数制与编码

计算机中的数制与编码在计算机科学中，数制和编码是非常重要的概念。

数制是一种数学表示法，用于表示不同类型的数值。

而编码是将字符、符号或信息转化为特定形式的过程。

数制和编码在计算机中扮演着至关重要的角色，它们用于存储、传输和处理数字和数据。

数制（Number System）在计算机中，常见的数制有二进制、十进制、八进制和十六进制。

每种数制有其各自的特点和用途。

1. 二进制（Binary System）：二进制是最常见和基础的数制，在计算机中广泛使用。

它只包含两个数字0和1，以2为基数。

计算机内部存储和处理的数据都是以二进制形式表示的。

每个二进制位称为一个bit（二进制位），每8位为一个字节（Byte）。

2. 十进制（Decimal System）：十进制是我们日常生活中最常用的数制，以10为基数，包含0-9的数字。

在计算机中，通常使用十进制数制进行人机交互和显示。

3. 八进制（Octal System）：八进制以8为基数，包含0-7的数字。

在计算机中，八进制表示法不太常用，但是在Unix操作系统中仍然使用八进制权限表示法。

4. 十六进制（Hexadecimal System）：十六进制以16为基数，包含0-9的数字和A-F的字母。

在计算机中，十六进制数制常用于表示内存地址和字节编码。

十六进制数更加简洁和紧凑，便于人们阅读和理解。

编码（Coding）在计算机中，数据和字符需要以特定的方式进行编码，以便计算机可以正确存储和处理它们。

常见的编码方式包括ASCII码、Unicode、UTF-8和UTF-16等。

1.ASCII码：ASCII（American Standard Code for Information Interchange）是一种最早的字符编码标准，用于将字符映射为对应的数字编码。

ASCII码使用7位二进制数表示128个字符，包括英文字母、数字、标点符号和控制字符等。

2. Unicode：Unicode是一种字符编码标准，为世界上几乎所有的字符建立了唯一的数字表示。

计算机中的数制和编码一、数制的概念：数制是用一组固定的数字和一套统一的规则来表示数目的科学方法。

按照进位方式计算的数制叫做进位数制。

例如：逢十进一即为十进制，逢二进一为二进制，逢八进一为八进制，逢十六进一为十六进制。

进位计数制有两个要素：基数和权值。

1、基数：它是指各种进位计数制中允许选用基本数码的个数。

例如：十进制的数码有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数码，所以十进制的基数为10；二进制的数码有0、1两个数码，所以二进制的基数为2；八进制的数码有0、1、2、3、4、5、6、7八个数码，所以八进制的基数为8；十六进制的数码有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F十六个数码，所以十六进制的基数为16。

2、权值：每个数码所表示的数值等于该数码乘以一个与数码所在位置相关的常数，这个常数叫权值。

其大小是以基数为底，数码所在位置的序号为指数的整数次幂。

例如：十进制数356.4=3×100＋5×10＋6×1＋0.4＝3×102＋5×101＋6×100＋4×10-1（3在百位上，所以3×100＝3×102；5是在十位上，所以5×10＝5×101；6是在个位上，所以6×1＝6×100；0.4为小数，所以0.4＝4×10-1）。

二、十进制（D ecimal notation）及其特点：1、两个特点：①、十个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；②、进位方法：逢十进一，借一当十。

（满了10个就得进一位）2、基数：103、按权展开式：任意一个a位整数和b位小数的十进制数D可以表示为：D＝D a-1×10a-1＋D a-2×10a-2＋…＋D0×100＋D-1×10-1＋D-2×10-2＋…＋D-b×10-b4、十进制在书写中的三种表达方式：128或者128D或（128）10三、二进制（B inary notation）及其特点：1、两个特点：①、两个数码：0、1；②、进位方法：逢二进一，借一当二。

计算机中的数制与编码一、数制1、什么是进位计数制数制也称计数制,是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。

按进位的原则进行计数的方法,称为进位计数制。

比如，在十进位计数制中,是按照“逢十进一”的原则进行计数的。

常用进位计数制：a、十位制(Decimal notation)；b、二进制(Binary notation)；c、八进制(Octal notation)；d、十六进制数(Hexdecimal notation)2、进位计数制的基数与位权"基数"和"位权"是进位计数制的两个要素。

（1）基数：所谓基数，就是进位计数制的每位数上可能有的数码的个数。

例如，十进制数每位上的数码，有"0"、"1"、"3",…，"9"十个数码，所以基数为10。

（2）位权：所谓位权，是指一个数值的每一位上的数字的权值的大小。

例如十进制数4567从低位到高位的位权分别为100、101、102、103。

因为：4567＝4x103＋5x 102＋6x 101 ＋7x100（3）数的位权表示：任何一种数制的数都可以表示成按位权展开的多项式之和。

比如：十进制数的435．05可表示为：435．05＝4x102＋3x 101＋5x100＋0x10－1 ＋5x 10－2位权表示法的特点是：每一项＝某位上的数字X基数的若干幂次；而幂次的大小由该数字所在的位置决定。

3、二进制数计算机中为何采用二进制：二进制运算简单、电路简单可靠、逻辑性强（1）定义：按“逢二进一”的原则进行计数，称为二进制数，即每位上计满2 时向高位进一。

（2）特点：每个数的数位上只能是０，１两个数字；二进制数中最大数字是１，最小数字是０；基数为２；比如：10011010与00101011是两个二进制数。

（３）二进制数的位权表示：(1101.101)2＝1x23＋1x 22＋0x 21＋1x 20＋1x2－1 ＋0x 2－2＋1x2－3（4）二进制数的运算规则1 加法运算① 0＋0＝0 ③ 1＋1＝10② 0＋1＝1＋0＝12 乘法运算① 0×0＝0 ③ 1×1＝1② 0×1＝1×0＝04、八进位制数（1）定义：按“逢八进一”的原则进行计数，称为八进制数，即每位上计满8时向高位进一。

计算机常用数制及编码1.二进制数制：二进制是计算机中最基本的数制，只包含两个数字0和1、它是一种逢二进一的计数法，每位上的数值以2为底数的幂来表示。

例如，二进制数1101表示1*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0=13、在计算机中，二进制数被广泛应用于存储和运算等操作。

2.八进制数制：八进制使用8个数字0-7来表示。

它是二进制数制的一种压缩表示方法，每3位二进制数可以表示为一位八进制数。

例如，二进制数1101可以表示为八进制数15、八进制数在计算机界并不常见，但在一些特定场景下仍然有一定的应用。

3.十进制数制：十进制是我们常用的数制，使用10个数字0-9来表示数值，每位上的数值以10为底数的幂来表示。

例如，十进制数123表示1*10^2+2*10^1+3*10^0=123、十进制数制通常用于人类的日常计算中，但在计算机中也会涉及到十进制的处理，例如在涉及到金额、日期和时间等数字的场景中。

4.十六进制数制：十六进制使用16个数字0-9和A-F来表示，其中A-F分别表示十进制数10-15、它是二进制数制的另一种压缩表示方法，每4位二进制数可以表示为一位十六进制数。

十六进制数常用于计算机领域，因为它们可以更紧凑地表示二进制数。

例如，二进制数1101可以表示为十六进制数D。

编码系统是为了实现计算机和人类之间的信息交流而发展的。

下面介绍几种常见的编码系统：1.ASCII码：ASCII（American Standard Code for Information Interchange）是最早和最广泛使用的字符编码系统之一、它使用7位二进制数（扩展ASCII使用8位二进制数）来表示128（或256）个字符，包括英文字母、数字、符号等。

ASCII码可以用于存储和表示文本文件中的字符。

2. Unicode编码：3.UTF-8编码：UTF-8（Unicode Transformation Format - 8-bit）是一种对Unicode进行可变长度编码的字符编码系统。

数制与编码1.数制和编码的基本概念▪数制数制是用一组固定的数字和一套统一的规则来表示数的方法。

常用的进位计数制有二进制(B)、八进制(O)、十进制(D)、十六进制(H)。

▪进位计数制有两个基本要素：基数和权（1）基数：数制所使用数码的个数。

例如，二进制的基数为2，十进制的基数为10。

（2）权：以基数为底，以某一数字所在位置的序号为指数的幂，称为该数字在该位置的权。

▪编码编码是采用少量的基本符号，选用一定的组合原则，以表示大量复杂多样的信息的技术。

任何信息必须转换成二进制形式数据才能由计算机进行处理、存储和传输。

2. 不同进位数制的特点▪十进制（Decimal）十进制的特点是：用10个数码（0~9）表示所有的数,基数是10, 采用逢十进一的计数方法。

▪二进制（Binary）二进制的特点是：由0、1组成，基数是2，加法采用“逢二进一”、减法采用“借一当二”的运算规则。

▪十六进制（Hexadecimal）十六进制：由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F组成，基数是16，加法用“逢十六进一”、减法采用“借一当十六”的运算规则。

▪八进制（Octal）八进制数的特点是：由0，1，2，3，4，5，6，7组成，基数是8，加法采用“逢八进一”、减法用“借一当八”的运算规则。

3. 进制数的转换(1)二进制<-->八进制数转换(2)十进制转为八进制(3)十六进制转为八进制4. 常见的信息编码▪BCD码二进制编码的十进制数，简称BCD码(Binarycoded Decimal)。

这种方法是用4位二进制码的组合代表十进制数的0，1，2，3，4，5，6 ，7，8，9 十个数符。

▪ASCII码ASCII（American Standard Code for Information Interchange，美国信息交换标准代码），它是现今最通用的单字节编码系统，并等同于国际标准ISO/IEC 646。

数制与编码数制是计数进位制的简称。

在日常生活和生产中，人们习惯用十进制数，而在数字电路和计算机中，只能识别“0”和“1”构成的数码，所以经常采用的是二进制数。

1.十进制十进制以10为基数，共有0〜9十个数码，计数规律为低位向高位逢十进一。

各数码在不同位的权不一样，故值也不同。

例如444，三个数码虽然都是4，但百位的4表示400，即4×102，十位的4表示40，即4×101，个位的4表示4，即4×10°，其中102、101、10°称为十进制数各位的权。

如一个十进制数585.5按每一位数展开可表示为：(585.5)10 = 5×102+8×101+5100+5×10-12. 二进制数字电路和计算机中经常采用二进制。

二进制的基数为2，共有0和1两个数码，计数规律为低位向高位逢二进一。

各数码在不同位的权不一样，故值也不同。

二进制数用下标或“2”表示，如一个二进制数101. 101按每一位数展开可表示为：(101. 101)2 = l×22+0×21+l×2°+l×2-1+0×2-2+l×2-33. 二进制数与十进制数的相互转换(1)二进制数转换成十进制数——按权相加法按权相加法是指将二进制数按位权展开后相加，即得等值的十进制数。

例如，将二进制数1011101转换为十进制数：(1011101)2=(1×26十0×25十1×24十1×23十1×22十0×21十1×20）10= (64 + 0 十 16+ 8 十 4 + 0 十 1)10 =(93)10(2)十进制数转换成二进制数——除2取余倒排法和乘2取整顺排法任意十进制数转换为二进制数，可将其分成整数部分和纯小数部分，整数部分采用除2取余倒排法，即十进制整数连续除以2，直到商等于0为止，然后把每次所得余数（1或者0)按相反的次序排列即得转换后的二进制整数。

数制和编码的概念及转换数制是一种表示数值的方式，常见的数制有十进制、二进制、八进制和十六进制等。

十进制是我们平时常用的数制，它使用基数为10的数字系统，由0到9共10个数字组成。

二进制是计算机使用的一种数制，它使用基数为2的数字系统，由0和1两个数字组成。

八进制是一种数制，它使用基数为8的数字系统，由0到7共8个数字组成。

十六进制是一种数制，它使用基数为16的数字系统，由0到9和A到F共16个数字组成，其中A表示10，B表示11，C表示12，D表示13，E表示14，F表示15。

编码是将字符、数字、符号等信息转化成特定的数字或符号的过程。

常见的编码方式有ASCII码、Unicode和UTF-8等。

ASCII码是英文字符编码的一种方式，它使用7位二进制数表示128个英文字符，包括字母、数字和常见的符号。

Unicode是一种编码系统，它为世界上各种文字字符规定了统一的编码，可以表示几乎所有的字符。

UTF-8是一种多字节编码方式，它是Unicode的一种实现方式，可以表示Unicode字符集中的任何字符。

数制转换是指将一个数值从一种数制表示转换成另一种数制表示的过程。

转换方法如下：1. 二进制转十进制：将每一位上的数乘以2的相应次幂，并求和。

2. 十进制转二进制：用除2取余法，将十进制数除以2，并将余数从低位到高位排列，直到商为0。

3. 八进制转十进制：将每一位上的数乘以8的相应次幂，并求和。

4. 十进制转八进制：用除8取余法，将十进制数除以8，并将余数从低位到高位排列，直到商为0。

5. 十六进制转十进制：将每一位上的数乘以16的相应次幂，并求和。

6. 十进制转十六进制：用除16取余法，将十进制数除以16，并将余数从低位到高位排列，直到商为0。

以上是一些常见的数制和编码的概念及转换方法，不同的数制和编码方式在不同的场景中有不同的应用。

第一章 数制与编码§1.1进位计数制∑==-≤≤=110,i m i i i i r r a r a N当10≤r 时，借用十进制数数表示，r ＞10时，10以后的数用字母表示 §1.2二进制的特点1．状态简单，容易实现， 2．算术运算简单 3．运算方便 4．节省设备1）设n 是数的位数，R 是基数 n =3，R=10，R u =103=1000R n ——表示的最大倍数量 nR= ——表示R u 个信息量所用的设备量nR=3×10=30R n ≥1000 R=2 2n ≥1000 n =10 R n =1024n R=10×2=202）唯一性证明R=2 N=R n L n N=nLnR 令C=LnN C=nLnR两边同乘R ，RC=nRLnR LnR RC nR = 0)(='L n RRC R=e=2.718§1.3数制的转换1.3.1任意进制转换成十进制按幂展开（10111.1）2=1×24+0×23+1×22+1×21+1×20+1×2-1=（23.5）10（AD.8）16=10×161+13×160+8×16-1=（173.5）101.3.2十进制转换成任意进制N10→N 2一、整数转换（19）10=除2取余（10011）2二、小数转换 乘2取整1.3.3 基数为2k 进位制数之间的转换§1.4机器数——带符号数的代码表示1.4.1原码 1 92 9 12 4 12 2 02 1 02 0 1一、原码的表示符号位表示数的符号，其余位表示数的本身，和真值相同，只是符号位负数用1表示，正数用0表示。

N 3=+0.1011 [N 3]原=0.1011N 4=-0.1011 [N 4]原=1.1011原码形成规则对于n 位的整数N （含一位符号位），[N]原=对于小数[N]原= N2=-1011 [N 2]原=25-1-（-1011）=10000+1011=11011二、原码的性质1．若N ≥0时，[N]原=N ，若N ≤0时，符号位为1，尾数不变。