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奥数重点：和差倍问题讲解1 考点分析和差倍问题是已知几个数的和或差以及它们的倍数关系，分别求几个数的应用题。
为了帮助我们理解题意，弄清量与量之间的关系，常采用画线段图的方法，以便找到解题的途径。
和差倍问题也是年龄问题的基础，经常出现在杯赛中。
基本功1、会画线段图2、公式（1）和倍问题：小数=和÷（倍数+1）大数=小数×倍数或大数=和-小数（2）差倍问题：小数=差÷（倍数-1）大数=小数×倍数或大数=小数+差一般解题步骤1、画线段图（先画倍数关系，再标明数量）2、求一倍数（数量与倍对应好才能相除！）根据题目要求求相应的解2 真题回放“1、（第一届小机灵杯第8题）有一堆围棋子，白子的个数是黑子的2倍，拿走96个白子后，黑子的个数是白子的2倍，原来黑子有（）个。
2、【第11届三年级中环杯初赛第5题】有甲乙两支人数相等的运动队，由于训练的需要，从甲队调10人到乙队，这时乙队人数正好是甲队人数的3倍，甲队原有（）人。
”3 经典解析1、【解析】根据题意可画出如下线段图：由此可得黑子个数为：96÷（2+1）×2=64考点：和差倍+移多补少2、【解析】从甲队调10人到乙队，所以现在的乙比甲多20人。
甲队现在有：20÷2=10人甲队原有：10+10=20人4 巩固练习1、光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？2、果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵。
桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？3、甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？4、549是甲、乙、丙、丁4个数的和。
如果甲数加上2，乙数减少2.，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等。
求4个数各是多少？5 练习详解1、【解析】把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。
第六周质数合数，因数倍数1.【第13届中环杯初赛第6题】养兔场有一些大兔子和小兔子，小兔子的数量是大兔子的4倍。
过了一段时间后，一些。
小兔子长成了大兔子。
结果有60只小兔子长成了大兔子，且这时大兔子与小兔子一样多。
那么原来共有大兔子（）只。
2.【第12届中环杯决赛第8题】某公司有100名员工，现有一笔奖金要分发给每名员工。
但为了提高大家的工作积极性，将先评出若干名优秀员工，每名优秀员工的奖金是普通员工的2倍。
如果评出20名优秀员工，那么每名优秀员工的奖金将是3300元。
如果只评10名优秀员工，那么每名优秀员工的奖金将是（）元。
3.【第9届中环杯初赛第9题】妈妈给小明一把花生，小明对妈妈说：“好多花生啊，应该有100粒吧！”妈妈告诉小明：“没有这么多，吃这么多花生对身体不好。
如果我把给你的花生数量加上同样多的花生，再加上一半的数量，再加上四分之一的数量，再加上2粒，就有90粒。
”妈妈给小明的花生数量有（）粒。
4.【第11届中环杯决赛第二部分第1题】有一笔奖金，要把它分成一等奖，二等奖，三等奖来颁发。
每个一等奖奖金是每个二等奖奖金的2倍，每个二等奖奖金是每个三等奖奖金的2倍。
如果一、二、三等奖各设置两人，那么每个一等奖的奖金是616元。
如果设置一个一等奖、两个二等奖，三个三等奖，那么每个一等奖的奖金是多少元？5.【第14届中环杯决赛第2题】各位数码之和（例如231的数码和为2+3+1=6）等于7的所有质数中，比10大的最小质数是________。
6.【第12届小机灵杯初赛第11题】一个三位数各位数字的乘积是18，满足条件的所有三位数的总和是________。
7.【第11届小机灵杯决赛第11题】110除以一个两位数的余数是5，符合条件的所有两位数是________.8.【第12届小机灵杯初赛第13题】A、B、C三人定期去图书馆看书，其中A每隔1天去一次，B每隔2天去一次，C每隔3天去一次，在2月的最后一天三人在图书馆相聚，那么从3月1日到6月30日只有1个人来图书馆的日子有________天。
第三周最值问题，抽屉、最不利原理1.【第8届小机灵杯初赛第12题】一个小公司有7位职工，这7位职工的月平均工资是2850元。
已知职工中最高工资是最低工资的1.5倍，那么最低工资的职工最多是（）元。
2.【第10届小机灵初赛第5题】下图中，两只母鸡正在盘算着，要使每行、每列、每斜行中的鸡蛋不超过2个。
它们最多能在这蛋格子里下（）个蛋，蛋格子中已经下好了2个蛋。
3.【第12届小机灵杯初赛第11题】从三位数100、101、102、 (699)700中任意取出n个不同的数，使得总能找到其中三个数，他们的数字和相同。
那么n的最小值是（）。
4.【第14届中环杯初赛第3题】黑箱中有60块大小、形状都相同的木块，每15块涂上相同的颜色。
一次性至少取出（）块才能保证其中至少有2块木块颜色相同。
5.【第13届中环杯初赛第4题】一个口袋中有50个编上号码的相同的小球，其中编号为1、2、3、4、5的小球分别有2、6、10、12、20个。
任意从口袋中取球，至少要取出（）个小球，才能保证其中至少有7号码相同的小球？解析：1.【考点】最值问题【解析】7个人的总工资为2850×7=19950元，要使最低工资的职工的工资最多，那么除了最高工资的那个人之外，其余的职工都要拿最低工资，所以最低工资的职工的工资最多是：19950÷（1.5+6）=2660元。
2.【考点】离散最值——构造法【解析】一共有6行，每行最多有2个蛋，故最多12个蛋。
如下下蛋即可符合要求。
3.【考点】组合——抽屉原理【解析】在100到700中，数字和最小的数为100，它的数字和为1，且其中数字和为1的数仅有1个；数字和最大的数为699，它的数字和为24，且其中数字和为24的数仅有1个。
剩下的数的数字和为1到23中其中的一个，且2到23的每种数字和至少都有2个数。
所以n的最小值是1+1+2×22+1=47。
4.【考点】抽屉原理【解析】共60÷15=4种颜色，需要取出4+1=5块。
2003年2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2，4593，2284，35，306，43157，328，169，6610，11 11，10 12，2660 13，60 14，792 15，116，49/4 17，G18，44 19，12 20，1536，72012年2013年第十一届小机灵杯五年级初赛试题1、5.5×6.6＋6.6×7.7＋7.7×8.8＋8.8×9.92、五（1）班男生的平均身高是149cm，女生的平均身高是144cm，全班的平均身高是147cm。
那么，五（1）班的男生人数是女生人数的多少倍？3、甲、乙分别持有7张卡片，卡片上分别写有1、2、3、4、5、6、7七个数字。
如果两人各摸出一张卡片，那么两张卡片上数字和为8的可能性是多少？4、有一个圆形跑道，甲用40秒跑完一圈，乙跑的方向与甲相反，每15秒遇到甲一次。
乙跑完一圈需要几秒？5、50个各不相同的正整数，它们的和为2012，那么这些数里奇数最多有几个？6、把正整数排成下列数阵：1 2 5 10 …4 3 6 11 …9 8 7 12 …16 15 14 13 ………………第21行第21列的数是多少？7、有一叠卡片共200张，从上到下依次编号为1到200，从最上面的一张开始按如下次序进行操作：把最上面的第一张卡片拿掉，把下一张卡片放在这一叠卡片的最下面；再把最上面的第一张（原来的第三张）卡片拿掉，把下一张卡片放在这一叠卡片的最下面……依次重复这样做。
那么剩下的这张卡片是原来200张卡片里的第几张？8、某班有60人，其中42人会游泳，46人会骑车，50人会溜冰，55人会打乒乓球。
可以肯定至少有多少人四项运动都会？9、把既不是平方数也不是立方数的正整数（0除外）按从小到大的顺序排列，得到2，3,5,6,7,10，……，其中第1000个数是多少？10、如图所示，ABCD是梯形，三角形ADE的面积是1，三角形ABF的面积是9，三角形BCF的面积是27，那么三角形ACE的面积是多少？11、某学生漏看了写在两个三位数之间的乘号，将它们当成了一个六位数，而该六位数恰好是原来乘积的7倍，这两个三位数之和是多少？12、从1到900中选6个正整数，使这6个连续正整数的积的尾数恰好为4个0，有多少种选法？第十一届"小机灵"杯数学竞赛决赛五年级试题第一项，每题4分。
小机灵杯五年级试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪种动物属于哺乳动物？A. 青蛙B. 猫头鹰C. 老虎D. 鲨鱼2. 植物进行光合作用的主要器官是？A. 根B. 叶C. 花D. 果实3. 地球自转的方向是？A. 自西向东B. 自东向西C. 自南向北D. 自北向南4. 下列哪个不是我国的传统节日？A. 春节B. 中秋节C. 愚人节D. 端午节5. 下列哪个行星离太阳最近？A. 金星B. 地球C. 水星D. 火星二、判断题（每题1分，共5分）1. 鸟类是卵生的。
（）2. 水在0℃时会结冰。
（）3. 光的速度比声音的速度慢。
（）4. 人体共有206块骨骼。
（）5. 蚂蚁是靠触角进行交流的。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 地球上面积最大的洲是______洲。
2. 人体最大的器官是______。
3. 我国历史上第一个皇帝是______。
4. 一年中有______个季节。
5. 水的化学式是______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述光合作用的过程。
2. 请解释什么是可再生能源。
3. 简述地球自转和公转的区别。
4. 请列举三种不同的地形类型。
5. 请简述人体的呼吸过程。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 一个长方形的长度是8厘米，宽度是4厘米，请计算它的面积。
2. 小明有5个苹果，他吃掉了2个，现在还剩几个苹果？3. 一个班级有20个男生和25个女生，请计算班级中女生的比例。
4. 如果一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，那么它行驶100公里需要多少小时？5. 一个正方形的边长是5厘米，请计算它的周长。
六、分析题（每题5分，共10分）1. 请分析为什么在夏天白天比冬天长。
2. 请分析为什么植物需要光合作用。
七、实践操作题（每题5分，共10分）1. 请设计一个简单的实验来证明植物进行光合作用需要光。
2. 请制作一个简易的指南针。
八、专业设计题（每题2分，共10分）1. 设计一个简易的太阳能热水器。
第九讲数的整除（2）知识概述一、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。
2.一个数各位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除。
3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被被7、11或13整除。
二、整除的性质1.如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除。
2.如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除。
3.如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除。
4.如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互素，那么a一定能被b与c的乘积整除。
5.如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除。
（m为非0整数）6.如果数a能被数b整除，数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除。
例题精讲【例1】判断下面11个数的整除性：23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407⑴这些数中，有哪些数能被4整除？有哪些数能被8整除？⑵这些数中，哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？⑶这些数中，哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？⑷这些数中，哪些数能被11整除？【拓展】五位数abcde是9的倍数，其中abcd是4的倍数，那么abcde的最小值是。
【拓展】（2013年第十一届“小机灵杯”四年级决赛）把一个三位数的百位与个位上的两个数字交换，十位数不变，所得的新数与原数相等，这样的数共有（）个，其中能被4整除的有（）个。
【例2】（2011年第九届“小机灵杯”四年级决赛）某三位数是9的倍数，而且在300~400之间，它的百位与个位数字和为10，问这个数是（）。
第十一届华杯赛初赛试题及解答1. 如下图，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，得到小正方形ABCD，取AB的中点M和BC的中点N，剪掉△MBN，得五边形AMNCD。
则将折叠的五边形AMNCD纸片展开铺平后的图形是〔〕。
2. 2008006共有( )个质因数。
〔A〕4 〔B)5 (C)6 (D)73、奶奶告诉小明：“2006年共有53个星期日”。
聪敏的小明立到告诉奶奶：2007年的元旦一定是()。
(A)星期一(B)星期二(C)星期六(D)星期日4、如图，长方形ABCD中AB∶BC=5∶4。
位于A点的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A的方向，位于C点的第二只蚂蚁按C →B→A→D→C的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行。
如果两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在( )边上。
(A)AB (B)BC (C)CD5、图中ABCD是个直角梯形(∠DAB=∠AB C=90°)，以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米。
连接BE 交AD于P，再连接PC。
则图中阴影部分的面积是()平方厘米。
(A)6.36 (B)3.18 (C)2.12 〔D〕1.596、五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。
如果贝贝和妮妮不相邻，共有( )种不同的排法。
(A)48 (B)72 (C)96 (D)120二、A组填空题7、在算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立。
则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于____。
8、全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，假设已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有____人。
9、下列图是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管(不考虑吸管粗细)放在玻璃杯内。
第十二届“小机灵杯”智力冲浪展示活动决赛试卷（五年级组）2014年1月19日8:30~9:50时间：80分钟总分：120分一、判断题（每题1分）【第1题】小数点在十进制中用来隔开整数部分和小数部分。
中国魏晋时代的数学家刘徽第一个将“小数”这一概念用文字表达出来。
……………………………………………………………………………………………（）【分析与解】中国自古以来就使用十进位制计数法，一些实用的计量单位也采用十进制，所以很容易产生十进分数，即小数的概念。
第一个将这一概念用文字表达出来的是魏晋时代的刘徽。
他在计算圆周率的过程中，用到尺、寸、分、厘、毫、秒、忽等7个单位；对于忽以下的更小单位则不再命名，而统称为“微数”。
填“√”。
【第2题】做小数加减法时要把小数点对齐。
在小数乘法法则中，两个因数中一共有几位小数，就要从积的左边向右数几位点上小数点。
…………………………………………………………………………………………（）【分析与解】在小数乘法法则中，两个因数中一共有几位小数，就要从积的右边向左数几位点上小数点。
故填“×”。
第十二届“小机灵杯”智力冲浪展示活动决赛试卷五年级组中国古代数学最重要的典籍应当是《九章算术》，魏晋数学家刘徽用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。
……………………………………………………………………………（ ）【分析与解】所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法。
“圜，一中同长也”。
意思是说：圆只有一个中心，圆周上每一点到中心的距离相等。
早在我国先秦时期，《墨经》上就已经给出了圆的这个定义，而公元前11世纪，我国西周时期数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的关系。
认识了圆，人们也就开始了有关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积。
我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”，也就是我们现在所熟悉的公式。
第11届小学五年级“希望杯”培训题及解析(1)2013年第11届小学“希望杯”培训题（五年级）及解析一、填空题（共100小题，每小题1分，满分100分）1．计算：31.8÷2.3+386÷46-4.88÷0.23=解：31.8÷2.3+386÷46-4.88÷0.23，=318÷23+（386÷2）÷（46÷2）-488÷23，=318÷23+193÷23-488÷23，=（318+193-488）÷23，=23÷23，=16．比较大小（填“＞”、“＜”或“=”）： 20122012×20132013 （） 20112011×20142014解：因为20122012×20132013=2012×2013×100012，20112011×20142014=2011×2014×100012，2012×2013=4050156，2011×2014=4050154，4050156＞4050154，所以20122012×20132013＞20112011×201420147．a和b（a＞b）是两个不同的三位小数，四舍五入取近似值都是2.38，则a和b最大相差（）解：“四舍”得到的2.38最大是2.384，“五入”得到的最小是2.375，所以a和b最大相差：2.384-2.375=0.0098．规定运算“⊗”：a是b的倍数时，a⊗b=a÷b+1；b是a的倍数时，a⊗b=b÷a+1；a不是b的倍数时，b也不是a的倍数时，a⊗b=13．根据上面的规定，计算14⊗266⊗26⊗296⊗286=解：14⊗266⊗26⊗296⊗286，=（266÷14+1）⊗26⊗296⊗286，=20⊗26⊗296⊗286，=13⊗296⊗286，=13⊗286，=286÷13+1，=239．定义新运算：a◎b=5a+mb，其中a，b是任意两个不同的数，m为常数．如2◎7=5×2+m×7．（1）已知2◎3=19，则3◎5= ，5◎3= ；（2）当m= 时，该运算满足交换律解：（1）因为2◎3=19，所以5×2+m×3=19，10+3m=19，3m=9，m=3，3◎5，=5×3+3×5，=30，5◎3，=5×5+3×3，=25+9，=34，（2）因为a◎b=5a+mb，所以要满足交换律，m=510．3333333与33333333乘积的各位数字中有（）个奇数解：3333333×333333333，=（3×1111111）×（3×11111111）=1111111×9×11111111，=1111111×99999999=111111100000000-1111111，=111111098888889；因此，乘积中有8个奇数数字11.555……5（2013个5）被13除，余数是。
第十一届小机灵杯五年级决赛试题
2、商场元旦促销，将彩色电视机降价20%出售，那么元旦促销活动过后商场要涨价 %
才能恢复到原价。
[答案]25
[解答]假设电视机原价为a ，降价后的售价为
()120%0.8a a -=。
假设要涨价%x 才能恢复到
学习奥数的优点
1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力
4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
3、已知13411a b -=，那么()20132065b a --=______。
[答案]2068
[解答]由于13411a b -=，所以()6520513451155a b a b -=⨯
-=⨯=，所以
()()20132065201365202068b a a b --=+-=
4、在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，赢者每局得2分，输者每局得0分，平局则两个选手各得1分。
今有4名计分者统计了这次比赛中全部的得分总数，由于有的计分者粗心，其数据各不相同，分别为1979、1980、1984、1985。
经核实，其中有1人统计无误。
这次比赛共有________名选手参加。
[答案
]45
[解答]容易知道不管比赛是输赢的情况，还是平局的情况，一局两个人的分数总和总是为2分。
所以最后总比分应该是一个偶数。
从四个答案中，明显1984或者1980可能是总分数。
也就是说比赛的总场次为19842992÷
=场或者19802990÷=场。
设比赛一共有n 名选手参加，每
A
B C 2
9
7
+
[答案]60
()1001029710010992973A B C C B A C A C A +++=++⇒-=⇒-=。
所以满足条件的
()
,A C 可能是()()()()()()1,4,2,5,3,6,4,7,5,8,6,9。
由于本题对B 没有要求（B 可以取
6、如图所示，P 为平行四边形ABDC 外一点。
已知PCD ∆的面积等于5平方厘米，PAB ∆的面积等于11平方厘米。
则平行四边形ABCD 的面积是
[答案]12
于AB CD =，所以
而平行四边形ABDC 的面积为ABDC S AB EF =⋅，所以()212ABDC
PAB PCD S S S ∆∆=-=
7、等差数列1219,,
,a a a 共有19项。
已知171418120a a a a +++=，那么
3
19a += [答案]570
[解答]设等差数列的公差为d ，则7114118161317a a d a a d a a d
=+⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩，所以
17141811436120930a a a a a d a d +++=+=⇒+=。
而
()()
()
()3
191111218a a a d a d a d +=++++++
8
、一个容器内已经住满了水，现有大中小三个铅球，第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，沉入大球。
已知第一次溢出的水是第二次的3倍，第三次溢出的水是第一次的3倍，求三个球的体积比为 [答案]3:4:13
[解答]设小球的体积为x ，中球的体积为y ，大球的体积为z 。
（1） 由于第一次把小球沉入水中，所以第一次溢出的水的体积为x
（2） 由于第二次把小球取出，把中球沉入水中，所以第二次溢出的水的体积为y x -
（3） 由于第三次取出中球，沉入大球，所以第三次溢出的水的体积为
z y -
根据已知条件，9、一个长方形，是由5行3列的小正方形组成的，小正方形的边长为1cm ，这个长方形里有24个顶点，选择其中3个顶点，用一线段围成一个面积为2.5平方厘米的三角形。
这样子的三角形，长方形里一共有 个 [答案]124
[解答]李老师的解答
两个方程了：
11、由120个棱长为1的正方体，拼成一个长方体，表面全部涂色，只有一面染色的小正方体，最多有 块 [答案]64
[解答]设长方体的长、宽、高分别为,,l m n （不妨设l
m n ≥≥）
，容易知道只有一面染色的小正方体只有每个面上可能有一些。
要使得其最多，那么2n =（否则内部有太多的小正方体都是所有面没有染色的）。
由于12060lmn lm =⇒=。
此时一面染色的小正方体的个数为
()()()()()22222242602242644l m lm l m l m l m --=--+=--+=⨯-+。
要使得()2644l m ⨯-+最大，那么就是要使l m +最小。
考虑到60lm =，容易知道当10,6
l m ==时，l m +最小。
所以只有一面染色的小正方体最多有()264410664⨯-⨯+=
12、一个正整数数列，第一项是8，第二项是1，从第三项起每一项等于它前面两项之和，请问该数列第2013项被105除，余数是 [答案]16
[解答]由于105357=⨯⨯，所以先计算分别除以3,5,7的余数。
（1） 除以3的余数：2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,
一个周期
，由于20138251+5=⨯，所以其余数为
1
（2） 除以5的余数：3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,
一个周期
，由于
201320100+13=⨯，所以其余数为1
（3） 除以7的余数：1,1,2,3,5,1,6,0,6,6,5,4,2,6,1,0,1,1,2,3,
一个周期
，由于
201316125+13=⨯，所以其余数为2
综上所述，这个数除以3余1；除以5余1；除以7余2；容易知道这样的数最小为16，所以最
后的余数为16
[答案]81 [解答]
由于12345679A B ⨯⨯最大为9912345679999999999⨯⨯=（一个九位数），不妨设)
()(45678989
a -（如果不理解这步，可以用123456789000000000123456789-来体会一下）
所以最后数字和为9981⨯=
14、一个31位的整数，如果把这个整数的每个相邻的两个数码组成的整数作为两位数来考虑的话，任何一个这样的两位数都可以被17或23整除。
另外，这个31位的整数的数码中只有一个7。
则这个31位数的所有的数码之和为 [答案]151
[解答]首先我们证明这个7肯定是最后一位。
如果不是最后一位，那么后面肯定还有一位，不妨
17,517,8517,68517,468517,3468517,23468517,923468517,6923468517，
46923468517,346923468517,
一个周期
由此我们知道31位数，除去后面4位，剩下有27位。
由于27552=⨯+，所以最后所有的和为()851792346546151++++++++⨯++=
15、直角梯形ABCD ，上底长1，下底长7，连接AB 边上的E 点和DC 边上的F 点，形成与AD 和BC 平行的线段EF 把直角梯形面积一分为二，则线段EF 的长度为 [答案]5
[解答]由相似模型我们知道，2
149
GAD GBC S AD GAD GBC S BC ∆
∆⎛⎫
∆∆⇒== ⎪
⎝⎭∽。
设4948GAD GBC ABCD S k S k S k ∆∆=⇒=⇒=。
由于EF 把直角梯形面积一分为二，所以
2
15525GAD GEF S AD GAD GEF EF AD EF S ∆∆⎛⎫
∆∆⇒==⇒== ⎪
⎝⎭
∽。
