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数列的极限·教案目的要求使学生能从数列的变化趋势理解数列极限的概念；会判断一些简单数列的极限．内容分析1．极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一．因为微积分中其他重要的基本概念(如导数、微分、积分等)都要用极限概念来表述，并且它们的运算和性质也都要用极限的运算和性质来论证．2．为了让学生能尽早进入微积分的主体部分(本书后续内容)的学习，本章不重在理论研究．考虑到中学生理解极限的严格定义(ε－N定义和ε－δ定义)有一定难度，教科书只对极限的定义进行直观描述，教学中一定要注意把握分寸，恰当掌握教科书的深度和广度．3．数列的极限是最简单的一种极限，它可以看作是自变量以取正整数的形式趋向于无穷时的特殊函数极限．(1)数列的极限虽简单但却是重要的极限，后面讲函数极限即是由此引入的．正因为它可视为特殊的函数极限，就以它的四则运算法则纳入函数极限四则运算法则之中介绍．(2)建议新课导入从引言刘徽的“割圆术”说起，引入数列的极限．“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这正是极限概念和思想的要点．它具有承上启下的作用，能激发学生对后续内容的学习兴趣．(3)数列的极限的直观描述方式的定义，强调的是从变化趋势来理解数列极限的概念，通过观察三个具体数列，归纳出它们共同的特性：随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于某一个常数a(即|a n－a|无限地接近于0)．由此给出数列极限的直观描述性定义．“随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于某个常数a”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n趋近于a是在无限过程中进行的，即随n的增大，a n越来越接近于a；另一方面，a n不是一般地趋近于a，而是“无限”地趋近于a，即|a n－a|随n的增大而无限地趋近于0．(4)由于当n无限增大时，常数数列的项a n始终保持不变，因此有任何常数数列的极限都是这个常数本身．(5)例3是一道开放性的题目．学生需要通过运用计算器计算，并观察分析所得结果进行猜想．通过特殊到一般，在教师的引导下，猜想出只要求记住并会应用．4．本节的重点是数列极限的概念，难点是如何从变化趋势的角度来正确理解极限概念．在讲授时，注意结合数列例子，通过比较数值的变化以及数轴上点的变化，讲清“无限趋近”的意义，找出它们的共同特性，归纳出数列极限的直观描述性定义．5．结合引言内容，通过对刘徽“割圆术”的介绍，对学生进行爱国主义思想教育，激发学生的学习热情和民族自豪感．对极限概念及思想的深入理解不是一次就能完成的，而是需要一个较长的过程．通过极限内容的教学，树立运动变化的观点．教学过程1．新课导入，引出课题从引言第61页刘徽“割圆术”说起(可提前布置学生预习)，提出问无限趋近于圆周长2πR呢(让学生从图形上看这种变化趋势)？回答是肯定的，可以用极限的知识来证明．在数学中，极限的概念和思想是非常重要的．它是微积分中最重要、最基本的概念之一，它是研究变量在无限变化中的变化趋势．我们在高二数学第二册(下)中讲授球体积和表面积公式的推导时，用到了极限的思想方法．今天就来学习如何求数列的极限(导出课题)．2．特例分析，归纳特性考察教科书第76页三个数列①、②、③，当n无限增大时，项a n的变化趋势：(1)随着n的增大，从数值变化趋势上看，a n有三种变化方式：数列①是递减的，②是递增的，③是正负交替地无限趋近于a．(2)随着n的增大，从数轴上观察项a n表示的点的变化趋势，也有三种变化方式：①是从点a右侧，②是点左侧，③是从点a两侧交替地无限趋近于a．(3)随着n的增大，从差式|a n－a|的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n无限趋近于a．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于常数a(即|a n－a|无限地接近于0)”．引出数列极限的定义．3．形成概念，加深理解(1)数列极限的直观描述性定义(板书)．注意：①着重从变化趋势上理解数列极限的概念，它是一种定性的研究．②“无限趋近”的意义有两个方面．(2)讲解例1，学生完成教科书第76页的练习．(3)讲授极限的符号表示方法，明确符号的意义和读法．4．计算观察，得到结论C(C为常数)．(2)讲解例3．让学生先猜{0.99n}的极限，再用计算器分别算0.991000、0.995000、0.9910000、0.9920000，并分析数列变化趋势得出极限，从而得5．课堂学习，知识拓广学生板演教科书第77页练习1、2，教师讲评后针对练习2(4)可提先将学生分成两组分别讨论问题①、②，然后教师收集结果．6．归纳小结(1)理解数列极限的定义及项a n的三种变化方式．(2)理解数列极限的符号表示方法和它的意义．(3)掌握数列极限的一个性质和一个重要结论，并且会用．布置作业教科书第78页习题第1、2、3题．。
高中数学极限与导数【讲义】极限与导数一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|< ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。
类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b ，那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, 0lim x x →[f(x)?g(x)]=ab,limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0lim x x →f(x)存在，并且0lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ??→?0lim存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或x dxdy，即000)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。
由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。
若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。
高考数学回归课本教案：极限与导数教案章节一：极限概念及性质1. 教学目标(1) 理解极限的定义，掌握极限的基本性质。
(2) 学会求解函数在某一点的极限。
(3) 能够运用极限的性质解决实际问题。
2. 教学内容(1) 极限的定义及几何意义。
(2) 极限的基本性质：保号性、保序性、保不等式性。
(3) 求解函数在某一点的极限。
3. 教学步骤(1) 引入极限的概念，讲解极限的定义及几何意义。
(2) 通过例题，演示极限的保号性、保序性、保不等式性。
(3) 教授求解函数在某一点的极限的方法。
4. 课后作业(1) 理解极限的定义及几何意义。
(2) 熟练掌握极限的基本性质。
(3) 能够求解函数在某一点的极限。
教案章节二：导数概念及计算1. 教学目标(1) 理解导数的定义，掌握基本函数的导数公式。
(2) 学会求解函数在某一点的导数。
(3) 能够运用导数解决实际问题。
2. 教学内容(1) 导数的定义及几何意义。
(2) 基本函数的导数公式。
(3) 求解函数在某一点的导数。
3. 教学步骤(1) 引入导数的定义，讲解导数的定义及几何意义。
(2) 教授基本函数的导数公式。
(3) 通过例题，演示求解函数在某一点的导数的方法。
4. 课后作业(1) 理解导数的定义及几何意义。
(2) 熟练掌握基本函数的导数公式。
(3) 能够求解函数在某一点的导数。
教案章节三：导数的应用1. 教学目标(1) 学会运用导数求解函数的极值、单调区间、曲线凹凸性。
(2) 能够运用导数解决实际问题，如优化问题、运动物体的瞬时速度等。
2. 教学内容(1) 运用导数求解函数的极值。
(2) 运用导数判断函数的单调区间。
(3) 运用导数判断曲线的凹凸性。
3. 教学步骤(1) 讲解运用导数求解函数的极值的方法。
(2) 通过例题，演示运用导数判断函数的单调区间。
(3) 教授运用导数判断曲线的凹凸性的方法。
4. 课后作业(1) 理解运用导数求解函数的极值的方法。
(2) 熟练掌握运用导数判断函数的单调区间的方法。
一、教学目标1. 理解数列极限的概念及其性质。
2. 掌握数列极限的求解方法。
3. 理解导数的定义及其性质。
4. 掌握基本函数的导数公式。
5. 能够运用数列极限和导数解决实际问题。
二、教学内容1. 数列极限的概念与性质极限的定义极限的性质无穷小与无穷大2. 数列极限的求解方法单调有界定理夹逼定理单调无界定理3. 导数的定义与性质导数的定义导数的性质导数的运算4. 基本函数的导数公式常数函数的导数幂函数的导数指数函数的导数对数函数的导数5. 导数在实际问题中的应用求解函数的极值判断函数的单调性求解曲线的切线方程三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索数列极限和导数的关系。
2. 通过例题讲解，让学生掌握数列极限和导数的求解方法。
3. 利用多媒体课件，直观展示数列极限和导数的概念和性质。
4. 组织小组讨论，让学生互相交流学习心得，提高解题能力。
四、教学评估1. 课堂练习：每节课安排适量的练习题，及时巩固所学知识。
2. 课后作业：布置相关的数列极限和导数的题目，让学生独立完成。
3. 单元测试：定期进行数列极限和导数的测试，了解学生的掌握情况。
4. 学生互评：组织学生互相评价，促进学生之间的交流和学习。
五、教学资源1. 教材：《数学分析》2. 课件：数列极限和导数的PPT课件3. 练习题：数列极限和导数的习题集4. 教学视频：数列极限和导数的讲解视频5. 网络资源：数列极限和导数的在线教程和习题库六、教学步骤1. 数列极限的概念与性质引入数列极限的概念，解释极限的含义。
通过示例说明极限的性质，如保号性、单调性等。
讲解无穷小与无穷大的概念，区分它们与极限的区别。
2. 数列极限的求解方法介绍单调有界定理，解释其含义并给出证明。
讲解夹逼定理的原理，并通过例题演示其应用。
解释单调无界定理，并通过实例说明其应用。
3. 导数的定义与性质引入导数的定义，解释导数表示函数在某点的瞬时变化率。
讲解导数的性质，如导数的单调性、连续性等。
极限和导数本讲义编写的目的是对于高中物理中常用的微积分知识做一个相对体系的介绍，并指导同学在实际的物理情景中应用。
讲义在内容上注重讲清数学知识的概念与思维方式，相对于野蛮的“摔公式”教学方法，同学们能一定程度上领略微积分的奇妙与美感。
本节知识提纲1数列极限：数列极限的定义，数列极限的计算 2函数极限：函数极限的定义，物理中极限的使用3导数：导数扩展了物理量的定义。
掌握导数的几何意义，基本求导公式，求导运算法则最后我们一贯的反对学习数学只关心数学公式怎么使用的态度，这种情况在喜欢物理的同学中非常普遍，这种心态的学习在物理上一定也是走不远的。
本讲义实际讲解的是很不严密的，代替不了真正的数学课，建议有兴趣的同学课后阅读提升对于数学的理解。
第一部分 数列极限知识点睛先思考这个问题0.9999K 和1哪个大？纯洁而朴素的想法如下：0.91<，0.991<，0.9991<，所以无限循环小数0.9999K 小于1。
然而事实并非如此。
令0.9999x =K ，则有：109.9999x =K 0.9999x =K相减得到： 99x = 所以10.9999x ==K为了解释这样的事情，我们做如下分析，构造数列n a ：{0.99...9n na =显然数列里面的每一项都是小于1的。
但是0.9999K 并不在这个数列中。
因为数列里面每一项都是有限小数，0.9999K 是无限小数。
当项数n 不断增大的时候n a 不断靠近0.9999K ，却一直不等于0.9999K 。
我们这样定义数列的极限：如果存在一个实数p 使得：对于任意的实数0ε>，都存在一个整数n ，使得对于任意m n >，||m a p ε-<，那么就叫p 是数列n a 的极限，记作lim n n p a →∞=。
否则叫数列n a 没有极限。
可以这样形象地理解这个定义：当n 很大的时候，n a 与p 要多靠近就有多靠近；n 越知识模块本讲提示大，n a 与p 就越靠近。
高考数学回归课本教案：极限与导数一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的计算方法。
2. 理解导数的定义，掌握基本导数公式和导数的计算方法。
3. 能够运用极限和导数解决实际问题。
二、教学内容1. 极限的概念和性质2. 极限的计算方法3. 导数的定义和性质4. 基本导数公式5. 导数的计算方法三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念，极限的计算方法，导数的定义和性质，基本导数公式，导数的计算方法。
2. 难点：极限的计算方法，基本导数公式的记忆和应用，导数的计算方法。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和发现。
2. 通过例题讲解，让学生理解和掌握极限和导数的计算方法。
3. 利用多媒体教学，形象直观地展示极限和导数的概念和计算过程。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考极限和导数的概念。
2. 讲解极限的概念和性质，通过例题让学生掌握极限的计算方法。
3. 讲解导数的定义和性质，通过例题让学生掌握基本导数公式和导数的计算方法。
4. 课堂练习：让学生独立完成相关的练习题，巩固所学知识。
6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生对极限与导数概念的理解程度，以及对极限和导数计算方法的掌握情况。
2. 课堂练习：检查学生完成练习题的正确率，巩固学生对极限与导数的应用能力。
3. 课后作业：通过批改学生的作业，了解学生对课堂所学知识的掌握情况，发现问题并及时给予反馈。
七、教学拓展1. 引入实际应用案例，让学生了解极限与导数在生活中的应用，提高学生的学习兴趣。
2. 讲解极限与导数在数学分析中的重要作用，激发学生对数学分析的兴趣。
3. 引导学生思考极限与导数在其他学科中的应用，如物理学、经济学等。
八、教学反思2. 根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
3. 关注学生的学习进度，针对性地进行辅导，确保学生掌握极限与导数的相关知识。
九、课后作业1. 复习极限与导数的概念、性质和计算方法。
专题8：极限与导数（理）一、 考点回顾1.数学归纳法是证明关于自然数n (改为“与自然数n 有关” )的命题的一种方法，在高中数学中有着非常重要的用途，是高考命题的热点内容之一。
2.函数极限和数列极限仍然以选择题或填空题为主，主要考查基本计算，有时也在解答题的最后一问出现，中等或偏易的难度（文科不要求函数的极限）。
3.导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。
考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。
4.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式问题等，是（改为“已成为”）高考热点问题。
选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。
5.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。
二、 经典例题剖析考点一：数学归纳法例1：设正数数列{}n a 的前n 项和n S 满足221⎪⎭⎫⎝⎛+=n n a S 。
求321,,a a a ，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明；设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n n T ∞→lim 。
解析：（1）由题设可求5,3,1321===a a a ，猜想数列{}n a 的通项公式为：()*12N n n a n ∈-=，下面用数学归纳法证明：①当1=n 时，显然成立；②假设当k n =时，猜想成立，即12-=k a k ，那么当1+=k n 时， 由221121,21⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++k k k k a S a S 化简可得：0221221=---++k k k k a a a a ，即()()0211=--+++k k k k a a a a ，k k a a -=∴+1或21+=+k k a a ，又0>n a ， 21+=∴+k k a a ，即()1122121-+=+-=+k k a k ，所以，当1+=k n 时，猜想成立。
高考数学回归课本教案：极限与导数一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的计算方法。
2. 理解导数的定义，掌握导数的计算公式和应用。
3. 提高学生解决实际问题的能力，提升数学思维品质。
二、教学内容1. 极限的概念与计算2. 导数的定义与计算3. 导数的应用4. 极限与导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念与计算，导数的定义与计算，导数的应用。
2. 难点：极限的推理与计算，导数在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究极限与导数的概念和计算方法。
2. 利用实例分析，让学生感受极限与导数在实际问题中的应用。
3. 开展小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过回顾初中数学中的函数概念，引导学生思考函数在高中数学中的拓展。
2. 讲解极限的概念与计算：借助数轴和实际例子，讲解极限的定义，引导学生掌握极限的计算方法。
3. 讲解导数的定义与计算：以极限为基础，引入导数的概念，讲解导数的计算公式，并通过实例让学生熟悉导数的计算方法。
4. 应用练习：布置具有代表性的习题，让学生巩固极限与导数的计算方法。
5. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，引导学生思考极限与导数在实际问题中的应用。
教案示例：【教学环节1：导入新课】教师通过提问方式引导学生回顾初中数学中的函数概念，引发学生对函数在高中数学中拓展的思考。
【教学环节2：讲解极限的概念与计算】教师借助数轴和实际例子，讲解极限的定义，引导学生掌握极限的计算方法。
【教学环节3：讲解导数的定义与计算】教师以极限为基础，引入导数的概念，讲解导数的计算公式，并通过实例让学生熟悉导数的计算方法。
【教学环节4：应用练习】教师布置具有代表性的习题，让学生巩固极限与导数的计算方法。
【教学环节5：总结与拓展】教师对本节课的内容进行总结，引导学生思考极限与导数在实际问题中的应用。
六、教学内容1. 极限的性质与极限的运算法则2. 导数的性质与导数的运算法则3. 高阶导数4. 隐函数求导与微分5. 导数在实际问题中的应用七、教学重点与难点1. 重点：极限的性质与极限的运算法则，导数的性质与导数的运算法则，高阶导数，隐函数求导与微分，导数在实际问题中的应用。
