历届中国数学奥林匹克(全国中学生数学冬令营)试题解答

初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。

2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D解析：x²，x3都是单项式．两个单项式x3，x²之和为x3+x²是多项式，排除A。

两个单项式x²，2x2之和为3x2是单项式，排除B。

两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。

3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。

4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。

6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。

8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题1987第二届年中国数学奥林匹克1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除。

2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。

已知i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。

ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。

试求3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。

4.所有结点上数的总和S。

3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。

结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。

4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。

5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们两两相切。

如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。

6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

1.设a1, a2, ... , a n是给定的不全为零的实数，r1, r2, ... , r n为实数，如果不等式r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+r n(x n-a n)≦√(x12+ x22+ ... + x n2) + √(a12+ a22+ ... + a n2)对任何实数x1, x2, ... , x n成立，求r1, r2, ... , r n的值。

初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。

2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D解析：x²，x3都是单项式．两个单项式x3，x²之和为x3+x²是多项式，排除A。

两个单项式x²，2x2之和为3x2是单项式，排除B。

两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。

3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。

4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。

6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。

8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。

(第二十八届全国中学生数学冬令营)第一天2013年1月12日8:00∼12:30辽宁沈阳题1.如图1,两个半径不相等的圆K 1与K 2交于A ,B 两点,C ,D 两点分别在K 1,K 2上,且线段CD 以A 为中点;延长DB 交K 1于点E ,延长CB 交K 2于点F .设线段CD ,EF 的中垂线分别为l 1,l 2.证明:(1)l 1与l 2相交;(2)若l 1与l 2的交点为P ,则三条线段CA ,AP ,P E 能构成一个直角三角形.A BC DEF PO 1O 2K 1K 2图1题2.确定所有由整数构成的非空集合S ,满足:若m,n ∈S (m,n 可以相同),则3m −2n ∈S .题3.求一切正实数t ,具有下述性质:存在一个由实数组成的无限集合X ,使得对任意x,y,z ∈X (这里x,y,z 可以相同),以及任意实数a 与正实数d ,均有max { x −(a −d ) , y −a , z −(a +d ) }>td .(第二十八届全国中学生数学冬令营)第二天2012年1月13日8:00∼12:30辽宁沈阳题4.给定整数n ⩾2.设n 个非负有限集A 1,A 2,···,A n 满足:对任意i,j ∈{1,2,···,n },有 A i ∆A j = i −j .求 A 1 + A 2 +···+ A n 的最小值.(这里, X 表示有限集合X 的元素个数;对于集合X,Y ,规定X ∆Y ={a a ∈X,a /∈Y }∪{a a ∈Y,a /∈X }.)题5.对正整数n 及整数i (0⩽i ⩽n ),设C i n ≡c (n,i )(mod 2),其中c (n,i )∈{0,1},并记f (n,q )=n ∑i =0c (n,i )q i .设m,n,q 为正整数且q +1不是2的方幂.证明:若f (m,q ) f (n,q ),则对任意正整数r ,有f (m,r ) f (n,r ).题6.给定正整数m,n ,求具有下述性质的最小整数N (⩾m ):若一个N 元整数集含有模m 的完全剩余系,则它有一个非空子集,其元素和被n 整除.。

中国数学奥林匹克（第二十一届全国中学生数学冬令营）第一天福州 1月12日 上午8∶00～12∶30 每题21分一、 实数12,,,n a a a 满足120n a a a +++=，求证：()122111max ()3n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑．证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可．记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-，则k k a a =，1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++，把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=可得11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=．由Cauchy 不等式可得()2211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------11222111k n k n i i i i i i d ---===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 31213n i i n d -=⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑， 所以 ()122113n ki i i na a a -+=≤-∑．二、正整数122006,,,a a a （可以有相同的）使得200512232006,,,a a a a a a 两两不相等．问：122006,,,a a a 中最少有多少个不同的数？解 答案：122006,,,a a a 中最少有46个互不相同的数．由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44＋1＝1981个，故122006,,,a a a 中互不相同的数大于45．下面构造一个例子，说明46是可以取到的． 设1246,,,p p p 为46个互不相同的素数，构造122006,,,a a a 如下：11213231434241,,,,,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p p p p p ， 11221,,,,,,,,,,,k k k k k k k p p p p p p p p p p --，14544454345452451,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p ， 4645464446462246,,,,,,,,p p p p p p p p ，这个正整数满足要求．所以122006,,,a a a 中最少有46个互不相同的数．三、正整数m ，n ，k 满足：23mn k k =++，证明不定方程22114x y m +=和 22114x y n +=中至少有一个有奇数解(,)x y ．证明 首先我们证明如下一个 引理：不定方程22114x y m += ①或有奇数解00(,)x y ，或有满足00(21)(mod )x k y m ≡+ ②的偶数解00(,)x y ，其中k 是整数．引理的证明 考虑如下表示(21)x k y ++ ,x x y ≤≤0为整数，且,02y ≤≤，则共有()112m ⎛⎫⎡++> ⎪⎣ ⎪⎣⎦⎝⎭个表示，因此存在整数12,0,x x ⎡∈⎣，12,0,y y ⎡∈⎢⎣⎦，满足1122(,)(,)x y x y ≠，且1122(21)(21)(mod )x k y x k y m ++≡++，这表明(21)(mod )x k y m ≡+， ③这里1221,x x x y y y =-=-。

中国数学奥林匹克竞赛试题中国数学奥林匹克竞赛（China Mathematical Olympiad，CMO）是中国最高水平的中学生数学竞赛，也是参加国际数学奥林匹克竞赛的选拔赛之一。

以下是一些历年的CMO试题：2002年CMO试题：1）证明：$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n +2)}$。

2）已知三个球$A, B, C$，半径分别为$R, R, r$。

在三个球外接正四面体$ABCD$中，球$A$与面$BCD$相切，球$B, C$相切于点$E$，球$A, C$相切于点$F$。

求$R$和$r$之比。

3）设$a_0=0, a_1=1, a_{n+1}=\sqrt{2a_n+2\sqrt{a_n^2-1}}(n\ge1)$。

证明：$\lfloor a_{2^n}\rfloor$是$2^n$次整系数多项式的唯一正实数根。

2.2009年CMO试题：1）设$P(x)$为实系数多项式，且对于任意实数$x$，都有$P(x^2+1)=P(x)^2+1$。

证明：$P(x)$是一个偶多项式。

2）已知$n$个点按逆时针顺序排列为$P_1, P_2, \cdots,P_n$。

定义$A(P_i, P_{i+1}, P_{i+2})$为由三点$P_i, P_{i+1}, P_{i+2}$所组成的三角形的面积。

求$\sum_{i=1}^{n-2}A(P_i,P_{i+1}, P_{i+2})$。

3）设$S$为所有$n$元实数组$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$的集合，且满足对于任意$S$中的元素$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$，都有$\sum_{i=1}^{n}x_i=0$，$\sum_{i=1}^{n}x_i^2=1$。

求$\sum_{(x_1, x_2, \cdots, x_n)\in S}x_1x_2x_3$。

中国数学奥林匹克冬令营试题
赵小云
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】1992(000)005
【总页数】4页(P38-41)
【作者】赵小云
【作者单位】杭州大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.2004年中国数学奥林匹克冬令营试题 [J],
2.第24届中国数学奥林匹克冬令营试题及解答 [J], 无
3.2006年中国数学奥林匹克（第21届全国中学生数学冬令营）试题解答 [J],
4.2003年中国数学奥林匹克暨第18届全国中学生数学冬令营试题 [J],
5.2004年中国数学奥林匹克冬令营试题解答 [J], 陶平生
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2006中国数学奥林匹克（第二十一届全国中学生数学冬令营）第一天福州 1月12日 上午8∶00～12∶30 每题21分一、 实数12,,,n a a a 满足120n a a a +++= ，求证：()122111max ()3n ki i k n i na a a -+≤≤=≤-∑．证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可． 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=- ，则k k a a =，1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=---- ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++ ， 把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++= 可得11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++= ． 由Cauchy 不等式可得()2211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------11222111k n k n i i i i i i d ---===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 31213n i i n d -=⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑， 所以 ()122113n ki i i na a a -+=≤-∑．二、正整数122006,,,a a a （可以有相同的）使得200512232006,,,a a a a a a 两两不相等．问：122006,,,a a a 中最少有多少个不同的数？解 答案：122006,,,a a a 中最少有46个互不相同的数．由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44＋1＝1981个，故122006,,,a a a 中互不相同的数大于45．下面构造一个例子，说明46是可以取到的．设1246,,,p p p 为46个互不相同的素数，构造122006,,,a a a 如下：11213231434241,,,,,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p p p p p ， 11221,,,,,,,,,,,k k k k k k k p p p p p p p p p p -- ， 14544454345452451,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p ， 4645464446462246,,,,,,,,p p p p p p p p ，这2006个正整数满足要求．所以122006,,,a a a 中最少有46个互不相同的数．三、正整数m ，n ，k 满足：23mn k k =++，证明不定方程22114x y m +=和 22114x y n +=中至少有一个有奇数解(,)x y ．证明 首先我们证明如下一个 引理：不定方程22114x y m += ①或有奇数解00(,)x y ，或有满足00(21)(mod )x k y m ≡+ ②的偶数解00(,)x y ，其中k 是整数．引理的证明 考虑如下表示(21)x k y ++ ,x x y ≤≤0为整数，且,0y ≤≤，则共有()11m ⎛⎫⎡++> ⎪⎣ ⎪⎣⎦⎝⎭个表示，因此存在整数12,0,x x ⎡∈⎣，12,0,y y ⎡∈⎢⎣⎦，满足1122(,)(,)x y x y ≠，且1122(21)(21)(mod )x k y x k y m ++≡++，这表明(21)(mod )x k y m ≡+， ③这里1221,x x x y y y =-=-。

数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题A学校： 姓名： 营员证号：____ABC 中；a+c=3b ,内心为I ；内切圆在AB ；BC边上的切点分别为D ；E 。

设K 是D 关于点I 的对称点；L 是E 关于点I 的对称点.求证：A ；C ；K ；L 四点共圆。

二.设,a bN ；且对任意,nN 都有na n│nb n证明：a b三．求函数:,f RR 满足： 1,x f x f xf x xR以及│f x f y││x y │；,x yR四.设1000n！；能否把1到n 的正整数摆在一个圆周上；使得我们沿着顺时针方向移动时；每一个数都能按如下的法则由前一个数得到：或者把它加上17；或者加上28；如果必要的话；它可以减去n ？BC数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题A 解答学校： 姓名： 营员证号：____一. 在ABC ∆中；a+c=3b ,内心为I ；内切圆在AB ；BC 边上的切点分别为D ；E , 设K 是D 关于点I 的对称点；L 是E 关于点I 的对称点.求证：A ；C ；K ；L 四点共圆.证：设直线BI 交ABC ∆的外接圆点P ；易知P 是AC 的中点。

记AC 的中为M ；则PM ⊥AC 。

设P 在直线DI 的射影为N 由于3,a c b +=则半周长22a b cp b ++==； 则2BD BE p b b AC CM ==-=== 又0,90ABP ACP BDI CMP ∠=∠∠=∠=所以DBI ∆∽MCP ∆；且相似比为2 熟知；PI PC PA ==。

又DBI ∆∽NPI ∆； 所以2DI IN =；即N 是IK 的中点 进而. PK PI PL PI ==同理；所以AC K I L ，，，，都在以P 为圆心的同一个圆周上 二. 设,a b N +∈；且对任意,n N +∈都有()nan +│()n b n +证明：a b =证：假设a b ≠；则b a >取素数p b >；又取()()111n a p =+-+由费马小定理()mod n a a p ≡；从而()0mod n a n a n p +≡+≡P进而()00mod n b n b n b a p ≡+≡+≡-；即p b a - 但0b a b p <-<<；矛盾 三．求函数:,f R R →满足：()()()()1,x f x f x f x x R +-=∀∈ 以及 │()()f x f y -│≤│x y -│；,x y R ∀∈ 解：取0x =得()00f =0,1x ≠-时；可改写为：()()11f x f x x x+=+ 特别地；对任意0x >；及n N +∈；有()()f x n f x x n x+=+： 则()()()()x n y n x y f x n f y n f x f y x y++-≥+-+=- ()()()()f x f y f x f y n xy ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭从而()()()()x y f x f y f x f y nn x y --⎛⎫≥+- ⎪⎝⎭令n →+∞；得()(), ,0f x f y x y x y =∀>即() , 0f x k x x =>四. 设1000n =！；能否把1到n 的正整数摆在一个圆周上；使得我们沿着顺时针方向移动时；每一个数都能按如下的法则由前一个数得到：或者把它加上17；或者加上28；如果必要的话；它可以减去n ？解：不能！假设存在合乎要求的摆法。