2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业75
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课时作业(六十八)1.已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 与双曲线x 212-y24=1的一个焦点重合,直线y =x -4与抛物线交于A ,B 两点,则|AB |等于( )A .28B .32C .20D .40答案 B解析 双曲线x 212-y 24=1的焦点坐标为(±4,0),故抛物线的焦点F 的坐标为(4,0),因此p =8,故抛物线方程为y 2=16x ,易知直线y =x -4过抛物线的焦点.设A ,B 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).由⎩⎨⎧y 2=16x ,y =x -4,可得x 2-24x +16=0,故x 1+x 2=24. 故|AB |=x 1+x 2+p =24+8=32.2.已知AB 为半圆的直径,P 为半圆上一点,以A 、B 为焦点且过点P 做椭圆,当点P 在半圆上移动时,椭圆的离心率有( )A .最大值12 B .最小值12 C .最大值22 D .最小值22答案 D解析 椭圆的离心率e =|AB ||P A |+|PB |≥|AB |2|P A |2+|PB |22=22,故选D. 3.(2012·武汉调研)设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过点M (-1,0)的直线在第一象限交抛物线于A 、B ,且满足AF →·BF →=0,则直线AB 的斜率k =( )A. 2B.22 C. 3D.33答案 B解析 依题意,设直线AB 的方程为y =k (x +1)(k ≠0),代入抛物线方程y 2=4x 并整理得k 2x 2+(2k 2-4)x +k 2=0,因为直线与抛物线有两个不同的交点,所以Δ=(2k 2-4)2-4k 4>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=4-2k 2k 2,x 1x 2=1.又因为AF →·BF →=0,所以(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=0,(x 1-1)(x 2-1)+k 2(x 1+1)(x 2+1)=0,(1+k 2)x 1x 2+(k 2-1)(x 1+x 2)+k 2+1=0,把⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=4-2k 2k 2x 1x 2=1,代入并整理得k 2=12,又k >0,所以k =22,选B.4.已知抛物线y =2x 2上的两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)关于直线y =x +m 对称,且x 1x 2=-12,那么m 的值等于( )A.32B.52 C .2 D .3答案 A解析 因为点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在抛物线y =2x 2上,所以y 1=2x 21,y 2=2x 22,两式相减得y 1-y 2=2(x 1-x 2)(x 1+x 2),不妨设x 1<x 2.因为直线AB 与直线y=x +m 互相垂直,所以y 1-y 2x 1-x 2=-1,所以x 1+x 2=-12,而x 1x 2=-12,解得x 1=-1,x 2=12,设线段AB 的中点为M (x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22=-14,y 0=y 1+y 22=2x 21+2x 222=54.因为中点M 在直线y =x +m 上,所以54=-14+m ,解得m =32.5.已知双曲线x 2-y 24=1,过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点,则l 的条数为( )A .4B .3C .2D .1答案 A解析 ①斜率不存在时,方程为x =1符合. ②设斜率为k ,y -1=k (x -1),kx -y -k +1=0.⎩⎨⎧4x 2-y 2=4,y =kx -k +1,(4-k 2)x 2+(2k 2-2k )x -k 2+2k -5=0. 当4-k 2=0,k =±2时符合;当4-k 2≠0,Δ=0,亦有一个答案,∴共4条.6.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为( )A.13 B.12 C.33D.22答案 D解析 根据题意可知双曲线的方程为x 2a 2-b 2-y 2b 2=1.因为双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,所以双曲线为等轴双曲线,所以a 2-b 2=b 2,即a =2b ,故椭圆的离心率e =a 2-b 2a =b a =b 2b=22,故选D.7.已知两点A (1,0),B (b,0),若抛物线y 2=4x 上存在点C 使△ABC 为等边三角形,则b =________.答案 5或-13解析 A (1,0),B (b,0),且△ABC 为等边三角形,则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫b +12,±32(b -1),代入抛物线方程求得b =5或-13,故填5或-13.8.抛物线y =x 2与直线x -y -2=0的最短距离________.答案728解析 设与抛物线相切且与直线x -y -2=0平行的直线为x -y +t =0,∴⎩⎨⎧y =x 2,y =x +t ,消y 得x 2-x -t =0. Δ=1+4t =0,∴t =-14.∴问题转化为x -y -2=0与x -y -14=0的距离. ∴d =|-2-⎝ ⎛⎭⎪⎫-14|2=728.9.椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y =1相交于A ,B 两点,C 是AB 的中点,O 为坐标原点,OC 的斜率为22,则ba =________.答案 22解析 (点差法)令A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 0,y 0),⎩⎨⎧ax 21+by 21=1,ax 22+by 22=1, 作差有 a (x 1-x 2)(x 1+x 2)=-b (y 1-y 2)(y 1+y 2), k AB =y 1-y 2x 1-x 2=a (x 1+x 2)-b (y 1+y 2)=-1. 又x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,k OC =y 0x 0, ∴ax 0by 0=1,∴a b =y 0x 0=22.10.若抛物线y =ax 2-1上恒有关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ,则a 的取值范围是________.答案 (34,+∞)解析 设抛物线上的两点为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),直线AB 的方程为y =x +b ,代入抛物线方程y =ax 2-1,得ax 2-x -(b +1)=0,设直线AB 的中点为M (x 0,y 0),则x 0=12a ,y 0=x 0+b=12a +b .由于M (x 0,y 0)在直线x +y =0上,故x 0+y 0=0,由此解得b =-1a ,此时ax 2-x -(b +1)=0可变形为ax 2-x -(-1a +1)=0,由Δ=1+4a (-1a +1)>0,解得a >34.11.如图所示,已知点H (-3,0),点P 在y 轴上,点Q 在x 轴的正半轴上,点M 在直线PQ 上,且满足HP →·PM →=0,PM →=-32MQ →.(1)求点P 在y 轴上移动时,求点M 的轨迹F ;(2)已知圆E :x 2+y 2=2x ,过圆心E 作直线l ,此直线与圆E 和(1)中的轨迹F 共有四个交点,自上而下依次记为A 、B 、C 、D ,如果线段AB 、BC 、CD 的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l 的方程.解析 (1)设M (x ,y ),P (0,y ′),Q (x ′,0), ∵PM →=-32MQ →,HP →·PM →=0,∴(x ,y -y ′)=-32(x ′-x ,-y ),(3,y ′)·(x ,y -y ′)=0. ∴x ′=13x ,y ′=-12y,3x +yy ′-y ′2=0.又∵点Q 在x 轴的正半轴上,∴x ′>0,x >0.将y ′=-12y 代入3x +yy ′-y ′2=0,得y 2=4x (x >0).∴动点M 的轨迹F 是以O (0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点). (2)由题知,圆E 的方程为(x -1)2+y 2=1,则其直径为2,圆心为E (1,0),如图所示.设l 的方程为my =x -1, 即x =my +1, ①将①式代入抛物线方程y 2=4x ,得y 2-4my -4=0. 设A (x 1,y 1),D (x 2,y 2),结合根与系数的关系,得⎩⎨⎧Δ>0,y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4.则(y 1-y 2)2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=16(m 2+1),|AD |2=(y 1-y 2)2+(x 1-x 2)2=(y 1-y 2)2+(y 21-y 224)2=(y 1-y 2)2[1+(y 1+y 24)2]=16(m 2+1)2.∴|AD |=4(m 2+1).又线段AB 、BC 、CD 的长成等差数列, ∴2|BC |=|AB |+|CD |=|AD |-|BC |.∴|AD |=3|BC |=6,∴4(m 2+1)=6,m =±22, 即直线l 的方程为2x -y -2=0或2x +y -2=0.12.已知直线x +y -1=0与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)相交于A 、B 两点,M 是线段AB 上的一点,AM →=-BM →,且点M 在直线l :y =12x 上.(1)求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦点关于直线l 的对称点在单位圆x 2+y 2=1上,求椭圆的方程. 解析 (1)由AM →=-BM →知M 是AB 的中点,设A 、B 两点的坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧x +y -1=0,x 2a 2+y 2b2=1,得(a 2+b 2)x 2-2a 2x +a 2-a 2b 2=0.x 1+x 2=2a 2a 2+b 2,y 1+y 2=-(x 1+x 2)+2=2b 2a 2+b 2.∴M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2a 2+b 2,b 2a 2+b 2.又M 点在直线l 上, ∴a 2a 2+b 2-2b 2a 2+b 2=0. ∴a 2=2b 2=2(a 2-c 2),∴a 2=2c 2. ∴e =c a =22.(2)由(1)知b =c ,不妨设椭圆的一个焦点坐标为F (b,0),设F (b,0)关于直线l :y =12x 的对称点为(x 0,y 0),则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0-0x 0-b ·12=-1,x 0+b 2-2×y 02=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=35b ,y 0=45b .由已知x 20+y 20=1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫35b 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫45b 2=1,∴b 2=1. ∴所求的椭圆的方程为x 22+y 2=1.13.已知椭圆C :x 2+y24=1,过点M (0,3)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B .(1)若l 与x 轴相交于点N ,且A 是MN 的中点,求直线l 的方程; (2)设P 为椭圆上一点,且OA →+OB →=λOP →(O 为坐标原点).求当|AB |<3时,实数λ的取值范围.解析 (1)设A (x 1,y 1),因为A 是MN 的中点,且M 的纵坐标为3,N 的纵坐标为0,所以y 1=32.又因为点A (x 1,y 1)在椭圆C 上, 所以x 21+y 214=1,即x 21+916=1,解得x 1=±74, 则点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74,32或⎝ ⎛⎭⎪⎫-74,32.所以直线l 的方程为67x -7y +21=0或67x +7y -21=0. (2)设直线AB 的方程为y =kx +3或x =0,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 3,y 3),当AB 的方程为x =0时,|AB |=4>3,与题意不符.当AB 的方程为y =kx +3时,由题设可得A 、B 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +3,x 2+y 24=1的解,消去y 得(4+k 2)x 2+6kx +5=0. 所以Δ=(6k )2-20(4+k 2)>0,即k 2>5. 则x 1+x 2=-6k 4+k 2,x 1·x 2=54+k 2, y 1+y 2=(kx 1+3)+(kx 2+3)=244+k 2. 因为|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2<3, 所以1+k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-6k 4+k 22-204+k2<3, 解得-1613<k 2<8,所以5<k 2<8.因为OA →+OB →=λOP →,即(x 1,y 1)+(x 2,y 2)=λ(x 3,y 3), 所以当λ=0时,由OA →+OB →=0, 得x 1+x 2=-6k 4+k 2=0,y 1+y 2=244+k 2=0, 上述方程无解,所以此时符合条件的直线l 不存在;当λ≠0时,x 3=x 1+x 2λ=-6kλ(4+k 2), y 3=y 1+y 2λ=24λ(4+k 2). 因为点P (x 3,y 3)在椭圆上, 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤-6k λ(4+k 2)2+14⎣⎢⎡⎦⎥⎤24λ(4+k 2)2=1, 化简得λ2=364+k 2. 因为5<k 2<8,所以3<λ2<4. 则λ∈(-2,-3)∪(3,2).综上,实数λ的取值范围为(-2,-3)∪(3,2).1.已知抛物线y =ax 2(a ≠0)的焦点为F ,准线l 与对称轴交于R 点,过已知抛物线上一点P (1,2)作PQ ⊥l 于Q ,则(1)抛物线的焦点坐标是____________;(2)梯形PQRF 的面积是____________.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0,18 (2)1916解析 抛物线上一点P (1,2),求得a =2,焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,18;梯形PQRF 的面积是1916.故填(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0,18;(2)1916.2.AB 弦过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的中心,F 为焦点,则S △ABF 的最大值是________.答案 b a 2-b 2解析 如图,S △ABF =S △AOF +S △BOF =12|OF |(|y A |+|y B |)=12|OF ||y A -y B | =12a 2-b 2|y A -y B |, 而|y A -y B |max =2b , ∴(S △AOF )max =b a 2-b 2.3.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x -y +6=0相切.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P (4,0),A ,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连接PB 交椭圆C 于另一点E ,证明:直线AE 与x 轴相交于定点Q ;(3)在(2)的条件下,设过点Q 的直线与椭圆C 交于M ,N 两点,求OM →·ON →的取值范围.解析 (1)由题意知e =c a =12,所以e 2=c 2a 2=a 2-b 2a 2=14,即a 2=43b 2.因为以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆x 2+y 2=b 2,与直线x -y +6=0相切,所以b =612+(-1)2=3,所以a 2=4,b 3=3,故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)由题意知直线PB 的斜率存在且不为0,则可设直线PB 的方程为y =k (x -4),k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -4),x 24+y 23=1,得(4k 2+3)x 2-32k 2x +64k 2-12=0. ①设点B (x 1,y 1),E (x 2,y 2),则A (x 1,-y 1).由题意知直线AE 的斜率存在,则直线AE 的方程为y -y 2=y 2+y 1x 2-x 1(x -x 2).令y =0,得x =x 2-y 2(x 2-x 1)y 2+y 1,将y 1=k (x 1-4),y 2=k (x 2-4)代入整理得x=2x 1x 2-4(x 1+x 2)x 1+x 2-8. ②由①式利用根与系数的关系得x 1+x 2=32k 24k 2+3,x 1x 2=64k 2-124k 2+3,代入②式整理得x =1.所以直线AE 与x 轴相交于定点Q (1,0). (3)当过点Q 的直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为y =m (x -1),M (x M ,y M ),N (x N ,y N ). 由⎩⎪⎨⎪⎧y =m (x -1),x 24+y 23=1,得(4m 2+3)x 2-8m 2x +4m 2-12=0,易知Δ=(-8m 2)2-4(4m 2+3)(4m 2-12)=144(m 2+1)>0,由根与系数的关系知x M +x N =8m 24m 2+3,x M x N =4m 2-124m 2+3,则y M y N =m (x M -1)·m (x N -1)=m 2[x M x N -(x M +x N )+1]=-9m 24m 2+3.则OM →·ON →=x M x N +y M y N =-5m 2+124m 2+3=-54-334(4m 2+3).因为m 2≥0,所以-114≤-334(4m 2+3)<0.所以-4≤-54-334(4m 2+3)<-54.所以OM →·ON →∈[-4,-54].当过点Q 的直线MN 的斜率不存在时,其方程为x =1,代入椭圆方程得y =±32,不妨设M (1,32),N (1,-32),此时OM →·ON →=-54.综上所述,OM →·ON →的取值范围是[-4,-54].4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与抛物线y 2=4x 有共同的焦点F ,且两曲线在第一象限的交点为M ,满足|MF |=53.(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线y =kx -2与椭圆C 交于A ,B 两点,OP →=13OA →,ON →=23OB →,若原点O 在以PN 为直径的圆外,求实数k 的取值范围.解析 (1)由题意知,抛物线y 2=4x 的焦点坐标为F (1,0),准线方程为x =-1.设M (x M ,y N )(x M >0,y M >0),因为点M 在抛物线上,且|MF |=53,所以点M 的横坐标x M =53-1=23,从而y 2M =4x M =83.又点M 也在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1上,故有⎩⎪⎨⎪⎧49a 2+83b 2=1,c 2=a 2-b 2=1,解得a 2=4,b 2=3.所以所求椭圆C 的方程为x 24+y 23=1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx -2,x 24+y 23=1,消去y ,得(4k 2+3)x 2-16kx +4=0.因为直线与椭圆C 有两个交点A ,B , 所以Δ=(-16k )2-16(4k 2+3)>0,即k 2>14.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=16k 4k 2+3,x 1x 2=44k 2+3.因为原点O 在以PN 为直径的圆外,所以∠PON 为锐角.又因为OP →=13OA →,ON →=23OB →,所以∠PON 为锐角,所以OA →·OB →>0, 即OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1-2)(kx 2-2)=(k 2+1)·x 1x 2-2k (x 1+x 2)+4=(k 2+1)·44k 2+3-2k ·16k 4k 2+3+4=-12k 2+164k 2+3>0.解得k 2<43.又k 2>14,所以14<k 2<43, 即-233<k <-12或12<k <233.故实数k 的取值范围是(-233,-12)∪(12,233).5.(2012·长春调研)已知点A (-1,0)、B (1,0),动点M 的轨迹曲线C 满足∠AMB =2θ,|AM →||BM →|cos 2θ=3,过点B 的直线交曲线C 于P 、Q 两点.(1)求|AM →|+|BM →|的值,并写出曲线C 的方程; (2)求△APQ 的面积和最大值.解析 (1)设M (x ,y ),在△MAB 中,|AB →|=2,∠AMB =2θ,根据余弦定理得|AM →|2+|BM →|2-2|AM →|·|BM →|cos2θ=|AB →|2=4,即(|AM →|+|BM →|)2-2|AM →|·|BM →|(1+cos2θ)=4. 所以(|AM →|+|BM →|)2-4|AM →|·|BM →|cos 2θ=4.因为|AM →|·|BM →|cos 2θ=3,所以(|AM →|+|BM →|)2-4×3=4, 所以|AM →|+|BM →|=4. 又|AM →|+|BM →|=4>2=|AB →|,因此点M 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(点M 在x 轴上也符合题意). 设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),则 a =2,c =1,所以b 2=a 2-c 2=3. 所以曲线C 的方程为x 24+y 23=1. (2)设直线PQ 的方程为x =my +1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x =my +1,x 24+y 23=1,消去x 并整理得(3m 2+4)y 2+6my -9=0. ① 显然方程①的判别式Δ=36m 2+36(3m 2+4)>0. 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则S △APQ =12×2×|y 1-y 2|=|y 1-y 2|.由根与系数的关系得y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4.所以(y 1-y 2)2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=48×3m 2+3(3m 2+4)2.令t =3m 2+3,则t ≥3,(y 1-y 2)2=48t +1t +2,由于函数φ(t )=t +1t 在[3,+∞)上是增函数,所以t +1t ≥103,当且仅当t =3m 2+3=3,即m =0时取等号. 所以(y 1-y 2)2≤48103+2=9,即|y 1-y 2|的最大值为3.所以△APQ 的面积的最大值为3,此时直线PQ 的方程为x =1.6.设椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y -1=0相交于A 、B 两点,点C 是AB 的中点,若|AB |=22,OC 的斜率为22,求椭圆的方程.解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),那么A 、B 的坐标是方程组⎩⎨⎧ax 2+by 2=1,x +y -1=0的解.由ax 21+by 21=1,ax 22+by 22=1,两式相减,得a (x 1+x 2)(x 1-x 2)+b (y 1+y 2)(y 1-y 2)=0. 因为y 1-y 2x 1-x 2=-1,所以y 1+y 2x 1+x 2=ab, 即2y C 2x C =a b ,y C x C=a b =22,所以b =2a .①再由方程组消去y ,得(a +b )x 2-2bx +b -1=0. 由|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2 =2(x 1-x 2)2=2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=22, 得(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4, 即⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a +b 2-4·b -1a +b =4.②由①、②解得a=13,b=23.故所求的椭圆方程为x23+2y23=1.。
课时作业(十)1.(2012·安徽)(log 29)·(log 34)=( )A.14 B.12 C .2 D .4答案 D解析 原式=(log 232)·(log 322)=4(log 23)·(log 32)=4·lg3lg2·lg2lg3=4. 2.log 2sin π12+log 2cos π12的值为( )A .-4B .4C .-2D .2答案 C解析 log 2sin π12+log 2cos π12=log 2(sin π12cos π12)=log 212sin π6=log 214=-2,故选C.3.若x ∈(e -1,1),a =ln x ,b =2ln x ,c =ln 3x ,则( )A .a <b <cB .c <a <bC .b <a <cD .b <c <a答案 C解析 由x ∈(e -1,1),得-1<ln x <0,a -b =-ln x >0,a >b ,a -c =ln x (1-ln 2x )<0,a <c ,因此有b <a <c ,选C.4.设a =log 3π,b =log 23,c =log 32,则( )A .a >b >cB .a >c >bC .b >a >cD .b >c >a答案 A解析 ∵a =log 3π>log 33=1,b =log 23<log 22=1,∴a >b ,又b c =12log 2312log 32=(log 23)2>1,∴b >c ,故a >b >c ,选A.5.0<a <1,不等式1log a x >1的解是( )A .x >aB .a <x <1C .x >1D .0<x <a答案 B解析 易得0<log a x <1,∴a <x <1.6.(2011·安徽)若点(a ,b )在y =lg x 图像上,a ≠1,则下列点也在此图像上的是( )A .(1a ,b )B .(10a,1-b )C .(10a ,b +1) D .(a 2,2b )答案 D解析 当x =a 2时,y =lg a 2=2lg a =2b ,所以点(a 2,2b )在函数y =lg x 图像上. 7.若log a (π-3)<log b (π-3)<0,a 、b 是不等于1的正数,则下列不等式中正确的是( )A .b >a >1B .a <b <1C .a >b >1D .b <a <1答案 A解析 ∵0<π-3<1,log a (π-3)<log b (π-3)<0,∴a ,b ∈(1,+∞),且b >a ,∴选A.8.当0<x <1时,下列不等式成立的是( )A .(12)x +1>(12)1-xB .log (1+x )(1-x )>1C .0<1-x 2<1D .log (1-x )(1+x )>0答案 C解析 方法一 考察答案A :∵0<x <1,∴x +1>1-x .∴(12)x +1<(12)1-x ,故A 不正确;考察答案B :∵0<x <1,∴1+x >1,0<1-x <1. ∴log (1+x )(1-x )<0,故B 不正确;考察答案C :∵0<x <1,∴0<x 2<1,∴0<1-x 2<1,故C 正确;考察答案D:∵0<1-x<1,1+x>1.∴log(1-x)(1+x)<0.故D不正确.方法二(特值法)取x=12,验证立得答案C.9.若0<a<1,在区间(0,1)上函数f(x)=log a(x+1)是() A.增函数且f(x)>0 B.增函数且f(x)<0C.减函数且f(x)>0 D.减函数且f(x)<0答案 D解析∵0<a<1时,y=log a u为减函数,又u=x+1增函数,∴f(x)为减函数;又0<x<1时,x+1>1,又0<a<1,∴f(x)<0.选D.10.函数y=f(x)的图像如下图所示,则函数y=log12f(x)的图像大致是()答案 C解析由y=f(x)的图像可知,y=f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,根据复合函数的单调性法则可知,y=log12f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故选C.11.(2012·上海文)方程4x-2x+1-3=0的解是________.答案log23解析原方程可化为(2x)2-2(2x)-3=0,解得2x=3或2x=-1,∵2x>0,∴2x=3,∴x=log23.故答案为log23.12.若log a (a 2+1)<log a 2a <0,则实数a 的取值范围是__________. 答案 (12,1)解析 ∵a 2+1>1, log a (a 2+1)<0,∴0<a <1. 又log a 2a <0,∴2a >1,∴a >12. ∴实数a 的取值范围是(12,1).13.若正整数m 满足10m -1<2512<10m ,则m =__________.(lg2≈0.301 0) 答案 155解析 由10m -1<2512<10m ,得m -1<512lg2<m ,∴m -1<154.12<m . ∴m =155.14.若函数f (x )=log a (x +1)(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,1],则a =________.答案 2解析 f (x )=log a (x +1)的定义域是[0,1],∴0≤x ≤1,则1≤x +1≤2. 当a >1时,0=log a 1≤log a (x +1)≤log a 2=1,∴a =2;当0<a <1时,log a 2≤log a (x +1)≤log a 1=0,与值域是[0,1]矛盾. 综上,a =2.15.作为对数运算法则:lg(a +b )=lg a +lg b (a >0,b >0)是不正确的.但对一些特殊值是成立的,例如:lg(2+2)=lg2+lg2.那么,对于所有使lg(a +b )=lg a +lg b (a >0,b >0)成立的a ,b 应满足函数a =f (b )表达式为________.答案 a =bb -1(b >1) 解析 lg(a +b )=lg a +lg b ,∴a +b =ab ,∴a (b -1)=b . ∴a =bb -1(b >1).16.已知函数y =log 2(x 2-ax -a )的值域为R ,则实数a 的取值范围是________. 答案 (-∞,-4]∪[0,+∞)解析 要使f (x )=x 2-ax -a 的值能取遍一切正实数,应有Δ=a 2+4a ≥0,解之得a ≥0或a ≤-4,即a 的取值范围为(-∞,-4]∪[0,+∞).17.设a ,b ∈R ,且a ≠2,若奇函数f (x )=lg 1+ax 1+2x 在区间(-b ,b )上有定义.(1)求a 的值; (2)求b 的取值范围. 解析 (1)f (-x )=-f (x ),即lg 1-ax 1-2x =-lg 1+ax 1+2x ,即1-ax 1-2x =1+2x 1+ax ,整理得1-a 2x 2=1-4x 2. ∴a =±2,又a ≠2,∴a =-2.(2)f (x )=lg 1-2x 1+2x的定义域是(-12,12),∴0<b ≤12.18.若f (x )=x 2-x +b ,且f (log 2a )=b ,log 2f (a )=2(a ≠1). (1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值; (2)x 取何值时,f (log 2x )>f (1),且log 2f (x )<f (1). 解析 (1)∵f (x )=x 2-x +b , ∴f (log 2a )=(log 2a )2-log 2a +b .由已知(log 2a )2-log 2a +b =b ,∴log 2a (log 2a -1)=0. ∵a ≠1,∴log 2a =1,∴a =2. 又log 2f (a )=2,∴f (a )=4.∴a 2-a +b =4,∴b =4-a 2+a =2.故f (x )=x 2-x +2. 从而f (log 2x )=(log 2x )2-log 2x +2=(log 2x -12)2+74. ∴当log 2x =12,即x =2时,f (log 2x )有最小值74.(2)由题意⎩⎨⎧(log 2x )2-log 2x +2>2,log 2(x 2-x +2)<2⇒⎧x>2或0<x<1,-1<x<2⇒0<x<1.⎩⎨。
课时作业(十八)1.已知函数f (x )=x 2-8ln x ,g (x )=-x 2+14x . (1)求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ,a +1)上均为增函数,求a 的取值范围; (3)若方程f (x )=g (x )+m 有唯一解,试求实数m 的值. 解析 (1)因为f ′(x )=2x -8x ,所以切线的斜率k =f ′(1)=-6. 又f (1)=1,故所求的切线方程为y -1=-6(x -1).即y =-6x +7. (2)因为f ′(x )=2(x +2)(x -2)x,又x >0,所以当x >2时,f ′(x )>0;当0<x <2时,f ′(x )<0. 即f (x )在(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减.又g (x )=-(x -7)2+49,所以g (x )在(-∞,7)上单调递增,在(7,+∞)上单调递减.欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ,a +1)上均为增函数,则⎩⎨⎧a ≥2,a +1≤7,解得2≤a ≤6.(3)原方程等价于2x 2-8ln x -14x =m ,令h (x )=2x 2-8ln x -14x ,则原方程即为h (x )=m .因为当x >0时原方程有唯一解,所以函数y =h (x )与y =m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点.又h ′(x )=4x -8x -14=2(x -4)(2x +1)x ,且x >0,所以当x >4时,h ′(x )>0;当0<x <4时,h ′(x )<0.即h (x )在(4,+∞)上单调递增,在(0,4)上单调递减,故h (x )在x =4处取得最小值,从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m =h (4)=-16ln2-24.2.(2013·衡水调研)设函数f (x )=x 2+2x -2ln(1+x ). (1)求函数f (x )的单调区间;(2)当x ∈[1e -1,e -1]时,是否存在整数m ,使不等式m <f (x )≤-m 2+2m +e 2恒成立?若存在,求整数m 的值;若不存在,则说明理由.解析 (1)由1+x >0,得函数f (x )的定义域为(-1,+∞). f ′(x )=2x +2-2x +1=2x (x +2)x +1. 由f ′(x )>0,得x >0;由f ′(x )<0,得-1<x <0.∴函数f (x )的单调递增区间是(0,+∞),单调减区间是(-1,0).(2)由(1)知,f (x )在[1e -1,0]上单调递减,在[0,e -1]上单调递增.∴f (x )min =f (0)=0.又f (1e -1)=1e 2+1,f (e -1)=e 2-e ,且e 2-3>1e 2+1, ∴x ∈[1e -1,e -1]时,f (x )max =e 2-e. ∵不等式m <f (x )≤-m 2+2m +e 2恒成立,∴⎩⎨⎧-m 2+2m +e 2≥f (x )max ,m <f (x )min .即⎩⎨⎧-m 2+2m +e 2≥e 2-3,m <0⇒⎩⎨⎧m 2-2m -3≤0,m <0⇒ ⎩⎨⎧-1≤m ≤3,m <0⇒-1≤m <0. ∵m 是整数,∴m =-1.∴存在整数m =-1,使不等式m <f (x )≤-m 2+2m +e 2恒成立.3.已知函数f (x )=ax -ln(-x ),x ∈[-e,0),其中e 是自然对数的底数,a ∈R .(1)当a =-1时,确定f (x )的单调性和极值; (2)当a =-1时,证明:f (x )+ln (-x )x >12;(3)是否存在实数a ,使f (x )的最小值为3,如果存在,求出a 的值;如果不存在,请说明理由.解析 (1)∵f (x )=-x -ln(-x ),f ′(x )=-1-1x =-x +1x ,∴当-e ≤x <-1时,f ′(x )<0,此时f (x )单调递减;当-1<x <0时,f ′(x )>0,此时f (x )单调递增.∴f (x )的极小值为f (-1)=1.(2)由(1)知f(x)在区间[-e,0)上有唯一的极小值1,即f(x)在区间[-e,0)上的最小值为1,即f(x)min=1.所证不等式即f(x)>12-ln(-x)x.令h(x)=12-ln(-x)x,则h′(x)=ln(-x)-1x2.当-e≤x<0时,h′(x)≤0,故h(x)在[-e,0)上单调递减.∴h(x)max=h(-e)=1e+12<12+12=1=f(x)min.∴当a=-1时,f(x)+ln(-x)x>12.(3)假设存在实数a,使f(x)=ax-ln(-x)的最小值为3.f′(x)=a-1x(x∈[-e,0)).①若a≥-1e,由于x∈[-e,0),则f′(x)=a-1x≥0.∴函数f(x)=ax-ln(-x)在[-e,0)上是增函数.∴f(x)min=f(-e)=-a e-1=3,解得a=-4e<-1e,与a≥-1e矛盾,舍去.②若a<-1e,则当-e≤x<1a时,f′(x)=a-1x<0,此时f(x)=ax-ln(-x)是减函数.当1a<x<0时,f′(x)=a-1x>0,此时f(x)=ax-ln(-x)是增函数.∴f(x)min=f(1a)=1-ln(-1a)=3,解得a=-e2.由①②知,存在实数a=-e2,使f(x)的最小值为3.4.(2013·山东济宁一模)已知函数f(x)=x-ln x,g(x)=ln x x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:对任意的m,n∈(0,e],都有f(m)-g(n)>12.(注:e≈2.718 28…是自然对数的底数.)解析 (1)∵f (x )=x -ln x (x >0),∴f ′(x )=1-1x =x -1x (x >0). 由f (x )>0,得x >1,由f (x )<0,得0<x <1.∴f (x )的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(0,1).(2)由(1)知,当x ∈(0,e]时,f (x )在(0,1)上单调递减,在(1,e]上单调递增. ∴当x =1时,[f (x )]min =f (1)=1.∵g (x )=ln xx (x >0),∴g ′(x )=1-ln x x 2(x >0).当x ∈(0,e]时,g (x )≥0,∴g (x )在(0,e]上单调递增. ∴当x ∈(0,e]时,[g (x )]max =g (e)=1e .对任意的m ,n ∈(0,e],f (m )-g (n )≥[f (m )]min -[g (n )]max =1-1e >12. 即证得,对任意的m ,n ∈(0,e],都有f (m )-g (n )>12.5.(2013·汕头质量测评)设函数f (x )=-13x 3+x 2+(a 2-1)x ,其中a >0. (1)若函数y =f (x )在x =-1处取得极值,求a 的值;(2)已知函数f (x )有3个不同的零点,分别为0、x 1、x 2,且x 1<x 2,若对任意的x ∈[x 1,x 2],f (x )>f (1)恒成立,求a 的取值范围.解析 (1)f ′(x )=-x 2+2x +(a 2-1),因为y =f (x )在x =-1处取得极值,所以f ′(-1)=0. 即-(-1)2+2(-1)+(a 2-1)=0. 解得a =±2.经检验得a =2.(2)由题意得f (x )=x (-13x 2+x +a 2-1)=-13x (x -x 1)(x -x 2). 所以方程-13x 2+x +a 2-1=0有两个相异的实根x 1,x 2. 故Δ=1+43(a 2-1)>0,解得a <-12(舍去)或a >12 且x 1+x 2=3.又因为x 1<x 2,所以2x 2>x 1+x 2=3,故x 2>32>1.①若x1≤1<x2,则f(1)=-13(1-x1)(1-x2)≥0,而f(x1)=0不符合题意.②若1<x1<x2,对任意的x∈[x1,x2],有x-x1≥0,x-x2≤0,所以f(x)=-13x(x-x1)(x-x2)≥0.又f(x1)=0,所以f(x)在[x1,x2]上的最小值为0.于是对任意的x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立的充要条件为f(1)=a2-13<0,解得-33<a<33.综上得12<a<33,即a的取值范围为(12,33).6.(2013·西安市质检)设函数f(x)=-13x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0.(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))点处的切线的方程;(2)求函数f(x)的单调区间与极值;(3)已知函数g(x)=f(x)+13有三个互不相同的零点,求m的取值范围.解析(1)当m=1时,f(x)=-13x3+x2,f′(x)=-x2+2x,故f′(1)=1.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1.切线方程为3x-3y-1=0.(2)f′(x)=-x2+2x+m2-1,令f′(x)=0,得到x=1-m或x=1+m. 因为m>0,所以1+m>1-m.当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表:函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m),且f(1+m)=23m3+m2-13.函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m),且f(1-m)=-23m3+m2-13.(3)由(2)知,函数g (x )在x =1+m 处取得极大值g (1+m )=f (1+m )+13, 且g (1+m )=23m 3+m 2.函数g (x )在x =1-m 处取得极小值g (1-m )=f (1-m )+13, 且g (1-m )=-23m 3+m 2.根据三次函数的图像与性质,函数g (x )=f (x )+13有三个互不相同的零点,只需要⎩⎪⎨⎪⎧g (1+m )=23m 3+m 2>0,g (1-m )=-23m 3+m 2<0,即⎩⎪⎨⎪⎧m >0,m >32.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23,+∞.7.(2013·沧州七校联考)设a 为实数,函数f (x )=e x -2x +2a ,x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值;(2)求证:当a >ln2-1且x >0时,e x >x 2-2ax +1.解析 (1)由f (x )=e x -2x +2a ,x ∈R ,知f ′(x )=e x -2,x ∈R .令f ′(x )=0,得x =ln2.于是当x 变化时f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:f (x故f f (x )在x =ln2处取得极小值,极小值为f (ln2)=e ln2-2ln2+2a =2(1-ln2+a ). (2)设g (x )=e x -x 2+2ax -1,x ∈R . 于是g ′(x )=e x -2x +2a ,x ∈R .由(1)知当a >ln2-1时,g ′(x )最小值g ′(ln2)=2(1-ln2+a )>0. 于是对任意x ∈R ,都有g ′(x )>0,所以g (x )在R 内单调递增. 于是当a >ln2-1时,对任意x ∈(0,+∞),都有g (x )>g (0). 而g (0)=0,从而对任意x ∈(0,+∞),g (x )>0. 即e x -x 2+2ax -1>0,故e x >x 2-2ax +1.8.(2013·西北五校)已知函数f (x )=12ax 2-(2a +1)x +2ln x (a ∈R ). (1)若曲线y =f (x )在x =1和x =3处的切线互相平行,求a 的值; (2)求f (x )的单调区间;(3)设g (x )=x 2-2x ,若对任意x 1∈(0,2],均存在x 2∈(0,2],使得f (x 1)<g (x 2),求a 的取值范围.解析 f ′(x )=ax -(2a +1)+2x (x >0). (1)由f ′(1)=f ′(3),解得a =23. (2)f ′(x )=(ax -1)(x -2)x(x >0).①当a ≤0时,x >0,ax -1<0,在区间(0,2)上f ′(x )>0;在区间(2,+∞)上f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间(0,2),单调递减区间是(2,+∞). ②当0<a <12时,1a >2,在区间(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ,+∞上f ′(x )>0;在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2,1a 上f ′(x )<0,故f (x )的单调递增区间是(0,2)和(1a ,+∞),单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2,1a .③当a =12时,f ′(x )=(x -2)22x , 故f (x )的单调递增区间是(0,+∞). ④当a >12时,0<1a <2,在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1a 和(2,+∞)上f ′(x )>0;在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ,2上f ′(x )<0,故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1a 和(2,+∞),单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ,2.(3)由已知,在(0,2]上有f (x )max <g (x )max . 由已知,g (x )max =0,由(2)可知, ①当a ≤12时,f (x )在(0,2]上单调递增,故f (x )max =f (2)=2a -2(2a +1)+2ln2=-2a -2+2ln2. 所以,-2a -2+2ln2<0,解得a >ln2-1. 故ln2-1<a ≤12.②当a >12时,f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0,1a 上单调递增,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ,2上单调递减,故f (x )max =f (1a )=-2-12a -2ln a .由a >12可知ln a >ln 12>ln 1e =-1,2ln a >-2,-2ln a <2. 所以,-2-2ln a <0,f (x )max <0. 综上所述,a >ln2-1.1.(2011·天津文)已知函数f (x )=4x 3+3tx 2-6t 2x +t -1,x ∈R ,其中t ∈R . (1)当t =1时,求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程; (2)当t ≠0时,求f (x )的单调区间;(3)证明:对任意t ∈(0,+∞),f (x )在区间(0,1)内均存在零点.解析 (1)当t =1时,f (x )=4x 3+3x 2-6x ,f (0)=0,f ′(x )=12x 2+6x -6,f ′(0)=-6.所以曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =-6x .(2)f ′(x )=12x 2+6tx -6t 2.令f ′(x )=0,解得x =-t 或x =t2.因为t ≠0,以下分两种情况讨论:①若t <0,则t2<-t .当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:所以,f (x )的单调递增区间是(-∞,t2),(-t ,+∞);f (x )的单调递减区间是(t2,-t ).②若t >0,则-t <t2.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:所以,f (x )的单调递增区间是(-∞,-t ),(t2,+∞);f (x )的单调递减区间是(-t ,t 2).(3)由(2)可知,当t >0时,f (x )在(0,t 2)内单调递减,在(t2,+∞)内单调递增.以下分两种情况讨论:①当t2≥1,即t ≥2时,f (x )在(0,1)内单调递减.f (0)=t -1>0, f (1)=-6t 2+4t +3≤-6×4+4×2+3<0.所以对任意t ∈[2,+∞),f (x )在区间(0,1)内均存在零点.②当0<t 2<1,即0<t <2时,f (x )在(0,t 2)内单调递减,在(t2,1)内单调递增.若t ∈(0,1],f (t 2)=-74t 3+t -1≤-74t 3<0,f (1)=-6t 2+4t +3≥-6t +4t +3=-2t +3>0. 所以f (x )在(t2,1)内存在零点.若t ∈(1,2),f (t 2)=-74t 3+(t -1)<-74t 3+1<0,f (0)=t -1>0.所以f (x )在(0,t2)内存在零点.所以,对任意t ∈(0,2),f (x )在区间(0,1)内均存在零点. 综上,对任意t ∈(0,+∞),f (x )在区间(0,1)内均存在零点. 2.(2011·江西文)设f (x )=13x 3+mx 2+nx .(1)如果g (x )=f ′(x )-2x -3在x =-2处取得最小值-5,求f (x )的解析式; (2)如果m +n <10(m ,n ∈N *),f (x )的单调递减区间的长度是正整数,试求m 和n 的值.(注:区间(a ,b )的长度为b -a ).解析 (1)由题得g (x )=x 2+2(m -1)x +(n -3)=(x +m -1)2+(n -3)-(m -1)2,已知g (x )在x =-2处取得最小值-5,所以⎩⎨⎧m -1=2,(n -3)-(m -1)2=-5,即m =3,n =2. 即得所要求的解析式为f (x )=13x 3+3x 2+2x .(2)因为f ′(x )=x 2+2mx +n ,且f (x )的单调递减区间的长度为正整数,故f ′(x )=0一定有两个不同的根,从而Δ=4m 2-4n >0,即m 2>n .不妨设为x 1,x 2,则|x 2-x 1|=2m 2-n 为正整数. 故m ≥2时才可能有符合条件的m ,n , 当m =2时,只有n =3符合要求, 当m =3时,只有n =5符合要求, 当m ≥4时,没有符合要求的n .综上所述,只有m =2,n =3或m =3,n =5满足上述要求. 3.已知函数f (x )=e x +ax ,g (x )=e x ln x .(e ≈2.718 28…).(1)设曲线y =f (x )在x =1处的切线与直线x +(e -1)y =1垂直,求a 的值; (2)若对于任意实数x ≥0,f (x )>0恒成立,试确定实数a 的取值范围; (3)当a =-1时,是否存在实数x 0∈[1,e],使曲线C :y =g (x )-f (x )在点x =x 0处的切线与y 轴垂直?若存在,求出x 0的值;若不存在,请说明理由.解析 (1)由题知,f ′(x )=e x +a .因此曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l的斜率为e+a,又直线x+(e-1)y=1的斜率为11-e,∴(e+a)11-e=-1.∴a=-1.(2)∵当x≥0时,f(x)=e x+ax>0恒成立,∴若x=0,a为任意实数,f(x)=e x+ax>0恒成立.若x>0,f(x)=e x+ax>0恒成立,即当x>0时,a>-e xx恒成立.设Q(x)=-e xx.Q′(x)=-e x x-e xx2=(1-x)e xx2.当x∈(0,1)时,Q′(x)>0,则Q(x)在(0,1)上单调递增,当x∈(1,+∞)时,Q′(x)<0,则Q(x)在(1,+∞)上单调递减.∴当x=1时,Q(x)取得最大值.Q(x)max=Q(1)=-e.∴要使x≥0时,f(x)>0恒成立,a的取值范围为(-e,+∞).(3)依题意,曲线C的方程为y=e x ln x-e x+x.令M(x)=e x ln x-e x+x,∴M′(x)=e xx+ex ln x-e x+1=(1x+ln x-1)ex+1.设h(x)=1x+ln x-1,则h′(x)=-1x2+1x=x-1x2.当x∈[1,e]时,h′(x)≥0.故h(x)在[1,e]上为增函数,因此h(x)在区间[1,e]上的最小值为h(1)=ln1=0.所以h(x)=1x+ln x-1≥0.当x0∈[1,e]时,.∴.曲线y=e x ln x-e x+x在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程M′(x0)=0在x∈[1,e]上有实数解.而M′(x0)>0,即方程M′(x0)=0无实数解.故不存在实数x0∈[1,e],使曲线y=M(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直.4.已知x>12,函数f(x)=x2,h(x)=2eln x(e为自然常数).(1)求证:f(x)≥h(x);(2)若f(x)≥h(x)且g(x)≤h(x)恒成立,则称函数h(x)的图像为函数f(x),g(x)的“边界”.已知函数g(x)=-4x2+px+q(p,q∈R),试判断“函数f(x),g(x)以函数h(x)的图像为边界”和“函数f(x),g(x)的图像有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立?若能同时成立,请求出实数p、q的值;若不能同时成立,请说明理由.解析(1)证明:记u(x)=f(x)-h(x)=x2-2eln x,则u′(x)=2x-2e x,令u′(x)>0,因为x>12,所以x> e.所以函数u(x)在(12,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.u(x)min=u(e)=f(e)-h(e)=e-e=0,即u(x)≥0,所以f(x)≥h(x).(2)由(1)知,f(x)≥h(x)对x>12恒成立,当且仅当x=e时等号成立.记v(x)=h(x)-g(x)=2eln x+4x2-px-q,则“v(x)≥0恒成立”与“函数f(x),g(x)的图像有且仅有一个公共点”同时成立,即v(x)≥0对x>12恒成立,当且仅当x=e时等号成立.所以函数v(x)在x=e时取极小值.注意到v′(x)=2ex+8x-p=8x2-px+2ex,由v′(e)=0,解得p=10 e.此时v′(x)=8(x-e)(x-e4)x,由x>12知,函数v(x)在(12,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,即v(x)min=v(e)=h(e)-g(e)=-5e-q=0,q=-5e,综上,两个条件能同时成立,此时p=10e,q=-5e.5.(2012·山东卷)已知函数f(x)=ln x+ke x(k为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(1)求k的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数,证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.解析(1)由f(x)=ln x+k e x,得f′(x)=1-kx-x ln xx e x,x∈(0,+∞).由于曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行,所以f′(1)=0,因此k=1.(2)由(1)得f′(x)=1x e x(1-x-x ln x),x∈(0,+∞).令h(x)=1-x-x ln x,x∈(0,+∞),当x∈(0,1)时,h(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h(x)<0.又e x>0,所以当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(3)因为g(x)=(x2+x)f′(x),所以g(x)=x+1e x(1-x-x ln x),x∈(0,+∞).因此,对任意x>0,g(x)<1+e-2等价于1-x-x ln x<e xx+1(1+e-2).由(2)中h(x)=1-x-x ln x,x∈(0,+∞),所以h′(x)=-ln x-2=-(ln x-ln e-2),x∈(0,+∞).因此,当x∈(0,e-2)时,h′(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(e-2,+∞)时,h′(x)<0,h(x)单调递减.所以h(x)的最大值为h(e-2)=1+e-2.故1-x-x ln x≤1+e-2.设φ(x)=e x-(x+1).因为φ′(x)=e x-1=e x-e0,所以当x∈(0,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)单调递增,φ(x)>φ(0)=0.故当x∈(0,+∞)时,φ(x)=e x-(x+1)>0,即e xx+1>1.所以1-x-x ln x≤1+e-2<e xx+1(1+e-2).因此,对任意x>0,g(x)<1+e-2.6.(2011·山东文)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为80π3立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建筑费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的r.解析(1)设容器的容积为V,由题意知V=πr2l+43πr3,又V=80π3,故l=V-43πr3πr2=803r2-43r=43(20r2-r).由于l≥2r,因此0<r≤2.所以建造费用y=2πrl×3+4πr2c=2πr×43(20r2-r)×3+4πr2c,因此y=4π(c-2)r2+160πr,0<r≤2.(2)由(1)得y′=8π(c-2)r-160πr2=8π(c-2)r2(r3-20c-2),0<r<2.由于c>3,所以c-2>0.当r3-20c-2=0时,r=320c-2.令320c-2=m,则m>0.所以y′=8π(c-2)r2(r-m)(r2+rm+m2).①当0<m<2即c>92时,当r=m时,y′=0;当r∈(0,m)时,y′<0;当r∈(m,2)时,y′>0.所以r=m是函数y的极小值点,也是最小值点.②当m≥2即3<c≤92时,当r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减,所以r=2是函数y的最小值点.综上所述,当3<c≤92时,建造费用最小时r=2;当c>92时,建造费用最小时r=320c-2.7.(2013·江南十校)设M是满足下列条件的函数f(x)构成的集合:“①方程f(x)-x=0有实数根;②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.”(1)若函数f(x)为集合M中的任一元素,试证明方程f(x)-x=0只有一个实根;(2)判断函数g(x)=x2-ln x2+3(x>1)是否是集合M中的元素,并说明理由;(3)“对于(2)中函数g(x)定义域内的任一区间[m,n],都存在x0∈[m,n],使得g(n)-g(m)=(n-m)g′(x0)”,请利用函数y=ln x的图像说明这一结论.解析(1)令h(x)=f(x)-x,则h′(x)=f′(x)-1<0,即h(x)在区间(1,+∞)上单调递减.所以,使h(x)=0,即f(x)-x=0成立的x至多有一解.又由题设①知方程f(x)-x =0有实数根, 所以,方程f(x)-x =0只有一个实数根.(2)由题意知,g ′(x)=12-12x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12⊂(0,1),满足条件.令F(x)=g(x)-x =-x 2-ln x2+3(x>1),则F(e )=-e 2+52>0,F(e 2)=-e22+2<0.又F(x)在区间[e ,e 2]上连续,所以F(x)在[e ,e 2]上存在零点x 0,即方程g(x)-x =0有实数根x 0∈[e ,e 2],故g(x)满足条件①.综上可知,g(x)∈M.(3)由(1)知:g(n)-g(m)=12(n -m)-12(ln n -ln m), 而(n -m)g ′(x 0)=(n -m)(12-12x 0),所以原式等价于ln n -ln m n -m =1x 0.该等式说明函数y =ln x(x>1)上任意两点A(m ,ln m)和B(n ,ln n)的连线段AB(如图所示),在曲线y =ln x(m ≤x ≤n)上都一定存在一点P(x 0,ln x 0),使得该点处的切线平行于AB ,根据y =ln x(x>1)图像知该等式一定成立.8.(2013·郑州质检)已知函数f(x)=x -ln (x +a)在x =1处取得极值. (1)求实数a 的值;(2)若关于x 的方程f(x)+2x =x 2+b 在[12,2]上恰有两个不相等的实数根,求实数b 的取值范围.答案 (1)0 (2)54+ln 2≤b<2 解析 (1)对f(x)求导,得f ′(x)=1-1x +a. 由题意,得f ′(1)=0,即1-11+a=0,∴a =0. (2)由(1)得f(x)=x -ln x.∴f(x)+2x =x 2+b ,即x 2-3x +ln x +b =0.设g(x)=x 2-3x +ln x +b(x>0),则g ′(x)=2x -3+1x =2x 2-3x +1x =(2x -1)(x -1)x.令g ′(x)=0,得x 1=12,x 2=1.当x 变化时,g ′(x)、g(x)的变化情况如下表:又g(12)=b -54-ln 2,g(2)=b -2+ln 2.∵方程f(x)+2x =x 2+b 在[12,2]上恰有两个不相等的实数根, ∴⎩⎪⎨⎪⎧g (12)≥0,g (1)<0,g (2)≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧b -54-ln 2≥0,b -2<0,b -2+ln 2≥0,解得54+ln 2≤b<2.9.已知函数f(x)=ax 2-2x +1,g(x)=ln (x +1). (1)求函数y =g(x)-x 在[0,1]上的最小值;(2)当a ≥12时,函数t(x)=f(x)+g(x)的图像记为曲线C ,曲线C 在点(0,1)处的切线为l ,是否存在a 使l 与曲线C 有且仅有一个公共点?若存在,求出所有a 的值;否则,说明理由.(3)当x ≥0时,g(x)≥-12f(x)+12恒成立,求a 的取值范围.解析 (1)y ′=1x +1-1,因为0≤x ≤1,所以y ′≤0. 所以y =g(x)-x 在[0,1]上单调递减. 当x =1时,y 取最小值为ln 2-1. 故y =g(x)-x 在[0,1]的最小值为ln 2-1.(2)函数t(x)的定义域为(-1,+∞),t ′(x)=2ax -2+1x +1,t ′(0)=-1.所以在切点P(0,1)处的切线l 的斜率为-1. 因此切线方程为y =-x +1.因此切线l 与曲线C 有唯一的公共点,所以,方程ax 2-x +ln (x +1)=0有且只有一个实数解.显然,x =0是方程的一个解.令φ(x)=ax 2-x +ln (x +1),则φ′(x)=2ax -1+1x +1=2ax ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x -⎝ ⎛⎭⎪⎫12a -1x +1.当a =12时,φ′(x)=x 2x +1≥0,于是,φ(x)在(-1,+∞)上单调递增,即x=0是方程唯一的实数解.当a>12时,由φ′(x)=0,得x 1=0,x 2=12a -1∈(-1,0). 在区间(-1,x 2)上,φ′(x)>0,在区间(x 2,0)上,φ′(x)<0. 所以,函数φ(x)在x 2处有极大值φ(x 2),且φ(x 2)>φ(0)=0.而当x →-1时,φ(x)→-∞,因此,φ(x)=0在(-1,x 2)内也有一个解,矛盾.综上,得a =12.(3)令h(x)=g(x)-⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12f (x )+12=ln (x +1)+12ax 2-x ,h ′(x)=1x +1+ax -1=ax 2+(a -1)x x +1=x[ax +(a -1)]x +1(x>-1).若a =0,当x ∈[0,+∞)时,h ′(x)≤0,则h(x)在[0,+∞)上单调递减,故h(x)≤h(0)=0,不合题意;若a ≥1,当x ∈[0,+∞)时,h ′(x)≥0,则h(x)在[0,+∞)上单调递增,故h(x)≥h(0)=0,符合题意;若0<a<1,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,1-a a 时,h ′(x)≤0,则h(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,1-a a 单调递减,故h(1-aa )<h(0)=0,不合题意;若a<0,当x ∈[0,+∞)时,h ′(x)≤0,则h(x)在[0,+∞)单调递减,故h(1)<h(0)=0,不合题意.综上:a的取值范围是a≥1.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试 全国课标1理科数学解析(规范精校版)注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效. 4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题:共12小题,每小题5分,共60分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
1. 已知集合A={x |2230x x --≥},B={x |-2≤x <2},则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2)C .[-1,1]D .[1,2)答案:A解析:),3[]1,(+∞--∞= A ,)2,2[-=B ]1,2[--=B A2. 32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --答案: D解析:32(1)(1)i i +-i i i i i i i --=+=+-++=12)1()2()1()1()1()1(2222233. 设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ,且()f x 时奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数答案:C解析:()()f x f x -=-,)()(x g x g =-|)(|)(|)(|)(x g x f x g x f -=--⇒⇒C4. 已知F 是双曲线C :223(0)x my m m -=>的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .B .3CD .3m答案:A解析:13333,322+=+=+=⇒==m m b a c b m a ,渐近线为0=-±y m x令)0,13(+m F ,则点F 到C 的一条渐近线的距离为31|013|=+-+mm 故选A5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .78答案:D解析:4为同学分为两组的分法:734!222243314=+=+C C C C ,则872274=⨯ 6. 如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ,则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为 答案:C解析:依题意设x POA =∠,],0[π∈x 则|sin |||)(|,cos |||x OM x f x OM ==|2sin |21|sin ||cos |x x x == 所以函数()f x |2sin |21x =的图像为C7. 执行下图的程序框图,若输入的,,a b k 分别为1,2,3,则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .158答案:D 解析:A B C D8. 设(0,)2α∈,(0,)2β∈,且tan cos αβ=,则 A .32παβ-=B .32παβ+=C .22παβ-=D .22παβ+=答案:C解析:依题设得:1sin tan cos βαβ+==⇒ααcos sin 1sin cos ββ+)2sin()sin(απβα-=-⇒ ⇒22παβ-=,故选C9. 不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题:1p :(,),22x y D x y ∀∈+≥-,2p :(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P :(,),23x y D x y ∀∈+≤,4p :(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ,3PB .1p ,2pC . 1p ,4pD .1p ,3P答案:B 解析:124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集D 是如图所示的阴影部分的点集,D 内的任一点全在直线21x y +=-和直线22x y +=-的上方,即(,),21x y D x y ∀∈+≤-和(,),22x y D x y ∀∈+≥-;D 内存在一点在直线22x y +=和直线23x y +=上下方或在其直线上,即有(,),22x y D x y ∃∈+≥和(,)x y D ∃∈,23x y +≤之说法,和题意比较知:其中真命题是B10. 已知抛物线C :28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若4FP FQ =,则||QF =A .72 B .3 C . 52D .2 答案:B22y =x +2x y +解析:依题意可作图,如图所示,其中l QH ⊥,H 为垂足,l交x 轴于A ,由抛物线 意义和性质可知:||||QF QH =, 由题意知:4||==p FA ,||4||FP FQ =,||3||QF PQ =, 显然PHQ ∆~PAF ∆,所以||||||||PF PG AF HQ =,即 ||4||34||QF QF HQ =,所以3||||==QF QH ,即||3QF =,故选B 11. 已知函数()f x =3231ax x -+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且0x >0,则a 的取值范围为A .(2,+∞)B .(1,+∞)C .(-∞,-2)D .(-∞,-1)答案:C解析:0063)(2=⇒=-='x x ax x f 或)0(2≠=a ax (1)当0=a 时,13)(2+-=x x f ,有两个零点, (2)当0>a 时,()f x 至少有一个小于0的零点(3)当0<a 时,()f x 至少有一个大于0的零点,依题意要求,必有0)2(>af ,(如所示)解之:2-<a ,故选C 12. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为A. B .6 C. D .4答案:B解析:由三视图的概念,及题意可知该多面体为四面体BCD A - 如图所示,其中,AC AD AE BD ===,4,平面ADC ⊥ 平面BDC , 090=∠BDC ,显然AB 最长,并可求 6=AB ,故选B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
课时作业(十七)1.函数f(x)=x33+x2-3x-4在[0,2]上的最小值是()A.-173B.-103C.-4 D.-64 3答案 A解析f′(x)=x2+2x-3,f′(x)=0,x∈[0,2]只有x=1.比较f(0)=-4,f(1)=-173,f(2)=-103.可知最小值为-17 3.2.已知f(x)的定义域为R,f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示,则() A.f(x)在x=1处取得极小值B.f(x)在x=1处取得极大值C.f(x)在R上的增函数D.f(x)在(-∞,1)上是减函数,(1,+∞)上是增函数答案 C解析由图像易知f′(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上是增函数.3.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是() A.-37 B.-29C.-5 D.以上都不对答案 A解析f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),∴f(x)在(-2,0)上增,(0,2)上减,∴x=0为极大值点,也为最大值点,∴f(0)=m=3,∴m=3.∴f(-2)=-37,f(2)=-5.∴最小值是-37,选A.4.当函数y=x·2x取极小值时,x=()A.1ln2B.-1ln2C.-ln2 D.ln2 答案 B解析由y=x·2x,得y′=2x+x·2x·ln2. 令y′=0,得2x(1+x·ln2)=0.∵2x>0,∴x=-1 ln2.5.函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小值,则() A.0<b<1 B.b<1C.b>0 D.b<1 2答案 A解析f(x)在(0,1)内有极小值,则f′(x)=3x2-3b在(0,1)上先负后正,∴f′(0)=-3b<0.∴b>0,f′(1)=3-3b>0,∴b<1.综上,b的范围为0<b<1.6.已知函数f(x)=12x3-x2-72x,则f(-a2)与f(-1)的大小关系为()A.f(-a2)≤f(-1)B.f(-a2)<f(-1)C.f(-a2)≥f(-1)D.f(-a2)与f(-1)的大小关系不确定答案 A解析由题意可得f′(x)=32x2-2x-72.由f′(x)=12(3x-7)(x+1)=0,得x=-1或x=73.当x<-1时,f(x)为增函数;当-1<x<73时,f(x)为减函数.所以f(-1)是函数f(x)在(-∞,0]上的最大值,又因为-a2≤0,故f(-a2)≤f(-1).7.函数f (x )=e -x ·x ,则( )A .仅有极小值12eB .仅有极大值12eC .有极小值0,极大值12eD .以上皆不正确答案 B解析 f ′(x )=-e -x ·x +12x·e -x =e -x (-x +12x )=e -x ·1-2x2x . 令f ′(x )=0,得x =12.当x >12时,f ′(x )<0;当x <12时,f ′(x )>0. ∴x =12时取极大值,f (12)=1e ·12=12e.8.若y =a ln x +bx 2+x 在x =1和x =2处有极值,则a =________,b =________.答案 -23 -16 解析 y ′=ax +2bx +1. 由已知⎩⎪⎨⎪⎧a +2b +1=0,a2+4b +1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-23,b =-16.9.设m ∈R ,若函数y =e x +2mx (x ∈R )有大于零的极值点,则m 的取值范围是________.答案 m <-12解析 因为函数y =e x +2mx (x ∈R )有大于零的极值点,所以y ′=e x +2m =0有大于0的实根.令y 1=e x ,y 2=-2m ,则两曲线的交点必在第一象限.由图像可得-2m >1,即m <-12.10.已知函数f (x )=x 3-px 2-qx 的图像与x 轴相切于(1,0),则极小值为________.答案 0解析 f ′(x )=3x 2-2px -q , 由题知f ′(1)=3-2p -q =0. 又f (1)=1-p -q =0,联立方程组,解得p =2,q =-1. ∴f (x )=x 3-2x 2+x ,f ′(x )=3x 2-4x +1. 由f ′(x )=3x 2-4x +1=0, 解得x =1或x =13.经检验知x =1是函数的极小值点. ∴f (x )极小值=f (1)=0.11.函数y =x 3-2ax +a 在(0,1)内有极小值,则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,32解析 令y ′=3x 2-2a =0,得x =±2a3(a >0,否则函数y 为单调增函数).若函数y =x 3-2ax +a 在(0,1)内有极小值,则2a 3<1,∴0<a <32.12.已知函数f (x )=e x +a ln x 的定义域是D ,关于函数f (x )给出下列命题: ①对于任意a ∈(0,+∞),函数f (x )是D 上的减函数; ②对于任意a ∈(-∞,0),函数f (x )存在最小值;③存在a ∈(0,+∞),使得对于任意的x ∈D ,都有f (x )>0成立; ④存在a ∈(-∞,0),使得函数f (x )有两个零点.其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号). 答案 ②④解析 由f (x )=e x +a ln x 可得f ′(x )=e x +ax ,若a >0,则f ′(x )>0,得函数f (x )是D 上的增函数,存在x ∈(0,1),使得f (x )<0,即得命题①③不正确;若a <0,设e x +ax =0的根为m ,则在(0,m )上f ′(x )<0,在(m ,+∞)上f ′(x )>0,所以函数f (x )存在最小值f (m ),即命题②正确;若f (m )<0,则函数f (x )有两个零点,即命题④正确.综上可得,正确命题的序号为②④.13.设函数f (x )=sin x -cos x +x +1,0<x <2π,求函数f (x )的单调区间与极值. 解析 由f (x )=sin x -cos x +x +1,0<x <2π, 知f ′(x )=cos x +sin x +1. 于是f ′(x )=1+2sin(x +π4).令f ′(x )=0,从而sin(x +π4)=-22,得x =π或x =3π2. 当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:因此,由上表知f (x )的单调递增区间是(0,π)与(3π2,2π),单调递减区间是(π,3π2),极小值为f (3π2)=3π2,极大值为f (π)=π+2.14.已知函数f (x )=x 2-1-2a ln x (a ≠0).求函数f (x )的极值. 解析 因为f (x )=x 2-1-2a ln x (x >0),所以f ′(x )=2x -2a x =2(x 2-a )x .当a <0时,因为x >0,且x 2-a >0,所以f ′(x )>0对x >0恒成立,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增,f (x )无极值;当a >0时,令f ′(x )=0,解得x 1=a ,x 2=-a (舍去). 所以当x >0时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:所以当a -1-a ln a . 综上,当a <0时,函数f (x )在(0,+∞)上无极值.当a >0时,函数f (x )在x =a 处取得极小值a -1-a ln a . 15.(2013·衡水调研卷)已知函数f (x )=ax 2-2x +ln x . (1)若f (x )无极值点,但其导函数f ′(x )有零点,求a 的值;(2)若f (x )有两个极值点,求a 的取值范围,并证明f (x )的极小值小于-32. 解析 (1)首先,x >0,f ′(x )=2ax -2+1x =2ax 2-2x +1x,f ′(x )有零点而f (x )无极值点,表明该零点左右f (x )同号,故a ≠0,且2ax 2-2x +1=0的Δ=0.由此可得a =12.(2)由题意,2ax 2-2x +1=0有两不同的正根,故Δ>0,a >0.解得0<a <12. 设2ax 2-2x +1=0有两根为x 1,x 2,不妨设x 1<x 2,因为在区间(0,x 1),(x 2,+∞)上,f (x )>0,而在区间(x 1,x 2)上,f (x )<0,故x 2是f (x )的极小值点.因f (x )在区间(x 1,x 2)上f (x )是减函数,如能证明f (x 1+x 22)<-32. 由韦达定理,x 1+x 22=12a ,f (12a )=a (12a )2-2(12a )+ln 12a =ln 12a -32·12a .令12a =t ,其中t >1.设g (t )=ln t -32t +32,利用导数容易证明g (t ). 当t >1时单调递减,而g (1)=0,因此g (t )<0,即f (x )的极小值f (x 2)<0. (2)另证:实际上,我们可以用反代的方式证明f (x )的极小值均小于-32. 由于两个极值点是方程2ax 2-2x +1=0的两个正根,所以反过来,a =2x 2-12x 22(用x 1表示a 的关系式与此相同),这样f (x 2)=ax 22-2x 2+ln x 2=即f (x 2)=ln x 2-x 2-12,再证明该式小于-32是容易的(注意x 2≠1,下略). 16.已知函数f (x )=x 3-ax 2-3x .(1)若函数f (x )在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a 的取值范围; (2)若x =-13是函数f (x )的极值点,求函数f (x )在[1,a ]上的最大值; (3)设函数g (x )=f (x )-bx ,在(2)的条件下,若函数g (x )恰有3个零点,求实数b 的取值范围.解析 (1)f ′(x )=3x 2-2ax -3, ∵f (x )在[1,+∞)是增函数, ∴f ′(x )≥0在[1,+∞)上恒成立,即 3x 2-2ax -3≥0在[1,+∞)上恒成立. 则必有a3≤1,且f ′(1)=-2a ≥0. ∴a ≤0.(2)依题意,f ′(-13)=0,即13+23a -3=0,∴a =4. ∴f (x )=x 3-4x 2-3x . 令f ′(x )=3x 2-8x -3=0, 得x 1=-13,x 2=3.则当x 变化时,f ′(x )与f (x )变化情况如下表∴f (x )(3)函数g (x )有3个零点⇔方程f (x )-bx =0有3个不相等的实根. 即方程x 3-4x 2-3x =bx 有3个不等实根. ∵x =0是其中一个根,∴只需满足方程x 2-4x -3-b =0有两个非零不等实根. ∴⎩⎨⎧Δ=16+4(3+b )>0,-3-b ≠0. ∴b >-7且b ≠-3.故实数b 的取值范围是b >-7且b ≠-3.1.(2013·石家庄模拟)设函数f (x )在R 上要导,其导函数为f ′(x ),且函数f (x )在x =-2处取得极小值,则函数y =xf ′(x )的图像可能是( )答案 C解析 由f (x )在x =-2处取得极小值可知 当x <-2时,f ′(x )<0,则xf ′(x )>0, 当x >-2时,f ′(x )>0,则当-2<x <0时, xf ′(x )<0,当x >0时,xf ′(x )>0.2.设函数f (x )=2x 3+3ax 2+3bx +8c 在x =1及x =2时取得极值. (1)求a 、b 的值;(2)若对任意的x ∈[0,3],都有f (x )<c 2成立,求c 的取值范围. 解析 (1)f ′(x )=6x 2+6ax +3b ,因为函数f (x )在x =1及x =2时取得极值, 则有f ′(1)=0,f ′(2)=0.即⎩⎨⎧6+6a +3b =0,24+12a +3b =0,解得a =-3,b =4. (2)由(1)可知,f (x )=2x 3-9x 2+12x +8c , f ′(x )=6x 2-18x +12=6(x -1)(x -2).当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0;当x ∈(1,2)时,f ′(x )<0; 当x ∈(2,3)时,f ′(x )>0.所以,当x =1时,f (x )取得极大值f (1)=5+8c . 又f (0)=8c ,f (3)=9+8c ,则当x ∈[0,3]时,f (x )的最大值为f (3)=9+8c . 因为对于任意的x ∈[0,3],有f (x )<c 2恒成立, 所以9+8c <c 2,解得c <-1或c >9.因此c 的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞). 3.已知函数f (x )=x 3-3ax 2+3x +1. (1)设a =2,求f (x )的单调区间;(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a 的取值范围.解析 (1)当a =2时,f (x )=x 3-6x 2+3x +1,f ′(x )=3(x -2+3)(x -2-3). 当x ∈(-∞,2-3)时f ′(x )>0,f (x )在(-∞,2-3)上单调增加; 当x ∈(2-3,2+3)时f ′(x )<0,f (x )在(2-3,2+3)上单调减少;当x ∈(2+3,+∞)时f ′(x )>0,f (x )在(2+3,+∞)上单调增加. 综上,f (x )的单调增区间是(-∞,2-3)和(2+3,+∞),f (x )的单调减区间是(2-3,2+3).(2)f ′(x )=3[(x -a )2+1-a 2].当1-a 2≥0时,f ′(x )≥0,f (x )为增函数,故f (x )无极值点; 当1-a 2<0时,f ′(x )=0有两个根, x 1=a -a 2-1,x 2=a +a 2-1. 由题意知,2<a -a 2-1<3,① 或2<a +a 2-1<3.② ①式无解.②式的解为54<a <53. 因此a 的取值范围是(54,53).4.(2013·沧州七校联考)已知函数f (x )=-x 2+ax +1-ln x . (1)若f (x )在(0,12)上是减函数,求a 的取值范围;(2)函数f (x )是否既有极大值又有极小值?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,请说明理由.解析 (1)f ′(x )=-2x +a -1x ,∵f (x )在(0,12)上为减函数,∴x ∈(0,12)时-2x +a -1x <0恒成立,即a <2x +1x 恒成立.设g (x )=2x +1x ,则g ′(x )=2-1x 2.∵x ∈(0,12)时1x 2>4,∴g ′(x )<0,∴g (x )在(0,12)上单调递减,g (x )>g (12)=3,∴a ≤3.(2)若f (x )既有极大值又有极小值,则f ′(x )=0必须有两个不等的正实数根x 1,x 2,即2x 2-ax +1=0有两个不等的正实数根.故a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0,a2>0⇒⎩⎨⎧a 2-8>0,a >0⇒a >22,∴当a >22时, f ′(x )=0有两个不等的实数根.不妨设x 1<x 2,由f ′(x )=-1x (2x 2-ax +1)=-2x (x -x 1)(x -x 2)知,0<x <x 1时f ′(x )<0,x 1<x <x 2时f ′(x )>0,x >x 2时f ′(x )<0,∴当a >22时f (x )既有极大值f (x 2)又有极小值f (x 1).5.已知a 是实数,求函数f (x )=x 2(x -a )在区间[0,2]上的最大值. 解析 令f ′(x )=0,解得x 1=0,x 2=2a 3.当2a3≤0,即a ≤0时,f (x )在[0,2]上单调递增,从而 f (x )max =f (2)=8-4a .当2a3≥2,即a ≥3时,f (x )在[0,2]上单调递减,从而 f (x )max =f (0)=0.当0<2a 3<2,即0<a <3时,f (x )在[0,2a 3]上单调递减,在[2a3,2]上单调递增,从而f (x )max =⎩⎨⎧8-4a ,0<a ≤2,0,2<a <3.综上所述,f (x )max =⎩⎨⎧8-4a ,a ≤2,0,a >2.6.“我们称使f (x )=0的x 为函数y =f (x )的零点.若函数y =f (x )在区间[a ,b ]上是连续的、单调的函数,且满足f (a )·f (b )<0,则函数y =f (x )在区间[a ,b ]上有唯一的零点”.对于函数f (x )=6ln(x +1)-x 2+2x -1.(1)讨论函数f (x )在其定义域内的单调性,并求出函数极值; (2)证明连续函数f (x )在[2,+∞)内只有一个零点.解析 (1)f (x )=6ln(x +1)-x 2+2x -1的定义域为(-1,+∞), 且f ′(x )=6x +1-2x +2=8-2x 2x +1,f ′(x )=0⇒x =2(-2舍去).∴当x=2时,f(x)的极大值为f(2)=6ln3-1.(2)证明:由(1)知f(2)=6ln3-1>0,f(x)在[2,7]上单调递减.又f(7)=6ln8-36=18(ln2-2)<0,∴f(2)·f(7)<0.∴f(x)在[2,7]上有唯一零点.当x∈[7,+∞)时,f(x)≤f(7)<0.故x∈[7,+∞)时,f(x)不为零.∴y=f(x)在[7,+∞)上无零点.∴函数f(x)=6ln(x+1)-x2+2x-1在定义域内只有一个零点.7.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.思路本题考查多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数的最值,题目中需注意应先比较f(2)和f(-2)的大小,然后判定哪个是最大值从而求出a.解析(1)f′(x)=-3x2+6x+9.令f′(x)<0,解得x<-1或x>3.∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).(2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,∴f(2)>f(-2).∵在(-1,3)上f′(x)>0,∴f(x)在(-1,2]上单调递增.又由于f(x)在[-2,-1)上单调递减,∴f(-1)是f(x)的极小值,且f(-1)=a-5.∴f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a =-2.∴f (x )=-x 3+3x 2+9x -2. ∴f (-1)=a -5=-7,即函数f (x )在区间[-2,2]上的最小值为-7.8.已知函数g (x )=ax 3+bx 2+cx (a ∈R 且a ≠0),g (-1)=0,且g (x )的导函数f (x )满足f (0)f (1)≤0.设x 1、x 2为方程f (x )=0的两根.(1)求ba 的取值范围;(2)若当|x 1-x 2|最小时,g (x )的极大值比极小值大43,求g (x )的解析式.解析 (1)∵g (x )=ax 3+bx 2+cx ,∴g (-1)=-a +b -c =0,即c =b -a . 又f (x )=g ′(x )=3ax 2+2bx +c ,由f (0)f (1)≤0,得c (3a +2b +c )≤0,即(b -a )(3b +2a )≤0.∵a ≠0,∴(b a -1)(3·b a +2)≤0,解得-23≤ba ≤1. 又∵方程f (x )=3ax 2+2bx +c =0(a ≠0)有两根,∴Δ≥0.而Δ=(2b )2-4×3a ×c =4b 2-12a (b -a )=4(b -32a )2+3a 2>0恒成立, 于是,b a 的取值范围是[-23,1].(2)∵x 1、x 2是方程f (x )=0的两根,即3ax 2+2bx +c =0的两根为x 1、x 2, ∴x 1+x 2=-2b 3a ,x 1x 2=c 3a =b -a 3a =b 3a -13.∴|x 1-x 2|2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(-2b 3a )2-4(b 3a -13)=49·(b a )2-43·b a +43=49(b a -32)2+13.∵-23≤b a ≤1,∴当且仅当ba =1,即a =b 时,|x 1-x 2|2取最小值,即|x 1-x 2|取最小值.此时,g (x )=ax 3+ax 2,f (x )=3ax 2+2ax =ax (3x +2). 令f (x )=0,得x 1=-23,x 2=0.若a >0,当x 变化时,f (x )、g (x )的变化情况如下表:由上表可知,g(x)的极大值为g(-23)=427a,极小值为g(0)=0.由题设,知427a-0=43,解得a=9,此时g(x)=9x3+9x2;若a<0,当x变化时,f(x)、g(x)的变化情况如下表:由上表可知,g(x)的极大值为g(0)=0,极小值为g(-23)=427a.由题设知0-427a=43,解得a=-9,此时g(x)=-9x3-9x2.点评本题的难点是第(2)问,有两处值得思考:①|x1-x2|取得最小值时,会有怎样的结论?②怎样求出g(x)的极大值、极小值?在问题的求解过程中,由根与系数的关系建立|x1-x2|2关于ba的函数关系式,由第(1)问中ba∈[-23,1]求得|x1-x2|2取最小值,即|x1-x2|取得最小值时的条件是a=b.然后在求g(x)的极大值、极小值时,需要对a分a>0、a<0进行讨论,得到相应的极大值、极小值.9.已知定义在正实数集上的函数f(x)=12x2+2ax,g(x)=3a2ln x+b,其中a>0,设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.(1)用a表示b;(2)求F(x)=f(x)-g(x)的极值;(3)求b的最大值.解析(1)设y=f(x)与y=g(x)的公共点为(x0,y0).∵f′(x)=x+2a,g′(x)=3a2x,由题意f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0).即12x2+2ax0=3a2ln x0+b,x0+2a=3a2x0.由x0+2a=3a2x0,得x0=a或x0=-3a(舍去).即有b=12a2+2a2-3a2ln a=52a2-3a2ln a.(2)F(x)=f(x)-g(x)=12x2+2ax-3a2ln x-b(x>0),则F′(x)=x+2a-3a2x=(x-a)(x+3a)x(x>0).所以F(x)在(0,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数.于是函数F(x)在x=a时有极小值,F(x)极小=F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0,F(x)=f(x)-g(x)=12x2+2ax-3a2ln x-b(x>0)无极大值.(3)由(1)知令h(t)=52t2-3t2ln t(t>0),则h′(t)=2t(1-3ln t).当t(1-3ln t)>0,即,h′(t)>0;当t(1-3ln t)<0,即时,h′(t)<0.故h(t)在()为增函数,在()为减函数.于是h(t)在(0,+∞)上的极大值即为最大值:. 即b的最大值为.。
课时作业(二十七)1.(2013·北京西城期末)已知△ABC中,a=1,b=2,B=45°,则A等于() A.150°B.90°C.60°D.30°答案 D解析由正弦定理,得1sin A=2sin45°,得sin A=12.又a<b,∴A<B=45°.∴A=30°,故选D.2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知A=π3,a=3,b=1,则c等于() A.1 B.2C.3-1D. 3答案 B解析由正弦定理asin A=bsin B,可得3sinπ3=1sin B.∴sin B=12,故∠B=30°或150°.由a>b,得∠A>∠B,∴∠B=30°.故∠C=90°,由勾股定理得c=2.3.在△ABC中,a2=b2+c2+bc,则∠A=() A.60°B.45°C.120°D.30°答案 C解析cos A=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12,∴∠A=120°.4.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B=()A.-223 B.223C.-63 D.63答案 D解析根据正弦定理asin A=bsin B,可得15sin60°=10sin B,解得sin B=33,又因为b<a,则B<A,故B为锐角,所以cos B=1-sin2B=63,故D正确.5.(2012·天津理)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C=()A.725B.-725C.±725 D.24 25答案 A解析因为8b=5c,则由C=2B,得sin C=sin2B=2sin B cos B,由正弦定理,得cos B=sin C2sin B=c2b=45,所以cos C=cos2B=2cos2B-1=2×(45)2-1=725,故选A.6.(2012·湖南文)在△ABC中,AC=7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()A.32 B.332C.3+62 D.3+394答案 B解析由余弦定理,得(7)2=22+AB2-2×2AB cos60°,即AB2-2AB-3=0,得AB=3,故BC边上的高是AB sin60°=332.选B.7.(2012·陕西理)在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos C的最小值为()A.32 B.22C.12D.-12答案 C解析 由余弦定理,得a 2+b 2-c 2=2ab cos C ,又c 2=12(a 2+b 2),得2ab cos C=12(a 2+b 2),即cos C =a 2+b 24ab ≥2ab 4ab =12.所以选C.8.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a 、b 、c 成等比数列,且c =2a ,则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23答案 B解析 ∵a 、b 、c 成等比数列,∴b 2=ac . ∴cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+4a 2-2a 24a 2=34.9.在△ABC 中,cos2B >cos2A 是a >b 的 ( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案 C解析 由cos2B >cos2A ,得sin 2A >sin 2B . ∵sin A >0,sin B >0,∴sin A >sin B . ∴a 2R >b2R ,∴a >b . 又上述过程可逆,故选C.10.在△ABC 中,三内角A 、B 、C 分别对三边a 、b 、c ,tan C =43,c =8,则△ABC 外接圆半径R 为( )A .10B .8C .6D .5答案 D解析 本题考查解三角形.由题可知应用正弦定理, 由tan C =43,得sin C =45.则2R =c sin C =845=10,故外接圆半径为5.11.在△ABC 中,AB =3,AC =1,B =30°,则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34 C.32或 3 D.34或32答案 D解析 如图,由正弦定理,得 sin C =c ·sin B b =32,而c >b , ∴C =60°或C =120°. ∴A =90°或A =30°. ∴S △ABC =12bc sin A =32或34.12.在△ABC 中,若(a +b +c )(a +b -c )=3ab 且sin C =2sin A cos B ,则△ABC 是( )A .等边三角形B .等腰三角形,但不是等边三角形C .等腰直角三角形D .直角三角形,但不是等腰三角形 答案 A解析 ∵(a +b +c )(a +b -c )=3ab , 即a 2+b 2-c 2=ab ,∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =12,∴C =60°. 又sin C =2sin A cos B ,由sin C =2sin A ·cos B ,得c =2a ·a 2+c 2-b 22ac .∴a2=b2,∴a=b.∴△ABC为等边三角形.13.(2011·北京)在△ABC中,若b=5,∠B=π4,tan A=2,则sin A=________,a=________.答案255210解析因为△ABC中,tan A=2,所以A是锐角,且sin Acos A=2,sin2A+cos2A=1,联立解得sin A=255,再由正弦定理,得asin A=bsin B,代入数据解得a=210.14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=3bc,sin C=23sin B,则角A的大小为________.答案π6解析因为sin C=23sin B,所以c=23b.于是cos A=b2+c2-a22bc=c2-3bc2bc=32.又A是三角形的内角,所以A=π6.15.对于△ABC,有如下命题:①若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形;②若sin A=cos B,则△ABC为直角三角形;③若sin2A+sin2B+cos2C<1,则△ABC 为钝角三角形.其中正确命题的序号是________.(把你认为所有正确的都填上) 答案③解析①sin2A=sin2B,∴A=B⇒△ABC是等腰三角形,或2A+2B=π⇒A+B=π2,即△ABC是直角三角形.故①不对.②sin A=cos B,∴A-B=π2或A+B=π2.∴△ABC不一定是直角三角形.③sin2A+sin2B<1-cos2C=sin2C,∴a2+b2<c2.∴△ABC为钝角三角形.16.(2012·福建理)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为________.答案-2 4解析依题意得,△ABC的三边长分别为a,2a,2a(a>0),则最大边2a所对的角的余弦值为a2+(2a)2-(2a)22a·2a=-24.17.(2012·北京理)在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-14,则b=________.答案 4解析由余弦定理,得b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×(-14),解得b=4.18.已知△ABC中,∠B=45°,AC=10,cos C=25 5.(1)求BC边的长;(2)记AB的中点为D,求中线CD的长.答案(1)32(2)13解析(1)由cos C=255,得sin C=55.sin A=sin(180°-45°-C)=22(cos C+sin C)=31010.由正弦定理知BC=ACsin B·sin A=1022·31010=3 2.(2)AB=ACsin B·sin C=1022·55=2.BD=12AB=1.由余弦定理知CD=BD2+BC2-2BD·BC·cos B=1+18-2·1·32·22=13.讲评 解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理,熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题,要注意由正弦定理a sin A =bsin B 求B 时,应对解的个数进行讨论;已知a ,b ,A ,求c 时,除用正弦定理a sin A =csin C 外,也可用余弦定理a 2=b 2+c 2-2ab cos A 求解.19.(2012·安徽文)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,且有2sin B cos A =sin A cos C +cos A sin C .(1)求角A 的大小;(2)若b =2,c =1,D 为BC 的中点,求AD 的长.解析 (1)方法一 由题设知,2sin B cos A =sin(A +C )=sin B , 因为sin B ≠0,所以cos A =12. 由于0<A <π,故A =π3.方法二 由题设可知,2b ·b 2+c 2-a 22bc =a ·a 2+b 2-c 22ab +c ·b 2+c 2-a 22bc ,于是b 2+c 2-a 2=bc ,所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =12.由于0<A <π,故A =π3.(2)方法一 因为AD →2=(AB →+AC →2)2=14(AB →2+AC →2+2AB →·AC →)=14(1+4+2×1×2×cos π3)=74,所以|AD→|=72,从而AD =72. 方法二 因为a 2=b 2+c 2-2bc cos A =4+1-2×2×1×12=3, 所以a 2+c 2=b 2,B =π2.因为BD =32,AB =1,所以AD =1+34=72.20.(2012·浙江理)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A =23,sin B =5cos C .(1)求tan C 的值;(2)若a =2,求△ABC 的面积. 解析 (1)因为0<A <π,cos A =23,得 sin A =1-cos 2A =53. 又5cos C =sin B =sin(A +C ) =sin A cos C +cos A sin C =53cos C +23sin C , 所以tan C = 5.(2)由tan C =5,得sin C =56,cos C =16. 于是sin B =5cos C =56. 由a =2及正弦定理a sin A =c sin C,得c = 3. 设△ABC 的面积为S ,则S =12ac sin B =52.1.(2011·安徽理)已知△ABC 的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC 的面积为________.答案 15 3解析 不妨设角A =120°,c <b ,则a =b +4,c =b -4,于是cos120°=b 2+(b -4)2-(b +4)22b (b -4)=-12,解得b =10,所以S =12bc sin120°=15 3.2.(2012·陕西文)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c .若a =2,B =π6,c =23,则b =________.答案 2解析 由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =4+12-2×2×23×32=4,解得b =2.3.(2012·大纲全国)△ABC 中B =60°,AC =3,则AB +2BC 最大值________. 答案 27解析 ∵2R =3sin60°=332=2,∴AB =2sin C ,BC =2sin A .∴AB +2BC =2sin C +4sin A =2sin C +4sin(2π3-C ) =27sin(C +φ). ∴最大值为27.4.(2012·浙江文)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b sin A =3a cos B .(1)求角B 的大小;(2)若b =3,sin C =2sin A ,求a ,c 的值.解析 (1)由b sin A =3a cos B 及正弦定理a sin A =bsin B ,得 sin B =3cos B ,所以tan B =3,所以B =π3. (2)由sin C =2sin A 及a sin A =csin C ,得c =2a .由b =3及余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得9=a 2+c 2-ac . 所以a =3,c =2 3.5.(2012·天津文)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .已知a =2,c =2,cos A =-24.(1)求sin C 和b 的值; (2)求cos(2A +π3)的值.解析 (1)在△ABC 中,由cos A =-24,可得sin A =144.又由asin A=csin C及a=2,c=2,可得sin C=74.由a2=b2+c2-2bc cos A,得b2+b-2=0. 因为b>0,故解得b=1.所以sin C=74,b=1.(2)由cos A=-24,sin A=144,得cos2A=2cos2A-1=-34,sin2A=2sin A cos A=-7 4.所以cos(2A+π3)=cos2A cosπ3-sin2A sinπ3=-3+218.6. (2011·江苏)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若sin(A+π6)=2cos A,求A的值;(2)若cos A=13,b=3c,求sin C的值.答案(1)π3(2)13解析(1)由题设知sin A cos π6+cos A sinπ6=2cos A.从而sin A=3cos A,所以cos A≠0,tanA= 3.因为0<A<π,所以A=π3.(2)由cos A=13,b=3c及a2=b2+c2-2bc cos A,得a2=b2-c2.故△ABC是直角三角形,且B=π2.所以sin C=cos A=13.7.△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角A的大小;(2)若a=3,求S△ABC的最大值;(3)求a sin(30°-C)b-c的值.分析(1)由b2+c2-a2+bc=0的结构形式,可联想余弦定理,求出cos A,从而求出A的值.(2)由a=3及b2+c2-a2+bc=0,可求出关于b,c的关系式,利用不等式,即可求出bc的最大值,进而求出S△ABC的最大值.(3)由正弦定理可实现将边化为角的功能,从而达到化简求值的目的.答案(1)120°(2)34(3)12解析(1)∵cos A=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12,∴A=120°.(2)由a=3,得b2+c2=3-bc.又∵b2+c2≥2bc(当且仅当c=b时取等号),∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号).即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1.∴S△ABC =12bc sin A≤34.∴S△ABC 的最大值为34.(3)由正弦定理,得asin A=bsin B=csin C=2R.∴a sin(30°-C)b-c=2R sin A sin(30°-C)2R sin B-2R sin C=sin A sin(30°-C) sin B-sin C=32⎝⎛⎭⎪⎫12cos C-32sin Csin(60°-C)-sin C=34cos C-34sin C32cos C-32sin C=12.8.(2011·山东理)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cos A-2cos Ccos B=2c-a b.(1)求sin Csin A的值;(2)若cos B=14,b=2,求△ABC的面积S.答案(1)2(2)15 4解析 (1)由正弦定理,设a sin A =b sin B =c sin C =k ,则2c -a b =2k sin C -k sin A k sin B =2sin C -sin A sin B. 所以cos A -2cos C cos B =2sin C -sin A sin B. 即(cos A -2cos C )sin B =(2sin C -sin A )cos B ,化简可得sin(A +B )=2sin(B +C ).又A +B +C =π,所以sin C =2sin A .因此sin C sin A =2.(2)由sin C sin A =2,得c =2a .由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B 及cos B =14,b =2,得4=a 2+4a 2-4a 2×14,解得a =1,从而c =2.又因为cos B =14,且0<B <π,所以sin B =154.因此S =12ac sin B =12×1×2×154=154.9.在△ABC 中,已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量m =(2sin B ,-3),n =(cos2B,2cos 2B 2-1),且m ∥n .(1)求锐角B 的大小;(2)如果b =2,求△ABC 的面积S △ABC 的最大值.答案 (1)π3 (2) 3解析 (1)m ∥n ⇒2sin B (2cos 2B 2-1)=-3cos2B ⇒2sin B cos B =-3cos2B ⇒tan2B =- 3.∵0<2B <π,∴2B =2π3,∴B =π3.(2)已知b =2,由余弦定理,得4=a 2+c 2-ac ≥2ac -ac =ac (当且仅当a =c =2时等号成立).∵△ABC 的面积S △ABC =12ac sin B =34ac ≤3,∴△ABC 的面积S △ABC 的最大值为 3.10.已知函数f (x )=32sin2x -cos 2x -12,x ∈R .(1)求函数f (x )的最小值和最小正周期;(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且c =3,f (C )=0,若向量m =(1,sin A )与向量n =(2,sin B )共线,求a ,b 的值.解析 (1)∵f (x )=32sin2x -1+cos2x 2-12=sin(2x -π6)-1,∴函数f (x )的最小值是-2,最小正周期是T =2π2=π.(2)由题意得f (C )=sin(2C -π6)-1=0,则sin(2C -π6)=1.∵0<C <π,∴0<2C <2π,∴-π6<2C -π6<116π.∴2C -π6=π2,∴C =π3.∵向量m =(1,sin A )与向量n =(2,sin B )共线, ∴12=sin A sin B . 由正弦定理,得a b =12.①由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos π3,即3=a 2+b 2-ab .② 由①②,解得a =1,b =2.11.(2011·大纲全国文)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,a sin A +c sin C -2a sin C =b sin B .(1)求B ;(2)若A =75°,b =2,求a ,c .解析 (1)由正弦定理,得a 2+c 2-2ac =b 2.由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B .故cos B =22,因此B =45°.(2)sin A=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=2+6 4.故a=b×sin Asin B=2+62=1+3,c=b×sin Csin B=2×sin 60°sin 45°= 6.12.(2011·辽宁文)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a sin A sin B+b cos2A=2a.(1)求b a;(2)若c2=b2+3a2,求B.解析(1)由正弦定理,得sin2A sin B+sin B cos2A=2sin A.即sin B(sin2A +cos2A)=2sin A.故sin B=2sin A,所以ba= 2.(2)由余弦定理和c2=b2+3a2,得cos B=(1+3)a2c.由(1)知b2=2a2,故c2=(2+3)a2.可得cos2B=12,又cos B>0,故cos B=22,所以B=45°.13.(2011·江西文)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知3a cos A=c cos B+b cos C.(1)求cos A的值;(2)若a=1,cos B+cos C=233,求边c的值.解析(1)由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos B,c2=a2+b2-2ab cos C,有c cos B+b cos C=a,代入已知条件得3a cos A=a,即cos A=1 3.(2)由cos A=13,得sin A=223.则cos B=-cos(A+C)=-13cos C+223sin C.代入cos B+cos C=233,得cos C+2sin C= 3.从而得sin(C+φ)=1.其中sinφ=33,cosφ=63,0<φ<π2,则C+φ=π2.于是sin C=63,由正弦定理,得c=a sin Csin A=32.。
课时作业75 不等式的证明1.(2019·河北五个一名校联考)已知函数f (x )=|2x -1|,x ∈R .(1)解不等式f (x )<|x |+1;(2)若对x ,y ∈R ,有|x -y -1|≤13,|2y +1|≤16,求证:f (x )<1.解:(1)∵f (x )<|x |+1,∴|2x -1|<|x |+1,即⎩⎨⎧ x ≥12,2x -1<x +1,或⎩⎨⎧ 0<x <12,1-2x <x +1,或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,1-2x <-x +1, 得12≤x <2或0<x <12或无解.故不等式f (x )<|x |+1的解集为{x |0<x <2}.(2)证明:f (x )=|2x -1|=|2(x -y -1)+(2y +1)|≤|2(x -y -1)|+|2y +1|=2|x -y -1|+|2y +1|≤2×13+16=56<1.2.已知x ,y 都是正实数,且x +y ≥2.(1)求x 2+y 2的最小值;(2)求证:1+x y ≤2和1+y x ≤2至少有一个成立.解:(1)(x 2+y 2)-(x +y )22=2x 2+2y 2-(x +y )22=(x -y )22≥0, 当且仅当x =y 时等号成立,所以x 2+y 2≥(x +y )22≥2,当x =y =1时,x 2+y 2取得最小值,最小值为2.(2)证明:假设1+x y ≤2和1+y x ≤2都不成立,则有1+x y >2且1+y x >2,即1+x >2y 且1+y >2x ,两式相加,得2+x +y >2x +2y ,即x +y <2,这与已知矛盾,因此1+x y ≤2和1+y x ≤2至少有一个成立.3.(2019·太原模拟)已知实数a ,b 满足a 2+4b 2=4.(1)求证:a 1+b 2≤2;(2)若对任意的a ,b ∈R ,|x +1|-|x -3|≤ab 恒成立,求实数x 的取值范围.解:(1)证明:因为a 2+4b 2=4,所以a 1+b 2≤|a |·1+b 2=2|a |·4+4b 24≤a 2+4+4b 24=2. (2)由a 2+4b 2=4及a 2+4b 2≥24a 2b 2=4|ab |,可得|ab |≤1,所以ab ≥-1,当且仅当a =2,b =-22或a =-2,b =22时取等号.因为对任意的a ,b ∈R ,|x +1|-|x -3|≤ab 恒成立,所以|x +1|-|x -3|≤-1.当x ≤-1时,|x +1|-|x -3|=-4,不等式|x +1|-|x -3|≤-1恒成立;当-1<x <3时,|x +1|-|x -3|=2x -2,由⎩⎪⎨⎪⎧-1<x <3,2x -2≤-1得-1<x ≤12;当x ≥3时,|x +1|-|x -3|=4,不等式|x +1|-|x -3|≤-1不成立.综上可得,实数x 的取值范围是{x |x ≤12}.4.(2019·广东中山模拟)已知函数f (x )=x +1+|3-x |,x ≥-1.(1)求不等式f (x )≤6的解集;(2)若f (x )的最小值为n ,正数a ,b 满足2nab =a +2b ,求证:2a +b ≥98.解:(1)根据题意,若f (x )≤6,则有⎩⎪⎨⎪⎧x +1+3-x ≤6,-1≤x <3或⎩⎪⎨⎪⎧x +1+(x -3)≤6,x ≥3, 解得-1≤x ≤4,故原不等式的解集为{x |-1≤x ≤4}.(2)证明:函数f (x )=x +1+|3-x |=⎩⎪⎨⎪⎧4,-1≤x <3,2x -2,x ≥3, 分析可得f (x )的最小值为4,即n =4,则正数a ,b 满足8ab =a +2b ,即1b +2a =8,∴2a +b =18⎝ ⎛⎭⎪⎫1b +2a (2a +b )=18⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b +2b a +5≥ 18⎝ ⎛⎭⎪⎫5+22a b ·2b a =98,原不等式得证. 5.(2019·山西晋中模拟)已知函数f (x )=|x +1|.(1)若∃x 0∈R ,使不等式f (x 0-2)-f (x 0-3)≥u 成立,求满足条件的实数u 的集合M ;(2)已知t 为集合M 中的最大正整数,若a >1,b >1,c >1,且(a -1)(b -1)(c -1)=t ,求证:abc ≥8.解:(1)由已知得f (x -2)-f (x -3)=|x -1|-|x -2|=⎩⎪⎨⎪⎧ -1,x ≤1,2x -3,1<x <2,1,x ≥2,则-1≤f (x -2)-f (x -3)≤1,由于∃x 0∈R ,使不等式|x 0-1|-|x 0-2|≥u 成立,所以u ≤1,即M ={u |u ≤1}.(2)证明:由(1)知t =1,则(a -1)(b -1)(c -1)=1,因为a >1,b >1,c >1,所以a -1>0,b -1>0,c -1>0,则a =(a -1)+1≥2a -1>0(当且仅当a =2时等号成立),b =(b -1)+1≥2b -1>0(当且仅当b =2时等号成立),c =(c -1)+1≥2c -1>0(当且仅当c =2时等号成立),则abc ≥8(a -1)(b -1)(c -1)=8(当且仅当a =b =c =2时等号成立).6.(2019·广州综合测试)已知函数f (x )=|2x +1|+|2x -1|,不等式f (x )≤2的解集为M .(1)求M ;(2)证明:当a ,b ∈M 时,|a +b |+|a -b |≤1.解:(1)f (x )≤2,即|2x +1|+|2x -1|≤2,当x ≤-12时,得-(2x +1)+(1-2x )≤2,解得x ≥-12,故x =-12;当-12<x <12时,得(2x +1)-(2x -1)≤2,即2≤2,故-12<x <12;当x ≥12时,得(2x +1)+(2x -1)≤2,解得x ≤12,故x =12.所以不等式f (x )≤2的解集M ={x |-12≤x ≤12}.(2)证明:证法一 当a ,b ∈M 时,-12≤a ≤12,-12≤b ≤12,得|a |≤12,|b |≤12.当(a +b )(a -b )≥0时,|a +b |+|a -b |=|(a +b )+(a -b )|=2|a |≤1,当(a +b )(a -b )<0时,|a +b |+|a -b |=|(a +b )-(a -b )|=2|b |≤1,所以|a +b |+|a -b |≤1.证法二 当a ,b ∈M 时,-12≤a ≤12,-12≤b ≤12,得|a |≤12,|b |≤12.(|a +b |+|a -b |)2=2(a 2+b 2)+2|a 2-b 2|=⎩⎪⎨⎪⎧4a 2,a 2≥b 2,4b 2,a 2<b 2.因为a 2≤14,b 2≤14,所以4a 2≤1,4b 2≤1. 故(|a +b |+|a -b |)2≤1,所以|a +b |+|a -b |≤1.7.已知函数f (x )=m -|x -1|-|x -2|,m ∈R ,且f (x +1)≥0的解集为[0,1].(1)求m 的值;(2)若a ,b ,c ,x ,y ,z ∈R ,且x 2+y 2+z 2=a 2+b 2+c 2=m ,求证:ax +by +cz ≤1.解:(1)由f (x +1)≥0,得|x |+|x -1|≤m .∵|x |+|x -1|≥1恒成立,∴若m <1,不等式|x |+|x -1|≤m 的解集为∅,不合题意;若m =1,不等式|x |+|x -1|≤1的解集为[0,1].若m >1,①当x <0时,1-m 2≤x <0;②当0≤x ≤1时,得x +1-x ≤m,0≤x ≤1;③当x >1时,得2x -1≤m,1<x ≤m +12.综上可知,不等式|x |+|x -1|≤m 的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-m 2,m +12. 由题意知,原不等式的解集为[0,1].∴1-m 2=0,m +12=1,解得m =1.∴m =1.(2)证明:∵x 2+a 2≥2ax ,y 2+b 2≥2by ,z 2+c 2≥2cz ,当且仅当x =a ,y =b ,z =c 时等号成立.三式相加,得x 2+y 2+z 2+a 2+b 2+c 2≥2ax +2by +2cz .由题设及(1),知x 2+y 2+z 2=a 2+b 2+c 2=m =1,∴2≥2(ax +by +cz ),∴ax +by +cz ≤1,不等式得证.8.设函数f (x )=x -|x +2|-|x -3|-m ,若∀x ∈R ,1m -4≥f (x )恒成立.(1)求实数m 的取值范围;(2)求证:log (m +1)(m +2)>log (m +2)(m +3).解:(1)∵∀x ∈R ,1m -4≥f (x )恒成立,∴m +1m ≥x -|x +2|-|x -3|+4恒成立.令g (x )=x -|x +2|-|x -3|+4=⎩⎪⎨⎪⎧ 3x +3,x <-2,x -1,-2≤x ≤3,-x +5,x >3.∴函数g (x )在(-∞,3]上是增函数,在(3,+∞)上是减函数,∴g (x )max =g (3)=2,∴m +1m ≥g (x )max =2,即m +1m -2≥0⇒m 2-2m +1m=(m -1)2m ≥0,∴m >0, 综上,实数m 的取值范围是(0,+∞).(2)证明:由m >0,知m +3>m +2>m +1>1,即lg(m +3)>lg(m +2)>lg(m +1)>lg 1=0.∴要证log (m +1)(m +2)>log (m +2)(m +3).只需证lg (m +2)lg (m +1)>lg (m +3)lg (m +2), 即证lg(m +1)·lg(m +3)<lg 2(m +2),又lg(m +1)·lg(m +3)<⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg (m +1)+lg (m +3)22= [lg (m +1)(m +3)]24<[lg (m 2+4m +4)]24=lg 2(m +2), ∴log (m +1)(m +2)>log (m +2)(m +3)成立.。
课时作业(七十七)1.(2012·安徽)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15 B.25 C.35 D.45答案 B解析 标记红球为A ,白球分别为B 1、B 2,黑球分别为C 1、C 2、C 3,记事件M 为“取出的两球一白一黑”.则基本事件有:(A ,B 1)、(A ,B 2)、(A ,C 1)、(A ,C 2)、(A ,C 3)、(B 1,B 2)、(B 1,C 1)、(B 1,C 2)、(B 1,C 3)、(B 2,C 1)、(B 2,C 2)、(B 2,C 3)、(C 1,C 2)、(C 1,C 3)、(C 2,C 3),共15个.其中事件M 包含的基本事件有:(B 1,C 1)、(B 1,C 2)、(B 1,C 3)、(B 2,C 1)、(B 2,C 2)、(B 2,C 3),共6个.根据古典概型的概率计算公式可得其概率为P (M )=615=25.2.若有2位老师,2位学生站成一排合影,则每位老师都不站在两端的概率是 A.112B.16C.14D.12答案 B解析 P =A 22·A 22A 44=16.3.抛掷两枚均匀的骰子,得到的点数分别为a ,b ,那么直线x a +y b =1的斜率k ≥-12的概率为( )A.19 B.536C.16D.14答案 D解析 记a ,b 的取值为数对(a ,b ),由题意知a ,b 的所有可能取值有(1,1),(1,2),…,(1,6),(2,1),(2,2),…,(2,6),(3,1),(3,2),…,(3,6),(4,1),(4,2),…,(4,6),(5,1),(5,2),…,(5,6),(6,1),(6,2),…,(6,6),共36种.由直线x a +y b=1的斜率k=-b a ≥-12,知b a ≤12,那么满足题意的a ,b 可能的取值为(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共有9种,所以所求概率为936=14,故选D.4.袋中装有1个白球和3个黑球,从中摸出2个球正好一白一黑的概率是( )A.14B.12C.13D.23答案 B解析 白球记作A,3个黑球分别记为a ,b ,c .基本事件为Aa ,Ab ,Ac ,ab ,ac ,bc ,一白一黑共有3个基本事件.∴P =12.5.从甲地到乙地有A 1、A 2、A 3共3条路线,从乙地到丙地有B 1、B 2共2条路线,其中A 2B 1是从甲到丙的最短路线,某人任选了1条从甲地到丙地的路线,它正好是最短路线的概率是( )A.12B.13C.15D.16答案 D解析 基本事件,等可能事件的概率.n =3×2=6,m =1. ∴P (A )=16.6.某公司规定,每位职工可以在每周的7天中任选2天休息(如选定星期一、星期三),其余5天工作,以后不再改动,则甲、乙、丙三位职工恰好同时工作、同时休息的概率是A.27B.121C.1441D.1147答案 C解析 甲、乙、丙三位职工恰好同时工作、同时休息就是指三个人选定的休息日相同.由于每位职工从每周的7天中任选2天,有C 27种不同选法,所以甲、乙、丙三人一共有C 27·C 27·C 27种不同的选法,而他们选择的休息日相同的选法有C 27,所以所求概率为P =C 27C 27·C 27·C 27=1441.7.(2013·江南十校联考)5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,从这5张卡片中随机抽取2张,则取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为( )A.35B.25C.34D.23答案 A解析基本事件总数为C25=10,2张卡片之和为奇数、须1为奇1为偶,共有C13C12=6,∴所求概率为610=35,选A.8.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点分别为x,y,则log2x y=1的概率为( )A.16B.536C.112D.12答案 C解析要使log2x y=1,则要求2x=y,∴出现的基本事件数为3,∴概率为336=112.9.电子钟一天显示的时间从00:00到23:59,每一时刻都由四个数字组成,则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为( )A.1180B.1288C.1360D.1480思路根据时钟上数字的特点,确定四个数字之和等于23的所有可能,而基本事件的总数是24×60,然后根据古典概型的概率公式计算.答案 C解析数字之和为23的只有09∶59,18∶59,19∶49,19∶58四种可能,一天显示的时间总共有24×60=1 440种,故所求概率为1360.故选C.10.一个袋子中有5个大小相同的球,其中3个白球与2个黑球,现从袋中任意取出一个球,取出后不放回,然后再从袋中任意取出一个球,则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )A.35B.310C.12D.625答案 B解析 设3个白球分别为a 1,a 2,a 3,2个黑球分别为b 1,b 2,则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1,a 2),(a 1,a 3),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 2,a 3),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 3,b 1),(a 3,b 2),(b 1,b 2),(a 2,a 1),(a 3,a 1),(b 1,a 1),(b 2,a 1),(a 3,a 2),(b 1,a 2),(b 2,a 2),(b 1,a 3),(b 2,a 3),(b 2,b 1),共20种.其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 3,b 1),(a 3,b 2),共6种,故所求概率为620=310.11.(2012·浙江)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为22的概率是________. 答案 25解析 此正方形为ABCD ,中心为O ,则任取两个点的取法有AB ,AC ,AD ,BC ,BD ,CD ,AO ,BO ,CO ,DO ,共10种;取出的两点间的距离为22的取法有OA ,OB ,OC ,OD ,共4种,故所求概率为410=25.12.(2013·河南郑州)已知一组抛物线y =12ax 2+bx +1,其中a 为2,4中任取的一个数,b 为1,3,5中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线x =1交点处的切线相互平行的概率是________.答案215解析 抛物线共有6条,任取两条共15种情况.在x =1处的切线相互平行的有2种情况,所以所求概率为215.13.在一个口袋中装有5个黑球和3个白球,这些球除颜色外完全相同,从中摸出3个球,则摸出白球的个数多于黑球的个数的概率为________.答案 27解析 依题意,白球的个数多于黑球的个数的情况有2白1黑、3白两种,其概率为C 15C 23+C 33C 38=27. 14.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,”从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率是________.答案 12解析 从五种不同属性物质中抽取两种共有如下所示10种情况.其中相克的(金,木),(金,火),(木,土),(水,火),(水,土)五种情况,故所求的事件的概率为1-510=12.15.某学校为促进学生的全面发展,积极开设各种各样的社团活动,根据调查,学校在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团,三个社团参加的人数如下表所示:从中抽取一个容量为n 的样本,已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人.(1)求三个社团分别抽取了多少人;(2)设从“剪纸”社团抽取的同学中有2名女生.现要从“剪纸”社团中选出2人担任该社团活动监督的职务,求至少有1名女生被选中的概率.解析 (1)设抽样比为x ,则由分层抽样可知,“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为320x 、240x 、200x .则由题意得320x -240x =2,解得x =140.故“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为320×140=8、240×140=6、200×140=5.(2)由(1)知,从“剪纸”社团抽取了6人,其中2位女生记为A ,B,4位男生记为C ,D ,E ,F .则从这6位同学中任选2人,不同的结果有{A ,B },{A ,C },{A ,D },{A ,E },{A ,F },{B ,C },{B ,D },{B ,E },{B ,F },{C ,D },{C ,E },{C ,F },{D ,E },{D ,F },{E ,F },共15种.其中含有1名女生的选法为{A ,C },{A ,D },{A ,E },{A ,F },{B ,C },{B ,D },{B ,E },{B ,F },共8种;含有2名女生的选法只有{A ,B }. 故至少有1名女生被选中的概率为8+115=35.16.(2012·天津)某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析.①列出所有可能的抽取结果;②求抽取的2所学校均为小学的概率.解析(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,大学记为A6,则抽取2所学校的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3种.所以P(B)=315=15.17.(2012·山东)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.解析(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A,B,C,标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D,E,从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为:(A,B),(A,C),(A,E),(A,D),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10种.由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.从五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为:(A,D),(A,E),(B,D),共3种.所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)记F为标号为0的绿色卡片,从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.从六张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为:(A,D),(A,E),(B,D),(A,F),(B,F),(C,F),(D,F),(E,F),共8种.所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.1.(2012·福州质检)已知A 、B 、C 三个箱子中各装有两个大小相同的球,每个箱子里的球,有一个球标着号码1,另一个球标着号码2.现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出一个球.(1)若用数组(x ,y ,z )中的x 、y 、z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的号码,请写出数组(x ,y ,z )的所有情形,并回答一共有多少种;(2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和,猜中有奖.那么猜什么数获奖的可能性最大?请说明理由.解析 (1)数组(x ,y ,z )的所有情形为:(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2),共8种.(2)记“所摸出的三个球的号码之和为i ”为事件A i (i =3,4,5,6),易知事件A 3的基本结果有1种,事件A 4的基本结果有3种,事件A 5的基本结果有3种,事件A 6的基本结果有1种,所以,P (A 3)=18,P (A 4)=38,P (A 5)=38,P (A 6)=18.所以摸出的三个球的号码之和为4、为5的概率相等且最大.故猜4或5获奖的可能性最大.。
课时作业(七十五)1.在(ax-1)7展开式中含x4项的系数为-35,则a为() A.±1B.-1C.-12D.±12答案 A解析由通项公式可得C37(ax)4(-1)3=-35x4,∴C37a4(-1)3=-35,∴a4=1,∴a=±1.2.在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,x4的系数是通项公式为a n=3n -5的数列的() A.第20项B.第18项C.第11项D.第3项答案 A解析∵x4的系数是C45+C46+C47=C15+C26+C37=5+15+35=55,则由a n=55,即3n-5=55,解得n=20.3.在(x+1)(2x+1)…(nx+1)(n∈N*)的展开式中一次项系数为() A.C2n B.C2n+1C.C n-1n D.12C3n+1答案 B解析1+2+3+…+n=n·(n+1)2=C2n+1.4.设(5x-x)n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,M-N=240,则展开式中x3项的系数为() A.500 B.-500C.150 D.-150答案 C解析N=2n,令x=1,则M=(5-1)n=4n=(2n)2.∴(2n)2-2n=240,2n=16,n=4.展开式中第r+1项T r+1=C r4·(5x)4-r·(-x)r=(-1)r·C r4·54-r·x.令4-r2=3,即r=2,此时C24·52·(-1)2=150.5.(2012·天津)在(2x2-1x)5的二项展开式中,x的系数为()A.10 B.-10 C.40 D.-40 答案 D解析因为二项式(2x2-1x)5展开式的第r+1项为Tr+1=C r5(2x2)5-r(-1x)r=C r5·25-r×(-1)r x10-3r,当r=3时,含有x,其系数为C35×22×(-1)3=-40.6.(2011·陕西理)(4x-2-x)6,(x∈R)展开式中的常数项是() A.-20 B.-15C.15 D.20答案 C解析T r+1=C r6(22x)6-r(-2-x)r=(-1)r C r6(2x)12-3r,r=4时,12-3r=0,故第5项是常数项,T5=(-1)4C46=15.7.已知(1-2)10=a+2b(a,b为有理数),则a2-2b2=() A.(1-2)20B.0C.-1 D.1答案 D解析在二项式(a+b)n与(a-b)n的展开式中,奇数项是完全相同的,偶数项互为相反数,根据这个特点,当(1-2)10=a+2b时,必有(1+2)10=a-2 b,故a2-2b2=(a+2b)(a-2b)=(1-2)10(1+2)10=1.8.(2013·南昌一模)若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy<0,则x的取值范围是()A.(-∞,15) B.[45,+∞)C.(-∞,-45] D.(1,+∞)解析 二项式(x +y )9的展开式的通项是T r +1=C r 9·x 9-r ·y r . 依题意有⎩⎨⎧C 19·x 9-1·y ≤C 29·x 9-2·y 2,x +y =1,xy <0,由此得⎩⎨⎧x 8·(1-x )-4x 7·(1-x )2≤0,x (1-x )<0.由此解得x >1,即x 的取值范围是(1,+∞). 9.(2013·北京西城区)若(x 2-1x )n 展开式中的所有二项式系数之和为512,则该展开式中的常数项为( )A .-84B .84C .-36D .36答案 B解析 二项展开式的二项式系数和为2n =512,所以n =9.二项展开式的第k+1项为T k +1=C k 9(x 2)9-k (-x -1)k =C k 9x 18-2k (-1)k x -k =C k 9x 18-3k (-1)k ,令18-3k =0,得k =6,所以常数项为T 7=C 69(-1)6=84,选B.10.(2013·湖北黄冈)设(1+x +x 2)n =a 0+a 1x +…+a 2n x 2n ,则a 2+a 4+…+a 2n 的值为( )A .3nB .3n -2 C.3n -12 D.3n +12答案 C解析 令x =0,得a 0=1;① 令x =-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 2n =1; ② 令x =1,得a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 2n =3n ;③②+③,得2(a 0+a 2+a 4+…+a 2n )=3n +1. 故a 0+a 2+a 4+…+a 2n =3n +12. 再由①得a 2+a 4+…+a 2n =3n -12.11.(x +2)10(x 2-1)的展开式中x 10的系数为________.解析 (x +2)10(x 2-1)=x 2(x +2)10-(x +2)10.本题求x 10的系数,只要求(x +2)10展开式中x 8及x 10的系数T r +1=C r 10x 10-r · 2r. 取r =2,r =0,得x 8的系数为C 210×22=180; x 10的系数为C 010=1,∴所求系数为180-1=179.12.设a n (n =2,3,4,…)是(3-x )n的展开式中x 的一次项的系数,则32a 2+33a3+…+318a 18的值为____________.答案 17解析 由通项C r n 3n -r(-1)r x 知,展 开式中x 的一次项的系数为a n =C 2n 3n-2,所以32a 2+33a 3+…+318a 18=32(21×2+22×3+23×4+…+217×18)=17.13.(2012·浙江)若将函数f (x )=x 5表示为f (x )=a 0+a 1(1+x )+a 2(1+x )2+…+a 5(1+x )5,其中a 0,a 1,a 2,…,a 5为实数,则a 3=________.答案 10解析 不妨设1+x =t ,则x =t -1,因此有(t -1)5=a 0+a 1t +a 2t 2+a 3t 3+a 4t 4+a 5t 5,则a 3=C 25(-1)2=10.14.(2012·大纲全国)若(x +1x )n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中1x 2的系数为________.答案 56解析 由C 2n =C 6n 可知n =8,所以(x +1x)8的展开式的通项公式为T r +1=C r 8x 8-r(1x )r =C r 8x 8-2r ,所以8-2r =-2⇒r =5,所以1x 2的系数为C 58=56.15.设(2x -1)5+(x +2)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5,则|a 0|+|a 2|+|a 4|=________.答案 110解析 令x =0,得a 0=-1+24=15;C 35(2x )2(-1)3+C 24x 222=-16x 2,所以a 2=-16;C 15(2x )4(-1)1+C 04x 420=-79x 4,所以a 4=-79,故|a 0|+|a 2|+|a 4|=110.16.(2012·衡水调研)若(2x -22)9的展开式的第7项为214,则x =________. 答案 -13 解析 T 7=T 6+1=C 69(2x )3(-22)6=214,即9×8×73×2×1·23x ·18=214, 所以23x -1=2-2,因此有3x -1=-2,即x =-13.17.设f (x )=(1+x )m +(1+x )n 的展开式中x 的系数是19(m ,n ∈N *). (1)求f (x )展开式中x 2的系数的最小值;(2)对f (x )展开式中x 2的系数取最小值时m ,n ,求f (x )展开式中x 7的系数.解析 (1)由题意知C 1m +C 1n =19,∴m +n =19,∴m =19-n .x 2的系数为C 2m +C 2n =C 219-n +C 2n=12(19-n )(18-n )+12n (n -1) =n 2-19n +171 =(n -192)2+3234,∵n ∈N *,∴n =9或n =10时,x 2的系数取最小值(12)2+3234=81.1.(2012·洛阳市高三统一考试)在二项式(3x -1x )6的展开式中,x 的指数是整数的项共有________项.答案 3解析 T r +1=C r 6(3x )6-r ·(-1x )r =(-1)r C r 6x,要使指数为整数,r 为3的倍数,则r 可取0,3,6,故指数是整数的项共有3项.2.已知(1-2x )7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 7x 7,则a 1+a 3+a 5+a 7的值为________.答案 -1 094解析 令x =1,则a 0+a 1+…+a 7=-1,令x =-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 6-a 7=2 187,于是a 1+a 3+a 5+a 7=-1 094.故填-1 094.3.求(1+x +x 2)8展开式中x 5的系数.解析 方法一 (通项公式法)(1+x +x 2)8=[1+(x +x 2)]8展开后的通式公式是T r +1=C r 8(x +x 2)r ,则x 5的系数由(x +x 2)r 决定,而(x +x 2)r 的展开通项公式是T ′k +1=C k r x r -k x 2k =C k r x r +k ,所以(1+x +x 2)8展开式的通项公式是C r 8C k r xr +k ,其中0≤k ≤r ≤8,r +k =5,r 、k ∈N .由此解得⎩⎨⎧ r =5,k =0或⎩⎨⎧ r =4,k =1或⎩⎨⎧r =3,k =2.故含x 5的系数为C 58C 05+C 48C 14+C 38C 23=504.方法二 (逐项研究法)(1+x +x 2)8=[(1+x )+x 2]8=C 08(1+x )8+C 18(1+x )7·x 2+C 28(1+x )6·(x 2)2+C 38(1+x )5·(x 2)3+…+C 88(1+x )0·(x 2)8,则展开式中含x 5的系数为C 08C 58+C 18C 37+C 28C 16=504.方法三 (基本原理法)将(1+x +x 2)8写成八个因式乘积的形式(1+x +x 2)8=(1+x +x 2)·(1+x +x 2)·(1+x +x 2)·…·(1+x +x 2)(共8个).这八个因式中乘积展开式中形式x 5的来源有三:①有两个括号各出一个x 2,其余六个括号中恰有一个括号出一个x ,这种方式共有C 28C 16种;②有一个括号出一个x 2,其余七个括号中恰有三个括号各出一个x ,共有C 18C 37种;③没有一个括号出一个x 2,恰有五个括号各出一个x ,共有C 58种.故x 5的系数是C 28C 16+C 18C 37+C 58=504.4.设(2-3x )100=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 100x 100求下列各式的值: (1)a 0;(2)a 1+a 2+…+a 100; (3)a 1+a 3+a 5+…+a 99;(4)(a 0+a 2+…+a 100)2-(a 1+a 3+…+a 99)2. 解析 (1)(2-3x )100展开式中的常数项为 C 0100·2100,即a 0=2100,或令x =0, 则展开式可化为a 0=2100.(2)令x =1,可得a 0+a 1+a 2+…+a 100=(2-3)100, ①∴a 1+a 2+…+a 100=(2-3)100-2100. (3)令x =-1,可得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 100=(2+3)100,②与x =1所得到的①联立相减可得 a 1+a 3+…+a 99=(2-3)100-(2+3)1002.(4)原式=[(a 0+a 2+…+a 100)+(a 1+a 3+…a 99)]·[(a 0+a 2+…+a 100)-(a 1+a 3+…+a 99)]=(a 0+a 1+…+a 100)(a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 98-a 99+a 100) =(2-3)100(2+3)100=1.。