2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月8日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．若集合{}2120A x x x =--≤，101x B x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}C x x A x B =∈∉且，则集合C =（ ）A ．[)(]3114--⋃，，B ．[](]3114--⋃，，C ．[)[]3114--⋃，，D ．[][]3114--⋃，， 【答案】 D【解答】 依题意，{}[]212034A x x x =--≤=-，，10(11)1x B x x +⎧⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭，。

由x A ∈，知34x -≤≤；x B ∉，知1x ≤-或1x ≥。

所以，31x -≤≤-或14x ≤≤，即[][]3114C =--⋃，，。

2．已知直线1l ：(2)310m x my +++=与直线2l ：(2)(2)40m x m y -++-=（0m >）相互垂直，垂足为P ，O 为坐标原点，则线段OP 的长为（ ）A． B ．2 CD【答案】 D【解答】由12l l ⊥知，(2)(2)(2)30m m m m +⋅-++⋅=，结合0m >，得230m m -+=，12m =。

∴ 1l 方程为531022x y ++=，即5320x y ++=；2l 方程为：354022x y -+-=，即3580x y -+=。

由53203580x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩。

因此，(11)P -，，线段OP3．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △均为等边三角形，且AB BC ⊥。

则二面角A PC B --的余弦值为（ ）A．3 B．3 C．3D ．13【答案】 B【解答】如图，取AC 中点O ，PC 中点D ，连结OP ，OB ，OD ，DB 。

不妨设2AB =，则由条件知，2PA PC ==，AC =AB CP（第3题）∴ P A P C ⊥，12OP AC OC ===。

∴ O D P C ⊥。

又BD P C ⊥，故BD O ∠是二面角A PC B --的平面角。

在BOD △中，由OB =，1OD =，BD =， 得90BOD ∠=︒，cos OD BDO BD ∠===。

∴ 二面角A PC B --的余弦值为3。

4．若函数2243()2log 3a x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，，，，（0a >，且1a ≠）的值域为[)3+∞，，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]13，B ．(13)，C ．(3)+∞，D ．[)3+∞，【答案】 A【解答】 ∵ 3x ≤时，函数22()24(1)3f x x x x =-+=-+的值域为[)3+∞，， ∴ 3x >时，2log 3a x +≥，即3x >时，log 1log a a x a ≥=。

∴ 1a >，且3x >时，x a ≥恒成立。

∴ 13a <≤，a 的取值范围为(]13，。

5．如图，在四面体P ABC -中，已知PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且3PA PB PC ===。

则在该四面体表面上与点A距离为 ）A． B． CD【答案】 D【解答】如图，设AE AF AG ===E 在AB 上，F 在PB 上，G 在PC 上）。

由PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC ⊥，3PA PB PC ===，知PF PG ==6PAF π∠=，4612EAF πππ∠=-=。

∴ 在面PAB 内与点A距离为弧EF）长为126π⨯=。

同理，在面PAC 内与点A距离为。

ABCPODACBP（第5题）又在面ABC 内与点A 距离为3π⨯=。

在面PBC 内与点A 距离为FG ）长为2π=。

∴ 四面体表面上与点A 距离为66322+++=。

6．()f x 是定义在R 上的函数，若(0)1f =，且对任意x R ∈，满足(2)()2f x f x +-≤，(6)()6f x f x +-≥，则(2016)f =（ ）A ．2013B ．2015C ．2017D ．2019 【答案】 C【解答】 ∵ 对任意x R ∈，满足(2)()2f x f x +-≤，∴ [][][](6)()(6)(4)(4)(2)(2)()6f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-≤。

又(6)()6f x f x +-≥。

因此，(6)()6f x f x +-=，(6)()6f x f x +=+。

∴ (6)()6f x k f x k +=+，*k N ∈。

∴ (2016)(06336)(0)6336120162017f f f =+⨯=+⨯=+=。

二、填空题（每小题6分，共36分）7．已知实数x ，y 满足226440x y x y +-++=，记2224x y x y μ=++-的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 。

【答案】 72【解答】设()P x y ，，由226440x y x y +-++=知，22(3)(2)9x y -++=。

因此，点P 在以1(32)C -，为圆心，3为半径的圆上。

又222224(1)(2)5x y x y x y μ=++-=++--，设2(12)C -，，则225C P μ=-。

∵ 2max2133C PC C =+=，2min2133C PC C =-=。

∴ 23)5M =-，23)5m =-，72M m +=。

注：本题也可以三角换元法。

由22(3)(2)9x y -++=，设33cos x α=+，23sin y α=-+，代入μ后求最值。

8．过直线2y x =上一点P 作圆C ：225(3)(1)4x y -+-=的切线PA 、PB ，A 、B 为切点。

若直线PA 、PB 关于直线2y x =对称，则线段CP 的长为 。

【答案】【解答】由切线PA 、PB 关于直线PC 关于对称，以及切线PA 、PB 关于直线2y x =对称知，直线2y x =与直线PC 与重合或垂直。

由点C 不在直线2y x =上知，PC 与直线2y x =垂直。

设(2)P t t ，，则21132t t -=--，1t =。

∴ (12)P ，，CP =。

9．已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为6，侧棱长为5，I 为侧面PCD △的内心，则四棱锥I ABCD -的体积为 。

【答案】2【解答】如图，取BC 中点E ，连结PE ，由条件知在PCD △中，5PC PD ==，6CD =。

∴ I 在线段PE 上，且53PI PC IE CE ==。

∴38IE PE =。

∴233168832I ABCD P ABCD V V --==⨯⨯=10．已知()f x 是偶函数，0x ≤时，[]()f x x x =-（符号[]x 表示不超过x 的最大整数），若关于x 的方程()f x kx k =+（0k >）恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围为 。

【答案】 1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解答】作出函数()y f x =与y kx k =+的草图（如图所示）。

易知直线y k x k =+恒过点(10)-，，1x =-是方程()f x kx k =+的一个根。

从图像可知， 当10102(1)1(1)k --≤<----，即1132k ≤<时，两个函数的图像恰有三个不同的交点。

∴ k 的取值范围为1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，。

OE CAD BPI11．方程2(1)(1)1x y xyz ++-=（x y <）的正整数解()x y z ，，为 。

（写出所有可能的情况）【答案】 (135)，，，(373)，， 【解答】依题意，2221xy x y xyz +++=。

∴ (2221)x y x y x y +++，(221)xy x y ++，221xy x y ≤++。

由x y <，知1x y +≤，因此，2214x y y ++<。

∴ 4x <，1x =，2，3。

若1x =，则(23)y y +，3y ，3y =。

将1x =，3y =代入题中方程，得153z =，5z =。

若2x =，则2(25)y y +，25y 。

由2y >知，y 不存在。

若3x =，则3(27)y y +。

所以，327y y ≤+，又3y >，因此，4y =，5，6，7。

经验证只有7y =符合3(27)y y +。

将3x =，7y =代入题中方程，得6321z =，3z =。

∴ 符合条件的正整数解有()(135)x y z =，，，，或(373)，，。

12．已知0a >，0b >，0c >，则5823232b c a c b ca b b c c a++++++++的最小值为 。

【答案】 6【解答】 设a b x +=，23b c y +=，2c a z +=，则0x >，0y >，0z >。

且4237x y z a -+=，3237x y z b +-=，227x y zc -++=。

∴ 5b c x y z +=-++，82424a c x y z +=-+，3b c x y z +=+-。

∴ 5823424232b c a c b c x y z x y z x y zm a b b c c a x y z+++-++-++-=++=+++++ 4444(1)(2)(1)()()()442446y z x z x y y x z x z yx x y y z z x y x z y z=+-++-++-=+++++-≥++-= 当且仅当4y xx y =，z x x z =，4z y y z=，即2y x =，z x =，2y z =，即2y x =，z x =时等号成立。

（如7x z ==，14y =，即3a =，4b =，2c =时等号成立）。

∴ 5823232b c a c b ca b b c c a++++++++的最小值为6。

三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分） 13．已知()ln f x x =，2()241g x x ax a =-+-。

（1）若函数(())f g x 在区间[]13，上为单调函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数(())g f x 在区间31e ⎡⎤⎣⎦，上的最小值为2-，求实数a 的值。

【答案】（1）依题意，2(())ln(241)f g x x ax a =-+-。

由(())f g x 在区间[]13，上为单调函数，知()g x 在区间[]13，上是单调函数，且()0g x >。