2016年第57届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试思路分析

何天成：从高联到IMO金牌，超详细数学竞赛学习方法（一）本文作者何天成，第58届国际数学奥林匹克（IMO）金牌获得者，华南师大附中2017届毕业生，大学数学科学学院2017级新生。

本文首发于数学新星网。

作者非常详细地阐述了从高联一试/二试，到参加CMO，国家集训队，走向IMO，各级竞赛的心路历程和学习方法，对于参加竞赛的同学具有非常大的指导意义，因为篇幅较长，故分为三篇分享给大家。

请看过的同学温故知新，没看过的同学一定要认真做好笔记，满满的干货~正文如下：2017年7月，我有幸作为中国国家队的一员参加了第 58 届国际中学生数学奥林匹克竞赛（ IMO ) ，并获得了一枚金牌。

回顾六年竞赛之路，我从开始的一个懵懂无知的新人，一路上经历了不少挫折，走了不少弯路，在跌跌撞撞中算是摸索出了自己的一套学习竞赛的方法，最后的结局也是幸运的。

而正是这份幸运，让我觉得有责任把自己学习数学竞赛的经验与心得分享出来，希望后来者能吸取我的经验和教训，找到自己的不足，并更好地看清未来。

引言对于一场考试，我喜欢用以下 3 个参数来衡量最终的分数：最终分数=实力分 x 运气分 x 状态分。

其中实力，运气，状态均为非负实数。

这里，“实力”顾名思义，尽管不好量化，但是一般来说实力相差很大还是能看出来的。

“运气”主要代表“题目是否对路”，比如一个擅长几何的选手参加一场几何送分的考试，当然运气分较低；而参加一场几何难度他刚刚好能做出来的考试，运气分就比较高了。

当然，运气分是取决于考试本身的，可以认为主观上不能改变它，但是在集训队这样的多次考试中，平均下来，运气会比较稳定；并且，我们可以用比如“补短板”或者“狂刷一科”等方法改变运气分的波动大小。

另一方面的运气来自于改卷，即能不能得到预想中的分数，这一点理论上来说也是不能自己操纵的，但是可以通过加强书写等方法提升。

“状态”源于自身，常见的影响状态的因素有，比如考前一晚睡不着，考试很冻手、冻僵了，旁边的同学一直发出噪音等等。

浅谈奥林匹克数学的解题策略浙江温州22中学 高洪武 325003策略，按字面上的意义是战略、计谋，是指一种总体的行动方针，而非具体的方法。

现代认知心理学的研究表明，如果主体所接触到的不是标准的模式化的问题，那么就需要进行创造性的思维，需要有一种解题“策略”，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。

在实际情况下，奥林匹克数学问题大多没有固定的模式可循，它要学生去“解一些要求独立思考，思路合理，见解独特和有创造性的问题”。

因而，其思维过程是复杂的，对其解题策略的研究也是一项极其困难的任务。

本文拟结合竞赛问题，对若干主要的解题策略及其方法进行概括性的分析。

一、 构造法构造性解题方法是一古老而又崭新的科学方法，常简称为构造法。

构造法的实质是根据某些数学问题的条件或结论所具有的特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式，从而使问题转化并得到解决的方法。

在思维方式上，构造法常常表现出简捷、明快、精巧等特点，常使数学解题突破常规，另辟蹊径。

利用构造法构造出来的数学对象，所涉及的面广，如数、式、方程、不等式、函数、命题、“抽屉”、程序等等。

例1：已知x>0,y>0,且x + y =c,求z =2222b y a x +++的最小值，（a ,b ,c 为常数）分析：如图所示分别将22a x +，22b y +看作是Rt △ABD 与Rt △BCE 的斜边，点B 是线段AC 上的动点，AB = x ，BC = y,AD = a, CE = b, AC = c,作点D 关于直线AC 的对称点D '，连接D 'E 交AC 于点B ，则Z min =E D '=例2有多少组不同的正整数解？分析：可以构造这样的一个对应关系：将相同的球排成一行，则它们之间有2001现将1000块板插入这2001个间隔中，（每个间隔 只能插入一块板）则显然每一组插法与原方程的每一组解产生了一一对应关系，而此时板的插法比较容易求，即2001个间隔中任选1000个间隔分别插入一块板，显然共有(10002001种不同的插法，所以原方程共有(10002001组不同的正整数解。

imo中的问题定理与方法IMO（国际数学奥林匹克竞赛）是世界上最具影响力的数学竞赛之一，旨在培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

其中的问题定理与方法涉及数论、几何、代数等多个数学领域，下面将介绍一些与之相关的参考内容。

数论问题是IMO中经常出现的类型之一。

对于数论问题，学生需要掌握一些基本的定理和方法。

其中，费马小定理是一个重要的数论定理，它指出如果p是一个素数，a是一个整数，那么a的p次方与a模p同余。

孙子定理是另一个常用的定理，它用于求解一类同余方程。

此外，欧几里得算法、中国剩余定理、RSA加密算法等也是解决数论问题时常用的方法和技巧。

在几何问题中，学生需要了解一些基本的几何定理和公式。

例如，勾股定理是解决直角三角形问题的基本工具。

海伦公式和三角形面积公式可以用来求解各种三角形的面积。

对于平面几何问题，学生需要掌握直线与圆的问题解决方法，如相交、切线、切点等问题。

代数问题在IMO中也是常见的。

学生需要掌握代数方程的解法，如一元二次方程的求解方法、韦达定理和柯西不等式等。

此外，排列组合与概率也是常见的代数问题类型。

学生需要了解排列组合的基本原理，如乘法原理、加法原理和排列组合计数等。

解决IMO问题的方法通常包括分析问题、归纳法、反证法等。

学生需要学会分析问题的关键点，提取问题的核心信息，并通过归纳法来总结经验和规律。

反证法在解决一些假设性问题时常用，通过推理和推导来证明问题的正确性。

在解题过程中，学生还需要培养一些技巧和策略。

例如，合理利用图形信息，将复杂的问题转化为简单的几何图形或代数方程。

学会运用特殊值法或特殊构造法，通过假设一些特殊情况来辅助解题。

除了理论知识，对于参加IMO的学生来说，实践和经验也是非常重要的。

解决数学问题是一个长期的过程，需要不断的练习和思考。

参加国内的数学竞赛，如全国中学生数学奥林匹克竞赛、亚洲太平洋地区数学奥林匹克竞赛等，可以提高解题的技巧和水平。

总之，IMO中的问题定理与方法涉及到多个数学领域，如数论、几何、代数等。

探索中学数学奥林匹克竞赛的五大技巧数学奥林匹克竞赛是一项全球性的数学竞赛，旨在培养中学生的数学思维、创造力和解决问题的能力。

参加数学奥林匹克竞赛可以为学生提供一个发展潜力和展示才华的平台。

然而，这项竞赛对学生的数学能力提出了更高的要求。

在探索中学数学奥林匹克竞赛的过程中，以下是五大技巧，将帮助学生更好地应对挑战，提高比赛成绩。

一、深入理解数学基础要在数学奥林匹克竞赛中取得优异成绩，深入理解数学基础是必不可少的。

学生们应掌握扎实的数学知识，包括数论、代数、几何和组合数学等。

了解各个领域的基本概念和定理，并且能够熟练运用它们解决问题。

通过不断练习和思考，建立起与数学理论之间的联系，进而形成自己的解题思路。

二、灵活运用数学方法数学奥林匹克竞赛注重解题方法和思路的创新。

学生们应该学会灵活运用各种数学方法，不拘泥于传统的解题思路。

常见的数学方法包括数学归纳法、反证法、构造法和递推法等。

灵活运用这些方法，能够帮助学生从不同角度思考问题，发现一些与众不同的解决方法，从而增加在竞赛中取得好成绩的机会。

三、培养问题解决能力数学奥林匹克竞赛强调的不仅仅是数学知识的运用，更注重学生的问题解决能力。

学生们应该经常面对陌生的数学问题，并且要有勇气去尝试解决。

解题过程中，要学会分析问题、拆分问题、归纳问题的关键点，找到规律并逐步推导出结论。

通过不断锻炼问题解决能力，学生们能够在竞赛中从容应对各类难题，并迅速找到解决办法。

四、合理规划备考时间为了在数学奥林匹克竞赛中取得好成绩，学生们需要合理规划备考时间。

要有系统性地学习和练习，并将时间合理分配到各个知识点上。

定期进行模拟考试，查漏补缺，发现和弥补自己在某个领域的薄弱环节。

在备考期间，要关注数学奥林匹克竞赛的历年试题，熟悉题型和考点，增加对竞赛的了解和熟悉度。

五、参加团队合作训练参加团队合作训练是提高数学奥林匹克竞赛成绩的有效途径之一。

通过与队友共同探讨解题思路、分享解题方法和经验，能够不断开拓思路，提高解题效率。

数学竞赛学习方法漫谈何天成今年七月，我有幸作为中国国家队的一员参加了第58届国际中学生数学奥林匹克竞赛(IMO),并获得了一枚金牌.回顾六年竞赛之路，我从开始的一个懵懂无知的新人，- ~路上经历了不少挫折,走了不少弯路，在跌跌撞撞中算是摸索出了自己的一套学习竞赛的方法，最后的结局也是幸运的.而正是这份幸运,让我觉得有责任把自己学习数学竞赛的经验与心得分享出来，希望后来者能吸取我的经验和教训，找到自己的不足，并更好地看清未来.I. 引言对于一场考试，我喜欢用以下3个参数来衡量最终的分数:最终分数=实力分x运气分x状态分.其中实力,运气，状态均为非负实数.这里，实力顾名思义.尽管不好量化，但是一~般来说实力相差很大还是能看出来的.运气主要代表“题目是否对路”，比如一个擅长几何的选手参加一场几何送分的考试，当然运气分较低;而参加一场几何难度他刚刚好能做出来的考试，运气分就比较高了.当然，运气分是取决于考试本身的，可以认为主观上不能改变它，但是在集训队这样的多次考试中,平均下来，运气会比较稳定;并且,我们可以用比如“补短板”或者“狂刷一科”等方法改变运气分的波动大小.另一方面的运气来自于改卷，即能不能得到预想中的分数.这一点理论上来说也是不能自己操纵的,但是可以通过加强书写等方法提升.状态源于自身.常见的影响状态的因素有比如考前一晚睡不着，考试很冷手冻僵了，旁边的同学一直发出噪音等等.当然，也可能会有状态莫名超好的情兄，但是我们不能控制自己超常发挥，只能期望尽量发挥正常.总结下来,我们当然要“提升实力”,但同时也要注意一些很容易被忽略的地方提升运气和状态.这看似很难处理，但实际上还是有迹可循的.运气方面，一是之前说的“补短板”与“狂刷一科”，补短板是实力进阶的必经之路.我一直认为，一名真正优秀的的选手并不一定要做出很多人都做不出的超难题，但是一-定要做出有足够多人能做出的题.这就需要了解不同的方法，覆盖更多知识面，做真题.“狂刷一~科”是实力不够的情况下的赌博- .比如就想联赛做出俩题混一-等奖，然后狂刷代数与几何之类的.我对这种方法不予评价，但反正我自己的经历是，凡是赌博的情况都必输，实力不到说啥都没用，不如按部就班的来.读者可以自己考虑实力不够的时候的做法.第二点大概就是关于过程的书写.事实上，很多人对自己的过程非常有自信.如果你批改过其他人的过程，总会觉得“这啥意思啊?搞了半天都不知道想千啥”或者“这里一句话带过根本就不显然嘛”.一般来说，过程写不好有两种:如果你讲都讲不清楚，那么可能是语文学的不好,请回炉再造;如果跟别人讲思路的时候别人可以理解,但是过程写不好的话，可能是没有掌握好写过程的技巧.写过程的主要目的有两个:一是要准确，不能让老师误解你的意思;二是要通俗易懂,节省老师的时间，让老师能够比较容易get到你的过程的脉络.所以针对第一点，要学会过程的“数学化”表达:比如很多组合问题，直接表达就像写小说，如果可以换成集合或者图论的语言,又或者把它代数化表示，就简单很多了;另外，过程里的因果关系要清晰，至少要表达出“由什么推出什么”.这就需要多使用连词:因为(由于、注意到) 所以、若则所以从而、我们断言(证明) 事实上，以及右箭头“>”.就算连词使用不多样，至少要达到的要求是:老师知道你的每一个结论是由那些结论推出的.而第二点其实容易被忽视.我经常看到有些过程一路往下推，密密麻麻一大堆，又不知道他想干什么;语言又完全用的是集合的方法,全都是定义和运算，让人摸不着头脑.这时候，一旦出现一一些笔误，很有可能老师就“如释重负”地圈起来给0分了.这就像写一篇议论文,要是你一直举例子不立论,当然不会给高分.这就需要把证明的脉络清晰地刻画出来，常见的连词有:证明分为如下几步、下面证明一个引理(结论)、我们断言(证明)以下结论、我们只需证明如下结论即可证明此题.这样的好处是，如果你断言的关键步骤恰好是答案中的步骤，或者老师知道是对的，那么老师就大致知道你做出来，只需验证一下细节即可;就算你的证明出现了一些漏洞，老师也能知道你做出了什么，会更容易得到步骤分.当然，还有一个大大增加可读性的方法:画图.特别是组合题，很多组合题用代数语言表达很繁琐，不易找到重点，也容易出现笔误，那如何让老师知道你想做什么呢?那就是画图.如果要把一个图按照某种策略三染色，就画一个示意图，然后用ABC标顶点，看上去就清楚多了嘛;就算几何题是用复数算的,画个图,让老师不用自己找图，也不是什么难事吧?最后我谈谈骗分.时间快到了的时候还是做不出题目，想争取一些过程分的情况是常见的.但是我非常非常反对大家东扯西扯,然后说证毕-做不出来就做不出嘛，要承认自己就是在混分,至于能给几分就看你做了什么结论了;但总有一些人不会做就瞎搞一通然后证毕，这样的人多了，就加大了老师判卷子的难度,就会连累一些“好人”.反正我觉得,要是明知道是错的还写证毕，绝对是败人品的行为.状态方面，我觉得有两点:一是平时加强模拟考试模拟考试绝对不仅仅指的是做--套题那么简单!我觉得模拟考试要起到效果，必须完完全全地模拟真实的情况特别是4.5小时的考试，很多人只是开始两个小时上三板斧，然后消极怠工，这其实一点效果都没有.真实考试有4.5小时呢，要是平时这么模拟，真实考试的最后2个小时难道你就能继续保持极高的做题状态吗?二是，平时做题最好“认真对待”，两天的考试可以带着一些心理负担，这样真正考CMO这样的考试万一面对第- -天考试失利，就不会心理太崩盘.II. 各级竞赛联赛全国高中数学联赛是高中竞赛的第-步,但其实也是不确定性最大的一步.不同的省份有不同的联赛的备考攻略.如果你来自- -些超级联赛强省，比如上海、浙江等，那么你的一试水平一定要过硬，因为正常的年份很可能会出现很多人二试并列拼一试的情况;但如果是中等的省份,就拿广东举例吧，在大部分年份二试3题一试90分可以进省队,并且二试2题的话几乎进不了省队，所以其实只需要做“适当”的一试练习,然后把重点放在二试上注意，这里的“:c题”指的是最终得分.不同的省改卷严格程度不一,但是一般来说，被判错是少数,并且很有可能是自己的问题(有些人经常写伪证自己看不出来，或者写过程水平太差确实没法看，却自我感觉良好).所以在备考的过程中要训练自己的书写，要尽量写的严谨、工整,避免被判错;但至于最终结果要是还是被判错了，也没办法啊，尽力而为,问心无愧.由于联赛的考场很多，并且各地规则不一，请尽量熟悉自己将去到的考场与考试细则，并在考前做好充足的准备，避免出现考试之外的问题.笔者在参加联赛的过程中曾经遇到过以下问题(都是血的教训啊):考场偏僻，当天起的很早赶赴考场，很疲倦;考场空调直吹，极冷;教室很大，老师发卷不及时，导致开考5分钟才拿到卷子;考试要求换草稿纸(收一张给- -张);洗手间较少,要等很久等等.总之，在考试之前，一定要做好充分的准备.联赛毕竟没几次，要按照高考的规格对待，提前踩点，准备充足的衣物、食物,避免因为考前准备不充足痛失好局.联赛与之后的比赛的最大的两点区别就是:时间短，对书写要求高.所以联赛的模拟更注重踏踏实实地掐表做，并认真写过程，最好让别人批改或者自己对着答案很仔细地检查笔误和写的不好的地方.部分因为时间原因没有做出的题目可以考试结束后再想，在考试的时候一定要保证“分数最大化”，该跳过的题就跳过.这样在真正的联赛中才不容易手忙脚乱.联赛有一个不太好的地方:答题的区域非常小.尤其是二试第一-题，要是想到了一个很复杂的方法，有可能要挖掉一大半第二题的空间才能写下.因此在模拟的过程中也要注意这一点，千万千万不能写错!在考场上若是发现写了一大半的过程都是错的，修正思路很长，真是欲哭无.....不差这几分钟.要想好了再写，多花点时间写，表达尽量清楚.因为联赛时间紧，还有一个问题就是如何快速写出合要求的过程.这也是需要平时训练的一很可能最后留给一-试最后一题的时间只有5分钟了,如果你快速读完题目后直接开始写，抓得分点，说不定最后能有10分.总之，模拟考试的最高境界就是“平时如考试，考试如平时”.平时训练的过程中一.定要计时作答，做不出来的题也要写上已得到的结论,完全模拟考试的状态.同时，在一试二试都模拟完成之后，可以再回头做做因为时间不够没有完成的题目，从各方面思考“如何做到更好’ 总结新出现的题型与错误的原因，总结考试的时可能出现的错误的时间分配.1.一试先说一~试.我的一~试水平历来都不算好，但是也不算差，大概就是所谓的“90分”标准- 我个人认为90分应该是适当训练可以达到的，而且在训练得当的情况下，基本可以保证拿到这个分数.当然，我的训练其实不多, (因为前面说的弱省原因),但是也不算少.首先，如果你刚学高中竞赛，对一试的知识点掌握的还不透彻，那么大概还是需要把套路过一遍的这个过程有点像准备高考,但是要求更高.如果有教练当然极好，让教练帮着补补就好了;如果自学的话，大概需要做一些题.一试我能想到的问题大概是下面的这些东西.解析几何，其实来来回回方法就那么几种:设直线方程配合韦达定理，设点，设参数方程;还有稍高级的方法，比如几何法，曲线系，极坐标，极线方程，仿射变换，等等.当然，解析几何看着容易，做起来却没那么简单，需要很好地计算能力,也需要灵活变通，这就需要大量的练习了.做解析几何题的时候要注意:真正比赛的解析几何题目的答案一定不会太过于复杂.如果你在做题过程中发现比如求出的函数是无比困难的，很难求出最小值，那么可以考虑要么进行一些代换，因为这个表达式里面理论上来说肯定可以提取-一些局部，切勿暴力求导;也可以试图先猜出特殊点，看看能不能直接证明大小关系.如果求出的动点坐标所要满足的参数方程很复杂，无从下手，你可以尝试在原来的图形里猜出动点满足的条件大致是什么一无非就是直线或者二次曲线之类的嘛，那么比如把x,y坐标平方乘系数加加减减说不定就全部消掉了.当然，做解析多了之后,要总结经验，在花了一定时间做不下去，一定要赶紧止损，换个方法，说不定不费很大力气就做出来了.最后，要记住，验证平行坐标轴的情况.数列技术含量稍高，不过绝大多数数列问题都是可以用局部不等式或者裂项做出来的.少数有高级技巧，比如积分估计,三角函数换元之类的.个人觉得数列其实难度很难估测，有的题目确实有难度.当然，就联赛的真题来看，数列题目并没有很多模拟题那么难，需要注意的是一-定不能着急的瞎放缩，要多变形一绝大部分的数列都是用代数变形后裂项做出的.大题里面可能还有一道求导的题目或者其他题目.这一类题目个人觉得没啥技巧,简而言之,练.代数的硬功夫是很重要的,这在之后做更难的代数题中会有用.立体几何.立体几何对于自学的同学来说往往会比较头疼因为答案的做辅助线方法有时候真的很匪夷所思.那就不这么麻烦吧!立体几何有一个万金油方法算!由于近年都出的是填空题，所以其实很多细节都可以不用处理(这是权宜之计，我推荐大家多学其他方法，保不准就出大题了...但如果想短。

中国数学奥林匹克竞赛(cmo)试题中国数学奥林匹克竞赛（简称CMO）是一个面向中学生的数学竞赛，旨在选拔和培养中国数学领域的优秀人才。

CMO试题往往难度较高，涉及多个数学领域的知识和技巧，要求选手在有限的时间内解决一系列复杂的问题。

CMO试题通常包括几个部分，涵盖了代数、几何、概率论等数学领域。

这些试题往往需要选手拥有较为全面而深入的数学知识，以及灵活运用这些知识的能力。

因此，参加CMO需要选手具备扎实的数学基础，强大的推理能力和问题解决能力。

CMO试题的难度较高，它们不仅要求选手深入理解数学概念和原理，还要求选手具备独立思考和分析解决问题的能力。

选手在解答CMO试题时，需要有清晰的思路和条理，灵活运用数学方法，寻找解题的关键。

与其他数学竞赛不同的是，CMO更加注重选手的创新思维和问题解决能力的培养。

CMO试题的特点是多样化，既包括经典的数学问题，也包括拓展性较强的探索性问题。

这些问题往往需要选手运用某种推理或连接的技巧，以及一定的发散和创新的思维方式。

因此，CMO试题在引导学生提高数学思维方式和解决问题的能力方面有着积极的作用。

CMO试题的撰写和审定非常严格，由一批经验丰富的知名数学教师和专家进行。

他们依据数学学科的发展前沿，选择一些有挑战性的问题，试图激发和培养选手对数学的兴趣和热爱。

通过参加CMO竞赛，选手不仅可以检验自己的数学能力，还可以更加深入地了解数学学科的发展和应用。

CMO是中国数学竞赛中的重要组成部分，对于促进青少年数学素养的提高具有重要意义。

CMO试题的难度和深度，要求选手具备较高的数学能力和解题能力。

通过参加CMO竞赛，学生可以提升自己的数学水平，培养自己的创新思维和探索精神，为将来的数学研究和学习打下扎实的基础。

CMO竞赛已经举办了多年，并取得了显著的成绩。

许多CMO的参赛者在竞赛结束后，获得了各类国内外数学竞赛的荣誉和奖项。

他们也成为了中国数学领域的佼佼者，有些人甚至走上了数学研究的道路。

数学奥林匹克之路小学数学竞赛备考攻略数学奥林匹克竞赛是一项旨在提高学生数学思维能力和解决问题能力的国际性竞赛。

在小学阶段积极备考并参加数学奥林匹克竞赛，不仅可以为未来的学习打下坚实的数学基础，还能培养学生的创造力和竞争意识。

本文将为大家介绍小学数学奥林匹克竞赛备考的攻略。

一、备考前的准备工作1. 了解竞赛规则：在备考开始之前，要先仔细了解参加的数学奥林匹克竞赛的规则和要求，包括考试科目、试题类型、时间限制等。

只有充分了解竞赛规则，才能有针对性地备考。

2. 熟悉教材内容：数学奥林匹克竞赛的试题通常涉及小学数学的各个知识点，因此备考前要将小学数学教材的内容牢固掌握，并重点关注一些常考的难题类型。

3. 资料准备：备考过程中，合适的备考资料对提高备考效果至关重要。

可以寻找一些数学奥林匹克竞赛的相关习题集、参考书和模拟试卷等资料，进行有针对性的练习和复习。

二、备考策略1. 制定学习计划：备考数学奥林匹克竞赛需要持续的学习和练习，因此制定一个合理的学习计划十分必要。

根据自己的时间安排和备考进度，将备考时间分配到不同的知识点，保证每个知识点都得到充分的学习和练习。

2. 理清学习重点：备考数学奥林匹克竞赛时，要根据试题的特点和考点，理清学习的重点。

可以从数学奥林匹克竞赛的历年试题中归纳出一些常考的难题类型，然后有针对性地进行学习和复习，重点攻克难题。

3. 积极参加讨论与竞赛：备考数学奥林匹克竞赛不仅要进行个人的学习和思考，还可以积极参加各种数学讨论和竞赛活动。

与其他备考的同学共同讨论解题思路和方法，可以互相学习和提高，同时也可以参加一些模拟竞赛，增加竞赛的经验。

三、备考技巧1. 注重基础知识：备考过程中，要注重基础知识的学习和掌握。

数学奥林匹克竞赛的试题往往需要在扎实的基础上进行拓展和应用，因此基础知识的掌握对于解题非常重要。

2. 灵活运用方法：解题方法是备考过程中的关键。

在解题时，要学会快速分析问题和找出解题思路，在运用各种方法解题时要灵活应用，不拘泥于一种方法。

奥林匹克数学的解题方法（上篇）有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。

这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。

在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。

”奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。

2-7-1 构造它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。

常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。

例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。

证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天（包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤⨯=…考虑154个数：12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+ 这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。

这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。

出征国际数学奥林匹克的中国集训队完成终极选拔，入选者是谁？在人人学奥数的年代，只有少数人能够成为奥数江湖中的绝顶高手——进入终极6人组。

因为每年代表中国队角逐国际数学奥林匹克的，只有6个人。

最新消息：今年即将代表中国队参加第57届国际数学奥林匹克(IMO)的6人组名单，已经出炉。

先来看看这6位准国家级奥数选手的名字和学校——杨远（河北省石家庄二中）张盛桐（上海市上海中学）王逸轩（湖北省武钢三中）贾泽宇（人大附中）宋政钦（湖南师大附中）梅灵捷（复旦附中）在6员即将出征参赛的奥数选手中，上海独占两元，足见上海在数学教育上的优势。

由于选手们目前正在备战国际大赛，且一般出征队伍赛前肯定是低调、低调、再低调，不太愿意让选手们抛头露脸分心，所以目前除了选手名字和学校外，关于他们的个人信息非常少。

而根据知情人士独家透露的消息，光上海两位选手，就确有过人之处先说上海中学的张盛桐，他是这6人组里年纪最小的一位。

其他选手今年基本都是高三，在出征IMO之前都已经获得了保送大学的资格，而张盛桐今年还只是一位高一年级的学生（所以参加过第57届IMO，他到底是读大学还是继续读中学，真是不知道哦。

）根据已公开的消息，2015年张盛桐在上海中学中考录取名单上，也就是说，他是上海中学2015级的高一新生。

入学不久，他便参加2015年高中数学联赛（上海赛区）且获得一等奖，总分排名第三（排在他之前的，第一名是高三学生，第二名高二学生）；此后，张盛桐参加了2015年12月份在江西鹰潭市第一中学举行的第31届中国数学奥林匹克（俗称全国中学生数学冬令营），并在这场369人的奥数高手比拼中获得了第一名。

经过这一轮大浪淘沙——369进60的激烈选拔后，张盛桐成为2016年中国数学奥林匹克国家集训队成员之一。

在中国数学会官网公布的60人名单上，他的名字排在第一个。

来看看60人的大名单，全都是顶尖高手啊——注：本名单来源于中国数学会官网今年3月14日至3月27日，在湖南师大附中进行的终极集训和选拔中，张盛桐从60选6的选拔中胜出，将代表中国队出征第57届国际数学奥林匹克 (IMO) 。

世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛（2016年10月）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。

2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。

3、比赛时不能使用计算工具。

4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。

七年级试题（Ａ卷）（本试卷满分120分，考试时间90分钟）一、填空题。

（每题5分，共计50分）1、用200千克花生可榨油25千克，如此计算，用15吨花生可以榨油吨。

2、把110厘米长的铁丝焊成一个长方体的框架，长是宽的两倍，宽是高的1.5倍。

则这个长方体的长厘米，宽厘米，高厘米。

3、某商品按20﹪的利润定价，然后按八八折出售，实际获得利润84元。

则商品的成本元。

4、某中学学生中83是男生，男生比女生少250人，则该中学有人。

5、若04312y x ，求yx 。

6、一项工程，如果单独做，甲、乙各需10天完成，丙需7.5天完成，现在三人合作，在做的过程中，甲外出1天，丙休息0.5天，结果一共用了天完成。

7、有五张牌，分别写着2、3、4、5、6，其中三张是反着的，从中任意取出一张，若为单数就是甲赢，若为双数就是乙赢，则赢的可能性大。

8、甲、乙两种酒精浓度分别为70﹪和50﹪，现在要配制65﹪的酒精3000克，应当从甲种酒精中取克，乙种酒精中取克。

9、在一个长为4厘米的正方体的前后、上下、左右各面的中心位置挖去一个底面半径为1厘米、高为1厘米的圆柱，则挖去后物体的表面积为。

（圆周率用3.14计算）10、|3-x ||2-x ||1x|的最小值是____。

二、计算题。

（每题6分，共计12分）11、211712111743322174112、102418141211三、解答题。

（第13题6分，第14题8分，第15题10分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分）13、已知在数轴上，点A 与原点之间的距离是点A 与30所对应的点之间的距离的4倍，那么点A 所表示的数是多少？14、a 与b 互为相反数，且1,54|b -a |2ab abab a 求的值。

2016年第57届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试思路分析KOOA CBDF'BDF K第57届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试思路分析2016.03.17 严文兰数学工作室由于IMO 试题比较困难，所以即使写了解答，同学们也不一定看得懂，或者理解试 的解法，为什么这样想呢？以及自己做时如何分析问题呢？本文尽量给予阐明清楚。

1. 如图，在圆内接六边形ABCDEF 中，AB=BC=CD=DE ，若线段AE 内一点K 满足 ∠BKC=∠KFE, ∠CKD=∠KFA ，证明：KC=KF 。

分析：圆中角的关系最为灵活也相对简单，由已知圆周角∠AFE=∠BKD ， 注意到弧BD=弧AE 的一半，所以又有∠AFE=∠BOD ，从而∠BKD=∠BOD ，B 、K 、O 、D 四点共圆， 注意到OC 为此圆对称轴，所以在直 径上，所以OK 为∠BKD 的外角平分2. 求最小的正实数λ，使得对任意三个复数123,,{|||1}z z z z C z ∈∈<，若1230z z z ++=，则22122331123||||z z z z z z z z z λ+++<。

分析：由连续性，问题等价于条件、结论都是≤的情况。

在高等数学中有最大模原理，解析函数在自变量在边界时达到最大模。

所以，容易想到当22122331123||||z zz z z z z z z +++最大时，123,,z z z至少有两个在边界，即满足||1z =，而22122331123||||z z z z z z z z z +++=2232122331123|()|||i i z zz z z z e z z z e θθ+++，故不妨设1212||||1,Re Re 0,z zz z x ====≥则32zx=-，10,2x ≤≤ 所以2222224122331123|||||14||2|14161z z z z z z z z z x x x x +++=-+=-+≤，所以min1λ=下面设法证明之不妨设123,,z z z 中3z 的模最大，因为3||1z≤，将每个数都乘以13z --代替原来的数，则左边更大，此时31z =-，因为1230z zz ++=，设12,1,,,0zx yi z x yi x y R y =+=--∈≥，则0x 1≤≤，代入化简得f =左边=22222222(2xy-y)(1)()x x y x x y +-+-+-+，先固定x ，得'228()y f y x x y =-+，所以'yf 先负后正，f 先减后增，在两端最大， 当0y =时，22112()122f x x=--+≤，当y 最大时，12||,||z z 至少一个为1，不妨设2||1z=，以下同前面分析，即旋转为1z 在x 轴负半轴上，设1(01)z x x =-≤≤，则左边222(1)1x x =-+≤，所以min1λ=。

何天成：从高联到IMO金牌，超详细数学竞赛学习方法（二）本文作者何天成，第58届国际数学奥林匹克（IMO）金牌获得者，华南师大附中2017届毕业生，北京大学数学科学学院2017级新生。

作者非常详细地阐述了从高联一试/二试，到参加CMO，参加国家集训队，走向IMO，各级竞赛的心路历程和学习方法，对于参加竞赛的同学具有非常大的指导意义，因为篇幅较长，故分为三篇分享给大家，这是第二篇。

请看过的同学温故知新，没看过的同学一定要认真做好笔记，满满的干货~正文如下：二中国数学奥林匹克竞赛（CMO）来到 CMO ，就意味着进入了真正的“ IMO 模式”了。

4.5 小时3 题，这个时间我觉得不算长也不算短，若是题目顺手，3 小时足以完成，但只要有一题“卡住”了，就很可能出现时间不够用的情况（有思路没时间）。

当然，对于初次接触这样类型的考试的同学，很可能做不满3 小时就己经找不到突破口，无所事事了。

这其实是很正常的，所以在训练中，最关键的就是锻炼如何在“卡住”的情况下调整心态，寻求突破。

关于CMO 的备考，个人觉得不能只是从得知自己进入省队开始，而应该是一个更有计划性的长期过程——从学数学竞赛的初期开始就应该不时挑战一些比较难的题目，这样在真正进入省队之后才会有足够扎实的基本功。

不过无论如何，备考的初期还是要先把所有CMO 范围内的专题过一遍。

在CMO 中可能出现很多联赛不考（或者考的很浅）的知识点，比如复数、多项式、函数方程、图论等，至少不能出现明显的短板。

从CMO 开始，理论上来说答题纸可以无限用，可以自带食物，大部分方法也可以直接使用，包括高等的方法（当然，要是你使用了一些大定理解决问题，很有可能只有部分分数）。

换句话来说，就是限制条件变少了，大家可以凭借自己的本事各显神通。

CMO 的考试与联赛还有一个较大的不同—— CMO 考试时，参赛选手汇聚一堂。

这有好处也有坏处：你可以与各地高手亲密接触，体会举办地的风土人情，但也要充分考虑举办地的气候，伙食等生活条件的差异。

中国数学奥林匹克(cmo) 评分标准
中国数学奥林匹克（CMO）评分标准是根据考试得分和答题质量来评定参赛选手的表现。

首先，对于每道题目，评分会根据参赛选手的答案的正确性进行评定。

如果答案完全正确，那么该题目将获得满分。

如果答案有一部分正确，但存在错误或遗漏，那么将根据错误的数量和严重程度进行适当的扣分。

如果答案完全错误，将不会得到任何分数。

其次，评分还会考虑解答的完整性和逻辑性。

即使答案基本正确，如果解答过于简单或不够详尽，也可能会被扣分。

另外，对于开放性题目，评分会根据解题思路的合理性来进行评定，而不仅仅是依靠最终答案。

最后，CMO评分标准还会考虑答题的时间和效率。

参赛选手需要在限定的时间内完成所有题目，因此，快速且准确地解答问题将获得额外加分。

总体而言，CMO评分标准注重考察参赛选手的数学能力和解题能力。

正确性、完整性、逻辑性以及时间效率是评分的重要指标。

通过这些标准，能够客观地评价参赛选手的表现，选出优秀的数学才能。

imo中的问题定理与方法imo是国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad）的简称，是一项世界范围内的高中生数学竞赛。

该竞赛的题目通常包含一些复杂而有趣的数学问题，这些问题要求学生具备坚实的数学基础和创新的解题思路。

在imo中，学生需要解决一系列的问题，其中涉及到的问题定理与方法是他们解题所依据的基础。

下面将介绍一些与imo中常见的问题定理与方法的相关参考内容，以帮助学生更好地应对这些挑战。

一、问题定理的相关参考内容1. 贝祖定理（Bézout's theorem）：该定理是一个关于多项式的定理，它阐述了两个多项式的最大公因式与最小公倍式之间的关系。

这是一个在imo中常见的问题定理，学生可以参考数学教科书中关于多项式与因式分解的内容来了解和应用这个定理。

2. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz inequality）：该不等式是一个在线性代数中常用的定理，它指出内积的绝对值小于等于两个向量长度的乘积。

学生可以通过学习线性代数的相关教材来了解和应用这个不等式，在imo中可以应用它来解决关于向量和内积的问题。

3. 费马小定理（Fermat's little theorem）：该定理是一个在数论中常用的定理，它指出对于任意一个素数p和整数a，a的p次方减去a可以被p整除。

在imo中，学生可以利用费马小定理来解决一些与整数和素数相关的问题。

二、问题解决方法的相关参考内容1. 归纳法：归纳法是数学中常用的证明方法，也可以用来解决一些imo中的问题。

学生可以参考数学教科书中的相关内容来学习归纳法的基本原理和应用方法。

2. 反证法：反证法也是数学中常用的一种证明方法，通过假设问题的反面，然后推导出矛盾的结论，从而证明问题的正确性。

学生可以参考数学教科书中的相关内容来学习反证法的基本原理和应用方法。

3. 构造法：构造法是一种通过构造特定的数学对象来解决问题的方法。

中国数学奥林匹克◇考试介绍中国数学奥林匹克又称全国中学生数学冬令营，是在全国高中数学联赛的基础上进行的一次较高层次的数学竞赛。

1985年，由北京大学、南开大学、复旦大学和中国科技大学四所大学倡议，中国数学会决定，自1986年起每年一月份举行全国中学生数学冬令营，后又名中国数学奥林匹克（ChineseMathematicalOlympiad,简称CMO）。

冬令营邀请各省、市、自治区在全国高中数学联赛中的优胜者参加，人数100多人，分配原则是每省市区至少一人，然后设立分数线择优选取。

冬令营为期5天，第一天为开幕式，第二、第三天考试，第四天学术报告或参观游览，第五天闭幕式，宣布考试成绩和颁奖。

中国数学奥林匹克考试完全模拟国际数学奥林匹克进行，每天3道题，限四个半小时完成。

每题21分（为IMO试题的3倍），6个题满分为126分。

题目难度接近IMO，颁奖也与IMO类似，设立一、二、三等奖，分数最高的前20至30名选手将组成参加当年国际数学奥林匹克（InternationalMathematicalOlympiad，简称IMO）的中国国家集训队。

从1990年开始，全国中学生数学冬令营设立了陈省身杯团体赛。

从1991年起，全国中学生数学冬令营被正式命名为中国数学奥林匹克，它成为中国中学生最高级别、最具规模、最有影响的数学竞赛。

附：中国数学奥林匹克相关制度条例1．《全国中学生数学竞赛条例（试行）》2．《中国数学奥林匹克实施细则（试行）》◇报名条件根据《中国数学奥林匹克实施细则（试行）》规定，参加中国数学奥林匹克的选手必须是本年度全国高中数学联赛一等奖获得者或上一年度国家集训队中尚未高中毕业的队员。

◇报名时间中国数学会奥林匹克委员会确定参赛选手总人数；中国数学会普及工作委员会根据当年全国高中数学联赛成绩确定各省、自治区、直辖市代表队队员名单；各省、自治区、直辖市数学会确定各代表队领队（壹人）名单；以上两名单于11月15日前报数学奥林匹克委员会。

独家发布！第59届国际数学奥林匹克试题完整解析，暴力
的一塌糊涂！
2015年，
在泰国清迈举办的第56届国际数学奥林匹克被称为史上最
难的一届，那年全世界只有一个满分，金牌的分数线只有26分（满分42分），而在去年于巴西里约热内卢举办的第58
届比赛中，来自全世界的623名选手无一人满分，最高分仅为35分，而金牌分数线也仅有25分，
在那两届比赛中，选手以及在网上关注赛事的教练学生都是一片哀嚎，而在刚刚于罗马尼亚克卢日-纳波卡结束的第59
届国际数学奥林匹克上，
许多人对6道题目的评价相差甚大，褒贬不一，
“史无前例”，“出乎预料”，“题目不错”，“有点眼熟”，“严重事故”.....在昨天刚结束第59届IMO的第二天比赛后，
由来自两届IMO满分罗炜、几何大咖曹珏贇、杭二之星赵斌、黑龙江张峻铭，四位在数学竞赛江湖中鼎鼎大名高手合作的，全网第一份完整试题解析版正式发布！在今天，比赛也进入了协调分数的的准备阶段，
协调是指协调员根据事先制定好的题目标准答案，就学生答题手稿与各国领队确定该生该题最后得分的过程，协调工作由协调委员会统一安排执行，有一套详细的操作流程，而且
过程非常严谨，在正式比赛开始前，协调委员会主席会指引6 名试题队长把领队提供的不同答案归纳于详细的评分准则内，每位试题队长只会负责一条题目，所以十分清楚并了解该题的有关资料，包括问题的原创性及不同的解题方法等等，
委员会指定的协调员大部分都是来自不同国家的前领队或资深的解题专家，很多人都有十年以上协调分数的经验，不论是学生的小失误（不扣分）、小错（扣1 至2 分）或大错（至少扣4 至5 分）都能一一指出，而主试委员会在这个过程中的主要职责就是解决个别队伍与协调员之间在评分上的不同意见以及决定奖的分配.。

imo试题及解题技巧
IMO是国际数学奥林匹克竞赛的缩写，其试题难度较高，需要具备较强的数学基础和思维能力。

掌握基础知识：熟练掌握数学的基础知识和原理，包括代数、几何、概率等方面的知识。

多加练习：通过做大量的数学题来提高自己的解题能力和思维能力。

善于思考：对题目进行深入思考，分析题目的特点和解题思路，找到最合适的方法。

借助工具：可以使用计算器、绘图工具等来帮助解题。

IMO试题需要考生具备较高的数学素养和思维能力，通过不断练习和思考来提高自己的解题能力。

奥林匹克数学竞赛答题技巧方法奥林匹克数学竞赛答题技巧方法奥林匹克数学竞赛答题技巧(一)1、对照法如何正确地理解和运用数学概念?小学数学常用的方法就是对照法。

根据数学题意，对照概念、性质、定律、法则、公式、名词、术语的含义和实质，依靠对数学知识的理解、记忆、辨识、再现、迁移来解题的方法叫做对照法。

这个方法的思维意义就在于，训练学生对数学知识的正确理解、牢固记忆、准确辨识。

例1：三个连续自然数的和是18，则这三个自然数从小到大分别是多少?对照自然数的概念和连续自然数的性质可以知道：三个连续自然数和的平均数就是这三个连续自然数的中间那个数。

例2：判断题：能被2除尽的数一定是偶数。

这里要对照“除尽”和“偶数”这两个数学概念。

只有这两个概念全理解了，才能做出正确判断。

2、公式法运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。

它体现的是由一般到特殊的演绎思维。

公式法简便、有效，也是小学生学习数学必须学会和掌握的一种方法。

但一定要让学生对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解，并能准确运用。

例3：计算59&times;37+12&times;59+5959&times;37+12&times;59+59=59&times;(37+12+1)…………运用乘法分配律=59&times;50…………运用加法计算法则=(60-1)&times;50…………运用数的组成规则=60&times;50-1&times;50…………运用乘法分配律=3000-50…………运用乘法计算法则=2950…………运用减法计算法则3、比较法通过对比数学条件及问题的异同点，研究产生异同点的原因，从而发现解决问题的方法，叫比较法。

比较法要注意：(1)找相同点必找相异点，找相异点必找相同点，不可或缺，也就是说，比较要完整。

(2)找联系与区别，这是比较的实质。

(3)必须在同一种关系下(同一种标准)进行比较，这是“比较”的基本条件。