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第一讲 函数、极限、连续一、极限（一）极限基本概念 1、极限的定义（1）数列极限：设}{n a 为一个数列，A 为常数，若对任意0>ε，总存在0)(>εN ，当)(εN n >时，有ε<-||A a n 成立，则称A 为数列}{n a 的极限，记A a n n =∞→lim 或)(∞→→n A a n 。
（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设)(x f 为一个函数，A 为一个常数，若对任意0>ε，存在0>X ，当X x >||时，有ε<-|)(|A x f 成立，称)(x f 当∞→x 时以A 为极限，记为A x f x =∞→)(lim 或)()(∞→→x A x f 。
（3）函数当自变量趋于有限值的极限：设)(x f 为一个函数，A 为一个常数，若对任意0>ε，存在0>δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 成立，称)(x f 当a x →时以A 为极限，记为A x f ax =→)(lim 或)()(a x A x f →→。
（4）左右极限：)(lim )0(0x f a f a x def +→=+，)(lim )0(0x f a f a x def-→=-，分别称)0(),0(-+a f a f 为函数)(x f 在a x =处的左右极限，)(lim x f ax →存在⇔)0(),0(-+a f a f 都存在且相等。
问题：（1）若对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε2||≤-A a n ，数列}{n a 是否以常数A 为极限？（2）若数列}{n a 有一个子列以常数A 为极限，数列}{n a 是否以常数A 为极限？ （3）若数列}{n a 的奇子列与偶子列都存在极限，数列}{n a 是否有极限？若其奇子列和偶子列极限存在且相等，数列}{n a 的极限是否存在？2、无穷小（1）无穷小的定义：以零为极限的函数称为无穷小。
微积分经管类第五版上册课程设计一、前言微积分是经管类学科中的重要部分，具有广泛的应用范围和深刻的理论基础。
为了让学生更好地掌握微积分知识，培养其分析和解决问题的能力，我们进行了微积分经管类第五版上册课程设计。
本课程设计旨在帮助学生通过理论学习、实战应用和课程探究，全面提升微积分知识的理解和应用能力。
二、课程目标本课程的主要目标如下：1.掌握微积分的基本概念和方法；2.熟悉微积分的实际应用场景；3.培养学生的分析和解决问题的能力；4.提高学生的数学素养和逻辑思维能力。
三、课程内容本课程的主要内容如下：1. 函数与极限•函数的概念及其性质；•函数的极限及其计算方法；•极限的性质和运算法则。
2. 导数与微分•导数及其定义；•导数的计算方法和性质；•高阶导数和隐函数求导；•微分及其应用。
3. 积分•积分的概念及其性质；•积分的计算方法和应用；•不定积分和定积分；•积分中值定理。
4. 微积分应用•区分变量法；•极值和最值问题；•函数图像的描绘；•微积分在经济管理中的应用。
四、课程设计本课程设计分为理论学习和实践应用两个部分。
1. 理论学习理论学习主要涵盖课堂讲解、名师答疑和课后辅导等形式。
学生在课堂上通过专业教师的讲解，深入了解微积分的理论知识。
学生可向名师请教关于微积分学习方面的问题，并通过课后辅导巩固和练习所学知识。
2. 实践应用实践应用主要涵盖课程探究、实验操作和案例分析等形式。
学生在实践应用中将理论知识应用到实际问题中，加深对微积分知识的理解和应用能力。
五、课程评价本课程通过理论学习和实践应用相结合的方式，旨在提高学生对微积分知识的理解和应用能力。
评价方式主要包括作业考核、实验操作、课堂表现和课程论文等，以全面地评价和反馈学生的学习质量和水平。
六、结语通过本课程设计，我们希望能够全面提升学生的微积分知识和实践能力，为其未来的职业发展打下坚实的数学基础。
同时，我们也希望学生在学习过程中能够乐于思考、勇于探究，积极应用所学知识解决实际问题，不断提高自己的综合素质和竞争力。
大学数学—微积分第二版上册课程设计一、课程介绍大学数学—微积分第二版上册是一本介绍微积分的教材，涵盖了微积分的各个方面。
本课程设计旨在帮助学生深入理解微积分的基本概念和原理，掌握微积分的基本计算方法，以及运用微积分解决各种实际问题的能力。
二、教学目标1.掌握微积分中的基本概念，包括极限、微分、积分等；2.理解微积分的基本原理，包括导数定义、微分中值定理、积分中值定理等；3.掌握微积分中的基本计算方法，如求导、积分、极值问题等；4.学会将微积分知识应用于实际问题的解决。
三、教学内容第一章极限1.定义与性质2.极限的四则运算法则3.夹逼定理4.极限存在准则第二章导数1.导数定义2.导数的四则运算法则3.高阶导数4.微分中值定理5.隐函数及其导数第三章应用导数1.极值问题2.函数图像的绘制3.平均值定理4.最值定理5.驻点及分类第四章积分1.不定积分2.定积分3.积分的四则运算法则4.牛顿-莱布尼茨公式5.积分中值定理四、教学方法1.讲授：通过教师的讲解，深入浅出地介绍微积分的各个概念和原理。
2.案例分析：以典型问题为例，演示如何运用微积分方法解决实际问题。
3.练习：通过练习题帮助学生巩固理论知识，提高计算能力，培养解决问题的能力。
4.课堂互动：通过提问、讨论等方式，鼓励学生积极参与课堂，提高学生的学习兴趣。
五、教学评价1.日常考勤：根据学生的出勤情况，统计学生的出勤率。
2.课堂表现：评估学生的课堂表现，包括问题回答、讲解等。
3.课后作业：定期布置作业，评估学生对微积分知识的掌握情况。
4.考试评估：定期进行考试，评估学生的学习成果。
六、课程参考资料1.微积分第二版上册，同济大学出版社2.微积分教程，数学文化出版社3.微积分应用问题集，高等教育出版社以上就是大学数学—微积分第二版上册课程设计的全部内容。
本课程设计将微积分的概念、原理、计算方法和应用方面进行综合讲解，旨在帮助学生深入了解微积分，掌握微积分的计算和应用，提高其解决实际问题的能力。
课时安排：2课时教学目标：1. 让学生掌握微分的概念，理解微分的几何意义。
2. 掌握微分的基本计算方法，能够熟练计算简单函数的微分。
3. 了解微分在解决实际问题中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学重点：1. 微分的概念及几何意义。
2. 微分的基本计算方法。
教学难点：1. 理解微分的几何意义。
2. 掌握微分的基本计算方法。
教学过程：第一课时一、导入新课1. 复习极限的概念，引导学生思考微分与极限的关系。
2. 提出问题：如何描述函数在某一点附近的局部线性近似？二、讲授新课1. 微分的定义- 引入函数在某一点的增量、差商等概念。
- 通过实例，引导学生理解微分的概念。
- 讲解微分的几何意义：切线斜率。
2. 微分的计算- 利用导数的定义，推导出函数的微分公式。
- 讲解微分的基本计算方法：直接微分法、复合函数微分法、链式法则等。
三、课堂练习1. 计算以下函数的微分：- \( f(x) = x^2 \)- \( f(x) = \sin(x) \)- \( f(x) = e^x \)四、小结1. 总结本节课所学内容，强调微分的概念、几何意义和计算方法。
2. 引导学生思考微分在实际问题中的应用。
第二课时一、复习导入1. 复习上节课所学内容，检查学生对微分的理解程度。
2. 引导学生思考微分在实际问题中的应用。
二、讲授新课1. 微分在求解实际问题中的应用- 举例说明微分在物理、工程、经济等领域的应用。
- 讲解微分在求解极值、最值等问题中的应用。
2. 微分在近似计算中的应用- 介绍微分在近似计算中的基本方法。
- 讲解微分在求解函数值近似、定积分近似计算中的应用。
三、课堂练习1. 计算以下函数在给定点的微分值：- \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 2 \) 处的微分值。
- \( f(x) = \sin(x) \) 在 \( x = \frac{\pi}{2} \) 处的微分值。
四、小结1. 总结本节课所学内容，强调微分在实际问题中的应用。
微积分经管类第四版上册课程设计课程简介本课程是微积分经管类第四版上册，旨在为经济学、管理学等管理相关专业的学生提供微积分的初步掌握。
本课程是必修课程，需要预先掌握初等数学的基本知识。
本课程包括微积分基本原理、微分学、积分学，以及微积分在经管领域的应用。
本课程将通过理论与实践相结合的方式，帮助学生掌握应用微积分解决实际问题的能力。
教学目标1.理解微积分的基本概念、原理和技巧；2.掌握微积分的基本运算法则，能够对各种函数进行微积分；3.具备利用微积分解决经济管理实际问题的能力。
教学内容1.微积分基本概念和原理–基本定义–极限与连续性–微分学基本概念–积分学基本概念2.微分学–函数观察–导数的定义–导数规则–函数最值–函数微分法3.积分学–不定积分–定积分–定积分的应用4.经济与管理中的微积分应用–常微分方程–非线性方程组–条件极值和最优化问题–二次型及其应用教学方法1.课堂讲授：老师通过讲义、黑板、PPT等方式向学生介绍微积分相关知识点，进行理论讲解；2.练习探究：老师通过题目和实例让学生参与课堂练习，掌握相关技巧，理解知识点；3.课后作业：布置强化学生对知识点的掌握和应用能力。
考核方式1.平时成绩：课堂参与度、作业情况等（占总成绩的20%）；2.期中考试：闭卷，以选择题、填空题、计算题形式出题（占总成绩的30%）；3.期末考试：闭卷，以选择题、填空题、计算题、应用题形式出题（占总成绩的50%）。
参考教材1.微积分经管类第四版上册，作者：宋诗玲，出版社：中国人民大学出版社，出版日期：2016年7月；2.微积分（上）（原书第7版），作者：詹宏志，出版社：高等教育出版社，出版日期：2011年1月。
教学资源1.线上课件：在学校教务系统或其他在线学习平台中上传课件，供学生阅览；2.教学视频：为了帮助学生更好地掌握知识点，可以录制一些教学视频，上传至在线平台上供学生观看；3.解题讲解：为了更好理解及掌握应用题，可对本科目考试经典题目，录制解题视频，供学生观看。
微积分全套教案标题：微积分全套教案教案目标：1. 帮助学生理解微积分的基本概念和原理。
2. 培养学生运用微积分解决实际问题的能力。
3. 培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
教案内容：1. 单元一：导数与微分a. 概念引入：引导学生了解导数的概念和意义，以及微分的基本概念。
b. 导数的计算方法：介绍导数的计算方法，包括基本函数的导数、求导法则等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生理解导数在实际中的应用，如速度、加速度等概念。
2. 单元二：微分方程a. 概念引入：介绍微分方程的基本概念和分类。
b. 常微分方程的解法：讲解一阶和二阶常微分方程的解法，包括分离变量法、变量代换法等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生学会将实际问题转化为微分方程，并解决问题。
3. 单元三：积分与定积分a. 概念引入：引导学生了解积分的概念和意义，以及定积分的基本概念。
b. 积分的计算方法：介绍积分的计算方法，包括不定积分、定积分的计算法则等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生理解积分在实际中的应用，如面积、曲线长度等概念。
4. 单元四：微积分应用a. 最值与最优化问题：教授最值与最优化问题的求解方法，包括极值点判别法、拉格朗日乘数法等。
b. 曲线的图像与分析：引导学生学会通过微积分方法分析曲线的图像特征，如拐点、渐近线等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生将微积分应用于实际问题的求解，如经济学、物理学等领域。
教学方法与策略：1. 提倡启发式教学：通过引导学生思考和发现，培养他们的自主学习和解决问题的能力。
2. 实践性教学：注重将微积分的概念与实际问题相结合，让学生能够将所学知识应用于实际情境中。
3. 多元化评价：采用多种评价方式，如课堂小测、作业、项目等，全面评估学生的学习情况和能力发展。
教案评估：1. 学生的学习成绩：通过考试、测验等方式评估学生对微积分知识的掌握情况。
2. 学生的解决问题能力：观察学生在应用实例中的表现，评估他们解决实际问题的能力。
1.6微积分基本定理一：教学目标知识与技能目标通过实例,直观了解微积分基本定理的内容,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义情感态度与价值观通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力;二：教学重难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分;难点：了解微积分基本定理的含义三：教学过程：1、知识链接：定积分的概念：用定义计算的步骤：2、合作探究：⑴导数与积分的关系;我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法;有没有计算定积分的更直接方法,也是比较一般的方法呢下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例：设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为St,速度为vt ()v t o ≥, 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰; 另一方面,这段路程还可以通过位置函数St 在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T - 而()()S t v t '=;说出你的发现⑵ 微积分基本定理对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数即满足()()F x f x '=的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法;设()()F x f x '=则在[,]a b 上,⊿y=()()F b F a -将[,]a b 分成n 等份,在第i 个区间x i-1,x i 上,记⊿yi=F x i -F x i-1,则⊿y=∑⊿y i 如下图,因为⊿h i =f x i-1 ⊿x 而⊿y i ≈⊿h i 所以⊿y ≈∑⊿h i =∑f x i-1 ⊿x 故⊿y=lim ∑⊿h i =∑f x i-1 ⊿x=⎰b a dx x f )(即⎰b a dx x f )(=()()F b F a - 所以有微积分基本定理： 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则此处并不要求学生理解证明的过程为了方便起见,还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -,即该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式;它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁; 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础;因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果;⑶应用举例例1．计算下列定积分： 1211dx x ⎰； 23211(2)x dx x-⎰; 解：1因为'1(ln )x x=, 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x==-=⎰; 2因为2''211()2,()x x x x==-, 所以3332211111(2)2x dx xdx dx xx -=-⎰⎰⎰ 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=; 练习：计算120x dx ⎰ 解：由于313x 是2x 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有120x dx ⎰=3101|3x =33111033⋅-⋅=13例2．计算下列定积分： 2200sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰; 由计算结果你能发现什么结论 试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论;解：因为'(cos )sin x x -=,所以00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰,22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-⎰, 2200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰. 可以发现,定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是0:l 当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时图1.6一3 ,定积分的值取正值,且等于曲边梯形的面积；图1 . 6 一 3 22当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时图 1 . 6 一 4 ,定积分的值取负值,且等于曲边梯形的面积的相反数；3当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为0图 1 . 6 一 5 ,且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．例3．汽车以每小时32公里速度行驶,到某处需要减速停车;设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间;当t=0时,汽车速度0v =32公里/小时=3210003600⨯米/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车停住时,速度(t)=0v ,故从(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88t= 4.931.8≈秒 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是4.934.9300(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-⎰⎰= 4.93201(8.88 1.8t )21.902-⨯≈米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理,它使微积分学蓬勃发展起来,成为一门影响深远的学科,可以毫不夸张地说,微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．⑷课堂练习课本p55练习⑴----⑻四：课堂小结：本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立,进而推广到了一般的函数,得出了微积分基本定理,得到了一种求定积分的简便方法,运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数,这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练,希望,不明白的同学,回头来多复习五：教学后记：从教以来,一直困惑于一个问题：课堂上如何突出重点并突破难点;当然,理论方面自己早已烂熟于心,关键是缺乏实践方面的体验及感悟;在今天的课堂上,本来一个相当简单的问题,可在课堂上却花费了大量时间,更严重的是学生却听得更为糊涂;一个主要原因在于,对相关知识结构理解不到位,眉毛胡子一把抓,而难点又无法解决;。
《微积分教案》word版教案章节：一、微积分简介1.1 微积分的起源和发展1.2 微积分的基本概念1.3 微积分在实际应用中的重要性二、极限与连续2.1 极限的定义与性质2.2 极限的基本法则2.3 无穷小和无穷大2.4 函数的连续性三、导数与微分3.1 导数的定义与性质3.2 基本导数公式3.3 高阶导数3.4 微分四、微分中值定理与导数的应用4.1 罗尔定理4.2 拉格朗日中值定理4.3 柯西中值定理4.4 导数在实际问题中的应用五、不定积分与定积分5.1 不定积分的概念与性质5.2 基本积分公式5.3 换元积分法5.4 分部积分法5.5 定积分的定义与性质5.6 定积分的计算5.7 定积分的应用六、定积分的应用6.1 面积和体积的计算6.2 质心、转动惯量和其他几何属性6.3 物理应用：功和能量6.4 经济学应用：最优化问题七、微分方程7.1 微分方程的定义与分类7.2 线性微分方程的基本概念7.3 一阶线性微分方程的解法7.4 高阶线性微分方程的解法7.5 常系数线性微分方程的解法八、常微分方程的应用8.1 人口增长模型8.2 药物动力学模型8.3 机械系统动力学模型8.4 电磁场方程九、多元函数微分法9.1 多元函数的导数与微分9.2 偏导数与全微分9.3 多元函数的极值问题9.4 泰勒公式与多元函数的逼近十、重积分10.1 二重积分的定义与性质10.2 二重积分的计算10.3 三重积分的定义与性质10.4 三重积分的计算10.5 重积分的应用十一、曲线积分与曲面积分11.1 曲线积分的定义与性质11.2 曲线积分的计算11.3 曲面积分的定义与性质11.4 曲面积分的计算11.5 曲线积分和曲面积分的应用十二、向量分析12.1 空间解析几何基础12.2 向量微分运算12.3 向量场的积分12.4 散度与旋度12.5 向量分析的应用十三、微积分与线性代数的联系13.1 微积分在线性代数中的应用13.2 线性代数在微积分中的应用13.3 微分方程与线性代数的关系13.4 矩阵微积分13.5 微积分与线性代数的综合应用十四、微积分在经济管理中的应用14.1 微积分在优化问题中的应用14.2 微积分在概率论与数理统计中的应用14.3 微积分在金融数学中的应用14.4 微积分在运营Research 中的应用14.5 微积分在其他经济管理领域中的应用十五、微积分在现代科技中的应用15.1 微积分在物理学中的应用15.2 微积分在工程学中的应用15.3 微积分在生物学与医学中的应用15.4 微积分在计算机科学中的应用15.5 微积分在其他现代科技领域中的应用重点和难点解析一、微积分简介：重点是微积分的起源和发展，难点是对微积分基本概念的理解。
