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剪力与弯矩

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剪力与弯矩的计算方法

剪力与弯矩的计算方法

§7-2剪力与弯矩一、剪力和弯矩根据作用在梁上的已知载荷，求出静定梁的支座反力以后，梁横截面上的内力可利用前面讲过的“截面法”来求解，如图7-8a 所示简支梁在外力作用下处于平衡状态，现在讨论距A 支座距离为x 的m m -截面上的内力。

图7-8简支梁指定截面的剪力、弯矩计算根据截面法计算内力的基本步骤“切、代、平”，计算梁的内力的步骤为：①、首先根据静力平衡方程求支座反力Ay F 和By F ，为推导计算的一般过程，暂且用Ay F 和By F 代替。

②、用截面假想沿m m -处把梁切开为左、右两段，如图7-8b、7-8c 所示，取左段梁为脱离体，因梁原来处于平衡状态，所以被截取的左段梁也同样保持平衡状态。

从图7-8b 中可看到，左段梁上有一向上的支座反力Ay F 、向下的已知力1P 作用，要使左段梁不发生竖向移动，则在m m -截面上必定存在一个竖直方向的内力S F 与之平衡；同时，Ay F 、1P 对m m -截面形心O 点有一个力矩，会引起左段梁转动，为了使其不发生转动，在m m -截面上必须有一个力偶矩M 与之平衡，才能保持左段梁的平衡。

S F 和M 即为梁横截面上的内力，其中内力S F 使横截面有被剪开的趋势，称为剪力；力偶矩M 将使梁发生弯曲变形，称为弯矩。

由于外载荷的作用线垂直于梁的轴线，所以轴力为零，通常不予考虑。

剪力S F 和弯矩M 的大小可由左段梁的静力平衡方程来求解。

由0=∑Y 得：10Ay S F P F --=，得1S Ay F F P =-由0o M =∑得：()01=+-+-M a x P x F Ay 得()a x P x F M Ay --=1如图7-8c 所示，如果取右段梁为脱离体，同样可求得m m -截面的剪力S F 和弯矩M 。

根据作用力与反作用力原理，右段梁在m m -截面上的剪力S F 和弯矩M 与左段梁在m m -截面上的剪力S F 和弯矩M 应大小相等，方向相反。

剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图

剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图

截面位置对剪力和弯矩的影响
总结词
截面位置对剪力和弯矩具有显著影响。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发生变化。
详细描述
在结构分析中，截面位置是影响剪力和弯矩的重要因素之一。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发 生变化，从而影响结构的整体受力性能。例如，在梁中选取不同的截面位置进行支撑或固定，会对梁的剪力和弯 矩产生显著影响。
05 剪力、弯矩与材料力学性 能的关系
材料弹性对剪力和弯矩的影响
弹性材料在剪力和弯矩作用下会发生弹性变形，变形量与外力成正比，当外力去 除后，材料能够恢复原状。
弹性材料的剪切模量和弯曲刚度决定了剪力和弯矩的大小，剪切模量越大，材料 抵抗剪切变形的能力越强；弯曲刚度越大，材料抵抗弯曲变形的能力越强。
根据绕顺时针方向观察确定，使上侧 纤维受拉时为正。
02 剪力方程与弯矩方程
剪力图与弯矩图的绘制
1
剪力图和弯矩图是表示梁上剪力和弯矩随截面位 置变化的图形。
2
这些图的绘制基于剪力方程和弯矩方程的计算结 果，通过将计算得到的剪力和弯矩值标在图中相 应的位置上，并连接成线。
3
剪力图和弯矩图的绘制有助于直观地了解梁在不 同截面位置的受力状态和应力分布情况。
弯矩
在梁或结构中，由于弯曲而产生 的力矩，表示弯曲变形的大小。
剪力与弯矩在力学中的作用
剪力
主要影响结构的剪切变形，对梁的剪切承载能力有重要影响 。
弯矩
主要影响结构的弯曲变形，对梁的弯曲承载能力有重要影响 。
剪力与弯矩的符号规定
剪力正方向
根据右手定则确定，从杆件的受压一 侧指向受拉一侧。
弯矩正方向
02
材料强度越高，抵抗剪力和弯矩等外力的能力越强， 所能承受的剪力和弯矩越大。

梁的剪力和弯矩概念讲解(剪力图弯矩图,含例题)

梁的剪力和弯矩概念讲解(剪力图弯矩图,含例题)

6kN
1
2
q 2kN m
3
4
5
B
1 2 3 4 5
2m
A
3m
C
3m
FA 13kN
FB 5kN
例题
4.5
为使在锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的 弯矩为零，木料放在两只锯木架上，一只锯木架 放置在木料的一端，试问另一只锯木架放置何处 才能使木料锯口处的弯矩为零。
q
B
A
C
D
MD 0
MD 0
※
剪力和弯矩的计算规则
梁任意横截面上的剪力，等于作用在该截面左边 （或右边）梁上所有横向外力的代数和。截面左 边向上的外力(右边向下的外力)使截面产生正的 剪力，反之相反。【左上右下为正，反之为负】 梁任意横截面上的弯矩，等于作用在该截面左 边（或右边）所有外力（包括外力偶）对该截面 形心之矩的代数和。截面左边（或右边）向上的 外力使截面产生正弯矩，反之相反。【左顺右逆 为正，反之为负】
2m
FB 2kN 1m
7
kN
3 3
x 1.56
2 2
kNm
2.44
2
例题
4.12
4kN m
6kN
2kN m
4.5
4.5
1m
1m
2m
5.5
kN 1.5
5.5
4
8.5 7
kNm
例题
4.13
80 kN m
A
160 kN
D E
40kN m
B
40 kN
F
C
310 kN 2m
120
30
190
D
FD
MA

剪力图和弯矩图

剪力图和弯矩图
FS(x)qx (0xl) M(x)1qx2 (0xl)
2 括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。
FS(x)qx (0xl) M(x)1qx2 (0xl)
2 剪力图为一斜直线
FS(0) 0 FS(l) ql
弯矩图为二次抛物线
M (0) 0 M ( l 2 ) 1 ql 2
8 M ( l ) 1 ql 2
绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁 的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。
Fs(x)
o
x
o
x
Fs 图的坐标系
M(x) M 图的坐标系
不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起 正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
例题：图示简支梁 ，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。 试作此梁的剪力图和弯矩图。
FS 称为 剪力
y
FA
m
C
A
xm
FS x
由平衡方程
a
P
m
m C0
MFAx0
A
B
m
可得 M = FAx
x
内力偶 M 称为 弯矩
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
结论
a
P
m
梁在弯曲变形时，
横截面上的内力有
A
B
两个，即，
m x
剪力 FS 弯矩 M
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
取右段梁为研究对象。
y
FA
m FS
-
FS FS
dx
（2）弯矩符号 横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为 正 。

剪力图和弯矩图(基础)

剪力图和弯矩图(基础)

轴，。

以表(a)(c)（1）（2） （3）≤ (4) 以剪力图是平行于轴的直线。

段的剪力为正，故剪力图在轴上方；段剪力为负，故剪力图在轴之下，如图8-12(b )所示。

由式（2）与式（4）可知，弯矩都是的一次方程，所以弯矩图是两段斜直线。

根据式（2）、（4）确定三点，， ，由这三点分别作出段与段的弯矩图，如图8-12(c )。

例8-4 简支梁受集度为的均布载荷作用，如图8-13(a )所示，作此梁的剪力图和弯矩图。

图8-13解 （1）求支反力 由载荷与支反力的对称性可知两个支反力相.即（2）列出剪力方程和弯矩方程 以梁左端为坐标原点，选取坐标系如图所示。

距原点为的任意横截面上的剪力和弯矩分别为x C l x AC x BC x x 0=x 0)(=x M a x =l Fabx M =)(l x =0)(=x M AC BC AB q A x解 （1）求支反力 由静力平衡方程，得（2）列剪力方程和弯矩方程 由于集中力作用在处，全梁内力不能用一个方程来表示，故以为界，分两段列出内力方程段0＜≤ (1)0≤＜ (2)段 ≤＜ (3)≤≤(4) （3） 画剪力图和弯矩图 由式（1）、（3）画出剪力图，见图8-14(b )；由式（2）（4）画出弯矩图，见图8-14(c )。

二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系在例8-4中，若将的表达式对取导数，就得到剪力。

若再将的∑=0)(x M A ∑=0)(x M B m C C AC l mF x F A Q ==)(x a xl m x F x M A ==)(x a BC l mF x F A Q ==)(a x l mx l mm x F x M A -=-=)(a x l )(x M x )(x F Q )(x F Q表达式对取导数，则得到载荷集度。

这里所得到的结果，并不是偶然的。

实际上，在载荷集度、剪力和弯矩之间存在着普遍的微分关系。

现从一般情况出发加以论证。

第四章梁的内力——剪力和弯矩

第四章梁的内力——剪力和弯矩

图4-4 梁的类型
这三种梁的共同特点是支座反力仅有三个，可由静力平衡 条件全部求得，故也称为静定梁。
§4.2 梁的内力——剪力和弯矩
2.1 截面法求梁的内力
求梁任一截面内力采用截面法 。
P m
A n
YA ()
QM
c
P
YA
M
c
() Q
()
在切开的截面m-n上必
B
然存在两个内力分量： YB 内力Q和内力偶矩M。
P
A
(a)
B C
YA
YA
解 （1）求支座反力
pb
l
(b)
由
MB 0
求图 得YA

Pbpla l
由
M A (c)0
求图 得YB

Pa l
pab
l
图4-10 例题4-3图
（2）分段列剪力方程和弯矩方程
由于C处作用有集中力P，AC和CB两段梁的剪力方程和弯 矩方程并不相同。因此，必须分别列出各段的剪力方程和 弯矩方程：
二阶导数的几何意义是图形斜率的变化率即图形的凸凹 向。弯矩图上一点处的凸凹方向可由梁上该点处荷载集
度q(x)符号来决定。
表4-1 梁的荷载，剪力图，弯矩图相互关系
荷
q=0
载 （无分布荷载梁段）
q>0 q<0
（均布荷载梁段）
集中力 作用处（ 点）
P C
集中力偶 作用处（ 点）
m C
Q图
水平线
M图
（3）支座简化——主要简化为以下三种典型支座：
（a）活动铰支座（或辊轴支座），这种支座只限制梁在 沿垂直于支承平面方向的位移，其支座反力过铰心且垂直 于支承面，用YA表示。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
剪力和弯矩是结构力学中的重要概念。剪力是使材料产生剪切变形的力，弯矩则是使材料计算方法，包括确定控制面、计算约束力数值、建立剪力和弯矩坐标系等步骤。同时，文档还介绍了如何绘制剪力图和弯矩图，通过描点和连线的方式，可以清晰地展示出结构在不同位置的剪力和弯矩分布情况。此外，文档还深入探讨了剪力图和弯矩图与载荷集度的关系。剪力图的斜率等于作用在结构上的分布载荷集度q，当q=0时，剪力图为一条水平直线；当q＞0时，剪力图为渐增直线；当q＜0时，剪力图为递减直线。弯矩图的变化则与剪力FQ的正负密切相关，当FQ为正时，弯矩M为递减直线；当FQ为负时，弯矩M为递增直线。这些关系对于理解和分析结构的受力情况具有重要意义。

剪 力和弯矩

剪 力和弯矩

∑Y＝0 FA FS = 0
得
FS = FA
FS称为剪力。
目录
弯曲内力\剪力和弯矩
因剪力FS与支座反力FA组成一力偶，故在横截面m—m上必然 还存在一个内力偶与之平衡。设此内力偶的矩为M，则由平衡方程
∑MO＝0 M FAx = 0
得
M = FAx
这里的矩心O是横截面m—m的形心。这个内力偶矩M称为弯矩，它 的矩矢垂直于梁的纵向对称面。
目录
力学
FA =FB =10kN
目录
弯曲内力\剪力和弯矩
2）求横截面1—1上的剪力和弯矩。取左段梁为研究对象，并 设截面上的剪力FS1和弯矩M1均为正（如图）。列出平衡方程
∑Y＝0 FA FS1= 0
得
FS1=FA=10 kN
∑MO＝0 M1FA1 m =0
得
M1=FA1 m =10 kN 1 m =10 kNm
如果取右段梁为研究对象，则同样可求得
横截面m—m上的剪力FS和弯矩M（如图）， 且数值与上述结果相等，只是方向相反。
为了使无论取左段梁还是取右段梁得到的同一横截面上的FS和 M不仅大小相等，而且正负号一致，根据变形来规定FS、M的正负 号：
目录
弯曲内力\剪力和弯矩 1)剪力的正负号。梁截面上的剪力对所取梁段内任一点的矩为
顺时针方向转动趋势时为正，反之为负（图a）； 2) 弯矩的正负号。梁截面上的弯矩使梁段产生上部受压、下部
受拉时为正，反之为负（图b）。
目录
弯曲内力\剪力和弯矩
【例4.1】 简支梁如图所示。求横截面1—1、2—2、3—3上的 剪力和弯矩。
【解】 1）求支座反力。 由梁的平衡方程求得支座A、B处的反力为
得 M2= FA4 m F12 m =10 kN4 m10 kN 2 m=20 kNm 由计算结果知，M2为正弯矩。

剪力与弯矩的计算方法

剪力与弯矩的计算方法

FAy 3.5 kN
②、求 1-1 截面上的内力 在 1-1 截面处将梁切开成左右两段， 取左段为脱离体， 受力图如图 7-10b 所示，
FS 1
Y 0 ，
、弯矩 M 1 的方向都按规定的正方向标出。根据脱离体的平衡方程得：
FAy FS 1 0
，得
FS 1 FAy 3.5
01
kN
由所有外力对 1-1 截面的形心取矩
FAy 1 M 1 0
，得
M 1 FAy 1 3.5 kN .m
M
0
：
求得 1-1 截面的剪力 S 1 及弯矩 M 1 均为正值， 表示所假设的 S 1 及 M 1 的方向 与实际方向相同，在脱离体上，剪力和弯矩的方向一律设为正向，计算结果为正则 内力就为正，计算结果为负则内力就为负。 ③、求 2-2 截面上的内力 在 2-2 截面处将梁切开成左右两段， 取左段为脱离体， 受力图如图 7-10c 所示， 将剪力 由
F
FS
Y 0 得： M 0 由 得：
o
和弯矩 M 的大小可由左段梁的静力平衡方程来求解。
FAy P 1 FS 0
FAy x P1 x a M 0
，
得 得
FS FAy P 1 M FAy x P1 x a FS 和弯矩 M 。
FS
如果取右段进行分析时，则有： S ， （也即 S ） ； 当取左段（或右段）进行分析时，任意截面的弯矩等于所有产生向上的线位移的力对该 点之矩减去所有产生向下的线位移的力对该点之矩，即：
F
F
（7-1）
M
利用式 、 可以直接写出指定截面的剪力和弯矩。 四、计算剪力、弯矩的简便方法 利用上面的关系，可以直接根据作用在梁上的外力计算出任意截面的剪力、弯矩，从而 省去取脱离体列平衡方程的步骤，使计算过程简化。 例 7-2 计算图 7-11 所示梁 1-1 和 2-2 截上的内力。 解：①、求支座反力由梁的整体平衡方程:

梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图

梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图

40kN m
40kN
BF
310kN
4m
2m
kN
kNm
q
q
A
C
B
a
a
q
q
A
C
B
a
a
q
A
qa
结构对称， 2 a
载荷反对称，
则FS图对称，
qa 2
M图反对称
a2
B
q
qa
a
2
qa 2
qa
2
a2
qa2
8
qa2 8
F
F
A
B
F
a aa a
F2 F2
F2
F2
Fa 2
Fa 2
结构对称，载荷对称，则FS图反对称， M图对称
2、计算1-1 截面的内力 FA
3、计算2-2 截面的内力
F=8kN
FS1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
q=12kN/m
FS2 q 1.5 FB 11kN
FB
M2

FB
1.5

q 1.5 1.5 2

30 kN
m
2 求图示外伸梁中的A、B、C、D、E、
例题
F、G各截面上的内力。
3kN
C A
2kN m
1kN m
6kN m
D EF BG
FA
FB
1m 1m 1m 1m 1m 1m 1m 1m
3
例题
求图示外伸梁中的1－1、2－2、3 －3、4－4和5－5各截面上的内力
6kN
6kN m
1 2 q 2kN m 3 4

剪力方程和弯矩方程

剪力方程和弯矩方程

剪力方程和弯矩方程
剪力方程和弯矩方程是结构工程中用于描述杆件（梁或桁架等）内部受力分布的重要方程。

这些方程通常用于分析和设计结构，以确保其在承受外部荷载时的稳定性和安全性。

剪力方程（Shear Force Equation）：
剪力是指垂直于杆件轴线的内力，它的方向可能是沿着杆件的纵轴。

剪力方程描述了沿杆件长度的剪力分布。

在梁的自由体图上，剪力方程可以表示为：
[ V(x) = -\frac{dM(x)}{dx} + C_1 ]
其中：
* ( V(x) ) 是距离( x ) 处的剪力；
* ( M(x) ) 是距离( x ) 处的弯矩；
* ( C_1 ) 是积分常数，代表剪力图的初值。

弯矩方程（Bending Moment Equation）：
弯矩是指垂直于杆件轴线的内力，使得结构产生弯曲形状。

弯矩方程描述了沿杆件长度的弯矩分布。

在梁的自由体图上，弯矩方程可以表示为：
[ M(x) = -\int V(x) ,dx + C_2 ]
其中：
* ( M(x) ) 是距离( x ) 处的弯矩；
* ( V(x) ) 是距离( x ) 处的剪力；
* ( C_2 ) 是积分常数，代表弯矩图的初值。

这两个方程通常结合着使用，通过它们可以分析梁在不同位置的受力情况。

在设计和分析中，工程师通常会应用这些方程，考虑梁的几何形状、材料特性和外部荷载，以确定梁在不同截面的受力状态。

剪力方程和弯矩方程及剪力图和弯矩图

剪力方程和弯矩方程及剪力图和弯矩图

FS
(
x)
FRA
qx
ql 2
qx
(0 x l)
M(
x)
FRA
x
qx
x 2
qlx 2
qx2 2
(0 x l)
§5-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
FS
(
x)
ql 2
qx
(0 x l)
A
剪力图为一倾斜直线
x
FRA
l
x=0
处
， FS
ql 2
x= l 处 ,
FS
ql 2
ql/2
+
绘出剪力图
l
突变值等于集中力偶矩的数值.此处
M /l
剪力图没有变化.
+
Ma
+l
Mb l
§5-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
小结
1.取梁的左端点为坐标原点,x 轴向右为正:剪力图向上为正;弯矩 图向上为正. 2.以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处,及支座截 面处为界点将梁分段.分段写出剪力方程和弯矩方程,然后绘出剪 力图和弯矩图. 3.梁上集中力作用处左、右两侧横截面上,剪力（图）有突变,突 变值等于集中力的数值.在此处弯矩图则形成一个尖角.
§5-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
小结
4.梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩（图） 有突变,其突变值等于集中力偶矩的数值.但在此处剪力图 没有变化.
5.梁上的FSmax发生在全梁或各梁段的边界截面处;梁上的Mmax发 生在全梁或各梁段的边界截面,或FS = 0 的截面处.
x
l
l
l
AC,CB 两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线.

梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图

梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图

2m
120
40
kN
190 160
kNm
210 340
. 280
q
q A
B
a
a
qa 2
C
qa
qa 2
1 qa 2 2
.
q
q
A
C
B
a
qa
a
qa
qa
qa 1 qa 2 2
.
q
A
B
qa
结构对称， 2 a
q
qa
a
2
载荷反对称，
则FS图对称，
qa 2
M图反对称
a2
qa 2
qa
2
a2
qa 2
8
.
qa 2
8
F
AD段：q<0， FS 图为向下斜直线，
.
M图为下凸抛物线。
例题 4.9 4.10
F
Fa
a
a
F
5
kN
4
Fa
.
kNm
2kN m 4m 3k N
kN
3
2.25
kNm
例题
4.11
作图示梁的内力图
3k N 4.5kN m
2kNm
D A C BE
FA 10kN
1m 2m
2m
FB 2kN 1m
7
kN
3
x1.56 2
一、梁平面弯曲的概念
1、平面弯曲的概念
弯曲变形：作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使 杆的轴线由直线变为曲线。
.
平面弯曲：梁的外载荷都作用在纵向对称面内时，则梁的轴 线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。

剪力与弯矩

剪力与弯矩

FS (+ ) FS (−) FS (+)
FS (−)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 弯矩 ：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 M(+) M(+) M(–)
左上右下剪力为正， 左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正
3
M(–)
剪力与弯矩计算
FS－剪力 M－弯矩
MD− =F⋅0=0 =
FSA = ( ∑Fi ↑) − ( ∑Fj ↓)
M A = ( ∑ M A ( Fi ) ) + ∑ M e (顺) − ( ∑ M A ( Fj ) ) − ∑ M e (逆)
如果以A右侧部分为研究对象，剪力的计算公式与之相反， 如果以 右侧部分为研究对象，剪力的计算公式与之相反， 右侧部分为研究对象 而弯矩的计算公式变为减顺时针的外力矩加上逆时针的外力 矩。
6
计算方法与步骤 假想地将梁切开， 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象
画所选梁段的受力图， 画所选梁段的受力图，FS 与 M 宜均设为正 由 ΣFy =0 计算 FS 由 ΣMC =0 计算 M，C 为截面形心 ，
例
题
例 3-1 计算横截面 、横截面 +与 D-的剪力与弯矩。 计算横截面E 横截面A 的剪力与弯矩。
5
简言之： 简言之： 1 、 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一 左侧或右侧）所有的竖向外力（ 侧（左侧或右侧）所有的竖向外力（包括斜向外力的竖 向外力）的代数和。 向外力）的代数和。 2、 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧 左侧或右侧）所有的外力（包括外力偶） （左侧或右侧）所有的外力（包括外力偶）对该截面形 心的力矩的代数和。 心的力矩的代数和。

梁的剪力和弯矩概念讲解(剪力图弯矩图,含例题)

梁的剪力和弯矩概念讲解(剪力图弯矩图,含例题)
10kN m
X2
40 kN m
A
35kN
B
FS x1 20kN
M x1 20 x1
0 x1 1 0 x1 1
1m
15
4m
2.5
25kN
FS x2 25 10 x2
25
2 x2 M x2 25 x2 10 2
20
20
kN
0 x2 4
F=8kN
2、计算1-1
截面的内力 F A
3、计算2-2
FS1
q=12kN/m
M 1 F F F 7kN S1 A M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
FS2 q 1.5 FB 11kN
FB
截面的内力
M2
FS2
M 2 FB 1.5 q 1.5
M ＞0
M＜0
剪力：使脱离体有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负； 弯矩：使脱离体产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。
6.2
例 题
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
2 Fl
F
A
l
FCs
C
l
D
B
截面法求解
2 Fl
D
FCs F
C截面
F
B
M C Fl
FDs F
MC C
FDs
MD
D

l
F
B
D截面
2q1 x FA 2 x
x
l 2m a 0 .6 m
2 l a M C FA l a q
2
0
2q1 x 1.4 2 1.4 q 0 2 x 2
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上的内力时， 点左侧部分为研究对象， 1、求任意截面 A上的内力时，以 A 点左侧部分为研究对象， 上的内力时 内力计算式如下，其中Fi 、 Fj 均为 A 截面左侧的所有向上 内力计算式如下，其中 和向下的外力。 和向下的外力。
FSA = ( ∑Fi ↑) − ( ∑Fj ↓)
M A = ( ∑ M A ( Fi ) ) + ∑ M e (顺) − ( ∑ M A ( Fj ) ) − ∑ M e (逆)
§5-3 剪力与弯矩
剪力与弯矩 正负符号规定 剪力与弯矩计算 例题
1
剪力与弯矩
FS－剪力 M－弯矩
剪力－ 剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－ 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
正负符号规定
内力的正负规定: 内力的正负规定: ①剪力FS: 剪力 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
∑Fy = 0, FAy − F1 − FS = 0
故 FS =FAy−F 1 故 M=FAyb−F (b−a) 1
n i=1
∑MC = 0,
M + F (b − a) − FAyb = 0 1
FS =∑ Fi )一侧 (
i=1 n
M=∑ mCi )一侧 (
内力的直接求法： ★ ★ 内力的直接求法：
FS (+ ) FS (−) FS (+)
FS (−)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 弯矩 ：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 M(+) M(+) M(–)
左上右下剪力为正， 左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正
3
M(–)
剪力与弯矩计算
FS－剪力 M－弯矩
6
计算方法与步骤 假想地将梁切开， 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象
画所选梁段的受力图， 画所选梁段的受力图，FS 与 M 宜均设为正 由 ΣFy =0 计算 FS 由 ΣMC =0 计算 M，C 为截面形心 ，
例
题
例 3-1 计算横截面 、横截面 +与 D-的剪力与弯矩。 计算横截面E 横截面A 的剪力与弯矩。
FAy = 2F
FBy = 3F
解： ：
∑F = 0, F
y
SE
+ FAy = 0
FSE =−FAy =−2F
l ME =Me −FAy⋅ =0;FAy⋅ −Me =0 ∑ 2
F A+ = −FAy = −2F S
MA+ = Me − FAy ⋅ ∆=Fl
FSD− =F
MD− =F⋅0=0 =
如果以A右侧部分为研究对象，剪力的计算公式与之相反， 如果以 右侧部分为研究对象，剪力的计算公式与之相反， 右侧部分为研究对象 而弯矩的计算公式变为减顺时针的外力矩加上逆时针的外力 矩。
5
简言之： 简言之： 1 、 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一 左侧或右侧）所有的竖向外力（ 侧（左侧或右侧）所有的竖向外力（包括斜向外力的竖 向外力）的代数和。 向外力）的代数和。 2、 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧 左侧或右侧）所有的外力（包括外力偶） （左侧或右侧）所有的外力（包括外力偶）对该截面形 心的力矩的代数和。 心的力矩的代数和。