广东梅州市2020年春学期高二数学下学期期末考试卷附答案解析

绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（共8小题）.1．已知复数（1+2i）i＝a+bi，a∈R，b∈R，a+b＝（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．32．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα＝，则sinβ＝（）A．﹣B．C．﹣D．3．cos75°＝（）A．B．C．D．4．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥αC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥β5．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题，它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩，若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）A．B．C．D．6．如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（）A．B．C．20πD．28π7．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（）A．B．C．D．8．某省高考实行3+3模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有（）A．110种B．180种C．360种D．200种二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有错选的得0分.9．下列命题中正确的是（）A．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行B．如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面C．如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0＞，|φ|＜）部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A．函数y＝f（x）的图象关于直线对称B．函数y＝f（x）的图象关于点对称C．函数y＝f（x）在上单调递减D．该图象对应的函数解析式为11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，以下结论正确的有（）A．AC⊥BEB．点A到△BEF所在平面的距离为定值C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的D．异面直线AE，BF所成的角为定值12．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关“作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（）人附表：P（K2≥k0）0.0500.010k 3.841 6.635附：K2＝A．25 B．35 C．45 D．60三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算sin15°•sin105°的结果是．14．（x3+）5的展开式中x7的系数为．15．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于，AC的取值范围为．16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为．四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx+1，若函数f（x）的周期为π．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1（如图所示），底面△ABC是边长为2的正三角形，侧棱CC1⊥底面ABC，CC1＝4，E为B1C1的中点．（1）若G为A1B1的中点，求证：C1G⊥平面A1B1BA；（2）求三棱锥A﹣EBA1的体积．19．高二年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．其中a，b，c成等差数列，且c＝2a．物理成绩统计如表（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数6920105（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；（2）若数学成绩不低于140分的为“优“，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的学生总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值．20．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（a﹣c）（sin A+sin C）＝b（sin A﹣sin B）．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若c＝且b≥c，求b﹣a的取值范围．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AB ＝1，点E、M分别在线段AB、PC上，且＝＝λ，其中0＜λ＜1，连接CE，延长CE与DA的延长线交于点F，连接PE，PF，ME．（Ⅰ）求证：ME∥平面PFD；（Ⅱ）若λ＝时，求二面角A﹣PE﹣F的正弦值；（Ⅲ）若直线PE与平面PBC所成角的正弦值为时，求λ值．22．我国东南沿海地区发展海产品养殖业具有得天独厚的优势．根据养殖规模及以往的养殖经验，蓝天海鲜养殖场的一种海产品每只的质量（克）在正常环境下服从正态分布N（280，25）．（1）随机购买10只蓝天养殖场的该海产品，求至少买到一只质量小于265克的概率；（2）2020年蓝天养殖场考虑增加先进养殖技术投入，现用以往的先进养殖技术投入x i （千元）与年收益增量y i（千元）（i＝1，2，3…8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝a+b的附近，且＝46.6，＝563，＝6.8，，，，，其中t i＝，＝．根据所给的统计量，求y 关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．附：若随机变量Z～N（1，4），则P（﹣5＜Z＜7）＝0.9974，0.998710≈0.9871；对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数（1+2i）i＝a+bi，a∈R，b∈R，a+b＝（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】根据复数相等建立方程关系进行求解即可．解：由（1+2i）i＝a+bi得﹣2+i＝a+bi，得a＝﹣2且b＝1，则a+b＝﹣2+1＝﹣1，故选：B．2．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα＝，则sinβ＝（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】推导出α+β＝π+2kπ，k∈Z，从而sinβ＝sin（π+2kπ﹣α）＝sinα．解：在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β＝π+2kπ，k∈Z，∵sinα＝，∴sinβ＝sin（π+2kπ﹣α）＝sinα＝．k∈Z．故选：B．3．cos75°＝（）A．B．C．D．【分析】将75°看成30°与45°的和，然后利用两角和的余弦公式求解．解：cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°cos45°﹣sin30°sin45°＝＝．故选：C．4．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥αC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥β【分析】利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系直接判断．解：若m∥n，n⊂α，则m∥α，或m⊂α，或A不正确；若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n与α相交或n∥α或n⊂α，故B不正确；若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则由直线垂直于平面的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故D正确．故选：D．5．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题，它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩，若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用列举法求出由古典概型的基本事件的等可能性得6拆成两个正整数的和含有5个基本事件，而加数全为质数的有1个，由此能求出拆成的和式中，加数全部为质数的概率．解：由古典概型的基本事件的等可能性得6拆成两个正整数的和含有5个基本事件，分别为：（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），而加数全为质数的有（3，3），∴拆成的和式中，加数全部为质数的概率为P＝．故选：A．6．如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（）A．B．C．20πD．28π【分析】由三视图知几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是2，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．解：由三视图知几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是，∴圆锥的侧面积是π×2×4＝8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是2，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×2＝12π∴空间组合体的表面积是8π+12π＝20π，故选：C．7．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（）A．B．C．D．【分析】首先做出摸一次中奖的概率，摸一次中奖是一个等可能事件的概率，做出所有的结果数和列举出符合条件的结果数，得到概率，4个人摸奖．相当于发生4次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．解：由题意知首先做出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有C62＝15种结果，两个球的号码之积是4的倍数，共有（1，4）（3，4），（2，4）（2，6）（4，5）（4，6）∴摸一次中奖的概率是，4个人摸奖．相当于发生4次试验，且每一次发生的概率是，∴有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是＝故选：A．8．某省高考实行3+3模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有（）A．110种B．180种C．360种D．200种【分析】根据题意，分2种情况讨论：①两人选择的科目全部相同，②两人选择的科目有且只有2科相同，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①两人选择的科目全部相同，有C63＝20种选法，②两人选择的科目有且只有2科相同，有C62C41C31＝180种选法，则两人至少有两科相同的选法有20+180＝200种；故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有错选的得0分.9．下列命题中正确的是（）A．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行B．如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面C．如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直【分析】对于立体几何中的线线、线面、面面关系的判定可依据课本中有关定理结论进行判断，也可列举反例从而说明不正确即可．解：观察正方体中的线面位置关系，结合课本中在关线面位置关系的定理知，ABD正确．对于C，A′B′、A′D′都平行于一个平面AC，但它们不平行，故C错．故选：ABD．10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0＞，|φ|＜）部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A．函数y＝f（x）的图象关于直线对称B．函数y＝f（x）的图象关于点对称C．函数y＝f（x）在上单调递减D．该图象对应的函数解析式为【分析】方法1：将图象往左延伸一个周期，判断A、B、C都不成立；由函数的图象求出函数f（x）的解析式，判断D正确．方法2：由函数的图象求得函数f（x）的解析式，再判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解法1：将图象往左延伸一个周期，可知A、B、C都不成立；由函数的图象知，A＝2，由•＝﹣，解得ω＝2；再由最值得2×+φ＝2kπ+，k∈Z；又|φ|＜，得φ＝，所以函数f（x）＝2sin（2x+）．所以，选项D正确．故选：ABC．解法2：由函数的图象可得A＝2，由•＝﹣，解得ω＝2．再根据最值得2×+φ＝2kπ+，k∈Z；又|φ|＜，得φ＝，得函数f（x）＝2sin（2x+），当x＝﹣时，f（x）＝0，不是最值，所以A错误；当x＝﹣时f（x）＝﹣2，不等于零，所以B错误；+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z；解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以C错误；对比选项D可知D正确．故选：ABC．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，以下结论正确的有（）A．AC⊥BEB．点A到△BEF所在平面的距离为定值C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的D．异面直线AE，BF所成的角为定值【分析】由异面直线的判定判断A；由二面角的平面角的定义可判断B；运用三棱锥的体积公式可判断C；运用三角形的面积公式可判断D．解：对于A，根据题意，AC⊥BD，AC⊥DD1，AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BE，故A正确；对于B，A到平面CDD1C1的距离是定值，所以点A到△BEF的距离为定值，故B正确；对于C，三棱锥A﹣BEF的体积为V三棱锥A﹣BEF＝×EF×AB×BB1×sin45°＝×××a×a×a＝a3，三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的，故C错误；对于D，异面直线AE，BF所成的角为定值，命题D错误；故选：AB．12．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关“作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（）人附表：P（K2≥k0）0.0500.010k 3.841 6.635附：K2＝A．25 B．35 C．45 D．60【分析】设男生可能有x人，依题意填写列联表，由K2＞3.841求出x的取值范围，从而得出正确的选项．解：设男生可能有x人，依题意得女生有x人，填写列联表如下：喜欢抖音不喜欢抖音总计男生x x x女生x x x总计x x2x若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则K2＞3.841，即K2＝＝x＞3.841，解得x＞40.335，由题意知x＞0，且x是5的整数倍，所以45和60都满足题意．故选：CD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算sin15°•sin105°的结果是．【分析】利用诱导公式，二倍角的正弦公式化简即可．解：sin15°•sin105°＝sin15°•sin75°＝sin15°•cos15°＝sin30°＝＝．故答案为：．14．（x3+）5的展开式中x7的系数为40．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于7，求出r的值，即可求得x7的系数．解：二项式（x3+）5的展开式中通项公式为T r+1＝•2r•x15﹣4r，令15﹣4r＝7，求得r＝2，故x7的系数为•22＝40，故答案为：40．15．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于2，AC的取值范围为（）．【分析】（1）根据正弦定理和B＝2A及二倍角的正弦公式化简可得值；（2）由（1）得到AC＝2cos A，要求AC的范围，只需找出2cos A的范围即可，根据锐角△ABC和B＝2A求出A的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cos A的范围即可．解：（1）根据正弦定理得：＝，因为B＝2A，化简得＝即＝2；（2）因为△ABC是锐角三角形，C为锐角，所以，由B＝2A得到A+2A＞且2A＝，从而解得：，于是，由（1）的结论得2cos A＝AC，故．故答案为：2，（，）16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为．【分析】该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，在棱长为1的正四面体S﹣ABC中，取BC中点D，连结SD、AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD 上，求出AD＝SD＝，OD＝＝，SO＝＝，该六面体的体积V＝2V S﹣ABC；当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心O作OE⊥SD，则OE就是球半径，由此能求出该球体积的最大值．解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，如图，在棱长为1的正四面体S﹣ABC中，取BC中点D，连结SD、AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，则AD＝SD＝＝，OD＝＝，SO＝＝，∴该六面体的体积：V＝2V S﹣ABC＝2×＝．当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心O作OE⊥SD，则OE就是球半径，∵SO×OD＝SD×OE，∴球半径R＝OE＝＝＝，∴该球体积的最大值为：V球＝＝．故答案为：，．四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx+1，若函数f（x）的周期为π．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f（x）＝sin（2ωx﹣），利用周期公式可求ω，根据正弦函数的单调性即可求解f（x）的单调增区间．（2）由已知可求范围2x﹣∈[﹣，]，根据正弦函数的性质即可求解其值域．解：（1）f（x）＝2sinωx cosωx﹣（2cos2ωx﹣1）＝sin2ωx﹣cos2ωx＝sin（2ωx﹣），…由T＝＝π，可得ω＝1，可得f（x）＝sin（2x﹣），…………由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，…………∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．…………（2）∵x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，…………∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，…………函数f（x）的值域为[﹣1，]．…………18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1（如图所示），底面△ABC是边长为2的正三角形，侧棱CC1⊥底面ABC，CC1＝4，E为B1C1的中点．（1）若G为A1B1的中点，求证：C1G⊥平面A1B1BA；（2）求三棱锥A﹣EBA1的体积．【分析】（1）连接C1G，推导出C1G⊥B1B，C1G⊥A1B1，由此能证明C1G⊥平面A1B1BA．（2）由，能求出三棱锥A﹣EBA1的体积．解：（1）证明：连接C1G，CC1⊥底面ABC，BB1⊥底面A1B1C1，C1G⊂底面A1B1C1，∴C1G⊥B1B，①，G为正△A1B1C1边A1B1的中点，∴C1G⊥A1B1，②，由①②及A1B1∩BB1＝B1，得C1G⊥平面A1B1BA．（2）∵，∴＝＝4．取GB1的中点F，连接EF，则EF∥C1G，∴EF⊥平面A1B1BA，即EF为高，∴EF＝＝＝．三棱锥A﹣EBA1的体积＝＝＝．19．高二年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．其中a，b，c成等差数列，且c＝2a．物理成绩统计如表（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数6920105（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；（2）若数学成绩不低于140分的为“优“，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的学生总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值．【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求出a，b，c．由此能求出数学成绩的平均分．（2）数学成绩为“优”的学生有4人，物理成绩为“优”有5人，至少有一个“优”的学生总数为6名同学，从而两科均为“优”的人数为3人，故X的取值为0、1、2、3．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望值．解：（1）根据频率分布直方图得：（a+b+2c+0.024+0.020+0.004）×10＝1，又∵a+c＝2b，c＝2a，解得a＝0.008，b＝0.012，c＝0.016．故数学成绩的平均分为：＝85×0.04+95×0.12+105×0.16+115×0.2+125×0.24+135×0.16+145×0.08＝117.8．（2）数学成绩为“优”的学生有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的学生总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人，故X的取值为0、1、2、3．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123P期望值E（X）＝＝．20．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（a﹣c）（sin A+sin C）＝b（sin A﹣sin B）．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若c＝且b≥c，求b﹣a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式可得a2﹣c2＝ab﹣b2，由余弦定理可求cos C的值，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（Ⅱ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求b﹣a＝sin（B﹣），由题意可求范围，利用正弦函数的性质可求b﹣a的取值范围．解：（Ⅰ）由正弦定理，（a﹣c）（a+c）＝b（a﹣b），即a2﹣c2＝ab﹣b2，由余弦定理，，又∵C∈（0，π），∴．（Ⅱ）因为，且b≥c，由正弦定理得，得b＝2sin B，a＝2sin A，可得＝，∵b≥c，∴，∴，21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AB ＝1，点E、M分别在线段AB、PC上，且＝＝λ，其中0＜λ＜1，连接CE，延长CE与DA的延长线交于点F，连接PE，PF，ME．（Ⅰ）求证：ME∥平面PFD；（Ⅱ）若λ＝时，求二面角A﹣PE﹣F的正弦值；（Ⅲ）若直线PE与平面PBC所成角的正弦值为时，求λ值．【分析】（Ⅰ）在线段PD上取一点N，使得，∵，证明四边形为平行四边形，得到ME∥AN，然后证明ME∥平面PFD．（Ⅱ）以A为坐标原点，分别以AF，AB，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PEA的一个法向量，平面PEF的一个法向量利用空间向量的数量积，求解二面角A ﹣PE﹣F的正弦值．（III）令E（0，h，0），0≤h≤2，，求出平面PEA的一个法向量利用空间向量的数量积转化求解即可．【解答】（本小题满分15分）解：（Ⅰ）在线段PD上取一点N，使得，∵，∴MN∥DC且MN＝λDC，∵，∴AE＝λAB，AB∥DC且AB＝DC，∴且AE＝MN，∴四边形为平行四边形，∴ME∥AN，又∵AN⊂平面PFD，ME⊄平面PFD，∴ME∥平面PFD．（Ⅱ）以A为坐标原点，分别以AF，AB，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，2，0），C（﹣1，2，0），D（﹣1，0，0），∵，∴E（0，1，0），F（1，0，0）设平面PEA的一个法向量为＝（x，y，z），，，，令x＝1，∴＝（1，0，0），设平面PEF的一个法向量为，，，，令z＝1，∴x＝1，y＝1，∴，∴，，二面角A﹣PE﹣F的正弦值为．（III）令E（0，h，0），0≤h≤2，，设平面PBC的一个法向量为，，，，令y＝1，∴z＝2，∴由题意可得：，∴，∴，．22．我国东南沿海地区发展海产品养殖业具有得天独厚的优势．根据养殖规模及以往的养殖经验，蓝天海鲜养殖场的一种海产品每只的质量（克）在正常环境下服从正态分布N（280，25）．（1）随机购买10只蓝天养殖场的该海产品，求至少买到一只质量小于265克的概率；（2）2020年蓝天养殖场考虑增加先进养殖技术投入，现用以往的先进养殖技术投入x i （千元）与年收益增量y i（千元）（i＝1，2，3…8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝a+b的附近，且＝46.6，＝563，＝6.8，，，，，其中t i＝，＝．根据所给的统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．附：若随机变量Z～N（1，4），则P（﹣5＜Z＜7）＝0.9974，0.998710≈0.9871；对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．【分析】（1）由ξ～N（280，25），根据正态分布的对称性求出P（ξ＜265）的值，再计算购买10只该养殖场的海产品，至少买到一只质量小于265g的概率；（2）由题意计算回归系数，求出y关于x的回归方程，计算x＝49时的值．解：（1）由已知，单只海产品质量ξ～N（280，25），则μ＝280，σ＝5；由正态分布的对称性可知，P（ξ＜265）＝[1﹣P（265＜ξ＜295）]＝[1﹣P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）]＝×（1﹣0.9974）＝0.0013；设购买10只该养殖场海产品，其中质量小于265g的为X只，故X～B（10，0.0013），故P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣（1﹣0.0013）10≈1﹣0.9871＝0.0129；所以随机购买10只该养殖场的海产品，至少买到一只质量小于265g的概率为0.0129；（2）由题意知，＝6.8，＝563，（t i﹣）（y i﹣）＝108.8，＝1.6，有＝＝＝68，且＝﹣＝563﹣68×6.8＝100.6，所以y关于x的回归方程为＝100.6+68；当x＝49时，年销售量y的预报值＝100.6+6×8＝576.6千元；所以预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量为576.6千元．。

2019-2020学年广东省梅州市数学高二第二学期期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数21()log f x x x=-的一个零点落在下列哪个区间（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）2．从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有( ) A ．80种 B ．100种 C ．120种D ．240种3．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.附表：由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得，22100(45222013)9.61658423565K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到如下的列联表：由公式算得：K 2＝()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -++++≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关”5．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ={两个点数互不相同}，B ={出现一个5点}，则()/P B A =( )A ．13B ．518C ．16D ．146．定积分的值为A ．B ．3C ．D ．7．在二项式()91x +的展开式中任取2项，则取出的2项中系数均为偶数的概率为（ ） A ．512B ．215C ．13D ．8158．已知随机变量X ~N(2,1)，则P(01)X <<=参考数据：若X ~N(,),P()0.6826X μσμσμσ-<<+=，P(22)0.9544,X μσμσ-<<+=P(33)0.9974X μαμα-<<+=A ．0.0148B ．0.1359C ．0.1574D ．0.3148.9．已知集合{}250M x x x=-，{2,3,4,5,6,7,8}N =,则M N ⋂等于( )A ．{}3,4B ．{}5,6C ．{}2,3,4D ．{}2,3,4,510．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11．双曲线2212x y -=的渐近线方程是A ．12y x =±B ．22y x =±C ．2y x =±D ．2y x =12．设3(2)()(1)(2)x a x f x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，若8(3)9f =-，则实数a 是（ ）A ．1B ．-1C ．19D ．0二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在5名男生和3名女生中各选出2名参加一个演唱小组，共有__________种不同的选择方案. 14．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-且在[—1，0]上是增函数，给出下列关于()f x 的判断:①()f x 是周期函数；②()f x 关于直线1x =对称；③()f x 是[0，1]上是增函数；④()f x 在[1，2]上是减函数；⑤()()20f f =.其中正确的序号是_________.15．设12,F F 是双曲线22154x y -=的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积等于__________．16．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有__________个． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知3nx x 的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大255（1）求展开式所有的有理项； （2）求展开式中系数最大的项.18．如图，已知海岛A 与海岸公路BC 的距离AB 为50km ，B ，C 间的距离为503km ，从A 到C ，需先乘船至海岸公路BC 上的登陆点D ，船速为25/km h ，再乘汽车至C ，车速为50/km h ，设BAD θ∠=.（1）用θ表示从海岛A 到C 所用的时间()fθ，并指明θ的取值范围；（2）登陆点D 应选在何处，能使从A 到C 所用的时间最少？19．（6分）甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中的概率均为p ，乙每次投篮命中的概率均为12，甲投篮3次均未命中的概率为127，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响. （Ⅰ）若甲投篮3次，求至少命中2次的概率；（Ⅱ）若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X ，求X 的分布列和数学期望.20．（6分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是32，一个顶点是(0,1)B ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P ，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点，且BP BQ ⊥．试问：直线PQ 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．21．（6分）如图，圆锥的展开侧面图是一个半圆，BC 、EF 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，D 为母线AC 的中点，已知过EF 与D 的平面与圆锥侧面的交线是以D 为顶点、DO 为对称轴的抛物线的一部分．（1）证明：圆锥的母线与底面所成的角为π3； （2）若圆锥的侧面积为8π，求抛物线焦点到准线的距离． 22．（8分）已知集合112A xx ⎧⎫=≤-⎨⎬-⎩⎭，设a A ∈，判断元素2292417b a a =-+与A 的关系. 参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】根据函数的零点存在原理判断区间端点处函数值的符号情况，从而可得答案. 【详解】由()f x 的图像在(0,)+∞上是连续不间断的. 且()f x 在(0,)+∞上单调递增，又2(1)log 1110f =-=-<，211(2)log 2022f =-=>, 根据函数的零点存在原理有：()f x 在在(0,)+∞有唯一零点且在(1,2)内. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的零点所在区间，利用函数的零点存在原理可解决，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】 【详解】由题意知本题要求至少有两位男生，且至少有1位女生，它包括：两个男生，两个女生；三个男生，一个女生两种情况，写出当选到的是两个男生，两个女生时和当选到的是三个男生，一个女生时的结果数，根据分类计数原理得到结果．解：∵至少有两位男生，且至少有1位女生包括：两个男生，两个女生；三个男生，一个女生． 当选到的是两个男生，两个女生时共有C 52C 42=60种结果， 当选到的是三个男生，一个女生时共有C 53C 41=40种结果，根据分类计数原理知共有60+40=100种结果， 故选B ． 3．C 【解析】 K 2≈9.616>6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”， 本题选择C 选项.点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释． 4．A 【解析】 【分析】 【详解】22110(40302020)7.860506050k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯27.8 6.635K ≈> ，则有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”. 本题选择A 选项.点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释. 5．A 【解析】由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36−6=30， 事件B:出现一个5点，有10种， ∴()101|303P B A ==， 本题选择A 选项.点睛：条件概率的计算方法：(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，然后利用公式进行计算；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n(AB)，然后求概率值. 6．C【解析】 【分析】直接利用微积分基本定理求解即可． 【详解】由微积分基本定理可得，，故选C ．【点睛】本题主要考查微积分基本定理的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题． 7．C 【解析】 【分析】二项式9(1)x +的展开式共十项，从中任取2项，共有210C 种取法，再研究其系数为偶数情况有几个，从中取两个有几种取法得出答案． 【详解】二项式9(1)x +的展开式共十项，从中任取2项，共有21045C =种取法，展开式系数为偶数的有325679999949,,,,C C C C C C ，，共六个，取出的2项中系数均为偶数的取法有2615C =种取法，∴取出的2项中系数均为偶数的概率为151453= 故选：C 【点睛】本题考查二项式定理及等可能事件的概率，正确求解本题的关键是找出哪些项的系数是偶数，求出取出的2项中系数均为偶数的事件包含的基本事件数． 8．B 【解析】 【分析】根据正态分布函数的对称性去分析计算相应概率. 【详解】因为()~2,1X N 即2,1μσ==，所以()()130.6826P X P X μσμσ-<<+=<<=，()(22)040.9544P X P X μσμσ-<<+=<<=，又()()112130.34132P X P X <<=<<=，()()102040.47722P X P X <<=<<=，且()()()0102120.1359P X P X P X <<=<<-<<=， 故选：B. 【点睛】本题考查正态分布的概率计算，难度较易.正态分布的概率计算一般都要用到正态分布函数的对称性，根据对称性，可将不易求解的概率转化为易求解的概率. 9．C 【解析】 【详解】分析：利用一元二次不等式的解法求出M 中不等式的解集确定出M ，然后利用交集的定义求解即可. 详解：由M 中不等式变形得()50x x -<， 解得05x <<，即{}|05M x x =<<，因为{}2,3,4,5,6,7,8N =，{}2,3,4M N ∴⋂=，故选C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥. 10．C 【解析】 【分析】跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 【详解】由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒， ∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意； 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 故跑第三棒的是丙． 故选：C ． 【点睛】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题． 11．B 【解析】 【分析】由双曲线方程求得,a b ，由渐近线方程为by x a=±求得结果. 【详解】由双曲线方程得：a =1b =∴渐近线方程为：2b y x x a =±=±本题正确选项：B 【点睛】本题考查双曲线渐近线的求解，属于基础题. 12．B 【解析】 【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】()()()2833123,9f f f a -=-==+=-解得a=-1, 故选B 【点睛】本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f(x 0)时，一定要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．30 【解析】 【分析】根据分步计数原理计算可得. 【详解】从3名女生中选出二人,有233C =种选法, 从5名男生中选出二人,有2510C =种选法,所以根据分步计数原理可得,从5名男生和3名女生中各选出2名参加一个演唱小组，共有31030⨯=种不同的选法. 故答案为:30. 【点睛】本题考查了分步计数原理,属于基础题.14．①②⑤. 【解析】(1)(),(2)(1)(),2f x f x f x f x f x T +=-∴+=+=∴=Q ,周期为2,(0)(2)f f ∴=,又(2)(),(2)()(),(1)(1)f x f x f x f x f x f x f x +=∴-=-=-=+Q 即，所以f(x)关于直线x=1对称，又因为f(x)为偶函数，在[-1，0]是增函数，所以在[0,1]上是减函数，由于f(x)在[1,2]上的图像与[-1,0]上的相同，因而在[1,2]也是增函数，综上正确的有①②⑤. 15．12 【解析】 【分析】通过双曲线的定义可先求出12PF PF ，的长度，从而利用余弦定理求得12cos F PF ∠，于是可利用面积公式求得答案. 【详解】由于22154x y -=，因此a =3c =，故12|26|=F F c =，由于12:2:1PF PF =即12=2PF PF，而122PF PF a -==1PF，2PF ，222121212124cos 25PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅，所以123sin 5F PF ∠=，因此1212121||||sin 122PF F S PF PF F PF ∆=∠=. 【点睛】本题主要考查双曲线定义，余弦定理，面积公式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度中等. 16．23 【解析】除以3 余2 且除以7 余2的数是除以21 余2的数. 3和7的最小公倍数是21.21的倍数有21,42,63,82...... 除以3 余2 且除以7 余2的数有23,45,65,85，… 其中除以5 余3 的数最小数为23 ，这些东西有23个，故答案为23 .【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力，属于难题.弘扬传统文化与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过中国古代数学名著及现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）4112,256x x -；（2）731792x -【解析】 【分析】令1x =可得展开式的各项系数之和，而展开式的二项式系数之和为2n ，列方程可求n 的值及通项， （1）832r r --为整数，可得r 的值，进而可得展开式中所有的有理项； （2）假设第1r +项最大，且r 为偶数，则22882288(2)(2)(2)(2)r r r r r r r r C C C C ++--⎧-≥-⎨-≥-⎩，解出r 的值，进而可求得系数最大的项.【详解】解：令1x =可得，展开式中各项系数之和为(1)n-，而展开式中的二项式系数之和为2n ， 2(1)255n n ∴--=，8n ∴=，883322188(2)(2)r r r r r r r r r T C xx C x ----+∴=-=-， （1）当832r r --为整数时，1r T +为有理项，则2,8r =， 所以展开式所有的有理项为：4112,256x x -；（2）设第1r +项最大，且r 为偶数则22882288(2)(2)(2)(2)r r r r r r r r C C C C ++--⎧-≥-⎨-≥-⎩， 解得：6r =， 所以展开式中系数最大的项为：8667663238(2)1792C x x ----=. 【点睛】本题主要考查了利用赋值法求解二项展开式的各项系数之和及展开式的二项式系数和的应用，二项展开式的通项的应用，属于基本知识的综合应用.18．（1）()2tan cos f θθθ=，0,3πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.（2）登陆点D 与B的距离为3km 时，从海岛A 到C 的时间最少.【解析】【分析】()1求出AD ，CD ，从而可得出()f θ的解析式；()2利用导数判断函数单调性，根据单调性得出最小值对应的夹角.【详解】（1）在Rt ABD △中，∵50AB =，BAD θ∠=， ∴50cos AD θ=，50tan BD θ=，∴50tan CD θ=，∴()2tan 2550cos AD CD f θθθ=+=+，即()2tan cos f θθθ=+.∵tan BAC ∠= ∴3BAC π∠=， ∴0,3πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭(若写成开区间不扣分).（2）()22sin tan cos cos f θθθθθ-==+， ()()()222cos 2sin sin 2sin 1'cos cos f θθθθθθθ-----==， 当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f θ<，当,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f θ>， 所以6πθ=时，()f θ取最小值，即从海岛A 到C 的时间最少，此时tan6BD AB π==答：（1）()2tan cos f θθθ=，0,3πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.（2）登陆点D 与B 时，从海岛A 到C 的时间最少. 【点睛】本题考查了解三角形的应用和正弦定理的应用，考查了利用导数求函数最值，属中档题．19．（Ⅰ）2027.（Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：（1）本题为独立重复试验，根据独立重复试验概率公式()(1)k k n k n P x k C p p -==- 列方程组解得p q ，，再根据独立重复试验概率公式求至少命中2次的概率；（2）先确定随机变量可能取法：0，1，2，3，4，再根据独立重复试验概率公式求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求期望. 试题解析：（1）由题意，()31127p -=，()12112C q q -=解得23p =，12q = 设“乙投篮3次，至少2次命中”为事件A ，则()2323111112222P A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由题意X 的取值为0，1，2，3，4.()22211013236P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()1112221133P X C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2220122121112326C C ⎡⎤⎤⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+-⨯⨯=⎢⎥⎥⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎥⎢⎦⎣⎣⎦； ()2221232P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ][11211222211332C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2222211313236C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦； ()221221332P X C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 11212221113323C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()222114329P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故X 的分布列为()111301236636E X =⨯+⨯+⨯ 11734393+⨯+⨯=. 20．（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）直线PQ 恒过定点3(0,)5- 【解析】试题分析：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．求出b 利用离心率求出a ，即可求解椭圆C 的方程；（Ⅱ）证法一：直线PQ 的斜率存在，设其方程为y=kx+m ．将直线PQ 的方程代入2214x y +=消去y ，设 P ()11,x y ，Q ()22,x y ，利用韦达定理，通过BP ⊥BQ ，化简求出25230m m --=，求出m ，即可得到直线PQ 恒过的定点．证法二：直线BP ，BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为y=kx+1，将直线BP 的方程代入2214x y +=，消去y ，解得x ，设 P ()11,x y ，转化求出P 的坐标，求出Q 坐标，求出直线PQ 的方程利用直线系方程求出定点坐标试题解析：（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得1b =，且22222134c a e a a -===， 解得24a =．所以，椭圆C 的方程是2214x y +=． （Ⅱ）证法一：易知，直线PQ 的斜率存在，设其方程为y kx m =+．将直线PQ 的方程代入2244x y +=，消去y ，整理得222(14)8440k x kmx m +++-=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 则122814km x x k +=-+，21224414m x x k -⋅=+．（1） 因为BP BQ ⊥，且直线,BP BQ 的斜率均存在， 所以1212111y y x x --⋅=-， 整理得121212()10x x y y y y +-++=．（2） 因为11y kx m =+，22y kx m =+，所以1212()2y y k x x m +=++，22121212()y y k x x mk x x m =+++．（3）将（3）代入（2），整理得221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m ++-++-=．（4）将（1）代入（4），整理得25230m m --=． 解得35m =-，或1m =（舍去）． 所以，直线PQ 恒过定点3(0,)5-． 证法二：直线,BP BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为1y kx =+．将直线BP 的方程代入2244x y +=，消去y ，得22(14)80k x kx ++= 解得0x =，或2814k x k -=+． 设11(,)P x y ，所以12814k x k -=+，211214114k y kx k -=+=+， 所以222814(,)1414k k P k k--++． 以1k -替换点P 坐标中的k ，可得22284(,)44k k Q k k -++．从而，直线PQ 的方程是222222222148141488144144144k k y x k k k k k k k k k k --+++=-----++++． 依题意，若直线PQ 过定点，则定点必定在y 轴上．在上述方程中，令0x =，解得35y =-． 所以，直线PQ 恒过定点3(0,)5-．考点：圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程21．（1）答案见解析（2）12 【解析】【分析】（1）设底面圆O 的半径为r ,圆锥的母线l ,因为圆锥的侧面展开图扇形弧长与圆锥的底面圆O 的周长相等,列出底面半径r 和l 关系式,即可证明:圆锥的母线与底面所成的角为π3. （2）因为圆锥的侧面积为8π,即可求得其母线长4l =.由⑴可知2r l =,可得2r =.在平面DEF 建立坐标系,以D 原点,DO 为x 轴正方向,设抛物线方程22y px =,代入(1,1)E -即可求得p ,进而抛物线焦点到准线的距离.【详解】（1）设底面圆O 的半径为r ,圆锥的母线lQ 圆锥的侧面展开图扇形弧长与圆锥的底面圆O 的周长相等∴ r l 2π=π 可得2r l =Q 由题意可知:AO ⊥底面圆ORt AOB V 中 1cos 2r AOB l ∠== 故:π=3AOB ∠ ∴ 圆锥的母线与底面所成的角为π3（2）Q 圆锥的侧面积为8π ∴ 2182l ππ= 可得216l =,故:4l = Q 2r l = 可得2r =Q Rt AOC V 中, D 为AC 的中点,可得1DE =在平面DEF 建立坐标系,以D 原点,DO 为x 轴正方向.如图:设抛物线方程22y px = Q (1,1)E - 代入22y px =可得12p = 根据抛物线性质可知, 抛物线焦点到准线的距离为12p =. ∴ 抛物线焦点到准线的距离12． 【点睛】 本题考查了线面夹角和抛物线相关知识.利用解析几何思想,通过建立坐标系,写出抛物线方程,研究曲线方程来求解相关的量,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.22．当513a ≤≤，且43a ≠时，b A ∈；当43a =或523a <<时，b A ∉. 【解析】【分析】【详解】 分析：{}1112,2A x x x x ⎧⎫=≤-=≤<⎨⎬-⎩⎭对b 变形并对a 分类讨论即可. 详解：根据题意{}1112,2A x x x x ⎧⎫=≤-=≤<⎨⎬-⎩⎭，2222,,924174913b a A a a a ==∈-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Q 故当513a ≤≤，且43a ≠时，b A ∈；当43a =或523a <<时，b A ∉. 点睛：本题考查集合与元素的关系，解题的关键在于正确的分类讨论.。

广东省梅州市2020年高二下数学期末预测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列选项叙述错误的是 （ ） A ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =” B ．若命题2:,10p x R x x ∀∈++≠，则2:,10p x R x x ⌝∃∈++=C ．若p q ∨为真命题，则p ，q 均为真命题D ．若命题2:,10q x R x mx ∀∈++>为真命题，则m 的取值范围为22m -<< 【答案】C 【解析】分析：根据四种命题的关系进行判断A 、B ，根据或命题的真值表进行判断C ，由全称命题为真的条件求D 中参数的值．详解：命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”，A 正确；若命题2:,10p x R x x ∀∈++≠，则2:,10p x R x x ⌝∃∈++=，B 正确； 若p q ∨为真命题，则p ，q 只要有一个为真，C 错误；若命题2:,10q x R x mx ∀∈++>为真命题，则240m -<，22m -<<，D 正确． 故选C ．点睛：判断命题真假只能对每一个命题进行判断，直到选出需要的结论为止．命题考查四种命题的关系，考查含逻辑连接词的命题的真假以及全称命题为真时求参数的取值范围，掌握相应的概念是解题基础．2．412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式系数之和为（ ）． A ．81 B ．16C ．27D ．32【答案】B 【解析】由题意得二项式系数和为01234444444C C C C C 216++++==．选B ．3．下列命题是真命题的是（ ）A ．()2x ∀∈+∞，，22x x > B ．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件 C ．“2560x x +>－”是“2x >”的充分不必要条件 D ．a b ⊥的充要条件是0a b ⋅=【解析】 【分析】取特殊值来判断A 选项中命题的正误，取特殊数列来判断B 选项中命题的正误，求出不等式2560x x +->，利用集合包含关系来判断C 选项命题的正误，取特殊向量来说明D 选项中命题的正误． 【详解】对于A 选项，当4x =时，2442=，所以，A 选项中的命题错误； 对于B 选项，若2nn a =-，则等比数列{}n a 的公比为2q，但数列{}n a 是递减数列，若12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，等比数列{}n a 是递增数列，公比为12q =，所以，“1q >”是“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，B 选项中的命题正确；对于C 选项，解不等式2560x x +->，得6x <-或1x >，由于{}{}612x x x x x -⊄>或，所以，“2560x x +->”是“2x >”的既不充分也不必要条件，C 选项中的命题错误；对于D 选项，当0a =时，0a b ⋅=，但a 与b 不一定垂直，所以，D 选项中的命题错误． 故选B.4．已知α，β是相异两个平面，m ，n 是相异两直线，则下列命题中正确的是（ ） A ．若m ∥n ，m ⊂α，则n ∥α B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β C ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D ．若α∩β=m ，n ∥m ，则n ∥β【答案】B 【解析】 【分析】在A 中，根据线面平行的判定判断正误； 在B 中，由平面与平面平行的判定定理得α∥β； 在C 中，举反例即可判断判断； 在D 中，据线面平行的判定判断正误； 【详解】对于A ，若m ∥n ，m ⊂α，则n ∥α或n ⊂α，故A 错；对于B ，若m ⊥α，m ⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故B 正确；对于C ，不妨令α∥β，m 在β内的射影为m′，则当m′⊥n 时，有m ⊥n ，但α，β不垂直，故C 错误； 对于D ，若α∩β=m ，n ∥m ，则n ∥β或n ⊂β，故D 错． 故选：B ．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．5．根据如图所示的程序框图，当输入的x 值为3时，输出的y 值等于（ ）A ．1B ．eC ．1e -D ．2e -【答案】C 【解析】 【分析】根据程序图，当x<0时结束对x 的计算，可得y 值． 【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得1y e -=，故选C ． 【点睛】本题考查程序框图，是基础题．6．若“{},3x a ∈”是“不等式22530x x --≥成立”的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,3,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．()3,+∞C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．()1,32⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦， 【答案】D 【解析】由题设22530a a --≥，解之得：3a ≥或12a ≤-，又集合中元素是互异性可得3a ≠，应选答案D 。

2019-2020学年广东省梅州市数学高二第二学期期末统考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.2．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 A ．100 B ．200C ．300D ．400【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设没有发芽的种子数为ξ，则(1000,0.1)B ξ~，2X ξ=，所以()2()210000.1200E X E ξ==⨯⨯=考点：二项分布 【方法点睛】一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X ～B （n ，p ）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E （X ）＝np ）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.3．在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；在三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出，高维度的测度的导数是低一维的测度，从而得到，求出所求。

广东省梅州市2020年高二第二学期数学期末预测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（ ） A ．大前提错误 B ．推理形式错误C ．小前提错误D ．非以上错误2．已知直线1:1x t l y at =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线221613sin ρθ=+的相交弦中点坐标为(1,1)，则a 等于（ ） A ．14-B ．14C ．12-D ．123．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．若输入4n =，执行如图所示的程序框图，输出的s =（ ）A ．10B ．16C ．20D ．355．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,8,,5AF BF AB BF cos ABF C ==∠=连接若则的离心率为A ．35B ．57C ．45D ．676．函数sin y x x =在[,]-ππ的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知各项不为0的等差数列{}n a ，满足273110a a a --=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b = （ ） A ．2B ．4C ．8D ．168．已知实数,x y 满足条件00220x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，且2z x y =-，则z 的取值范围是（ ）A ．[6,)-+∞B ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．2,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．26,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．已知不等式201x x +<+的解集为{|}x a x b <<，点(),A a b 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则21m n+的最小值为（ ） A ．42 B ．8 C ．9 D ．1210．在一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （2n ，1x ，2x …n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点(),(1,2,,)i i x y i n =都在直线y=3?x+1-上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）A ．-3B ．0C ．-1D ．111．在四边形ABCD 中，如果0AB AD ⋅=，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．直角梯形12．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据： 月份x 1 2 3 4 用水量y4.5432.5由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是0.7y x a =-+，则a 等于___14．地球的半径为R ，在北纬45︒东经30有一座城市A ，在北纬45︒东经120︒有一座城市B ，飞机从城市A 上空飞到城市B 上空的最短距离______．15．已知条件p ：|43|1x -≤；条件q ：2(21)(1)0x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________________ 16．观察下列算式：311=，3352+=，379113++=，3131517194+++=，…，3111113115m n ++++=，则m n +=____．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数()e 1(R)x f x ax a =--∈，()ln g x x =．（1）若不等式()()f x g x ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（2）记min{,}m n 表示,m n 中的最小值，若函数()min{(),()}h x f x g x =在(0,2)内恰有一个零点，求实a 的取值范围．18．证明：当[0,1]x ∈时，2sin x x x ≤≤. 19．（6分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式在上无解，求实数的取值范围.20．（6分）小陈同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为13，第二次投篮命中的概率为12，前两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为23，否则为14. （1）求小陈同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记小陈同学三次投篮命中的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及数学期望.21．（6分）已知函数()11f x x mx =++-.（1）若1m =，求()f x 的最小值，并指出此时x 的取值范围； （2）若()2f x x ≥，求m 的取值范围.22．（8分）已知条件p ：方程22121x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆；条件q ：双曲线2215y x m-=的离心率(()1e a ∈>．（1）若a=2，P={m|m 满足条件P}，Q={m|m 满足条件q}，求P Q ；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】根据三段论的推理形式依次去判断大前提和小前提，以及大小前提的关系，根据小前提不是大前提下的特殊情况，可知推理形式错误. 【详解】大前提：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提：“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能进行类比， 所以不符合三段论的推理形式，可知推理形式错误. 本题正确选项：B 【点睛】本题考查三段论推理形式的判断，关键是明确大小前提的具体要求，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】根据参数方程与普通方程的互化，得直线l 的普通方程为1=-+y ax a ，由极坐标与直角坐标的互化，得曲线C 普通方程为221164x y +=，再利用“平方差”法，即可求解．由直线1:1x tl y at =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），可得直线l 的普通方程为1=-+y ax a ，由曲线221613sin ρθ=+，可得曲线C 普通方程为221164x y +=，设直线l 与椭圆C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，则22111164x y +=，2221164x y +=，两式相减，可得1212121214y y y y x x x x -+⋅=--+. 所以1212114y y x x -⋅=--，即直线l 的斜率为14-，所以a =14-，故选A ．【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及中点弦问题的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用中点弦的“平方差”法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．A 【解析】试题分析：模拟运算：成立 成立 成立 成立 成立 成立 成立 成立不成立，输出，故选D ．考点：程序框图． 4．B 【解析】 【分析】第一次循环，4,2s i ==，第二次循环，10,3s i ==，第三次循环，16,4s i ==，结束循环，输出16s =，故选B ． 5．B 【解析】 【分析】 【详解】AFB 三角形中，由余弦定理可得：222||||2cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠代入得22481002108=365AF =+-⨯⨯⨯，解得6AF =,由此可得三角形ABF 为直角三角形． OF=5，即c=5.由椭圆为中心对称图形可知当右焦点为2F 时，2AFB BF A ∆≅∆,25214,7,7a AF AF a e =+=== 【考点定位】本题考查椭圆定义，解三角形相关知识以及椭圆的几何性质． 6．C 【解析】()()()()sin sin f x x x x x f x -=-⋅-==，为偶函数，则B 、D 错误；又当[]0,x π∈时，()'sin cos f x x x x =+， 当()'sin cos 0f x x x x =+=时，得tan x x =-，则则极值点0,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故选C ． 点睛：复杂函数的图象选择问题，首先利用对称性排除错误选项，如本题中得到为偶函数，排除B 、D 选项，在A 、C 选项中，由图可知，虽然两个图象在第一象限都是先增后减，但两个图象的极值点位置不同，则我们采取求导来判断极值点的位置，进一步找出正确图象．7．B 【解析】根据等差数列的性质得：2311773112,0a a a a a a +=--= ，变为：2772a a = ，解得772,0a a == （舍去），所以772b a == ，因为数列{}n b 是等比数列，所以2268774b b b a === ，故选B.8．D 【解析】 【分析】如图所示，画出可行域和目标函数，根据平移得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线y 轴截距的相反数，根据图像知：当直线过()2,2-，即2x =-，2y =时有最小值为6-；当直线过22,33⎛⎫⎪⎝⎭，即23x y ==时有最大值为23，故26,3z ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：D .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键. 9．C【解析】试题解析：依题可得不等式201x x +<+的解集为{|21}x x -<<-，故()2,1A --，所以210m n --+=即21m n +=， 又0mn >，则()212122=2559n m m n m n m n m n ⎛⎫+++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当13m n ==时上式取等号， 故选C考点：分式不等式的解法，基本不等式的应用 10．C 【解析】因为所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅都在直线31y x =-+上，所以回归直线方程是31y x =-+，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点()(),1,2,..,i i x y i n =，都在直线上，则有1,r =∴相关系数1r =-，故选C. 11．A 【解析】 【分析】由AB DC =可判断出四边形ABCD 为平行四边形，由0AB AD ⋅=可得出AB AD ⊥，由此判断出四边形ABCD 的形状.【详解】AB DC =，所以，四边形ABCD 为平行四边形，由0AB AD ⋅=可得出AB AD ⊥，因此，平行四边形ABCD 为矩形，故选A. 【点睛】本题考查利用向量关系判断四边形的形状，判断时要将向量关系转化为线线关系，考查转化与化归思想，同时也考查了推理能力，属于中等题. 12．B 【解析】 【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B ． 【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．214【解析】 【分析】首先求出x ，y 的平均数，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a 的一元一次方程，解方程即可． 【详解】 ：14x =（1+2+3+4）＝2.5，14y =（4.5+4+3+2.5）＝3.5， 将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是ˆy=-0.7x+a ，可得3.5＝﹣1.75+a ， 故a ＝214． 故答案为214【点睛】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是基础题 14．3Rπ 【解析】 【分析】先求AB R =,再求出弧AB 所对应的圆心角，再结合弧长公式运算即可. 【详解】解：由地球的半径为R ，则北纬45︒的纬线圈半径为2cos 452R R =，又两座城市的经度分别为30，120︒，故经度差为90︒，R =，则,A B 两地与地球球心连线夹角为60，即3π， 则,A B 两地之间的距离是3Rπ, 故答案为：3Rπ. 【点睛】本题考查了球面距离，重点考查了弧所对应的圆心角及弧长公式，属基础题. 15．102a ≤≤ 【解析】分析：条件p 化为1431x ，q 化为1a x a ≤≤+，由p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，根据包含关系列不等式求解即可. 详解：条件:431p x ，化为1431x ，解得112x ≤≤，()22:210q x a x a a -+++≤，解得1a x a ≤≤+，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件，1211a a ⎧≤⎪∴⎨⎪≤+⎩，解得102a ≤≤，则实数a 的取值范围是102a ≤≤，故答案为102a ≤≤.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法以及充分条件与必要条件的定义，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于简单题. 16．142； 【解析】 【分析】观察已知等式的规律，可猜想第n 行左边第一个奇数为(1)1n n -+后续奇数依次为：(1)3,(1)5,,(1)(21),n n n n n n n -+-+-+-由第n 行第一个数为111，即：111(1)1n n =-+，解得：11n =，可得：(111)11(2111)131m =-⨯+⨯-=，即可得解. 【详解】第n 行等号左边第一个加数为第(123)n ++++个奇数，即(1)1n n +-，于是第一个加数为(1)12n n --+，所以第n 个等式为3[(1)1][(1)1]n n n n n -++++-=，11n =，131m =【点睛】本题主要考查归纳与推理，猜想第n 行左边第一个奇数为(1)1n n -+进而后续奇数依次为：(1)3,(1)5,,(1)(21),n n n n n n n -+-+-+-是解题的关键.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）(,1]e -∞-；（2）21,2e ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用分离参数，并构造新的函数e ln 1()x x x xϕ--=，利用导数判断()x ϕ的单调性，并求最值，可得结果.（2）利用对a 的分类讨论，可得()h x ，然后判断函数单调性以及根据零点存在性定理，可得结果.【详解】（1）由()()f x g x ≥，得e ln 1x x a x--≤， 令e ln 1()x x x xϕ--=， 2(1)e ln '()x x x x xϕ-+∴= 当(0,1)x ∈时，(1)e 0x x -<，ln 0x <，)0'(x ϕ∴<；当(1,)x ∈+∞时，(1)0x x e ->，ln 0x >，'()0x ϕ∴>，∴函数()x ϕ在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)e 1x ϕϕ∴≥=-，e 1a ∴≤-，∴实数a 的取值范围是(,1]e -∞-（2） ①由（1） 得当e 1a ≤-时，()()f x g x ≥，()min{(),()}()ln h x f x g x g x x ∴===，(0,2)x ∈，函数()h x 在(0,2)内恰有一个零点1x =，符合题意②当e 1a >-时，i ．若(0,1)x ∈，()ln 0g x x =<，()min{(),()}()0h x f x g x g x ∴=≤<，故函数()h x 在(0,1)内无零点ii ．若1x =，(1)e 10f a =--<，(1)0g =，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<，1x =不是函数()h x 的零点；iii ．若(1,2)x ∈时，()ln 0g x x =>，故只考虑函数()f x 在(1,2)的零点，'()e x f x a =-，若1e a e -<≤时，'()e 0f x a >-≥，∴函数()f x 在(1,2)上单调递增，(1)e 10f a =--<，22(2)e 21e 2e 10f a =--≥-->，∴函数()h x 在(1,2)上恰有一个零点若2e a ≥时，2()e '0f x a <-≤， ∴函数()f x 在(1,2)上单调递减，(1)e 10f a =--<，∴函数()h x 在(1,2)上无零点，若2e e a <<时，'()01ln f x x a <⇔<<，'()0ln 2f x a x >⇔<<，∴函数()f x 在(1,ln )a 上递减，在(ln ,2)a 上递增，要使()h x 在(1,2)上恰有一个零点， 只需(2)0f >，2e 1e 2a -∴<<． 综上所述，实数a 的取值范围是21,2e ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查函数导数的综合应用，难点在于对参数a 的分类讨论，考验理解能力以及对问题的分析能力，属难题.18．见解析【解析】分析：（1）记()sin F x x x -＝ ，则()F x cosx '＝，分x∈0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭与x∈,14π⎛⎤ ⎥⎝⎦两类讨论，可证得当]1[0x ∈， 时，0F x ≥（），即2sinx x ≥； 记H x sinx x =-（） ，同理可证当01x ∈（，）时，sinx x ≤，二者结合即可证得结论； 详解：记记()2sin 2F x x x -＝ ，则()22F x cosx '＝－， 当x∈0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，F′(x)＞0，F(x)单调递增； 当x∈,14π⎛⎤ ⎥⎝⎦时，F′(x)＜0，F(x)单调递减． 又F(0)＝0，F(1)＞0，所以当x∈[0，1]时，F(x)≥0，即sinx≥2x. 记H x sinx x =-（），则()1H x cosx '＝－. 当]1[0x ∈，时，H′(x)≤0，H(x)单调递减． 所以H(x)≤H(0)＝0，即sinx x ≤.综上，2sin x x x ≤≤，[0,1x ∈． 点睛：本题考查不等式的证明，突出考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立问题，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，属于难题．19．（1）; （2）.【解析】试题分析：（1）将的表达式以分段函数的形式写出，将原题转化为求不等式组的问题，最后对各个解集求并集得出原不等式的解集；（2）在上无解相当于，从而得到关于的一元二次不等式，解得的范围.试题解析：（1）由题意得. 则原不等式转化为或或.原不等式的解集为.（2）由题得，由（1）知，在上的最大值为，即， 解得或，即的取值范围为. 20．（1）34；（2）4936. 【解析】 分析：（1）先求小陈同学三次投篮都没有命中的概率，再用1减得结果，（2）先确定随机变量取法，再利用组合数求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求结果.详解：（1）小陈同学三次投篮都没有命中的概率为(1－13)×(1－12)×(1－14)＝14； 所以小陈同学三次投篮至少命中一次的概率为1－14＝34. （2）ξ可能的取值为0，1，2，1．P(ξ＝0)＝14； P(ξ＝1)＝13×(1－12)×(1－23)＋(1－13)×12×(1－23)＋(1－13)×(1×12)×14＝14； P(ξ＝2)＝13×12×13＋13×12×23＋23×12×23＝718；P(ξ＝1)＝13×12×23＝19； 故随机变量ξ的概率分布为 ξ0 1 2 1 P 14 14 718 19所以数学期望E(ξ)＝0×4＋1×4＋2×18=＋1×9＝36． 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.21． (1)见解析;(2)(,1][1)-∞-⋃+∞.【解析】【分析】（1）根据绝对值的意义求出x 的范围即可；（2）问题转化为当0x >时，11mx x -≥-，结合函数的性质得到关于m 的不等式，解出即可.【详解】（1）()()()11112f x x x x x =++-≥+--=，当且仅当()()110x x +-≤时取等号，故()f x 的最小值为2，此时x 的取值范围是[]1,1-.（2）0x ≤时，()2f x x ≥显然成立，所以此时m R ∈； 0x >时，由()112f x x mx x =++-≥，得11mx x -≥-. 由1y mx =-及1y x =-的图象可得1m ≥且11m≤， 解得1m ≥或1m ≤-.综上所述，m 的取值范围是][(),11-∞-⋃+∞【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有绝对值的意义，绝对值三角不等式，分类讨论思想，灵活掌握基础知识是解题的关键.22． (1) 10,3P Q ⎛⎫⋂= ⎪⎝⎭ (2) 161,15⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）分别求出：p ： 120m m ->>，解得P ，q ：0m >(，解得Q ，再根据集合的交集的概念得到P Q ;（2）根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，可得q 是p 的充分不必要条件，即可得出155,13a a -． 【详解】 （1）条件p ：方程22121x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆， 则120m m ->>，解得103m <<．∴10,3P ⎛⎫= ⎪⎝⎭．条件q ：双曲线2215y x m -=的离心率(()1e a ∈>．0m >，(，解得05m <<．∴()0,5Q =． ∴10,3P Q ⎛⎫⋂= ⎪⎝⎭．（2）由（1）可得：10,3P ⎛⎫= ⎪⎝⎭．条件q ：双曲线2215y x m -=的离心率(()1e a ∈>．0m >，(，解得()0551m a a <<->．∴()()0,551Q a a =->． ∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件． ∴155,13a a -，解得16115a <<． ∴实数a 的取值范围是161,15⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、方程与不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

广东省梅州市2020年高二第二学期数学期末预测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知集合，则 ( ) A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】【分析】 由题意，集合，，再根据集合的运算，即可求解.【详解】 由题意，集合，， 所以，故选C. 【点睛】 本题主要考查了对数函数的性质，以及不等式求解和集合的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．若身高x cm 和体重y kg 的回归模型为0.84985.712y =x -，则下列叙述正确的是（ ） A ．身高与体重是负相关 B ．回归直线必定经过一个样本点 C ．身高170cm 的人体重一定时58.618kg D ．身高与体重是正相关【答案】D【解析】【分析】由线性回归直线方程可得回归系数大于0，所以正相关，且经过样本中心，且y 为估计值，即可得到结论．【详解】0.84985.712y x =-可得0.8490>，可得身高与体重是正相关，A 错误，D 正确； 回归直可以不经过每一个样本点，一定过样本中心点(x ，)y ，故B 错误；若170x cm =，可得ˆ0.84917085.71258.618ykg =⨯-=，即体重可能是58.618kg ，故C 错误． 故选D ．【点睛】本题考查线性回归中心方程和运用，考查方程思想和估计思想，属于基础题．3．用反证法证明命题“已知,,a b c 为非零实数，且0a b c ++>，0ab bc ac ++>，求证,,a b c 中至少有两个为正数”时，要做的假设是（ ）A ．,,a b c 中至少有两个为负数B ．,,a b c 中至多有一个为负数C ．,,a b c 中至多有两个为正数D ．,,a b c 中至多有两个为负数【答案】A【解析】分析：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“a 、b 、c 中至少有二个为负数”，由此得出结论．详解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“,,a b c 中至少有二个为正数”的否定为：“,,a b c 中至少有二个为负数”．故选A ．点睛：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面是解题的关键，着重考查了推理与论证能力．4．若，则不等式的解集为 A ． B ． C ． D ． 【答案】D【解析】【分析】 由绝对值三角不等式的性质得出，由，得出，借助正弦函数图象可得出答案。

2020年广东省梅州市五华城镇中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数为偶函数，则m=（）A. -1B. 1C. -1或1D. 0参考答案：C【分析】由f（x）为偶函数，得，化简成xlg（x2+1﹣m2x2）＝0对恒成立，从而得到x2+1﹣m2x2＝1，求出m＝±1即可．【详解】若函数f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即；得对恒成立，∴x2+1﹣m2x2＝1，∴（1﹣m2）x2＝0，∴1﹣m2＝0，∴m＝±1．故选：C．【点睛】本题考查偶函数的定义，以及对数的运算性质，平方差公式，属于基础题．2. 极坐标系中，下列各点与点P（ρ，θ）（θ≠kπ，k∈Z）关于极轴所在直线对称的是（）A．（-ρ，θ）B．（-ρ，-θ）C．（ρ，2π-θ） D．（ρ，2π+θ）参考答案：C3. 展开式中的常数项为（）A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣15参考答案：B【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：∵二项式=，它的展开式的通项公式为T r+1=?（﹣1）r?x6﹣2r，令6﹣2r=0，求得r=3，可得展开式中的常数项为﹣=﹣20，故选：B．4. 将正奇数1,3,5,7，…排成五列（如下表），按此表的排列规律，2019所在的位置是（）A．第一列B．第二列 C.第三列D．第四列参考答案：C由题意，令，解得，即数字是第个奇数，又由数表可知，每行个数字，则，则第个奇数位于第行的第2个数，所以位于第三列，故选C．5. 已知x，y为正实数，且满足，则的最大值是A． B． C． D．参考答案：D6. 若，则k=A. 1B.0C.0或1D.以上都不对参考答案：C略7. 的值为（）(A) (B) (C) (D)参考答案：A本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。

2020年广东省梅州市银江中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（）A． B． C． D．参考答案：A略2. 两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是（）A．48，49 B．62，63 C．75，76 D．84，85参考答案：D【考点】进行简单的合情推理．【分析】本题考查的知识点是归纳推理，分析已知图形中座位的排列顺序，我们不难发现座位排列的规律，即被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，不难判断正确的答案．【解答】解：由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件．故选D3. 下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】综合题．【分析】根据四种命题的定义，我们可以判断A的真假；根据充要条件的定义，我们可以判断B的真假；根据复合命题的真值表，我们可以判断C的真假；根据特称命题的否定方法，我们可以判断D的真假，进而得到答案．【解答】解：命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故A为真命题；“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故B为真命题；若p∧q为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但p、q不一定均为假命题，故C为假命题；命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．则非p：?x∈R，均有x2+x+1≥0，故D为真命题；故选C．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，四种命题间的逆否关系，充要条件，是对简单逻辑综合的考查，属于简单题型．4. 已知命题，则是A. B.C. D.参考答案：A5. 互不相等的三个正数a、b、c成等差数列，又x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，那么这三个数（）A．成等比而非等差B．成等差而非等比C．既成等比又成等差D．既非等差又非等比参考答案：B略6. 化简 ( )参考答案：B略7. 已知是函数的导函数，将和的图象画在同一个平面直角坐标系中，不可能正确的是（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据的正负与单调性间的关系，即可逐项判断出结果.【详解】因为是函数的导数，时，函数单调递增；时，函数单调递减；A中，直线对应，曲线对应时，能满足题意；B中，轴上方曲线对应，轴下方曲线对应，能满足题意；C中，轴上方曲线对应，轴下方曲线对应，能满足题意；D中，无论轴上方曲线或轴下方曲线，对应时，都应该是单调函数，但图中是两个不单调的函数，显然D不满足题意.故选D【点睛】本题主要考查函数与导函数图像之间的关系，熟记导函数与导数间的关系即可，属于常考题型.8. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为，则输出的值是A． B． C． D．参考答案：A9. 如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是( )A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值为90°D．AP+PD1的最小值为参考答案：C考点：棱柱的结构特征．专题：应用题；空间位置关系与距离．分析：利用DC1⊥面A1BCD1，可得DC1⊥D1P，A正确利用平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，得出平面D1A1P⊥平面A1AP，B正确；当A1P=时，∠APD1为直角角，当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，C错；将面AA1B与面ABCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值．解答：解：∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P?面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，A正确∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP 即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴B正确；当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，∴C错；将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=，即AP+PD1≥，∴D正确．故选：C．点评：本题考查正方体的结构特征，空间位置关系的判定，转化的思想10. 已知数列{a n}满足a1 =1，a n+1 = a n +n+()，则a n为A． B．C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知以y＝±x为渐近线的双曲线D：(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线D右支上任意一点，则的取值范围是________．参考答案：略12. 函数的最大值等于___________。

广东省梅州市五华实验学校2020-2021学年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 右图是某同学用于计算S=sin1+sin2+sin3+…+sin2012值的程序框图，则在判断框中填写(A)k>2011? (B)k>2012?(C)k<2011? (D)k<2012?参考答案：B2. 在二面角α –l–β的两个面α、β内，分别有直线a，b，它们与棱l都不垂直，则（）（A）当该二面角是直二面角时，可能有a∥b，也可能a⊥b（B）当该二面角是直二面角时，可能有a∥b，但不可能a⊥b（C）当该二面角不是直二面角时，可能有a∥b，但不可能a⊥b（D）当该二面角不是直二面角时，不可能有a∥b，但可能a⊥b参考答案：B 3. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】余弦定理；等比数列．【专题】计算题．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．【点评】本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用．4. 已知定义在实数集上的奇函数有最小正周期2，且当时，（1）证明在上为减函数；（2）求函数在上的解析式；（3）当取何值时，方程在R上有实数解.参考答案：解：（1）证明：设………………………3分∴在上为减函数. ………………………4分（2）,,………………………6分………………………8分（3）若又………………………10分若………………………12分5. 曲线在x=-1处的切线方程为（）A．B．C．D．参考答案：C6. 已知函数f（x）=e﹣x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若f（a）=g（b），则b的取值范围是（）A．B．C．[1，3] D．（1，3）参考答案：B【考点】3W：二次函数的性质．【分析】根据函数的单调性求出函数f（x）的值域，从而得到g（b）的取值范围，解一元二次不等式即可求出所求．【解答】解：∵f（x）=e x﹣1，在R上递增∴f（a）＞﹣1，则g（b）＞﹣1∴﹣b2+4b﹣3＞﹣1即b2+4b+2＜0，解得b∈（2﹣，2+），故选：B．7. 复数（是虚数单位），则的共轭复数的虚部是A. B. C.D.参考答案：C略8. 命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是( )A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0参考答案：D【考点】命题的否定．【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选D．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化．注意：全称命题的否定是特称命题．9. 设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则= （）A． B . C. D.参考答案：A10. 两个等差数列{a n}和{b n}，其前n项和分别为S n，T n，且，则等于（）A．B．C．D．参考答案：D 【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解．【解答】解：因为： =====．故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，以及计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若圆x2+y2=4与圆x2+（y﹣3）2=r2（r＞0）外切，则实数r的值为．参考答案：1略12. 不等式的解集是____________________．参考答案：13. 为真命题是为真命题的_____________条件．参考答案：必要不充分略14. 甲、乙、丙三位同学被问到是否看过A，B，C三本书时，甲说：我看过的比乙多，但没看过C 书；乙说：我没看过B书；丙说：我们三人看过同一本书.由此可判断乙看过的书为__________．参考答案：A【分析】结合丙的话和甲的话，可确定乙看过一本书，甲看过两本书；结合丙的话和乙的话，可确定乙看过的书.【详解】由丙的话可知，每个人至少看过一本书由甲的话可知甲看过两本书，为；乙看过一本书三个人看过同一本书，且乙没看过乙看过本题正确结果：【点睛】本题考查逻辑推理的相关知识，属于基础题.15. 某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为．参考答案：3000【考点】分层抽样方法．【分析】设全校学生的人数为n和要抽取的样本容量，即可求出答案．【解答】解：设全校学生的人数为n，则，解得n=3000，故答案为：3000．16. 已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD所成的角为60°，点M，N分别是BC，AD 的中点，则直线AB和MN所成的角的大小为▲参考答案：或17. 设函数，存在，使得成立，则实数a的值是______.参考答案：【分析】将看作动点与定点之间距离的平方，将问题变为直线上的点到的最小距离的求解问题；利用导数求解出与平行的切线的切点，从而得到最小距离，根据能成立的不等式可确定和的位置，利用斜率关系求得结果.【详解】由题意得：可将看作动点与定点之间距离的平方则动点在函数图象上，在直线图象上，令，解得：，上的点到直线的距离最小若存在，使得成立，则此时，为垂足本题正确结果：三、解答题：本大题共5小题，共72分。