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高三理科数学导数与复数第一轮复习训练题高三数学第一轮复习训练题数学(二十)(理科导数与复数)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数y = (1－sin_)的导数是(A) y=2sin2_-cos_ (B) y=sin2_+2cos_ (C)y=2sin2_-2cos_ (D)y=sin2_-2cos_2.设,则等于A -1 B1 C 0 D 任意实数3.复数等于A．B．C． D．4..函数=,则=A 0B 1 C_ D _5.在复平面内,复数对应的点位于A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限6．曲线在点(1 ,)处切线的倾斜角为A. B. C. D.7．的图象开口向上,且顶点在第二象限,则的图象大概是:8.设是定义在R上的偶函数,当时,,且,则不等式的解集为A．(－1,0)∪(1,+)B．(－1,0)∪(0,1)C．(－,－1)∪(1,+) D．(－,－1)∪(0,1)9.对于R上可导的任意函数f(_),若满足(_－1)_sup3;0,则必有A.f(0)＋f(2)_lt;2f(1)B.f(0)＋f(2)_pound;2f(1)C. f(0)＋f(2)_sup3;2f(1)D.f(0)＋f(2)_gt;2f(1)10.函数的单调减区间是A． B．C．及 D．11.已知A．1+2iB.1-2iC.2+iD.212.已知f＇(0)=2,则=A．4 B．－8 C．0 D．8二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上.13.已知函数在R上可导,函数,则--14.f(_)= 1+3sin _ + 4cos _取得最大值时tan _ =15.设.为实数,且,则+=_________16.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时,且则不等式的解集是三.解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.17.已知,求的值18.设t≠0,点P(t,0)是函数f(_)=_3+a_与g(_)=b_2+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线..(1)用t表示a,b,c;(2)若函数y=f(_)－g(_)在(－1,3)上单调递减,求t的取值范围.19.已知函数,(aR),设曲线在点(1 )处的切线为,若与圆C: 相切,求a的值20.已知函数(1)求函数f (_)的单调区间;(2)求证:__gt; 1时,21.已知函数,求函数在[1,2]上的最大值.22.设函数与数列满足关系:(1) a1._gt;a, 其中a是方程的实根,(2) an+1= ( nN+ ) ,如果的导数满足0_lt;_lt;1(1)证明: an_gt;a (2)试判断an与an+1的大小,并证明结论._－_学年度祁东二中高三第一轮复习训练题数学(二十)(理科导数与复数)参考答案一 DBABD DCACA CD二 13. 0 14. 15. 4 16.三．17．解:=18．解:(1) 由①由已知得:②③联立①②③得:(2)由题意恒成立.由19．解:依题意有:= a, =2a_+ (__lt;2)方程为=0与圆相切=a=20．解1)依题意知函数的定义域为_ _gt; 0. , 所以,当a≤0时,f (_)的单调递增区间为(0,+∞)当时,,令,有;所以函数f (_)的单调递增区间为;令,有所以函数f (_)的单调递减区间为.(2)设时,,所以g (_)在(1,+∞)上是增函数,∴当__gt;1时,21．解:∵,令是减函数,在(0,)上是增函数.(i)当0_lt;_lt;1,即a_gt;2时,f(_)在(1,2)上是减函数, ∴. (ii)当时, ∴ f(_)在(1,)是增函数,在(,2)上是减函数,(ii)当_gt;2时,即0_lt;a_lt;1时,f(_)在(1,2)上是增函数,∴f(_)ma_=f (2)=4e－2a.…综上所述,当0_lt; a _lt;1时,f (_)的最大值为4e－2a,当1≤a≤2时,f (_)的最大值为,当a _gt;2时,f (_)的最大值为e－a22．证明:(1)当n=1时,由题设知a 1_gt; a成立.假设n=k时,a k_gt; a成立(k),由_gt;0知增函数,则,又由已知: =a,于是a k+1_gt; a ,即对n=k+1时也成立,故对任意正整数n, a n_gt; a都成立.解:(2)令则故为增函数则当__gt; a时,有而即由(1)知a n_gt; a ()故对任意正整数n都有a n_gt; a n+1.。
卜人入州八九几市潮王学校2021届高考第一轮数学(理科)单元训练题十六极限、导数与复数本套试卷分第一卷和第二卷两局部，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷〔选择题，一共50分〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一个符合题目要求．〕1、假设复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，那么实数m等于A．1B．－1C．D．2、在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3、函数f(x)=x3＋ax2＋3x－9，f(x)在x=－3时获得极值，那么a等于A．2B．3C．4D．54、，下面结论正确的选项是A．f(x)在x=1处连续B．f(1)=5C．D．5、函数y=xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数？A．B．〔π，2π〕C．D．〔2π，3π〕6、假设数列{a n}满足：，且对任意正整数m，n都有a m＋n=a m·a n，那么等于A．B．C．D．27、假设曲线y=x4的一条切线l与直线x＋4y－8=0垂直，那么l的方程为A．4x－y－3=0B．x＋4y－5=0C．4x－y＋3=0D．x＋4y＋3=08、假设，那么f′(x0)=A．B．C．D．9、设f(x)是定义域为R的奇函数，g(x)是定义域为R的恒大于零的函数，当x>0时，f′(x)g(x)<f(x)g′(x)．假设f(1)=0，那么不等式f(x)>0的解集是A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1，0)∪(0，1)C．(－∞，－1)∪(0，1)D．(－1，0)∪(1，＋∞)10、当n∈N*时，不等式恒成立，那么常数k的取值范围是A．[1，＋∞〕B．[2，＋∞〕C．〔，＋∞〕D．〔e，＋∞〕第II卷〔非选择题，一共100分〕二、填空题〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分．〕11、假设复数z1=a＋2i，z2=3－4i，且为纯虚数，那么实数a的值是_________．12、，那么f′(1)等于_________．13、在数列{a n}中，的值是_________．14、(2x－1)10=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，那么a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10的值是_________．15、函数f(x)=x3＋px2＋qx，其图像与x轴切于非原点的一点，且f(x)的最小值为－4，那么p·q的值是_________．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共75分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．〕16、〔本小题总分值是12分〕曲线，求：〔1〕曲线在点P〔2，4〕处的切线的方程；〔2〕曲线过点P〔2，4〕的切线的方程．17、〔本小题总分值是12分〕函数．(1)求f(x)的最小值；(2)假设a，b均为正实数，求证：lna－lnb≥1－．18、〔本小题总分值是12分〕．(1)求a的值；(2)假设函数在区间[1，e]上存在反函数，求b的取值范围．19、〔本小题总分值是12分〕a≥0，函数f(x)=(x2－2ax)e x．(1)f(x)是否存在最小值？假设存在，恳求出对应的x的值；假设不存在，请说明理由；(2)假设f(x)在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围．20、〔本小题总分值是13分〕从边长为2a的正方形铁片的四角各截去一个边长为x的小正方形，然后将剩余局部折成一个无盖的长方体盒子，其中0<x≤t，t为正常数．〔1〕把铁盒的容积V表示为x的函数；〔2〕当x为何值时，容积V有最大值，并求出这个最大值．21、〔本小题总分值是14分〕函数f(x)=x－sinx，数列{a n}满足0<a1<1，a n＋1=f(a n)，n=1，2，3，…，证明：(1)0<a n＋1<a n<1；(2)．试题答案一、选择题提示：1、(m2＋i)(1＋mi)=m2－m＋(m3＋1)i，那么有m3＋1=0，故m=－1.2、，选C.3、，那么x=－3是方程的根，可得a=5.4、.5、，当时，，应选B.6、令m=1，可得a n＋1=a n a1，故对任意n∈N*恒成立，那么7、，直线l的斜率k=4，令4x3=4，解得x=1，故切点坐标为〔1，1〕，切线l的方程为y－1=4(x －1)，即4x－y－3=0.8、，故.9、令，故当x>0时，，又h(1)=f(1)=0，故当x>1时，h(x)<0，当0<x<1时，h(x)>0，又g(x)>0恒成立，∴当0<x<1时，f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，那么当x<－1时，也有f(x)>0.10、令，可求得，那么对任意x≥1恒成立，故f(x)在上单调递减，要使得恒成立，只需f(1)≤0，解得k≥2.二、填空题答案：11、12、113、14、2015、54提示：11、，那么有.12、，令x=0，解得，再令x=1，得.13、，故.14、令f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，那么，又，令x=1，可得，那么. 15、，设图像与x轴切于点(x0，0)(x0≠0)，那么有，即，相减得，即得，代入，可得，由，解得，代入可得，故只能在处获得最小值，由，联立解得p=6，q=9，故pq=54.16、解：〔1〕∵y′=x2，y′|x=2=4，∴曲线在点P〔2，4〕处的切线的方程为y－4=4〔x－2〕，即4x－y－4=0．〔2〕设切点为〔a，b〕．∵y′=x2，∴y′|x=a=a2，切线方程为y－b=a2(x－a)．∵点P〔2，4〕在切线上，∴4－b=a2〔2－a〕．即(a＋1)(a－2)2=0，∴a=－1，或者a=2．当a=－1时，b=1；当a=2时，b=4．故曲线过点P〔2，4〕的切线的方程为x－y＋2=0，或者4x－y－4=0．17、解：〔1〕，f(x)的定义域为(－1，＋∞)．令f′(x)=0，得x=0．当－1<x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0，故f(x)极小=f(0)=0．又∵f(x)在(－1，＋∞)上为单调函数，∴f(x)min=f(x)极小=f(0)=0．(2)∵f(x)≥0，18、解：(1)令x2＋cx＋2=(x－2)(x－x1)=x2－(2＋x1)x＋2x1，∵f(x)在[1，e]上连续，且存在反函数，∴f(x)在[1，e]上为单调函数，∴f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，或者f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，即b≤2xlnx在[1，e]上恒成立，或者b≥2xlnx在[1，e]上恒成立．∵函数y＝2xlnx在[1，e]上为单调增函数，∴2xlnx∈[0，2e]，∴b∈(－∞，0]∪[2e，＋∞)．19、解：〔1〕f′(x)=(2x－2a)e x＋(x2－2ax)e x=[x2＋2(1－a)x－2a]e x．令f′(x)=0，得x2＋2(1－a)x－2a=0，得．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：x (－∞，x1) x1(x1，x2) x2(x2，＋∞)f′(x)＋0 －0 ＋f(x) 极大值极小值故f(x1)为极大值，f(x2)为极小值．∵x1<－1，≥a－1＋1=a≥0，且f(x)在(x1，x2)上递减，在(x2，＋∞)上递增，所以：当x<0时，f(x)=x(x－2a)e x>0=f(0)>f(x2)；当x≥0时，f(x2)≤f(x)．综上，对任意x∈R，均有f(x)≥f(x2)，故f(x2)为f(x)的最小值，．(2)∵x1<－1，∴f(x)在[－1，1]上为单调函数的充要条件是x2≥1，20、解：〔1〕铁盒子的底面边长为2a－2x，高为x，容积V=(2a－2x)2·x=4x(a－x)2，其中0<x≤t，易知0<t<a．xV′＋0 －V ↗↘21、证明：(1)先用数学归纳法证明：0<a n<1(n∈N*)．①当n=1时，由，结论成立，②假设n=k时结论成立，即0<a k<1．∵当0<x<1时，f′(x)=1－cosx>0，∴f(x)在(0，1)上是增函数，∴f(0)<f(a k)<f(1)，即0<a k＋1<1－sin1<1，∴当n=k＋1时，结论也成立．由①、②知，对任意n∈N*，0<a n<1恒成立．当0<a n<1时，a n＋1－a n=a n－sina n－a n=－sina n<0，∴a n＋1<a n．综上，得0<a n＋1<a n<1．。
高考数学第一轮复习 导数与复数训练题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e2. 复数21(1i)+等于A ．1i 2B ．1i 2-C ．12D ．12-3. .若复数iia 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为A .-6B .13C .32D .134. 已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时 A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<，5. 设复数121212z i z bi z =+=+⋅，，若z 为实数，则b=A ．2B ．1C ．－1D ．－26．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为 A ．3 B ．52 C ．2 D ．327．2()f x ax bx c =++的图象开口向上，且顶点在第二象限，则()y f x '=的图象大概是：B C D8. 若函数1()ax f x e b=-的图象在x=0处的切线l 与圆C ： 221x y 相离，则P(a ，b)与圆C 的位置关系是A ．在圆内B ．在圆外C ．在圆上D ．不能确定9.对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '≥（）0，则必有A.f （0）＋f （2）<2 f （1）B. f （0）＋f （2）≤2 f （1）C. f （0）＋f （2）≥2 f （1）D. f （0）＋f （2）>2 f （1） 10.函数x x x f ln 2)(2-=的单调减区间是 A ．]1,0(B ．),1[∞+C ．]1,(--∞及]1,0(D ．]1,0()0,1[及-11. 设2:()e ln 21xp f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件12. 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能准确的是二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。
极限、导数与复数单元训练题（理）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、1＋i＋i2＋i3＋…＋i2006的值是（）A．0B．1C．－1D．i2、函数f(x)=ax3＋x＋1有极大值的充要条件是（）A．a>0B．a≥0C．a<0D．a≤03、设函数，在点x=3处连续，则a等于（）A．B．C．D．－4、在复平面内，设向量p1=(x1,y1),p2=(x2,y2),又设复数z1=x1＋y1i;z2=x2＋y2i (x1, x2, y1, y2∈R)，则p1·p2等于（）A．B．C．D．5、用数学归纳法证明不等式成立，则n的第一个值应取（）A．7B．8C．9D．106、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x) >0，且g(－3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（）A．(－3,0)∪(3,＋∞)B．(－3,0)∪(0，3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0，3)7、数列{a n}中，a1=,,n∈N*，则的值等于（）A．B．C．D．8、在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么，向量对应的复数是（）A．1B．－1C．D．－9、已知f(x)=x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于（）A．0B．－4C．－2D．210、如果复数z满足|z＋1|=|z－i|，那么|z＋i|的最小值是（）A．B．C．1D．11、设f(x)为可导函数，且满足，则过曲线y=f(x)上的点(1，f(1))处的斜率为（）A．2B．－1C．1D．－212、如图，仔细读图，完成以下（1）～（4）的命题判断（）（1）在点x=a处没有定义但极限存在的是____________；（2）在点x=a处有定义，有极限，但不连续的是_________；（3）的是_____________；（4）在点x=a处没有极限的是_____________．A．（1）①（2）②（3）③（4）④B．（1）③（2）②（3）①（4）④C．（1）④（2）①（3）②（4）③D．（1）②（2）④（3）③（4）①第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。
高三数学同步测试—导数与复数说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟.第I 卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（05年高考天津卷）若复数iia 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．－2B ．4C ．－6D ．6 2．设曲线2x y =在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，9）B ．（－3，9）C ．（49,23） D ．（49,23-） 3．已知)32(33i z i -=-，那么复数z 在复平面内对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．函数0)(x x x f =在处连续是0)(x x x f =在处可导的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件5．若（m +i ）3为实数，则正实数m 的值为（ ）A ．1+23B ．33 C ．3D ．23 6．已知二函数344,3x y a x y =+=，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切斜线率为（ ）A ．0B ．12C ．0或12D ．4或17．设复数,|sin ||cos |i z θθ+=，则函数z z f ⋅=)(θ的性质适合 （ ） A ．最小正周期为1,2π值域为]2,1[B ．最小正周期为π，值域为]2,1[C ．最小正周期为1,2π值域为2,0[]D ．最小正周期为π，值域为]2,0[8．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为t t t t s 873741234-+-=，那么速度为零的时刻是 （ ）A ．1秒末B ．2秒末C ．2，4秒末D ．1，2，4秒末 9．（05年高考辽宁卷）复数.111-++-=ii z 在复平面内，z 所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为（ ）A ．[a 1,0] B ．]21,0[aC ．|]2|,0[ab D ．|]21|,0[ab - 11．若二次函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间[－1，1]内至少存在一点C （c ，0），使0)(>c f ，则实数p 的取值范围是 （ ）A ．233<<-pB ．3-≤pC 121<<-p ．D ．213-<<-p 或231<<p12．已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．21<<-aB ．63<<-aC ．21>-<a a 或D ．63>-<a a 或第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．（05年全国卷3）已知复数00032,3,z i z z z z z =++=+复数满足z =则复数 .14．如果曲线03223x x x y x y =-=+=在与处的切线互相垂直，则x 0的值为 .15．集合N M C z i z i z Z N C z x z M 则},|,||||{},1|1||{∈-=+=∈=-=是 .16．已知函数⎩⎨⎧≥+<+=)0(2sin )0(1)(x xb x e x f ax 在R 上可导，则a = ，b= .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分12分） 已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.18．（本小题满分12分）设132<<a ，函数)11(23)(23≤≤-+-=x b ax x x f 的最大值为1，最小值为26-，求常数a 、b 的值. 19．（本题满分12分）设z 为复数，在复平面上已知曲线C 1、C 2、C 3且C 1满足32|1||1|=++-z z ，C 2满足,2||=z C 3满足|,23||21|-=+z z C 1与C 3的两个公共点为A 、B ，分别过A 、B 作x 轴的平行线交C 2于M 、N 两点，OM 、ON 的倾角分别为α、β，（O 为原点），求cos(α+β)的值.20．（本小题满分12分）已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线33+-=x y 在点（1，0）处相切，求a 、b 、c 的值.21．（本小题满分12分）已知c bx ax x x f +++=23)(有极大值)(αf 和极小值)(βf . （1）求)(αf +)(βf 的值；（2）设曲线)(x f y =的极值点为A 、B ，求证：线段AB 的中点在)(x f y =上.22．（05年全国卷3，本小题满分14分）已知函数].1,0[,274)(2∈--=x xx x f （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和值域；（Ⅱ）设1≥a ，函数],1,0[],1,0[].1,0[,23)(0123∈∈∈--=x x x a x a x x g 总存在若对于任意使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围.高三数学同步测试⑶参考答案13．i 231-； 14．6363； 15．{0，2}； 16．a =2，b=2.三、解答题 17．解：.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(|)sin (cos cos sin 1|||2222221θθθθθθθθθθθ+=+=-++=-++=⋅i z z故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. …………12分 18．解：)(333)(2a x x ax x x f -=-='与f (1)的大小. …………6分∵0123)1()0(>-=--a f f ，∴f (x )的最大值为f (0)=b=1，0)2()1(21)23(21)()1(23<-+=--=--a a a a a f f ， ∴f (x )的最小值为f (－1).即2623123-=-=+--a b a ，∴36=a ，b=1. …………12分19．解：C 1为椭圆：.023:;2,;123322222=-+=+=+y x C y x C y x 为直线为圆设)sin 2,cos 3(),sin 2,cos 3(ββααB A 把A 、B 两点的坐标代入直线C 3的方程中，得 02sin 23cos 3=-⋅+αα①.02sin 23cos 3=-⋅+ββ② …………6分①—②得02sin2cos262sin2sin320)sin (sin 23)cos (cos 3=-++-+-=-+-βαβαβαβαβαβα即221tan 1652tancos().21671tan 2αβαβαβαβ+-+-∴+===-+++故有 …………12分20．解：由曲线)(x f y =过（1，0）得01=+++c b a ①又ax x x f 23)(2+='+b 则0412)2(=+-=-'b a f ②…………9分323)1(-=++='b a f ③ ……9分. 解①②③得6,8,1=-==c b a . ……12分.21．解：（1）b ax x x f ++='23)(2，由于)(x f 有极大值和极小值，α∴、0232=++b ax x 为β的两根，则=+++++++=+∴=-=+)()()()(,3,322323c b a c b a f f ba βββαααβααββα+-+++-+=++++++]2)[()](3)[(2)()()(232233αββαβααββαβαβαβαa c b ac ab a c a b b a a a b a c b 2322742)32()]3(2)32[()]32(33)32[(2)(323+-=+-+⋅--+-⋅⋅--=++βα…7分 （2）设=++⋅++⋅++=+c b a f f B f A 2)2()2()2(),(,()),(,(33βαβαβαβαββαα由)]()([2131272)3()3()3(323βαf f c ab a c a b a a a +=+-=+-⋅+-⋅+- 知AB 的中点在)(x f y =上 …………12分22．解：（I ）对函数)(x f 求导，得222)2()72)(12()2(7164)(x x x x x x x f ----=--+-=' 令0)(='x f 解得.71==x x 或当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：所以，当)2,0(∈x 时，)(x f 是减函数；当)1,2(∈x 时，)(x f 是增函数.当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为[－4，－3].（II ）对函数)(x g 求导，得).(3)(22a x x g -='因为1≥a ，当)1,0(∈x 时，.0)1(3)(2≤-<'a x g因此当)1,0(∈x 时，)(x g 为减函数，从而当]1,0[∈x 时有)].0(),1([)(g g x g ∈ 又,2)0(,321)1(2a g a a g -=--=即]1,0[∈x 时有].2,321[)(2a a a x g ---∈ 任给]1,0[1∈x ，]3,4[)(1--∈x f ，存在]1,0[0∈x 使得)()(10x f x g =，则].3,4[]2,321[2--⊃---a a 即⎩⎨⎧-≥--≤--.32,43212a a a解①式得 351-≤≥a a 或；解②式得.23≤a又1≥a ，故a 的取值范围为.231≤≤a①②。
2019高考数学一轮复习导数单元专项练习题(含参考答案)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内(本大题共12个小题，每小题5分，共60分).1.(理)设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 ( )A.ad-bc=0B.ac-bd=0C.ac+bd=0D.ad+bc=0(文)曲线在点(-1，-3)处的切线方程是 ( )A. B. C. D.2.函数，已知在时取得极值，则 = ( )A.2B.3C.4D.53.(理)复数z在复平面内对应的点为A, 将点A绕坐标原点, 按逆时针方向旋转 , 再向左平移一个单位, 向下平移一个单位, 得到B点, 此时点B与点A恰好关于坐标原点对称, 则复数z为 ( )A.-1B.1C.iD.- i(文)如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则的表达式为 ( )A. B. C. D.4.(理)复数等于 ( )A. B. C. D.(文)函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 ( )A.5 , -15B.5 , 4C.-4 , -15D.5 , -165.设f0(x)=sinx，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…，fn+1(x)=fn′(x)，n∈N，则f2019(x)=( )A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx6.(理)若复数(a∈R，i为虚数单位位)是纯虚数，则实数a的值为A.-2B.4C.-6D.6(文)函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点 ( )A.1个B.2个C.3个D. 4个7.函数y=f(x) 的图象过原点且它的导函数y=f′(x)的图象是如图所示的一条直线，y=f(x)的图象的顶点在 ( )A.第I象限B.第II象限C.第Ⅲ象限D.第IV象限8.(理)若复数满足方程，则 ( )A. B. C. D.(文)下列式子中与相等的是 ( )(1) ; (2) ;(3) (4) .A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)(4)9.(理)设z1, z2是非零复数满足z12+ z1z2+ z22=0, 则( )2+( )的值是 ( )A.-1B.1C.-2D.2(文)对于上的任意函数，若满足，则必有 ( )A. B.C. D.10.设函数的图象上的点处的切线的斜率为，若，则函数的图象大致为 ( )A. B. C. D.11.设，当时取得极大值，当时取得极小值，则的取值范围为 ( )A. B. C. D.12.(理)若，令，则的值(其中 )( )A.1B.C.D.(文)用长度分别为2、3、4、5、6(单位： )的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为 ( )A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)。
2023届高考数学一轮难题复习复数典型解答题1．复数的相关概念及运算法则(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类①z 是实数⇔b ＝0；②z 是虚数⇔b ≠0；③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.(2)共轭复数复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数z ＝a －b i.(3)复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2.(4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )．(5)复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(其中a ，b ，c ，d ∈R )2．复数的几个常见结论(1)(1±i)2＝±2i.(2)1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i.(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z )．3．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos θ＋isin θ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ →所在射线(射线OZ )为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ．r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式．a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．特别提醒：(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．(2)复数0的辐角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ，且0≤arg z ＜2π.(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．4.复数的代数形式化为三角形式的步骤(1)先求复数的模.(2)决定辐角所在的象限.(3)根据象限求出辐角.(4)求出复数的三角形式.特别提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值.5．复数三角形式的乘、除运算若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则(1)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．即：（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．（2）除法法则：模相除，辐角相减．（3）复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角为n 倍．6.复数三角形式乘、除运算的几何意义两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→，然后把向量OZ 1→绕点O 按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把OZ 1→绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ →，OZ →表示的复数就是积z 1z 2.7．平面向量的概念名称定义记法零向量长度为0的向量叫做零向量单位向量长度等于1个单位的向量，叫做单位向量相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量a ＝b 说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量a ∥b 规定：零向量与任何向量都平行0∥a 说明：任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量也叫有线向量8.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．9．向量a 与b 的夹角已知两个非零向量a 和b .作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向．如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .10．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ.(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．11．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.12．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.13．利用数量积求夹角设a ，b 为非零向量，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.14．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A .(2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.例题1．设z C ∈，且()()()Re 0Re 0zz f z zz ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩.（1）已知()()()2429f z f z z i z C +-=-+∈，求z 的值；（2）若Re 0z ≥，设集合()()()(){}122120,P z f z f z i f z i f z z C =⋅-⋅+⋅-=∈，{}21,P iz z P ωω==∈，求复平面内2P 对应的点集表示的曲线的对称轴；（3）若()1z u u C =∈，()()211n n n z f z z n *+=++∈N ，是否存在u ，使得数列1z 、2z 、L 满足n m n z z +=（m 为常数，且m *∈N ）对一切正整数n 均成立？若存在，试求出所有的u ，若不存在，请说明理由.一轮难题复习复数典型解答题1．复数的相关概念及运算法则(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类①z 是实数⇔b ＝0；②z 是虚数⇔b ≠0；③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.(2)共轭复数复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数z ＝a －b i.(3)复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2.(4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )．(5)复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(其中a ，b ，c ，d ∈R )2．复数的几个常见结论(1)(1±i)2＝±2i.(2)1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i.(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z )．3．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos θ＋isin θ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ →所在射线(射线OZ )为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ．r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式．a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．特别提醒：(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．(2)复数0的辐角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ，且0≤arg z ＜2π.(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．4.复数的代数形式化为三角形式的步骤(1)先求复数的模.(2)决定辐角所在的象限.(3)根据象限求出辐角.(4)求出复数的三角形式.特别提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值.5．复数三角形式的乘、除运算若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则(1)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．即：（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．（2）除法法则：模相除，辐角相减．（3）复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角为n 倍．6.复数三角形式乘、除运算的几何意义两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→，然后把向量OZ 1→绕点O 按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把OZ 1→绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ →，OZ →表示的复数就是积z 1z 2.7．平面向量的概念名称定义记法零向量长度为0的向量叫做零向量单位向量长度等于1个单位的向量，叫做单位向量相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量a ＝b 说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量a ∥b 规定：零向量与任何向量都平行0∥a 说明：任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量也叫有线向量8.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．9．向量a 与b 的夹角已知两个非零向量a 和b .作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向．如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .10．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ.(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．11．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.12．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.13．利用数量积求夹角设a ，b 为非零向量，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.14．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A .(2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.例题1．设z C ∈，且()()()Re 0Re 0zz f z zz ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩.（1）已知()()()2429f z f z z i z C +-=-+∈，求z 的值；（2）若Re 0z ≥，设集合()()()(){}122120,P z f z f z i f z i f z z C =⋅-⋅+⋅-=∈，{}21,P iz z P ωω==∈，求复平面内2P 对应的点集表示的曲线的对称轴；（3）若()1z u u C =∈，()()211n n n z f z z n *+=++∈N ，是否存在u ，使得数列1z 、2z 、L 满足n m n z z +=（m 为常数，且m *∈N ）对一切正整数n 均成立？若存在，试求出所有的u ，若不存在，请说明理由.【答案】（1）23z i =-；（2）2x =；（3）存在u i =±符合要求，详见解析.【解析】【分析】（1）设z a bi =+，分0a ≥和0a <两种情况讨论，即可求出z 的值；（2）求解集合1P 、2P ，得到两集合的关系，再求两集合所表示的曲线的对称轴即可；（3）假设存在u C ∈满足题设要求，令Re n n a z =，Im n n b z =，易得对一切n *∈N 均有0n a ≥，且2211n nn n a a a b +=++-，()121n n n b a b +=+，根据数学归纳法可证：对任意的n *∈N ，()()(){},0,1,0,1n n a b ∈-，再记222n n n x a b =+，证明对任意m 、n *∈N ，均有m n n x x +>，可得n m n z z +=，从而，此时的{},u i i ∉-不满足要求，从而得出结论.【详解】（1）设(),z a bi a b R =+∈，则Re z a =.若0a ≥，则()f z z =，由已知条件可得329a bi i --=-+，a 、b R ∈，239a b -=-⎧∴⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩，23z i ∴=-；若0a <，则()f z z =-，由已知条件可得7529a bi i --=-+，a 、b R ∈，7259a b -=-⎧∴⎨-=⎩，解得27a =（舍去），95b =-.综上所述，23z i =-；（2）设(),z a bi a b R =+∈，则Re z a =，且0a ≥.集合()()()(){}122120,P z f z f z i f z i f z z C =⋅-⋅+⋅-=∈，得()()()()22120a bi a bi i a bi i a bi +--++--=，化简得224120a b b ++-=，且0a ≥，()22216a b ++=.则点(),a b 是表示在以()0,2-为圆心，半径为4的右侧半圆周上的点.{}21,P iz z P ωω==∈，可得iz b ai ω==-+，集合2P 中的点为(),b a -，由于(),a b 是表示在以()0,2-为圆心，半径为4的右侧半圆周上的点.且点(),b a -与点(),a b 关于直线y x =-对称，则点(),b a -是表示在以点()2,0为圆心，半径为4的上侧半圆周上的点，故其对称轴为直线2x =；（3）设存在u C ∈满足题设要求，令Re n n a z =，Im n n b z =，易得对一切n *∈N ，都有0n a ≥，且2211n n n n a a a b +=++-，()121n n n b a b +=+.①（i ）若{},u i i ∈-，则{}n z 显然为常数数列，故u i =±满足题设要求；（ii ）若{},u i i ∉-，则用数学归纳法可证：对任意的n *∈N ，()()(){},0,1,0,1n n a b ∉-.证明：当1n =时，由{},u i i ∉-，可知()()(){}11,0,1,0,1a b ∉-.假设当n k =时，()()(){},0,1,0,1k k a b ∉-，那么当1n k =+时，若()()(){}11,0,1,0,1k k a b ++∈-，则10k a +=，11k b +=，故2210k k k a a b ++-=，()211k k a b +=，②如果0k a =，那么()()(){},0,1,0,1k k a b ∉-，可知1k b ≠，这与②矛盾；如果0k a >，那么()()(){}11,0,1,0,1a b ∉-，可知1k b ≠，这与②矛盾.综上可得，对任意的n *∈N ，()()(){},0,1,0,1n n a b ∉-.记222n n n x a b =+，注意到()()222211122n n n n n n x x a b a b +++-=+-+()()22222210n n n n n a a a a b ⎡⎤=++++-≥⎢⎥⎣⎦，即10n n x x +-≥，当且仅当0n a =，1n b =±，即()()(){},0,1,0,1n n a b ∈-时等号成立，于是有()1n n x x n N *+<∈，进而对任意的m 、n *∈N ，均有n m n x x +>，所以n m n z z +=.从而，此时的{},u i i ∉-不满足要求.综上所述，存在u i =±，使得数列1z 、2z 、L 满足n m n z z +=（m 为常数，且m *∈N ）对一切正整数n 均成立.【点睛】本题考查了复数的有关概念，考查复数的几何意义，同时也考查了以复数为载体的数列问题，涉及到数学归纳法的应用，综合性较强，属于难题.。
同步练习g3.1029数学归纳法1．若f （n ）=1+1213121++⋅⋅⋅++n （n ∈N*），则当n=1时，f （n ）为 （A ）1 （B ）31（C ）1+3121+ （D ）非以上答案2．用数学归纳法证明1+a+a 2+…+a n+1=aa n --+112（a ≠1，n ∈N*），在验证n=1成立时，左边计算所得的项是（A ）1（B ）1+a（C ）1+a+a2（D ）1+a+a 2+a 33.用数学归纳法证明1－21＋31－)(2121112112141N n nn n n n ∈+++++=--++ ,则从k 到k ＋1时,左边应添加的项为(A)121+k (B) 421221+-+k k(C) －221+k (D) 121+k －221+k4．某个（A ）当n=6时该 （C ）当n=4时该5.),,3,2,1(21312111 =+++++++=k kk k k S k 则S k+1 = (A) S k + )1(21+k (B) S k + 11221+-+k k(C) S k + 221121+-+k k (D) S k + 221121+++k k 6．由归纳原理分别探求：(1)凸n 边形的内角和f(n)= ;(2)凸n 边形的对角线条数f(n)= ;(3)平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n 个圆分平面区域数f(n)= .为真，进而需验证n= ，7．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n⨯1⨯2⨯3⨯…(2n─1)(n∈N),从“k 到k+1”左端应增乘的代数式为 .6、（1） ；（2） ；（3） ； .7、 .8.是否存在常数a,b,c,使得等式1·22＋2·32＋……＋n(n ＋1)2＝12)1(+n n (an 2＋bn ＋c)对一切自然数n 成立？并证明你的结论.9. 求证：212131211n n >-++++（*∈N n ）10. （年全国高考理）设数列满足，，，，……2002112312∙=-+=+{}a a a na n n n n n （）当时，求，，，并由此猜想出的一个通项公式；121234a a a a a n = （）当时，证明对所有的，有231a n ≥≥<>≥+12a n n ； <>++++++≤21111111212a a a n ……。
第十极限与导数第一节 数列的极限一、选择题1、数列{n a }满足∞→n lim [( 2 n – 1 )n a ] = 2，则∞→n lim ( n n a )＝ （ ）A21 B 31 C 1 D 不存在2、已知b a , 是互不相等的正数，则nn nn ba b a n +-∞→lim＝（ ）A 1B -1或 1C 0D -1或0 3、=++∞→1222limn n n nC C n （ ）A 0B 2C 21 D414、设f (x) =++++2)1()1(x x …，n x )1(+在f(x)中2x 的系数为n T ，则nn T n n 23lim +∞→= ( ) A 1 B 61 C 31D 21、 已知a 、b 、c 是常数，且2lim=+∞→can n3lim 22=--∞→b cn c bn n ，则=++∞→a cn can n 22lim （ ） A121 B61 C23 D 6二、填空题2、 首项为1，公比为q （q > 0）的等比数列前n 项和为n S ，则_____lim1=+∞→n n S S n7、_____lim112=-+--+∞→nn n n n8、有一系列椭圆，满足条件（1）中心在原点；（2）以x = 1为准线；（3）离心率nn e )(21=21、=n … 则所有这些椭圆的长轴长之和为＿＿＿＿＿ 三、解答题 9、若函数),0()2()(2≥+=x x x f 数列)0}({>n n a a 的前n 项和)(*∈Nn S n 对所有大于1的正整数n 都有)(1-=n n S f S 且21=a ，（1）求数列}{n a 的通项公式 （2）令),(12212*++∈=++N n b nn n n a a a a n求++∞→21(lim b b n …)n b n -10、已知直线L ：x – n y = 0 ( n *∈N )，圆,1)1()1(:22=+++y x M 抛物线Q ：,2)1(-=x y 又L 与M 交于点A 、B ，L 与Q 交于C 、D ，求)(lim 22||||CD AB n ∞→第二节函数的极限与函数的连续性一、选择题1、 出下列命题：⑴ 若函数f(x)在0x 处无定义，则)(limx f x x →一定不存在⑵)(lim 0x f x x →是否存在与函数f(x)在0x 处是否有定义无关⑶)(lim 0x f x x +→与)(lim 0x f x x -→都存在，则)(lim 0x f x x →也存在 ⑷ 若)(limx f x x →不存在，则2)]([lim 0x f x x →必定不存在，正确命题的个数是： （ ） A 0 B 1 C 2 D 32、=-++→)(lim 8122123x x x （ ）A 0B 21 C 1 D －213、=-+→xx x 110lim（ ）A 1B 21 C 0 Ｄ －１４、若11113)(-+-+=x x x f 在点x = 0处连续，则f(0)=( )A23 B32 C 1 D 05、设函数⎩⎨⎧≤+>+=)2()2(1)(2x a x x x x f 若x →2时，)(x f 的极限存在，则a 的值是 ( )Ａ３ Ｂ４ Ｃ５ Ｄ２二、填空题 ６、函数23122)(+--==x x x x f y 的不连续点是＿＿3、 若⎩⎨⎧=--A x f x x 242)(22=≠x x 在（－∞，＋∞）内连续，则Ａ＝＿＿＿＿ ８、若1)!(122)(+--=x x x x f 的极限为１，则x 的变化趋向是＿＿＿＿＿三、解答题 ９、设⎩⎨⎧<≥+=0,0,)(x e x x a x f x怎样选择实数a 时，函数)(x f 是连续的１０、已知点的序列*∈N n x A n n ),0,(其中)0(,021>==a a x x ，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点，n A 是线段21--n n A A 的中点，（１）写出n x 与1-n x 、2-n x 之间的关系式(n ≥3) (2)设n n nx x a -=+1，计算32,1,a a a 由此推测数列}{n a 的通项公式并加以证明（３）求n n x ∞→lim 第三节 导数的概念及性质一、选择题1、在曲线12+=x y 的图象上取一点(1 ,2)及邻近一点（1＋Δx ，2＋Δy），xΔ yΔ为 ( )A Δx ＋x Δ1＋2B Δx －x Δ1－2C Δx ＋2 D 2＋Δx －xΔ12、一质点的运动方程是S ＝5－32t ，则在一段时间[1 ,1+Δt]内相应的平均速度为 （ ） A 3Δt ＋6 B －3Δt ＋6 C 3Δt －6 D －3Δt －63、设函数)(x f ＝⎩⎨⎧+-12122x x 00<≥x x 则以下说法正确的是 （ ）A )(x f 在x=0处连续B )(x f 在x=0处可导C 0≠x 时)(x f '存在D )0()(lim 0f x f x ='→4、下列函数中，导数为x1，（),0(∞∈x 其中k 为大于零的常数）的函数是 ( )A ln(x+k)B lnkxC lnxkD lnk k x +5、抛物线2x y =上点A 处的切线与直线3x-y+1=0的夹角为4π，则点A 的坐标为 ( ) A (-1,1) B (),11 C (1,) D (-1,1)或 (),16141 6、、若y=f(2x ),则y '＝ ( )A 2x f '(2x ) B 2x f '(x)C 42x)(x f D f '(2x )二、填空题7、函数y=ln|x|的导数为＿＿＿＿＿ 8、函数xx y sin 2=的导数为＿＿＿＿＿三、解答题9 如果一个质点从定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为3)(3+==t t f y ， ⑴ 当41=t ，且Δt ＝0.01时，求Δy 和 tΔ y Δ⑵ 求41=t 时，0 t Δlim → tΔ yΔ⑶ 说明0 t Δlim → tΔ yΔ的几何意义10 讨论函数⎩⎨⎧>+≤+=)0(1)0(1)(2x x x x x f ，在x=0处的可导性11 水以203m ／分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30m ，上底直径为12m ，试求当水深10米时，水面上升的速度。
第四节导数的综合运用一、选择题1、下列说法正确的是 （ ） A 、函数的极大值就是最大值 B 、函数的极小值就是函数的最 C 、函数的最值一定是极值D 、闭区间上的连续函数一定存在最值 2、下列说法正确的是 ( )A 当0)(0='x f 时，则)(0x f 为)(x f 的极大值B 当0)(0='x f 时，则)(0x f 为)(x f 的极小值C 当0)(0='x f 时，则)(0x f 为)(x f 的极值D 当)(0x f 为函数)(x f 的极值时，有0)(0='x f 3、y ＝x －ln(1+x)的单调区间是 ( )A ( -1 ,0 )B ( -1 ,+∞)C (0 ,+ ∞)D (1 ,+ ∞) 4、y ＝x －x e 的极大值为 ( ) A 1 B –1 C 0 D 不存在5、函数2824+-=x x y 在[－1,3]上最大值为 ( ) A 11 B 2 C 12 D 106、用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 ( ) A 6 B 8 C 10 D 12 二填空题7、设直线y ＝x 是曲线ax x x y +-=233的切线，则a ＝＿＿＿＿＿ 8、|3|3x x y -=在[-2,2]上的最大值是＿＿＿ 三、解答题9、a 为何值时，x x a x f 3sin sin )(31+=，在3π=x 处具有极限？求出此极限，并说明是极大值还是极小值10、（2002天津）已知a ＞0，函数,)(1axx f -=),0(+∞∈x 设0＜1x ＜2，记曲线y ＝)(x f 在点))(,(11x f x M 处的切线为L ，⑴求L 的方程⑵设L 与x 轴交点为)0,(2x ，证明 ①x 120≤<； ②若x 11<，则x x 121<<单元测试题 一、选择题１、以下命题正确的是 （ ）A 若22lim A a n n =∞→，则n n a ∞→lim ＝AB 若n a ＞0，n n a ∞→lim ＝A ，则A ＞0C 若0)(lim =-∞→n n n b a ，则n n a ∞→lim ＝n n b ∞→limD 若n n a ∞→lim ＝A ，则22lim A a n n =∞→2、=-+++∞→nn n nn n 4321lim（ ）A 1B －1C 0D 不存在 3、=∆-∆+→∆xx x x x 0lim（ ）A 0B 2π C x Dx214、=+-+-→342313lim x x x x x （ ）A 1 B21 C 0 D 不存在5、已知函数y ＝)(x f 是其定义域A 内连续的奇函数，若A x ∈0且M x f =)(0，则)(lim 0x f x x -→等于（ ）A 0B ±MC MD －M6、设⎪⎩⎪⎨⎧++=,,1,)(2xb x a x x f x x x <≤<≤1100在定义域内连续，则a ，b 的值分别是 （ ）A a=1,b=2B a=2,b=1 Ca=0, b=1 D a=1,b=07、方程0123=+-+x x x 的根的分布情况是（ ）A 只有一个正根，B 只有一负根C 有一正根，两负根D 有一负根，两正根8、质点P 在半径为r 的圆周上逆时针方向作匀角速率运动，角速率为1rad/s ，设A 为起点，那么t 时刻点P 在x 轴上射影点M 的速率为 ( ) A rsint B -rsint C rcost D –rcost9、一个球半径以0.2cm/s 速率增加，那么，当半径r ＝20cm 时，它的体积的增加速率为 ( ) A 310π B 320π C 330π D 360π10、设a>0，c bx ax x f ++=2)(，曲线y ＝f(x)在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为[0,4π]，则点P 到曲线y ＝)(x f 对称轴距离的取值范围为 ( )A ],0[1aB ],0[21aC |]|,0[2ab D |]|,0[21ab - 11、设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ),[),0[322πππ B ),[),0[652πππ C ),[2ππ D ],(5ππ 12、若⎩⎨⎧<-≥=)0(,1)0(,1)(x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=)0(,)0(,)(2121x x x g 则)()(x g x f 在x=0处 ( ) A 不连续 B 连续 C 无法确定连续与否 D 以上都不正确 二填空题13、设)(x f 在0x 处可导__lim )()(000=∆-∆-→∆x x f x x f x14、已知,2lim )3(0=→x f x x 则xx f x )2(0lim→＝＿＿＿＿15、31)(331lim=++∞→+nn na n ，求a 的取值范围是＿＿＿16、若)(x f 是在(-m,m)内的可导奇函数，且)(x f '不恒为零，则)(x f '的奇偶性为＿＿＿＿ 三、解答题17、曲线12+=x y 上的点P 的切线与曲线122--=x y 相切，求点P 的坐标18、函数d cx bx ax x f +++=23)(，当x= -1时，取得极大值8，当x=2时，有极小值－19，求a ,b , c , d 的值19、已知各项为正数的等比数列}{n a 的首项为1，公比为x ，前n 项和为n S ，设1lim )(+∞→=n nS S n x f ，求)(x f 的解析式20、已知等比数列}{n x 的各项为不等于1的正数，数列}{n y 满足)1,0(,2log ≠>=⋅x a y a x n n ，设11,1774==y y①求数列}{n y 的前多少项的和最大，最大值是多少？ ②设ny n b 2=，n n b b b S +++= 21，求252limnS n ∞→的值，21、已知二次函数bx x a x f +-=)1()(2，在]1,1[-∈x 的最大值为m ，最小值为n ，且||||n m ≠， ⑴求证：2||<b⑵若m=2，n=25-,且a>0 ,求a , b22．试做一个上端开口的圆柱形盛器，它的净容积是V ，壁厚为a （V 和a 为常数），问盛器内壁半径为多少时，才能使所用的材料最省？第十二章复数§12.1 复数的有关概念一、选择题1、复数1z ＝3＋i ，2z =1－i,则21z z z ⋅=在复平面内对应的点位于 （ ） A 第一象限内 B 第二象限内 C 第三象限内 D 第四象限内2、若复数z 满足z z 10||=-，则z ＝ （ ）A －3＋4iB －3－4iC 3－4iD 3＋4i 4、设z 为复数，则“|z|=1”是“zz 1+∈R ”的 ( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 不充分不必要条件5、复数)2(sin cos 1παπαα<<⋅++=i z 的模为（ ） A 2cos 2α B –2cos 2α C 2sin 2α D –2tan 2α 5、已知1z ，2z 是复数，以下四个结论正确的是 (A) ⑴若1z ＋2z ＝0，则1z ＝0，且2z ＝0 ⑵|1z |＋|2z |＝0,则1z ＝0，且2z ＝0 ⑶若1z ＋1z ＝0则1z ＝0，⑷若|1z |＝|2z |，则向量1oz 和 2oz 重合 A 仅⑵正确B 仅⑵⑶正确 C 仅⑵⑶⑷正确D 仅⑵⑷正确 二、填空题6、设z=3+2i ，z 和z 在复平面内对应的点分别为A 和B ，O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为＿＿＿7、若t ∈R ，t ≠0、－1时，复数z=t +t +1i 的模的取值范围是＿＿＿＿ 三、解答题8、已知z z z f -+=|1|)(，且)(z f -=10+3i,求复数z,9、复数z 满足|z|=1，求证：R z z∈+110、设复数z=xa log 2+)1,0()1(log 2≠>-a a i x a ，问当x 为何实数时，z 是⑴实数， ⑵ 虚数， ⑶ 纯虚数， ⑷ z 在复平面上对应的点在实轴上方，⑸|z|=1§12.2复数的代数形式及其运算一、选择题1、对于2002110021)()(i i z -++= ，下列结论成立的是 ( )A z 是零B z 是纯虚数C z 是正实数D z 是负实数2、已知)32()33(i z i -⋅=-，那么复数z 在复平面内对应的点位于 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3、设非零复数x ，y 满足022=++y xy x ，则代数式19901990)()(y x yyx x +++的值是 （ ） A 19892- B －1 C 1 D 04、若2|43|≤++i z ，则|z|的最大值是 ( )A 3B 7C 9D 55、复数z 在复平面内对应的点为A ，将点A 绕坐标原点按逆时针方向旋转π，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到点B ，此时点B 与点A 恰好关于坐标原点对称，则复数z 为 ( ) A －1 B 1 C i D －i 二填空题6、若复数z 满足方程1-=⋅i i z ，则z ＝＿＿＿＿7、设复数,31,221i z i z -=-=则复数521z z i+的虚部等于＿＿＿＿8、已知1510105)(2345+-+-+-=x x x x x x f 求)(2321i f +的值＿＿＿＿三、解答题 9、已知)0(1>=--a z iia ，且复数)(i z z +=ω的虚部减去它的实部所得的差等于23，求复数ω的模；10、已知复数ai z z ii i i +==+--+-ω,)31()1)(31(当,2||≤zω求a 的取值范围，)(R a ∈单元测试题一、选择题1、“复数a+bi ),(R b a ∈为纯虚数”是“a=0”的 ( ) A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件2、下列命题正确的是 ( )⑴一个复数与其共轭复数相等的充要条件是这个复数是实数⑵一个复数与其共轭复数互为相反数的充要条件是这个复数是纯虚或零数 A ⑴ B ⑵ C ⑴⑵ D 都不对3、m ∈R ，复数i m m m m )23()232(22+-+--表示纯虚数的条件是 （ ） A m=-21或m=2 B m=2 C m=-21 D m=2或m=14、当21-=i z 时，150100++z z的值等于 ( )A 1B –1C iD –i5、z ∈C 且)0,()(2≠∈∈--+ωωωR R ii z 则 ( ) A z ∈R B z 是虚数 C z 是纯虚数 D 不能确定 6、=-++-++-ii i i 212)1()31(63 ( )A 0B 1C －1D i 7、若t ∈R ，则复数22121t ti t z ++-=所对应的点组成的图形是 ( )A 单位圆B 单位圆除去)0,1(±C 单位圆除去（1，0）D 单位圆除去（－1，0）8、设非零复数x,y 满足022=++y xy x ，则代数式19901990)()(y x yyx x +++的值是 ( ) A 19892- B – 1 C 1 D 09、)()(N n i i n f n n ∈+=-的值域中的元素个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 无穷多个10、设复数z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小是 （ ）A 1B 2C 2D 5 11、若,,21C z z ∈则212z z z z ⋅+⋅是 ( ) A 纯虚数 B 实数C 虚数D 不能确定12、在下列命题中，正确的命题的个数是 （ ） ⑴两个复数不能比较大小； ⑵若0)()(232221=-+-z z z z ， 则),,(,32131C z z z z z ∈=；⑶若i x x x )23()1(22+++-是纯虚数，则实数 x=1±；⑷ z 是虚数的一个充要条件是R z z ∈+；⑸若a,b 是两个相等的实数，则(a-b)+(a+b)i 虚数； ⑹复数z ∈R 的一个充要条件是z z =； A 0 B 1 C 2 D 3 二、填空题13、已知{}i a a a a M )65()13(,2,122--+--=，{}{}3,3,1=⋂-=N M N ，求实数a=______14、复数)()()32(2122R a i a a a a z ∈+--+-= 在复平面内的对应点位于＿＿＿＿＿＿象限；15、____])([8511100=-+-ii i ； 16、若关于x 的方程0)13()21(2=--++m x i x 有实根，则纯虚数m ＝＿＿＿ 三、解答题17、已知z ∈C ，且i z i z z 313+=-⋅，求z18、若复数z 满足)(0)1()1(22N n z z n n∈=-++求证：z 必为纯虚数19、若x 的方 程0)1()1(222=+++++i a x a x i a （a ∈R ）有实根，求a 及方程的根20、已知xyi y x --+30和||60yi x i +-是共轭 复数，求实数x,y 的值21、非零复数a,b,c 满足ac cb ba==，求cb ac b a +--+的值22、设z 是虚数，zz 1+=ω是实数，且21<<-ω⑴求|z|的值及z 的实部的取值范围 ⑵设z z u +-=11，求证：u 为纯虚数；⑶求2u -ω的最小值第一节参考答案:一、选择题 CBDBD2.提示:讨论b a > 或 b a <两种情况 4 提示:++=2322C C T n…＋61123==+n n C C ( n + 1)( n – 1 ) 二、填空题 6 .答案;⎩⎨⎧>≤<)1()10(11q q q7.答案; 3; 8. 答案; 2 提示,,,1222a e a c aa acca ====∴=∴nn n e a )(21==∴三、解答题9、解211)2()(+==--n n n S S f S)2(21≥=-∴-n S S n n}{n S ∴是以2为首项，2为公比的等差数列，n n S n ⋅=-+=∴22)1(2 )2(24,212≥-=-==∴-n n S S a n S n n n n 又.2421-=∴=n a a n（2）121121)24)(24(2)24()24(122+--+-++-+==n n n n n n nb++∴21b b …1211+-+=n n n b1)(lim 21=-+++∴∞→n b b b n n10、解：设圆心M （－1，－1）到直线L 的距离为d ，则221)1(2n n d ++-=，因圆M 半径为1，又=2||AB2182)1(4n nd +=-，设点C 的坐标为（11,y x ） 点D 的坐标为（22,y x ），由数列{n a }满足∞→n lim [( 2 n – 1 )n a ] = 2，则 ⎩⎨⎧-==-2)1(0x y ny x 得（2limlim ),1)(14()()(||)()(,4)()(1,0)12()1)(14(8||||21221221214222114212212212122123244212==∴++=-+-=∴=-=-=-+=-∴==+∴=++-++∞→∞→+++n n n n CD AB n n n n nx n xn n nn n n y y x x CD y y x x x x x x x x x x n x n nx第二节课一、选择题 BDBAA二、填空题6 x = 1 、x = 2 ;7 ４; 8∞→→x x ,0;三、解答题9,解：a x a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 00 1lim )(lim 0==--→→xx x e x f 又)0(f =a 故当 a = 1时，)0()(lim 0f x f x =-→上式就说明子)(x f 在x = 0连续， 在0≠x的其他任何x 值，)(x f 显然连续，因些，当a ＝1时，)(x f 在（－∞，＋∞）是连续的。
