标方程为ρ=2，∴ ρ2=x2+y2=4，即圆C的直角坐标方程为x2+y2=4．（2）把参数方程代入圆的方程可得t2+(√3−1)t−2=0，由题意可得{△>0t1+t2=−(√3−1)<0 t1⋅t2=−2<0，∴ |MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1⋅t2=√12−2√3．24. 解：（1）由题意可得|34+1|≤a，且|43+1|>a，即a≥74，且a<73，即74≤a<73．再根据a∈N，可得a=2．（2）∵ 函数f(x)=|x+a|−|x−1|=|x+2|−|x−1|表示数轴上的x对应点到−2对应点的距离减去它到1对应点的距离，故f(x)的最大值为3，最小值为−3．。

2014年河南省开封市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题1.若集合(){}lg 2A x y x =∈=-R ，{}12,x B y y x A -=∈=∈R ，则()R A B = ð（ ） A.RB.(][),02,-+ ∞∞C.[)2,+∞D.(],0-∞答案：B【考点】对数函数的定义域；交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题．【分析】求出A 中函数的定义域确定出A ，求出B 中B 中函数的值域确定出B ，求出A 与B 的交集，找出交集的补集即可．【解答】解：由A 中的函数()lg 2y x =-，得到20x ->，即2x <，(),2A ∴=-∞，由B 中的函数12x y -=，x A ∈，得到02y <≤，(]0,2B ∴=，()0,2A B ∴= ，则()(][),02,R A B =-+ ∞∞ð．故选：B ．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.复数()5i i i z -=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ）A.2i -B.2i +C.4i -D.4i +答案：B【考点】复数的基本概念． 【专题】计算题．【分析】根据复数乘法法则和模的运算法则将复数化成()i ,a b a b +∈R ，最后根据共轭复数的定义可求出所求．【解答】解：)5i i i 1i 2i z -=+=-=- ，∴复数z 的共轭复数为2i +． 故选：B ．【点评】本题主要考查了复数代数形式的乘法运算和模的运算，以及共轭复数的概念，同时考查了计算能力，属于基础题．3.直线224x my m +=-与直线22mx y m +=-垂直的充要条件是（ ） A.2m = B.2m =- C.0m = D.m ∈R 答案：C【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【专题】直线与圆．【分析】根据直线垂直的等价条件建立方程即可求得结论．【解答】解：当0m =时，两直线对应的方程分别为2x =-和1y =-，满足两直线垂直．当0m ≠时，两直线对应的方程分别为22y x m =-+和122m m y x -=-+，若满足两直线垂直，则对应的斜率之积为2112m m ⎛⎫-⋅-=≠- ⎪⎝⎭，∴此时不成立．故0m =，故选：C ．【点评】本题主要考查直线垂直的判断和应用，要对a 进行讨论，要求熟练掌握直线垂直的等价条件． 4.一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()0,0,0，()2,0,0，()2,2,0，()0,2,0则第五个顶点的坐标可能为（ ）正视图侧视图俯视图A.()1,1,1B.(1,1,C.(1,1,D.(2,2,答案：C【考点】简单空间图形的三视图． 【专题】空间向量及应用．【分析】由三视图可知该几何体为正四棱锥，根据四个点的坐标关系确定第5个点的坐标即可．【解答】解：由三视图可知该几何体为正四棱锥，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()0,0,0，()2,0,0，()2,2,0，()0,2,0， 设()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ， 则2AB =，2BC =，2CD =，2DA =，∴这四个点为正四棱锥的底面正方形的坐标， 设顶点为(),,P a b c ，则P 点在xOy 面的射影为底面正方形的中心()'1,1,0O ，即1a =，1b =，由正视图是正三角形，∴四棱锥侧面的斜高为2即cP ∴点的坐标为(1,1,，故第五个顶点的坐标为(1,1,，故选：C ．【点评】本题主要考查三视图的识别和应用，利用三视图确定该几何体为正四棱锥是解决本题的关键，然后根据坐标关系即可确定第5个顶点的坐标，考查学生的空间想象能力．5.在ABC △中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ．若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=（ ）A.12-B.12 C .1- D.1答案：D【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】解三角形．【分析】利用三角形中的正弦定理，将已知等式中的边用三角形的角的正弦表示，代入要求的式子，利用三角函数的平方关系求出值．【解答】解：cos sin a A b B =由正弦定理得sin cos sin cos A A B B = 222sin cos cos sin cos 1A A B B B ∴+=+= 故选D【点评】本题考查三角形中的正弦定理、余弦定理、三角函数的平方关系．6.阅读如图程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）A.10?S <B.12?S <C.14?S <D.16?S < 答案：A ，B【考点】程序框图．【专题】操作型；算法和程序框图．【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i i 1=+，然后判断得到的i 的奇偶性，是奇数执行2*i 2S =+，是偶数执行2*i 1S =+，然后判断S 的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i i 1=+执行，不满足跳出循环，输出i 的值．【解答】解：框图首先给变量S 和i 赋值0S =，i 1=，执行i 112=+=，判断2是奇数不成立，执行022S =+=，不满足输出条件，故判断框内条件成立，执行i 213=+=，判断3是奇数成立，执行2238S =+⨯=，不满足输出条件，故判断框内条件成立， 执行i 314=+=，判断4是奇数不成立，执行8412S =+=，满足输出条件，故此时在判断时判断框中的条件应该不成立，而此时的S 的值是12，结合上一次S 的值为8， 故判断框中的条件应10S <或12S <． 故选：A ，B ．【点评】本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．7.把长为1的铁丝截成三段，则这三段恰好能围成三角形的概率是（ ） A.12 B.1 C.14 D .18 答案：C【考点】几何概型． 【专题】概率与统计．【分析】将长为1米的铁丝截成三段的长度分别为x ，y ，z ，1x y z ++=，然后求构成试验的全部区域的面积和这三段能拼成三角形所表示的区域的面积，代入几何概率的计算公式可求． 【解答】解：设将长为1米的铁丝截成三段的长度分别为x ，y ，z ，1x y z ++=则构成试验的全部区域为()0101010101011x x y y z x y ⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-+⎩⎩≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤所表示的区域为边长为1的直角三角形，其面积为12， 记“这三段能拼成三角形”为事件A ，则构成A 的区域102102102x x y z x z y y y z x x y ⎧<⎪+>⎧⎪⎪⎪+>⇒⎨⎨⎪⎪+>⎩⎪<+<⎪⎩≤≤≤为边长为12的直角三角形，面积为18，代入几何概率公式可得()118142P A ==．故选：C ．【点评】本题考查了与面积有关的几何概率的求解，难点是要把题中所提供的条件转化为数学问题，进而求出面积，根据线性规划的知识求解面积．属于中档题．8.半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四个点，且满足0AB AC ⋅= ，0AC AD ⋅= ，0AD AB ⋅=，则ABC ACD ADB S S S ++△△△的最大值为（ ） A.64 B.32 C.16 D.8 答案：B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用．【分析】由半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四个点，且满足0AB AC ⋅= ，0AC AD ⋅= ，0AD AB ⋅=，可得AB AC ⊥，AC AD ⊥，AD AB ⊥，且以AB ，AC ，AD 为邻边的长方体内接于此球．设AB a =，AC b =，AD c =，则()2222264a b c R ++==．111222ABC ACD ADB S S S ab bc ac ++=++△△△，利用222ab bc ac a b c ++++≤即可得出．【解答】解： 半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四个点，且满足0AB AC ⋅= ，0AC AD ⋅= ,0AD AB ⋅=， AB AC ∴⊥，AC AD ⊥，AD AB ⊥，且以AB ，AC ，AD 为邻边的长方体内接于此球．设AB a =，AC b =，AD c =，则()2222264a b c R ++==．()()222111113222222ABC ACD ADB S S S ab bc ac ab bc ac a b c ++=++=++++=△△△≤，当且仅当a b c ==时，ABC ACD ADB S S S ++△△△取得最大值32． 故选：32．【点评】本题考查了内接于球的长方体的性质、向量垂直与数量积的关系、不等式ab+bc+ac ≤a 2+b 2+c 2、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．9.已知函数()sin 2cos cos2sin f x x x φφ=+，()x ∈R ，()z ∈R 其中φ为实数，且()2π9f x f ⎛⎫⎪⎝⎭≤对任意实数R 恒成立，记2π3p f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5π6q f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，7π6r f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则p 、q 、r 的大小关系是（ ）A.r p q <<B.q r p <<C.p q r <<D.q p r << 答案：C【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象． 【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】根据两角和的正弦公式化简得()()sin 2f x x φ=+，结合题意可得2π4πsin 199f φ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭达到()f x 的最大值，从而算出π18φ=，可得()πsin 218f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由此利用三角函数的诱导公式与正弦函数的单调性加以计算，即可得出p 、q 、r 的大小关系．【解答】解：由题意，得()()sin2cos cos2sin sin 2f x x x x φφφ=+=+， ()2π9f x f ⎛⎫⎪⎝⎭≤对任意实数R 恒成立，2π9f ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭是函数()f x 的最大值，即2π2πsin 2199f φ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()4ππ2π92k k φ+=+∈Z ，取0k =得π18φ=，()πsin 218f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，由此可得2π25πsin 318p f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，5π31πsin 618q f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，7π43πsin 618r f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，25π7π7πsin sin π+sin 181818⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，31π13π12π13π5πsin sin π+sinsin sin 1818181818⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭， 43π7π7πsinsin 2π+sin 181818⎛⎫== ⎪⎝⎭， 25π31π43πsinsin 0sin181818∴<<<，即p q r <<． 故选：C【点评】本题已知正弦型三角函数的最大值对应的x 值，比较几个函数值的大小关系．着重考查了三角函数的诱导公式、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．10.从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -与b a -的关系为（ ） A.MO MT b a ->- B.MO MT b a -<- C.MO MT b a -=- D.MO MT -与b a -无关答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】如图所示，设'F 是双曲线的右焦点，连接'PF ．利用三角形的中位线定理和双曲线的定义可得：()111'2222OM PF PF a PF a MF a ==-=-=-,于是OM MT MF MT a FT a -=--=-,连接OT ，则OT FT ⊥，在Rt FOT △中，OF c =，OT a =，可得FT b =．即可得出关系式．【解答】解：如图所示，设'F 是双曲线的右焦点，连接'PF ．点M ，O 分别为线段PF ，'FF 的中点． 由三角形的中位线定理可得：()111'2222OM PF PF a PF a MF a ==-=-=-,OM MT MF MT a FT a ∴-=--=-,连接OT ，则OT FT ⊥，在Rt FOT △中，OF c =，OT a =，FT b ∴=．OM MT b a ∴-=-． 故选：C ．【点评】本题综合考查了双曲线的定义及其性质、三角形的中位线定理、直线与圆相切的性质、勾股定理等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．11.等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数()()()()128f x x x a x a x a =--- ，则()'0f =（ ） A.122 B.92 C.82 D.62 答案：A【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用． 【分析】对函数进行求导发现()'0f 中，含有x 的项的值均为0，而常数项为1238a a a a ，由此求得()'0f 的值．【解答】解：()()()()()()()128128f x x x a x a x a x x a x a x a ⎡⎤=---=---⎣⎦ ， ()()()()()()()128128''f x x a x a x a x x a x a x a ⎡⎤∴=---+---⎣⎦ ,考虑到求导中()'0f ，含有x 项均取0， 得：()()412123818'02f a a a a a a === ．故选：A ．【点评】本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，属于基础题．12.已知函数()f x 定义在R 上，对任意实数x有()()4f x f x +=-+，若函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，()12f -=，则()2013f =（ ）A.2-+ B.2+ C.2- D.2 答案：A【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】依题意，可求得()()f x f x -=，且()()4f x f x ++=，又()12f -=，经计算得到规律：()()()()51321582f f f f n ====+= ,从而可求()2013f 的值．【解答】解：()1y f x =- 的图象关于直线1x =对称，向左平移1个单位，得()y f x =图象关于y 轴对称，即()()f x f x -=，又()()4f x f x +=-+， ()()4f x f x ∴++=，()12f -= ，()()f x f x -=，()12f∴=，()()312f f ∴=-=，同理可得：()52f =，()72f =，()92f =，()112f =，()132f =，即()()()()1917182f f f f n ===+= ,()()()()31119382f f f f n ====+= , ()()()()51321582f f f f n ====+= ,()()()()71523782f f f f n ===+= ;又201352518=+⨯， ()()201352f f ∴==，故选：A ．【点评】本题考查抽象函数及其性质，着重考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，求得()()()()51321582f f f f n ====+= 是关键，也是难点，属于难题． 二、填空题13.若(51a =+a ，b 为有理数），则a b += ．答案：70【考点】二项式定理的应用． 【专题】计算题．【分析】利用二项式定理展开即可得出．【解答】解：(52345123455555511C C C C C +=++++1204061a =+++++a ，b 为有理数，61a ∴=，9b =． 70a b ∴+=． 故答案为：70．【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．14.椭圆22192x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若14PF =，12F PF ∠的大小为 ．答案：120︒【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由126PF PF +=，且14PF =，易得2PF ，再利用余弦定理，即可求得结论．【解答】解：1226PF PF a +== ，14PF =，2162PF PF ∴=-=． 在12F PF △中，12164281cos 2422F PF +-∠==-⨯⨯，12120F PF ∴∠=︒．故答案为：120︒【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．15.设直线x t =与函数()2f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M ，N ，则当MN 达到最小时t 的值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】综合题．【分析】将两个函数作差，得到函数()()y f x g x =-，求此函数的最小值，确定对应的自变量x 的值，即可得到结论．【解答】解：设函数()()()2ln 0y f x g x x x x =-=->，求导数得()2121'2x 0x y x x x-=-=>令'0y <，则函数在0,⎛ ⎝⎭上为单调减函数，令'0y >，则函数在⎫+⎪⎪⎝⎭∞上为单调增函数，所以当x =11ln 222+所以当MN 达到最小时t【点评】本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值．16.已知O 是锐角ABC △的外接圆圆心，tan A =cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+=，则m = ．【考点】向量的线性运算性质及几何意义． 【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，取AB 的中点D ，连接OA ，OD ，由三角形外接圆的性质可得OD AB ⊥，于是0DO AB ⋅= ．由向量的三角形法则可得AO AD DO =+ ，代入已知()cos cos 2sin sin B C AB AC m AD DO C B+=+ ，两边与AB 作数量积得到2cos cos 22sin sin B C AB AC AB mAD AB mDO AB C B+⋅=⋅+⋅,再利用正弦定理化简可得cos cos cos sin B C A m C +=，再利用两角和差的余弦公式和三角函数的基本关系式即可得到m ． 【解答】解：如图所示，取AB 的中点D ，连接OA ，OD ，由三角形外接圆的性质可得OD AB ⊥，0DO AB ⋅=∴． AO AD DO =+ ∵，代入已知()cos cos 22sin sin B C AB AC mAO m AD DO C B+==+ ，两边与AB 作数量积得到2cos cos 22sin sin B C AB AC AB mAD AB mDO AB C B+⋅=⋅+⋅ ，222cos cos 1cos 2sin sin 2B C c bc A m c mc C B +⋅=⋅=∴. 由正弦定理可得：22cos cos sin sin sin cos sin sin sin B CC B C A m C C B⋅+⋅=，化为cos cos cos sin B C A m C +=，()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+∵，sin sin sin A C m C =∴， sin m A =∴．tanA =∵sin A =∴．【点评】本题综合考查了三角形外接圆的性质、垂径定理、正弦定理、数量积运算性质、两角和差的余弦公式、三角函数基本关系式等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17.设数列{}n a 满足：()*123232n n a a a na n ++++=∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n n b n a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【考点】数列递推式；数列的求和． 【专题】计算题． 【分析】（1）根据题意，可得()112312312n n a a a n a --++++-= ，两者相减，可得数列{}n a 的通项公式．（2）根据题意，求出n b 的通项公式，继而求出数列{}n b 的前n 项和n S ． 【解答】解：（1）123232n n a a a na ++++= ∵①，2n ∴≥时，()112312312n n a a a n a --++++-= ②①﹣②得12n n na -=，()122n n a n n-=≥，在①中令1n =得12a =，()()12122n n n a n n-⎧=⎪=⎨⎪⎩∴≥（2）()()12122n n n b n n -=⎧⎪=⎨⋅⎪⎩∵≥． 则当1n =时，12S =∴当2n ≥时，21222322n n S n -=+⨯+⨯++⨯则()231242232122n n n S n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅相减得()()()231222221222n n n n S n n n -=⋅-++++=-+ ≥ 又12S =，符合n S 的形式，()()*122n n S n n =-⋅+∈N ∴【点评】此题主要考查数列通项公式的求解和相关计算．18.为了解甲乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法，从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量（单位：mg ）下表是乙厂的5件产品测量数据98件，求乙厂生产的产品数量；②当产品中微量元素x ，y 满足175x ≥，75y ≥时，该产品为优质品，试估计乙厂生产的优质品的数量；③从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，求抽取的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【专题】概率与统计．【分析】①设乙厂生产的产品数量为m 件，由分层抽样的方法可得14598π=，解得m 即可． ②由表格数据可知：只有2号和5号2件产品中微量元素x ，y 满足175x ≥，75y ≥．估计乙厂生产的优质品的数量=2355⨯件．③从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，共有35C 种方法；抽取的3件产品中优质品数ξ可能为0，1，2．利用超几何分布即可得出．【解答】解：①设乙厂生产的产品数量为m 件，由分层抽样的方法可得14598π=，解得35m =．②由表格数据可知：只有2号和5号2件产品中微量元素x ，y 满足175x ≥，75y ≥．估计乙厂生产的优质品的数量=235145⨯=件．③从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，共有35C 种方法；抽取的3件产品中优质品数ξ可能为0，1，2．()3335C 10C 10P ξ===，()213235C C 31C 5P ξ===，()123235C C 32C 10P ξ===．可得ξ的分布列为：∴数学期望163012 1.2101010E ξ=⨯+⨯+⨯=．【点评】本题综合考查了分层抽样方法、利用概率估计产品数量、超几何分布列及其数学期望等基础知识与基本技能方法，属于中档题．19.如图：三棱柱111A B C ABC -，1A A AC ⊥，1A A AB ⊥，1AB AC ==，12A B =，E 是1A B 的中点．（Ⅰ）若BC ACE ⊥平面1A AB ； （Ⅱ）若120CAB ∠=︒，求二面角1A AE C --的余弦值．C 1B 1A 1EC B A【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题． 【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用． 【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出CA AB ⊥，1A A AC ⊥，由此得到CA ⊥平面1A AB ，从而能够证明平面ACE ⊥平面1A AB ．（Ⅱ）以A 为原点，AB 为y 轴正方向，过A 且垂直于AB 做x 轴，正向1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角1A AE C --的平面角的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）ABC △中，1AB AC ==∵，BC CA AB ∴⊥， 1A A AC ∵⊥，1A A AB ⊥，AB AC A = ， 1A A ∴⊥平面ABC ，AC ⊂∵平面ABC ，1A A AC ∴⊥， 1AB A A A = ∵，CA ∴⊥平面1A AB ，CA ⊂∵平面EAC ，∴平面ACE ⊥平面1A AB ．（Ⅱ）以A 为原点，AB 为y 轴正方向，过A 且垂直于AB 做x 轴，正向1AA 为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -，1AB AC ==∵，12A B =，E 是1A B 的中点，120CAB ∠=︒，(10,0,A ∴，1,02C ⎫-⎪⎪⎝⎭，()0,1,0B，10,,2E ⎛ ⎝⎭，1,02AC ⎫=-⎪⎪⎝⎭ ∴，10,,2AE ⎛= ⎝⎭， 设平面ACE 的法向量(),,n x y z =，则0n AC ⋅= ，0n AE ⋅= ，102102y y -=⎨⎪+=⎪⎩∴，()1,1n =- ∴， 设二面角1A AE C --的平面角为θ，∵平面1A AB 的一个法向量是()11,0,0n =，1cos cos ,n n θ=== ∴．∴二面角1A AE C --【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20.已知圆()()()22210x a y r r r -++-=>过点()0,1F ，圆心M 的轨迹为C ．（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设P 为直线:20l x y --=上的点，过点P 做曲线C 的两条切线PA 、PB ，当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（Ⅲ）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（Ⅰ）先求出a ，r 的关系，再求出圆心坐标，消去参数，可得轨迹C 的方程；（Ⅱ）求出切线PA ，PB 的方程，利用切线PA ，PB 均过()00,P x y ，可得A ，B 的坐标是方程00220x x y y --=的两组解，从而可求直线AB 的方程；（Ⅲ）由抛物线定义可知11AF y =+，21BF y =+，表示出AF BF ⋅，利用配方法可求AF BF ⋅的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设(),C x y ，则圆()()()22210x a y r r r -++-=>过点()0,1F ，()()222011a r r ∴-++-=，a ∴=x a = ，1y r =-，x ∴=1y r =-，24x y ∴=；（Ⅱ）抛物线方程可化为214y x =，求导得1'2y x =．设()11,A x y ，()22,B x y ，则切线PA ，PB 的斜率分别为112x ,212x ，PA ∴的方程为()1112xy y x x -=-，即11220x x y y --=．同理PB 的方程为22220x x y y --=， 切线PA ，PB 均过()00,P x y ， 1001220x x y y ∴--=，2002220x x y y --=()11,x y ∴，()22,x y 为方程00220x x y y --=的两组解，∴直线AB 的方程为00220x x y y --=；（Ⅲ）由抛物线定义可知11AF y =+，21BF y =+，()()()121212111AF BF y y y y y y ∴⋅=++=+++212002y y x y +=- ,2120y y y =， 2200021AF BF y x y ∴⋅=+-+．点P 在直线l 上， 002x y ∴=+，2222000001921225222AF BF y x y y y y ⎛⎫∴⋅=+-+=++=++ ⎪⎝⎭,∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值，最小值为92．【点评】本题考查轨迹方程，考查抛物线的切线方程，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于难题．21.已知函数()ln f x x x =；（Ⅰ）函数()()g x ax f x =-+在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上不单调，求a 的取值范围； （Ⅱ）若k ∈Z ，且()()10f x x k x +-->对任意1x >恒成立，求k 的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性． 【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导函数，函数()()g x ax f x =-+在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上不单调，可得()()2'110'e 30g a g a ⎧=-+<⎪⎨=-+>⎪⎩，即可求a 的取值范围；（Ⅱ）把函数()f x 的解析式代入()()10f x x k x +-->，整理后得ln 1x x xk x +<-，问题转化为对任意()1,x ∈+∞，ln 1x x x k x +<-恒成立，求正整数k 的值．设函数()ln 1x x xh x x +=-，求其导函数，得到其导函数的零点0x 位于()3,4内，且知此零点为函数()h x 的最小值点，经求解知()00h x x =，从而得到0k x <，则正整数k 的最大值可求【解答】解：（Ⅰ）由于函数()()()'''1ln g x ax f x a x =-+=-++, 其定义域为()0,+∞因为函数()()g x ax f x =-+在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上不单调，所以()()2'110'e 30g a g a ⎧=-+<⎪⎨=-+>⎪⎩， 所以13a <<； （Ⅱ））因为()ln f x x x =，所以()()10f x x k x +-->对任意1x >恒成立，即()1ln k x x x x -<+，因为1x >，也就是ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立． 令()ln 1x x xh x x +=-，则()()2ln 2'1x x h x x --=-， 令()()ln 21x x x x φ=-->，则()1'0x x xφ-=>， 所以函数()x φ在()1,+∞上单调递增．因为()31ln30φ=-<，()422ln20φ=->，所以方程()0x φ=在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈． 当01x x <<时，()0x φ<，即()'0h x <，当0x x >时，()0x φ>，即()'0h x >， 所以函数()ln 1x x xh x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增． 所以()()()00min3,4h x h x x ==∈⎡⎤⎣⎦．所以()0min k h x x <=⎡⎤⎣⎦因为()03,4x ∈，故整数k 的最大值是3．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调区间，考查了数学转化思想，解答此题的关键是，在求解（Ⅱ）时如何求解函数()h x 的最小值，学生思考起来有一定难度．五、选做题（22-24题选做一题）22.如图：AB 是O 的直径，G 是AB 延长线上的一点，GCD 是O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作O 的切线，切点为H ． （Ⅰ）求证：C ，D ，E ，F 四点共圆； （Ⅱ）若6GH =，4GE =，求EF 的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段． 【专题】直线与圆． 【分析】（1）连接DB ，利用AB 是O 的直径，可得90ADB ∠=︒，在Rt ABD △和Rt AFG △中，ABD AFE ∠=∠，又同弧所对的圆周角相等可得ACD ABD ∠=∠，进而得到ACD AFE ∠=∠即可证明四点共圆；（2）由C ，D ，E ，F 四点共圆，利用共线定理可得GE GF GC GD ⋅=⋅．由GH 是O 的切线，利用切割线定理可得2GH GC GD =⋅，进而得到2GH GE GF =⋅．即可 【解答】证明：（1）连接DB ，AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒， 在Rt ABD △和Rt AFG △中，ABD AFE ∠=∠， 又ABD ACD ∠=∠ ，ACD AFE ∴∠=∠． C ∴，D ，E ，F 四点共圆；（2）C ，D ，E ，F 四点共圆，GE GF GC GD ∴⋅=⋅． GH 是O 的切线，2GH GC GD ∴=⋅，2GH GE GF ∴=⋅． 又因为6GH =，4GE =，所以9GF =． 945EF GF GE ∴=-=-=．【点评】熟练掌握圆的切线的性质、同弧所对的圆周角相等、四点共圆的判定方法、切割线定理、割线定理等是解题的关键．23.极坐标系中，圆C 方程2sinρθθ=-，)2πA，以极点作为直角坐标系的原点，极轴作为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位． （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的标准方程；（Ⅱ）设P 为圆C 上的任意一点，圆心C 为线段AB 中点，求PA PB ⋅的最大值．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；三角函数的最值；圆的标准方程；直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；直线与圆． 【分析】（Ⅰ）直接根据222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=得到圆的直角坐标方程；（Ⅱ）先分别求出A ，B 的直角坐标，然后利用余弦定理表示出PA 与PB ，最后根据三角函数的有界性可求出PA PB ⋅的最大值．【解答】解：（Ⅰ）2sin ρθθ=- ，cos 2sin ρθρθ∴=-则222x y y +=-，即圆C 在直角坐标系中的标准方程为(()2214x y++=； （Ⅱ）)2πA的直角坐标为)0，圆C 的圆心坐标为)1-，圆心C 为线段AB 中点， ∴点B 的坐标为)2-，1AB BC ==，设ACP θ∠=，而2PC=，则PA =同理PB5PA PB ∴⋅, 当且仅当cos 0θ=时取等号， PA PB ∴⋅的最大值为5．θC A PB【点评】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及最值的研究，同时考查了运算求解的能力和分析问题的能力，属于中档题． 24.已知函数()212f x x x a =-+-． （Ⅰ）当1a =时，求()3f x ≤的解集；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，()3f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题． 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当1a =时，由()3f x ≤，可得①121223x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-⎩≤，或②1222123x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-⎩≤≤，或③22123x x x ⎧⎨-+-⎩≥≤．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，()3f x ≤恒成立，即232142x a x x ---=-≤，化简得3424x a x --≤≤．再根据34x -的最大值为2，4x -的最小值2，可得22a =，从而得到a 的范围． 【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，由()3f x ≤，可得2123x x -+-≤，∴①121223x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-⎩≤，或②1222123x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-⎩≤≤，或③22123x x x ⎧⎨-+-⎩≥≤． 解①求得102x <≤；解②求得122x <≤；解③求得2x =．综上可得，02x ≤≤，即不等式的解集为[]0,2． （Ⅱ） 当[]1,2x ∈时，()3f x ≤恒成立， 即232142x a x x ---=-≤，故24242x a x x ---≤≤，即3424x x a x --≤≤．再根据34x -的最大值为642-=，4x -的最小值为422-=， 22a ∴=，1a ∴=， 即a 的范围为{}1．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。

生物参考答案：1.D2.D3.A4.C5.C6.B29．（8分，每空1分）（1）温度光照强度（2）C3、C5、（CH2O）（3）25℃大于（4）D（5）光能→活跃的化学能→稳定的化学能从叶绿体基质转移到类囊体薄膜30．（8分，每空1分）（1）C H O N 色氨酸（2）伸长速率（回答伸长长度不给分）（3）长（4）下降H+主动运输（5）细胞壁31．（12分，除特殊说明每空2分）（1）（2）AABbdd AaBBdd（3）紫色：红色：白色=6:3:7 或紫色：白色=9:7（4）否（1分）两者之间存在生殖隔离（1分）32.（11分，除特殊说明每空1分）（1）生态系统的组成成分（2）呼吸作用释放的能量正能量流动具有逐级递减性（3）110 2.5（2分） 44M （2分）(4)自我调节反馈（正反馈）（写负反馈不得分）39.（ 15分，除特殊说明每空2分）(1)倒平板碳源（1分）适宜的pH(或碱性环境) （没有适宜或没有碱性不给分）(2)高压蒸汽灭菌(3)显微镜直接计数(稀释涂布平板) 偏大(偏小)(4)固定化细胞包埋法40. （ 15分，除特殊说明每空2分）（1）牛卵细胞细胞质中的线粒体（2）细胞分裂（3）具有发育的全能性（或可以分化为成年动物的任何一种组织细胞）饲养层（4）胚胎分割无性繁殖体外受精胚胎移植（1分）答案解析参考答案：1.D 2.D 3.A 4.C 5.C 6.B1. D【解析】虽然原核细胞和真核细胞均有核糖体，但是光学显微镜下观察不到核糖体A错；蛔虫细胞和绿藻细胞中共有的无膜结构是核糖体和中心体B错；发菜是原核生物，不含内质网C错；合成蛋白质时，多个核糖体串联在一条mRNA分子上，形成似念珠状结构，这样，一条mRNA就可以在几乎同一时间被多个核糖体利用，同时合成多条肽链，D对。

2.D 【解析】探究温度对淀粉酶活性影响的实验中，自变量是温度，而斐林试剂需要水浴加热，因此不能作为检测试剂，A错误。

河南省开封市2014届高三第一次模拟考试数学（理科）试题第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}{}1|lg(2),|2,x A x R y x B y R y x A -=∈=-=∈=∈，则A .R B.(][),02,-∞+∞ C.[)2,+∞ D.(],0-∞2．复数5)z i i i -+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为A ．2- i B.2+i C.4- i D.4+i3．直线224x my m +=-与直线22mx y m +=-垂直的充要条件是A.m=2B.m=-2 C ．m=0D.m ∈R4．一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐 标系O-xyz 中的坐标分别是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)则第五个顶点的坐标可能为A.(1，1，1)B.(1，1)C ．(1，1)D.(2，2)5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=A ．12-B ．12C ．-1D ．1 6．阅读如下程序框图，如果输出i =4，那么空白的判断框中应填人的条件是A. S<10?B. S<12?C. S<14?D. S<16?7．把长为1的铁丝截成三段，则这三段恰好能围成三角形的概率是A ．12 B.1 C ．14 D ．188．半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四个点，且满足0,0AB AC AC AD ⋅=⋅= ,0AD AB ⋅= ,则ABC ACD ADB S S S ∆∆∆++的最大值为A. 64B. 32 C ．16 D ．89．已知函数()sin 2cos cos 2sin ,()f x x x x R ϕϕ=+∈，(z ∈R)其中ϕ为实数，且2()()9f x f π≤对任意实数R 恒成立，记257(),(),()366p f q f r f πππ===，则p 、q 、.r 的大小关系是A .r<p<q B. q<r<p C. p<q<r D. q<p<r10．从双曲线22221(0,0)x y a b a b+=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -与b-a 的关系为A.MO MT b a ->-B.MO MT b a -<-C ．MO MT b a -=- D.MO MT -与b-a 无关11．等比数列{}n a 中，182,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =--⋅⋅⋅-则'(0)f =A. 122B.92 C ．82 D ．6212.已知函数()f x 定义在R 上，对任意实数x 有(4)()f x f x +=-+，若函数(1)y f x =-的图像关于直线x=1对称，(1)2f -=,则(2013)f =A. 2-+B.2+ C ．2- D ．2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答，第(22)题～第(2/1)题为选考题，考生根据要求做答。

2014年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试题参考答案及评分标准（13） 1- （14）256 （15） y x 22= （16三、解答题 17.解：（Ⅰ）113436111113.812222242242234n n n n n n n n n n n n a a b b a a a a a a a a ++---=-=-=-==---------所以数列{}n b 为首项为111123b a ==-，公差为32的等差数列， ……………………………………4分故1397(1).326n n b n -=+-= ………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由于函数()f x 的周期2T πω=，所以224332T πππω===， ……………………………………8分 又1423[0,],[,][,]23322x x ππππϕϕϕ∈∴+∈+⊂， ……………………………………………………10分所以,223.32πϕππϕ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≤所以5[,].26ππϕ∈ …………………………………………………………………12分 18. 解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC ∆为正三角形.因为M 为BC 的中点，所以ABCDNMPOHSAM BC ⊥.…………………………………………………1分又BC ∥AD ，因此AM AD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，所以PA AM ⊥. ………………3分 而PA AD A ⋂=，所以AM ⊥平面PAD .……………………………………4分 又PD ⊂平面PAD ，所以.AM PD ⊥…………………5分（Ⅱ）解法一：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH 、MH . 由（Ⅰ）可知：AM ⊥平面PAD .则MHA ∠为MH 与平面PAD 所成的角.…………………………………………6分 在Rt MAH ∆中，AM =所以当AH 最短时，MHA ∠最大，…………………………………… 7分即当AH PD ⊥时，MHA ∠最大，此时tan AM MHA AH ∠===因此AH=又2AD =，所以45ADH ∠=，于是2PA =.……………………………8分如图建立空间直角坐标系，则(0,0,2)P ，(0,2,0)D，M，1,0)B -，C ，1,0)2E .则1,1)2N 31(,1)2AN =，(3,0,0)AM =，设AC 的中点为E ，由（1）知BE 就是面PAC 的法向量，33(,0)2EB =-.设平面MAN 的法向量为(,,1)x y =n ，二面角MAN C --的平面角为θ.由0,0.AM AN ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩nn 0,0,2,1,(0,2,1).110.2x y z x y =⇒====++=n ………………………10分cos cos ,EB θ=<>=n二面角M AN C--的余弦值为………………………………………………………………12分 （Ⅱ）解法二：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH 、MH 由（Ⅰ）可知： AM ⊥平面PAD . 则MHA ∠为MH 与平面PAD 所成的角.……………………………………………………………6分在Rt MAH ∆中，AM= 所以当AH最短时，MHA∠最大，……………………………………………………………………7分即当AHPD ⊥时，MHA ∠最大，此时tan AM MHA AH ∠===因此AH =.又2AD =，所以45ADH ∠=，于是2PA =.………………………………8分因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD .……………………………………………………………………………9分过M 作MO AC ⊥于O ，则由面面垂直的性质定理可知：MO ⊥平面PAC ，所以MO AN ⊥，过M 作MS AN ⊥于S ，连接OS ，AN ⊥平面MSO ，所以AN SO ⊥则MSO ∠为二面角M AN C--的平面角. ……………………………………………………………………………………………………10分 在Rt AOM ∆中，3sin30OM AM ==3cos302OA AM == 又N 是PC 的中点，在Rt ASO ∆中，3sin 45SO AO ==又SM ==…………………………………………………………………………11分在Rt MSO ∆中，cos SO MSO SM ==即二面角M AN C--的余弦值为515.…………………………………………………………………12分 19．解:（Ⅰ）由已知条件得.…………………………………………3分即31p=，则.答：p的值为, 即走线路②堵车的概率为5分（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3 …………………………………………………………………………6分,.…………………………………8分ξ的分布列为：……………………10分答：三人中被堵的人数ξ的数学期望为分20.解：（Ⅰ）由已知得b=，12ca=，得2a=所以，椭圆22143x y+=.……………………3分椭圆的右焦点为(1,0)F，此时直线l的方程为y =+由223412.yx y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩解得1280,.5x x ==所以81655=.……………………………………………………6分（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，所以直线l 与x 轴不垂直，即直线的斜率存在. 设直线l的方程为0y kx k k =+≠≠且…………………………………………………7分代入椭圆的方程，化简得2234)0k x ++=（，解得120,x x ==或代入直线l的方程，得12y ==或y所以，D的坐标为…………………………………………………………9分又直线AC的方程为12x+=，因(2,0)B -，2202BD y k x -==+所以直线BD的方程为2).y x =+联立解得2x y k ⎧=⎪⎨⎪=+⎩即(Q k +……………………………………………………10分 而P的坐标为(P所以(OP OQ ⋅=-(404k ⋅+=+=.所以OP OQ⋅为定值4. …………………………………………………………………………………12分21.解：（Ⅰ）由于函数()xf x e =为R 上的增函数，若()f x 在[,]a b 上的值域为[,]ka kb ，则必有(),(),f a ka f b kb ==所以,a b 为方程()f x kx =的两个不等根，……………………………………1分令()()()x v x f x kx e kx k *=-=-∈N ，则()x v x e k '=-，由()0xv x e k '=->知ln x k >，由()0xv x e k '=-<知0ln x k <<，所以函数()v x 在区间(,ln )k -∞单调递减，在区间(ln ,)k +∞上单调递增，所以()(ln )v x v k ≥，………………………………………………………………………3分由于()v x 在R 上有两个零点，所以ln (ln )ln (1ln )0kv k ek k k k =-=-<.所以k e >，又k 为正整数，所以k的最小值为3. ……………………………………………5分 （Ⅱ）由题意知函数()g x 的定义域为(0,)+∞，2222(1)(2)()2m mx x m x mx m g x mx x x x++---++'=-+==， 由于0,0x m >≥，所以20mx m x++>，由()0g x '>知函数()g x 在区间(1,)+∞上单调递增； 由()0g x '<知函数()g x 在区间(0,1)上单调递减. …………………………………………………7分由于函数()g x 存在“和谐2区间” [,]a b ，若[,](0,1]a b ⊂，则()2,()2.g a b g b a =⎧⎨=⎩即22()(2)ln 22,2()(2)ln 22.2m g a a m a a b m g b b m b b a ⎧=-++=⎪⎪⎨⎪=-++=⎪⎩两式相加得22(2)ln (2)ln 022m m a b m a m b +-+-+=， 由于[,](0,1]a b ⊂及m ≥,易知上式不成立. …………………………………………………8分若[,][1,)a b ⊂+∞，由()g x 在区间[1,)+∞上单调递增知，,a b 为方程()2f x x =的两个不等根，令2()()2(2)ln 2m h x f x x x m x =-=-+，则22(2)().m mx m h x mx x x +-+'=-=若0m =，则()2ln h x x =-在[1,)+∞单调递减，不可能有两个不同零点；……………………10分若0m >，2(2)()0mx m h x x-+'=>知，()h x在)+∞上单调递增；同样，由()0h x '<知，()h x在上单调递减. 函数2()(2)ln 2m h x x m x =-+在[1,)+∞上有两个不同零点，又(1)02mh =>，故有2(2)ln 02m m h m m +=⋅-+<，解之得20.1m e <<- 综上，所求实数m的取值范围为20.1m e <<-…………………………………………………12分 22.解：（Ⅰ）如图，连接OC ，∵OA OB = ，CA CB =，∴OC AB ⊥，∴AB是⊙O的切线. ………………………………4分 （Ⅱ）∵ ED 是直径，∴90ECD ∠=，Rt BCD ∆中，1tan 2CED ∠=, 1.2CD EC ∴=∵AB 是⊙O 的切线， ∴BCD E ∠=∠.又 ∵CBD EBC ∠=∠ ∴CBD ∆∽EBC ∆, ∴BD BC =CD EC =12. 设BD x =,2BC x =，又2BCBD BE =⋅， ∴ 2(2)x =x ·(12)x +.解得：120,4x x ==, ∵0BD x => , ∴4BD = .∴4610OA OB BD OD ==+=+=.…………………………………………………………6分23．解：（Ⅰ） 由2sin cos (0)a a ρθθ=>得22sin cos (0)a a ρθρθ=>,BC∴曲线C的直角坐标方程为2(0)y ax a =>.…………………………………………………………2分直线l的普通方程为2y x =-.…………………………………………………………………………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程2(0)y ax a =>中，得28)4(8)0t a t a +++=, 设A B 、两点对应的参数分别为12t t ,, 则有112(8),4(8)t t a t t a ++⋅=+.………………………………………………………………6分∵2PA PB AB ⋅=, ∴21212()t t t t -=⋅, 即21212()5t t t t +=⋅.………………………………………………………………8分∴22)]20(8),340a a a a +=+++-=. 解之得：2a =或8a =- (舍去),∴a的值为2.……………………………………………………10分24．解：（Ⅰ）当3a =时，()46f x x +≥可化为236x x --+≥，236x x --+≥或236x x --≤. 由此可得3x ≥或3x -≤.故不等式()46f x x +≥的解集为{33}x x x -≥或≤.………………………………………………5分（Ⅱ）法一：（从去绝对值的角度考虑）由()0f x ≤,得25x a x --≤,此不等式化等价于,2250.a x x a x ⎧⎪⎨⎪-+⎩≥≤或,2(2)50.a x x a x ⎧<⎪⎨⎪--+⎩≤解之得,2.7a x a x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≤或,2.3a x a x ⎧<⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤因为0a >,所以不等式组的解集为3a x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤,由题设可得23a-=-,故6a =.……………………10分法二：（从等价转化角度考虑）由()0f x ≤,得25x a x --≤,此不等式化等价于525x x a x --≤≤,即为不等式组52,25.x x a x a x -⎧⎨--⎩≤≤ 解得,3.7a x a x ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤因为0a >,所以不等式组的解集为3a x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤,由题设可得23a-=-,故6a =.……………………10分。

2014年河南省普通高中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数f(x)=2√1−x+lg(3x +1)的定义域是( )A (−13, +∞) B (−13, 1) C (−13, 13) D (−∞, −13) 2. 复数z =2i1−i ，则其共轭复数z ¯=( )A −1−iB −1+iC 1−iD 1+i3. 抛物线y =4x 2的焦点到准线的距离是（ ） A 2 B 4 C 18D 144. 一个几何体的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个几何体的体积为（ ）A 12√3B 36√3C 27√3D 6 5. (√x +2x 2)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A 180B 90C 45D 3606. 设有算法如图所示，如果输入A =144，B =39，则输出的结果是（ ）A 144B 3C 0D 127. 已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 的一个可能的值是（ ） A 52 B 12 C 2 D 32 8. 已知直线l 和双曲线x 29−y 24=1相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M （与坐标原点O 不重合），设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OM 的斜率为k 2，则k 1k 2=( ) A 23 B −23 C −49 D 499. 已知命题p:∃x ∈R ，lnx +x −2＝0，命题q:∀x ∈R ，2x ≥x 2，则下列命题中为真命题的是（ ）A p ∧qB ￢p ∧qC p ∧￢qD ￢p ∧￢q 10. 对于下列命题：①在△ABC 中，若cos2A =cos2B ，则△ABC 为等腰三角形；②△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =2，b =5，A =π6，则△ABC 有两组解； ③设a =sin2014π3，b =cos2014π3，c =tan2014π3，则a <b <c ；④将函数y =2sin(3x +π6)的图象向左平移π6个单位，得到函数y =2cos(3x +π6)的图象． 其中正确命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 311. 四面体ABCD 中，已知AB =CD =√29，AC =BD =√34，AD =BC =√37，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A 25π B 45π C 50π D 100π12. 设f(x)={3−x ,x ≤0f(x −1),x >0 若f(x)＝x +a 有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是（ ）A [1, 2]B (−∞, 2)C [1, +∞)D (−∞, 1)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13. 计算定积分：∫(π20x +sinx)dx =________．14. 已知实数x ，y 满足x 2+y 2−6x −8y +23<0(x >3)，则z =x −y 的取值范围是________．15. 已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足(PB →−PA →)⋅ (PB →+PA →−2PC →)=0，则△ABC 的形状一定为________．16. 已知对应任意的自然数n ，抛物线y =(n 2+n)x 2−(2n +1)x +1与x 轴相交于A ，B 两点，则|A 1B 1|+|A 2B 2|+|A 3B 3|+...+|A 2014B 2014|=________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2A −cos 2B =cos(π6−A)cos(π6+A)．（1）求角B 的值；（2）若b =1，且b <a ，求a +c 的取值范围．18. 某次围棋比赛的决赛阶段实行三番棋决定冠军归属（即三局两胜制，和棋判无效，加赛直至分出胜负）．打入决赛的两名选手甲、乙平时进行过多次对弈，有记录的30局结果如下表：请根据表中的信息（用样本频率估计概率），回答下列问题：（I）如果比赛第一局由掷一枚硬币的方式决定谁先，试求第一局甲获胜的概率；（II）若第一局乙先，此后每局负者先，①求甲以二比一获胜的概率；②该次比赛设冠军奖金为40万元，亚军奖金为10万元，如果冠军“零封”对手（即2:0夺冠）则另加5万元．求甲队员参加此次决赛获得奖金数X的分布列和数学期望．19. 如图，四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=DB．CD，∠DCB=120∘．点E在BD上，且DE=13（1）求证：AB⊥CE；（2）若AC=CE，求二面角A−CD−B的余弦值．20. 已知点F是椭圆C的右焦点，A，B是椭圆短轴的两个端点，且△ABF是正三角形，(Ⅰ)求椭圆C的离心率；(Ⅱ)直线l与以AB为直径的圆O相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2√3，求椭圆C的标准方程．ax3(a∈R)，f(x)=g′(x)+(a−1)x21. 已知函数g(x)=xlnx−x−16（1）当a=2时，求函数f(x)的单调递增区间；−（2）对于函数F(x)定义域内的两个自变量的值x1，x2(x1<x2)，若F(x1)−F(x2)x1−x2F′(x1+x2)=0，则我们把有序数对(x1, x2)叫做函数F(x)的“零点对”．试问，函数f(x)是否2存在这样的“零点对”？如果存在，请你求出其中一个；如果不存在，请说明理由．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号.选修4-1：【几何证明选讲】22. 如图，在⊙O的直径AB的延长线上任取一点C，过点C引直线与⊙O交于点D、E，在⊙O上再取一点F，使AÊ=AF̂．（1）求证：E、D、G、O四点共圆；（2）如果CB=OB，试求CB的值．CG【选修4-4；坐标系与参数方程】23. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα（t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴）中，曲线C 的方程为sinθ=ρ2−2ρ．（1）判断直线l 与曲线C 公共点的个数，并说明理由； （2）当α=π4时，求直线l 与曲线C 公共点的坐标．【选修4-5：不等式选讲】 24. 已知函数f(x)=|32−x|．（1）求不等式f(x)≤52的解集；（2）如果存在x ∈[−2, 4]，使不等式f(x)+f(x +2)≥m 成立，求实数m 的取值范围．2014年河南省普通高中高考数学模拟试卷（理科）答案1. B2. A3. C4. B5. A6. B7. D8. D9. C 10. D 11. C 12. B 13. π28+1 14. (−1−√2, 1) 15. 等腰三角形 16. 2014201517. 解：（1）由已知可得cos 2A −cos 2B =cos(π6−A)cos(π6+A)．=(√32cosA +12sinA)(√32cosA −12sinA)=34cos 2A −14sin 2A ∴ cos 2B =cos 2A −34cos 2A +14sin 2A =14， ∴ cosB =12，B =π3；（2）由正弦定理可得asinA =csinC =bsinB =2√33， ∴ a =2√33sinA ，c =2√33sinC ， ∴ a +c =2√33(sinA +sinC)=2√33[sinA +sin(2π3−A)]=2√33[sinA +√32cosA +12sinA]=2sin(A +π6)，∵ B =π3，C =2π3−A <π2，∴ π6<A <π2，∴ π3<A +π6<2π3，∴ √32<sin(A +π6)≤1， ∴ √3<2sin(A +π6)≤2∴ a +c 的取值范围为(√3, 2]18. 解：(I)根据题中表格信息知：若甲先，则甲获作画的概率是23，乙获胜的概率是13， 若乙先，则甲获胜的概率是35，乙获胜的概率是25，∴ 第一局甲获胜的概率是p 1=12×23+12×35=1930．（II ）①甲以二比一获胜，即甲胜第一、三局或甲胜第二、三局， 概率是P 2=35×25×23+25×23×35=825．②由题意知，X 的所有可能取值为10，40，45， P(X =40)=825， P(X =45)=35×35=925， P(X =10)=1−825−925=825，∴ X 的分布列为：EX =10×825+40×825+45×925=1615=32.2（万元）．∴ 甲队员参加此次决赛获得奖金数的数学期望是32.2万元． 19. （1）证明：△DCB 中，CB =CD ，∠DCB =120∘，∴ ∠CDB =30∘，设DE =a ，∵ DE =13DB ．∴ BD =3a ，解得CD =√3a ，在△CDE 中，由余弦定理，得：CE =√3a 2+a 2−2√3a 2⋅cos30∘=a ， ∴ ∠DCE =30∘，∴ ∠BCE =90∘，∴ EC ⊥BC ， ∵ 平面ABC ⊥平面BCD ，交线为BC ，∴ EC ⊥平面ABC ，∴ EC ⊥AB ．（2）解：取BC 中点O ，BE 中点F ，连结OA ，OF ， ∵ AC =AB ，∴ AO ⊥BC ，∵ 平面ABC ⊥平面BCD ，交线为BC ， ∴ AO ⊥平面BCD ，∵ O 是BC 中点，F 是BE 中点，∴ OF // EC ，由①知，EC ⊥BC ，∴ OF ⊥BC ， 以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系o −xyz ， 设DE =2，得A(0, 0, 1)，B(0, √3, 0)， C(0, −√3, 0)，D(3, −2√3, 0)，∴ AC →=(0,−√3,−1)，CD →=(3,−√3,0)， 设平面ACD 的法向量n 1→=(1, √3, −3)， 又平面BCD 的法向量n 2→=(0, 0, 1)， ∴ cos <n 1→，n 2→>=−3√13=−3√1313， ∴ 二面角A −CD −B 的余弦值为3√1313． 20. （1）设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦距为2c ， ∵ △ABF 是正三角形，∴ a ＝2b ，b =12a ， 又∵ a 2＝b 2+c 2，∴ c =√32a ， ∴ 椭圆的离心率e =ca =√32． （2）由(Ⅰ)知a ＝2b ，∴ 椭圆方程为x 2+4y 2＝4b 2，设直线l 与椭圆C 的交点为M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，若直线l 与x 轴垂直，则弦长|MN|=√3b ，当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y ＝kx +m ，与x 2+4y 2＝4b 2联立，整理，得：(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−b 2)＝0，(∗) 则x 1，x 2是方程(∗)的两个根，∴ {x 1+x 2=−8km1+4k 2x 1x 2=4(m 2−b 2)1+4k2， ∴ |MN|2＝(√1+k 2|x 1−x 2|)2＝(1+k 2)[(−8km 1+4k2)2−4⋅4(m 2−b 2)1+4k 2]=16(1+k 2)(1+4k 2)2(b 2−m 2+4k 2b 2)，① ∵ 直线l 与圆O 相切，∴ b =√1+k 2，解得m 2＝b 2(1+k 2)， 代入①得|MN|2=16b 2⋅3k 2(1+k 2)(1+4k 2)2≤16⋅(3k 2+1+k 22)2(1+4k 2)2⋅b 2＝4b 2，当且仅当3k 2＝1+k 2，k =±√22时，等号成立． ∴ 此时|MN|max ＝2b ，于是弦长|MN|的最大值为2b ＝2√3，∴ b =√3，a ＝2√3， ∴ 椭圆C 的方程为x 212+y 23=1．21. 解：（1）由已知得，f(x)=lnx −12ax 2+(a −1)x =lnx −x 2+x ， ∴ f′(x)=1x −2x +1=1−2x 2+xx=−(x−1)(2x+1)x，令f′(x)>0，解得−12<x <1，函数的定义域为(0, +∞)， ∴ 函数f(x)的单调递增区间是(0, 1)．（2）∵ f(x)=lnx −12ax 2+(a −1)x ，∴ f′(x)=1x −ax +(a −1)， ∴ f′(x 1+x 22)=1x 1+x 22−a(x 1+x 22)+(a −1)，令M =f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2−f′(x 1+x 22)=[lnx 1−12ax 12+(a −1)x 1]−[lnx 2−12ax 22+(a −1)x 2]x 1−x 2−[1x 1+x 22−a(x 1+x 22)+(a−1)] =lnx 1−lnx 2x 1−x 2−2x1+x 2，由M =0，得lnx 1−lnx 2x 1−x 2=2x1+x 2，即ln x 2x 1=2(x 2−x 1)x 2+x 1=2(x 2x 1−1)x 2x 1+1，设x2x 1=t(t >1)，上式化为：lnt =2(t−1)t+1=2−4t+1，即lnt +4t+1=2，令ℎ(t)=lnt +4t+1−2，ℎ′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2，∵ t >1，显然ℎ′(t)>0， ∴ ℎ(t)在(1, +∞)上递增，∵ ℎ(1)=0，显然ℎ(t)>0恒成立，∴ 在(1, +∞)内部存在t ，使得ℎ(t)=0成立，即不存在这样的x 1，x 2，使M =0， ∴ 函数f(x)不存在这样的“零点对”．22. （1）证明：∵ ∠EDF 的度数等于EAF̂的度数的一半，而AE ̂=AF ̂， ∴ ∠EDF 的度数等于AÊ的度数． ∵ ∠AOF 的度数等于AÊ的度数， ∴ ∠EDF =∠AOE ， ∵ ∠COE 与∠AOE 互补， ∴ ∠COE 与∠EDF 互补， ∴ E 、D 、G 、O 四点共圆；（2）解：由（1）知E 、D 、G 、O 四点共圆， ∴ CE ⋅CD =CO ⋅CG ， ∵ CE ⋅CD =CA ⋅CB ， ∴ CA ⋅CB =CO ⋅CG ， ∵ CB =OB ， ∴CB CG=CO CA=23．23. 解：（1）直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα（t 为参数），消去参数t 可得(x −1)sinα−ycosα=0过定点A(1, 0)；曲线C 的方程为sinθ=ρ2−2ρ的直角坐标方程为x 2+(y −1)2=5，圆心坐标为C(0, 1)，半径为r =√5， ∴ A 在圆C 内，∴ 直线l 与曲线C 有两个不同的公共点；（2）当α=π4时，直线l 的普通方程为x −y −1=0代入x 2+(y −1)2=5，得2x 2−4x −1=0， ∴ x =1±√62， ∴ 直线l 与曲线C 公共点的坐标为(1−√62, −√62)，(1+√62, √62)． 24. 解：（1）不等式f(x)≤52，即|x −32|≤52，即−52≤x −32≤52，求得−1≤x ≤4， 故不等式的解集为[−1, 4]．（2）令g(x)=f(x)+f(x +2)=|x −32|+|x +12|={1−2x,x ≤−122,−12<x ≤322x −1,x >32．由题意可得g(x)在[−2, 4]上的最大值大于或等于m ． 当x ∈[−2, −12]时，g(x)为减函数，故g(x)≤g(−2)=5．4]时，g(x)的最大值为g(4)=7，故g(x)在∈[−2, 4]上的最大值为7，由题意可当x∈[−12得m≤7，即m的范围是(−∞, 7]．。

2014年高考数学理科模拟试卷（附答案）2014年高考模拟数学(理)试卷第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，那么(A)或(B)(C)或(D)2．的展开式中常数项是(A)-160(B)-20(C)20(D)1603．已知平面向量，的夹角为60°，，，则(A)2(B)(C)(D)4．设等差数列的公差≠0，．若是与的等比中项，则(A)3或-1(B)3或1(C)3(D)15．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若，，则；②若//，，则m//；③若，，，则；④若，，，则．其中正确命题的序号是(A)①③(B)①②(C)③④(D)②③6．已知函数若f(2-x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(A)(B)(C)(D)7．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为(A)(B)(C)(D)8．对于定义域和值域均为0，1]的函数f(x)，定义，，…，，n=1，2，3，…．满足的点x∈0，1]称为f的阶周期点．设则f的阶周期点的个数是(A)2n(B)2(2n-1)(C)2n(D)2n2第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=．10．双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为，渐近线方程为．11．已知圆M：x2+y2-2x-4y+1=0，则圆心M到直线（t为参数）的距离为．12．如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB 切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP=．13．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：花期（天）11～1314～1617～1920～22个数20403010则这种卉的平均花期为天．14．将全体正奇数排成一个三角形数阵：135791113151719……按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数，当取最大值时，判断△ABC的形状．16.（本小题共14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA//平面BMQ；（Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅲ）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．17.（本小题共13分）某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为，求的分布列和数学期望．18.（本小题共13分）已知函数，为函数的导函数．（Ⅰ）设函数f(x)的图象与x轴交点为A，曲线y=f(x)在A点处的切线方程是，求的值；（Ⅱ）若函数，求函数的单调区间．19.（本小题共14分）已知点，，动点P满足，记动点P的轨迹为W．（Ⅰ）求W的方程；（Ⅱ）直线与曲线W交于不同的两点C，D，若存在点，使得成立，求实数m的取值范围．20.（本小题共13分）已知，或1，，对于，表示U和V中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令，存在m个，使得，写出m的值；（Ⅱ）令，若，求证：；（Ⅲ）令，若，求所有之和．2014年高考模拟数学(理)试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案BACCDDBC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．10．，11．212．13．16天（15.9天给满分）14．n2-n+5注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2-a2=bc，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA 可得cosA=．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分)……………3分∵0∴．……………………5分（Ⅱ）………………7分，……………………9分∵∴∴（没讨论，扣1分）………10分∴当，即时，有最大值是…………………11分又∵，∴∴△ABC为等边三角形．………………13分16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN．……………………1分∵BC∥AD且BC=AD，即BCAQ．∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，又∵点M是棱PC的中点，∴MN//PA……………………2分∵MN平面MQB，PA平面MQB，…………………3分∴PA//平面MBQ．……………………4分（Ⅱ）∵AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．……………………6分∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面P AD∩平面ABCD=AD，……………………7分∴BQ⊥平面PAD．……………………8分∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…………………9分另证：AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点∴BC//DQ且BC=DQ，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．…………………6分∵PA=PD，∴PQ⊥AD．……………………7分∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．…………………8分∵AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．……………………9分（Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．……………10分（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；，，，．………11分设，则，，∵，∴，∴……………………12分在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为．……………………13分∵二面角M-BQ-C为30°，，∴．……14分17.（本小题共13分）解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C． (1)分则P(A)=，（列式正确，计算错误，扣1分）………3分P(B)（列式正确，计算错误，扣1分）………5分三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．P(C)．…7分（Ⅱ）设摸球的次数为，则．……8分，，，．（各1分）故取球次数的分布列为1234…12分．(约为2.7)…13分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）∵，∴．……………………1分∵在处切线方程为，∴，……………………3分∴，．（各1分）…………………5分（Ⅱ）．．………………7分①当时，，-0+极小值的单调递增区间为，单调递减区间为．………………9分②当时，令，得或……………10分（ⅰ）当，即时，-0+0-极小值极大值的单调递增区间为，单调递减区间为，；……11分（ⅱ）当，即时，，故在单调递减；……12分（ⅲ）当，即时，-0+0-极小值极大值在上单调递增，在，上单调递减………13分综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，．（“综上所述”要求一定要写出来）19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为的椭圆．2分∴，，．……3分W的方程是．…………4分（另解：设坐标1分，列方程1分，得结果2分）（Ⅱ）设C，D两点坐标分别为、，C，D中点为．由得．……6分所以…………7分∴，从而．∴斜率．………9分又∵，∴，∴即…10分当时，；……11分当时，．……13分故所求的取范围是．……14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）；………3分（Ⅱ）证明：令，∵或1，或1；当，时，当，时，当，时，当，时，故∴………8分（Ⅲ）解：易知中共有个元素，分别记为∵的共有个，的共有个．∴==……13分∴=．法二：根据（Ⅰ）知使的共有个∴==两式相加得=（若用其他方法解题，请酌情给分）。