柱锥台球的体积与表面积

柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 2．锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；3．台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高)；4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.类型一 柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64答案 A解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( )A ．0.6 cmB ．0.15 cmC ．1.2 cmD ．0.3 cm 答案 A解析 设杯里的水下降h cm ，由题意知π(202)2h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6 cm.反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ， ∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高． 所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)，OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2 ＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm)． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝433×(34×202＋34×302＋34×20×30)＝1 900(cm 3)．类型二 球的表面积与体积命题角度1 与球有关的切、接问题例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解 如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ， OA ＝OE sin 30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ， BD ＝AD ·tan 30°＝3R ， ∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2 答案 B解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ， 得球的半径为62a ，则球的表面积为4π(62a )2＝6πa 2. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练2 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×(12)3∶43π×(32)3＝1∶3 3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为_______． 答案 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.命题角度2 球的截面例3 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积． 解 方法一 (1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)， 由πr 2＝400π，得r ＝20(r ＝－20舍去)．在Rt △OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49，在Rt △OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400.由题意可知OC 1－OC ＝9，即R 2－49－R 2－400＝9， 解此方程，取正值得R ＝25.(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.由题意可知OC 1＋OC ＝9， 即R 2－49＋R 2－400＝9.整理，得R 2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2 500π(cm2)．方法二(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OC21＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OC21－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25 cm.(以下略)反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是()A．1 B．2 C．1或7 D．2或6答案 C解析画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝52－32＝4，n＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.类型三组合体的体积例4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 答案 A解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×(12×1×2)×1＝π＋13.故选A.反思与感悟 此类问题的关键是把三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体． 跟踪训练4 如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体积．解 三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球． 这个奖杯的体积V ＝13h (S 上＋S 上S 下＋S 下)＋22π·16＋4π3×33＝336＋100π(cm 3)．1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是( ) A ．2 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．8 cm 答案 C解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ， ∴铜质的五棱柱的体积V ＝16×4＝64(cm 3)， 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ， 则a 3＝64，解得a ＝4 cm ，故选C.2.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π答案 B解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S ＝4π×12＝4π.4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 柱∶V锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案 3π解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ←―――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算． 5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．课时作业一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 答案 B解析 设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π.2．如图，在正方体中，四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的( )A.12B.13C.14 D ．不确定 答案 B解析 由于四棱锥S －ABCD 的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的13，故选B.3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π(32)3＋3×3×2＝92π＋18. 4．如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34答案 C解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.5．一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.4163π3cm 3答案 C解析 如图，根据题意， |OO 1|＝4 cm ，|O 1A |＝3 cm ，∴|OA |＝R ＝|OO 1|2＋|O 1A |2＝5(cm)， 故球的体积V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．故选C.6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm ，那么该棱柱的表面积为( ) A ．(2＋42) cm 2 B ．(4＋82) cm 2 C ．(8＋162) cm 2 D ．(16＋322) cm 2答案 C解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为22，∴正四棱柱的高为16－8＝22，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×22＝8＋162，故选C.7.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.23πB.43πC.53π D ．2π答案 C解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.8．一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为()A．45π B．27π C．36π D．54π答案 D解析因为球的表面积为36π，所以球的半径为3，因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6，所以圆柱的表面积S＝2π×32＋2π×3×6＝54π.二、填空题9．如图，三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A －FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．答案124解析设三棱柱的高为h，∵F是AA1的中点，则三棱锥F－ADE的高为h2，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝14S△ABC，∵V1＝13S△ADE·h2，V2＝S△ABC·h，∴V1V2＝16S△ADE·hS△ABC·h＝124.10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 2 cm，则该圆锥的体积为___ cm3. 答案π3解析∵圆锥的侧面展开图的弧长为2π cm，半径为 2 cm，故圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 2 cm ，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V ＝13·π·12·1＝π3.11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．答案2π6＋16解析 由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V ＝13×(12×1×1)×1＋[43π(22)3]×12＝16＋2π6. 12．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________． 答案 3π解析 满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V －ABC ，所以VA ＝AB ＝BC ＝1，VB ＝AC ＝2，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R ＝32， 所以该四面体外接球的表面积为4π×(32)2＝3π. 三、解答题13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC ＝30°)解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°， ∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，1圆锥侧AO S ＝π×32R ×3R ＝32πR 2， 1圆锥侧BO S ＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴11几何体表球圆锥侧圆锥侧＝＋＋AO BO S S S S＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.又∵V 球＝43πR 3，1圆锥AO V ＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1， 1圆锥BO V ＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－()11圆锥圆锥＋AO BO V V ＝56πR 3.四、探究与拓展14．圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm答案 C解析 设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得 3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3. 15．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解 (1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由P A 1＝PD 1＝ 2 cm ，A 1D 1＝AD ＝2 cm ， 可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．。

第73课柱、锥、台、球的表面积和体积一、教学目标能运用公式求柱、锥、台、球的表面积和体积.二、知识梳理【回顾】•阅读课本必修2第47页至59页，理解以下内容.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式及其关系；圆柱、圆锥、圆台的体积公式及其关系；柱体、锥体、台体的体积公式及其关系；球的表面积、体积公式．三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。

课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。

找出学生错误的原因，设计“问题串”，将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。

点评时要简洁，要点击要害。

2、诊断练习点评题1．若圆锥的侧面积为π2，底面积为π，则该圆锥的体积为__________.【分析与点评】本题是容易题，主要是考查圆锥侧面积公式和体积公式的正确使用．题2．如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是__________.【分析与点评】该多面体是正四棱锥，侧棱长为1，底面正方形外接圆的半径等于22，由侧棱、底面正方形外接圆半径及高之间关系求解.题3．棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.【分析与点评】正方体外接球半径是正方体棱长的3倍得到球的半径求解.变式1：棱长分别是2，3，4的长方体外接球的体积是________.变式2：棱长都是2的正四面体的外接球的表面积为________.题4．五棱台的上、下底面均为正五边形，边长分别是8cm和18cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为13cm，则它的侧面积为_________cm 2.【分析与点评】先求出斜高等于12cm，再运用公式求侧面积.3、要点归纳（1）注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用.（2）如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加.（3）注意求体积的一此特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用方法.四、范例导析例1 如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A点的最短路线的长为____________.【教学处理】先将“沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A点”改为“沿着三棱柱的侧面绕行一周到达A点”组织学生讨论解法，在有解决方案后，改回原题．如能配合实物模型和细线演示一，效果更好．【引导分析与精讲建议】1、学生大多接触过“蚂蚁爬火柴盒”问题，先提醒学生对照条件，判断能否用同样的方法解决？1C 1A1BC AB2、“沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 点”与“沿着三棱柱的侧面绕行一周到达A 点” 的差别是什么？如何调整方案？3、可继续把条件“沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 点”变换成：“沿着三棱柱的侧面绕行十周到达A 点”和“沿着三棱柱的侧面绕行一周多（不足两周）到达C 点”让学生讨论如何调整方案．例2 圆锥高323，侧面展开图的中心角为6π5； （1）求圆锥底面半径及母线长； （2）距离底面多高的平面截其所得圆台有内切球；（3）求上述圆台的侧面积S 及体积V.【教学处理】第（1）小题让学生自己解决，第（2）（3）两小题先结合轴截面图讨论圆锥的内切球与圆台内切球的联系及圆锥内切球与圆锥的联系．【引导分析与精讲建议】1、圆锥母线l ，底面圆半径r 、圆锥高h 及侧面展开图的中心角θ的关系是2 π r = θ l ，且l 2 = h 2 + r 2.运用方程组知识求解.2、圆锥是否有内切球？—→如何求圆锥的内切球半径？—→圆台的高与圆锥内切球半径的关系？3、可以落实到平面图形（轴哉面）中，运用“图形相似”或“解直角三角形知识”求解． 例3 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．（1）求证：BE∥平面PDF ；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB ；（3）求三棱锥P ﹣DEF 的体积．【教学处理】本题中，（1）（2）两小题属于常规题型，可由学生自己独立完成，（3）小题属于难题，师生共同探讨完成.【引导分析与精讲建议】第一问：如果由线面平行证明，教师完善平面内那条“线”的寻找方法．如果由面面平行得到，注意提醒学生书写上的注意点。

立体几何中的球台与球柱的体积与表面积计算在立体几何中，球台和球柱是两种常见的几何体形状。

球台是由一个平面截取一个圆球形状而得到的，而球柱则是由一个矩形围绕一个圆柱形状而得到的。

本文将介绍如何计算球台和球柱的体积和表面积。

一、球台的体积与表面积计算球台是由一个圆平面和底面高度组成的，其体积和表面积可以通过以下公式计算：1.1 球台的体积计算设球台的底面半径为R，顶面半径为r，高度为h，则球台的体积V 可以通过以下公式计算：V = (1/3)πh((r^2)+(rR)+(R^2))1.2 球台的表面积计算球台的表面积S可以通过以下公式计算：S = π((r^2)+(R^2)+(r+R)l)其中，l为球台底面圆上弧长，可以通过以下公式计算：l = 2π(R+r)二、球柱的体积与表面积计算球柱是由一个圆柱和两个球面组成的几何体，其体积和表面积可以通过以下公式计算：2.1 球柱的体积计算设球柱的底面半径为R，高度为h，则球柱的体积V可以通过以下公式计算：V = πh(R^2)2.2 球柱的表面积计算球柱的表面积S可以通过以下公式计算：S = 2π(R^2)+2πRh三、实例演算为了更好地理解如何计算球台和球柱的体积和表面积，我们以具体数值进行实例演算。

3.1 球台实例演算假设球台的底面半径R = 5 cm，顶面半径r = 3 cm，高度h = 4 cm。

首先，计算球台的体积：V = (1/3)πh((r^2)+(rR)+(R^2))= (1/3)π(4)((3^2)+(3*5)+(5^2))≈ 201.06 cm^3接下来，计算球台的表面积：l = 2π(R+r)= 2π(5+3)≈ 37.7 cmS = π((r^2)+(R^2)+(r+R)l)=π((3^2)+(5^2)+(3+5)37.7)≈ 170.12 cm^2因此，该球台的体积约为201.06 cm^3，表面积约为170.12 cm^2。

3.2 球柱实例演算假设球柱的底面半径R = 6 cm，高度h = 8 cm。

柱、锥、台体、圆的面积与体积公式（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。

1、圆柱的侧面展开图——矩形圆柱的侧面积2,,,S cl rl r l c π==圆柱侧其中为底面半径为母线长为底面周长2、圆锥的侧面展开图——扇形圆锥的侧面积1,,,2S cl rl r l c π==圆锥侧其中为底面半径为母线长为底面周长3、圆台的侧面展开图——扇环圆台的侧面积（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。

1、柱的侧面展开图——矩形直棱柱的侧面积2、锥的侧面展开图——多个共点三角形正棱锥的侧面积3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形正棱台的侧面积说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式 ①即锥体的侧面积公式；②c'＝c 时即柱体的侧面积公式；（三）棱柱和圆柱的体积,V Sh h =柱体其中S 为柱体的底面积,为柱体的高斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长（四）棱锥和圆锥的体积1,3V Sh h =锥体其中S 为锥体的底面积,为锥体的高（五）棱台和圆台的体积说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式：①0S=上时即为锥体的体积公式；②S上＝S下时即为柱体的体积公式。

（六）球的表面积和体积公式（一）简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体；补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图：四、考点与典型例题考点一几何体的侧面展开图例1. 有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端A、D，则铁丝的最短长度为多少厘米？D CBA解：展开后使其成一线段ACcm考点二求几何体的面积例2. 设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是0.85m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）ESO解：)m (40.313.15.1214S 2=⨯⨯⨯=⇒答：略。

1.1.2 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积和体积学习目标：1.了解并掌握球的体积和表面积公式.2.会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点)3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点、易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝34πR 3.2．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．[基础自测]1．思考辨析(1)球的体积之比等于半径比的平方．( )(2)长方体既有外接球又有内切球．( )(3)球面展开一定是平面的圆面．( )(4)球的三视图都是圆．( )[提示] (1)× 体积比应为半径比的立方．(2)× 长方体不一定有内切球．(3)× 球面展不成平面．(4)√2．若球的过球心的圆面的周长是C ，则这个球的表面积是( )A ．4πC2B ．2πC2C ．πC2D ．2πC 2C [由2πR ＝C ，得R ＝2πC ，所以S 球面＝4πR 2＝πC2.]3．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的( )A ．2倍B ．4倍C ．8倍D ．16倍C [设气球原来的半径为r ，体积为V ，则V ＝34πr 3.当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为34π(2r )3＝8×34πr 3.]4．一个球的外切正方体的表面积为6 cm 2，则此球的体积为( )A ．34π cm 3B ．86π cm 3C ．61π cm 3D ．66π cm 3 C [设球的直径为2R cm ，则正方体的棱长为2R cm ，所以6×4R 2＝6，解得R ＝21，所以球的体积为34π×81＝61π(cm 3)．][合 作 探 究·攻 重 难]球的表面积与体积(2)已知球的体积为3500π，求它的表面积．[解] (1)设球的半径为r ，则由已知得4πr 2＝64π，r ＝4.所以球的体积：V ＝34×π×r 3＝3256π.(2)设球的半径为R ，由已知得34πR 3＝3500π，所以R ＝5， 所以球的表面积为：S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.[规律方法] 求球的表面积与体积的一个关键和两个结论(1)关键：把握住球的表面积公式S 球＝4πR 2，球的体积公式V 球＝34πR 3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.(2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.[跟踪训练]1．过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为48π cm 2，则球的表面积为________cm 2.256π [易知截面为一圆面，如图所示，圆O 是球的过已知半径的大圆，AB 是截面圆的直径，作OC 垂直AB 于点C ，连接OA .由截面面积为48π cm 2，可得AC ＝4 cm.设OA ＝R ，则OC ＝21R ，所以R 2－R 1＝(4)2，解得R ＝8 cm.故球的表面积S ＝4πR 2＝256π(cm 2)． ]2．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是 ( )A ．3100π cm 3B ．3208π cm 3C ．3500π cm 3D ．313π cm 3C [根据球的截面的性质，得球的半径R ＝＝5(cm)，所以V 球＝34πR 3＝3500π(cm 3)．]并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？思路探究：设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式来解决．[解] 设△P AB 所在平面为轴截面，AB 为水平面，设球未取出时，水面高PC ＝h ，球取出后水面高PH ＝x ，如图所示．∵AC ＝r ，PC ＝3r ，∴以AB 为底面直径的圆锥的容积为V 圆锥＝31πAC 2·PC＝31π(r )2·3r ＝3πr 3，V 球＝34πr 3.球取出后水面下降到EF ，水的体积为V 水＝31πEH 2·PH ＝31π(PH ·tan 30°)2·PH ＝91πx 3.而V 水＝V 圆锥－V 球，即91πx 3＝3πr 3－34πr 3，∴x ＝153r . 故球取出后水面的高为153r .[规律方法]1．画出截面图是解答本题的关键．2．球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算．[跟踪训练]2．圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？[解] 设取出小球后，容器中水面下降h cm ，两个小球的体积为V 球＝2×34π×253＝3125π，此体积即等于它们在容器中排出水的体积V ＝π×52×h ，所以3125π＝π×52×h ，所以h ＝35(cm)，即若取出这两个小球，则容器的水面将下降35 cm.与球有关的切、接问题[1．若长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则其外接球半径R 与三条棱长有何关系？[提示] 2R ＝.2．棱长为a 的正方体的外接球，其半径R 与棱长a 有何数量关系？其内切球呢？[提示] 外接球半径R ＝23a ；内接球半径R ＝21a .3．若一球与正方体的12条棱相切，则球半径R 与棱长a 有何数量关系？[提示] R ＝22a .(1)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为，则此球的体积为( )【导学号：07742068】A ．πB ．4πC ．4πD ．6π(2)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．思路探究：(1)作出截面图，由图易求出半径R ，进而求出其体积．(2)先求出球半径，再求球的表面积．(1)B (2)14π [(1)画出截面图，如图：∴R ＝＝.∴其体积V ＝34πR 3＝4π.故选B.(2)球的直径是长方体的体对角线，∴2R ＝＝，S ＝4πR 2＝14π.](1)在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等.(2)几个常用结论①球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；②球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径；③球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；④球与棱锥相切，则可利用V 棱锥＝31S 底h ＝31S 表R ，求球的半径R .[当 堂 达 标·固 双 基]1．直径为6的球的表面积和体积分别是( )A ．144π，144πB ．144π，36πC ．36π，144πD ．36π，36πD [半径R ＝3.所以S 表＝4πR 2＝36π，V ＝34πR 3＝34π×27＝36π. 故选D.]2．正方体的表面积为54，则它的外接球的表面积为( )A ．27πB ．32πC ．36πD ．23πA [设正方体的棱长为a ，则S ＝6a 2＝54，∴a ＝3.∴其外接球半径为R ＝23a ＝23.∴外接球表面积为S ＝4πR 2＝4π×23＝27π.]3．表面积为Q 的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切，则这个多面体的体积为( )A.31Q B ．Q C.34Q D ．2Q C [4πR 2＝64π⇒R ＝4，∴V ＝31QR ＝34Q ，故选C.]4．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________. 23 [设大球的半径为R ，则有34πR 3＝2×34π×13，R 3＝2，所以R ＝23.] 5．圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r ，圆柱、圆锥的高都是2r ，(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比；(2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比．[解] (1)V 圆柱＝πr 2·2r ＝2πr 3，V 圆锥＝31·πr 2·2r ＝32πr 3，V 球＝34πr 3，所以V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝3∶1∶2.(2)S 圆柱＝2πr ·2r ＋2πr 2＝6πr 2，S 圆锥＝πr ·＋πr 2＝(＋1)πr 2，S 球＝4πr 2，所以S 圆柱∶S 圆锥∶S 球＝6∶(＋1)∶4.。