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第3讲 插值拟合 Matlab课件

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Matlab插值 教学PPT课件

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j ( xk )
jk
0, 1,
j k, j k,
j ( xk ) 0, j (xk ) jk
j (xk ) 0;
( j, k 0,1,, n).
(6.5)
将满足条件（6.4）的插值多项式 H2n1(x) 写H成(x用) 插 值基函数表示的形式
n
H2n1(x) [ y j j (x) m j j (x)]. j 0
f (x) f (x0 ) (x x0 ) f [x, x0 ], 类似地，有二阶至 n 阶差商的定义得
f [x, x0 ]
f (x) f (x0) x x0
(x−x0)×
f [x, x0 ] f [x0, x1] (x x1) f [x, x0, x1],
(x−x0)(x−x1) × f [x, x0, x1] f [x0, x1, x2 ] (x x2 ) f [x, x0, x1, x2 ],
由l0(x0)=1，得
a0
(x0
x1 )( x0
1 x2
)
, (x0 xn )
l0
(x)
(x x1)(x x2 ) (x0 x1)(x0 x2 )
(x xn) . (x0 xn )
同理可设
li (x) ai (x x0 ) (x xi1)(x xi1) (x xn ),
)
一致
f
(x)
失去了原函数的光滑性。
二、分段Hermite插值 给定 x0 , ... , xn ; y0 , ... , yn ; y0 , ... , yn 在[ xi , xi1] 上利用两点的 y 及 y’ 构造3次Hermite函数
导数一般不易得到。
6.5 三次样条插值

matlab插值与拟合

matlab插值与拟合

matlab插值与拟合
在MATLAB中，插值和拟合都是通过函数来实现的。

插值是通过创建新的数据点来填充在已知数据点之间的空白。

MATLAB提供了几种不同的插值方法，例如分段线性插值、三次样条插值、立方插值等。

具体使用哪种插值方法取决于数据的特性和所需的精度。

插值函数的一般形式是`interp1(x, y, xi, 'method')`，其中`x`和`y`是已知的数据点，`xi`是待插值点的横坐标向量，`method`是插值方法，例如最近邻点插值、线性插值、三次样条插值、立方插值等。

拟合是通过调整一个数学模型来使得该模型尽可能地接近给定的数据点。

在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数进行多项式拟合。

该函数的一般形式是`p = polyfit(x, y, n)`，其中`x`和`y`是已知的数据点，`n`是多项式的阶数。

该函数返回一个向量`p`，表示多项式的系数。

可以使用`polyval`函数来评估这个多项式模型在给定数据点上的值。

需要注意的是，插值和拟合都是数学上的近似方法，它们只能尽可能地逼近真实的情况，而不能完全准确地描述数据的变化。

因此，选择合适的插值和拟合方法是非常重要的。

MATLAB中的曲线拟合与插值

MATLAB中的曲线拟合与插值

MATLAB 中的曲线拟合和插值在大量的使用领域中，人们经常面临用一个分析函数描述数据(通常是测量值)的任务。

对这个问题有两种方法。

在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。

这种方法在下一节讨论。

这里讨论的方法是曲线拟合或回归。

人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。

图11.1说明了这两种方法。

标有'o'的是数据点；连接数据点的实线描绘了线性内插，虚线是数据的最佳拟合。

11.1 曲线拟合曲线拟合涉及回答两个基本问题：最佳拟合意味着什么？应该用什么样的曲线？可用许多不同的方法定义最佳拟合，并存在无穷数目的曲线。

所以，从这里开始，我们走向何方？正如它证实的那样，当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的。

数学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合。

如果这种描述使你混淆，再研究图11.1。

虚线和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的误差。

对各数据点距离求平方，并把平方距离全加起来，就是误差平方和。

这条虚线是使误差平方和尽可能小的曲线，即是最佳拟合。

最小二乘这个术语仅仅是使误差平方和最小00.20.40.60.81-2024681012xy =f (x )Second O rder C urv e Fitting图11.1 2阶曲线拟合在MATLAB 中，函数polyfit 求解最小二乘曲线拟合问题。

为了阐述这个函数的用法，让我们以上面图11.1中的数据开始。

» x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1]; » y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2];为了用polyfit ，我们必须给函数赋予上面的数据和我们希望最佳拟合数据的多项式的阶次或度。

如果我们选择n=1作为阶次，得到最简单的线性近似。

Matlab 曲面插值和拟合

Matlab 曲面插值和拟合

Matlab 曲面插值和拟合插值和拟合都是数据优化的一种方法，当实验数据不够多时经常需要用到这种方法来画图。

在matlab中都有特定的函数来完成这些功能。

这两种方法的确别在于：当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。

插值：对于一维曲线的插值，一般用到的函数yi=interp1(X,Y,xi,method) ，其中method包括nearst，linear，spline，cubic。

对于二维曲面的插值，一般用到的函数zi=interp2(X,Y,Z,xi,yi,method)，其中method也和上面一样，常用的是cubic。

拟合：对于一维曲线的拟合，一般用到的函数p=polyfit(x,y,n)和yi=polyval(p,xi)，这个是最常用的最小二乘法的拟合方法。

对于二维曲面的拟合，有很多方法可以实现，但是我这里自己用的是Spline Toolbox里面的函数功能。

具体使用方法可以看后面的例子。

对于一维曲线的插值和拟合相对比较简单，这里就不多说了，对于二维曲面的插值和拟合还是比较有意思的，而且正好胖子有些数据想让我帮忙处理一下，就这个机会好好把二维曲面的插值和拟合总结归纳一下，下面给出实例和讲解。

原始数据x=[1:1:15];y=[1:1:5];z=[0.2 0.24 0.25 0.26 0.25 0.25 0.25 0.26 0.26 0.29 0.25 0.29;0.27 0.31 0.3 0.3 0.26 0.28 0.29 0.26 0.26 0.26 0.26 0.29;0.41 0.41 0.37 0.37 0.38 0.35 0.34 0.35 0.35 0.34 0.35 0.35;0.41 0.42 0.42 0.41 0.4 0.39 0.39 0.38 0.36 0.36 0.36 0.36;0.3 0.36 0.4 0.43 0.45 0.45 0.51 0.42 0.4 0.37 0.37 0.37];z是一个5乘12的矩阵。

拟合与插值专题ppt课件

拟合与插值专题ppt课件
在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析 函数描述数据(通常是测量值)的任务。对这个问 题有两种方法。
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容； 掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。
cj 103 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
该问题即解最优化问题：
min 1 F (a,b, k)
2
1 2
10
[a be0.02kt j
j 1
c j ]2
解法1. 用命令lsqcurvefit
F(x，tdata)= (a be0.02kt1 ,, a be0.02kt10 )T ，x=(a，b，k)
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
1
2
n i 1
( F ( x,
xdatai )
2
ydatai )
最小
输入格式: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,lb, ub);
1）编写M-文件 curvefun1.m
function f=curvefun1(x,tdata)
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)

数学建模插值与拟合课件

数学建模插值与拟合课件
２. Lagrange插值公式
设函数 y f (x) 在 n 1个相异点 x0 , x1, x2 , , xn 上的值为 y 0 , y1, y2 , , yn ，要求一个次数≤n 的代数多
项式
Pn (x) a0 a1x a2 x 2 an x n
使在节点 xi 上成立 Pn (xi ) yi (i 0,1,2, , n) ，称此为 n 次代数插值问题，Pn (x) 称为插值多项式。可以证明 n
如果不要求近似函数通过所有数据点， 而是要求它能较好地反映数据变化规律的近 似函数的方法称为数据拟合。（必须有函数 表达式）
近似函数不一定（曲线或曲面）通过所 有的数据点。
三、插值与拟合的区别和联系
1、联系 都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够 反映数据变化规律的近似函数的方法。 2、区别 插值问题不一定得到近似函数的表达形式，仅 通过插值方法找到未知点对应的值。数据拟合 要求得到一个具体的近似函数的表达式。
图所示，当n 增大时，pn x在两端会发出激烈
的振荡，这就是所谓龙格现象。
龙格现象
2
y=1/(1+x2) y=p4(x) y=p10(x) 1.5
1
0.5
0
-0.5
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
x
To MATLAB lch(larg1)
分段插值的概念
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段 多项式化。一般来说，分段插值方法的处理 过程分两步，先将所考察的区间作一分划
y1
lj(x)
当n =2 时，有三点二次（抛物线）插值多项式：
P2
(x)
(x (x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )

插值拟合MATLAB实现

3.3 插值与拟合的MATLAB实现简单的插值与拟合可以通过手工计算得出，但复杂的只能求助于计算机了。

3.3.1 线性插值在MATLAB 中，一维的线性插值可以用函数interpl 来实现。

函数interpl 的调用格式如下：yi = interpl ( x , y , xi ) ，其中yi 表示在插值向量xi 处的函数值，x 与y 是数据点。

这个函数还有如下两种形式：yi = interpl(y , xi)，省略x，x 此时为l : N，其中N 为向量y 的长度。

yi = interpl(x , y , xi , method ) ，其中method 为指定的插值方法，可取以下凡种：nearest ：最近插值。

linear ：线性插值。

spline ：三次样条插值。

cubic ：三次插值。

注意：对于上述的所有的调用格式，都要求向量x 为单调。

例如：对以下数据点：( 2 * pi , 2 ) , ( 4 * pi , 3 ) , ( 6 * pi , 5 ) , ( 8 * pi , 7 ) , ( 10 * pi , 11 ) , ( 12 * pi , 13 ) , ( 14 * pi , 17) 进行插值，求x = pi , 6 的函数值。

>> x=linspace(0, 2 * pi, 8 ）;>> y=[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ］;>> xl=[pi , 6 ］;>> yl=interpl(x, y, xl)yl =90000 1836903.3.2 Lagrange 插值Lagrange 插值比较常用，是MATLAB 中相应的函数，但根据Lagrange 插值函数公式，可以用M 文件实现：Lagrange.mfunctions = Larange(x, y, x0 )% Lagrange 插值，x 与y 为已知的插值点及其函数值，x0 为需要求的插值点的值nx = length( x );ny = length( y );if nx ~=nywaming( ‘向量x 与y 的长度应该相同’)return;endm = length ( x0 ) ;％按照公式，对需要求的插值点向量x0 的元素进行计算for i = l: mt =0.0;for j = l : nxu = 1.0;for k = l : nxif k~＝ju=j * ( x0( i )-x ( k ) ) / ( x( j )-( k ) ) ;endendt = t + u * y( j );ends( i ) = t ;endreturn例如：对（l , 2 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 6 ) , ( 4 , 8 ) , ( 5 , 10 ) 进行Lagrange 插值，求x = 23 , 3.7 的函数值。

MATLAB拟合和插值

MATLAB拟合和插值定义插值和拟合：曲线拟合是指您拥有散点数据集并找到最适合数据⼀般形状的线（或曲线）。

插值是指您有两个数据点并想知道两者之间的值是什么。

中间的⼀半是他们的平均值，但如果你只想知道两者之间的四分之⼀，你必须插值。

拟合我们着⼿写⼀个线性⽅程图的拟合：y=3x^3+2x^2+x+2⾸先我们⽣成⼀组数据来分析：x=-5:0.5:5;e=50*rand(1,length(x))-25;%制造[-25,25]的随机数作为误差y=3*x.^3+2*x.^2+x+2+e;%得到y值plot(x,y,'.')x =Columns 1 through 6-5.0000 -4.5000 -4.0000 -3.5000 -3.0000 -2.5000Columns 7 through 12-2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0 0.5000Columns 13 through 181.0000 1.50002.0000 2.50003.0000 3.5000Columns 19 through 214.0000 4.50005.0000y =Columns 1 through 6-350.0110 -248.6360 -169.3421 -89.5653 -88.2298 -57.7238Columns 7 through 12-32.5505 2.3308 11.5861 9.0123 -0.4538 5.7254Columns 13 through 18-2.1840 30.3596 20.4478 73.2138 88.1756 152.0492Columns 19 through 21236.2809 334.3864 411.0563这时候x,y作为已知数据存在，要求我们拟合x,y的散点图，这时候会⽤到这个函数。

语法p = polyfit(x,y,n)[p,S] = polyfit(x,y,n)[p,S,mu] = polyfit(x,y,n)说明p = polyfit(x,y,n) 返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数，该阶数是 y 中数据的最佳拟合（在最⼩⼆乘⽅式中）。

MATLAB插值拟合数值积分

pn ( xi ) yi f ( xi ), i 0,1, 2, ，n
这就是Lagrange插值。 xi 点称为插值节点。用几何语言 来表述这类插值，就是通过曲线 y f ( x) 上给定的n+1个 点，求作一条n次代数曲线 y pn ( x) 作为 y f ( x) 的近 似。
method指定插值的算法，默认为线性算法。其值可为： ‘nearest’ 线性最近项插值 ‘linear’ 线性插值 ‘spline’ 立方样条插值 ‘cubic’ 立方插值
例2
已知数据：
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
y
0.3
0.5
1
1.4
1.6
插值&拟合
例：1949年—1994年我国人口数据资料如下：
年 份 xi 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 人口数 yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8
yi interp1( x, y, xi) 对节点（x,y）插值，求插值点的函
数值。 X：节点向量值， Y：对应的节点函数值。
插值&拟合
例1：用lagrange法、分段插值法插值y=1/(1+x^2)
x=[-5:1:5]; y=1./(1+x.^2); x0=[-5:0.1:5]; y0=lagrange(x0,x,y); y1=1./(1+x0.^2); plot(x0,y0,'--r') hold on plot(x0,y1,'-b') legend('拉格朗日插值曲线’,'原曲线') y2=interp1(x,y,x0); plot(x0,y2,'*m') legend('拉格朗日插值曲线','原曲线','分段插值曲线')

插值拟合 MATLAB


3．实例 例 7.3.1 气旋变化情况的可视化 表 7.3.1 是气象学家测量得到的气象资料， 它们分别表示在南半球地区按不同纬度、不同 月份的平均气旋数字。根据这些数据，绘制出 气旋分布曲面图形。
0—10
10—20
20—30
30—40
40—50
50—60
60—70
70—80
80—90
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 8月 10月 11月 12月
2. 一般的曲线拟合 拟 合 函 数 的 命 令 为 ： curvefit( ) ， 或 lsqcurvefit( )，其调用格式为 p = curvefit(‘Fun’, p0, xdata, ydata)，或 p = lsqcurvefit('Fun', p0, xdata, ydata)， 其中 Fun —— 表示函数Fun (p, xdta) 的M文件； P0 —— 为函数的初值。 若要求点 x 处的函数值 y，可用程序 f = Fun(p,x) 计算。
插值函数为：e01sef和e01sff，。通常两者配合使 用，其调用格式为 [fnodes, a, rnw, b, c] = e01sef(x, y, z)； [pf(i, j), ifail] = e01sff(x, y, z, rnw, fnodes, px(j), py(i))； 其中 x，y，z —— 为插值节点，均为向量； px(j)，py(i) —— 为被插值节点； pf(i, j) —— 为被插值点 (px(j), py(i)) 处的插值结果； 它输出参数涉及插值算法，可以不用了解。 e01sef 的输出 fnodes 和 rnw 为确定插值的参数，它们 是 e01sff 需要的输入参数，因此两函数需配合使用。
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★ Runge（龙格）现象 例3-1 考虑一个著名的例子 ，f(x)=1/(1+25x2)，-1<=x<=1，假设
已知其中一些点的坐标，则可以采用下面的命令进行lagrange插 值
x0=-1+2*[0:10]/10; y0=1./(1+25*x0.^2); x=-1:.01:1; y=lagrange(x0,y0,x); ya=1./(1+25*x.^2); plot(x,ya,x,y,':') legend('原始图像 ','Lagrange插值')
三次样条插值函数
a x0 , x1 ,, xn b为区间[a, b]的一个分割 f ( xi ) yi , i 0,1,, n
如果函数S ( x )在区间[a, b]上满足条件 :
(1) S( x)在每个小区间[ xi 1 , xi ]上都是三次多项式
(2) S ( x), S ( x), S ( x)都在区间[a, b]上连续
3(n-1)个方程
这样就得到4n - 2个方程，为保证待定参数的唯一性，还差两个 方程。为此，常用的方法是对边界节点除函数值外附加要求，
这就是所谓的边界条件。根据实际问题的不同，三次样条插值 常用到下列三类边界条件。
★ m边界条件：
S ( x0 ) y0 , S ( xn ) yn S ( x0 ) y0 , S ( xn ) yn

y0 y1 yn
以上方程组的系数行列式为范德蒙行列式
1 x0 V ( x0 , x1 , x2 , , xn ) 1 x1 1 xn
2 n x0 x0
x12 x1n
2 n xn xn

0 i j n

( xi x j )
由于节点互异，行列式不等于0，方程组存在唯一解 缺点：当 n 比较大时，方程组很难解。
2．基本思想
一维插值方法的基本思想是：根据g(x)在区间[a,b]上
n +1个互异点 x j （称为节点）的函数值 y j ，j = 0,1,…,n，求 一个足够光滑、简单便于计算的函数f (x)（称为插值函数） 作为g(x)的近似表达式，使得 f (x j ) = y j ， j = 0，1，…，n。 （1） 然后计算f (x)在区间[a,b](称为插值区间)上点x（称为插值 点）的值作为原函数g(x)（称为被插函数）在此点的近似 值。求插值函数f (x)的方法称为插值方法，（1）称为插值条 件。 代数多项式比较简单，常用多项式作为插值函数。
分段线性插值 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -1 原始图像 分段线性插值
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
样条插值 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -1 原始图像 样条插值
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
例3-3 已知某转子流量计在100-1000 mL/min流量范围内， 刻度值与校正值有如下关系（见表3-1）。试用线性插值法 计算流量计的刻度值为780时，实际流量为多少？ 表3-1 例3-3数据 刻度值 100 200 300 校正值 105.3 207.2 308.1 刻度值 600 700 800 校正值 605.8 707.4 806.7
插值函数为基函数的线性组合，组合系数 就是对应节点上的函数值
P ( x) a0 a1 x 1
x x0 x x1 L1 ( x) y0 y1 x0 x1 x1 x0
l0 ( x) x x0 x x1 , l1 ( x) x0 x1 x1 x0
直线的两点式表达式
n1 ( x) ( x xi )
g ( n 1) ( ) M
i 0
n
M Rn ( x) n 1 ( x) (n 1)!
5．分段线性插值 ★ 连接相邻数据点(x j-1 , y j-1) 、(x j , y j) 得到n条线段，它们 组成一条折线。把区间[a,b]上这n条折线段表示的函数称为 被插函数g(x)关于这n +1个数据点的分段线性插值函数，记 作I (x)，则
拉格朗日n 次插值
★ 构造一组插值基函数（n次多项式）
( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) li ( x) ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn )
li(x)是 n次多项式，且满足 0 i j li ( x j ) 1 i j ★ 由插值基函数li(x)构造 n次拉格朗日插值多项式如下：
x xi 1 x x , x [ xi 1 , xi ] (i 0时舍去) i i 1 x xi 1 li ( x) x [ xi , xi 1 ] (i n时舍去) xi xi 1 0 其他
则I (x)可写成如下形式：
Ln ( x) yi li ( x)
i 0
n
缺点：当 n 比较大时，插值多项式Ln (x)的收敛性与稳定性变 差，逼近效果不理想。
拉格朗日插值的误差估计
拉格朗日插值产生的截断误差为Rn(x)，则
Rn ( x) g ( x) Ln ( x)
g ( n1) ( ) Rn ( x) g ( x) Ln ( x) n1 ( x) (n 1)!
3．多项式插值 假设f (x)是一个满足插值条件（1）的次数不超过n的代
数多项式，即
f (x) = a0 + a1x +…+ a n x n 为满足（1）的插值函数，则f (x)的n +1个待定系数 a 0 ， a 1
，…， a n 满足
2 n a0 a1 x0 a2 x0 an x0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 2 n a0 a1 xn a2 xn an xn
I ( x) y j 1
x xj x j 1 x j
yj
x x j 1 x j x j 1
,
x j 1 x x j
★ I( xi )=g( xi )，且I( x )在[a,b]上连续。 缺点：分段线性插值函数在节点处的一阶导数一般不存在， 光滑性不高
★ 若构造插值基函数
I ( x) y j l j ( x)
j 0
n
6．三次样条插值
什么是样条？
是一个细的、可弯曲的木制或塑料条，在飞机或轮 船等的设计制造过程中为描绘出光滑的外形曲线(放样) 所用的工具 从物理上讲，样条满足插值点的约束，同时使势能 达到最小 三次样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成 的曲线，在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导 数也是连续的，1946年,Schoenberg将样条引入数学,即 所谓的样条函数
7．一维插值的Matlab实现 拉格朗日插值
对于拉格朗日多项式插值法， Matlab中没有专用指令，可根 据其算法编制如下程序
★ 拉格朗日插值Matlab程序： function y=lagrange(x0,y0,x) ii=1:length(x0); y=zeros(size(x)); for i=ii ij=find(ii~=i); y1=1; for j=1:length(ij) y1=y1.*(x-x0(ij(j))); end y=y+y1*y0(i)/prod(x0(i)-x0(ij)); end
lim S ( x) S ( xi ) yi , i 1,, n 1
x xi x xi
lim S ( x) S ( xi ), i 1,, n 1
lim S ( x) S ( xi ) M i , i 1, , n 1
x xi
拟合效果不好
分段线性插值与样条值
★ Matlab命令：
用Matlab实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab中有 现成的一维插值函数interp1。
y=interp1(x0,y0,x, method)
method指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为： 'nearest' 最近点等值方式插值 注意： 向量x0 是单调的。若y0为矩阵，则对y0 'linear' 线性插值 的每一列进行插值，x 可以为向量。 'spline' 三次样条插值 'cubic'（新版本改为'pchip'） 三次Hermite插值或立方插值。 所有的插值方法要求x0是单调的。
分别称为节点x0和x1的一次
插值基函数
拉格朗日二次插值
二次插值多项式： L2 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x) 基函数如何确定？
基函数满足：
1, ( x xi ) li ( x) 0, ( x在节点上，但x xi )
对于i =0，可假定：l0(x)＝A(x-x1)(x-x2)
则称 S ( x )为区间[a, b]上的三次样条函数
(3) 而三次样条函数S ( x )满足
S ( xi ) yi , i 0,1,, n
则称S ( x )为f ( x )在[a, b]上的三次样条插值函数
三次样条插值原理 在n个小区间构造S(x)，共有n个三次多项式，需确定4n个参数 在所有节点上 S ( xi ) yi , i 0,1,, n 在除端点外的节点上 n+1个方程
A=1/(x0-x1)(x0-x2) 从而