上海市华二附中高二期中数学卷

1华二附中2023学年第一学期高二年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第16~题每题4分,第7-12题每题5分）1．直线3310x y +-=的倾斜角为______．2．抛物线2y x =的准线方程为______．3．已知12,F F 是椭圆22:132x y C +=的两个焦点，椭圆C 上的两个动点P 、Q 与1F 满足三点共线，则2PQF △的周长是______．4．平行直线210x y +-=与2430x y ++=的距离为______．5．已知双曲线2221(0)4x y m m -=>的一条渐近线方程是520x y -=，则m =______．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点12,F F 是两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得12120F PF ∠=︒，则该椭圆的离心率的取值范围是______．7．斜率为1的直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，若l 与圆22(5)8x y -+=相切，则P 等于______．8．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为______．9．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为170米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为202米，则该双曲线的离心率为______．210．已知,x y 为实数，代数式22221(2)9(3)y x x y +-++-++的最小值是______．11．如图，从双曲线22135x y -=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点,P T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -=______．12．已知,P Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=与圆22:(4)5D x y +-=上的点，O 是坐标原点，则2||||2PQ PO +的最小值为______．二、选择题（共4题，共18分，13-14题每题4分，15-16每题5分）13．椭圆22152x y +=的长轴长为（）A ．25B ．5C ．4D ．214．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若,A B 两点的横坐标之和为3，则||AB =（）A ．5B ．143C ．133D ．415．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为3,ABE △，,BEC ECD △△均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AB BP ⋅的最大值为（）A ．43B ．12C ．123D ．3316．把方程||||194x x y y +=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的是（）①()f x 在R 上单调递减；②()y f x =的图像关于原点对称；③函数()3()2g x f x x =+不存在零点；④()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④三、解答题（共5题，共78分）17．（14分）直线1:2110l x y +-=与直线2:2100l x y +-=相交于点P ，直线l 经过点P （1）若直线2l l ⊥，求直线l 的方程：（2）若直线l 在坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．18．（14分）已知抛物线2:2C y px =（p 为常数，0p >）的焦点F 与椭圆22195y x +=的右焦点重合，过点F 的直线与抛物线交于,A B 两点．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若直线AB 的斜率为1，求||AB ．419．（14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区，已知tan 3,6MON OA ∠=-=（百米），Q 到直线ON ，ON 的距离分别为3（百米）（百米）．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区．（1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，2r=（百米）(09,01)t a ≤<<<，当喷泉表演开始时，一观光车s （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA（百米/分钟）的速度开往休息区A ．问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．20．（18分）设双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的一个焦点坐标为，离心率,e A B=是双曲线上的两点，AB的中点(1,2)M．（1）求双曲线C的方程：（2）求直线AB方程：（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，问A、B、C、D四点是否共圆?若共圆求之，若不共圆给予充分理由．5621．（18分）如图，D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 并延长至点W ，使得||1WA =，点W 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若过点(2,0)K -的两条直线12,l l 分别交曲线C 于,M N 两点，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点：（3）若曲线C 交y 轴正半轴于点S ，直线0x x =与曲线C 交于不同的两点,G H ，直线SH ，SG 分别交x 轴于,P Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得2ORP ORQ π∠+∠=?若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．7参考答案一、填空题1.120;2.14x =-;3.;4.52; 5.5;6.,12⎫⎪⎪⎣⎭;7.218或;8.3;；11．如图，从双曲线22135x y -=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点,P T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -=______．-【解析】设双曲线的右焦点为1F ,因为O 为1FF 中点,M 为PF 中点,所以MO 为三角形1PFF 的中位线,11,2MO PF =又1122MT PT PM PF FT PF PF FT=-=--=-所以()112MO MT PF PF FT FT a-=-+=-a FT ===又所以MO MT -=.-.12．已知,P Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=与圆22:(4)5D x y +-=上的点，O 是坐标原点，则2||||2PQ PO +的最小值为______．【解析】由()2248x y -+=得22880x x y -++=,于是22222828,x x y x y -++=+从而()22221442x x y x y -++=+,=8等于点P 到点()2,0M 的距离.所以PQ PQ PM MQ =+ ,而min ||MQ =-=所以PQ +二、选择题13.A14.A 15.A 16.C15．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆DABE △，,BEC ECD △△均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AB BP ⋅的最大值为（）A．B ．12C．D ．3【答案】A【解析】以D 为坐标原点，AD 为x 轴，过D 做AD 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()((8,0,,A B C ---.圆D 的方程为223x y +=，可设)Pαα，所以(,AB BP αα==+- .故126sin 126AB BP πααα⎛⎫⋅=++-=+≤ ⎪⎝⎭故选:A.16．把方程||||194x x y y +=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的是（）9①()f x 在R 上单调递减；②()y f x =的图像关于原点对称；③函数()3()2g x f x x =+不存在零点；④()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】C【解析】由方程方程1x x y y +=-,当0x ,0y 时不成立;当0,0x y ><时,22149y x -=；当0,0x y <>时,22194x y -=;当0,0x y 时,22194x y +=;如下图示:由图判断函数在R 上单调递减,故(1)正确,(2)错误;当()320f x x +=,即()23f x x =-,函数()()32g x f x x =+的零点,就是函数()y f x =和23y x =-的交点,而23y x =-是曲线221,049y x x -=>,0y <和221,0,094x y x y -=<>的渐近线,所以没有交点.由图知,23y x =-和221,094x y x += ,0y 没有交点,所以函数()()32g x f x x =+不存在零点,故(3)正确;由图,()y f x =上的点到原点距离的最小值点应在0,0x y 的图象上,即满足22194x y +=,设(),P x y,PO ===,当0x =时取最小值2,故(4)正确.故选:C .三．解答题1017.（1）250x y -+=（2）43070x y x y -=+-=或18.（1）28y x =（2）16AB =19.（1）AB =(2)不会，理由略20．（18分）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为，离心率,e A B =是双曲线上的两点，AB 的中点(1,2)M ．（1）求双曲线C 的方程：（2）求直线AB 方程：（3）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，问A 、B 、C 、D 四点是否共圆?若共圆求之，若不共圆给予充分理由．【答案】（1）2212y x -=（2）1y x =+（3）略【解析】(1)依题意得c ce a ⎧=⎪⎨==⎪⎩,解得1a =.所以222312b c a =-=-=,故双曲线C 的方程为2212y x -=.(2)设()()1122,,,A x y B x y ,则有221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩.两式相减得:()()()()1212121212x x x x y y y y -+=-+,由题意得121212,2,4x x x x y y ≠+=+=,所以()1212121221x x y y x x y y +-==-+,即 1.AB k =故直线AB 的方程为1y x =+.11(3)假设A B C D 、、、四点共圆,且圆心为P .AB 为圆P 的弦,所以圆心P 在AB 垂直平分线CD 上,又CD 为圆P 的弦且垂直平分AB ,圆心P 为CD 中点M .下面只需证CD 的中点M 满足MA MB MC MD ===即可.由22112y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得:()1,0A -,()3,4B .由(1)得直线CD 方程:3y x =-+,由22312y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得:(3C -+(63D ---+,()3,6CD M ∴-⋅的中点2,MA MB MC MD MA MB MC MD ======∴=== 即A B C D 、、、四点在以点()3,6M -为圆心,为半径的圆上.21．（18分）如图，D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 并延长至点W ，使得||1WA =，点W 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若过点(2,0)K -的两条直线12,l l 分别交曲线C 于,M N 两点，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点：（3）若曲线C 交y 轴正半轴于点S ，直线0x x =与曲线C 交于不同的两点,G H ，直线SH ，SG 分别交x 轴于,P Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得2ORP ORQ π∠+∠=若存在，求出点R 坐标；若不存在，请说明理由．12【答案】（1）2214x y +=（2）见解析（3）存在，理由见解析【解析】(1)设()()00,,,W x y D x y ,则()()00,0,0,A x B y ,由题意知1AB =,所以WA AB = ,得()()000,,x x y x y --=-,所以00,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩因为22001x y +=,得2214x y +=,故曲线C 的方程为2214x y +=.(2)由题意可知,直线12,l l 不平行坐标轴,则可设1l 的方程为:2x my =-,此时直线2l 的方程为12x y m=--.由22214x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得:()22440m y my +-=,解得:244m y m =+或0y =(舍去),所以222428244m m x m m m -=⋅-=++,所以222284,44m m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,同理可得:222284,4141m m N m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.①当1m ≠±时,直线MN 的斜率存在,13()222224222244455556441,:,2828161644445441MN MN m m m m m m m m k l y x m m m m m m m ++⎛⎫++====+ ⎪-----⎝⎭-++所以直线MN 过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.②当1m =±时,直线MN 斜率不存在,此时直线MN 方程为:65x =-,也过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭,综上所述:直线MN 过定点6,05⎛⎫-⎪⎝⎭.(3)存在点。

1华二附中2024学年第一学期高二年级数学测试2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.直线l 上存在两点在平面α上，则l α(填一符号). 2.函数324y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的圆频率是 .3.已知{}n a 是等差数列,若75230a a −−=,则9a 的值是 .4.两条异面直线所成角的取值范围是 .5.已知复数z a i =−的实部与虚部相等,则z i −= .6.函数213y tan x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭的对称中心是 .7.三个互不重合的平面能把空间分成 . 8.数列{}n a 满足1111,12n n a a a +==−,则2024a = . 9.在ABC ∆中,::5:7:8sinA sinB sinC =,则该三角形外接圆与内切圆的面积之比是 . 10.如图,摩天轮的半径为50m,圆心O 距地面的高度为60m.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动,每15min 转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱.则游客进舱5min 时他距离地面的高度为 m.11.已知ABC ∆中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边,AB AC 于,M N 两点,设,(0,0)AM x AB AN yAC x y ==>>,则4x y +的最小值为 .12.对任意0,4π⎡⎤ϕ∈⎢⎥⎣⎦,函数()()f x sin x =ω+ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递增,则实数ω的取值范围是 .2二、选择题（本大题共有4题,满分18分,第13,14题每题4分,第15,16题每题5分） 13.设扇形的圆心角为α,半径为r ,弧长为l ,而积为S,周长为L ,则下列说法不正确的 是（ ）.A.若,r α确定,则,L S 唯一确定B.若,l α确定,则L S 唯一确定C.若,S L 确定，则,r α唯一确定D.若,1S 确定,则,r α唯一确定14.过正方体1111ABCD A B C D −的顶点A 作直线l ,使l 与棱1,,AB AD AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作（ ）.A.1条B.2条C.3条D.4条15.数列{}{},n n a b 满足21,32n n n a b a n n ⋅==++,则{}n b 的前10项之和等于（ ）. A.13 B.512 C.12 D.712 16.如图所示,角02x ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的终边与单位圆O 交于点(),10,P A ,PM x ⊥轴,AQ x ⊥轴,M 在x 轴上，Q 在角x 的终边上.由正弦函数、正切函数定义可知，sin ,tan x x 的值别等于线段,MP AQ 的长，且ΔOAP ΔOAQ OAP S S S <<扇形，则下列结论不正确的是（ ）. A.函数y tanx sinx x =++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点B.函数y tanx x =−在32222,,ππππ⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点C.函数y sinx x =−有3个零点D.函数y tanx sinx tanx sinx =+−−在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有13三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题, 17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 已知3,052sin ,π⎛⎫α=α∈ ⎪⎝⎭. （1）求23sin π⎛⎫α+ ⎪⎝⎭的值;（2）在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，已知角β的终边与角α的终边关于y 轴对称,求()cos α+β的值.18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)如图所示,在长方体1111ABCD A B C D −中,2AB BC ==,14,AA P =为线段11B D 上一点. (1)求证:AC BP ⊥;(2)当P 为线段11B D 的中点时,求点A 到平面PBC 的距离.419.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)在直角梯形ABCD 中,//,90,224AB CD DAB AB AD DC ∠====,点F 是BC 边上的中点. (1)若点E 满足2DE EC =,且EF AB AD =λ+μ,求λ+μ的值; (2)若点P 是线段AF 上的动点(含端点),求AP DP ⋅的取值范围.20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 如图，正方体的棱长为1,''B C BC O ⋂=，求： (1)AO 与''A C 所成角的度数; (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值; (3)B OA C −−的度数.521.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 若有穷数列{}n a 满足:10ni i a ==∑且11ni i a ==∑，则称其为"n 阶01−数列".（1）若"6穷01−数列"为等比数列,写出该数列的各项;（2）若某"21k +阶01−数列"为等差数列,求该数列的通项(121n a n k ≤≤+,用,n k 表示)； （3）记"n 阶01−数列"{}n a 的前k 项和为()123k S k ,,,,n =,若存在{}123m ,,,,n ∈,使12m S =,试问:数列{}()123i S i ,,,,n =能否为"n 阶01−数列"?若能,求出所有这样的数列{}n a ；若不能,请说明理由.6参考答案一、填空题1.⊂;2.2;3.3;4.0,2π⎛⎤⎥⎝⎦;5. 6.,1,46k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭; 7.4678或或或; 8.2; 9.499; 10.85； 11.94 12.13042,⎛⎤⎧⎫⋃−⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭11.已知ABC ∆中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边,AB AC 于,M N 两点,设,(0,0)AM x AB AN yAC x y ==>>,则4x y +的最小值为 . 【答案】94 【解析】()12AD AB AC =+,且E 为AD 的中点,()1124AE AD AB AC ∴==+,11,,(0,0),AM x AB AN y AC x y AB AM AC AN x y==>>∴==,,,M E N 三点共线,11144x y∴+=, ()1111944111444444y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=+++++= ⎪⎝⎭…故答案为:94 12.对任意0,4π⎡⎤ϕ∈⎢⎥⎣⎦,函数()()f x sin x =ω+ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递增,则实数ω的取值范围是 . 【答案】13042,⎛⎤⎧⎫⋃−⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【解析】对任意0,4π⎡⎤ϕ∈⎢⎥⎣⎦,函数()()f x sin x =ω+ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递增,12,222ππ∴⨯π−∴ωω厔 ①0ω>时,此时,()02,y sin x <ω=ω+ϕ…单调递增,可得222,22k k Z k ππω+ϕ≥−+π∈ππω+ϕ≤π⎧⎪⎪⎨⎪⎩+⎪,则22222k k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪ππϕ≥π−−ωπϕ≤+−ω⎩ππ71120,,24441kk ⎧ω≤−+π⎪⎡⎤ϕ∈∴⎨⎢⎥⎣⎦⎪ω≥−⎩当0k =时，可得104<ω≤； ②0ω<时,此时,20−ω<…,()y sin x =ω+ϕ单调递增, 即()y sin x =−−ω−ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递减；可得222322,k k Z k ππ−ω−ϕ≥+ππ−πω−ϕ≤π⎧⎪⎪∈⎨⎪+⎪⎩,则222322k k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪ππϕ≤−π−ω−πϕ≥π−πω⎩−− 14120,,3422k k ⎧ω≤−−−⎪π⎪⎡⎤ϕ∈∴⎨⎢⎥⎣⎦⎪ω≥−−⎪⎩当0k =时，可得32ω=−； 综上,则实数ω的取值范围是13042,⎛⎤⎧⎫⋃−⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.二、选择题13.C 14.D 15.B 16.C15.数列{}{},n n a b 满足21,32n n n a b a n n ⋅==++,则{}n b 的前10项之和等于（ ）. A.13 B.512 C.12D.712 【答案】B【解析】由题意得()()12,n a n n =++()()11112112n n b a n n n n ===−++++1210b b b ∴++⋯⋯+11111123341112=−+−+⋯⋯+−11521212=−= 综上所述,答案选择:B16.如图所示,角02x ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的终边与单位圆O 交于点(),10,P A ,PM x ⊥轴,AQ x ⊥轴,M 在x 轴上，Q 在角x 的终边上.由正弦函数、正切函数定义可知，sin ,tan x x 的值别等于线段,MP AQ 的长，且ΔOAP ΔOAQ OAP S S S <<扇形，则下列结论不正确的是（ ）.8A.函数y tanx sinx x =++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点B.函数y tanx x =−在32222,,ππππ⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点C.函数y sinx x =−有3个零点D.函数y tanx sinx tanx sinx =+−−在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1【答案】C【解析】对于选项A ,函数()g x y tanx sinx x ==++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭为增函数,又()00g =,即函数y tanx sinx x =++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点,即选项A 正确;对于选项B ,函数()f x y tanx x ==−,则()21'1f x cos x =−,则函数在3,2222,,ππππ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为减函数,又()3300,0,042f f f ππ⎛⎫⎛⎫=<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即函数在3,2222,,ππππ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭各有一个零点, 即函数y tanx x =−在32222,,ππππ⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点,即选项B 正确;对于选项C ,因为y sinx x =−,则'10y cosx =−…,即函数为减函数, 又当0x =时,0y =,即函数y sinx x =−有1个零点,即选项C 错误；对于选项D,当02x ,π⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时,sin tanx x <,即2y tanx =,显然无零点,当02x ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,sin tanx x >,即2y sinx =,显然无零点,又当0x =时,0y =,即函数y tanx sinx tanx sinx =+−−在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点,即选项D 正确,故选C三．解答题 17.（1）（2）1− 18.（1）证明略（219.（1）112− （2）1,810⎡⎤−⎢⎥⎣⎦20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)9如图，正方体的棱长为1,''B C BC O ⋂=，求： (1)AO 与''A C 所成角的度数; (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值; (3)B OA C −−的度数.【答案】（1）30（2（3）90 【解析】(1)连接'AB ,则由正方体性质,可得''AB AC B C ====且O 为'B C 的中点,所以1'2OC B C ==AO OC ⊥,所以12OC sin OAC AC ∠===,故30OAC ∠=,又由正方体性质可知'//'AA CC 且''AA CC =,所以四边形''AA C C 是平行四边形， 所以//''AC A C 所以OAC ∠是AO 与''A C 所成角,故AO 与''A C 所成角的度数为30; (2)如图,在平面''BCC B 内作OE BC ⊥交BC 于点E ,连接AE , 由正方体性质可知平面''BCC B ⊥平面ABCD ,又平面''BCC B ⋂平面,ABCD BC OE =⊂平面''BCC B ,所以OE ⊥平面ABCD , 所以E 为BC 中点,AE 为AO 在平面ABCD 上的射影, 所以OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成的角, 由题意,在Rt OAE ∆中,12OE BE ==,AE ==所以1OEtan OAEAE∠===所以AO与平面ABCD;(3)由(1)知AO OC⊥,又由正方体性质可知AB⊥平面''BB C C,而OC⊂平面''BB C C,所以AB OC⊥,又,,AO AB A AO AB⋂=⊂平面ABO,所以OC⊥平面ABO,又OC⊂平面AOC,所以平面ABO⊥平面AOC,所以B OA C−−的度数为90.21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)若有穷数列{}n a满足:10niia==∑且11niia==∑，则称其为"n阶01−数列".（1）若"6穷01−数列"为等比数列,写出该数列的各项;（2）若某"21k+阶01−数列"为等差数列,求该数列的通项(121na n k≤≤+,用,n k表示)；（3）记"n阶01−数列"{}n a的前k项和为()123kS k,,,,n=,若存在{}123m,,,,n∈,使12mS=,试问:数列{}()123iS i,,,,n=能否为"n阶01−数列"?若能,求出所有这样的数列{}na；若不能,请说明理由.【答案】（1）111111,,,,,666666−−−或1111111,,,,,666666−−−;（2）当0d>时,()()*1211nna n N,n kk k k∴=−∈≤++当0d<时,()()*1211nna n N,n kk k k=−+∈≤++（3）数列{}()123iS i,,,,n=不为"n阶01−数列".【解析】(1)设123456,,,,,a a a a a a成公比为q的等比数列,显然1q≠,则有123456a a a a a a+++++=,得()6111a qq−=−,解得1q=−,由1234561a a a a a a+++++=，得161a=,解得116a=±,1011所以数列为111111,,,,,666666−−−或1111111,,,,,666666−−−;(2)设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +…的公差为d ,123210,k a a a a +++++=()()11221210,0,2k k dk a a kd +∴++=+=即120,,k k a a d ++=∴=当0d =时,矛盾, 当0d >时,(23211212k k k a a a a a ++++++==−++)k a +()1122k k kd d −∴+=,即()11d k k =+, 由()11100,1k a a k k k +=+⋅=+得即11,1a k =−+ ()()()111111n na n k k k k k ∴=−+−⋅=+++()*121n N ,n k k−∈≤+ 当0d <时,同理可得()1122k k kd d −+=−,即()11d k k =−+由10k a +=得()1101a k k k −⋅=+，即111a k =+ ()()()111111n na n k k k k k ∴=−−⋅=−+++()*121n N ,n k k+∈≤+ 综上所述,当0d >时,()()*1211n n a n N ,n k k k k∴=−∈≤++当0d <时,()()*1211n n a n N ,n k k k k=−+∈≤++(3)记12,,,n a a a 中非负项和为A ,负项和为B ,则0,1A B A B +=−=,得1111,,2222k A B B S A ==−−=≤≤=，即()11232k S k ,,,,n ≤=，若存在{}123m ,,,,n ∈,使12m S =,可知:1210,0,,0,0m m a a a a +厖厔21210,,0,,2m n m m n a a a a a ++++++=−且剟1,0,0;k k k m a S ∴时剟厖 1,0,0k k n m k n a S S +<=时剟?123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++12又1230n S S S S ++++=与1231n S S S S ++++=不能同时成立数列{}()123i S i ,,,,n =不为"n 阶01−数列".。

2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷一、填空题1．计算： = ．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．3．方程的解为．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= ．6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．计算： = ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先分子分母同除以n2，再利用极限的运算性质可求．【解答】解：由题意，，故答案为．【点评】本题主要考查极限的运算及性质，属于基础题．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．【考点】矩阵的应用．【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．【分析】先把方程组方程组改写为，再由增广矩阵的概念进行求解．【解答】解：二元一次方程组，即，∴二元一次方程组的增广矩阵是，故答案为：【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念．3．方程的解为x1=2，x2=log25 ．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】可以用三阶矩阵的化简方法把方程左边化简，得到一个关于2x的一元二次方程，解出x即可【解答】解：由，化简得：方程﹣20×2x+4x+11×2x+20=0则方程同解于（2x）2﹣9×2x+20=0得2x=4或2x=5，x1=2，x2=log25故方程的解为x1=2，x2=log25．故答案为：x1=2，x2=log25【点评】考查学生转化三阶矩阵的方法，掌握三阶矩阵的计算方法．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为（，）．【考点】线段的定比分点．【专题】计算题．【分析】由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式求出点P的坐标．【解答】解：由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式可得x==，y==﹣，故点P的坐标为（，）．故答案为：（，）．【点评】本题主要考查线段的定比分点分有向线段成的比的定义，线段的定比分点坐标公式的应用，属于基础题．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= 1 ．【考点】数列的极限；等差数列的通项公式．【专题】综合题；方程思想．【分析】由题意，可先由数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5得出数列{log2（a n﹣1）}的首项为1，公差为1，由此解出log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，从而求出a n=1+2n，再研究a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n即可得出=，结合等比数列的求和公式计算出所求的极限即可【解答】解：数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5数列的公差为log24﹣log22=1，故log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即a n﹣1=2n，a n=1+2n，∴a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n∴=故答案为1【点评】本题考查数列与极限的综合，考查了等差数列的性质，通项公式，对数的运算，等比数列的求和等，涉及到的知识点多，综合性强，解题的关键是由题设条件求出a n=1+2n，难度较高6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．【考点】等比数列的通项公式．【专题】分类讨论；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得： =3，0＜|q|＜1，解出即可得出．【解答】解：由题意可得： =3，0＜|q|＜1，∴a1=3（1﹣q）∈（0，6），且a1≠3．∴a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．故答案为：{x|0＜x＜6，且x≠3}．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式性质、极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0 ．【考点】直线的截距式方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】当直线经过原点时，斜率为﹣3，可得要求的直线方程．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入求得k的值，可得要求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线经过原点时，斜率为=﹣3，要求的直线方程为y=﹣3x，即3x+y=0．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣3=k，或﹣1+3=k，求得k=﹣4，或k=2，故要求的直线方程为x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．综上可得，要求的直线方程为 3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0，故答案为：3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．【点评】本题主要考查求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为y=x+．【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出BC所在直线的斜率，根据垂直得出BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，并化为一般式．【解答】解：BC边上的高所在直线过点A（2，4），斜率为=﹣=，由点斜式写出BC边上的高所在直线方程为y﹣4=（x﹣2），即y=x+故答案为：y=x+．【点评】本题考查两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 5 ．【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】由α∈（0，π），可得的范围．利用向量的夹角公式化简可得θ1=，同理可得θ2=﹣，再利用θ1﹣θ2=，即可得出sin的值．【解答】解：α∈（0，π），∴∈（0，）．∵•=1+cosα，||==，||=1，∴cosθ1=====cos，∴θ1=．∵β∈（π，2π），∴∈（，π），∴∈（0，）．∵•=1﹣cosβ，||==，∴cosθ2====sin=cos（﹣），∴θ2=﹣，∵θ1﹣θ2=，∴﹣（﹣）=，化为=﹣，sin=sin（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列【考点】程序框图．【专题】图表型；分类讨论；分析法；算法和程序框图．【分析】本题主要考查了条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作，结合流程图进行判断即可．【解答】解：条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作．根据流程图可知当a＞b时取b，当b＞c时取c可知求三个数中最小的数故选：B．【点评】本题主要考查了选择结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，算法和流程图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】向量的物理背景与概念．【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的基本定理，作为平面内所有向量的一组基底是两个向量不共线，由此对四个选项作出判断即可．【解答】解：一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，∴①错误，②正确；平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，∴③正确；平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，∴④错误．综上，正确的命题是②③．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是理解作为基底的两个向量不共线，是基础题目．13．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量知识求解．【解答】解：A、C的“平衡点”为线段上的任意一点，故A错误；D、C、E的“平衡点”为三角形内部对3边张角均为120°的点，故B错误；A、F、G、E的“平衡点”是线段FG上的任意一点，故C错误；∵矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点，∴A、B、E、D的“平衡点”必为F，故D正确．故选：D．【点评】本题考查“平衡点”的求法，是中档题，解题时要注意平面向量知识的合理运用．14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）【考点】轨迹方程．【专题】新定义．【分析】根据已知条件可推断出|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9|，对y≥9，y≤3和3≤y≤9时分类讨论求得x和y的关系式，进而根据x的范围确定线段的长度，最后相加即可．【解答】解：由题意得，C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，所以|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9| (1)当y≥9时，（1）化为|x﹣1|+6=|x﹣6|，无解；当y≤3时，（1）化为|x﹣1|=6+|x﹣6|，无解；当3≤y≤9时，（1）化为2y﹣12=|x﹣6|﹣|x﹣1|．若x≤1，则y=8.5，线段长度为1；若1≤x≤6，则x+y=9.5，则线段长度为5；若x≥6，则y=3.5，线段长度为4．综上可知，点C的轨迹构成的线段长度之和为1+5+4=5（1+），故选：D．【点评】本题主要考查了新定义，两点间的距离公式的应用，以及分类讨论思想化简绝对值方程，考查了学生分析问、解决问题的能力．三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．【考点】二元一次方程组的矩阵形式．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】先求出D==﹣m2﹣3m，当D≠0时，原方程组有唯一的解；当D=0时，原方程组无解或有无数个解．【解答】解：∵，∴D==﹣m2﹣3m，当D=﹣m2﹣3m≠0，即m≠0且m≠﹣3时，方程组有唯一的解=，y==﹣2．当D=﹣m2﹣3m=0，即m=0或m=﹣3时，原方程无解或有无数个解．【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式的解法及应用，是基础题，解题时要注意系数矩阵的性质的合理运用．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】先由已知命题P是真命题，得：c为常数，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式写出f（x）=﹣x2+cx﹣4，结合函数f（x）在上单调递增．求得c的取值范围，最后即可解决问题．【解答】解：由已知命题P：，其中c为常数，是真命题，得：c为常数三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），则f（x）=﹣x2+cx﹣4，且函数f（x）在上单调递增．∴函数f（x）在上单调递增，≥⇒c≥，∵命题Q是假命题，∴c＜．∴命题P是真命题，而命题Q是假命题，实数c的取值范围是﹣1＜c＜．【点评】本题主要考查了极限及其运算、三阶矩阵等，解答的关键是条件：“复合命题的真假判断”的应用．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．【考点】直线的一般式方程．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；直线与圆．【分析】求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形，求出四边形的面积表达式，应用二次函数的知识求面积最小时的k值与最小面积值．【解答】解：如图所示：直线L：kx﹣2y﹣2k+8=0 即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y轴的交点C（0，4﹣k），直线M：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即 2x+k2（y﹣4）﹣4=0，过定点（2，4 ），与x轴的交点A（2k2+2，0），由题意，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，∴所求四边形的面积为×4×（2 k2+2﹣2）+×（4﹣k+4）×2=4k2﹣k+8，∴当k=时，所求四边形的面积最小，最小面积的值为．【点评】本题考查了直线过定点问题，以及二次函数的最值问题，考查了数形结合思想的应用问题，是基础题．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；向量的线性运算性质及几何意义．【专题】转化思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用；平面向量及应用．【分析】（1）由D为BC的中点，M为AD的中点，，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy的方程，进而可得函数y=f（x）的表达式；（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1），利用导数法，求出函数的值域，可得答案．【解答】解：（1）如图所示：∵D为BC的中点，M为AD的中点，∴==（）=，又∵PQM三点共线，故=λ+（1﹣λ）=，故，故=1，即y=f（x）=，（≤x≤1）（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1）故S′=，当≤x时，S′＜0，函数为减函数，当＜x≤1时，S′＞0，函数为增函数，故当x=时，S取最小值，当x=，或x=1时，S取最大值，故∈[，]．【点评】本题考查的知识点是函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，难度中档．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．【考点】数列的求和；数列的应用．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由于=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；由于=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，又＜1（n∈N*），即可判断出；（2）等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，由，，可得，解得c1，q．可得S n=2．进而验证即可证明．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，利用＜d n+1，化为：t＞，可得t＞1．另一方面：≤9，可得t≤3，即可得出．【解答】（1）解： ==n+1=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；==1﹣=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，因此{b n}满足条件①，又＜1（n∈N*），因此存在M=1，使得b n＜M，综上可得{b n}是否具有“性质m”．（2）证明：等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，∵，，∴，解得c1=1，q=．∴S n==2．∵ ==2=2﹣＜2﹣=S n+1，∴数列{S n}满足条件①．又S n=2＜2，∴存在M=2，使得S n＜M，数列{S n}满足条件②．综上可得：数列{S n}具有“性质m”，M的取值范围是[2，+∞）．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，∴＜d n+1，化为：t＞，∴t＞1．另一方面：≤9，∴=3+，∴t≤3，∴1＜t≤3，∴整数t=2，3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质、新定义、有界数列，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

华二附中高二期中数学试卷2020.11一. 填空题1. 已知直线l 过点(2,3)P ，它的一个方向向量为(1,5)d =，则直线l 的点方向式方程为2. 若一条直线的斜率(1,1)k ∈-，则该直线的倾斜角的取值范围是3. 若椭圆221y x m +=的焦距是4，则m = 4. 已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是5. 已知三角形的三边所在直线为1x y +=-，21x y -=，23x y +=，则三角形的外接圆方程为6. 与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有 个7. 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，若EF ∥AD ，且 35AE AD AB BC ==，若AB a =，DC b =，则EF 可用a 、b 表示为8. 手表的表面在一个平面上，整点1，2，3，⋅⋅⋅，12这12 的圆周上，从整点i 到整点1i +的向量记作1i i t t +，则1223233412112t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=9. 设实数x 、y 满足约束条件0,4312x y x x y ≥≥⎧⎨+≤⎩，则231x y x +++取值范围是 10. 已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集 {|A F =}||||FP FMFQ FMFP FQ ⋅⋅=，若对于任意的3m ≥，当12,F F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的取值范围为二. 选择题11. 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=（1a 、1b 不同时为零），2222:0l a x b y c ++=（2a 、2b 不同时为零），那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行” 的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件12. 已知11(,)P x y 是直线1:(,)0l f x y =上一点，22(,)Q x y 是l 外一点，则方程(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +表示的直线（ ）A. 与l 重合B. 与l 交于点PC. 过Q 与l 平行D. 过Q 与l 相交13. 已知a 、b 均为单位向量，且0a b ⋅=，若|4||3|5c a c b -+-=，则||c a +的取值范围是（ ）A. [3,10]B. [3,5]C. [3,4]D. [10,5]14. 若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n （2n ≥，*n ∈N ）等分点，沿向量BC 的方向依次为121,,,n P P P -⋅⋅⋅，记1121n n T AB AP AP AP AP AC -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，若给出四个数值：①294；②9110；③19718；④23233；则n T 的值可能的共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个三. 解答题15. 设a 、b 是两个不共线的非零向量.（1）记OA a =，OB tb =，1()3OC a b =+，那么实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？（2）若||||1a b ==，且a 与b 夹角为120°，那么实数x 为何值时，||a xb -的值最小？16. 已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B .（1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.17. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l .（1）求证：对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +≥；（2）已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，求(,)d P l ；（3）定点00(,)C x y ，动点(,)P x y 满足(,)d C P r =（0r >），请求出点P 所在的曲线所围成图形的面积.18. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，它的上、下顶点分别为A 、B ，左、右焦点分别为1F 、2F ，若四边形12AF BF 为正方形，且面积为2.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线1l 、2l ，它们与椭圆E 分别交于点C 、D 、M 、N ，且四边形CDMN 是菱形；求证：①直线1l 、2l 关于原点对称；②求出该菱形周长的最大值.参考答案一. 填空题 1. 2315x y --= 2. 3[0,)(,)44πππ 3. 5 4.411(,)(0,)(,)333-∞+∞5. 227320x y x y +-++=6. 77. 21211010EF b a =-8. 99. [3,11] 10. 34k ≥二. 选择题 11. B 12. C 13. B 14. A三. 解答题15.（1）12t =；（2）12x =-，min 3||a xb -=.16.（1）22395()(3)243x y x -+=<≤；（2）325{}[,4k ∈±-. 17.（1）证明略；（2）4(,)3d P l =；（3）24S r =.18.（1）22121x y +=；（2）①证明略；②菱形周长的最大值为。

上海市华师大二附中高二第二学期期中数学试卷一、填空题（40分）1.向量AB 对应复数32i -+，则向量BA 所对应的复数为____________.2.复数()()()22456z m m m m i m R =--+--∈，如果z 是纯虚数，那么m =______. 3.平面α的斜线与α所成的角为30︒，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为__________.4.在长方体1111ABCD A B C D -z 中，如果对角线1AC 与过点A 的相邻三个面所围成的角为,,αβγ,那么222cos cos cos αβγ++=_________.5.已知35z i -=，则2z +的最大值为_________.6.异面直线a 与b 所成的角为50︒，P 为空间一点，则过P 点且与,a b 所成的角都是50︒的直线有_________条.7.圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是________.8.已知集合{}23,n A z z i i i i n N *==++++∈，{}1212,,B z z z z z A z A ==⋅∈∈，则集合B 中的元素共有________个. 9.设12,x x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________. 10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在正方体的表面上与点A的所有点形成一条曲线，则曲线的长度为_________.二、选择题（4×4=16）11.下列命题中，错误的是（A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行（B ）与同一个平面所成的叫相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α（D ）垂直于同一个平面的两条直线平行12.下列命题中，错误的是（ ）（A ）圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形（B ）圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个（C ）圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个（D ）当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆13.已知复数2121211,z z z z z z -=--满足，则有（ ）（A ）1021<<z z 且 （B ）1121<<z z 或（C ）1121==z z 且 （D ）1121==z z 或14.如图，正四面体ABCD 的顶点C B A ,,分别在两两垂直的三条射线Oz Oy Ox ,,上，则在下列命题中，错误的是（ ）（A ）ABC O -是正三棱锥（B ）直线ACD OB 平面||（C ）直线OB AD 与所成的角是045（D ）二面角A OB D --为045三、解答题（8+10+12+14）15.已知复数1z 满足()1115i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a R ∈，若121z z z -<，求实数a 的取值范围.16.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1,2PA AB BC ===,E 为PD 的中点.（1）求直线CE 与平面ABCD 所成角的大小；（2）求二面角E AC D --的大小, （结果用反三角函数值表示）17.如图，在正三棱锥A BCD -中，AB =点A 到底面BCD 的距离为1，E 为棱BC 的中点.（1）求异面直线AE 与CD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求正三棱锥A BCD -的表面积.18.已知z 是实系数一元二次方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点位()Re ,Im z P z z .（1）若(),b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C :()2211x y -+=上； （2）给定圆()()222:,,0C x m y r m r R r -+=∈>，则存在唯一的线段S 满足：①若z P 在圆C 上，则(),b c 在线段S 上；②若(),b c 是线段S 上一点（非端点），则z P 在圆C 上，写出线段S 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）.上海市高二下学期期中数学卷一. 填空题1. 在正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1A B 与AD 所成的角大小为 2. 已知向量2(3,2,3)a x =+，(4,2,)b x x =-，若a b ⊥，则实数x 的值是3. 球的表面积为216cm π，则球的体积为 3cm4. 一条直线a 上的3个点A 、B 、C 到平面M 的距离都为1，这条直线和平面的关系是5. 正四面体侧面与底面所成二面角的余值6. 圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为7. 如图是三角形ABC 的直观图，ABC ∆平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8. 把地球看作是半径为R 的球，A 点位于北纬30°，东经20°，B 点位于北纬30°，东经80°，求A 、B 两点间的球面距离 （结果用反三角表示）9. 下列命题（1）n 条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a 、b 不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a ∥b ；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是10. 由曲线22x y =、22x y =-、2x =、2x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ，满足224x y +≤、22(1)1x y +-≥、22(1)1x y ++≥的点组成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，试写出1V 与2V 的一个关系式11. 如图，空间四边形OABC 中，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则x 、y 、z 的值分别为12. 如图，1111ABCD A BC D -是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线1AC 垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l 的范围分别是 、 （用集合表示）二. 选择题13. 已知m 、n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，l αβ=，则l （ ）A. 与m 、n 都相交B. 与m 、n 至少一条相交C. 与m 、n 都不相交D. 至多与m 、n 中的一条相交14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 83π B. 3π C. 103π D. 6π 15. 连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：① 弦AB 、CD 可能相交于点M ；② 弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN的最大值为5；④MN 的最小值为1；其中真命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（ ）A B C D三. 简答题17. 直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA =E 、F 分别是BC 、1AA 的中点，求：（1）EF 与底面所成角的大小；（2）异面直线EF 和1A B 所成角的大小；18. 图1是某储蓄罐的平面展开图，其中90GCD EDC F ∠=∠=∠=︒，且AD CD DE CG ===，FG FE =，若将五边形CDEFG 看成底面，AD 为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱；（1）图2为面ABCD 的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为31250V cm =，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S （精确到整数位，材料厚度，接缝及投币口的面积忽略不计）19. 如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，4AB =，18AA =； （1）求异面直线1B C 与11AC 所成角的大小；（用反三角函数形式表示） （2）若E 是线段1DD 上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E 和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成），并解答所提出的问题；20. 如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，60ABC ∠=︒，PA AC a ==，PB PD ==，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =；（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）在棱PB 上是否存在一点F ，使三棱锥F ABC -是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；21. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心1O 且平行于母线AB 的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p 的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C 作垂直且于母线AB 的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a 的椭 圆，求椭圆的面积（椭圆22221x y a b+=的面积S ab π=）；参考答案一. 填空题 1. 2π 2. 2或3- 3. 323π 4. 平行 5. 136. 4π7. 直角三角形8. 5arccos 8R 9.（4） 10. 12V V =11. 16x =，13y z == 12. ，二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. B三. 解答题17.（1）4π；（2）6π. 18.（1）略；（2）691.19.（1）（2）略. 20.（1）略；（2）6π.21.（1）3π；（2）212p π；（3上海市高二（下）期中数学试卷一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．2．已知向量，，若，则实数x的值是．3．球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm3．4．一条直线a上的3个点A、B、C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离（结果用反三角表示）9．下列命题：（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是、（用集合表示）二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．三.简答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E、F 分别是BC、AA1的中点．求：（Ⅰ）FE与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线EF和A1B所成角的大小．18．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．19．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8．（1）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E是线段DD1上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．21．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心O1且平行于母线AB的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C作垂直且于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭圆，求椭圆的面积（椭圆的面积S=πab）．上海市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】推导出AD⊥平面ABB1A1，从而AD⊥A1B，由此能示出异面直线A1B与AD所成的角大小．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AD⊥平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，∴AD⊥A1B，∴异面直线A1B与AD所成的角大小为．故答案为：．2．已知向量，，若，则实数x的值是4或﹣1．【考点】M6：空间向量的数量积运算．【分析】根据向量垂直，数量积为0，得到关于x 的方程解之即可．【解答】解：因为向量，，，所以3（x﹣4）+2（x2+2）+3x=0整理得到x2+3x﹣4=0，解得x=4或﹣1．故答案为：4或﹣1．3．球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm3．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】先根据球的表面积公式求出球的半径，然后根据球的体积公式求出体积即可．【解答】解：∵球的表面积为16πcm2，∴S=4πR2=16π，即R=2∴V==×8=故答案为：4．一条直线a上的3个点A、B、C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是平行．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】假设直线a与平面α相交，则必有两点在平面同一侧，得出线面平行的矛盾．【解答】解：假设直线a与平面α相交，则A，B，C三点中必有两个点在平面α同一侧，不妨设为A，B，过A，B分别作平面α的垂线，垂足为M，N，则AM∥BN，AM=BN，∴四边形AMNB是平行四边形，∴AB∥MN，又MN⊂α，AB⊄α，∴AB∥α，这与假设直线a与平面α相交矛盾，故假设错误，于是直线a与平面α平行．故答案为：平行．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，利用余弦定理求解【解答】解：不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，cos∠AEB=，∴正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是．故答案为：．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为4π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据圆柱的结构特征可知底面半径和高，代入侧面积公式计算即可．【解答】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，∴圆柱的底面半径r=1，高h=2，∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π×1×2=4π．故答案为：4π．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是直角三角形（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）【考点】LB：平面图形的直观图．【分析】根据斜二侧画法，∠x′O′y′=135°，直接判断△ABC的直观图是直角三角形．【解答】解：由斜二测画法，∠x′O′y′=135°，知△ABC直观图为直角三角形，如图；故答案为：直角三角形．8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离R•arccos（结果用反三角表示）【考点】HV：反三角函数的运用．【分析】设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=R，且△AO1B为等边三角形，即AB=R；△AOB中，由余弦定理求得∠AOB的值，利用弧长共公式求得A、B两点间的球面距离．【解答】解：设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=R•cos30°=R，根据A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，可得∠AO1B=60°，∴△AO1B为等边三角形，即AB=r=R．△AOB中，由余弦定理可得AB2=R2=R2+R2﹣2R2•cos∠AOB，求得cos∠AOB=，∴∠AOB=arccos，∴A、B两点间的球面距离=R•∠AOB=R•arccos，故答案为：R•arccos．9．下列命题：（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是（4）．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】由空间中直线与平面的位置关系结合线面角逐一判断（1）、（2）、（3）错误；画图分类证明（4）正确．【解答】解：对于（1），当n条斜线段与平面所成角不等时，斜线段长相等，它们在平面内的射影长不相等，故（1）错误；对于（2），直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b或a 与b异面，故（2）错误；对于（3），与同一平面所成的角相等的两条直线位置关系有平行、相交或异面，故（3）错误；对于（4），当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成角为0°角，平面内所有直线与该直线所成角都大于等于0°；当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为90°，平面内所有直线与该直线所成角都等于90°；当直线为平面的斜线OA时，如图，过A作AB⊥α，垂足为B，则直线与平面所成角为∠AOB=θ，若平面内直线l与OB平行（或是OB），l与OA所成角为θ；若l与OB不平行，平移直线l过O，过B作BC⊥l=C，连接AC，l与OA所成角为∠AOC，∵sinθ=，sin∠AOC=，而AC＞AB，∴sin∠AOC＞sin∠θ，有∠AOC＞∠θ，故（4）正确．综上，正确命题的序号是（4）．故答案为：（4）．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式V1=V2．【考点】6M：用定积分求简单几何体的体积．【分析】根据题意，设截面与原点距离为|y|，分别求出s1与s2，进而由祖暅原理可得答案．【解答】解：设截面与原点距离为|y|，所得截面面积S1=π（22﹣2|y|）S2=π（4﹣y2）﹣π[1﹣（|y|﹣1）2]=π（22﹣2|y|），∴S1=S2，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，即V1=V2．故答案为：V1=V2．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为，，．【考点】M2：空间向量的基本定理及其意义．【分析】根据=，=，=，=，=，代入计算即可得出．【解答】解：∵=，=，=，=，=，∴=+．∴，．故答案为：，，．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是[，] 、{3} （用集合表示）【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在正方形的对角线平行，利用相似比即可得出截面周长为定值，再根据对称性和基本不等式得出面积的最值．【解答】解：连结A1B，A1D，BD，则AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B设平面α与平面ABB1A1的交线为EF，则AC1⊥EF，∴EF∥A1B，同理可得平面α与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，设=λ，则=B1E=λ，∴=1﹣λ，∴EF+DE=λ+（1﹣λ）=，同理可得六边形其他相邻两边的和为，∴六边形的周长l为定值3．∴当六边形的边长相等即截面为正六边形时，截面面积最大，最大面积为=，当截面为正三角形时，截面面积最小，最小面积为=．故答案为：，．二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由异面直线的定义和画法知，异面直线必须满足既不平行又不相交，即l与m，n中至少一条相交；当l与m，n都不相交时有m∥n．【解答】解：由题意，l与m，n都相交且交点不重合时，m，n为异面直线；若l与m相交且与n平行时，m，n为异面直线；若l与m，n都不相交时，又因m⊂α，l⊂α，所以l∥m，同理l∥n，则m∥n．故选B．14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】L*：球面距离及相关计算．【分析】根据题意，由球的弦与直径的关系，判定选项的正误，然后回答该题．【解答】解：因为直径是8，则①③④正确；②错误．易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1．故选C．16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．【考点】J3：轨迹方程；LZ：平面与平面垂直的性质．【分析】先确定轨迹是2个平面的交线，PC的中垂面α和正方形ABCD的交线，再确定交线的准确位置，即找到交线上的2个固定点．【解答】解：∵MP=MC，∴M在PC的中垂面α上，点M在正方形ABCD内的轨迹一定是平面α和正方形ABCD的交线，∵ABCD为正方形，侧面PAD为等边三角形，∴PD=CD，取PC的中点N，有DN⊥PC，取AB中点H，可证CH=HP，∴HN⊥PC，∴点M在正方形ABCD内的轨迹一定是HD．故答案选B．三.简答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E、F 分别是BC、AA1的中点．求：（Ⅰ）FE与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线EF和A1B所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）由已知可得FA⊥平面ABC，可得∠FEA即为FE与底面所成角，由等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点可求AE，在Rt△AEF中求解即可（Ⅱ）由E，F都为中点，考虑取AB的中点G，则可得FG∥BA1，从而有∠GFE即为异面直线EF和A1B所成角（或补角）分别求解FE，EG，FG，从而可求【解答】解：（Ⅰ）连接FE，由已知可得FA⊥平面ABC∴∠FEA即为FE与底面所成角∵等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点∴AE=∵△AEF中AF=，AE=∴∠AEF=45°即FE与底面所成角45°（Ⅱ）取AB的中点G，连接FG，EG则可得FG∥BA1所以∠GFE即为异面直线EF和A1B所成角（或补角）由（Ⅰ）可得FE=2，为FG=，EG=1所以可得∠GFE=30°异面直线EF和A1B所成角的大小为30°18．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题．【分析】（1）根据储蓄罐的平面展开图，直接画出储蓄罐的直观图即可．（2）设AD=a，求出五边形CDEFG的面积，利用几何体的体积，求出a，然后求出几何体的表面积．【解答】解：（1）该储蓄罐的直观图如右图所示．（2）若设AD=a，则五边形CDEFG的面积为，得容积，解得a=10，其展开图的面积，因此制作该储蓄罐所需材料的总面积约为691cm2．19．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8．（1）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E是线段DD1上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L3：棱锥的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）连接AC、AB1，易知∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角，在△B1CA中利用余弦定理解之即可即可求出异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（2）本小题是开放题，第一种：提出问题：证明三棱锥E﹣B1BC的体积为定值，根据三棱锥E﹣B1BC与三棱锥D﹣B1BC同底等高可得结论．第二种：提出问题：三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增，根据三随着DE增大而增大可得结论．棱锥E﹣ADC的体积与DE成正比，可知V E﹣ADC【解答】解：（1）如图，连接AC、AB1，由，知A1ACC1是平行四边形，则，所以∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角．﹣﹣﹣﹣﹣在△B1CA中，，，则，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）若学生能提出一些质量较高的问题，则相应给，有解答的再给．而提出一些没有多大价值的问题则不给分．若提出的问题为以下两种情况，可以相应给分．第一种：提出问题：证明三棱锥E﹣B1BC的体积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣问题解答：如图，因为DD1∥平面B1BCC1，所以D1D上任意一点到平面B1BCC1的距离相等，因此三棱锥E﹣B1BC与三棱锥D﹣B1BC同底等高，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣而，所以三棱锥E﹣B1BC的体积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣说明：1）若提出的问题为求三棱锥E﹣B1BC的体积，则根据上述解答相应给分．2）若在侧面B1BCC1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在侧面A1ABB1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．第二种：提出问题：三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣为定值，问题解答：因为，知S△ADC随着DE增大而增大，又因为DE∈（0，8），则三棱锥E﹣ADC的体积与DE成正比，可知V E﹣ADC﹣﹣﹣﹣即三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣说明：1）若提出的问题是求三棱锥E﹣ADC的体积范围，也可相应给分．=8，而，DE∈（0，8），﹣﹣﹣﹣解答：因为S△ADC则．﹣﹣﹣﹣．2）若在底面ABCD上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在底面A1B1C1D1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似（单调递减），可相应给分．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．【考点】MT ：二面角的平面角及求法；LW ：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知求解三角形可得PA ⊥AB 、PA ⊥AD ．再由线面垂直的判定得PA ⊥平面ABCD ；（2）直接利用反证法证明在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥；（3）作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ，作GH ⊥AC 于点H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，可得∠EHG 为二面角E ﹣AC ﹣D 的平面角，然后求解直角三角形得EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小．【解答】（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°， ∴AB=AD=AC=a ．在△PAB 中，由PA=AB=a ，知PA 2+AB 2=2a 2=PB 2，则PA ⊥AB ． 同理PA ⊥AD ．又AB ∩AD=A ，∴PA ⊥平面ABCD ；（2）解：在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥． 事实上，假设在棱PB 上存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥． 过F 作底面ABC 的垂线，垂直为O ，则O 为△ABC 的中心， 在平面PAB 内，过F 作FM ∥PA ，交AB 于M ，则FM ⊥平面PAB ，这样，过平面ABC 外一点F ，有两条直线FO ，FM 与平面ABC 垂直，错误． 故假设不成立，即在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥．（3）解：作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ，作GH ⊥AC 于点H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，∴∠EHG 为二面角E ﹣AC ﹣D 的平面角，大小为θ． ∵PE ：ED=2：1，∴a ，AG=a ，a ．从而，即．。

2021-2022学年上海市浦东新区华东师大二附中高二上学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列说法中正确的有()①平行的两条直线的斜率一定存在且相等；②平行的两条直线的倾斜角一定相等；③垂直的两直线的斜率之积为−1；④只有斜率相等的两条直线才一定平行．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.命题“若则q”是真命题，则p是的A. 充分条件B. 充分非必要条件C. 必要条件D. 必要非充分条件3.若直线经过A(0,4)，B(√3,1)两点，则直线AB的倾斜角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4.设变量x、y满足约束条件{y≤xx+y≥2y≥3x−6，则目标函数z=3x+y的最小值为()A. 2B. 4C. 6D. 12二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）5.把圆x2+y2=16变成椭圆x′2+y′216=1的伸缩变换为______．6.已知向量a⃗=(2,1),b⃗ =(1,m)，若a⃗//b⃗ ，则实数m等于______．7. 2.直线垂直，则直线的方程为_____________8.7.设矩阵，，若，则．9.已知|a⃗|=3，|b⃗ |=5，且a⃗⋅b⃗ =12，则向量a⃗在b⃗ 方向上的正射影的数量为______ ．10.求与直线l1：x−√3y+3=0的夹角为π3，且经过点(3,2√3)的直线l2的直线方程可以是．11.已知三点A(2,−3)，B(4,3)，C(5,k2)在同一直线上，则k=______ ．12. 如图，在直角梯形ABCD 中，已知BC//AD ，AB ⊥AD ，AB =4，BC =2，AD =4，若P 为CD 的中点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______ ．13. 设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2+y 2+z 2=1，x +2y +3z =，则x +y +z =________．14. (1)已知tanθ=2，则sin 2θ+sinθcosθ−2cos 2θ的值为________．(2)已知函数为偶函数，则f(x)=________．(3)已知向量a →=(2,4)，b →=(1,1)，则向量a →在向量b →方向上的投影为________．(4)若函数y =3cos(2x +φ)的图像关于点(π 3,0)对称，则|φ|的最小值为________．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分） 15. 设二阶矩阵A ，B 满足A −1=[1234]，BA =[1001]，求B −1．16. 已知，，．(1)若，求的值；(2)设，若，求、的值．17. 某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A 、B ，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如表：每件产品A每件产品B 研制成本、搭载费用之和(万元)2030计划最大资金额300万元产品重量(千克)105最大搭载重量110千克预计收益(万元)8060分别用x，y表示搭载新产品A，B的件数．总收益用Z表示(Ⅰ)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(Ⅱ)问分别搭载新产品A、B各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益．18. 设函数f(x)=12+1x，正项数列{a n}满足a1=1，a n=f(1an−1)，n∈N∗，且n≥2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：1a1a2+1a2a3+1a3a4+⋯+1a n a n+1<2．【答案与解析】1.答案：B解析：解：①平行的两条直线的斜率一定存在且相等；不正确，利用直线的倾斜角为90°时，直线不存在斜率．所以①不正确；②平行的两条直线的倾斜角一定相等；正确；③垂直的两直线的斜率之积为−1；反例，一条直线的倾斜角为0°，一条直线的倾斜角为90°，两条直线垂直，但是不满足③，所以③不正确；④只有斜率相等的两条直线才一定平行．反例斜率不存在时，两条直线也平行，所以④不正确；故选：B．利用反例判断①；直线的倾斜角判断②；直线的垂直关系判断③；直线的平行判断④．本题考查命题的真假的判断，直线的倾斜角与直线的斜率的关系，直线的位置关系的判断，是基础题．2.答案：C解析：解：命题“若则q”是真命题，则q，即￢q p，故p是的必要条件，故选C．3.答案：D解析：解：∵直线经过A(0,4)，B(√3,1)两点，=−√3，∴k AB=1−4√3设直线AB的倾斜角为α(0°≤α<180°)，由tanα=−√3，得α=120°．故选：D．由两点求斜率公式求得AB的斜率，再由直线倾斜角的正切值等于斜率得答案．本题考查了直线的斜率，考查了斜率与倾斜角的关系，是基础题．4.答案：B解析：解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=−3x+z，平移直线y=−3x+z，由图象可知当直线y=−3x+z，经过点A时，直线y=−3x+z的截距最小，此时z 最小．由{y =x x +y =2，解得{x =1y =1，即A(1,1)， 此时z 的最小值为z =1×3+1=4，故选：B作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小值． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 5.答案：{x =4x′y =y′解析：解：由椭圆x′2+y′216=1变形为：16(x′)2+(y′)2=16，即(4x′)2+(y′)2=16．因此对于圆x 2+y 2=16的方程，令{x =4x′y =y′， 即为把圆x 2+y 2=16变成椭圆x′2+y′216=1的伸缩变换． 故答案为：{x =4x′y =y′． 由椭圆x′2+y′216=1变形为：(4x′)2+(y′)2=16.即可得出把圆x 2+y 2=16变成椭圆x′2+y′216=1的伸缩变换．本题考查了圆变换为椭圆的伸缩变换，考查了变形能力与计算能力，属于中档题． 6.答案：12解析：解：∵a ⃗ //b ⃗ ，∴2m −1=0，∴m =12． 故答案为：12．根据a ⃗ //b ⃗ 即可得出2m −1=0，解出m 即可．考查向量平行的定义，以及平行向量的坐标关系． 7.答案：3x +2y −1=0．解析：解：∵所求直线方程与直线2x −3y +4=0垂直，∴设方程为3x +2y +c =0，∵直线过点(−1,2)，∴3×(−1)+2×2+c =0，∴c =−1，∴所求直线方程为3x +2y −1=0． 故答案为3x +2y −1=0．8.答案：2。

2019-2020学年上海市浦东新区华师大二附中高二(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD//BC，且AB=DE=2BC=2AF(如图1).将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE(如图2).在折起的过程中，下列说法中错误的个数是()①AC//平面BEF；②B、C、E、F四点不可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直．A. 0B. 1C. 2D. 32.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N，下列结论正确的是()A. MN//平面ABEB. MN//平面ADEC. MN//平面BDHD. MN//平面CDE3.8.下列命题为真命题的是A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且//，//，则//D. ，使成立4.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为()A.B.C.D.二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）5.使“x2+2x−3<0”成立的一个充分不必要条件是______．6.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，对于平面EFH截四棱锥P−ABCD所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面的面积等于4√6；②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥P−ABCD四条侧棱中的三条相交．其中，所有正确结论的序号是______．7.如图O为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E，F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为______．8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的所有顶点均在球O的表面上，E，F，G分别为AB，AD，AA1的中点，则平面EFG与平面BC1D截球O所得圆的面积之比为______．9.已知A，B，C，D是球O上不共面的四点，且AB=BC=AD=1,BD=AC=√2,BC⊥AD，则球O的表面积为______．10.如图，ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则关于平面PAB、平面PBC、平面PAD的位置关系下列说法正确的有______①平面PAB与平面PBC、平面PAD垂直；②它们都分别相交且互相垂直；③平面PAB与平面PAD垂直，与平面PBC相交但不垂直；④平面PAB与平面PBC垂直，平面PBC与平面PAD相交但不垂直；⑤若平面PBC与平面PAD的交线为l，则l⊥面PAB．11.要做一个母线长为30cm的圆锥形的漏斗，要使其体积最大，则其底面半径为______cm．12.一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，其底角为，腰和上底均为1.如图，则平面图形的实际面积为。

【全国百强校】福建省厦门外国语学校2020-2021学年高二下学期第一次月考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．曲线2122y x x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为（ ） A ．-1 B ．45° C ．-45° D ．135° 2．设函数()()()()23f x x x k x k x k =++-，且()06f '=，则k=（ ）A ．0B ．-1C ．3D ．-63．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．(],1-∞- C ．[)2,+∞ D ．[)1,+∞ 5．若曲线2y x mx n =++在点（0，n ）处的切线方程x-y+1=0，则（ ） A ．m 1=，n 1=B ．1m =-，n 1=C ．m 1=，n 1=-D ．m 1=-，n 1=- 6．已知函数322()43f x x ax x =-+在区间(2,1)--内存在单调递减区间，实数a 的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．(,-∞-D ．(,-∞- 7．已知复数z 满足(3443i z i -=+），则z 的虚部为（ ）A ．-4B ．45-C ．4D ．458．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，不等式()()0f x xf x '+<成立，若()a f ππ=，(2) (2)b f =--，(1)c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >> 9．函数()3224f x x x x =--+,当[]3,3x ∈-时,有()214f x m m ≥-恒成立,则实数m 的取值范围是 （ ）A ．()311-，B ．()311， C ．[]2，7 D ．[]311， 10．若对于任意实数0x ≥，函数()x f x e ax =+恒大于零，则实数a 的取值范围是( )A ．(),e -∞B ．(],e -∞-C ．[),e +∞D ．()e,-+∞ 11．若点P 是曲线232ln 2y x x =-上任意一点，则点P 到直线52y x =-的距离的最小值为（ ）A B C ．2 D 12．直线y a =分别与直线22y x =+，曲线ln y x x =+交于点A B 、，则||AB 的最小值为（ ）A ．3B ．2CD ．32二、填空题13． i 是虚数单位，复数121i i-=+ ________． 14．设x ＝－2与x ＝4是函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为________．15．已知函数()()21ln f x f x x =-'，则()f x 的极大值为________．16．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是______．三、解答题17．求当a 为何实数时，复数()()222312z a a a a i =++﹣﹣﹣满足： （Ⅰ）z 为实数；（Ⅱ）z 为纯虚数；（Ⅲ）z 位于第四象限．18．设函数()322312f x x x x m =--+． （1）求函数()f x 的单调减区间；（2）若函数()f x 在区间[]2,3-上的极大值为8，求在区间[]2,3-上的最小值． 19．已知函数3()31(0)f x x ax a =--≠. ()I 求()f x 的单调区间；()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 20．已知函数()21122xx f x e x =--- . （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间.21．设f(x)=xln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R.（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a 的取值范围.22．已知函数()()ln 1a f x x x a a R x=+-+-∈ . （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在1x >，使()1x f x x x-+<成立，求整数a 的最小值.参考答案1．D【分析】 要求曲线2122y x x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的倾斜角，先求出曲线方程的导函数，并计算出点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的导数即切线的斜率，然后利用斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】 因为2122y x x =-， 所以2y x '=-， ∴1121x y ==-=-'．由tan 1α=-，0180α︒≤<︒，得135α=︒，故选B ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及已知斜率求倾斜角，属于简单题.要解答本题，首先必须掌握在曲线上某点的导函数就是该点处的切线斜率，先对函数求导求得切线斜率，即是倾斜角正切值，再结合倾斜角本身的范围即可求出倾斜角α的值.2．B【解析】分析：由()()()()()()()()()2222332332f x x x k x k x k x x k x k x k x kx x kx k =++-=-++=-++，按导数乘法乘积运算法则求导可得()()()()()2222332323f x x k x kx k x kx x k =-+++-+'，由()06f '=可求k.详解：()()()()23f x x x k x k x k =++-()()()32x x k x k x k =-++()()222332x kx x kx k =-++∴()()()()()2222332323f x x k x kx k x kx x k =-+++-+'()2303266f k k k ∴=-⋅='-=，解得1k =-.故选：B.点睛：对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．A【分析】当()f x '大于等于0，()f x 在对应区间上为增函数；()f x '小于等于0，()f x 在对应区间上为减函数，由此可以求解．【详解】解：2x <-时，()0f x '<，则()f x 单调递减；20x -<<时，()0f x '>，则()f x 单调递增；0x >时，()0f x '<，则f （x ）单调递减．则符合上述条件的只有选项A ．故选A ．【点睛】本题主要考查了函数单调性与导函数的关系，重点是理解函数图象及函数的单调性． 4．D【详解】试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ．考点：利用导数研究函数的单调性.5．A【解析】【分析】根据函数的切线方程得到切点坐标以及切线斜率，再根据导数的几何意义列方程求解即可．【详解】曲线在点()0,n 处的切线方程是10x y -+=，010n ∴-+=，则1n =，即切点坐标为()0,1，切线斜率1k =，曲线方程为()21y f x x mx ==++， 则函数的导数()'2f x x m =+即()'001k f m ==+=，即1m =，则1m =，1n =，故选A ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，属于中档题．应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.6．C【解析】【分析】根据题意求出函数的导数，问题转化为2()max a x x<+=-，根据不等式的性质求出a 的范围即可．【详解】 ()2'224f x x ax =-+，由题意得()2,1x ∃∈--，使得不等式()()2'220f x x ax =-+<成立，即()2,1x ∈--时，2()max a x x <+，令()2g x x x=+，()2,1x ∈--， 则()22222'1x g x x x-=-=，令()'0g x >，解得：2x -<<令()'0g x <，解得：1x <<-，故()g x 在(2,-递增，在()1-递减，故(()max g x g ==-故满足条件a 的范围是(,-∞-， 故选C ．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的性质，是一道中档题． 7．D【解析】试题解析：设z a bi =+(34)(34)()34(34)i z i a bi a b b a i -=-+=++-435i +==∴345{340a b b a +=-= ，解得45b = 考点：本题考查复数运算及复数的概念点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念8．A【解析】令函数F （x ）=xf （x ），则F′（x ）=f （x ）+xf′（x ）∵f （x ）+xf′（x ）＜0，∴F （x ）=xf （x ），x ∈（﹣∞，0）单调递减，∵y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴F（x）=xf（x），在（﹣∞，0）上为减函数，可知F（x）=xf（x），（0，+∞）上为增函数∵a=π•f（π）=（﹣π）f（﹣π），b=﹣2f（﹣2），c=f（1）=（﹣1）f（﹣1），∴a=F（﹣π），b=F（﹣2），c=F（﹣1）∴F（﹣3）＞F（﹣2）＞F（﹣1），即a＞b＞c．故选A．点睛：构造函数F（x）=xf（x），对其求导分析可得F（x）在（0，+∞）上为增函数，分析可得a=π•f（π）=（﹣π）f（﹣π），b=﹣2f（﹣2），c=f（1）=（﹣1）f（﹣1），结合单调性分析可得答案.9．D【分析】要使原式恒成立，只需 m2﹣14m≤f（x）min，然后再利用导数求函数f（x）＝﹣x3﹣2x2+4x 的最小值即可．【详解】因为f（x）＝﹣x3﹣2x2+4x，x∈[﹣3，3]所以f′（x）＝﹣3x2﹣4x+4，令f′（x）＝0得2x x23==-或，因为该函数在闭区间[﹣3，3]上连续可导，且极值点处的导数为零，所以最小值一定在端点处或极值点处取得，而f（﹣3）＝﹣3，f（﹣2）＝﹣8，f（23）4027=，f（3）＝﹣33，所以该函数的最小值为﹣33，因为f（x）≥m2﹣14m恒成立，只需m2﹣14m≤f（x）min，即m2﹣14m≤﹣33，即m2﹣14m+33≤0解得3≤m≤11．故选C．【点睛】本题考查了函数最值，不等式恒成立问题，一般是转化为函数的最值问题来解决，而本题涉及到了可导函数在闭区间上的最值问题，因此我们只要从端点值和极值中找最值，注意计算的准确，是基础题10．D【分析】求出函数的导数，根据导数的符号求出函数的单调区间，求出最值，即可得到实数a 的取值范围【详解】当0x ≥时，()0xf x e ax =+>恒成立 ∴若0x =，a 为任意实数，()0x f x e ax =+>恒成立若0x >时，()0xf x e ax =+>恒成立 即当0x >时，xe a x>-恒成立， 设()x e g x x =-，则()()221xx x x e e x e g x x x --=-=' 当()01x ∈，时，()0g x '>，则()g x 在()01，上单调递增当()1x ∈+∞，时，()0g x '<，则()g x 在()1+∞，上单调递减 ∴当1x =时，()g x 取得最大值为e -则要使0x ≥时，()0xf x e ax =+>恒成立，a 的取值范围是()e -+∞， 故选D【点睛】本题以函数为载体，考查恒成立问题，解题的关键是分离含参量，运用导数求得新函数的最值，继而求出结果，当然本题也可以不分离参量来求解，依然运用导数来分类讨论最值情况． 11．C【解析】点P 是曲线232ln 2y x x =-上任意一点, 所以当曲线在点P 的切线与直线52y x =-平行时，点P 到直线52y x =-的距离的最小， 直线52y x =-的斜率为1，由23x 1y x =-='，解得1x =或2x 3=-（舍）.所以曲线与直线的切点为3P 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 点P 到直线52y x =-2=.选C. 12．D【解析】试题分析：设12(,),(,)A x a B x a ，则1222(1)ln x x x +=+，所以1221(ln )12x x x =+-，所以22221(ln )12AB x x x x =-=++，令111(ln )1(1)22y x x y x=-+⇒=-'，所以函数在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以1x =时，函数的最小值为32，故选D. 考点：导数的应用. 13．132i -- 【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【详解】()()()()121121313111222i i i i i i i i -----===--++-， 故答案为1322i --． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．14．21【分析】由已知得()2'32f x x ax b =++，且()'21240f a b -=-+=，()'44880f a b =++=，由此利用导数性质能求出常数-a b 的值.【详解】因为()32f x x ax bx =++，所以()2'32f x x ax b =++因为2x =-与4x =是函数，()32f x x ax bx =++的两个极值点，可得()()2124044880f a b f a b ⎧-=-+=⎪⎨=++=''⎪⎩ 解得3a =-，24b =-，所以21a b -=，故答案为21.【点睛】在极值点处，曲线若有切线则切线是水平的，即：当切线存在时，极值点处的导数为0； 注意：导数为0的点不一定是极值点，如3y x =.15．【解析】 2(1)2(1)()1(1)1,(1)11f f f x f f x '''=-'-='∴= ，因此()2ln f x x x =-，2()102f x x x -='=∴=时取极大值2ln22- 16．()(),40,-∞-⋃+∞【分析】设切点为()00,x y ，求导得斜率，然后利用点斜式得切线方程，将点A 代入，使得方程关于0x 有两解即可.【详解】设切点为()00,x y ，则切线斜率为：()00k 1xx e =+⋅. 切线方程为：()()0000y 1x y x e x x -=+⋅-，将点(),0A a 代入切线方程得：()()00001x y x ea x -=+⋅-，又000x y x e =⋅. 所以()()000001x x x ea x x e +⋅-=-⋅，整理得2000x ax a -+=有两个解. 所以240a a =->，解得4a <-或0a >.故答案为()(),40,-∞-⋃+∞.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义：求切线，求切线时要注意设过点作切线还是在点处的切线，前者需要设出切点，后者给出的点即为切点，属于易错题型.17．（Ⅰ）4a =-或3a =（Ⅱ）1a =-（Ⅲ）41a -<<-【解析】【分析】（Ⅰ）由虚部等于0，求得a 值；（Ⅱ）由实部等于0且虚部不等于0求得a 值；（Ⅲ）由实部大于0且虚部小于0求得a 的范围．【详解】复数()()222312z a a a a i =++﹣﹣﹣． （Ⅰ）若z 为实数，则2120a a +=﹣，解得4a =-或3a =； （Ⅱ）若z 为纯虚数，则22a 230a 120a a ⎧--=⎨+-≠⎩，解得1a =-； （Ⅲ）若z 位于第四象限，则22a 230a 120a a ⎧-->⎨+-<⎩ ，解得41a -<<-． 【点睛】本题主要考查复数的代数表示法及其几何意义，熟记复数概念和几何意义即可，属于基础题型.18．（1）减区间为（﹣1，2）；（2）f(x)的最小值为-19．【分析】（1）先求出()f x '，由()0f x '<可得减区间；（2）根据极大值为8求得1m =，然后再求出最小值．【详解】（1）f′（x ）=6x 2-6x ﹣12=6（x-2）（x+1），令()0f x '<，得﹣1＜x ＜2．∴函数f （x ）的减区间为（﹣1，2）．（2）由（1）知，f′（x ）=6x 2-6x ﹣12=6（x+1）（x ﹣2），令f′（x ）=0，得x=-1或x=2（舍）．当x 在闭区间[-2，3]变化时，f′（x ），f （x ）变化情况如下表∴当x=-1时，f （x ）取极大值f （-1）=m+7，由已知m+7=8，得m=1．当x=2时f(x)取极小值f(2)=m-20=-19又f(-2)=-3,所以f(x)的最小值为-19．【点睛】（1）解题时注意导函数的符号与函数单调性间的关系；（2）求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数在该区间上的极值，然后再求出函数在区间端点处的函数值，比较后最大者即为最大值，最小者即为最小值．19．()I()II (3,1)-【详解】解：（Ⅰ）2()33f x x a '=-，①当a ＜0时，f′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增；②当a ＞0时，由f′（x ）＞0即2330x a ->，解得x <x >由f′（x ）＜0得x <<∴f （x ）的单调增区间为(,-∞，＋∞）；f （x ）的单调减区间是(． （Ⅱ）因为f （x ）在x ＝−1处取得极大值，所以2(1)3(1)30f a '-=⨯--=，∴a ＝1．所以32()31,()33f x x x f x x '=--=-，由f′（x ）＝0解得121,1x x =-=．由（1）中f （x ）的单调性可知，f （x ）在x ＝−1处取得极大值f （−1）＝1，在x ＝1处取得极小值f （1）＝−3．因为直线y ＝m 与函数y ＝f （x ）的图象有三个不同的交点，结合f （x ）的单调性可知，m 的取值范围是（−3，1）；20．（1）20x y -=；（2）见解析【解析】【分析】（1）求导数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，结合点斜式，即可得到切线方程；（2）求导数，构造函数()g x ，对()g x 求导，根据导数确定()g x 的符号，即可判断()f x 的单调性.【详解】（1）解： ()12x f x e x ='-- ， 所以 ()102f '= ， ()00f = ， 因此曲线 ()y f x = 在 ()0,0 处的切线方程为： 20x y -=（2）解： ()12x f x e x ='-- 令 ()()g x f x =' ，则 ()1x g x e '=- ， 当 (),0x ∈-∞ 时， ()0g x '< ， ()f x ' 单调递减，当 ()0,x ∈+∞ 时， ()0g x '> ， ()f x ' 单调递增.所以 ()()1002f x f ≥='>' 所以 ()f x 的增区间为 (),-∞+∞. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，对函数求导，解导函数对应的不等式即可求解，属于常考题型.21．（Ⅰ）当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞，当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a （），单调递减区间为1,2a +∞（）； （Ⅱ）12a > 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出()g x '，然后讨论当0a ≤时，当0a >时的两种情况即得.（Ⅱ）分以下情况讨论：①当0a ≤时，②当102a <<时，③当12a =时，④当12a >时，综合即得.试题解析：（Ⅰ）由()ln 22,f x x ax a =-+'可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞，则()1122ax g x a x x='-=-， 当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当0a >时，10,2x a∈（）时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 1,2x a∈+∞（）时，()0g x '<，函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时，()g x 单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a （），单调递减区间为1,2a+∞（）. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()10f '=. ①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减.当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意.②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()f x '在10,2a（）内单调递增， 可得当当()0,1x ∈时，()0f x '<，11,2x a∈（）时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a （）内单调递增， 所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意.③当12a =时，即112a=时，()f x '在(0,1)内单调递增，在 ()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， ()f x 单调递减，不合题意.④当12a >时，即1012a << ，当1,12x a∈（）时，()0f x '>，()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.综上可知，实数a 的取值范围为12a >. 【考点】应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分类讨论思想等.22．（1）见解析（2）5.【解析】试题分析：(1)求导，分类讨论110044a a a ≤<<≥、、时三种情况的单调性(2)分离含参量ln 211x x x a x +->-，构造新函数，()ln 211x x x g x x +-=-，求导算出零点的范围，从而求出结果解析：（1）由题意可知，0x >，()22211a x x a f x x x x-+='-=--， 方程20x x a -+-=对应的14a ∆=-，当140a ∆=-≤，即14a ≥时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减；当104a <<时，方程20x x a -+-=，且0<< ，此时，()f x 在上()0f x '>，函数()f x 单调递增，在110,22⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭（，），上()0f x '<，函数()f x 单调递减；当0a ≤时，102<，102+>，此时当(),0x f x ⎛∈> ⎝'⎭，()f x 单调递增，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；综上：当0a ≤时，x ⎛∈ ⎝⎭，()f x 单调递增，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时， ()f x 单调递减；当104a <<时，()f x 在上单调递增，在110,22⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭（，），上单调递减； 当14a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递减； （2）原式等价于()1ln 21x a x x x ->+-，即存在1x >，使ln 211x x x a x +->-成立． 设()ln 211x x x g x x +-=-，1x >， 则()()2ln 2'1x x g x x --=-，设()ln 2h x x x =--，则()1110x h x x x='-=->，∴()h x 在()1,+∞上单调递增． 又()()33ln321ln30,44ln4222ln20h h =--=-=--=-，根据零点存在性定理，可知()h x 在()1,+∞上有唯一零点，设该零点为0x ， 则()03,4x ∈，且()000ln 20h x x x =--=，即002ln x x -=，∴()0000min 0ln 2111x x x g x x x +-==+- 由题意可知01a x >+，又()03,4x ∈，a Z ∈，∴a 的最小值为5.点睛：本题考查了运用导数求函数的单调性，在求解过程中结合判别式和定义域需要进行分类讨论，在求解含有参量的恒成立问题时，可以采用分离参量的方法，不过需要注意用零点的存在定理进行判断零点范围，然后得出结果．。

2021-2022学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）期中数学试卷试题数：18，总分：01.（填空题，3分）两条异面直线所成的角的取值范围是___ ．2.（填空题，3分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABB1A1所成角的大小为 ___ ．3.（填空题，3分）若正四面体ABCD的棱长为√2，则异面直线AB与CD之间的距离为___ ．4.（填空题，3分）将一个正方形绕着它的一边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为27π，则该几何体的全面积为 ___ ．5.（填空题，3分）某圆锥的底面积为4π，侧面积为8π，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为___ ．6.（填空题，3分）有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为___ （结果用π表示）．7.（填空题，3分）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π−3×π3=π，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为___ ．8.（填空题，3分）已知三棱锥A-BCD 的侧棱两两互相垂直，且该三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的侧面积的最大值为 ___ ．9.（填空题，3分）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面ACC 1A 1上一动点，且满足 D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，则满足条件的所有点P 所围成的平面区域的面积是 ___ ．10.（填空题，3分）在三棱锥S-ABC 中，已知SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC≤8．则三棱锥S-ABC 体积的最大值为___ ．11.（单选题，3分）已知向量 a =(1，x ，−1) ， b ⃗ =(x ，1，1) ，x∈R ，则“x=-1”是“ a ||b⃗ ”的（ ） A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件12.（单选题，3分）下列命题为真命题的是（ ）A.若直线l 与平面α上的两条直线垂直，则直线l 与平面α垂直B.若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行C.若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直D.若直线l 上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l 与平面α平行13.（单选题，3分）几何体Γ的表面上有三条线段AB 、CD 、EF ，有AB 、CD 、EF 所在直线两两异面，则在 ① 棱柱； ② 棱锥； ③ 圆柱； ④ 圆锥； ⑤ 球中，Γ有可能是（ ）A. ① ② ③B. ① ② ④C. ① ③ ④D. ③ ④ ⑤14.（单选题，3分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是线段BC1上的动点，则下列结论中真命题的序号为（）① A1P || 平面ACD1；② A1P⊥B1D；③ 三棱锥P-ACD1体积不变；④ P为BC1中点时，直线PC与平面ACD1所成角最大．A. ① ④B. ② ④C. ① ② ③D. ① ② ③ ④15.（问答题，0分）已知M、N是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱B1C1、C1D1的中点，异面直线MN与AB1所成角的大小为arccos√1010．（1）求证：M、N、B、D在同一平面；（2）求二面角C-MN-C1的大小．16.（问答题，0分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．17.（问答题，0分）如图，AA1、BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA1、CB1的中点，DE⊥平面CBB1．（1）证明：DE || 平面ABC；（2）若BB1=BC，求CA1与平面BB1C所成角的大小．18.（问答题，0分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1．（1）若正方体的棱长为1，求点A到平面A1BD的距离；（2）在一个棱长为10的密封正方体盒子中，放一个半径为1的小球，任意摇动盒子，求小球在盒子中不能达到的空间的体积；（3）在空间里，是否存在一个正方体，它的定点A、B、C、D、A1、B1、C1、D1到某个平面的距离恰好为0、1、2、3、4、5、6、7，若存在，求出正方体的棱长，若不存在，说明理由．2021-2022学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：18，总分：01.（填空题，3分）两条异面直线所成的角的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0，π2]【解析】：由异面直线所成角的定义求解．【解答】：解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角故两条异面直线所成的角的取值范围是（0，π2]故答案为：（0，π2]【点评】：本题主要考查异面直线所成的角，同时，还考查了转化思想，属基础题．2.（填空题，3分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABB1A1所成角的大小为 ___ ．【正确答案】：[1]arctan √22【解析】：寻找直线与平面成角，转化为解直角三角形问题．【解答】：解：设AB=a，因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以CB⊥平面ABB1A1，所以直线AC1在平面ABB1A1的投影是AB1，C1B1⊥AB1，所以直线AC1与平面ABB1A1所成角为∠C1AB1，tan∠C1AB1= C1B1AB1 = a√2•a= √22，所以∠C1AB1=arctan √22．故答案为：arctan √22．【点评】：本题考查了正方体的结构特性，考查了直线与平面位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．3.（填空题，3分）若正四面体ABCD的棱长为√2，则异面直线AB与CD之间的距离为___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：由题意画出图形，分别取AB、CD的中点E、F，连接AF、BF、CE、DE、EF，EF为异面直线AB与CD的公垂线，求解三角形得答案．【解答】：解：如图，分别取AB、CD的中点E、F，连接AF、BF、CE、DE、EF，∴CE=DE=AF=BF= √(√2)2−(√22)2= √62，∴EF⊥AB且EF⊥CD，则EF的长是异面直线AB与CD的距离，则EF= √AF2−AE2 = √64−(√22)2=1．故答案为：1．【点评】：本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查异面直线距离的求法，是中档题．4.（填空题，3分）将一个正方形绕着它的一边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为27π，则该几何体的全面积为___ ．【正确答案】：[1]36π【解析】：首先确定将一个正方形绕着它的一边所在直线旋转一周，所得几何体为圆柱，由圆柱的体积求出正方形的边长，然后求解全面积即可．【解答】：解：将一个正方形绕着它的一边所在直线旋转一周，所得几何体为圆柱，设正方形的边长为a，则圆柱的体积为V=πa2•a=27π，解得a=3，所以圆柱的全面积为S=2π×3×3+2×π×32=36π．故答案为：36π．【点评】：本题考查了旋转体的理解与应用，解题的关键是确定几何体为圆柱，考查了圆柱体积公式以及全面积公式的运用，属于基础题．5.（填空题，3分）某圆锥的底面积为4π，侧面积为8π，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为___ ．【正确答案】：[1] π3【解析】：求出底面半径r，由圆锥侧面积公式S=πrl，解得母线l，进而可求出母线与底面所成角的余弦值，进而求解．【解答】：解：由圆锥的底面积为4π，πr2=4π，r=2，圆锥侧面积公式S=πrl=π×2×l=8π，解得l=4，设母线与底面所成角为θ，则cosθ= rl = 12，∴θ= π3，故答案为：π3．【点评】：本题考查圆锥侧面积公式，三角函数的应用，属于基础题．6.（填空题，3分）有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为___ （结果用π表示）．【正确答案】：[1]5π【解析】：本题考查的知识点是圆柱的结构特征，数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用，由圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形，然后根据平面上求两点间距离最小值的办法，即可求解．【解答】：解：∵圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，又∵铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2πcm，高为圆柱的高3π，则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．此时铁丝的长度最小值为：√9π 2+16π2=5π故答案为：5π．【点评】：解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案．7.（填空题，3分）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π−3×π3=π，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为___ ．【正确答案】：[1]4π【解析】：根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可．【解答】：解：由题意可知，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合，由图可知四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，所以面角和为4π+2π=6π，故总曲率为5×2π-6π=4π．故答案为：4π．【点评】：本题考查了新定义问题，解题的关键是理解多面体的总曲率的含义，考查了棱锥的结构特征的运用，属于基础题．8.（填空题，3分）已知三棱锥A-BCD的侧棱两两互相垂直，且该三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的侧面积的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]18【解析】：以该三棱锥的三条侧棱为长、宽、高，将该三棱锥补成一个长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径，根据球的体积公式，求得球的半径，进而转化为三条侧棱的平方和为36，然后根据三棱锥侧面积公式，运用基本不等式即可求得其最大值．【解答】：解：以该三棱锥的三条侧棱为长、宽、高，将该三棱锥补成一个长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径．令AB=x，AC=y，AD=z，根据三棱锥外接球体积V= 43πr3=36π，所以球的半径r=3，∴x2+y2+z2=（2×3）2=36．S侧= 12 xy+ 12xz+ 12yz≤ 14（x2+y2）+ 14（x2+z2）+ 14（z2+y2）= 12（x2+y2+z2）=18，（当且仅当x=y=z时，等式成立．）所以该三棱锥的侧面积的最大值为18．故答案为：18．【点评】：本题主要考查几何体的外接球及基本不等式的应用等，考查数形结合思想，属中档题．9.（填空题，3分）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面ACC 1A 1上一动点，且满足 D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，则满足条件的所有点P 所围成的平面区域的面积是 ___ ．【正确答案】：[1] 32π 【解析】：由已知结合向量的数量积性质可转化为球，然后结合球的性质即可求解．【解答】：解：因为 D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，所以D 1P⊥CP ，故P 在以CD 1为直径的球面上，且P 在平面ACC 1A 1上，则P 在面ACC 1A 1截球所得的圆上，设该圆半径r ，且正方体棱长为2，则CD=2 √2 ，球半径R= 12CD = √2 ，连接B 1D 1，则B 1D 1⊥A 1C 1，B 1D 1⊥AA 1，所以B 1D 1⊥平面ACC 1A 1，所以D 1到平面ACC 1A 1的距离d 1= 12B 1D 1 = √2 ，因为O 为CD 1中点，所以O 到平面ACC 1A 1的距离d= 12d 1 = √22 ，所以圆半径r= √R 2−d 2 = √32 ，圆面积S=πr 2= 3π2 ．故答案为： 3π2 ．【点评】：本题以向量数量积为载体，主要考查了球的性质，属于中档题．10.（填空题，3分）在三棱锥S-ABC 中，已知SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC≤8．则三棱锥S-ABC 体积的最大值为___ ．【正确答案】：[1]8 √6【解析】：利用条件、余弦定理可得cos∠SAB= SA 2+AB 2−SB 22SA•AB ≤- 15 ，可得sin∠SAB≤ 2√65，可得S △SAB 的最大值．点C 到面SAB 的距离为h ，由h≤CB≤6，由此求得三棱锥S-ABC 体积V= 13•S △SAB •h 的最大值．【解答】：解：∵在三棱锥S-ABC 中，SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC≤8，∴S △SAB = 12 SA•SB•sin∠SAB ，又cos∠SAB= SA 2+AB 2−SB 22SA•AB ≤- 15 ，∴sin∠SAB≤ 2√65 ， ∴S △SAB = 12 ×4×5×sin∠SAB≤4 √6 ．设点C 到面SAB 的距离为h ，则h≤CB≤6，根据三棱锥S-ABC 体积V= 13 •S △SAB •h≤ 13×4 √6 ×6=8 √6 ， 故答案为：8 √6 ．【点评】：本题主要考查余弦定理、三棱锥的体积，属于基础题．11.（单选题，3分）已知向量 a =(1，x ，−1) ， b ⃗ =(x ，1，1) ，x∈R ，则“x=-1”是“ a ||b⃗ ”的（ ） A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：C【解析】：由 a || b ⃗ ，可设 a =k b⃗ ，于是（1，x ，-1）=k （x ，1，1），解出即可得出．【解答】：解：由 a || b ⃗ ，可设 a =k b⃗ ，于是（1，x ，-1）=k （x ，1，1）， ∴ {1=kx x =k −1=k，解得k=-1=x ．∴“x=-1”是“ a || b⃗ ”的充要条件． 故选：C ．【点评】：本题考查了向量共线定理、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.（单选题，3分）下列命题为真命题的是（ ）A.若直线l 与平面α上的两条直线垂直，则直线l 与平面α垂直B.若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行C.若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直D.若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α平行【正确答案】：B【解析】：对于A，只有当平面α上的两直线是相交线时，才有直线l与平面α垂直；对于B，由线面垂直的性质得这两条直线平行；对于C，这两个平面相交或平行；对于D，若两点在平面α的同侧，则l || α，若两点在平面α的异侧，且线段AB的中点在α上，l与α相交．【解答】：解：对于A，若直线l与平面α上的两条直线垂直，只有当平面α上的两直线是相交线时，才有直线l与平面α垂直，故A错误；对于B，若两条直线同时垂直于一个平面，则由线面垂直的性质得这两条直线平行，故B正确；对于C，若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面相交或平行，故C错误；对于D，直线l上的不同两点到平面α的距离相等，设A、B是直线l上两点，若两点A、B在平面α的同侧，则l || α，若两点A、B在平面α的异侧，且线段AB的中点在α上，则l与α相交，故D错误．故选：B．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力等数学核心素养，是中档题．13.（单选题，3分）几何体Γ的表面上有三条线段AB、CD、EF，有AB、CD、EF所在直线两两异面，则在① 棱柱；② 棱锥；③ 圆柱；④ 圆锥；⑤ 球中，Γ有可能是（）A. ① ② ③B. ① ② ④C. ① ③ ④D. ③ ④ ⑤【正确答案】：A【解析】：直接利用异面直线的定义，几何体的特征的应用求出结果．【解答】：解：根据几何体的特征：在棱柱中有AB、CD、EF所在直线两两异面；在棱锥中有AB、CD、EF所在直线两两异面；在圆柱中有AB、CD、EF所在直线两两异面；故选：A．【点评】：本题考查的知识要点：异面直线的定义，几何体的特征，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题．14.（单选题，3分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是线段BC1上的动点，则下列结论中真命题的序号为（）① A1P || 平面ACD1；② A1P⊥B1D；③ 三棱锥P-ACD1体积不变；④ P为BC1中点时，直线PC与平面ACD1所成角最大．A. ① ④B. ② ④C. ① ② ③D. ① ② ③ ④【正确答案】：D【解析】：① 由两平面平行判断；② 由直线与平面垂直判断；③ 由三棱锥体积公式判断；④ 由锐二面角一个面上的直线与另一平面成角以平面角为最大判断．【解答】：解：对于① ，因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以平面ACD1 || 平面A1BC1，因为A1P⊂平面A1BC1，所以A1P || 平面ACD1，所以① 对；对于② ，因为B1D⊥平面A1BC1，又因为A1P⊂平面A1BC1，所以B1D⊥A1P，所以② 对；对于③ ，因为△ACD1面积为定值，又因为BC1 || 平面ACD1，所以P到平面ACD1距离为定值，所以三棱锥P-ACD1体积不变，所以③ 对；对于④ ，平面ACD1 || 平面A1BC1，所以PC与平面ACD1成角等于PC与平面A1BC1成角，因为PC在平面BB1C1C上，∠A1OB1为平面A1BC1与平面BB1C1C成角的二面角，所以PC与平面A1BC1成角小于等于∠A1OB1，所以④ 正确．故选：D．【点评】：本题考查了正方体的结构特性，考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题．15.（问答题，0分）已知M、N是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱B1C1、C1D1的中点，异面直线MN与AB1所成角的大小为arccos√10．10（1）求证：M、N、B、D在同一平面；（2）求二面角C-MN-C1的大小．【正确答案】：【解析】：（1）只要证明MN || BD即可；（2）寻找二面角平面角，转化为解直角三角形问题．【解答】：（1）证明：因为M、N是B1C1、C1D1的中点，所以MN || B1D1，因为ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，所以四边形BB1D1D是矩形，所以BD || B1D1，所以BD || MN，所以M、N、B、D在同一平面．（2）解：由（1）知MN⊥A1C1，又因为EN为CE在平面A1B1C1D1内投影，所以CE⊥MN，所以∠C1EC为二面角C-MN-C1的平面角，设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为a，高为h．因为MN || B1D1．所以异面直线MN与AB1所成角等于∠OB1A= arccos√1010，cos∠OB1A= B1OB1A =√2a2ℎ= √1010，所以h= √5a，tan∠C1EC= C1CC1O = ℎ√2a4=2 √10，所以∠C1EC=arctan（2 √10）．【点评】：本题考查了正四棱柱结构特性，考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．16.（问答题，0分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．【正确答案】：【解析】：解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角．（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可．解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可．⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，2）由PD⊥底面ABCD，所以DP⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ，-1，1）是平面DEF的一个法向量．根据数量积得出夹角的余PB⊥平面DEF，所以BP弦即可得出所求解的答案．【解答】：解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB ．（2）如图1，在面BPC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ACBD 的交线．由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF ，所以PB⊥DG ．又因为PD⊥底面ABCD ，所以PD⊥DG ．而PD∩PB=P ，所以DG⊥平面PBD ．所以DG⊥DF ，DG⊥DB故∠BDF 是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=λ，有BD= √1+λ2 ，在Rt△PDB 中，由DF⊥PB ，得∠DPB=∠FDB= π3，则 tan π3 =tan∠DPF= DB PD = √1+λ2 = √3 ，解得 λ=√2 ．所以 DC CB = 1λ = √22故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为 π3 时， DC BC = √22 ．（解法2）（1）以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，则D （0，0，0），P （0，0，1），B （λ，1，0），C （0，1，0）， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（λ1，-1），点E是PC 的中点，所以E （0， 12 ， 12 ）， DE⃗⃗⃗⃗⃗ =（0， 12 ， 12 ）， 于是 PB ⃗⃗⃗⃗⃗ •DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即PB⊥DE ．又已知EF⊥PB ，而ED∩EF=E ，所以PB⊥平面DEF ．因 PC⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，-1）， DE ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则DE⊥PC ，所以DE⊥平面PBC ． 由DE⊥平面PBC ，PB⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB ．（2）由PD⊥底面ABCD ，所以 DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，1）是平面ACDB 的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以BP⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ，-1，1）是平面DEF的一个法向量．若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，则运用向量的数量积求解得出cos π3 = 1√λ2+2= 12，解得λ=√2．所以所以DCCB = 1λ= √22故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3时，DCBC= √22．【点评】：本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．17.（问答题，0分）如图，AA1、BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA1、CB1的中点，DE⊥平面CBB1．（1）证明：DE || 平面ABC；（2）若BB1=BC，求CA1与平面BB1C所成角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）只要证明DE所在平面DEF平行于平面ABC即可；（2）作出直线与平面所成角，转化为解直角三角形问题．【解答】：（1）证明：取BB1中点F，连接FD、FE，AA1、BB1为圆柱OO1的母线，所以四边形AA1B1B为矩形，因为D、E分别是AA1、CB1的中点，所以FD || AB，FE || BC，又因为FD∩FE=F，AB∩BC=B，点F∉平面ABC，所以平面DEF || 平面ABC，又因为DE⊂平面DEF，所以DE || 平面ABC．（2）解：作圆柱OO1的母线，连接B1C1，O1为B1C1中点，连接O1O，E为O1O中点，四边形A1O1ED是矩形，所以A1O1 || DE，A1O1=DE，因为DE⊥平面CBB1，所以A1O1⊥平面CBB1，所以∠A1CO1为CA1与平面BB1C所成角，设BO=R，因为BB1=BC，所以A1O1=R，C1C=A1A=BC=2R，A1C1= √2 R，A1C= √6 R，所以sin∠A1CO1= A1O1A1C = R√6R= √66，所以∠A1CO1=arcsin √66．【点评】：本题考查了圆锥结构特性，考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．18.（问答题，0分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1．（1）若正方体的棱长为1，求点A到平面A1BD的距离；（2）在一个棱长为10的密封正方体盒子中，放一个半径为1的小球，任意摇动盒子，求小球在盒子中不能达到的空间的体积；（3）在空间里，是否存在一个正方体，它的定点A、B、C、D、A1、B1、C1、D1到某个平面的距离恰好为0、1、2、3、4、5、6、7，若存在，求出正方体的棱长，若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）利用等体法：V A−A1BD =V A1−ABD即可求解．（2）求出小球在正方体的8个顶点以及12条棱处不能到达的空间，利用球的体积公式以及柱体体积公式即可求解．（3）设平面α为符合题意的平面，α过点C，延长D1C1，A1B1，AB分别交平面α于点E，F，G，由题意可得C1E：BG：B1F：DC：D1E：AG：A1F=1：2：3：4：5：6：7，设正方体的棱长为4a，根据V C1−ECF =V C−EC1F，求出点C1到平面α的距离，进而得出正方体的棱长．【解答】：解：（1）正方体的棱长为1，设点A到平面A1BD的距离为h，由V A−A1BD =V A1−ABD，则13S△A1BD⋅ℎ=13S△ABD⋅AA1，即13×12×√2×√2×√32=13×12×1×1×1，解得ℎ=√33．（2）在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：8[13−18(4π3×13)]=8−4π3，除此之外，以正方体的棱为一条棱的12个1×1×8的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共12[1×1×8−14(π×12)×8]=96−24π，其它空间小球均能到达，故小球不能到达的空间体积为：8−43π+96−24π=104−763π（cm3）．（3）设平面α为符合题意的平面，α过点C，延长D1C1，A1B1，AB分别交平面α于点E，F，G，由图可知，点C，C1，B，B1，D，D1，A，A1与平面α的距离分别应为0、1、2、3、4、5、6、7，因为D1E，A1F，DC，AG互相平行，所以它们与平面α所成角相等，故由比例关系得C1E：BG：B1F：DC：D1E：AG：A1F=1：2：3：4：5：6：7．设正方体的棱长为4a，则C1E=a，BG=2a，B1F=3a，用几何方法可解得EF=2√5a，EC=√17a，CF=√41a，故S△ECF=2√21a2，由CC1⊥平面A1B1C1D1，知CC1为四面体C-EC1F的底面EC1F上的高，所以由V C1−ECF =V C−EC1F，算得点C1到平面α的距离，d=S△EC1F⋅|CC1|S△ECF =2a2⋅4a2√21a2=4√2121a，实际上已知d=1，所以4√2121a=1，从而可得a=√214，所以正方体的棱长为4a=√21，由图可知，该正方体存在．【点评】：本题主要考查点面距离的求解，空间中的体积问题，立体几何中的探索性问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．。