有关非线性分数微分方程正解的存在唯一性分析与探讨

整数阶与分数阶非线性微分方程边值问题正解的存在性摘要：本文主要讨论了整数阶和分数阶非线性微分方程边值问题正解的存在性。

首先介绍了整数阶微分方程边值问题的解法，包括格林函数、变分法、等等。

而对于分数阶微分方程边值问题，基于Caputo导数的求解方法被广泛应用于各种实际问题中。

然后，通过在边值问题的严格数学框架下，该文证明了整数阶和分数阶非线性微分方程边值问题的解在一定条件下存在，这些条件包括边值问题的充分性和DFC（differential inequality of finite difference）条件的满足。

最后，多个实例说明了该文所证明的理论结论的实用性和有效性。

关键词：整数阶微分方程；分数阶微分方程；边值问题；正解存在性；格林函数；变分法；Caputo导数1. 引言微分方程在物理、工程、生物、经济等众多领域中都有重要应用。

边值问题是求解微分方程的一种常用方法，它使用一些限制条件来约束解的特性。

而关于整数阶和分数阶微分方程边值问题正解的存在性，一直是微分方程理论中的经典研究问题。

本文旨在探讨这个问题，并通过实例说明所得结论的实用性和有效性。

2. 整数阶微分方程边值问题的解法对于一般的整数阶微分方程边值问题，我们通常采用格林函数、变分法等方法，来求解其正解存在性。

格林函数是一种特殊的解析函数，在微分方程理论中扮演着重要角色。

变分法是另一种常见的求解方法，它可以转化为极值问题，得到问题的最优解。

3. 分数阶微分方程边值问题的求解方法分数阶微分方程边值问题的求解方法虽然和整数阶微分方程有相似之处，但依然有其特殊之处。

此处我们介绍一种基于Caputo导数的求解方法，它广泛应用于各种实际问题中。

该方法将原问题转化为一个无约束问题，并使用Laplace变换和拉普拉斯逆变换求解。

4. 整数阶和分数阶非线性微分方程边值问题正解的存在性在边值问题的严格数学框架下，我们证明了整数阶和分数阶非线性微分方程边值问题的解在一定条件下存在。

非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性
非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性：
1、问题概述
非线性分数阶微分方程（nonlinear fractional differential equation）边值问题（boundary value problem）指定考虑函数在一定区域内满足一个分数阶微分方程系统以及该区域边界一些条件的问题。

它的研究与现实中相关的问题有很大的关联，拟和计算的精度主要取决于该正解的存在性和唯一性。

2、开展研究
由于非线性分数阶微分边值问题的存在性和唯一性的研究关系到研究的实际意义，因此，近年来，微分方程学家围绕该问题开展了深入探讨和研究。

根据数学技巧和研究结果，针对非线性分数阶微分边值问题，提出了一系列有效方法，形成一套完整的存在性理论，以帮助解决非线性分数阶微分边值问题。

3、理论研究
在理论研究中，研究者首先提出了分数阶系统周期或非周期微分边值问题的存在性，发现分数阶系统微分边值问题的存在性密切依赖于其边值条件的满足程度，并利用契约技术确定具体的边界条件。

研究者又进一步提出了重叠解和多重解的存在性，提出了不等式定理来证明其在有限区域内存在正解，以及足够条件以确定分数阶系统存在唯一正解，在研究遇到激烈反对的情况下，提出非线性的存在性，以帮助研究者准确直观地确定问题的解等。

微分方程的解的存在性与唯一性微分方程的解的存在性与唯一性是微分方程理论中的重要问题之一。

它涉及到了微分方程的解是否存在以及是否唯一的问题。

在研究微分方程的过程中，我们常常需要确定方程的解的存在性和唯一性，以便得到准确的结果和合理的推论。

首先，我们来讨论微分方程解的存在性。

对于一阶微分方程dy/dx=f(x, y)来说，如果函数f(x, y)在某个区域内是连续的，那么根据连续函数的存在性定理，方程必有一个解存在。

这个解可能通过求不定积分得到，也可能是通过其他方法求得的特解。

如果方程涉及到一些特殊的函数，如分段定义的函数或含有非连续点的解，那么解的存在性的问题可能就会更加复杂。

其次，我们来探讨微分方程解的唯一性。

唯一性通常需要借助某些定理来证明。

在微分方程理论中，最常用的唯一性定理就是皮卡-林德洛夫定理（Picard-Lindelof定理）。

该定理表明，如果函数f(x, y)在某个区域内是局部利普希茨连续的，即满足|f(x, y1)-f(x, y2)|≤K|y1-y2|，其中K是一个常数，那么方程的初值问题y(x0)=y0必有唯一解存在。

这里需要说明的是，皮卡-林德洛夫定理中的条件比较严格，f(x, y)需要满足利普希茨连续性，这并不是一个常见的条件。

对于一些非连续的函数，可能无法直接使用皮卡-林德洛夫定理来证明解的存在唯一性。

此时，我们可以尝试使用其他的方法来证明解的存在性和唯一性，如变量分离、恰当方程等。

此外，还有一种特殊情况需要考虑，即微分方程解的多解性。

有时候，微分方程的解可能存在多个，这取决于方程本身的特性和约束条件。

比如，对于一元二次方程dy/dx=ax²+bx+c，根据韦达定理，方程的解可能有两个或零个。

在这种情况下，我们需要根据问题的具体条件来确定解的个数，并选择出最符合问题要求的解。

总结起来，微分方程解的存在性与唯一性是微分方程理论中的重要问题。

通过合理选择条件和引入适当的定理，我们可以判断微分方程的解是否存在，以及是否唯一。

具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题正解的存在性1. 引言1.1 背景介绍分数阶微分方程是一种介于整数阶和整数阶之间的微分方程，其在描述复杂系统动力学行为和非线性现象方面具有独特的优势。

随着分数阶微积分的发展和应用，人们对分数阶微分方程的研究也越来越深入。

在实际问题中，往往会涉及到非线性项，而非线性项的特性决定了微分方程解的性质。

具有变号非线性项的分数阶微分方程是研究中的一个重要课题。

变号非线性项的引入会使得微分方程的解集合更加复杂，从而增加了研究的难度和挑战性。

边值问题是求解微分方程时常常遇到的问题之一，对于具有变号非线性项的分数阶微分方程来说，边值问题的正解存在性成为了研究的焦点之一。

正解的存在性理论不仅对深入理解微分方程的性质具有重要意义，还具有广泛的实际应用价值。

在本文中，我们将讨论具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题正解的存在性问题，并探讨相关的证明方法和存在性结论。

通过对这一问题的研究，我们希望能够为分数阶微分方程的理论研究和实际应用提供一定的参考和指导。

【2000字】1.2 研究意义分数阶微分方程是近年来研究的热点之一，由于其在描述复杂系统中的行为具有更好的适应性和精确性，因此受到了广泛关注。

具有变号非线性项的分数阶微分方程是一类更为复杂和具有挑战性的问题，对其性质和解的存在性进行研究具有极大的理论和应用价值。

在实际问题中，很多现象和过程并不能完全用传统的整数阶微分方程来描述，而需要引入分数阶微积分来更准确地刻画。

研究具有变号非线性项的分数阶微分方程可以更好地解释现实中复杂系统的行为，为相关领域的研究提供理论支持和指导。

正解的存在性问题一直是数学研究的重要课题之一，对于分数阶微分方程边值问题正解的存在性理论的研究不仅可以深化对这类方程的理解，还可以提高数学领域对于非线性问题的分析能力，拓展数学的应用范围和解决实际问题的能力。

研究具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题正解的存在性对于推动分数阶微分方程领域的发展具有重要的意义，对于理论研究和实际应用都具有积极的推动作用。

非线性微分方程的可解性研究非线性微分方程的可解性研究摘要：非线性微分方程是数学中一类重要的方程，其解的存在性和唯一性问题一直是人们关注的焦点。

本文主要研究非线性微分方程的可解性问题，通过数学分析方法探讨其解的存在性和唯一性，为解决实际问题提供了理论基础。

一、引言非线性微分方程是指未知函数及其导数之间具有非线性关系的微分方程。

非线性微分方程的解集合通常比线性微分方程复杂，求解非线性微分方程的可行性成为一个重要的问题。

二、非线性微分方程的存在性非线性微分方程的解的存在性是研究的重点之一。

根据皮卡-林德洛夫定理，当非线性函数具有某些约束条件时，非线性微分方程的解存在且唯一。

具体的存在性条件与非线性函数的性质有关，可以通过微分方程的特殊技巧和分析方法进行研究。

三、非线性微分方程的唯一性非线性微分方程的解的唯一性是指解的存在性的进一步推广，即给定初始条件后，非线性微分方程的解是否是唯一的。

根据唯一存续定理，当非线性函数满足一定条件时，非线性微分方程的解是唯一的。

唯一性的证明一般采用数学分析的方法，如利用微分方程的特殊结构和变量替换，对非线性函数的特殊性质进行研究。

四、非线性微分方程的解析求解非线性微分方程的解析求解是指通过代数和函数的基本运算，找到非线性微分方程的显式解的过程。

对于一些特殊形式的非线性微分方程，可以利用变量替换、级数展开或者特殊的解法，将非线性微分方程转化为已知的函数形式，从而获得解析解。

但是对于大多数非线性微分方程来说，不存在通用的解析求解方法，因此研究非线性微分方程的数值解法成为广泛的研究领域。

五、非线性微分方程的数值求解非线性微分方程的数值求解是通过数值方法近似求解非线性微分方程的过程。

常用的数值求解方法包括欧拉法、龙格-库塔法、隐式法等等。

通过将非线性微分方程转化为一个递推关系式，然后利用迭代的方法逼近真实解，可以得到非线性微分方程的近似解。

数值求解方法在计算机的快速发展下得到了广泛的应用，为实际问题的求解提供了有效的工具。

D O I :10.3969/j.i s s n .1001-5337.2022.2.055 *收稿日期:2021-09-29基金项目:山东省自然科学基金(2016Z R B 01076).第一作者:胡紫寒,女,1996-,硕士研究生;研究方向:非线性分析及应用;E -m a i l :592206307@q q .c o m.通信作者:张克梅,女,1968-,博士,教授;研究方向:非线性分析及应用;E -m a i l :z h k m qo @126.c o m.一类非线性分数阶q -差分方程正解的存在性和唯一性*胡紫寒, 张克梅(曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市) 摘要:研究了一类具有分数阶q -差分的非线性边值问题,利用格林函数的性质㊁不动点定理和单调迭代方法,建立了边值问题正解的存在唯一性.关键词:分数阶q -差分;积分边值问题;混合单调算子;不动点定理中图分类号:O 177.91 文献标识码:A 文章编号:1001-5337(2022)02-0055-080 引 言本文主要研究了以下具有分数阶q -差分的非线性边值问题D αq u (t )+f (t ,u (t ),v (t ))=0,0<t <1,u (0)=D q u (0)=D 2q u (0)= =D n -2q u (0)=0,u (1)=λI βq u (η)=λʏη0(η-q s )(β-1)u (s )Γq (β)d q s ,ìîíïïïïï(1)其中0<q <1,n -1<αɤn ,n ȡ3,0<ηɤ1,λ,β>0,0ɤλΓq (α)ηα+β-1Γq (α+β)<1,且f (t ,u ,v )在t =0和t =1时具有奇异性.q-差分是一门古老的学科,它可以追溯到J a c k s o n [1,2].分数阶q -差分法来自A l -S a l a m [3]和A g a r w a l [4].目前,关于q -差分的研究有很多,此方面研究已被做了大量的工作[5-7].在文献[8]中,考虑了以下分数阶q -差分S c h r öd i n ge r 方程D αqu (x )+λh (x )f (u (x ))=0,0<t <1,u (0)=D q u (0)=D q u (1)=0,{(2)其中0<q <1,2<αɤ3,f ɪC ([0,ɕ),(0,ɕ)).作者通过运用单调迭代方法,得到了(2)正解的存在性.在文献[9]中,考虑了以下分数阶q -差分S c h r öd i n ge r 方程D αqu (t )+f (t ,u (t ),u (t ))=0,0<t <1,u (0)=D q u (0)=D q u (1)=0,{(3)其中0<q <1,2<αɤ3,f ɪC ((0,1)ˑ[0,ɕ)ˑ(0,ɕ),(0,ɕ)),且f (t ,u ,v )在v =0,t =0,1处具有奇异性.作者运用单调迭代方法得到了(3)正解的唯一性.在文献[10]中,考虑了一类带有非局部积分边值条件的非线性分数阶微分方程D α0++u (t )+p (t )f (t ,u (t ))=0,0<t <1,u (0)=u '(0)= =u (n -2)(0)=0,u (1)=λI β0+u (η)=λʏη0(η-s )(β-1)u (s )Γ(β)d s ,ìîíïïïïï(4) 第48卷 第2期2022年4月 曲阜师范大学学报J o u r n a l o f Q u f u N o r m a l U n i v e r s i t yV o l .48 N o .2A p r .2022其中n -1<αɤn ,n ȡ3,0<ηɤ1,λ,β>0,0ɤλΓ(α)ηα+β-1Γ(α+β)<1,且D α0+是标准的R i e m a n n -L i o u v i l l e 微分算子.作者运用不动点指数理论和u 0-正算子,得到了问题(4)正解的存在唯一性.本文运用了单调迭代方法和不动点理论,在一定条件下得到了问题(1)的最小最大耦合解;并在此基础上变换条件,运用单调迭代方法得到了问题(1)正解的唯一性.关于本文,列出以下条件(H 1)f ɪC ((0,1)ˑ[0,ɕ)ˑ[0,ɕ),[0,ɕ)),其中(t ,u ,v )ɪ(0,1)ˑ[0,ɕ)ˑ[0,ɕ),f 关于u 是非增的,关于v 是非减的,且存在一个正实数σ>0使得对任意的r ɪ(0,1],有f (t ,r u ,r -1v )ȡr σf (t ,u ,v ). (H 2)0<ʏ10(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d qs <+ɕ.(H 1')设条件(H 1)中的其他条件满足,但其中σ满足0<σ<1,使得对任意的r ɪ(0,1],有f (t ,r u ,r -1v )ȡr σf (t ,u ,v ). 注1.1 由条件(H 1)易知,对任意r >1,可得f (t ,r u ,r -1v )ɤr σf (t ,u ,v ).1 预备知识本节中,将介绍一些符号和引理,它们将用于相关定理的证明.定义2.1[5]设α>0,q ɪ(0,1)且f 是定义在[0,1]上的函数.则函数f 的R i e m a n n -L i o u v i l l e 型的分数阶q 积分定义为(I 0qf )(x )=f (x ),(I αqf )(x )=1Γq (α)ʏx 0(x -q t )(α-1)f (t )d qt ,α>0,x ɪ[0,1],且函数f 高阶的q 积分I nq 定义为(I 0q f )(x )=f (x ),(I n q )f (x )=I q (I n -1q f )(x ),n ɪℕ. 定义2.2[5]设α>0,q ɪ(0,1).则α阶的R i e m a n n -L i o u v i l l e 型分数阶q 导数定义为(D 0q f )(x )=f (x )(D αq f )(x )=(D m q I m -αq f )(x ),α>0,其中m 是大于或等于α的最小整数.引理2.3 设α>0且p 是一个正整数.则下面的等式成立(I αqD p qf )(x )=(D p q I αqf )(x )-ðp -1k =0x α-p +kΓq (α+k -p +1)(D k qf )(0). 引理2.4 设y ɪC ([0,1],[0,+ɕ)).则以下边值问题D αq u (t )+y (t )=0,0<t <1,u (0)=D q u (0)=D 2q u (0)= =D n -2q u (0)=0,u (1)=λI βq u (η)=λʏη0(η-q s )(β-1)u (s )Γq (β)d q s ,ìîíïïïï(5)其中αɪ(n -1,n ],n ȡ3,n ɪℕ,0<ηɤ1,λ,β>0,有唯一解u (t )=ʏ1G (t ,q s )y (s )d q s ,其中G (t ,q s )=-Q Γq (α+β)(t -q s )(α-1)+Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)λ(η-q s )(α+β-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β),0ɤq s ɤt ɤ1,q s ɤη;Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)λ(η-q s )(α+β-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β),0ɤt ɤq s ɤηɤ1;-Q Γq (α+β)(t -q s )(α-1)+Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β),0ɤηɤq s ɤt ɤ1;Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β),0ɤt ɤq s ɤ1,q s ȡηìîíïïïïïïïïïïïï65 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2022年是边值问题(5)的格林函数,且Q =1-λΓq (α)Γq (α+β)ηα+β-1,0<Q ɤ1.证明 由(5)式可知,D αqu (t )=-y (t ),再由定义2.2和引理2.3,可知u (t )=-I αqy (t )+c 1t α-1+c 2t α-2+ +c n t α-n ,由u (0)=D q u (0)=D 2q u (0)= =D n -2q u (0)=0,可得c 2=c 3= =c n =0,将上式代入u (t )中,可得u (t )=-I αqy (t )+c 1t α-1,再由u (1)=λI βqu (η),可知c 1=11-λΓq (α)Γq (α+β)ηα+β-1(I αq y (1)-λI α+βq y (η))=1Q (I αq y (1)-λI α+βq y (η)),则可得问题(5)的解为u (t )=-I αq y (t )+1Q t α-1(I αq y (1)-λI α+βq y (η))=-1Γq (α)ʏt 0(t -q s )(α-1)y (s )d qs +t α-1Q Γq (α)ʏ10(1-q s )(α-1)y (s )d q s -λt α-1Q Γq (α+β)ʏη0(η-q s )(α+β-1)y (s )d q s .当t ɤη时,有 u (t )=-1Γq (α)ʏt 0(t -q s )(α-1)y (s )d qs +t α-1Q Γq (α)ʏt+ʏηt+ʏ1η()(1-q s )(α-1)y (s )d qs - λt α-1Q Γq(α+β)ʏt+ʏηt()(η-q s )(α+β-1)y (s )d qs = ʏt0-Q Γq (α+β)(t -q s )(α-1)+Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)λ(η-qs )(α+β-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β)y (s )d qs + ʏηt Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)λ(η-qs )(α+β-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β)y (s )d qs + ʏ1ηΓq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β)y (s )d q s =ʏ10G (t ,q s )y (s )d qs .同理,当t ȡη时,有 u (t )=-1Γq (α)ʏη0+ʏtη()(t -q s )(α-1)y (s )d qs +tα-1Q Γq (α)ʏη0+ʏtη+ʏ1t()(1-q s )(α-1)y (s )d qs - λtα-1Q Γq(α+β)ʏη(η-q s )(α+β-1)y (s )d q s =ʏ10G (t ,q s )y (s )d qs .引理2.5 定义在引理2.4的格林函数G (t ,qs )满足以下性质(1)G (t ,q s )ȡ0,∀t ,s ɪ[0,1];(2)g 1(s )t α-1ɤG (t ,qs )ɤg 2(s )t α-1,∀t ,s ɪ[0,1],其中g 1(s )=ληα+β-1Q Γq (α+β)(1-q s )(α-1)-(1-q s )(α+β-1){},g 2(s )=(1-q s )(α-1)Q Γq (α). 证明 由0ɤλΓq (α)ηα+β-1Γq (α+β)<1,可知Γq (α+β)>λΓq (α)ηα+β-1.通过(a -b )(α)=a αᵑɕn =0a -b q na -b q α+n 和[a (t -s )](α)=a α(t -s )(α),可知(t -q s )(α-1)=t α-11-q s t æèçöø÷(α-1)ȡt α-1(1-q s )(α-1).75第2期 胡紫寒,等:一类非线性分数阶q -差分方程正解的存在性和唯一性当0ɤq s ɤt ɤ1,q s ɤη时,有G (t ,q s )Q Γq (α)Γq (α+β)=-Q Γq (α+β)(t -q s )(α-1)+Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)λ(η-qs )(α+β-1)t α-1ȡ-Q Γq (α+β)t α-1(1-q s )(α-1)+Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)ληα+β-1(1-q s )(α+β-1)t α-1ȡ(-Q +1)Γq (α+β)t α-1(1-q s )(α-1)-Γq (α)ληα+β-1(1-q s )(α+β-1)t α-1ȡΓq (α)ληα+β-1t α-1{(1-q s )(α-1)-(1-q s )(α+β-1)},即G (t ,qs )ȡληα+β-1Q Γq (α+β){(1-q s )(α-1)-(1-q s )(α+β-1)}t α-1ȡ0,且有G (t ,q s )Q Γq (α)Γq (α+β)=-Q Γq (α+β)(t -q s )(α-1)+Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)λ(η-qs )(α+β-1)t α-1ɤΓq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1,即G (t ,qs )ɤ(1-q s )(α-1)Q Γq (α)t α-1.由此可知,当0ɤq s ɤt ɤ1,q s ɤη时,G (t ,q s )满足其性质,其他条件下,同理可得引理2.5成立.本文中,在B a n a c h 空间E =C [0,1]中进行研究,且对任意的u ɪE ,具有范数 u =m a x t ɪ[0,1]|u (t )|,并且有E ˑE : (u ,v ) =m a x t ɪ[0,1] u , v {}.在E 中定义一个集合P 如下,P ={u |u ɪC ([0,1],[0,ɕ)),存在一个正常数0<l <1,使得l t α-1ɤu (t )ɤl -1t α-1,∀t ɪ[0,1]}.定义一个算子T :E ˑE ңE ,(T (u ,v ))(t )=ʏ1G (t ,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d qs .2 主要结论定理3.1 若(H 1),(H 2)成立,且存在一个正常数R >1使得r 1-σȡl -σQ Γq (α)ʏ10(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d q s ,(6)则分数阶q -差分方程(1)有最小最大耦合解(u *,v *)ɪP ,且存在常数0<l i <1(i =1,2),∀t ɪ[0,1],使得u *(t )ɪ[l 1t α-1,l -11t α-1],v *(t )ɪ[l 2t α-1,l -12tα-1],且有单调迭代序列{u n },{v n }如下:u n (t )=ʏ10G (t ,q s )f (s ,u n -1(s ),v n -1(s ))d qs ,其初始值为u 0(t )=0,v n(t )=ʏ10G (t ,q s )f (s ,v n -1(s ),u n -1(s ))d qs ,其初始值为v 0(t )=R . 证明 显然,易知对任意的u ,v ɪE ,有T :E ˑE ңE .下面证明算子T :P ˑP ңP 是全连续的.首先,需要证明T :P ˑP ңP .由条件(H 1)可知,算子T 关于u 是非增的,关于v 是非减的. 对任意(u ,v )ɪP ˑP ,由P 的定义可知,存在一个正常数0<l <1,使得l t α-1ɤu (t ),v (t )ɤl -1t α-1.(7)通过引理2.5㊁(7)和条件(H 1),可得 (T (u ,v ))(t )=ʏ10G (t ,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d qs ȡt α-1ληα+β-1Q Γq (α+β)ʏ10[(1-q s )(α-1)-(1-q s )(α+β-1)]f (s ,u (s ),v (s ))d q s ȡt α-1l σληα+β-1Q Γq(α+β)ʏ10[(1-q s )(α-1)-(1-q s )(α+β-1)]f (s ,s α-1,s α-1)d qs ȡl T t α-1,85 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2022年(T (u ,v ))(t )=ʏ1G (t ,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d qs ɤl -σt α-1Q Γq(α)ʏ10(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d qs ɤl -1T t α-1,其中正常数l T 满足0<l T <m i n1,l σληα+β-1Q Γq (α+β)ʏ10[(1-q s )(α-1)-(1-q s )(α+β-1)]f (s ,s α-1,s α-1)d q s {},且(l T )-1>m a x1,l -σQ Γq (α)ʏ10(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d qs {}.由(H 2)可知0ɤʏ10G (t ,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d qs ɤl -σQ Γq(α)ʏ10(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d qs <+ɕ,则算子T 是良定义的.综上可知,对任意(u ,v )ɪP ,可得T (u ,v )ɪP ,即算子T :P ˑP ңP .接下来证明算子T 是全连续的.令Ω是P 上的有界集,存在一个正常数N >0,使得 u , v ɤN对任意的u ,v ɪΩ.则由引理2.5和(H 2)可知,|T (u ,v )(t )|ɤʏ10|G (t ,q s )f (s ,u (s ),v (s ))|d qs ɤl -σt α-1Q Γq (α)ʏ10(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d qs <+ɕ.因此可知,T (Ω)是一致有界的.当u ,v ɪΩ时,对任意的ε>0,存在δ>0使得|t 2-t 1|<δ时,有|G (t 2,q s )-G (t 1,q s )|<εl -σʏ1f (s ,s α-1,s α-1)d qs ,t 1,t 2ɪ[0,1].由以上条件可知|T (u ,v )(t 2)-T (u ,v )(t 1)|=ʏ10G (t 2,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d q s -ʏ10G (t 1,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d qs ɤʏ10|G (t 2,q s )-G (t 1,q s )|f (s ,u (s ),v (s ))d qs ɤl -σʏ10|G (t 2,q s )-G (t 1,q s )|f (s ,s α-1,s α-1)d qs <ε,因此T (Ω)是等度连续的.则由A r z e l a -A s c o l i 定理可知,T :P ˑP ңP 是紧的.接下来证明算子T 的连续性.给出序列{u n },{v n }⊂Ω,且 u n -u 0 ң0, v n -v 0 ң0,n ңɕ时,即(u n ,v n )ң(u 0,v 0).对任意的ε>0,存在δɪ0,12æèçöø÷满足以下条件ʏδ0(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d qs <Q Γq (α)ε6l-σ,ʏ11-δ(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d q s <Q Γq (α)ε6l -σ.由f (t ,u ,v )在t ɪ[δ,1-δ]上的一致连续性和(u n ,v n )ң(u 0,v 0),n ңɕ时,有|f (t ,u n ,v n )-f (t ,u 0,v 0)|<Q Γq (α)ε3ʏ10(1-q s )(α-1)d qs ,t ɪ[δ,1-δ].由以上条件可知T (u n ,v n )-T (u 0,v 0) ɤm a x t ɪ[0,1]ʏ10G (t ,q s )|f (s ,u n (s ),v n (s ))-f (s ,u 0(s ),v 0(s ))|d qs ɤ1Q Γq (α)ʏ10(1-q s )(α-1)|f (s ,u n (s ),v n (s ))-f (s ,u 0(s ),v 0(s ))|d q s ɤ95第2期 胡紫寒,等:一类非线性分数阶q -差分方程正解的存在性和唯一性06曲阜师范大学学报(自然科学版)2022年1QΓq(α)[ʏδ0(1-q s)(α-1)f(s,u n(s),v n(s))d q s+ʏδ0(1-q s)(α-1)f(s,u0(s),v0(s))d q s+ʏ1-δδ(1-q s)(α-1)|f(s,u n(s),v n(s))-f(s,u0(s),v0(s))|d q s+ʏ11-δ(1-q s)(α-1)f(s,u n(s),v n(s))d q s+ʏ11-δ(1-q s)(α-1)f(s,u0(s),v0(s))d q s]<ε.由上可知,算子T是连续的.综上,T是全连续算子.令P R={u|uɪP, u ɤR},其中R满足(6)式.下面证明T:P RˑP RңP R.由条件(H1)和(6)可知,(T(u,v))(t)=ʏ10G(t,q s)f(s,u(s),v(s))d q sɤtα-1QΓq(α)ʏ10(1-q s)(α-1)f(s,r u(s),r-1v(s))d q sɤrσl-σtα-1QΓq(α)ʏ10(1-q s)(α-1)f(s,sα-1,sα-1)d q sɤrσl-σQΓq(α)ʏ10(1-q s)(α-1)f(s,sα-1,sα-1)d q sɤR,上式意味着 T(u,v) ɤR,因此,有T:P RˑP RңP R.令u0(t)=0,v0(t)=R,定义u n(t)=T(u n-1,v n-1)(t)和v n(t)=T(v n-1,u n-1)(t),n=1,2, .由u0,v0ɪP R和T:P RˑP RңP R可知u1ɪP R,v1ɪP R.由以上定义可知u1=T(u0,v0)=T(0,R)ȡ0=u0,通过归纳可知u n+1ȡu n,u n,v nɪP R,n=1,2, .由算子T的紧性可知{u n}是相对紧集.因此,存在u*ɪP R使得u nңu*,nңɕ时.同理,v1=T(v0,u0)=T(R,0)ɤR=v0,通过归纳可知v n+1ɤv n,u n,v nɪP R,n=1,2, .由算子T 的紧性可知{v n}是相对紧集.因此,存在v*ɪP R使得v nңv*,nңɕ时.由u0ɤv0可知T(u0,v0)ɤT(v0,u0),即u1ɤv1,通过归纳,可得u nɤv n,则有u0ɤu1ɤ ɤu nɤv nɤ ɤv1ɤv0.算子T是连续的且u n(t)=T(u n-1,v n-1)(t),n=1,2, ,可得u*=T(u*,v*)当nңɕ时,且u*ɪP,u*(t)ɪ[l1tα-1,l-11tα-1],∀tɪ[0,1],且有以下单调迭代序列u n(t)=ʏ10G(t,q s)f(s,u n-1(s),v n-1(s))d q s,初始值u0(t)=0.同理,由T是连续的且v n(t)=T(v n-1,u n-1)(t),n=1,2, ,可得v*=T(v*,u*)当nңɕ时,且v*ɪP,v*(t)ɪ[l2tα-1,l-12tα-1],∀tɪ[0,1],且有以下单调迭代序列v n(t)=ʏ10G(t,q s)f(s,v n-1(s),u n-1(s))d q s,初始值v0(t)=R.由上可得下式成立u0ɤu1ɤ ɤu nɤ ɤu*ɤv*ɤ ɤv nɤ ɤv1ɤv0.又由u*=T(u*,v*),v*=T(v*,u*),可知(u*,v*)是算子T在PˑP上的耦合不动点.下证(u*, v*)是算子T的最小最大耦合不动点.设(u',v')是算子T在[u0,v0]ˑ[u0,v0]中的任一耦合不动点.于是u0ɤu'ɤv0,u0ɤv'ɤv0,假定n=k时,u kɤu'ɤv k,u kɤv'ɤv k,则有u k+1=T(u k,v k)ɤT(u',v')=u'ɤT(v k,u k)=v k+1,u k+1=T(u k,v k)ɤT(v',u')=v'ɤT(v k,u k)=v k+1.于是,根据归纳法,得u nɤu'ɤv n,u nɤv'ɤv n,则当nңɕ时,有u*ɤu'ɤv*,u*ɤv'ɤv*.所以, (u*,v*)是算子T的最小最大耦合不动点,则分数阶q-差分方程(1)有最小最大耦合解(u*,v*).定理3.2设(H1'),(H2)成立.则问题(1)有唯一的正解x*(t)ɪP,且对任意的u0,v0ɪP,有l i m nңɕu n=l i m nңɕv n=x*,其中u n (t )=ʏ10G (t ,q s )f (s ,u n -1(s ),v n -1(s ))d qs ,v n (t )=ʏ1G (t ,q s )f (s ,v n -1(s ),u n -1(s ))d qs ,n =1,2, . 证明 由(H 1')中f (t ,r u ,r -1v )ȡr σf (t ,u ,v )可知T (r u ,r -1v )(t )=ʏ10G (t ,q s )f (s ,r u (s ),r -1v (s ))d qs ȡrσʏ10G (t ,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d qs =r σT (u ,v )(t ),(8)由此可知T (r r -1u ,r -1r v )=T (u ,v )ȡr σT (r -1u ,r v ),即T (r -1u ,r v )ɤr -σT (u ,v ).(9)令z (t )=t α-1,通过定理3.1可知T (z ,z )ɪP .且令0<r 0<1足够小,则可得r 1-σ20z (t )ɤT (z ,z )(t )ɤr -1-σ2z (t ).令u 0=r 120z (t ),v 0=r -120z (t ),(10)且u n =T (u n -1,v n -1),v n =T (v n -1,u n -1),n =1,2, ,则有u 0,v 0ɪP ,u 0≪v 0,u 0=r 0v 0.由(8)㊁(9)和(10)式可得u 1=T (r 120z ,r -120z )ȡr σ20T (z ,z )ȡr 120z =u 0,v 1=T (r -120z ,r 120z )ɤr -σ20T (z ,z )ɤr -120z =v 0,u 1=T (u 0,v 0)ɤT (v 0,u 0)=v 1,则通过归纳可知u 0ɤu 1ɤ ɤu n ɤ ɤv n ɤ ɤv 1ɤv 0.(11)接下来,我们证明u n ȡr σn 0v n ,n =0,1,2, .(12)当n =0时,(12)式成立;假设n =k 时,(12)式也成立,即u k ȡr σk 0v k ,则有u k +1=T (u k ,v k )ȡT (r σk 0v k ,r -σk 0u k )ȡr σk +10T (v k ,u k )=r σk +10v k +1,则通过归纳总结,可知(12)式成立.由(11)式和(12)式可知,对任意的自然数n 和p *,可知0ɤu n +p *-un ɤv n -u n ɤ(1-r σn 0)v n ɤ(1-r σn 0)v 0. 由上式柯西列收敛可知,存在x *ɪP ,使得l i m n ңɕu n =l i m n ңɕv n =x *.则当u n =T (u n -1,v n -1)中n ңɕ时,可得x *=T (x *,x *)是算子T 的不动点,即x *(t )是问题(1)的正解,则存在一个正常数l *,使得l *t α-1ɤx *(t )ɤl -1*tα-1成立,其中l *ɪ(0,1),t ɪ[0,1].接下来,设y *(t )是(1)式的另一个正解,则存在一个正常数l *,使得l *t α-1ɤy *(t )ɤ(l *)-1t α-1成立,其中l *ɪ(0,1),t ɪ[0,1]成立.又因为r 0足够小,则有u 0(t )ɤy *(t )ɤv 0(t ),t ɪ[0,1],因T (y *,y *)=y *且算子T 关于u 是非增的,关于v 是非减的,通过归纳总结可知u n (t )ɤy *(t )ɤv n (t ),t ɪ[0,1].(13) 当(13)式中n ңɕ时,可得y *=x *.由上可知算子T 有唯一的不动点x *,且对任意的u 0,v 0ɪP ,有l i m n ңɕu n =l i m n ңɕv n =x *,16第2期 胡紫寒,等:一类非线性分数阶q -差分方程正解的存在性和唯一性26曲阜师范大学学报(自然科学版)2022年其中u n=T(u n-1,v n-1),v n=T(v n-1,u n-1),n=1,2, .综上,问题(1)在P上有唯一的正解x*(t),定理3.2成立.参考文献:[1]J a c k s o nF H.O n q-f u n c t o n s a n da c e r t a i nd i f f e r e n c e o p e r a t o r[J].T r a n sR o y S o cE d i n,1909,46(2):253-281.[2]J a c k s o nF H.O n q-d e f i n i t e i n t e g r a l s[J].Q u a r t JP u r eA p p lM a t h,1910,41:193-203.[3]A l-S a l a m W A.S o m e f r a c t i o n a l q-i n t e g r a l s a n d q-d e r i v a t i v e s[J].P r o cE d i n b M a t hS o c,1966,15(2):135-140.[4]A g a r w a lRP.C e r t a i n f r a c t i o n a l q-i n t e g r a l s a n d q-d e r i v a t i v e s[J].P r o cC a m b r i d g eP h i l o sS o c,1969,66(2):365-370.[5]F e r r e i r aR AC.P o s i t i v e s o l u t i o n s f o r a c l a s so f b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m sw i t h f r a c t i o n a l q-d i f f e r e n c e s[J].C o m p u tM a t hA p p l,2011,61(2):367-373.[6]G o o d r i c hCS.E x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s t o a f r a c t i o n a l d i f f e r e n c e e q u a t i o nw i t hn o n l o c 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e p r o b l e m;m i x e d m o n o t o n eo p e r a t o r;f i x e d p o i n t t h e o r e m。

第55卷第1期2021年2月华中师范大学学报(自然科学版)JOURNAL OF CENTRAL CHINA NORMAL UNIVERSITY (Nat Sci.)Vol55 No1Feb&2021DOI ：10. 19603/j. cnki. 1000-1190. 2021 01 002 文章编号：1000-1190(2021)01-0007-08高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性韩伟!，原战琴(中北大学理学院，太原030051)摘要：研究了一类高阶非线性分数阶三点边值问题非平凡解的存在性和唯一性，主要是通过有 序的实Banach 空间上的非线性算子方程# = A (,#) +E(##)十e 来研究的.其中@,B 为混合单调算子，利用锥上的不动点定理,得到了非平凡解的存在性和唯一性，又构造了两个迭代序列来近似的逼近解.此外，作为主要的结果应用，给出了一个例子来说明.关键词：算子方程；不动点原理；非平凡解；三点边值问题中图分类号：O175.25 文献标志码:A 开放科学(资源服务)标志码(OSID )：众所周知，分数阶微分方程已经广泛应用到微 分方程的各个领域：物理，化学，工程，生物学'T.本文主要 实Banach E 中关于方程u = A(u,u ) + B(u,u ) + e 解的存在性和唯一 性.其中A 'A 是 单，e #P 且P 是E 中的一个正规锥.事实上，文献[R-5]中解的存在性和唯一性都是局部的，考虑的算子方程是在P j,e 中研究的.接下来得到D 0+G(,s )的取值范围应的 , 到问题(1)非平凡解的存在性和唯一性.本文 研究的问题是—D "+ u () = ftt , u(t ) , D 0+u(t ) )+g(t , utt ) , utt ) )—2, t # (0,1);u (e >(0) = 0 , i = 0 , 1, 2 , 3 ,■•• ,0 ― 2 ；(1)[[D 0+u(t )(=1 =BD 0+u(**), 0 — 2收稿日期：2019-09-01.基金项目：山西省高等学校科技创新项目(201802085);山西省自然科学基金项目(201901D211276);中北大学科研创新团队支持计划(TD201901)；山西省高等学校优秀青年学术带头人支持计划项目.* 通信联系人.E-mail ： sh _hanweiweil @126. com.其中，D 0+是 的 - 尔分数a 阶导数,0—1<a %0(" # N , 0 7 2). D 0+ 是标准的黎曼-刘维尔分数)阶导数且0 — 2 <)% 0 —1 ,D 0+是标准的 -刘维尔分数0阶导数且)>0> 0,且0% b *—— <1,0%B %1,0<*<1,a —)—170,是#的第i 阶导数.满足如下条件：① f : [0 ,叮 + '一 e * , + S ) X [0,+ S "&(—S , + S ) ；e * = max{e(t ) :t # [0 , 1(;② g ： [0 ,「X [一e * , + S ) X [一e * , + S ) &(—S , + S );且f , g 都是连续函数.当 2 < a < 3,0= 3, f (t,u(t) ,D 0+u(t ))=0, b = 0 , i = 3时，问题(1)归结为如下的带有正半线性的非线性分数阶微分方程问题(2),文献 [6(得到了问题(2)正解的存在性.|D 0+u(t )+ ftt , u(t))= 0,0 < t < 1,()[u (0) = u '(0) = u "(0) = 0,其中，2<a <3,D 0+是标准的黎曼-刘维尔分数a% ) % 0 一 1 ,阶导数， 并且 f [0,叮X [0,+ S ) &(—S , + S ),他们使用Krasnosel'skill 不动点定理来证明正解的存在性•更多相关文献可 见[7-10].1预备知识设(E , , • || )是一个实Banach 空间■是E 的零 元素，锥P 5E , # % 5当且仅当5一# # P 和# -5,则可得#<5或者# >5.锥P 满足两个条件①## P , # 7 08# # P ；② # # P , ― # # P 8# =+.若存在正常数N >0 ,使得对于# , 5# E , +%#% 5，都有% N|5II ,则称P 为正规锥.定义1[11] 设A ：P j , e +P j ” & E 是一个混合 算子,A# ,5)关于#单，关于5单调递减.其中 u , :, # P j , e (i = 1 , 2) , "1 % u z , ：1 7 可彳寻 A ("1 , ：1 ) % A ("2 , ：2 ).右兀素 # # P h ,是 A的一个不动点，则有A #, #)= #.8华中师范大学学报(自然科学版)第55卷引理1'12( 设P 是E 中的一个正规锥，算子 A , B :P k = X P j = & E 是两个混合算子.满足以下条件：1) 对于 V $ # (0, 1), V x , 5 # P h =,9,($$# !, 1)使得A (x + $$ 一 1) = , $—15+($—1 一 1) = )7,$$)A. (x , 5)+(.，(.$)_ 1)=.2) 对于 V $ # (0, 1)V x , 5 # P j ,有B ($x + ( $ 一 1), $—15+( $—1 一 1) = )7B (x , 5)+ ( $ 一 1)=3) A ( J, J )# P j ,且B( J, J )# P j ,.R )存在常数-3 0,V x , 5 # P j ,，有A ( x , 5 ) 7 -B ( x , 5)+ ( -_1)=.则算子方程x = A ( xx) +B (x,x ) +=在P j ,上有唯一解x *，对于任给的初值x 0, 50 # P h ,有以下 的d r (a 一 0)2)当 0%*%s %$% 1 时,0<d = 1 — *十% 1,1+ (1 — s ) *、071,0%d (1+ (1 —s )*、0(%x n = A x n —1 , 5n —1 ) +B x n —1 , 5n —1 ) +=,5n= A 5n—1 , x n—1 ) +B 5n—1 , x n—1 ) +=,n = 1,2, 3 …则在空间E 中有x n &x * , 5n &x * ( n &s )成立.引理2'(设(是一个连续函数-#C[0,叮是分数阶微分方程边值问题(3)的一个解，(—D +u ( $ ) = (( $) ,0 < $ < 1, n _ 1 < a %n )'u -E (0)=0,E = 0,1，…,一2；)D ^+ u ( $ ) = bD 0+ ( *), n 一 2<)%n — 1.3)这里，n 72, 0%b <1, 0 < *< 1, a _)_ 17 0,0 %b *_i < 1当且仅当u 满足积分方程u( $ )=[g ( $, s ) ( s )ds .其中G !$,s )1d r !a)t —1 (1 -s )a —*—1 —-bt"-1!*—s )$_ (1 -s )a —*—1 —d !$—s )a —1'$_ (1 -s )a —*—1 —-ba !$—s )t —1 (1 -s )a —*—1,—d $—s ) —10 % s % min{$, *} < 1, 0 <* % s % $ % 1,0 % $ % s % * < 1,0 % max{$, *} % s % 1,d = 1_ b *0—1—1〉0,G ( $, s )作为(3)的格林函数在 [0, 1(X [0, 1(上连续.引理3[( 函数G ( $, s )是如上引理2中所定义，则其满足如下性质：① G ( $, s )3 0, V ( $ , s )# (0, 1)X (0,1).② 对于 V ( $ , s )# [0, 1(X [0, 1]有$i (1 — s)1 (1 _ (1 _ s ))才r a%G $,s ) %d r )引理4 在引理3中所定义的G ( $ ,)有以下性质:0 %$ —1 1 —s ) —)—1 1 — 1 —s )) ) %r (a )G ( $ ,s )% $(1-s) 1$, s # [0, 1],(R )0 % $_ (1 — s ) e 1 (1 —d (1 + (1 _ s )*、0 ))%d r (a _ 0) D 0+G ( $, s)% $1—°-1 (1 _ s)L *、1,$, s # [0, 1]. (5)证明 首先不等式(R)已证，现在需要用(R)来证不等式(5).有$cif —1 (1 — s )1 —bt L 0-1 ( *_ s )1— d $ $_ s)1—1—1 ,0 % s % min &, *}< 1；D 0+G !$, s )1 1—01 (1 — s )1 — dt$ — s) 01 ,0 < * % s % $% 1;d r ( a — p )"、0-1 (1 — s )1_bt 1—1—1 (*_ s ) LT ,0 % $% s % * < 1;$1—1—1 (1 — s )1 , % max &, *}% s % 1,其中，d = 1 _ b *、、1 3 0.1)当 0 % s % min & , s }< 1 时，* < 1, s * <s 8 十 3 s 8 (1 _ s 厂1 < (1 —s )1、、1,则有D 0+Gt $，"d r O —T yL 1(―一t 1、、1 (*_ s )"、、1 _ dt$_ s)a —!—1)= d rSi )((1 — s )^ _b <*_s )-1 _d (1_s 厂「「((1-s )—d$a —^((1—s )^1 _d (1-s)i 1-d (1 _ s )"、、】)=$■_、1 (1 — s )"、、1d r (a 一 0)t "0 (1 — S )"、、1(1 一 d 一 d (1 一 s ) l 0 )(1 _ d (1 + (1_s )*、0 )).第1期韩 伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性91,则有d "a —0)(0—1(1—s )$a —0—1D 0+G !$ s "d(t — s"c —0—1"> (1 —sd"(a — 0)(<：1-s )a—0—1$a —0—1d "(a —0)((1 —s )d (1 — s )c —0—1)=a —0—1 ( ( — )a —t —1;————(1 — d (1 —s )L 0 )7r>"(a 一 0"严0一1 ( ( 一 e"0—t 」—氓—(1—>(1+ (1 —s )r )).% 1,1+ (1 — s ) —71,0%d (1+ (1 —s ) — )%1,则有D 0+G (，s )=d "101(1-s )—1-八!-s)^1) = d t —5((1-s)^1 -b *—-1(1-s 厂L J 7严—0—1( ( 一 e ) a —)—1t d "1-s 0) (1-d (1-s )0)7a—0—1 ! )a —)—1t d "1-s 0) (1-d (1+(1-s ))-0)).R )当 0 % max{t ,}% s % 1 时，0<d = 1 一*一旷1%1,1+(1 —s )1-0710%d (1+ (1 —s )心)% 1,则有1D 0+G (t ,s "t L/—1d " (a 一 0)(1 —s "________1_______t0——1d " (a —0 "从而D 0+G (t , # "7(1-s )"—'—1 (1 —d (1+ (1 —s )*-0 )).-7-—^― t" (1 — s )"-l —1 (1 — d (1 + (1 — H.d " a —0显然可得D 0+Gts )% d "b >—综上所述，0 % t l ——1 (1 — s )"-l 1 (1 — d (1 + (1 — s )'—0)) %d "(a —0) G(t , s ) % 厂尸1 (1 一 s )--1 ,t , s # [0, 1(.引理 5[13(令 a >—1,) > 0, t > 0,则D 0+t"(a )厂1"(a —)—1)'有关于分数微积分的更多细节请参考文 献［13(.2主要结论这部分主要利用引理1〜5,来证明问题(1) 解的存在性与唯一性.设E = # I # # C[0, 1(,D 0+# # C[0,叮}是实Banach 空间，范数为#(t ) II = max { max #()〔 , D 0+ max I #()t #(0,1) t # (0,1)I }.P 是一个正规锥，设P # E,P = # # E ：#(t )7 0, D 0+#t t )7 0, 2 t # [0,1(}且 P h 5E .其中空间E 赋予一种新的半序关系u V:；u ( t )% : ( t ) , D 0+ u ( t )% D 0+ : ( t ).定理1 假设① f ： ', 1( X [一 e * , + s ) X [0, + s ) &(—S , + S ))*= max{e ( t ) : t # [0,1(}；g ：[0 , 1 ( X [一 e * , + s ) X [一 e * , + s ) &(—S , + S ).它们都是连续函数.② 当t # (0, 1)时,f(t , # 5)关于第二变元#单调递增，关于第三变元5单调减.g (, #, 5)关于第二变元#单调递增，关于第三变元5 单 减③ 对于 2t # (0, 1)9,() # (, 1)有f (t $## + (#— 1 )e $#—15+ (#—1 — 1 )e ) 7 ,(#)f (, #, 5)；g (t $## + (# — 1 )e $#—15+ (#—1 — 1 )e ) 7#g (t , # , 5 )④存在-> 0,g (s, H , 0) — 0,H 71 + b *a ~v + (1 一 ~ )d 洋 /曰(/ 、、c ______________( 仅丿 •使得 f(t , #, 5) 7)d " (a ) )a —))-g (, #, 5),且 t # (0 , 1)#, 5 # [0,+ s ).则有以下结论.1)存在u ° , ：0 # P h ,和一个足够小的L #(0, 1)使得：：0 V u V ：0.有L ：0 ( t )% u ( t ) % ：0 ( t ),rD 0+：0 ( t ) % D 0+ u ( t ) % D 0+：0 ( t ).u ( t ) %* G ( t , s)f ( s , u ( s ) , D 0+：0 ( s))ds +* G ( t , s)g ( s , u 0 ( s ) , ：0 ( s))ds +c (1 十一 2(1 — *)-)) 1 + U 仅)c 严d " ( a )( a — ：)d " ( a )( a — ：)'""D 0+u 0 t ) %* D 0+G ( t , s')f ( s , u °( s ) , D 0+ ：0 ( s))ds +* D 0+G ( t , s) g ( s , u ( s s , ：0 ( s ))ds +c (1+*L “一2(1 —*)「")叶1 +d " ( ) — 0)( a — ：)10华中师范大学学报（自然科学版）第55卷_________________________________"~0d r ( _ 0) )a _ ：)1 — *ad r(a ) (a _%:0!$) %*0G !$$s )f !s $:0!s )$ D 0+u 0!s ))d s +c (1+ b *"—))Gtt , s')g (s $ ：0 (s) $ u ° (s))ds +0$"一1d r !a )!a —:)1 — *ad r(a ) )a _ v')$c (1+ * — 2(1—*)"、*)$c (1 + b *°^v)+ (1 一 * \dc$d r (a ) (a _ ：)$d r (a )(a —:)D 0+:0 ($) %d r(a) (a _ :)c (1+*+(1—* )d )_t iD 0+ G($ $ s ) f (s $ ：0(s), D 0+u 0(s))ds + 0D 0+G !$ $ s )g !s $ :0 !s )$ u 0 !s ))d s +c (1 + — 2(1 — g )0-*)$—— + \ a ) $—!d r * _0) (a _ ：) d r ( * _ 0) (a _：) *其中，J ( $) = H " ,$ # [0 $ 1(.2) 算子方程 x = A ( x ,x ) + B(x,x ) + e 有一 个非平凡解u *，-* # P j $.3) 对任意初始值K 0$ /0 #P j $$构造迭代序列{K n } $ {/n } $ 其极限值为 x * K n & x * $ /n &x * ( n & s )，有K n $ ) =d r a ) a —:)$a —1 =J $ ) .因此0 %=( $ )% J ( $ )使得P j $ = {u # C[0$ 叮 $ 由引理2和问题(1)积分可得u + = # P j }.u ($"=*0G ($ $ s "(f (s $ u (s "$ D 0+u (s ""+g (s $ u (s "$ u (s ""—c d s =G ($ $ s "f (s $ u (s "$ D 0+u (s ""d s +G !$ $ s )g !s $ u !s )$ 02*0G !$ $ s )d s u !) ) ds 一G ($ s)f (s $ K n —1 (s ) $ D 0+—1 (s ) )ds +0G ($ $ s "f (s $ u (s "0D 0+u (s ))d s +J q G ( $ $ s)g ( s $ K n —1 ( s ) $ /n —1 ( s ))ds +c (1+ * _2(1 —*)"、* )1 +d r ( a ) (a _ :)G !$ $ s )g !s $ u !s )$0c (1+ * _ 2(1 —*)"、*)$、] +u !) ) ds 一d r(a) (a _ :)1 — *a .$" $ Gd r(a ) (a _ ：)'1( $ n = 1 $ 2, •…d r(a) (a _ :)/n ( $ ) =G ( $ $ s)f ( s $ /—1 ( s s $ D 0+K —1 ( s s )ds + 0G($0s )f !s $ u !s )D 0+u (s ))d s +G $$ s )g s $ /n —1 s )$ K n —1 s ))d s +c (1+ * 一2(1—*)"、* )1 +d r ( a ) (a _ ：)G($0G($0s )g !s $ u !s )$s )f !s $ u !s )u (s))ds — =()D 0+ uO ) ds —1_ *a1$ 2,…,r(、( )，$ # '$ 1(，"d r ( a ) ( a _ ：)V $ # (0$ 1)有c (1+ b *「一 _2(1—*)"、* )1 +d r (a )(a _:)证明e($')1—a八() 7 0$ # '$ 1(.d r a ) a —:)因为e # P $ $ # [0$ 1(,所以有e ( $ )=(】+ 打 一21、*)"、* $—1 +d r (a )(a —:)=!$ ) +G !$ $ s )g !s $ u !s )$ u !s ))d s —0=!$) +=!$) .对V u $ : # P j $$ $ # '$ 1(需考虑以下算子,$ ,A (u $ :"($"=G ($ $ s "f (s $ u (s "$ D 0+:(s "d s —=($"$B !u $ :)!$) =*0G !$$ s )g !s $ u !s )$ :!s ))d s —=!$)D 0+A !u $ :)!$) =D 0+G ($$s )f (s $ u (s )$ D 00+:(s ))d s —D 0+=($)$第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性11D0+B(u,:)!)=*D0+Gt$$s)g(s$u(s)$:(s))ds_D0+e().所以ut$)是问题(1)的解当且仅当u=A(_u$u)+ B(u,u)+e.首先，需要证明算子A,B：P h,e X P h,&E是一个混合单调算子，取u,:#P j,e(=1,2),u] %u2,：17：2.由条件②及G($,s)30可得A u1,:1)$)=*G$,s)f s,u1s),D0)+:1s))d s—e$)7 1G$,s)f s,u2s),D0)+:2s))d s—e$)=J0A u2,:2)$),D0)+A u1,:1)$)=1D0)+G$,s)f s,u1s),D0)+:1s))d s—D0)+e$)7 1D0)+G$,s)f s,u2s),:2s))d s—D0)+e$)= J0D0)+A u2,:2)$),因此A(u1,：1))$)>A(u2,：2))$),同理B(u1,：1)($)>B(u2,：2)($).其次，由条件③，V##(0,1)和$#(0,1) 9,(t)#($,1)使得u,:#P je就可得A(+(#一1)e,厂1:+(#一1一1)e)($)= *G($,s)f(s,#u(s)+(#一1)e,A_1D0+:(s)+(厂1一1)e)ds—e($)7,$*)G$,s)f s,u s),D0)+:s))d s—e$)=,$*)1G$,s)f s,u s),D0)+:s))d s—e$)+,$)e$)—,$)e$)=G$,s)f s u s),D0)+:s))d s—e$))+ ,$)—1)e$)接下来证明A(u,u)#P j,,B(u,u)# P j,e.只需证A(u,u)+e#P j,B(u,u)+e#Pj.即可根据引理3和条件①，③得A J,J)$)+e$)=*1G$,s)f s,J s),D0)+J s))d s=「G($,ssf(s,Hs a—1,HD0+s—)ds%J01$a—11—1)a—*—1L$d—s f(s,?5=越：(1—s)-1f(s?,0)d"=丿口1(、)(1_s)"—T f(s,H,0)ds・H"= dH r a0丿口1(、)(1—s)"—1—1f(s,H,0)ds・J($).dH r a)0A J,J)$)+e$)=[G($,s')f(s,J(s),D0+J(s))ds7茁0(1-—)・f(s,0,H)ds・$i=h"*?1-—)・f s,0,H)d s・H$a—""—s)a—*—""—"—s)*)f(s,0,H)ds・J($).根据条件②，④和a30,"(a)〉0可得f(s,H,0)7f(s,0,H)7-g(s,0,H),s#',1(.设L1=H W0(_s)"i—1f(s,H,0)s,L=?1())0(1-s)"、、1(1-(1-s)*)X$)A u,:)$)+,$)—1)e$),B(#u+(#一1)e,#1:+(#1一1)e)($) [G($,ssg(s,#u(s)+(#_1)e,#t：(s)+ J0(#—1一1)e)ds—e($)7#G($s')g(s，-(s)(s))ds_e($)=J o#G($,)g(s，-(s)(s))ds_e($)+J0f(s,0,H)ds.又因为0<(1_s)*<1,那么0<1_(1—s)*< 1,0<b<1则显然1dH r(a)1Hr(a)f s,0,e($)_#e($)=#G$,s)g s,u s),:s))d s/H)%f(s?0、可推出L17L230,所以LJ($)%A(J,J)($)+e($)%L1J($),$#',1(.B J,J)$)+e$)="G$,s)g s,J s),J s))d s%e($))+(#_1)($)=\B(u：($)+(#_1)($).$i(1—s)"、、1d r a)g s,Hs a—"Hs a—")d s12华中师范大学学报（自然科学版）第55卷d"*—$0)s ・t "-1 =萌"*(1—s )-"H ，0)d ・H a>h"( )) ( — s)c —l —1g(s$ H $ 0)ds ・h ().A (h $ h )(t ) +e (t ) =* G(t $ s)g (s $ h (s), h(s))ds 7 ~1)1(1 — s )"-'—1(1 — (1 —s )"). "a)g(s$ 0 $ H )ds . t -1 =——1——[(1 一 s )"-厂1 (1 — (1 — s)v )・ H "(a )0k 丿''八g(s $ 0 $ H )ds ・ h(t).设L 「萌"*—$0)d sL Rg (s $ )$ H )d s ,同理可得7 L r > 0 ,则 L r J () % B(h$ h ) () +ett) % Lh C) $ t # [0 $ 1(.另一方面由条件①，②和引理3可推出D 0)+ (A (h $ h "(t "+e (t ""=1D 0)+G (t $ s "f (s $ h (s "$ D 0)+h (s "d s %J o------------1-------------「t ——1 (1 一 s )d "(a —0)hf (s $ h (s )$ D 0)+h (s ))d s %1d "(a —0)扎(-s )f ・ f($ ?，严八讥宀11E°) (,1 — s )-1f(s$ H , 0)ds ・ t 0-d " "—0 )D 0)+ (A (h $ h )(t ) +e (t )) =)D 0)+G (t $ s )f (s $ h (s )$ D 0)+h (s ))d s 7d "1—1+(-…. f (s $ Hs "—1 $ HD 0)+s "—1 d s ・t "—0—1 7d W —>" s )a —T 1-d ( + (-…. f (s $ )$ H d s ・ t a —0—1 ,D 0)+B (h $ h (t +e (t =1D 0)+G (t $ s g (s $ h (s $ h (s d s %1d "(a 一 0)t a —0—1(1 —s a —)—11g (s $ h (s $ h (s d s %d "1—*(-s )Eg (s $ H w 1D 0+B (h $ h "(t "+e (t "=*1D 0+G (t $ s "g (s $ h (s "$ h (s ""F s 7d W —>" s )a —T 1-d ( + (-….g (s $ Hs a —1 $ Hs a —1 "F s ・t a —0—1 7-7—1_「(1 — S )ll d (1 + (1— S )—))・ d " a —! 0g (s $ 0 $ H "F s ・ t a —!—1 ,其中$b 1 = d "a —0)\1(1 — s )^1f (s $ H $ 0)s $ b = d "(1—0)!1(1 —s )0—)-1(1—d (1 +(1 —s )—))f (s, 0$ H )ds,b = d r (—0)!1(1 —s )0—)-1g (s $ H $ 0)s $b = d "a — *(-1 — sS ^1(-1 — d(-1 +(1 —s ))—!))g (s $ 0 $ H ) s ,由条件②，④可得b 7 b 7 B r > 0 $ b 7 b 4 > 0, 因此 A(u$ u) +e # P h B (u $ u) +e # P j ,对任意u $ : # P j $ $ t # [0 $ 1( $根据条件④可得A(u $ ：)()=* G ($ sS f(s$ u(s') $ D 0+：(s))ds —e () 7-* G(t $ s)g (s $ u(sS $ :(s))ds —e ()+e () — e ()=-((Gtt $ s)g (s $ u(sS $ :(s))ds —e(t ) +(-一 1)() = -B (u $ ：)() + (- — 1)().则满足引理1的条件，从而定理1得证.3举例论证作为应用，给出以下例子来说明主要结论.1)考虑以下分数阶微分方程711—D 03+#(i) = 2#())R + #())一5 +(#'())-1 —1 $R#(o) = O (o) = P (o) = 0 $D R +#() =■2-Dj +#(R ).设 a = 7 $ ) = R $ b = 2 $ * =R ,0= y 满足 a第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性"39_*_170,0<0<*$b*、、1=3，令'f!$x$,5$"=(x!))"+(5($)一3$v g(t$x!),5($)=(x!)))+(5(.$))—5$1c=R.则有f($$x!)+!—1)!)$#_15!)+一1)!))=!x!)+(#——1)!))r+(#_15(^)+一1)!))一37(#x!))R+(#、5!))-3=#R(x!))R+#3(5!))一37#3((x!))R+(5!))一3)7,!#f!$x!)$5!)).其中,,(#)=#3.g!$#兄！)+(#—1)!)$#一5!)+(#、一1)!))=!x!)+!一1)!))R+!一5!)+!—1—1)!))—57(丄！))+!-S!))-5=#R(x($))+#5(5!))—57#5!x!))R+(5!))-5)7#((x!))R+(5!))—5)=#g!$$x!$$5!$满足条件③，将上述边界条件代入可得e!$c!+*"、*-2!-*)"、*)$"―1+d r(a))a_：)191"!1!+3+3x343唔)1Q1Q则----7<----.从而0%e($)%J($)$满56r(y)1R r(3)足条件①$e*=e!)=—%56r!则满足定理1的条件①，②，其中_13f$g：'$1(X|_56"(|)$+s X$+sS>$+)_13)56r(7是连续函数，并且关于第二变量单调递增，关于第三变量单调递减.显然g(s$0$H)=0R+H-5—0$f!$$x!$)$5!$))=11(x($))R+(5($))一37-((x($))R+(5($))一3)7-((x($))R+(5($))—5)=g!$$x!$$5!$取-=3时结论仍然成立.综上所述，就证明了定理1的所有条件,从而可以找到一个非平凡解x*4#P j$J!)=$$$#'$1(.!一*)dcd r(a)(a_：)可得e!$=因为1+b*_*+(1—*)dd"(a)(a一*)参考文献：'(KILBAS A A$SRIVASTAVA H M.Theoryandapplicationsoffractionaldi f erentialequations'M(.Amsterdam#Elsevier$2006. '2(BALEANU D$MACHADOJ L.Fractionaldynamicsand control'M(.Berlin#Springer$20"2.'3(WEITZNER H$ZASLAVSKY.Someapplicationsoffractionalequations]〕].Communications in Nonlinear Science&Numerical Simulation$2003$8!3-R"#273-281&[4(ZHAI C$WANG F.Properties of positive solutions for the operator equation Ax=#x and applications to fractional differential equations with integral boundary conditions H J].Advances in Difference Equations，2015$2015(1):1-10.'(ZHAI C B$YANG C$ZHANG X Q.Positive solutions for nonlinear operator equations and several classes of applications'].Mathematische Zeitschrift,2010,266(1)：R3-63&[6(BAI Z$LU H.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation'].Journal of Mathematical Analysis and Applicati$ns.2005$311：1R华中师范大学学报（自然科学版）第55卷495-505.[7(LIANG S,ZHANG J.Existence and uniqueness of strictly nondecreasing and positive solution for a fractional three-point boundary value problem'].Computers&Mathematics wth Applications,2011,62(3):1333-1340.'(EL-SHAHED M,SHAMMAKH W M.Existence ofp$sitive s$luti$ns$f the b$undary value pr$blem f$r nonlinear fractional differential equations'].Abstract and Applied Analysis,2011,2011(25) ：1363-1375.ZHANG L,TIAN H.Existence and uniqueness of positive solutions for a class of nonlinear fractional di f erentialequations'].Advances in Difference Equations,2017(1)：11R-132&[10]WANG H,ZHANG L L,WANG X Q.New uniqueexistence criteria for higher-order nonlinear singularfractional differential equations[J].Nonlinear Analysis:Mode l ingandControl$2019$24：95-120&[11]GUO D.Method of partial ordering in nonlinear analysis'].JournalofNingxiaUniversity(NaturalScienceEdition)$1999$20(1).'12]SANG Y$REN Y.Nonlinearsum operatorequationsand applications to elastic beam equation and fractionaldifferential equation'].Boundary Value Problems,2019,2019(1)：49.'13]PODLUBNY I.Fractional differential equations[M].New York：Academic Press,1999.Higher order nonlinear fractional differential equationexistence and uniqueness of solutionsHAN Wei,YUAN Zhanqin(SchoolofScience$North UniversityofChina$Taiyuan030051$China)Abstract:The existence and uniqueness of nontrivial solutions for a class of higher-order nonlinear fractional order three-point boundary value problems are studied,mainly through nonlinear operator equations#=A##)+B##)+e in ordered real Banach spaces A B aWe mixed ingthefixedpointtheoWem onconesthe existence and uniqueness of nontWivial solutions aWe obtained and two iteWative sequencesaWeconstWuctedtoappWoximatetheappWoximatesolutions.Inaddition asouW mainWesultapplication anexampleisgiventoi l ustWate.Key words：operator equation；fixed point principle；nontrivial solution；three point boundaryvalueproblem(上接第6页)where D a is the Caputo fractional derivative of order a,F：[0,1]O X&P(X)is a mult<valued map$#<saconstant.By meansofsomestandardfxed po<nttheorems$ su f c<ent cond<t<ons for the ex<stence of solut<ons for the fract<onal d<f erent<al inclusions are presented.Our results generalize the single known results to the multi-valuedones.Key words:Langevin differential inclusions；fractional order；anti-periodic boundary value problem；fixed-point theorem。

三类非线性偏微分系统解的存在性和唯一性的开题报告开题报告：三类非线性偏微分系统解的存在性和唯一性摘要：本篇开题报告旨在探究三类常见的非线性偏微分系统解的存在性和唯一性问题。

首先介绍了非线性偏微分方程的定义、基础理论以及经典的线性偏微分方程的求解方法。

其次，详细介绍了三类非线性偏微分系统及其相关的研究成果。

针对每一类系统，分别给出了存在性和唯一性的定理证明及其相关的方法和技巧。

最后，简要讨论了该研究方向的意义和应用前景。

关键词：非线性偏微分方程、存在性、唯一性、定理证明、应用前景一、研究背景和意义非线性偏微分方程是数学中一类重要的研究方向，涉及到多个实际领域的问题，如物理、化学、工程等。

与线性偏微分方程不同，非线性偏微分方程的解法具有很高的难度和复杂性，尤其是解的存在性和唯一性问题更是难度极大。

然而，研究其解的存在性和唯一性，可以为实际领域问题的预测和控制提供重要的理论和方法支持，具有重要的科学价值和社会意义。

在非线性偏微分方程中，存在着多类不同的方程类型和解的性质，近年来，针对研究非线性偏微分方程解的存在性和唯一性问题，涌现了很多理论方法和技巧。

本论文主要聚焦于三类较为常见的非线性偏微分系统，分别是可压缩流动方程、Navier-Stokes方程和Klein-Gordon方程，探究其解的存在性和唯一性问题，为实际应用提供有力的理论支持。

二、常见的非线性偏微分系统1. 可压缩流动方程可压缩流动方程是一类描述气体动力学运动过程的非线性偏微分系统。

其基本方程包括连续性方程、动量方程、热力学方程和状态方程等多个方程。

在常见的理论模型中，可压缩流动方程是描述空气动力学和燃烧过程等重要的方程系统。

该方程组解的存在性和唯一性一直是研究领域中的难点问题。

2. Navier-Stokes方程Navier-Stokes方程是一类描述流体运动和流体物理现象的非线性偏微分系统。

该方程系统包括连续性方程、动量方程、质量守恒方程等多个方程。

具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题正解的存在性分数阶微分方程是一类新颖的微分方程，它将传统的整数阶微分方程推广到了分数阶的情形，具有更强的表达能力。

而具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题又是分数阶微分方程中的特殊类型，其正解的存在性问题备受关注。

本文将探讨这一问题，并给出相关的定理和证明。

我们来看一般的分数阶微分方程边值问题的形式：\begin{equation}D^{\alpha}u(x) = f(x,u(x)), \quad a < x < b,\end{equation}\begin{equation}u(a) = A, \quad u(b) = B,\end{equation}其中D^{\alpha}表示分数阶导数，f(x,u)是非线性的函数，并且可能含有变号项。

a 和b是给定的常数，表示区间的边界，A和B是给定的常数，表示边值条件。

我们的目标是证明当给定的条件满足时，方程(1)(2)存在正解。

我们要证明方程(1)(2)的正解的存在性。

为了方便讨论，我们假设f(x,u)满足一定的增长条件和Lipschitz条件。

这些条件是存在正解的充分条件。

根据Caputo分数阶导数的定义，我们可以将方程(1)改写为积分形式：\begin{equation}u(x) = A + \int_{a}^{x}G(x,t)f(t,u(t))dt,\end{equation}其中G(x,t)是一个未知函数。

由于f(x,u)可能含有变号项，我们无法直接应用传统的定积分方法来证明正解的存在性。

我们需要使用变分方法来处理方程(3)。

接下来，我们来讨论边值条件的影响。

由于f(x,u)可能含有变号项，我们需要重新审视边值条件对正解的影响。

假设边值条件不是简单的Dirichlet条件，而是更一般的边值条件。

对于一般的边值条件，我们可以构造一个关于边值条件的适当的变分。

通过适当的变分，我们可以证明存在性的定理仍然成立。