江苏省泰兴中学2010届高三数学学情调研试卷(含答桉)

2010-2011学年江苏省某校高三（上）学情分析数学试卷（01）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 复数1−√2i i 的模是________．2. 已知集合M ={0, 2, 4}，N ={x|log 2(x +1)<2, x ∈Z}，则M ∩N =________．3. 已知平面向量a →=(1,2)，b →=(−2,m)，且a →⊥b →，则|a →−b →|=________．4. 若f(x)=√1−x ，则f(−3)等于________．5. 对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在300∼500小时的数量是________．6. 用橡皮泥做成一个直径为6cm 的小球，假设橡皮泥中混入了一颗很小的砂粒，则这个砂粒距离球心不小于1cm 的概率为________．7. 函数y =sin(π2−2x)+sin2x 的最小正周期是________． 8. 若曲线y =e x +12x 2在x =1处的切线与直线ax −y +1=0平行，则实数a =________． 9. 已知平面区域{x −y +1≥0x +y +1≥03x −y −1≤0，恰好被面积最小的圆C ：(x −a)2+(y −b)2=r 2及其内部所覆盖．则圆C 的方程为________．10. 体积为8的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于________．11. 过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60∘，则椭圆的离心率为________．12. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2−9n ，则其通项a n =________；若它的第k 项满足5<a k <8，则k =________．13. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c =√2，b =√6，B =60∘，则∠A =________．14. 给出以下四个命题：①已知命题p:∃x ∈R ，tanx =2；命题q:∀x ∈R ，x 2−x +1≥0．命题p 和q 都是真命题； ②过点(−1, 2)且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程是x +y −1=0或2x +y =0； ③函数f(x)=lnx +2x −1在定义域内有且只有一个零点；④先将函数y =sin(2x −π3)的图象向左平移π6个单位，再将新函数的周期扩大为原来的两 倍，则所得图象的函数解析式为y =sinx ．其中正确命题的序号为________．（把你认为正确的命题序号都填上）二、解答题（共6小题，满分90分）15. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且√3a =2csinA ．(1)求角C ；(2)若c =√7，且△ABC 的面积为3√32，求a +b 的值．16. 如图，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60∘，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(Ⅰ)CD ⊥AE ；(Ⅱ)PD ⊥平面ABE ．17. 根据如图所示的程序框图，将输出的x 、y 值依次分别记为：x 1，x 2，…，x n ，…，x 2008；y 1，y 2，…，y n ，…，y 2008．（1）①写出x 1，x 2，x 3，x 4，②求数列{x n }的通项公式x n ；（2）写出y 1，y 2，y 3，y 4，由此猜想出数列{y n }的一个通项公式y n ，并证明你的结论．18. 已知f(x)=ax 3+3x 2−x +1，a ∈R ．（1）当a =−3时，求证：f(x)=在R 上是减函数；（2）如果对∀x ∈R 不等式f′(x)≤4x 恒成立，求实数a 的取值范围．19. 若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(−3, 2)离心率为√33，⊙O 的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M 的方程为(x −8)2+(y −6)2＝4，过⊙M 上任一点P 作⊙的切线PA 、PB 切点为A 、B ．（1）求椭圆的方程；（2）若直线PA 与⊙M 的另一交点为Q 当弦PQ 最大时，求直线PA 的直线方程；（3）求OA →⋅OB →的最大值与最小值．20. 已知定义在R上的函数f(x)满足：，f(1)=52，且对于任意实数x，y，总有f(x)f(y)= f(x+y)+f(x−y)成立．（1）求f(0)的值，并证明函数f(x)为偶函数；（2）定义数列{a n}:a n=2f(n+1)−f(n)(n=1, 2, 3,…)，求证：{a n}为等比数列；（3）若对于任意非零实数y，总有f(y)>2．设有理数x1，x2满足|x1|<|x2|，判断f(x1)和f(x2)的大小关系，并证明你的结论．2010-2011学年江苏省某校高三（上）学情分析数学试卷（01）答案1. √32. {0, 2}3. √104. −325. 6506. 26277. π8. e+19. (x−12)2+(y−12)2=5210. 8√6ππ11. √3312. 2n−10,813. 90∘14. ①②③④15. 解：(1)由√3a=2csinA及正弦定理得：ac =√3=sinAsinC，∵ sinA≠0，∴ sinC=√32，在锐角△ABC中，C=π3．(2)∵ c=√7，C=π3，由面积公式得12absinπ3=3√32，即ab=6，①由余弦定理得a2+b2−2abcosπ3=7，即a2+b2−ab=7，②由①②得(a+b)2=25，故a+b=5．16. 证明：(Ⅰ)∵ PA⊥底面ABCD，∴ PA⊥CD，又AC⊥CD，PA∩AC＝A，故CD⊥平面PAC．又AE⊂平面PAC，∴ CD⊥AE．（2）由题意：AB⊥AD，∴ AB⊥平面PAD，从而AB⊥PD．又AB＝BC，且∠ABC＝60∘，∴ AC＝AB，从而AC＝PA．又E为PC之中点，∴ AE⊥PC．由(Ⅰ)知：AE⊥CD，∴ AE⊥平面PCD，从而AE⊥PD．又AB∩AE＝A，故PD⊥平面ABE．17. 解：（1）由程序框图可知：x n+1=x n+2…x1=1，x2=3，x3=5，x4=7…∴ {x n}是首项为x1=1公差为2的等差数列∴ x n=1+(n−1)2=2n−1即{x n}的通项公式为x n=2n−1…（2）由程序框图可知y n+1=3y n+2…∵ y1=2，∴ y2=8，y3=26，y4=80…猜想y n=3n−1，以下为证明……∵ y n+1=3y n+2，∴ y n+1+1=3(y n+1)，∴ {y n+1}是首项为y1+1=3，公比为3的等比数列，∴ y n+1=3n，∴ y n=3n−1．…18. 解：（1）当a=−3时，f(x)=−3x3+3x2−x+1，∵ f′(x)=−9x2+6x−1=−(3x−1)2≤0，∴ f(x)在R 上是减函数；（2）∵ ∀x ∈R 不等式f′(x)≤4x 恒成立，即∀x ∈R 不等式3ax 2+6x −1≤4x 恒成立，∴ ∀x ∈R 不等式3ax 2+2x −1≤0恒成立，当a ≥0时，∀x ∈R ，3ax 2+2x −1≤0不恒成立，当a <0时，∀x ∈R 不等式3ax 2+2x −1≤0恒成立，即△=4+12a ≤0，∴ a ≤−13． 19. 由题意得：{ 9a 2+4b 2=1c a =√33a 2=b 2+c 2解得a =√15，b =√10 所以椭圆的方程为x 215+y 210=1由题可知当直线PA 过圆M 的圆心(8, 6)，弦PQ 最大．因为直线PA 的斜率一定存在，所以可设直线PA 的方程为：y −6＝k(x −8)又因为PA 与圆O 相切，所圆心(0, 0)到直线PA 的距离为√10 即√1+k 2=√10， 可得k =13或k =139所以直线PA 的方程为：x −3y +10＝0或13x −9y −50＝0设∠AOP ＝α，则∠AOP ＝∠BOP ，∠AOB ＝2α，则cos∠AOB ＝2cos 2α−1=20|0P|2−1， ∴ OA →⋅OB →=OA →⋅OB →cos∠AOB =200|0P|2−10∴ (OA →⋅OB →)max =−558，(OA →⋅OB →)min =−1551820. 解：（1）令x =1，y =0∴ f(1)⋅f(0)=f(1)+f(1)∵ f(1)=52， ∴ f(0)=2．令x =0，∴ f(0)f(y)=f(y)+f(−y)即2f(y)=f(y)+f(−y)∴ f(y)=f(−y)，对任意的实数y 总成立．∴ f(x)为偶函数．（2）令x =y =1，得f(1)f(1)=f(2)+f(0)．∴ 254=f(2)+2．∴ f(2)=174．∴ a1=2f(2)−f(1)=172−52=6．令x=n+1，y=1，得f(n+1)f(1)=f(n+2)+f(n)．∴ f(n+2)=52f(n+1)−f(n)．a n+1=2f(n+2)−f(n+1)=2[52f(n+1)−f(n)]−f(n+1)4f(n+1)−2f(n)=2[f(n+1)−2f(n)]=2a n(n≥1)∴ {a n}是以6为首项，以2为公比的等比数列．（3）结论：f(x1)<f(x2)．证明：设y≠0∵ y≠0时，f(y)>2，∴ f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)>2f(x)，即f(x+y)−f(x)>f(x)−f(x−y)．∴ 对于k∈N，总有f[(k+1)y]−f(ky)>f(ky)−f[(k−1)y]成立．∴ f[(k+1)y]−f(ky)>f(ky)−f[(k−1)y]>f[(k−1)y]−f[(k−2)y]>...>f(y)−f(0)>0．∴ 对于k∈N总有f[(k+1)y]>f(ky)成立．∴ 对于m，n∈N，若n<m，则有f(ny)<f(my)成立．∵ x1，x2∈Q，所以可设|x1|=q1p1，|x2|=q2p2，其中q1，q2是非负整数，p1，p2都是正整数，则|x1|=q1p2p1p2，|x2|=p1q2p1p2．令y=1p1p2，t=q1p2，s=p1q2，则t，s∈N．∵ |x1|<|x2|，∴ t<s∴ f(ty)<f(sy)，即f(|x1|)<f(|x2|)．∵ 函数f(x)为偶函数．∴ f(|x1|)=f(x1)，f(|x2|)=f(x2)．∴ f(x1)<f(x2)．。

5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

遗憾，每个遗憾都有它的青春美。

4.方茴说：“可能人总有点什么事，是想忘也忘不了的。

”5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

江苏省泰兴市2010届高三开学初调研测试历史试题第I卷说明：本考卷是在暑期自学材料的基础上编制的，主要检测暑假自学的情况，各学校可结合自己的情况作适当调整。

满分120分，考试时间100分钟。

一、选择题（本大题共20小题，每题3分，共60分。

在提供的四个答案中只有一个符合题目要求）1、从春秋战国时期“百家争鸣”到西汉时期“独尊儒术”的文化体制与思想局面的转变里，我们能够看到①大一统局面的形成②古代学术思想从合到分③中国传统文化主流思想的确立④中央集权的加强A、①②③B、②③④C、①②④D、①③④2、王夫之说：“以天下论者，必循天下之公，天下……非一姓之私也。

10.已知函数江苏省泰兴市2010届高三开学初调研测试数学试题、填空题（每小题 5分，共70 分）■-的最小正周期为如图，给出幕函数 1 _'在第一象限内的图像，啤取= =-四个值，则相应于曲线的依次为1I.丄 厂』产面向量' （1 , 2）与'的夹角是180°,且卜 …，则= ______________ ▲数列｛an ｝的通项公式是an=1-2 n,其前n 项和为S,则数列 C ｝的11项和为__▲呃工（工＞ °） 1子 d 则心評的值是亠/（x ） = cos — — cos 2x （x e R ） 1、已知全集集合心心…习，""・2山 2、已知向量也 ,1 ,3、5、若函数为偶函数，则川=▲6、设数列 叮 为公比：'的等比数列，若 吨 是方程■■- ::-z的两根，则7. 函数二 ，已知「—在＜ _-时取到极值，则恳9.11. 函数1■的最大值等于▲__________ •12. 设等差数列〔…的前n项和为匚,若二八》-卞，则'■■ 1 < 丿▲•13•若函数八；"亠'+在区间亠\；上为单调增函数，则实数的取值范围是▲________ •字当％为偶数时，a lt+l =<214. 已知数列⑷满足：叭—用（m为正整数），I怒当馮为奇数時若再",则m所有可能的取值为▲ 二、解答题（本大题6小题，共90分）/V）=15. （本小题14分）记函数的定义域为 V ,-■■；- ::］的定义域为3 .若m，求实数X的取值范围.16、（本小题15分）” 5 »3在△血C中，口，5.（I）求m的值；（n）设--_ -，求—--^1-的面积.17.（本小题15分）设-'J 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且1,已知函数- 且-a 3十為=13 （I ）求‘ -的通项公式;19. （本小题15分）1000 + 5^+—^□ 元，当出售这种产品忑吨时，每Q —j吨价格是-（• J 是常数）元，如果生产出来的这种产品能全部出售，那么当产量是150吨时，利润最大，并且这时每吨的价格是40元，求的值.20. （本小题16分）（n ）求数列的前n 项和，18. （本小题15分）a已知向量护cos — ,sin —,2 2 J（1 ）当"一‘时，求丁的值的集合;(2)求的最大值.生产某种产品-吨时，所需费用是(I)试用含的代数式表示匚;(n)求，■-的单调区间；(川)令,设函数C 在•「亠一1 '」处取得极值，记点V■■ - 1■■ - '' : 1 ,证明：线段好与曲线—i存在异于、莒的公共点.江苏省泰兴市2010届高三开学初调研测试数学参考答案、填空题(每小题5分，共70 分)1.已知全集—R,集合，」二列申七7，则心二阴5.若函数；_ ' 一；为偶函数，则卞=_J—5 +-4 sin 2.已知向量3 71矿—寸=（2厂1）l = g，且“ // ■,则X的值是二33.的最小正周期为7T-■，其中门》〕，则门=104.如图，给出幕函数〕_在第一象限内的图像,4-2 土丄咚取-四个值，则相应于曲线5.若函数；_ ' 一；为偶函数，则卞=_J6.设数列 为公比i 门 的等比数列，若®4 是方程“ …-」的两根，则57.函数 …二-… -''■'，已知-「二在工二一二时取到极值，则】=49. 数列｛刘的通项公式是an=1-2 n,其前n 项和为S,则数列■｛灯｝的前11项和为__-66.10. 已知函数j (A )— CQ5 不——CO5 2^11. 函数 -12.设等差数列 的前n 项和为「：，若'1 ■，则” '，：-' 二13•若函数‘厲=曲+" + 1在区间卜2・皿）上为单调增函数，则实数洪的取值范围是字当％为偶数叭an+i =< 工14.已知数列⑷满足：叮用（m 为正整数），也T 当比为奇数时*若再",则m 所有可能的取值为4,5,32 ____________ . 二、解答题©15.（本小题14分）记函数1-的定义域为」，_1—的定义域为占.若二，求实数◎勺取值范围.解：」「-或&若平面向量 讥一（1 , 2）与］的夹角是180°，且(-3，-6)的值是3的最大值等于务十鸟=13的通项公式;(n)求数列£的前n 项和L直十1W —1101416.(本小题15分)”5 n 3A . _cos A = -— cosif =—在中，口， 5(I)求门：1 丁的值; (n)设--_-，求二-匚的面积.解：(I)由点5・.12cos A= — — sin A =— 门，得sin 3^-，得-sir C = gin(/+£) = sin ^4 c^s £-1-cos 乂sin — 所以门(n)由正弦定理得% iAC= ------------- = V =—sin A 313所以—-El-的面积 S = -x5C ,x J 4CxsinC =丄注江 2 23 651517.(本小题15分) 设•’丿是等差数列,是各项都为正数的等比数列，且"1 ~鸟I. = 1 ◎占十占5=2110氓亠雋+•••+勞"= 2 + 2 讣1 + 丄+4+…+ 二"I 222严---------------------- 1518.(本小题15分)d A . 5 . Xcos — x - cos —— sin—xsan—2 2 2cos(—x + —) = cos2^=0 即 ]17T2忑=籾+—工=所以二，即1+2J = 21,解：（I）设兀;的公差为，「心的公比为］，则依题意有」：且已知向量_ 『% 3x} a - cos—n sin —I 2 2)sin —2j（1）当---J时，求二的值的集合; (2)求“计的最大值.爲=2+2 + -+-I ②一①得：--2H -- 4___ —____护2"_1止 1 x JI解：（1）,即=4010-5 2-------- 干= 」•--------- 4 分依题意可知，当■- _时，，有最大值，则lfiOI 24’ 丿 Q a —c (2)cos尹+沐戸+4-2（击cos — x —sin —工)2 2 '5 + 4 sW — x ——)2 3=9HL 懾=3QQL Isin -X ) 2 2、151.000 + 5^+—?r19.（本小题15分）生产某种产品吨时，所需费用是 ■' 元, 当出售 这种产品E 吨时，每吨价格是 （― 是常数）元，如果生产出来的这种产品能全部出 售，那么当产量是150吨时，利润最大，并且这时每吨的价格是 40元，求’，的值. 解：设出售?；吨时，利润是「元, y = ^+^-(1000 + 5x4 bH- (« - 5) - 100010-^ W-S) = 150当L；■:; L 或；：；：，「时，门；- V 0，故.：1 :.---15 分20.(本小题16分)j (町二］H +加已知函数'-(I)试用含的代数式表示(n)求一■'二的单调区间;(川)令d = 一 - ，设函数在•「亠-1 '二处取得极值，记占八1 ,证明：线段匕"与曲线「「存在异于、L「的公共点; 解法(［〉/*(r) = x2 +2az+£»r(-1) = ］-2(s + £;=0:I:由：［:得:)■尹(兀)二x3+ 2a~ 1 - (x+ 1)(工+ 2億-1)/W = o①当记乂1时,1一2戈£ —1当变化时，'与「的变化如下表：由此得，函 数皆; 的单调增区间为,1一勿）和（-1 , 时）,单调减区间为（1 4,一〔）.②当J = _时，_ _二工=_ _ .此时』■' 恒成立，且仅在丁 = _ _处「（J,故函数 了（力的单调增区间为R.(-1 — 2町综上：当二° ［时,函数一’「的单调增区间为（—疋，1 一 4 ）和（一：，乜）,单调减区间为 （一—二2, -1）；当二=1时,函数-• I'/的单调增区间为R ；当丄 调减区 间 为10/ (X )= — X —J P - 3^(川)当■* =--时,得 -由广｛小*-小3=0,得呵"1,也二弓在I 处取得极值；M\-\-Nd ③当'-时,•-：-,同理可得函数'幕； 的单调增区间为*时,函数■' ：'-1；的单调 -CO, 单调区间为（8T ）和⑶我），单调减区间为 L ）,所以函数八：12所以直线佶的方程为3S 17-- —X-1J 3，得C -x-\-3=014易得’；' -'-.而•’「；的图像在：」计内是一条连续不断的曲线, 故在('；内存在零点二，这表明线段佔与曲线丿」-存在异于丄厂、的公共点.16解法二：(I) 同解法-(II) 同解法(川)当•■一•时，得宀匸……，由J" —,得ZT和⑶+00),单调减区间为(th),所以函数了S)单调区间为在I 「I 处取得极值；M\-\-12所以直线佶的方程为3S 1y-X-13 ，得衣-咒+3=0 14。

江苏省泰兴市2010届高三开学初调研测试数学试题一、填空题（每小题5分，共70分） 1、已知全集U =R ，集合{}22A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则AB = ▲ ．2、已知向量a )1,2(-=，b ),6(x =，且a ∥b ，则x 的值是 ▲ ．3、()cos 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭π的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ． 4、如图，给出幂函数ny x =在第一象限内的图像，n 取12,2±±四个值，则相应于曲线1234,,,C C C C 的n 依次为▲5、若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a = ▲ ．6、设数列{}n a 为公比1q >的等比数列，若45,a a 是方程24830x x -+=的两根，则67a a +=___▲ __.7．函数93)(23--+=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取到极值，则=a ▲ ． 8．若平面向量a =（1，2）与b 的夹角是180°，且||35b =，则b = ▲ ．9．数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n 项和为Sn,则数列{n S n}的11项和为__▲ ___.10．已知函数2log (0)()3(0)xx x f x x >⎧=⎨⎩≤则)]41([f f 的值是 ▲ ． 11.函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ▲ ．12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36,963==S S ，则=++987a a a ▲ ．13．若函数()21f x ax x =++在区间[)2,-+∞上为单调增函数，则实数a 的取值范围是▲ ．14．已知数列{}n a 满足：1a m ＝（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时.若6a ＝1，则m 所有可能的取值为 ▲ ．二、解答题（本大题6小题,共90分）15.（本小题14分）记函数132)(++-=x x x f 的定义域为A ，()()lg[(1)(2)],1g x x a a x a =---< 的定义域为B ．若A B ⊆，求实数a 的取值范围． 16、（本小题15分） 在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =．（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．17．（本小题15分） 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S．18．（本小题15分）已知向量()1,3,2sin ,2cos ,23sin ,23cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c x x b x x a（1）当b a ⊥时，求x 的值的集合； （2）求ca -的最大值．19. （本小题15分）生产某种产品x 吨时，所需费用是210151000xx ++元，当出售这种产品x 吨时，每吨价格是b xa +（b a ,是常数）元，如果生产出来的这种产品能全部出售，那么当产量是150吨时，利润最大，并且这时每吨的价格是40元，求b a ,的值．20. （本小题16分）已知函数321(),3f x x ax bx =++且(1)0f '-=（I ）试用含a 的代数式表示b ；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点．.............密.....................封.....................线.....................以.....................内.....................请.....................不.....................要.....................答.....................题.....................学校 班级 姓名 考试号江苏省泰兴市2010届高三开学初调研测试 数学答题纸 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将正确答案填在题中的横线上）1． 2．3． 4．5． 6．7． 8．9． 10．11． 12．13． 14．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）16．（本小题满分15分）17．（本小题满分15分）江苏省泰兴市2010届高三开学初调研测试 数学参考答案一、填空题（每小题5分，共70分）1.已知全集U =R ，集合{}22A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B =[)0,2． 2.已知向量354sin()23x =+-π)1,2(-=，b ),6(x =，且a ∥b ，则x 的值是 -3 ． 3.()cos 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭π的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= 10 ． 4.如图，给出幂函数ny x =在第一象限内的图像，n 取12,2±±四个值，则相应于曲线1234,,,C C C C 的n 依次为112,,,222--．5.若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a = 1 ．6.设数列{}n a 为公比1q >的等比数列，若45,a a 是方程24830x x -+=的两根，则67a a +=___18 __.7．函数93)(23--+=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取到极值，则=a 4 ． 8．若平面向量a =（1，2）与b 的夹角是180°，且||35b =，则b = （-3，-6） ．9．数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n 项和为Sn,则数列{n S n}的前11项和为__-66.10．已知函数2log (0)()3(0)xx x f x x >⎧=⎨⎩≤则)]41([f f 的值是 91 ． 11.函数1()cos cos 2()2f x x xx =-∈R 的最大值等于3412．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36,963==S S ，则=++987a a a 4513．若函数()21f x ax x =++在区间[)2,-+∞上为单调增函数，则实数a 的取值范围是104a ≤≤．14．已知数列{}n a 满足：1a m ＝（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时.若6a ＝1，则m 所有可能的取值为 4 , 5 , 32 ．二、解答题15.（本小题14分）记函数132)(++-=x x x f 的定义域为A ，()()lg[(1)(2)],1g x x a a x a =---< 的定义域为B ．若A B ⊆，求实数a 的取值范围．解：1{-<=x x A 或1}x ≥-------------------------------------------------------------5分}12{+<<=a x a x B要使A B ⊆，则11a +-≤或21a ≥-------------------------------------------10分则2a -≤或112a <≤------------------------------------------------------------14分16.（本小题15分） 在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =．（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．解：（Ⅰ）由5cos 13A =-，得12sin 13A =，由3cos 5B =，得4sin 5B =．所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=．--------------------8分（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===．所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=．----------15分 17．（本小题15分） 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，-----------------------------------------5分 112n n n b q --==．----------------------------------------------------------------------------------------10分（Ⅱ）1212n n n a n b --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++， ①3252321223222n n n n n S ----=+++++， ②②－①得：22122221222222n n n n S ---=+++++-，221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-．----------------------------------------------------------------------------------------15分18．（本小题15分）已知向量()1,3,2sin ,2cos ,23sin ,23cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c x x b x x a（1）当b a ⊥时，求x 的值的集合； （2）求ca -的最大值.解：（1）a b ⊥，0a b ∴⋅=，即02sin 23sin 2cos 23cos =⋅-⋅xx x x即02cos )223cos(==+x xx所以2,2x k k =+∈Z ππ，即,24k x k =+∈Zππ所以，x 的集合为{|,}24k x x k =+∈Z ππ------------------------------------------------8分（2）2222a c a a c c-=-⋅+)23sin 23cos 3(2423sin 23cos 22x x x x --++=)23sin 2123cos 23(45x x --=)323sin(45π-+=x2max9a c∴-=，即max3a c-=-----------------------------------------------------------15分19. （本小题15分）生产某种产品x 吨时，所需费用是210151000xx ++元，当出售这种产品x 吨时，每吨价格是b xa +（b a ,是常数）元，如果生产出来的这种产品能全部出售，那么当产量是150吨时，利润最大，并且这时每吨的价格是40元，求b a ,的值． 解：设出售x 吨时，利润是y 元，则)1051000()(2x x x b x a y ++-+= =1000)5(10102--+-x a x b b ---------------------------------------------------4分依题意可知，当150=x 时，y 有最大值，则40150=+b a ①----------------------------------8分当0<b 或10>b 时，b b 1010-＜0 ，故 15010)5(5=--b a b ②解①②得30,45-==b a ． --------------------------------------------------------------15分 20. （本小题16分）已知函数321(),3f x x ax bx =++且(1)0f '-=（I ）试用含a 的代数式表示b ；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点；解法一:()Ⅰ()22f x x ax b '=++依题意,得()1120f a b '-=-+=,--------------------------------------------------2分故21b a =-.------------------------------------------------------------------------------------4分()Ⅱ由()Ⅰ得()()321213f x x ax a x =++-,故()()()2221121f x x ax a x x a '=++-=++-,令()0f x '=,则1x =-或12x a =-,--------------------------------------------------6分当>1a 时, 12<1a --, 当x 变化时,()f x '与()f x 的变化如下表:由此得,函数()f x 的单调增区间为(-∞,12a -)和(1-, +∞),单调减区间为(12a -,1-).当1a =时, 121a -=-.此时()0f x '≥恒成立,且仅在1x =-处()0f x '=,故函数()f x 的单调增区间为R .当<1a 时, 12>1a --,同理可得函数()f x 的单调增区间为()1-∞，-和()12a -+∞，,单调减区间为()112a --，.--------------------------------------------------9分综上:当>1a 时,函数()f x 的单调增区间为(-∞,12a -)和(1-, +∞),单调减区间为(12a -,1-);当1a =时,函数()f x 的单调增区间为R ; 当<1a 时,函数()f x 的单调增区间为()1-∞，-和()12a -+∞，,单调减区间为()112a --，.-------------------------------10分(Ⅲ)当1a =-时,得()32133f x x x x=--由()223=0f x x x '=--,得11x =-,23x =.由(Ⅱ)得()f x 单调区间为()1-∞-，和()3+∞，,单调减区间为()13-，,所以函数()f x 在11x =-,23x =处取得极值;故513M -,⎛⎫⎪⎝⎭，()39N ,-.------------------------------------------------------------12分所以直线MN 的方程为8y 13x =--，由321y 338y 13x x x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得32330x x x --+=-------------------------------14分令()3233F x x x x =--+.易得()03>0F =，()23<0F =-.而()F x 的图像在()0,2内是一条连续不断的曲线，故()F x 在()0,2内存在零点0x ，这表明线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------16分解法二:(I)同解法一 (II)同解法一(Ⅲ) 当1a =-时,得()32133f x x x x =--,由()223=0f x x x '=--,得11x =-,23x =.由(Ⅱ)得()f x 单调区间为()1-∞-，和()3+∞，,单调减区间为()13-，,所以函数()f x 在11x =-,23x =处取得极值;故513M -,⎛⎫⎪⎝⎭，()39N ,-.------------------------------------------------------------12分所以直线MN 的方程为8y 13x =--，由321y 338y 13x x x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得32330x x x --+=-------------------------------14分解得:11x =-,21x =,33x =.∴11153x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩, 221113x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩, 3339x y =⎧⎨=-⎩. 所以线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点1113-（，）.--------------16分。

泰州市2010～2011学年度第一学期期末联考高三数学试题参考答案一、填空题1. 2；2. 2,210x R x x ∀∈-+>；3. 12；4. {}1,1,2-；5.20；6.2π；7. 1；8. 2log 3；9. ②③④；10.215；11.；12.；13. 5,016⎛⎫- ⎪⎝⎭；14.sin θ.二、解答题15. ⑴∵在A B C ∆中，A B A C =，E 为B C 的中点，∴AE BC ⊥.…………………………（1分）又∵平面A B C ⊥平面BC D ，A E ⊂平面ABC ， 平面ABC 平面BC D B C =，∴A E ⊥平面BC D .…………………………………（5分）⑵∵B D C D =，E 为B C 的中点，∴BC DE ⊥.…………………………（6分）由⑴AE BC ⊥，又AE DE E = ，A E ，D E ⊂平面AED ，∴BC ⊥平面AED .…………（9分） 又AD ⊂平面AED ，∴BC AD ⊥，即A DBC ⊥. …………………………（10分）⑶取A B 、A C 的中点M 、N ，所有的点G 构成的集合T 即为A B C ∆的中位线M N .………………………………………………………………………………（14分）16. ⑴∵cos()a b αβ⋅=- ，∴2cos 3θ=. ……………………………………（3分）∴22sin sin()1cos cos 2πθθθθ-+=-- ……………………………………（5分）19=-. …………………………………………………………………………（7分）⑵∵(1cos ,sin )b c ββ+=+ ，a ∥()b c +，∴cos sin (1cos )sin 0αββα-+=.………………………………………………（9分）又∵2k πα≠，k βπ≠()k Z ∈，∴sin tan 1cos βαβ=+………………………（12分）22sincos22tan 22cos 2ββββ==. ……………………………………………………（14分） 17. ⑴由已知第7天的销售价格49p =，销售量41q =. ∴第7天的销售收入749412009W =⨯= (元) . ……………………………………………………（3分）⑵设第x 天的销售收入为x W ，则(44)(48)1620097(56)(32)820x x x x W x x x x +-≤≤⎧⎪==⎨⎪-+≤≤⎩.…（6分） 当16x ≤≤时，2(44)(48)(44)(48)()21162x x x W x x ++-=+-≤=.（当且仅当2x =时取等号）∴当2x =时取最大值22116W =.………………………………（9分）当820x ≤≤时，2(56)(32)(56)(32)()19362x x x W x x -++=-+≤=.（当且仅当12x =时取等号）∴当12x =时取最大值121936W =. …………………………（12分） 由于2712W W W >>，∴第2天该农户的销售收入最大. …………………………（13分） 答：⑴第7天的销售收入2009元；⑵第2天该农户的销售收入最大. …………（14分） 18. ⑴由题意可得点P 的轨迹1C 是以,A B 为焦点的椭圆. ……………………（2分） 且半焦距长c m =，长半轴长3a m =，则2C 的方程为2222198xy mm+=.………（5分） ⑵若点(,)x y 在曲线1C 上，则2222198xymm+=.设03x x =0y =，则03x x =，0y =. …………………………………………………………………………（7分） 代入2222198xym m +=，得22200x y m +=，所以点(3x y 一定在某一圆2C 上. ………………………………（10分） ⑶由题意(3,0)C m . ………………………………………………………………（11分）设11(,)M x y ，则22211x y m +=.┈┈┈① 因为点N 恰好是线段C M 的中点，所以113(,)22x m y N +. 代入2C 的方程得222113()()22x m y m ++=.┈┈┈②联立①②，解得1x m =-，10y =.…………………………………………………（15分） 故直线l 有且只有一条，方程为0y =. ……………………………………………（16分） （若只写出直线方程，不说明理由，给1分）19. ⑴由题意1(3,0)A 、1(0,4)B 、2(5,0)A 、2(0,7)B . ∴11404033A B k -==--，22707055AB k -==--. …………………………………（2分）1122A B A B k k ≠，∴11A B 与22A B 不平行. ……………………………………（4分）⑵ {}n a 、{}n b 为等差数列，设它们的公差分别为1d 和2d ，则111211112(1),(1),n n n n a a n d b b n d a a nd b b nd +=+-=+-=+=+，，由题意11111()2n n n n n O A B O A B n n n n S S S a b a b ++∆∆++=-=-.……………………………（6分）∴[]111211121()()((1))((1))2n S a nd b nd a n d b n d =++-+-+-121211121(2)2d d n a d b d d d =++-，…………………………………………（8分）∴1121211121(2)2n S d d n a d b d d d +=+++，∴112n n S S d d +-=是与n 无关的常数，∴数列{}n S 是等差数列. ……………………………………………………………（10分） ⑶(,0)n n A a 、(0,)n n B b ，∴n k =002n n nnnb b an b a a -+=-=--.又数列{}n k 前8项依次递减， ∴1n n k k +-=11(1)222n nn a n ban ban a b+++++-+-+=0<对17()n n Z ≤≤∈成立，即0an a b -+<对17()n n Z ≤≤∈成立.………………（12分）又数列{}n b 是递增数列，∴0a >，只要7n =时，即760a a b a b -+=+<即可.又112b a b =+≥-，联立不等式60120,a b a b a a b Z+<⎧⎪+≥-⎪⎨>⎪⎪∈⎩，作出可行域（如右图所示），易得1a =或2.…………（14分）当1a =时，136b -≤<-，即13,12,11,10,9,8,7b =-------，有7解；当2a =时，1412b -≤<-，即14,13b =--，有2解.∴数列{}n b 共有9个. …（16分） 另解：也可直接由12,06-≥+<+b a b a 得5120<<a .又Z a ∈，则1a =或2.下同20. ⑴当2a x <时，249()4f x a x =为增函数. …………………………………（1分）当2a x ≥时，()f x '=23x 423a x-.令()f x '0>，得x a x a ><-或.…………（3分）∴()f x 的增区间为(,)a -∞-，(,)22a a-和(,)a +∞.……………………………（4分） ⑵由右图可知，①当12a <<时，12aa <<，()f x 在区间[]1,a 上递减，在[],2a 上递增，最小值为3()4f a a =；………（6分） ②当01a <≤时，()f x 在区间[]1,2为增函数，最小值为4(1)13f a =+；……………………………（8分）③当2a =时，()f x 在区间[]1,2为增函数，最小值为3()4f a a =； ……………………………（9分）综上，()f x 最小值431301()412a a g a aa ⎧+<≤=⎨<≤⎩. ………………………………（10分）⑶由()[]2()(2)()(2)()f x f t x ft f x f t x f t -+≥+-，可得[][]()()()(2)0f t f x f t f t x ---≥， ………………………………（12分）即()()()(2)f t f x f t f t x ≤⎧⎨≤-⎩或()()()(2)f t f x f t f t x ≥⎧⎨≥-⎩成立，所以t 为极小值点，或t 为极大值点.又,222aa x t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()f x 没有极大值，所以t 为极小值点，即t a =……………（16分）（若只给出t a =，不说明理由，得1分）泰州市2010～2011学年度第一学期期末联考高三数学试题（理科加试）参考答案21 A ．解：因为AB 是⊙O 的直径，∴BC AD ⊥．又AC ＝AB ，∴AD 是A B C ∆的中线．又BC ＝4，∴2B D D C ==，∴4AD ==．……………（2分）由C E C A C D C B ⋅=⋅ 得CE ＝5． …………………………………………（5分）∴5AE == ……………………………………………………（6分）由C B DEC ∠=∠=∠，所以DE ＝DC ＝2．……………………………………（9分）AD E ∆的周长为65+．…………………………………………………………（10分）21 B ．解：(1)矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；…………………………………………………（3分）(2)矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1451012A ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=172αA另解：矩阵A 的特征多项式为1()1f λλ-=24λ--256=-+λλ，令()0f =λ，得122,3λλ==. ……………………………………………………（6分） 当12=λ时，得121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α,当23=λ时，得211⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α. ……………………………（8分）又122ααα=-+，∴α2A 2221212212212)(22)2(αλαλαααα+-=+-=+-=A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1711312223. ………………………………………………………（10分） 21 C ．解：将方程243x ty t =+⎧⎨=⎩，28cos 120ρρθ-+=分别化为普通方程和直角坐标方程：3460x y --=，228120x y x +-+=， …………………………………………(4分)则圆心(4,0)C ，半径2r =，∴C 到l 的距离65d =，……………………………(8分)∴弦长165==. ………………………………………………(10分)另解：将方程28cos 120ρρθ-+=化为直角坐标方程：228120x y x +-+=，…(2分) 以243x ty t=+⎧⎨=⎩代入上式得225160t t -=，则10t =、21625t =，…………………(8分)∴弦长211655t t -=. ……………………………………………………………(10分)21 D ．证：∵ x 、y是正实数，∴11x y +≥.…………………………………(4分)∴3≥=.………………………………(10分)22．解：（1）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A S ，那么4425651()75A A P S C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是175．……………………………(4分)（2）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加C 岗位服务，则246425651(2)5C A P C A ξ===．所以4(1)1(2)5P P ξξ==-==．……………………………………………(8分)故ξ的分布列是：6()5E ξ=．……………………………………………………………………(10分)23．解：在建立如图所示的坐标系中，A 1（1，0，0）B 1（1，1，0）C 1（0，1，0）D 1（0，0，0） A （1，0，t ） B （1，1，t ） C （0，1，t ） D （0，0，t ）E （λ，0，t ）F （1-λ，1，t ） C 2（0，1，2t ） D 2（0，0，2t ） F D 2=（1-λ，1，-t ），C B 1=（-1，0，t ） （1）F D 2=（21，1，-1），C B 1=（-1，0，1）cos 2θ==，∴所成角︒=45θ………………………（3分）（2）E D 2=（λ，0，-t ），设平面EFD 2的法向量为1n =（1，p ，q ）则⎩⎨⎧=-=-+-001qt qt p λλ，∴21p q t λλ=-⎧⎪⎨=⎪⎩，即1n =（1，2λ-1，t λ） 易求平面A 1B 1CD 的法向量为=2n （1，0，t1），∴1n ·=2n 1+2t λ，∵0λ>，∴1+2tλ≠0，∴两平面不可能垂直. …………（6分）（3）∵2(1,0,1)C F λ=-- ，1(1,21,)n λλ=-，∴sin 1212=α=.令21s λ-=，则(0,1)s ∈，)255)(25(4sin ++-+=s s ss α，当(0,1)s ∈时，55(2)(52)2)(102)1)s s ss+-++>+=，∴36231)15(231sin =<-<α.………………………………………………（10分）。

2010-2011学年江苏省某校高三（上）学情分析数学试卷（06）一．填空题（本题共14小题，每小题5分，计70分）1. 命题“若a ，b 都是奇数，则a +b 是偶数”的逆否命题是________．2. 已知复数z 1=−1+2i ，z 2=1−i ，z 3=3−2i ，其中i 为虚数单位，它们所对应的点分别为A ，B ，C ．若OC →=xOA →+yOB →，则x +y 的值是________．3. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB =1，BC =4，则边BC 上的中线AD 的长为________．4. 若cos2αsin(α−π4)=−√22，则cosα+sinα＝________．5. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x −y|的值为________．6. 若向量e 1→与e 2→满足：|e 1→|=2|e 2→|=√2，(e 1→+2e 2→)2=2，则e 1→与e 2→所夹的角为________． 7. 已知集合A ⊆Z ，且A ≠⌀，从A 到Z 的两个函数分别为f(x)=x 2+1，g(x)=x +3，若对A 中任意一个x ，都有f(x)≤g(x)，求其中A 为单元集的概率________．8. 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如图：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元（用数字作答）9. 设a =lge,b =(lge)2，c =lg √e ，则a ，b ，c 的大小关系是________．10. α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是________（把真命题的序号填上）①m ，n 是平面α内两条直线，且m // β，n // β； ②α，β都垂直于平面γ；③α内不共线的三点到β的距离相等； ④m ，n 是两条异面直线，m ⊂α，n ⊂β，且m // β，n // α． 11. 已知椭圆C:x 22+y 2=1的右焦点为F ，右准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若FA →=3FB →，则|AF →|=________．12. 如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________．13. 公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8=32，则S 10=________．14. 已知函数f(x)={x 2+1，x ≥01，x <0，则满足不等式f(1−x 2)>f(2x)的x 的范围是________．二.解答题（本大题共6小题，满分90分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 设向量a →=(sinx,√3cosx)，b →=(cosx, cosx)，(0<x <π2)．（1）若a → // b →，求tanx 的值；（2）求函数f(x)=a →⋅b →的周期和函数最大值及相应x 的值．16.如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC ，D 、E 分别为BC 、B 1C 的中点．（1）求证：DE // 平面ABB 1A 1； （2）求证：平面ADE ⊥平面B 1BC ．17. 已知数列{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6=55，a 2+a 7=16 （1）求数列{a n }的通项公式； （2）数列{a n }和数列{b n }满足等式a n =b 12+b 222+b 323+⋯+bn 2n (n ∈N ∗)，求数列{b n }的前n项和S n ．18.已知△ABC 中，cosA cosB =AC BC =34，（1）求证：∠C =90∘；（2）如图，以C 为原点，CB ，CA 分别在x 轴和y 的正半轴，当AB =5时，求△ABC 的内切圆的方程？（3）若AB =t(t >0)，P 为内切圆上的一个动点，求PA 2+PB 2+PC 2的最大值和此时的P 点坐标．19. 某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克．根据市场调查，当8≤x ≤14时，淡水鱼的市场日供应量P 千克与市场日需求量Q 千克近似地满足关系：P =1000(x +t −8)( x ≥8, t ≥0)，Q =500√40−(x −8)2(8≤x ≤14)．当P =Q 时市场价格称为市场平衡价格．（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？ 20. 已知函数f(x)=x 3−3ax(a ∈R) （1）当a =1时，求f(x)的极小值；（2）若直线x +y +m =0对任意的m ∈R 都不是曲线y =f(x)的切线，求a 的取值范围； （3）设g(x)=|f(x)|，x ∈[−1, 1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式．2010-2011学年江苏省某校高三（上）学情分析数学试卷（06）答案1. 若a +b 不是偶数，则a ，b 不都是奇数2. 53. √34. 125. 46. 3π47. 415 8. 148.4 9. a >c >b 10. ④ 11. √2 12. 63 13. 6014. (−1, √2−1) 15. 解：（1）∵ a → // b →， ∴ sinxcosx −√3cos 2x =0， ∵ 0<x <π2， ∴ cosx ≠0，∴ sinx −√3cosx =0， ∴ tanx =sinx cosx =√3．（2）f(x)=a →⋅b →=sinxcosx +√3cos 2x =12sin2x +√32cos2x +√32=sin(2x +π3)+√32． ∴ T =2π2=π．∵ x∈(0,π2)，2x+π3∈(π3,43π)∴ 当2x+π3=π2，即x=π12时，f(x)取得最大值，最大值为sinπ2+√32=1+√3216. 证明：（1）在△CBB1中，∵ D、E分别为BC、B1C的中点，∴ DE // BB1又∵ BB1⊂平面ABB1A1，DE⊄平面ABB1A1∴ 所以DE // 平面ABB1A1．（2）在直三棱柱ABC−A1B1C1，BB1⊥平面ABC，∵ AD⊂平面ABC，∴ BB1⊥AD∵ 在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∴ AD⊥BC∵ BB1∩BC=B，BB1、BC⊂平面B1BC，∴ AD⊥平面B1BC．又∵ AD⊂平面ADE∴ 平面ADE⊥平面B1BC．17. 解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则依题意可知d>0由a2+a7=16，得2a1+7d=16①由a3a6=55，得(a1+2d)(a1+5d)=55②由①②联立方程求得得d=2，a1=1或d=−2，a1=207（排除）∴ a n=1+(n−1)⋅2=2n−1（2）令c n=b n2n，则有a n=c1+c2+...+c na n+1=c1+c2+...+c n+1两式相减得a n+1−a n=c n+1，由（1）得a1=1，a n+1−a n=2∴ c n+1=2，即c n=2(n≥2)，即当n≥2时，b n=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2∴ b n={2,(n=1)2n+1，(n≥2)于是S n =b 1+b 2+b 3+...+b n =2+23+24+...2n+1=2n+2−6，n ≥2， S n ={2n =12n+2−6n ≥2．18. 解：（1）由正弦定理得，sinA sinB =BC AC ，又cosA cosB =AC BC =34∴cosA cosB=sinB sinA，即sinAcosA =sinBcosB ，∴ sin2A =sin2B ，解得：A =B 或A +B =90∘， 又cosA cosB=AC BC=34，∴ A ≠B ， ∴ ∠C =90∘；（2）由（1）得，AC 2+BC 2=AB 2，又ACBC =34，AB =5， ∴ AC =3，BC =4，设圆心为M ，连接MA ，MB ，MC ，由S △ABC =12(AB +BC +AC)⋅r =12CB ⋅CA ，解得r =1， ∴ M(1, 1)，∴ 圆的方程为：(x −1)2+(y −1)2=1；（3）设P(x, y)，A(0, 3a)，B(4a, 0)，(a >0)，AB =t ， ∴ a =t5，此时内切圆方程为：(x −a)2+(y −a)2=a 2，∴ PA 2+PB 2+PC 2=x 2+(y −3a)2+(x −4a)2+y 2+x 2+y 2=3[(x −a)2+(y −a)2]−2ax +19a 2，∵ P(x, y)为内切圆上的点，∴ PA 2+PB 2+PC 2=3a 2−2ax +19a 2=−2ax +22a 2，又0≤x ≤2a ， ∴ 当x =0时，PA 2+PB 2+PC 2的最大值=22a 2=2225t 2， 所以，当P 坐标为(0,t5)时，PA 2+PB 2+PC 2的最大值为2225t 2．19. 解：（1）依题设有1000(x +t −8)=500√40−(x −8)2，化简得5x 2+(8t −80)x +(4t 2−64t +280)=0． 当判别式△=800−16t 2≥0时， 可得x =8−45t ±25√50−t 2．由△≥0，t ≥0，8≤x ≤14，得不等式组：①{0≤t≤√508≤8−45t+25√50−t2≤14②{0≤t≤√508≤8−45t−25√50−t2≤14解不等式组①，得0≤t≤√10，不等式组②无解．故所求的函数关系式为x=8−45t+25√50−t2函数的定义域为[0, √10]．（2）为使x≤10，应有8−45t+25√50−t2≤10化简得t2+4t−5≥0．解得t≥1或t≤−5，由t≥0知t≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．20. 解：（1）∵ 当a=1时，f′(x)=3x2−3，令f′(x)=0，得x=−1或x=1，当f′(x)< 0，即x∈(−1, 1)时，f(x)为减函数；当f′(x)>0，即x∈(−∞, −1]，或x∈[1, +∞)时, f(x)为增函数．∴ f(x)在(−1, 1)上单调递减, 在(−∞, −1],[1, +∞)上单调递增∴ f(x)的极小值是f(1)=−2（2）∵ f′(x)=3x2−3a≥−3a，∴ 要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线，当且仅当−1<−3a时成立，∴ a<13（3）因g(x)=|f(x)|=|x3−3ax|在[−1, 1]上是偶函数，故只要求在[0, 1]上的最大值①当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在[0, 1]上单调递增且f(0)=0，∴ g(x)=f(x)，F(a)=f(1)=1−3a．②当a>0时，f′(x)=3x2−3a=3(x+√a)(x−√a)，(I)当√a≥1，即a≥1时，g(x)=|f(x)|=−f(x)，−f(x)在[0, 1]上单调递增，此时F(a)=−f(1)=3a−1(II)当0<√a<1，即0<a<1时，当f′(x)>0，即x>√a或x<−√a时，f(x)单调递增；当f′(x)<0，即−√a<x<√a时，f(x)单调递减．所以f(x)在[0,√a]上单调递减，在[√a，1]单调递增．1∘当f(1)=1−3a≤0，即13≤a<1时，g(x)=|f(x)|=−f(x)，−f(x)在[0,√a]上单调递增，在[√a,1]上单调递减，F(a)=−f(√a)=2a√a；2∘当f(1)=1−3a>0，即0<a<13(I)当−f(√a)≤f(1)=1−3a，即0<a≤14时，F(a)=f(1)=1−3a(II)当−f(√a)>f(1)=1−3a，即14<a<13时，F(a)=−f(√a)=2a√a综上所述F(x)={1−3a,(a≤14)2a√a，(14<a<1)3a−1,(a≥1)。

2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析数学Ⅰ试题参考公式：锥体的体积公式: V 锥体=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．.1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =______▲_____. [解析] 考查集合的运算推理。

3∈B, a+2=3, a=1.2、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为______▲_____. [解析] 考查复数运算、模的性质。

z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与3+2 i 的模相等，z 的模为2。

3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲__.[解析]考查古典概型知识。

3162p ==4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm 。

[解析]考查频率分布直方图的知识。

注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。

本卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

2010年江苏省某校高三第三次调研数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 已知集合A ={3, m 2}，B ={−1, 3, 2m −1}，若A ⊆B ，则实数m 的值为________．2. 若复数z =(2−i)(a −i)，（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为________．3. 如图，一个几何体的主视图与左视图都是边长为2的正方形，其俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为________4. 如图，给出一个算法的伪代码，则f(−3)+f(2)=________．5. 已知直线l 1:x +ay +6=0和l 2：(a −2)x +3y +2a =0，则l 1 // l 2的充要条件是a =________．6. 高三(1)班共有56人，学号依次为1，2，3，...，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．7. 在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为________．8. 设方程2x +x =4的根为x 0，若x 0∈(k −12, k +12)，则整数k =________．9. 已知函数f(x)=alog 2x −blog 3x +2，若f(12009)=4．则f(2009)的值为________． 10. 已知平面区域U ={(x, y)|x +y ≤6, x ≥0, y ≥0}，A ={(x, y)|x ≤4, y ≥0, x −2y ≥0}，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．11. 已知抛物线y 2=2pxp >0上一点M(1,m)到其焦点的距离为5，双曲线x 2−y 2a=1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a =________．12. 已知平面向量a →，b →，c →满足a →+b →+c →=0→，且a →与b →的夹角为135∘，c →与b →的夹角为120∘，|c →|=2，则|a →|=________． 13. 函数y =x −2sinx 在区间[−2π3, 2π3]上的最大值为________．14. 如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标0，点(1, 0)处标1，点(1, −1)处标2，点(0, −1)处标3，点(−1, −1)处标4，点(−1, 0)标5，点(−1, 1)处标6，点(0, 1)处标7，以此类推，则标签20092的格点的坐标为________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 在斜△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b2−a2−c2ac =cos(A+C)sinAcosA．(1)求角A；(2)若sinBcosC>√2，求角C的取值范围．16. 在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD为菱形，OA⊥平面ABCD，E为OA 的中点，F为BC的中点，求证：（1）平面BDO⊥平面ACO；（2）EF // 平面OCD．17. 已知圆O的方程为x2+y2＝1，直线l1过点A(3, 0)，且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．18. 有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定．大桥上的车距d(m)与车速v(km/ℎ)和车长l(m)的关系满足：d=kv2l+12l（k为正的常数），假定车身长为4m，当车速为60(km/ℎ)时，车距为2.66个车身长．（1）写出车距d关于车速v的函数关系式；（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？19. 已知函数f(x)=ax−3，g(x)=bx−1+cx−2(a, b∈R)且g(−12)−g(1)=f(0)．（1）试求b，c所满足的关系式；（2）若b=0，方程f(x)=g(x)在(0, +∞)有唯一解，求a的取值范围；（3）若b=1，集合A={x|f(x)>g(x), g(x)<0}，试求集合A；20. 已知数列a，b，c为各项都是正数的等差数列，公差为d(d>0)，在a，b之间和b，c之间共插入m个实数后，所得到的m+3个数所组成的数列{a n}是等比数列，其公比为q．（1）若a=1，m=1，求公差d；（2）若在a，b之间和b，c之间所插入数的个数均为奇数，求所插入的m个数的乘积（用a，c，m表示），求证：q是无理数．2010年江苏省某校高三第三次调研数学试卷答案1. 12. 123. 6π4. −85. −16. 207. 7108. 19. 010. 2911. 1412. √613. √3−π314. (1004, 1005)15. 解：(1)∵ b2−a2−c2ac =−2cosB，cos(A+C)sinAcosA=−2cosBsin2A，，又∵ b 2−a2−c2ac=cos(A+C)sinAcosA，∴ −2cosB=−2cosBsin2A，而△ABC为斜三角形，∵ cosB≠0，∴ sin2A=1．∵ A∈(0, π)，∴ 2A=π2，A=π4．(2)∵ B+C=3π4，∴ sinBcosC =sin(3π4−C)cosC=sin3π4cosC−cos3π4sinCcosC=√22+√22tanC>√2即tanC>1，∵ 0<C<3π4，∴ π4<C<π2．16. 证明：（1）∵ OA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以OA⊥BD，∵ ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，又OA∩AC=A，∴ BD⊥平面OAC，又∵ BD⊂平面OBD，∴ 平面BD0⊥平面ACO．（2）取OD中点M，连接KM、CM，则ME // AD，ME=12AD，∵ ABCD是菱形，∴ AD // BC，AD=BC，∵ F为BC的中点，∴ CF // AD，CF=12AD，∴ ME // CF，ME=CF．∴ 四边形EFCM是平行四边形，∴ EF // CM，∴ EF // 平面OCD17. 由题意，可设直线l1的方程为y＝k(x−3)，即kx−y−3k＝0又点O(0, 0)到直线l1的距离为d=√k2+1=1，解得k=±√24，所以直线l1的方程为y=±√24(x−3)，即√2x−4y−3√2=0或√2x+4y−3√2=0⋯对于圆O的方程x2+y2＝1，令x＝±1，即P(−1, 0)，Q(1, 0)．又直线l2方程为x＝3，设M(s, t)，则直线PM方程为y=ts+1(x+1)．解方程组{x=3y=ts+1(x+1)，得P/(3,4ts+1)，同理可得：Q/(3,2ts−1)．所以圆C的圆心C的坐标为(3,3st−ts2−1)，半径长为|st−3ts2−1|，又点M(s, t)在圆上，又s2+t2＝1．故圆心C为(3,1−3st )，半径长|3−st|．所以圆C的方程为(x−3)2+(y−1−3st )2=(3−st)2，即(x−3)2+y2−2(1−3s)yt +(1−3s)2t2−(3−s)2t2=0即(x−3)2+y2−2(1−3s)yt +8(s2−1)t2=0，又s2+t2＝1故圆C的方程为(x−3)2+y2−2(1−3s)yt−8=0，令y＝0，则(x−3)2＝8，所以圆C经过定点，y＝0，则x=3±2√2，所以圆C经过定点且定点坐标为(3±2√2,0)18. 当v=50(km/ℎ)时，大桥每小时通过的车辆最多．…19. 解：（1）由g(−12)−g(1)=f(0)，得(−2b+4c)−(b+c)=−3，∴ b，c所满足的关系式为b−c−1=0．（2）由b=0，b−c−1=0，可得c=−1，因为方程f(x)=g(x)，即ax−3=−x−2，可化为a=3x−1−x−3，令x−1=t则由题意可得，a=3t−t3在(0, +∞)上有唯一解．令ℎ(t)=3t−t3(t>0)，由ℎ′(t)=3−3t2=0，可得t=1，当0<t<1时，由ℎ′(t)>0，可知ℎ(t)是增函数；当t>1时，由ℎ′(t)<0，可知ℎ(t)是减函数，故当t=1时，ℎ(t)取极大值2；由函数ℎ(t)的图象可在，当a=2或a≤0时，方程f(x)=g(x)有且仅有一个正实数解．故所求a的取值范围为{a|a=2或a≤0}．（3）由b=1，b−c−1=0，可得c=0，A={x|f(x)>g(x)且g(x)<0}={x|ax−3> 1x且x<0}={x|ax2−3x−1<0且x<0}，当a>0时，A=(3−√9+4a2a，0)；当a=0时，A=(−13，0)；当a<−94时，(△=9+4a<0)，A=(−∞, 0)；当a=−94时，A={x|x<0且x≠−23}；当−94<a<0时，A=(−∞,3+√9+4a2a)∪(3−√9+4a2a,0)．20. 解：（1）由a=1，且等差数列a，b，c的公差为d，可知b=1+d，c=1+2d，若插入的一个数在a，b之间，则1+d=q2，1+2d=q3，消去q可得(1+2d)2=(1+d)3，其正根为d=1+√52．若插入的一个数在b，c之间，则1+d=q，1+2d=q3，消去q可得1+2d=(1+d)3，此方程无正根．故所求公差d=1+√52．…（2）设在a，b之间插入l个数，在b，c之间插入t个数，则l+t=m，在等比数列{a n}中，∵ a1=a，a l+2=b=a+c2，a m+3=c，a k⋅a m+4−k=a1⋅a m+3…，∴ (a 2⋅a 3...a m+2)2=(a 2⋅a m+2 )⋅( a 3⋅a m+1)…(a m+1⋅a 3 )(a m+2⋅a 2)=(ac)m+1， 又∵ q l+1=b a >0，q t+1=cb >0，l ，t 都为奇数，∴ q 可以为正数，也可以为负数． ①若q 为正数，则 a 2⋅a 3...a m+2=(ac)m+12，所插入 m 个数的积为a 2⋅a 3…a m+2b=2a+c⋅(ac)m+12；②若q 为负数，a 2，a 3，…，a m+2 中共有 m2+1 个负数，当 m2 是奇数，即 m =4k −2，k ∈N + 时，所插入m 个数的积为 b ˙=2a+c (ac)m+12；当m2是偶数，即m =4k ，k ∈N +时，所插入m 个数的积为b ˙=−2a+c⋅(ac)m+12．综上所述，所插入m 个数的积为 b ˙=±2a+c ⋅(ac)m+12．（3）∵ 在等比数列{a n }，由q l+1=ba =a+d a，可得 q l+1−1=da ，同理可得 q m+2−1=2d a，∴ q m+2−1=2(q l+1−1)，即q m+2=2 q l+1−1，m ≥l ，假设q 是有理数，若q 为整数，∵ a ，b ，c 是正数，且d >0，∴ |q|>1，在 2 q l+1−q m+2=1中，∵ 2 q l+1−q m+2 是q 的倍数，故1也是q 的倍数，矛盾． 若q 不是整数，可设q =yx （其中x ，y 为互素的整数，x >1 ），则有 (y x)m+2=2(yx)l+1−1，即 y m+2=x m−l+1(2y l+1−x l+1)，∵ m ≥l ，可得 m −l +1≥1，∴ y m+2 是x 的倍数，即y 是x 的倍数，矛盾． ∴ q 是无理数．。

2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析数学Ⅰ试卷参考公式：锥体的体积公式: V 锥体=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．.1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =______▲_____.2、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为______▲_____.3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__.4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm 。

5、设函数f(x)=x(e x +ae -x )(x R)是偶函数，则实数a =_______▲_________6、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是___▲_______7、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是______▲_______8、函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=____▲_____9、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是______▲_____10、定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为_______▲_____。

南通市2010届高三第三次调研测试数学参考答案及评分建议必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 有一容量为10的样本：2，4，7，6，5，9，7，10，3，8，则数据落在[)5.5,7.5内的频率为 ▲ .2. 已知直线l ，m ，n ，平面α，m α⊂，n α⊂，则“l α⊥”是“,l m l n ⊥⊥且”的 ▲ 条件.（填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”之一）3. 已知集合{}274(2)i A m m =-++，，（其中i 为虚数单位，m ∈R ），{83}B =，，且A B ≠∅，则m 的值为 ▲ .4. 在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程2220x ax b ++=有实数根的概率为 ▲ .5. 若函数2tan 0()log ()0x x f x x x ⎧=⎨-<⎩，≥，，，则()()3π24f f = ▲ .6. 在区间[](0)a a a ->，内不间断的偶函数()f x 满足(0)()0f f a ⋅<，且()f x 在区间[]0a ，上是单调函数，则函数()y f x =在区间()a a -，内零点的个数是 ▲ . 7. 执行如图所示的程序框图后，输出的结果是 ▲ .8. 不等式21x x<-的解集是 ▲ .9. 如图，点A 、B 在函数()ππtan 42y x =-的图象上,则直线AB 的方程为 ▲ .BAy x1 O（第9题）（第7题）输出n0S ←开始6n ←S <15 NY1n n ←-S S n ←+结束10. 双曲线221169y x -=上的点P 到点(5, 0)的距离是6，则点P 的坐标是 ▲ . 11. 已知数列{}n a 为等差数列，若561aa <-，则数列{}n a 的最小项是第 ▲ 项.12. 在菱形ABCD 中，若4AC =,则CA AB ⋅= ▲ .13. 已知点P 在直线210x y +-=上,点Q 在直线230x y ++=上，PQ 的中点为00(,)M x y ,且002y x >+,则y x 的取值范围是____▲____. 14. 数列{}n a 满足：11121(234)n n a a n a -==-=⋅⋅⋅，，，，，若数列{}n a 有一个形如sin()n a A n B ωϕ=++的通项公式，其中A B ωϕ、、、均为实数，且π002A ωϕ>><，，，则n a = ▲ .（只要写出一个通项公式即可）【填空题答案】1．0.3 2．充分不必要 3．－2 4．125．16．2 7．3 8．{}201x x x <-<<或 9．20x y --= 10．(8，± 11．612．－8 13．()1125--， 14()2ππ1332n -+二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. （本题满分14分）已知向量()1sin 2A =，m与()3sin A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角．（1）求角A 的大小；（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 【解】（1）因为m //n ,所以3sin (sin )02A A A ⋅+-=. ………………………2分所以1cos 232022A A -+-=，12cos 212A A -=， …………3分即 ()πsin 216A -=. …………………………………………………4分ABCD EF（第16题）G O因为(0,π)A ∈ , 所以()ππ11π2666A -∈-，. …………………………………5分 故ππ262A -=，π3A =. ………………………………7分 （2）由余弦定理，得 224b c bc =+-. ……………………………………8分 又1sin 2ABC S bc A ∆==， ……………………………………9分而222424b c bc bc bc bc +⇒+⇒≥≥≤，（当且仅当b c=时等号成立） …………11分所以1sin 42ABC S bc A ∆===. ………………………12分 当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π3A =，故此时△ABC 为等边三角形.…14分16. （本题满分14分）如图，已知四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE =EB =BC =2, F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE . （1）求证：AE //平面BDF ； （2）求三棱锥D －ACE 的体积. 【证明】 （1）设ACBD G=，连结GF .因为BF ⊥面ACE ,CE ⊂面ACE ，所以BF CE ⊥.因为BE BC =,所以F 为EC 的中点. ……………………………3分在矩形ABCD 中，G 为AC 中点，所以//GF AE . ………………5分 因为AE ⊄面BFD ,GF ⊂面BFD ，所以//AE 面BFD . ………………7分 （2）取AB 中点O ，连结OE .因为AE EB =,所以OE AB ⊥. 因为AD ⊥面ABE ,OE ⊂面ABE ,所以OE AD ⊥,所以OE ⊥面ADC . ……………………………………………9分 因为BF ⊥面ACE ,AE ⊂面ACE ，所以BF AE ⊥. 因为CB ⊥面ABE ,AE ⊂面ABE ,所以AE BC ⊥. 又BFBC B=，所以AE ⊥平面BCE . ……………………………11分又BE⊂面BCE ,所以AEEB ⊥.所以AB ==,12OE AB ==…………12分故三棱锥E ADC -的体积为111423323D AECE ADC ADC V V S OE --∆==⋅=⨯⨯⨯=. …………………14分17 . （本题满分15分）田忌和齐王赛马是历史上有名的故事. 设齐王的3匹马分别为A 、B 、C ，田忌的3匹马分别为a ，b ，c ，6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：A ，a ，B ，b ，C ，c . 两人约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜. （1）如果双方均不知道对方的出马顺序，求田忌获胜的概率；（2）颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A 马. 那么，田忌应怎样安排马的出场顺序，才能使获胜的概率最大？ 【解】记A 与a 比赛为（A ，a ），其它同理．（l ）（方法1）齐王与田忌赛马，有如下6种情况： （A ，a ）,（B ，b ）,（C ，c ）；（A ，a ）,（B ，c ）,（C ，b ）； （A ，b ）,（B ，c ）,（C ，a ）；（A ，b ）,（B ，a ）,（C ，c ）；（A ，c ）,（B ，a ）,（C ，b ）；（A ，c ），（B ，b ），（C ，a ）. ……………2分 其中田忌获胜的只有一种：（A ，c ）,（B ，a ）,（C ，b ）. ……………………4分 故田忌获胜的概率为16P =. …………………………………7分（方法2）齐王与田忌赛马对局有6种可能： A B Ca b c a c b b a c b c a c a bc b a ……………………………………………………………2分 其中田忌获胜的只有一种：（A ，c ）,（B ，a ）,（C ，b ）. ………………4分 若齐王出马顺序还有ACB , BAC , BCA ，CAB ，CBA 等五种；每种田忌有一种能够获胜． 故田忌获胜的概率为61666P ==⨯． ……………………………………7分（2）已知齐王第一场必出上等马A ，若田忌第一场必出上等马a 或中等马b ，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败．为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c ．……9分 后两场有两种情形：①若齐王第二场派出中等马B ，可能的对阵为：（B ，a ）,（C ，b ）或（B ，b ）,（C ，a ）． 田忌获胜的概率为12. ……………………………………………………11分②若齐王第二场派出下等马C ，可能的对阵为：（C ，a ）,（B ，b ）或（C ，b ）,（B ，a ）． 田忌获胜的概率也为12． ……………………………………………………13分所以，田忌按c , a , b 或c , b , a 的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大12…14分答：（l ）田忌获胜的概率16．（2）田忌按c , a , b 或c , b , a 的顺序出马，才能使获胜的概率达到最大为12……15分18. （本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知对于任意实数k，直线)((130x k y k ++-=恒过定点F . 设椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F ，且椭圆C 上的点到F的最大距离为2+.（1）求椭圆C 的方程；（2）设（m ，n ）是椭圆C 上的任意一点，圆O ：222(0)x y r r +=>与椭圆C 有4个相异公共点，试分别判断圆O 与直线l 1：mx +ny =1和l 2：mx +ny =4的位置关系. 【解】 （1）)((130x k y k ++-=)(30y k x ⇔+-+=, …1分解30,0,y x +-=-=⎪⎩得)0F . ……………………………………3分设椭圆C 的长轴长、短轴长、焦距分别为2a ，2b ，2c ，则由题设，知2c a c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 于是a =2，b 2=1. ………………………………5分所以椭圆C 的方程为22 1.4x y += …………………………………………6分（2）因为圆O ：222(0)x y r r +=>与椭圆C 有4个相异公共点，所以b r a <<，即1 2.r << …………………………………8分 因为点（m ，n ）是椭圆2214x y +=上的点，所以221224m n m +=，且-≤≤.[12]，. ………………………………………10分于是圆心O 到直线l 1的距离11d r <，……………………………12分 圆心O 到直线l 2的距离22d r >. ……………………………14分 故直线l 1与圆O 相交，直线l 2与圆O 相离.……………………………………15分19. （本题满分16分）设数列{a n }是由正数组成的等比数列，公比为q ，S n 是其前n 项和． （11n S +<；（2）设31442,1555n n n n b a a a ++=++记数列{}n b 的前n 项和为T n ，试比较q 2S n 和T n 的大小.【证明】（1）由题设知a 1>0，q >0． ………………………………………1分(i)当q =1时，S n =na 1，于是 S n ·S n +2－21n S +=na 1·(n +2)a 1－(n +1)221a =－21a <0， …3分 (ii)当q ≠1时，()111n n a q S q-=-，于是S n ·S n +2－21+n S ()()()()()22221112211111n n n a q q a q q q ++---=---=210n a q -<． …………7分由(i)和(ii)，得S n ·S n +2－21n S +<0．所以S n ·S n +2<21n S +1n S +． ……………8分 (2) 方法一：331442442,15551555n n n n n n n b a a a a q a q a ++=++=++ …………11分T n =3113442442()15551555k k k nnk n n k k n b q a q a q a q S S S ==+==+++∑∑，T n －q 2S n =32(415126)15nS q q q -++， …………………………………13分 ＝22(4(2)(2)2)15nS q q q -+-+≥2>0， …………………………………15分 所以T n >q 2S ． …………………………………………………………16分 方法二：T n =3113442442()15551555k k k nnk n n k k n b q a q a q a q S S S ==+==+++∑∑， ………11分由24421555nn T q q S q =++， …………………………………………………13分 因为0q >，所以44155q q +≥44155q q =，即q ==”号），215>，所以21nnTq S>，即T n>q2S. ……………………………16分20．（本题满分16分）已知函数2*()2cosπln(f x x a k x k=-⋅∈N，a∈R，且0a>）．（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若2010k=，关于x的方程()2f x ax=有唯一解，求a的值.【解】（1）由已知得x＞0且2()2(1)k af x xx'=--⋅．当k是奇数时，()0f x'>，则f(x)在(0,+∞)上是增函数;……………3分当k是偶数时，则2()2af x xx'=-. ……………………5分所以当x∈(时，()0f x'<，当x∈(),a+∞时，()0f x'>.故当k是偶数时，f (x)在(上是减函数，在(),a+∞上是增函数．………………7分（2）若2010k=，则2*()2ln()f x x a x k=-∈N.记g (x) = f (x) – 2ax = x2– 2 a x ln x – 2ax, 222()22()ag x x a x ax ax x'=--=--, 若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；…………………………9分令()0g x'=,得20x ax a--=.因为0,0a x>>，所以1x=<（舍去），2x. ……………………11分当2(0,)x x∈时，()0g x'<，()g x在2(0,)x是单调递减函数；当2(,)x x∈+∞时，()0g x'>，()g x在2(,)x+∞上是单调递增函数．当x=x2时,2()0g x'=，min2()()g x g x=. …………………………12分因为()0g x=有唯一解，所以2()0g x=.则22()0()0g xg x=⎧⎨'=⎩，，即22222222ln20x a x axx ax a⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，，…………………………13分两式相减得22ln0a x ax a+-=，因为a>0，所以222ln10 (*)x x+-=.……14分设函数()2ln1h x x x=+-，因为在x>0时，h (x)是增函数，所以h (x) = 0至多有一解．因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x 2 = 1，从而解得12a =…………16分附加题部分21. （选做题）本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E .求证：2DE DB DA =⋅.【证明】连结OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°． 所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ．因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF +∠CEO =90°． ………………………5分 所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ．因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA ．所以DE 2=DB ·DA ． ……………10分B. 选修4－2：矩阵与变换求矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量. 【解】特征多项式2221()(2)14312f λλλλλλ--==--=-+--， …………3分 由()0f λ=，解得121,3λλ==. ………………………………………6分将11λ=代入特征方程组，得0,00x y x y x y --=⎧⇒+=⎨--=⎩. 可取11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦为属于特征值λ1=1的一个特征向量． …………………………8分将23λ=代入特征方程组, 得0,00x y x y x y -=⎧⇒-=⎨-+=⎩. 可取11⎡⎤⎢⎥⎣⎦为属于特征值23λ=的一个特征向量．综上所述,矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个特征值1213λλ==，；属于11λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 属于23λ= 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ………………………………10分C. 选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值.【解】（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ=. ……………………2分 又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===,所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=. ………………………4分 （2）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程,得4(2)3y x =--.…………………6分令0y =,得2x =,即M 点的坐标为(2,0).又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径1r =，则MC =…………8分（第22题）BACA 1B 1C 1所以1MN MC r +=≤． (10)分D ．选修4－5：不等式选讲设123a a a ，，均为正数，且123a a a m ++=，求证1231119.a a a m ++≥【证明】因为123111()m a a a ++123123111()()a a a a aa =++++9≥，当且仅当1233m a a a ===时等号成立．又因为1230m a a a =++>，所以1231119.a a a m++≥ ……………10分22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且12AB AC A B ===．（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（2）在棱11B C 上确定一点P ，使AP =1P AB A --的平面角的余弦值．【解】（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则 ()()()()11200020022042C B A B ，，，，，，，，，，，， ()1022AA =，，，()11220BC B C ==-，，．1111cos 28AA BC AA BC AA BC⋅-〈〉===-⋅，，故1AA 与棱BC 所成的角是π3． ………………………4分（2）设()111220B P B C λλλ==-，，，则()2422P λλ-，，． 于是12AP λ==（32λ=舍去）， 则P 为棱11B C 的中点，其坐标为()132P ，，． …………6分 设平面1P AB A --的法向量为n 1(),,x y z =，则110320220.0.0AP x y z x z y y AB ⎧⋅=++==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⋅=⎩⎩⎪⎩，，，n n 故n 1()201=-，，．……………………………………8分而平面1ABA 的法向量是n 2=(1,0,0)，则121212cos ,⋅〈〉===⋅n n n n n n故二面角1P AB A --．……………10分23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数22()ln (1)1x f x x x=+-+，2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--． （1）证明：当(0)x ∈+∞，时，()0g x <； （2）求函数()f x 的的极值．【解】（1）2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--，则()2ln(1)2g x x x '=+-. 令()2ln(1)2h x x x =+-，则22()211x h x x x -'=-=++. ……………1分当10x -<<时，()0h x '>， ()h x 在(1,0)-上为增函数.当x ＞0时，()0h x '<，()h x 在(0)+∞，上为减函数. ……………………3分 所以h (x )在x =0处取得极大值，而h (0)=0，所以()0(0)g x x '<≠，C 1函数g (x )在(0)+∞，上为减函数. …………………………………………4分 当x ＞0时，()(0)0g x g <=． ………………………………………5分 （2）函数()f x 的定义域是(1)-+∞，，22222ln(1)2(1)ln(1)22()1(1)(1)x x x x xx x f x x x x +++--+'=-=+++， ……………………6分 由（1）知，当10x -<<时，2()2(1)ln(1)2(0)0g x x x x x g =++-->=， 当x ＞0时，()(0)0g x g <=， 所以，当10x -<<时，()0f x '>()f x 在（－1，0）上为增函数.当x ＞0时，()0f x '<,()f x 在(0)+∞，上为减函数. ……………………8分 故函数()f x 的单调递增区间为（－1，0），单调递减区间为(0)+∞，. 故x =0时()f x 有极大值0． ………………………10分。