柱、锥、台、球的体积公式推导（不⽤积分）求这些规则⼏何体的体积如果都要算积分的话，那也太⿇烦了。
本⽂将讨论如何不⽤积分就能得出结论。
虽然不⽤算积分，但也要⽤到积分的思想。
因此本⽂承认以下引理：引理 (袓暅原理) 所有等⾼处横截⾯积相等的两个同⾼⽴体的体积相等柱体对某⼀柱体，构造与之具有相同的底⾯积和⾼的正四棱柱，则由引理可知，该柱体与构造出的正四棱柱具有相同的体积。
⼜因为正四棱柱的体积等于底⾯积乘以⾼，所以该柱体的体积即为底⾯积乘以⾼。
由此可得任意柱体的体积都是底⾯积乘以⾼，即：V柱=Sh锥体对某⼀锥体，构造与之具有相同的底⾯积和⾼的斜三棱锥，并要求它的底⾯是等腰直⾓三⾓形，且直⾓顶点与该斜三棱锥的顶点之间的那⼀条棱与底⾯垂直。
（此⼏何体俗称「墙⾓」）由引理可知，原锥体的体积与构造出的「墙⾓」具有相同的体积。
下证「墙⾓」的体积是底与⾼乘积的三分之⼀。
如图，绿⾊的A1−ABC即为「墙⾓」，∠BAC=90∘, AA1⊥⾯ABC. 把它补成直三棱柱ABC−A1B1C1, 连接BC1.此时这个直三棱柱被分成了三个部分，即A1−ABC, A1−BB1C1和A1−BCC1, 它们的体积和即为该直三棱柱的体积。
因为等底等⾼的三棱锥体积相等（由引理 1 及截⾯和底⾯的相似性易知），且三棱锥可以把任⼀⾯当作底⾯，所以有V A1−BB1C1=V C1−A1B1B=V C1−A1AB以及V A1−BB1C1=V A1−BCC1综合两式得V C1−A1AB=V A1−BB1C1=V A1−BCC1即这三个三棱锥具有相同的体积，⼜因为它们的体积之和即为直三棱柱的体积，所以「墙⾓」的体积就是直三棱柱体积的三分之⼀。
由直三棱柱的体积等于底⾯积乘以⾼可知，「墙⾓」的体积就是底乘⾼的三分之⼀。
所以，原锥体的体积即为底乘⾼的三分之⼀，即：V锥=13Sh台体把台体补成锥体，这样就出现了⼀⼤⼀⼩两个锥体，台体的体积可以看成是⼤的锥体的体积减去⼩的锥体的体积，即：V台=V⼤锥−V⼩锥V台=13S下h⼤−S上h⼩ (1)根据截⾯和底⾯的相似性可知h⼩h⼤=S上S下h⼩=S上S下h⼤(2) ()√√h =h ⼤−h ⼩=1−S 上S 下⋅h ⼤h ⼤=h1−S 上S 下(3)将 (2) 代⼊ (1) 式得V 台=13S 下S 下S 上h ⼩−S 上h ⼩V 台=13h ⼤S 下−S 上S 上S 下再代⼊ (3) 得V 台=13h1−S 上S 下S 下−S 上S 上S 下V 台=13hS 下S 下S 下−S 上−S 上S 上S 下−S 上V 台=13h (S 下S 下−S 上S 上)(S 下+S 上)S 下−S 上V 台=13h S 2下−S 2上+S 上S 下(S 下−S 上)S 下−S 上V 台=13h S 上+S 上S 下+S 下球体按照之前的思路应⽤引理，寻找截⾯积与球处处相等的⽬前已经可以求出体积的⼏何体。
