一次函数的对称变换(2020年6月9日,有改动)

专题24 一次函数图象与几何变换之平移、旋转与对称（原卷版）类型一 平移1．（2022秋•南京期末）将一次函数y ＝﹣2x +3的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为（ ）A ．y ＝﹣2x +1B ．y ＝﹣2x ﹣5C ．y ＝﹣2x +5D ．y ＝﹣2x +72．（2022秋•埇桥区期中）将直线y ＝x +1向上平移5个单位长度后得到直线y ＝kx +b ，则下列关于直线y ＝kx +b 的说法错误的是（ ）A ．函数图象经过第一、二、三象限B ．函数图象与x 轴的交点在x 轴的正半轴C ．点（﹣2，4）在函数图象上D ．y 随x 的增大而增大3．（2019•雅安）如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =√33x +1与直线l 2：y =√3x 交于点A 1，过A 1作x 轴的垂线，垂足为B 1，过B 1作l 2的平行线交l 1于A 2，过A 2作x 轴的垂线，垂足为B 2，过B 2作l 2的平行线交l 1于A 3，过A 3作x 轴的垂线，垂足为B 3…按此规律，则点A n 的纵坐标为（ ）A ．（32）nB ．（12）n +1C ．（32）n ﹣1+12D ．3n −124．（2022•南京模拟）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 在第一象限，且BC ∥x 轴．直线y ＝x 从原点O 出发沿x 轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD 截得的线段长度m 与直线在x 轴上平移的距离t 的函数图象如图2所示，那么平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．5B ．5√2C ．10D ．10√25．（2021秋•白银期末）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P'，且P'在直线y＝kx+3上，把直线y＝kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为．6．（2008秋•宿迁期末）已知直线l1：y＝kx+b与直线y＝2x平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为4．（1）求直线l1的解析式；（2）直线l1经过怎样平移可以经过原点；（3）求直线l1关于y轴对称的直线的解析式．类型二旋转7．（2022•碑林区二模）把一次函数y＝x+1的图象绕点（2，0）顺时针旋转180°所得直线的表达式为（）A．y＝﹣x+2B．y＝﹣x+3C．y＝x﹣4D．y＝x﹣58．（2022•安阳县一模）将y＝x的函数图象绕点（1，1）顺时针旋转90°以后得到的函数图象是（）A．B．C．D．9．（2021秋•华容区期末）已知一次函数y＝3x+12的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB 绕点A顺时针旋转90°，则点B的对应点B'的坐标为（）A．（8，﹣4）B．（﹣16，4）C．（12，8）D．（﹣12，16）10．（2021秋•三元区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−43x+4分别与x轴，y轴交于点A，B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（）A．（0，﹣4）B．（0，−94）C．（0，−43）D．（0，−34）11．（2022秋•虹口区校级月考）平面直角坐标系中有一直线l1：y＝﹣2x+5，先将其向右平移3个单位得到l2，再将l2作关于x轴的对称图形l3，最后将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，则直线l4的解析式为（）A．y=−12x−11B．y=−12x−2C．y=12x+1D．y=12x−812．（2022•秦淮区校级模拟）将函数y＝﹣2x+4的图象绕图象上一点P旋转n°（45＜n＜90），若旋转后的图象经过点（3，5），则点P的横坐标不可能是（）A．﹣1B．0C．1D．213．（2022•敖汉旗一模）如图一次函数y＝x+√3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B 顺时针旋转30°交x轴于点C．则线段AC的长为．14．（2022春•顺德区校级月考）如图，已知点A：（2，﹣5）在直线l1：y＝2x+b上，l1和l2：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8，将直线l1绕点A逆时针旋转45°与直线l2，相交于点Q，则点Q 的坐标为．15．（2022秋•渠县期末）【建立模型】课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△MDC≌△CEB．（无需证明）：【模型运用】（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标；（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A 顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式；（3）如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．类型三对称16．（2021秋•藤县期末）直线y＝2x+3与直线l关于x轴对称，则直线l的解析式为（）A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝﹣2x+3D．y＝﹣2x﹣317．已知，点A（m+1，1），B（3，n﹣2）关于x轴对称，则一次函数y＝mnx﹣n的图象大致是图中的（）A．B．C．D．18．（2021秋•新郑市期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，m）在第三象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为（）A．3B．1C．﹣1D．﹣319．（2022秋•苏州期末）如图，直线y=−23x+4交x轴，y轴于点A，B，点P在第一象限内，且纵坐标为4．若点P关于直线AB的对称点P'恰好落在x轴的正半轴上，则点P'的横坐标为（）A．313B．35C．53D．13320．（2021春•莒南县期末）若直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且L1与L2关于x轴对称，则L1与L2的交点坐标为．21．已知直线l1的解析式为y＝2x﹣6，直线l2与直线l1关于y轴对称，则直线l2的解析式为．22．（2022•南通一模）已知一次函数y＝2x+3，则该函数图象关于直线y＝x对称的函数解析式为．23．（2022秋•望花区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=34x+6交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是．24．（2022秋•沙坪坝区期末）如图，正比例函数y1＝x与一次函数y2=ax−53(a≠0)交于点A（﹣1，m）．（1）求出一次函数y2的解析式，并在图中画出一次函数y2的图象；（2）点C与点B（4，2）关于y1函数图象对称，过点B作直线BD∥x轴，交一次函数y2的图象于点D，求△CBD的面积．25．（2022秋•临川区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G 的[l1，l2]伴随图形．例如：点P（2，1）的[x轴，y轴]伴随图形是点P'（﹣2，﹣1）．（1）点Q（﹣3，﹣2）的[x轴，y轴]伴随图形点Q'的坐标为；（2）已知A（t，1），B（t﹣3，1），C（t，3），直线m经过点（1，1）．①当t＝﹣1，且直线m与y轴平行时，点A的[x轴，m]伴随图形点A'的坐标为；②当直线m经过原点时，若△ABC的[x轴，m]伴随图形上只存在两个与x轴的距离为0.5的点，直接写出t的取值范围．。

一次函数图象的变换——对称求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住对称点的坐标解决问题。

知识点：1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。

设l上任一点的坐标为（x,y），则（x, -y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。

2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。

设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x, y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。

下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例：已知直线y=2x+6.分别求与直线y=2x+6关于x轴，y轴和直线x=5对称的直线l的解析式。

分析：关于x轴对称时，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直坐标轴）对称时，则相关点解：1、关于x轴对称设点（ x , y ）在直线l上，则点（ x , -y ）在直线y=2x+6上。

即：-y=2x+6y=-2x-6所以关于x轴对称的直线l的解析式为：y=-2x-6.关于直线对称。

2、关于y轴对称设点（x,y）在直线l上，则点（-x,y）在直线y=2x+6上。

即：y=2(-x) +6y=-2x+6所以关于y轴对称的直线l的解析式为：y=-2x+6.3、关于直线x=5对称（作图）由图可知：AB=BC则C点横坐标：-x+5+5=-x+10所以点C （-x+10, y）设点（x,y）在直线l上，则点（-x+10, y）在直线y=2x+6上。

即：y=2（-x+10）+6y=-2x+26所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为：y=-2x+26.总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。

关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题中分析的方法去求对称点。

点关于一次函数对称
一次函数对称：
1、定义：
一次函数的对称是指可以通过某种变换来使函数的图像变得对称，这
种变换是把函数折叠后，将原函数的一半区域映射到其他一半区域，
使得函数呈现出对称性。

2、对称轴及其直线表达式：
对于具有对称性的函数，一次函数的对称轴是把函数折叠之后，将原
函数图像左半部分映射到右半部分的轴线。

其直线表达式是：y=kx+b ，其中k是函数的斜率，如果b=0，则为垂直对称；如果k=0 ，则为水平对称。

3、三个特殊的对称：
（1）原点对称：当函数的对称轴为原点时，此对称称为原点对称，其
直线表达式为：y=kx。

（2）垂直对称：当函数的对称轴是垂直于x轴的，此对称为垂直对称，其直线表达式为：y=b。

（3）水平对称：当函数的对称轴是水平于x轴的时候，此对称为水平
对称，其直线表达式为：x=b。

4、对称图像：
对于对称图像，当把某一自变量变成它的相反数，或者把单调的函数
变成它的倒图，图形就变得对称了。

两个函数的对称图像还可以叠加出一个新的函数，新函数的课值等于两个相对应自变量和函数值相加或相减。

5、一些关于对称的应用：
（1）对称在微积分中有很多应用，对导数、积分等数学概念及其计算有很大帮助；
（2）空气粘度图型是一种球形、圆柱或抛物面等有对称性的图形；（3）在许多物理实验中，常常利用对称性推理来确定力的方向，特别是复杂的力学现象；
（4）在生物学中，例如有机体的形状或器官的对称也是一种对称性形式；
（5）绝缘分析和电路的设计也要利用到对称性的知识；
（6）在机械工程中，大多数零件或者结构都具有某种程度的对称性，需要运用到对称性的相关知识。

）左右平移过程中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量，向左平移自变量变小，因此要加上平移的变大，因此要减去平移的量，简述为“左加右减”．
“左加右减，上加下减；左右平移在括号，上下平移在末稍”．
（）关于轴对称（翻折）后，纵坐标不变，横坐标变为相反数．
即关于轴对称后的解析式为18/06/12
x x 2y y =kx +b y
（）关于原点对称（绕原点旋转即关于原点对称后的解析式为【方法】口诀：“关于谁，谁不变；另一个，变相反；关于原点都要变”．
（）关于直线对称（翻折）
【方法】
①根据两点确定一条直线，结合图形求出对称后直线上两个点的坐标，再用待定系数法求出解析式即可．3y =kx +b 已知直线与直线1y =kx +b 2y =n
【方法】根据两点确定一条直线，结合图形求出对称后直线上两个点的坐标，再用待定系数法求出解析式即可．
直线绕原点逆时针旋转后的解析式为（ ）．
A. B. C. D. y =3x O 90∘y =− x 13
y =3x
y = x 13
y =−3x。

一次函数图象的平移变换问题的探究求一次函数图象平移后的解析式是一类重要题型，在各省市中考试题频繁亮相.在一次函数y kx b =+中常数k 决定着直线的倾斜程度：直线111y k x b =+与直线222y k x b =+平行⇔12k k =.一、一次函数平移的三种方式：⑴上下平移：在这种平移中，横坐标不变，改变的是纵坐标也就是函数值y .平移规律是上加下减.⑵左右平移：在这种平移中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量x .平移规律是左加右减.⑶沿某条直线平移：这类题目稍有难度.“沿”的含义是一次函数图象在平移的过程中与沿着的那条直线的夹角不变.解题时抓住平移前后关键点坐标的变化. 二、典型例题：（1）点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是 ___，直线21y x =+向下平移2个单位后的解析式是所谓平移变换就是在平面内，.经过平移后的图形与原来的图形相比大小、形状不变，只是位置发生了变化.简单的点P （x ，y ）平移规律如下：（1）将点P （x ，y ）向左平移a 个单位，得到P 1（x －a ，y ） （2）将点P （x ，y ）向右平移a 个单位，得到P 2（x+a ，y ） （3）将点P （x ，y ）向下平移a 个单位，得到P 3（x ，y －a ）（4）将点P （x ，y ）向上平移a 个单位，得到P 4（x ，y+a ）反之也成立.下面我们来探索直线的平移问题.【引例1】探究一次函数l ：y=32x 与1l ：y=32x+2，2l ：y=32x －2的关系. .【拓广】：一般地，一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx 的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b 个单位长度得到的一条直线.【应用】：例1、（08上海市）在图2中，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．2lx练习1. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 2. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 3. 过点（2，-3）且平行于直线y=2x 的直线是____ _____。

函数图像的对称性一、点的对称1、在平面直角坐标系中，已知点P),(ba，则（1）点P到x轴的距离为b；（2）点P到y轴的距离为a；（3）点P到原点O的距离为PO＝22ba+2、平行直线上的点的坐标特征：a)在与x轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；点A、Bb)在与y点C、D的横坐标都等于n；3、对称点的坐标特征：c)点P),(nm关于x轴的对称点为),(1nmP-，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；d)点P),(nm关于y轴的对称点为),(2nmP-，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；e)点P),(nm关于原点的对称点为),(3nmP--，即横、纵坐标都互为相反数；关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称4、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：f)若点P（nm,）在第一、三象限的角平分线上，则nm=，即横、纵坐标相等；g)若点P（nm,）在第二、四象限的角平分线上，则nm-=，即横、纵坐标互为相反数；XXX XP在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上二、(一次函数)： 1、若直线与直线关于（1）x 轴对称，则直线l 的解析式为 （2）y 轴对称，则直线l 的解析式为（3）原点对称，则直线l 的解析式为 （4）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为（5）直线对称，则直线l 的解析式为2、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠（2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b =（4）两直线垂直⇔121-=k k三、二次函数：二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。

一次函数图象的变换——对称求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住对称点的坐标解决问题。

知识点：1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。

设l上任一点的坐标为（x,y），则（x, -y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。

2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。

设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x, y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。

下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例：已知直线y=2x+6.分别求与直线y=2x+6关于x轴，y轴和直线x=5对称的直线l的解析式。

分析：关于x轴对称时，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直坐标轴）对称时，则相关点解：1、关于x轴对称设点（x , y ）在直线l上，则点（x , -y ）在直线y=2x+6上。

即：-y=2x+6y=-2x-6所以关于x轴对称的直线l的解析式为：y=-2x-6.关于直线对称。

2、关于y轴对称设点（x,y）在直线l上，则点（-x,y）在直线y=2x+6上。

即：y=2(-x) +6y=-2x+6所以关于y轴对称的直线l的解析式为：y=-2x+6.3、关于直线x=5对称（作图）由图可知：AB=BC则C点横坐标：-x+5+5=-x+10所以点C （-x+10, y）设点（x,y）在直线l上，则点（-x+10, y）在直线y=2x+6上。

即：y=2（-x+10）+6y=-2x+26所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为：y=-2x+26.总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。

关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题中分析的方法去求对称点。

数学实验:一次函数图象的对称变换作者：李德志来源：《读与写·下旬刊》2012年第05期(安徽省阜阳市插花中学安徽阜阳 236136)摘要：尝试用数学实验教学方式，是一种新的教学方式的探索，但是目前广大数学教师对它的认识还较少，在中学数学教学中开设数学实验课值得探索。

本文通过对点关于点或直线对称变换的探索和验证，进一步探索直线关于点或直线对称变换的规律，再通过函数图象来验证.用这种方式对培养学生的创新意识和实践能力具有意想不到的效果。

关键词：对称变换；实验；归纳；函数图象中图分类号：G633.6 文献标识码：B文章编号：1672-1578（2012）05-0166-02数学实验就是运用计算机、几何画板等相关软件的信息技术工具解决数学问题，在中学，数学实验就是学生利用计算器或计算机等信息技术工具，自己动手学习和解决数学问题。

在近几年的探索中，笔者逐渐摸索出来实验过程中的方法和步骤。

首先，应该有指导思想，即教师创设恰当的问题情景，或直接利用教科书中的数学实验题，引导学生通过操作计算机，主动、积极、审慎地思考问题，创造性地解决问题，培养他们的探索意识和能力；其次，要有实施实验的具体步骤，主要包括以下一些内容：实验课题、实验背景、实验目的、实验工具、实验方法、实验过程、对实验结果的分析猜想、对实验结果的证明、结合实验结果进行问题讨论、结论的拓广等。

以下就“函数图象的对称变换的验证”为例探讨实施数学实验教学的一般方法。

实验课题：函数图象的对称变换的验证。

实验背景：初中学生学习一次函数知识的时候，学习过一个点关于坐标轴或原点对称时，对称的两个点坐标的变化规律。

学生学习的过程中，对抽象函数符号表示的函数y=ax+b的研究，一直以来是学习的难点，特别是在给定条件时研究该函数的性质，更是感到困难重重，通过研究特殊而推知一般的方法在这里就可以起到帮助学生理解抽象问题的作用.对称变换是其中一种重要的变换，通过研究点的对称变换的结论可以猜想函数图象的对称变换规律，并且用它解决实际问题，经过类比可以探求其他变换的规律.对培养学生的主动探究和知识拓展有重大的指导意义.此外，经过学生的亲身实践，不仅可以体验数学过程，还能提高学习数学的兴趣。

一次函数对称问题一次函数对称问题，这听起来好像是个严肃的话题，但实际上，咱们可以把它聊得轻松一点。

想象一下，你走在大街上，突然发现两边的建筑物在你面前对称得像镜子里的倒影。

哎呀，这可不是巧合，这可得从数学的角度来捋一捋。

一次函数，简单说，就是一种直线方程，通常写成y = mx + b。

这里的m就是斜率，b则是y轴的截距。

没啥复杂的，就是一条直线在平面上滑来滑去。

这条直线就像你平常吃的方便面，简单又美味，但吃久了也会觉得单调。

这个对称问题又是个啥呢？其实嘛，想想你跟朋友站在一条直线上，假设你们站在x轴的两边，正好是对称的。

这个时候，如果你的朋友往前走一步，你要不要跟着走？当然要啊，不然就没意思了。

这个对称就是一次函数的一种表现。

当我们把这条直线在y轴上折一折，它的两个部分就像你和朋友一样，相互呼应，彼此对称。

想象一下，在数学的世界里，这种美感可是让人心醉神迷。

而且一次函数对称问题不仅仅是个图形上的小把戏，它在生活中也随处可见。

比如你跟朋友一起去吃饭，点了同样的菜，结果你们各自只吃了一半，这就是一种对称呀。

一人一半，各自都满意，这样的场景是不是很有趣？再比如说，一对恋人，他们在一起时，往往会有许多相似之处，像两颗星星在天空中闪烁，对称又和谐。

生活中每一个小细节，几乎都能找到一次函数对称的影子。

再说到数学课上，老师一讲到一次函数，大家的眼神就像被一盆冷水浇灭了热情。

可是你想啊，掌握了这些知识，考试的时候可是能得不少分的呢！想象一下，考试前的晚上，你在灯下捧着书，突然灵光一现，觉得原来对称是这么简单。

这种成就感简直让人想跳起来，仿佛自己发现了新大陆。

怎么才能把一次函数的对称问题理解得更透彻呢？学会用图形来理解是个好办法。

拿一张白纸，画出x轴和y轴，接着把y = mx + b这条线画出来。

然后，试着在y轴上折一下，看它是不是变得像个双胞胎一样。

这种直观的理解，简直像吃了一口甜蜜的巧克力，心里满是欢喜。

很多同学可能会觉得一次函数只是个冷冰冰的数学公式，但其实它有它的温度。

一次函数的平移及对称变换一．平移变换：1．将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（）A．y=2x﹣5 B．y=2x+5 C．y=2x+8 D．y=2x﹣82．直线y=2x+3是由向下平移4个单位长度得到（）A．y=2x﹣1 B．y=2x+1 C．y=﹣4x+3 D．y=2x+73．直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=﹣2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围（）A．﹣2＜m＜1 B．m＞﹣1 C．﹣1＜m＜1 D．m＜14．将直线y=x+1向右平移4个单位后得到直线y=kx+b，则k+b的值为（）A．﹣ B．﹣1 C．D．15．把直线y=2x﹣1向左平移1个单位，平移后直线的关系式为（）A．y=2x﹣2 B．y=2x+1 C．y=2x D．y=2x+26．将直线y=2x+1变成y=2x﹣1经过的变化是（）A．向上平移2个单位B．向下平移2个单位C．向右平移2个单位D．向左平移2个单位7．一次函数y=x﹣1的图象经过平移后经过点（﹣4，2），此时函数图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．如图，在平面直角坐标系中，点P（﹣，a）在直线y=2x+2与直线y=2x+4之间，则a的取值范围是．9．若一次函数y=﹣x+b﹣的图象不过第三象限，则b的取值范围是．10．把直线y=﹣x+3向上平移m个单位长度后，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为18，则m的值等于．11．将函数y=3x+1的图象向平行移动个单位，可使它经过点（1，﹣1）．12．已知直线y=2x+2平移后过点A（3，2），请你求出平移后的直线的解析式，并通过计算判断点P（2a，4a﹣4）是否在这条直线上．13．直线y=kx+b与y=﹣5x+1平行，且经过（2，1），则k+b=．二、对称变换：1．直线l与直线y=2x﹣1关于x轴对称，直线l的解析式为（）A．y=2x+1 B．y=﹣2x﹣1 C．y=﹣2x+1 D．y=x﹣12．已知直线y=﹣x+1与直线a关于y轴对称，则直线a的函数表达式是．3．求一次函数y=2x+1的图象关于原点对称图象的解析式．4．光线从M（﹣2，3）射到x轴上一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在直线的解析式。

一次函数图象的变换——对称求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住对称点的坐标解决问题。

知识点：1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。

设l上任一点的坐标为（x,y），则（x, -y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。

2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。

设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x, y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。

下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例：已知直线y=2x+6.分别求与直线y=2x+6关于x轴，y轴和直线x=5对称的直线l的解析式。

分析：关于x轴对称时，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直坐标轴）对称时，则相关点解：1、关于x轴对称设点（ x , y ）在直线l上，则点（ x , -y ）在直线y=2x+6上。

即：-y=2x+6y=-2x-6所以关于x轴对称的直线l的解析式为：y=-2x-6.关于直线对称。

2、关于y轴对称设点（x,y）在直线l上，则点（-x,y）在直线y=2x+6上。

即：y=2(-x) +6y=-2x+6所以关于y轴对称的直线l的解析式为：y=-2x+6.3、关于直线x=5对称（作图）由图可知：AB=BC则C点横坐标：-x+5+5=-x+10所以点C （-x+10, y）设点（x,y）在直线l上，则点（-x+10, y）在直线y=2x+6上。

即：y=2（-x+10）+6y=-2x+26所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为：y=-2x+26.总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。

关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题中分析的方法去求对称点。

一次函数图象的平移及解析式的变化规律我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律:一次函数的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规()0≠+=k b kx y 律:（1）上下平移,值不变,值“上加下减”:将一次函数的图象向上平移k b ()0≠+=k b kx y 个单位长度,解析式变为;将一次函数的图象m ()0≠++=k m b kx y ()0≠+=k b kx y 向下平移个单位长度,解析式变为.m ()0≠-+=k m b kx y （2）左右平移,值不变,自变量“左加右减”:将一次函数的图象向左k x ()0≠+=k b kx y 平移个单位长度,解析式变为,展开得;n ()()0≠++=k b n x k y ()0≠++=k b kn kx y 将一次函数的图象向右平移个单位长度,解析式变为()0≠+=k b kx y n ,展开得.()()0≠+-=k b n x k y ()0≠+-=k b kn kx y 注意:（1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,值不变,值改变.设上下平移k b 的单位长度为,则值变为;设左右平移的单位长度为,则值变为m b m b ±n b .kn b ±（2）上面的规律如下页图（51）所示.一一51一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一1. 将直线向下平移2个单位,得到直线________________.x y 3=2. 将直线向上平移5个单位,得到直线________________.5--=x y3. 将直线向下平移5个单位,得到直线________________.32+=x y4. 将直线向左平移1个单位,得到直线________________.23-=x y5. 将直线向上平移3个单位,得到的直线是________________.12--=x y6. 将一次函数的图象沿轴向上平移8个单位长度,所得直线的函数32-=x y y 表达式为【 】（A ） （B ）52-=x y 52+=x y （C ）（D ）82+=x y 82-=x y7. 将直线向右平移2个单位所得的直线是x y 2=【 】（A ） （B ）22+=x y 22-=x y （C ）（D ）()22-=x y ()22+=x y 8. 将函数的图象沿轴向上平移2个单位后,所得图象对应的函数表达x y 3-=y 式为【 】（A ） （B ）23+-=x y 23--=x y （C ）（D ）()23+-=x y ()23--=x y 9. 直线向下平移4个单位,得到直线________________.43+=x y 10. 函数的图象可以看作由函数的图象向_________平移32-=x y 72+=x y _________个单位得到.11. 把函数的图象向下平移4个单位后的函数图象的表达式为32+-=x y 【】（A ） （B ）72+-=x y 36+-=x y （C ）（D ）12--=x y 52--=x y 12. 将直线向上平移5个单位后,所得直线的表达式是_____________.42-=x y 13. 直线沿轴向下平移5个单位,则平移后直线与轴的交点坐标为23+=x y y y _________.14. 若直线平行于直线,且过点,则该直线对应的函数表b kx y +=43-=x y ()2,1-达式是【 】（A ）（B ）23-=x y 63--=x y（C ） （D ）53-=x y 53+=x y 15. 将直线先向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得直线x y 2=的表达式是________________.16. 直线向上平移3个单位长度后,所得直线与轴的交点坐标为12-=x y y _________.17. 已知直线,若该直线经过原点,则_________;若该直()3252-+-=k x k y =k 线与直线平行,则_________.53--=x y =k 18. 若把直线向上平移3个单位长度,得到的图象的表达式是 32-=x y 【 】（A ） （B ）x y 2=62-=x y （C ） （D ）35-=x y 3--=x y 19. 要从直线的图象得到直线,就要将直线 x y 34=324-=x y x y 34=【 】（A ）向上平移个单位 （B ）向下平移个单位3232（C ）向上平移2个单位 （D ）向下平移2个单位20. 函数的图象平行于直线,求函数的表达式.4-=kx y x y 2-=21. 已知一次函数,当时,.4-=kx y 2=x 3-=y （1）求一次函数的关系式;（2）将该函数的图象向上平移6个单位,求平移后的图象与轴的交点的坐标.x22. 一次函数的图象与轴交于点,且与直线平行,求b kx y +=y )2,0(-213-=x y 它的函数关系式.23. 在直线上分别找出满足下列条件的点,并写出它的坐标:321+-=x y （1）横坐标是;4-（2）和轴的距离是2个单位.x一一52一分析:若不借助于图象,只通过计算,你能确定上面问题的答案吗?。

一次函数的平移、轴对称、旋转平行公式：①上下平移h 个单位对应的一次函数解析h b kx y ±+= ②左右平移m 个单位对应的一次函数解析b m x k y +±=)（③平移21k k =垂直公式：21k k ⊥X 轴对称：021=+k k ，021=+b b Y 轴对称：021=+k k ，21b b =一、填空题1、将直线y ＝2x 向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为__ .2、把直线y= - 32 x -2向 平移 个单位，得到直线y= - 32(x+4)3、把直线y= - 32 x -2向 平移 个单位，得到直线y= - 32 (x+4)8. 直线y=kx+b 经过点（0，3）,且与两坐标轴构成的直角三角形的面积是6，则其解析式____ .正比例函数的图象与直线y= - 23x+4平行，则该正比例函数的解析式为 ____ .4、过点（2，1）的一次函数的图象与y ＝－2x ＋3平行，则这个函数的解析式为_____________．5、把直线y ＝7x －8向上平移10个单位得到的图象解析式为___________．6、在同一直角坐标系中，把直线y=-2x 向 平移 单位，就得到了y=-2x+3的图像.二解答题： 1、如图，把直线2y x =-向上平移后得到直线AB ，直线AB 经过点()a b ，，且26a b +=，求直线AB 的解析式是x2y =-2、已知直线21l l 垂直， 1l ：的一次函数解析为y=2x-1，求经过点A （1,2）的直线，求2l 的一次函数解析式：3、已知直线1l 与2l 关于A （1,2）中心对称，1l ：的一次函数解析为y=2x-1，求2l 的一次函数解析式：4、求图象经过点（2，-1），①且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式． ②且与直线y=2x+1关于X 轴对称的一次函数的表达式. ③且与直线y=2x+1关于Y 轴对称的一次函数的表达式.5、一次函数的图象经过点A(-2,-1),①且与直线y=2x-1平行的一次函数的表达式． ②且与直线y=2x-1关于X 轴对称的一次函数的表达式. ③且与直线y=2x-1关于Y 轴对称的一次函数的表达式.6、如图直线y=34x+8与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，若将△ABM 沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点P 处，求直线AM 的解析式.7、已知一条直线与y 轴交于点A （0，－4），与x 轴交于点B （－3，0）． （1）在直角坐标系中画出这条直线； （2）求这条直线的解析式；（3）若点C 与点A 关于x 轴对称，求△ABC 的面积与周长．8、已知点A 的坐标为(1，0)，点B 在直线y x =-上运动，当线段AB 最短时，求点B 的坐标。

18.如图，已知等腰△AOB 放置在平面直角坐标系xOy 中， OA=OB ，点B 的坐标为(3，4) . （1）求直线AB 的解析式； （2）问将等腰△AOB 沿x 轴正方向平移多少个单位，能使点B 落在反比例函数32y x= （x ＞0）的图象上.17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AD =6，A （1，0）， B （9，0），直线y =kx +b 经过B 、D 两点． （1）求直线y =kx +b 的表达式；（2）将直线y =kx +b 平移，当它l 与矩形没有公共点时，直接写出b 的取值范围．17. （本小题满分5分）已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于A （－2，1）、 B （1，n ）两点．（1）求反比例函数的解析式和B 点的坐标；（2）在同一直角坐标系中画出这两个函数图象的示意图，并观察图象回答：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？（3）直接写出将一次函数的图象向右平移1个单位长度后所得函数图象的解析式．1 2 3 4 43 21 xyO -1 -2 -3 -4 -4-3 -2-117．如图，正比例函数y kx =和反比例函数my x=的图象都经过 点(33)A ，，将直线y kx =向下平移后得直线l ，设直线l 与 反比例函数的图象的一个分支交于点(6)B n ，． （1）求n 的值； （2）求直线l 的解析式．17．已知反比例函数ky x=的图象经过点(22)P ，，直线y x =-沿y 轴向上平移后，与反比例函数图象交于点(1)Q m ，．（1）求k 的值；（2）求平移后直线的解析式.17．已知：如图，直线与轴、轴分别交于点和点，是轴上的一点，若将△沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，求直线的解析式．18．如图，点C （1,0）是x 轴上一点，直线PC 与双曲线k y x=交于点P ，且∠PCB =30°，PC 的垂直平分线交x 轴于点B(1)求双曲线和直线PC 的解析式；(2)设'P 点是直线PC 上一点，且点'P 与点P 关于点C323+-=x y x y A B D y DAB DA B x C CD20．如图，将直线x y 4=沿y 轴向下平移后，得到的直线与x 轴交于点A （0,49），与双曲线ky x=（0x >）交于点B ． （1）求直线AB 的解析式； （2）若点B 的纵坐标为m ， 求k 的值（用含m 的代数式表示）．在平面直角坐标系xOy 中，将直线y kx =向上平移3个单位后，与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(2,)A m ，试确定平移后的直线解析式和反比例函数解析式．17．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，它的纵坐标是横坐标的2倍，反比例函数xy 8=的图象经过点A ．正比例函数y=kx 的图象绕原点顺时针旋转90°后，恰好经过点A ，求k 的值．17．如图，直线y x n =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与双曲线4y x=在第一象限内交于点(,4)C m . （1）求m 和n 的值；（2）若将直线AB 绕点A 顺时针旋转15︒得到直线l ，求直线l 的解析式.xyOA6246 -2 -2-6 2-8-4 4xyOA1yBAOx17．如图，平面直角坐标系中，直线b kx y +=与x 轴交于点A （2，0）， 与y 轴交于点B , 且tan ∠BAO =3． （1） 求直线的解析式；（2） 将直线b kx y +=绕点B 旋转60°，求旋转后的直线解析式18．如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A （2，0），与y 轴交于点B ，点D 在直线AB 上． ⑴求直线AB 的解析式；⑵将直线AB 绕点A 逆时针旋转30°，求旋转后的直线解析式．17. 如图所示，平面直角坐标系中，在反比例函数xy 4-= 的图像上取一点B ，过点B 分别作y 轴、x 轴的垂线，垂足为点C A 、，如果四边形OABC 是正方形； （1）求点B 坐标；（2）如果正比例函数x y 2-=向下平移后经过点B ，求平移后一次函数的解析式.（3）求平移后一次函数与x 轴的交点坐标. 17. 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数k y x =的图象与3y x=的图象关于x 轴对称，且反比例函数ky x=的图象经过点(1)A n -，，试确定n 的值．17.在平面直角坐标系xOy 中，一次函数b kx y +=的图象与一次函数32+=x y 的图象关于x 轴对称，又与反比例函数xny =的图象交于点(3)A m ，，试确定n 的值．第17题图。

一次函数的对称问题口江苏曹兆民刘军学习了平面直角坐标系后,经常会遇到一些求称的图象的解析式为一 ,一次函数图象关于原点对称的图象的解析式为 ? .对称点坐标的问题我们知道,点的对称主要有关于应用上面的结论.可以解决一些实际问题.轴对称、关于轴对称和关于原点对称。

而且符号变化规律为:关于轴对称,横坐标不变,纵坐标互倒我们设想用电脑模拟台球游戏.为简单起为相反数;关于轴对称,横坐标互为相反数,纵坐见,约定:①每个球袋视为一个点,如果不遇到障碍,标不变;关于原点对称,横坐标互为相反数,纵坐标各球均沿直线前进; 球击球,意味着曰球在互为相反数.而在学习了一次函数的图象性质后,也球前进的路线上,且日球被撞击后沿球原来的方出现了一些有关一次函数图象的对称的问题.现举向前进;③球撞击桌边后的反弹角度等于入射角度例说明. 如下图中的厶.如图、图所示,建立平面侧 , 求一次函数的图象关于轴对称直角坐标系.设桌上只剩下球 ,球 .的直线的解析式.分析:一次函数图象的对称问题一般可转化为图象上的两个点的对称问题.解:设所求的直线的解析式为:.在函数图象上取两点 , 和一 , ,则这两个点关于轴对称的点 ,一和一 , 一定图图在所求的直线上.如图 ,希望球撞击桌边上点后反由待定系数法,解得:后:一 , 一 .弹,再击中球 .请给出一个算法,告知电脑怎样找到故所求的直线的解析式为: 一一 .点,并求出点的坐标.一般地,对直线≠ ,其与坐标轴的如图 ,设桌边上有一球袋 , ., 厶 ,判断球被从点反弹出的球撞击后能否直接交点为 , , ÷, .若求直线关于轴的对称的\落入球袋中.直线,则这两点关于轴的对称的点 ,一 ,如图。

若用球直接击打球 ,球撞击、÷, 》一定在所要求的直线上.由待定系数法,可桌边上的点后反弹.问:球曰从点反弹后能否直接进入球袋中求得直线的解析式为: 一 ? .解:如图 ,作点关于轴的对称点 ,连 /同理可得:一次函数图象关于一轴的对号毒五誊礤巍成暴笈毒:在◇出版≮物理译快报上一、。